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1.空间向量的有关概念
§2 空间向量与向量运算
知识点 1 空间向量
知识 清单破
名称 定义
空间向量 具有大小和方向的量
长度(模) 表示向量的有向线段的长度
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
零向量和单位向量 模为0的向量和模为1的向量
共线向量(平行向量) 表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合的向量
共面向量 平行于同一平面的向量
提醒 (1)数学中所研究的向量,它的起点和终点可以任意平行移动,被称为自由向量;
(2)零向量的方向是任意的,规定零向量与任意向量平行;
(3)单位向量不一定相等,但单位向量的模一定相等;
(4)方向相同且模相等的向量称为相等向量,因此,在空间中,可用同向且等长的有向线段表示
同一向量或相等向量;
(5)空间任意两个向量都为共面向量;
(6)一般来说,向量不能比较大小.
2.空间向量的表示
(1)用有向线段表示,如 ,点A叫作向量 的起点,点B叫作向量 的终点.
(2)印刷时用a,b,c,…表示,书写时用 , , ,…表示.
知识点 2 空间向量的线性运算
运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 a+b 三角形法则 平行四边形法则 交换律:a+b=b+a;
结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
减法 a-b 三角形法则
数乘 λa (λ∈R) (1)|λa|=|λ||a|; (2)当λ>0时,λa与a方向相同;
当λ<0时,λa与a方向相反;当λ
=0时,λa=0 结合律:λ(μa)=(λμ)a(λ,μ∈R);
分配律:(λ+μ)a=λa+μa;
λ(a+b)=λa+λb(λ,μ∈R)
空间两个向量a,b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ,使得a=λb.通常把这个定理
称为共线向量基本定理.(也称“一维向量基本定理”)
知识点 3 共线向量基本定理
1.两个向量的夹角
已知两个非零向量a,b,在空间中任取一点O,作 =a, =b,则∠AOB叫作向量a与b的夹角,记
作
.通常规定0≤≤π.
2.两个向量的数量积
(1)定义
已知两个空间向量a,b,把|a||b|·cos叫作a与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos.
知识点 4 空间向量的数量积
(2)结论
(i)cos= (a≠0,b≠0);
(ii)|a|= ;
(iii)a⊥b a·b=0.
(3)运算律
(i)交换律:a·b=b·a;
(ii)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c;
(iii)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R).
3.投影向量与投影数量
已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 =a, =b,过点B作直线OA的垂线,垂足为
B1,称向量 为向量b在向量a方向上的投影向量,其长度等于||b|cos|.
若用a0表示与向量a(a≠0)同方向的单位向量,则向量b在向量a方向上的投影向量为 =|b|cosa0,向量b在向量a方向上的投影数量为|b|cos= =a0·b.
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.空间中任意两个单位向量必相等. ( )
2. - =0. ( )
3.a∥b 存在实数λ∈R,使得a=λb. ( )
4.若两个非零向量a∥b,则=0.( )
提示
提示
提示
提示
任意两个单位向量的模相等,方向不一定相同.
- =0.
b≠0时才成立.
=0或=π.
5.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a,b共线的必要不充分条件. ( )
6.(a·b)c=a(b·c). ( )
7.向量b在向量a方向上的投影数量非负. ( )
提示
a·b=|a||b|是a,b共线的充分不必要条件.
向量b在向量a方向上的投影数量是实数,可正,可负,可为0.
提示
1.共线向量基本定理既是判定定理又是性质定理,要灵活应用.可用于证明两条直线平行,进
而证明线面平行,面面平行.
2.用共线向量基本定理证明三点共线.若A,B,C三点不重合,则存在实数λ,使得 =λ A,B,
C三点共线.
3.常用结论:P是直线AB外任意一点,A,B,C三点共线的充要条件为 =λ +μ ,且λ+μ=1(λ,
μ∈R).
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 共线向量基本定理及其应用
4.拓展认识共面向量:
(1)定义:平行于同一平面的向量叫作共面向量.
(2)共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有
序实数对(x,y),使p=xa+yb.
(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件:存在唯一有序实数对(x,y),使 =x +y 或对空
间任意一点O,有 = +x +y .
(4)空间四点P,A,B,C共面的充要条件: =x +y +z ,其中x+y+z=1,O为空间中的任意一
点.
典例 如图所示,已知空间四边形ABCD,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的
点,且 =2 , =2 .用向量法证明四边形EFGH是梯形.
证明 因为E,H分别是边AB,AD的中点,
所以 = , = ,
所以 = - = - = ( - )= .
又 =2 , =2 ,
所以 = , = ,
所以 = - = - = ( - )= ,
所以 ∥ ,且| |= | |,
又点E不在FG上,
所以四边形EFGH是梯形.
1.求两个向量的夹角的方法
(1)结合图形,平移向量,利用向量夹角的定义来求,但要注意夹角的范围;
(2)先求a·b,再利用公式cos= 求cos,最后确定.
讲解分析
疑难 2 利用两个向量的数量积求夹角
2.求两条异面直线的夹角的步骤
3.由于向量的夹角的取值范围为[0,π],而异面直线的夹角的取值范围为 ,因此利用向量
的数量积求异面直线的夹角时,要注意二者之间的关系,当∈ 时,它们相等;当
∈ 时,它们互补.
典例 如图,空间四边形OABC的各边及对角线长都为2,E是AB的中点,F在OC上,且 =2 .
求向量 与向量 的夹角的余弦值.
解析 因为E是AB的中点,
所以 = ( + ),
因此| |= | + |= × = .
因为 =2 ,所以 = ,
所以 = - = - ,
因此| |=
= = ,
又因为 · = ( + )·
= · - · + · -
=- ,
所以向量 与向量 的夹角的余弦值为 = =- .
1.求两点间距离的步骤
(1)用向量的模|a|表示此距离;
(2)用已知模和夹角的向量表示向量a;
(3)用公式a·a=|a|2求|a|;
(4)|a|即为所求距离.
2.求模公式的推广
公式|a|= 可以推广为|a±b|= = .
讲解分析
疑难 3 利用空间向量的数量积求距离(或线段长)
典例 如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将△ACD沿对角线AC折起,使AB与
CD成60°角,则B,D间的距离为 .
2或
解析 因为∠ACD=90°,所以 · =0.
同理, · =0.
因为翻折后AB与CD成60°角,
所以< , >=60°或< , >=120°.
又 = + + ,
所以 · =| |2+| |2+| |2+2 · +2 · +2 ·
=3+2×1×1×cos< , >
=
所以| |=2或| |= ,
即B,D间的距离为2或 .
利用空间向量的数量积判断或证明线线、线面垂直的思路
(1)由结论a⊥b a·b=0可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的向量,只要证明这两
个向量的数量积为0即可.
(2)用向量法证明线面垂直,离不开线面垂直的判定定理,需将线面垂直转化为线线垂直,然后
利用向量法证明线线垂直即可.
用向量法证明垂直关系的步骤:
①把几何问题转化为向量问题;
②用已知向量表示所证向量;
③结合数量积公式和运算律证数量积为0;
④将向量问题回归到几何问题.
讲解分析
疑难 4 利用空间向量的数量积判断或证明垂直关系
典例 已知在四面体OABC中(如图所示),OA⊥BC,OB⊥AC,求证:OC⊥AB.
证明 设 =a, =b, =c,
则 =c-b, =c-a, =b-a.
由OA⊥BC得 · =0,
即a·(c-b)=0,
∴a·c=a·b,
由OB⊥AC得 · =0,
即b·c=b·a.
因此a·c=b·c,
即(b-a)·c=0.
∴ · =0,
∴ ⊥ ,故OC⊥AB.§2 空间向量与向量运算
2.1 从平面向量到空间向量
基础过关练
题组 空间向量的有关概念
1.(多选题)下列说法正确的是( )
A.空间向量就是空间中的一条有向线段
B.空间向量不能比较大小,空间向量的模可以比较大小
C.若将空间所有单位向量的起点放在同一点,则终点围成一个圆
D.同向且等长的有向线段表示同一向量
2.下列命题中正确的是( )
A.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合
B.若a和b都是单位向量,则a=b
C.两向量的大小与其方向有关
D.零向量与任何向量共线
3.如图,在正三角形ABC中,D,E,F均为其所在边的中点,则以下向量和向量相等的是( )
A. B. C. D.
4.(多选题)以下关于向量的说法正确的有( )
A.若a=b,则|a|=|b|
B.若|a|=|b|,则a=±b
C.若a=-b且b=-c,则a=c
D.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线
5.给出下列四个命题:
①方向相反的两个向量是相反向量;
②若a,b满足|a|>|b|且a,b同向,则a>b;
③不相等的两个空间向量的模必不相等;
④对于任意向量a,b,必有|a+b|≤|a|+|b|.
其中正确命题的序号为 .
6.如图所示,在以长、宽、高分别为AB=3,AD=2,AA1=1的长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中:
(1)单位向量共有多少个
(2)试写出模为的所有向量;
(3)试写出与向量相等的所有向量;
(4)试写出向量的相反向量.
答案与分层梯度式解析
§2 空间向量与向量运算
2.1 从平面向量到空间向量
基础过关练
1.BD 对于A,有向线段的起点和终点都是固定的,而空间向量是可以平移的,故A错误;
易知B正确;
对于C,将空间所有单位向量的起点放在同一点,则终点围成一个球面,故C错误;
对于D,方向相同且模相等的两个向量称为相等向量,即同向且等长的有向线段表示同一向量,故D正确.
故选BD.
2.D 对于A,两个向量相等,则它们的大小和方向相同,与位置无关,故A错误;
对于B,若a和b都是单位向量,则|a|=|b|=1,两向量方向不一定相同,故B错误;
对于C,向量不能比较大小,故C错误;
易知D正确.故选D.
3.D 由已知得DE是△ABC的中位线,所以DE∥CB且DE=CB.所以与向量.故选D.
4.AC 若a=b,则a和b的大小相等,方向相同,故A正确;
向量a与b的方向无法确定,a=±b不一定成立,故B错误;
若a=-b,b=-c,则a=-(-c)=c,故C正确;
若a与b共线,b与c共线,则当b=0时,无法判断a与c是否共线,故D错误.
故选AC.
5.答案 ④
解析 对于①,方向相反且模相等的两个向量是相反向量,故①错误;对于②,向量是不能比较大小的,故②错误;对于③,不相等的两个空间向量的模也可以相等,故③错误;显然④正确.
6.解析 (1)由于长方体的高为1,所以长方体4条高所对应的这8个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共8个.
(2)由于长方体的左、右两个面的对角线长均为,故模为.
(3)与向量.
(4)向量.
1第2课时 空间向量的数量积
基础过关练
题组一 数量积的概念及运算律
1.下列说法错误的是 ( )
A.设a是空间向量,则a2=|a|2
B.设a,b是两个空间向量,则a·b=b·a
C.设a,b是两个非零空间向量,则(a·b)2=a2·b2
D.设a,b,c是三个空间向量,则a·(b+c)=a·b+a·c
2.如图,若正四面体A-BCD的棱长为1,且,则=( )
A.-1 B.- C. D.1
3.(多选题)设几何体ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,则以下结论正确的有( )
A.=-a2 B.a2
C.=a2 D.=a2
4.如图,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC=3,AD=4,E为BC的中点,则等于( )
A.3 B.2 C.1 D.0
5.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱CC1上任意一点,则= .
题组二 空间向量的数量积的应用
在空间四边形ABCD中,
∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD,则方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.(多选题)如图所示,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,3,…,16)是上、下底面上除A,B两点以外其余的十六个点,则的值可能是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8.在四面体ABCD中,BC=1,BD=2,
∠ABC=90°,,则∠CBD= .
9.如图,已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,AD=1,且∠DAB=∠BAA1=∠DAA1=.
(1)求B1D的长;
(2)求夹角的余弦值.
能力提升练
题组 空间向量的数量积的应用
1.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,AB=1,PD=2,则异面直线PA与BD夹角的余弦值为( )
A.- B. C.- D.
2.设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足=0,则△BCD一定是( )
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
3.(多选题)已知空间单位向量两两之间的夹角均为60°,,则下列说法中正确的是( )
A.=1 B.·(
C.| D.cos<
4.已知空间向量a,b,|a|=2,|b|=1,=60°,则使向量a+λb与λa-2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是 .
5.如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=CD=1,∠ACD=90°,把△ADC沿对角线AC折起,使的夹角为60°,则折起后,BD= .
6.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.在堑堵ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,M是A1C1的中点,AB=7,N,G分别在棱BB1,AC上,且BN=AC,平面MNG与AB交于点H,则= .
7.如图所示,四边形ABCD是矩形,EF∥AB,AB=4,EF=2,△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形,G是AD上一动点,求FG的长度的取值范围.
8.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为.
(1)若侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1;
(2)若AB1与BC1的夹角为,求侧棱长.
答案与分层梯度式解析
第2课时 空间向量的数量积
基础过关练
1.C a2=|a|2cos 0=|a|2,故A中说法正确;
由向量数量积的运算律知B,D中说法正确;
设a,b的夹角为θ,则(a·b)2=(|a||b|cos θ)2=|a|2|b|2cos 2θ≤a2·b2,故C中说法错误.
C )·×1×1×cos 60°+×1×1×
cos 60°=.故选C.
3.AC 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
对于A,方向上的投影数量为-a,
∴=-a2,故A正确;
对于B,方向上的投影数量为a,
∴=a2,故B错误;
对于C,方向上的投影数量为a,
∴=a2,故C正确;
对于D,方向上的投影数量为-a,
∴=-a2,故D错误.
故选AC.
4.D 由题意得=0,
∵,
∴)·(,
又∵DB=DC,即=0.故选D.
5.答案 4
解析 棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1如图所示,
)·=0+2×2+0=4.
6.B 设AC=2,则BD=1,由题可知,
则)·|2,
所以.故选B.
AB 由题图知,AB与正四棱柱的上底面垂直,所以AB⊥BPi(i=1,2,…,8),则|·||·
cos∠BAPi=||·||=1,i=1,2,…,8;同理,AB与正四棱柱的下底面垂直,所以AB⊥APi(i=9,10,…,16),所以=0,i=9,10,…,16.故的值为0或1.
8.答案 30°
解析 因为∠ABC=90°,所以=0,
又,所以·(,所以.
又BC=1,BD=2,所以|·cos∠CBD=2cos∠CBD=,
所以cos∠CBD=.
又0°<∠CBD<180°,所以∠CBD=30°.
9.解析 (1)由题可知,,那么=15,所以|,
因此B1D的长为.
(2)连接A1B,由题可知,,
则|
=,
所以)·(,
所以cos <.
能力提升练
1.D ∵PD⊥平面ABCD,DA,DC 平面ABCD,
∴PD⊥DA,PD⊥DC.
∵底面ABCD为正方形,∴DA⊥DC.
易知,
∴)·(=1,
|,
|,
∴|cos<,
∴异面直线PA与BD夹角的余弦值为.
2.B 因为=0,
所以)·(>0,
所以cos B=>0,故∠B是锐角,
同理>0,可得∠C,∠D都是锐角,故△BCD是锐角三角形,故选B.
3.BC 因为单位向量两两之间的夹角均为60°,所以=1×1×cos 60°=,故A错误;
·(·(·(2,故B正确;
由,得,由,得,所以,所以,
则|
=
=,故C正确;
,
所以,故cos<><0,故D错误.
故选BC.
4.答案 (-1-)
解析 由题意知(a+λb)·(λa-2b)<0,且cos≠-1,即λa2+(λ2-2)a·b-2λb2<0,且(a+λb)·(λa-2b)≠-|a+λb||λa-2b|,即λ2+2λ-2<0,且λ2+2λ-2≠-2,解得-1-.
5.答案
解析 由题意得,
故|cos 60°+0=3-1=2,故|,即BD=.
6.答案 -42
解析 如图所示,延长MG,交A1A的延长线于点K,连接KN,
显然KN 平面MNG,KN 平面ABB1A1,
因此,平面MNG与AB的交点H即为KN与AB的交点.
在堑堵ABC-A1B1C1中,AG∥A1M,
则,即KA=2AA1,
又BN=AA1,所以KA=6BN,而KA∥BN,
所以=6,所以AH=AB=6,
因为AA1⊥AB,A1M⊥AB,所以=0,所以)·=-6×7=-42.
7.解析 连接AF,过点E作EH∥BF交AB于点H,如图,易得四边形EFBH为平行四边形.
∵EF=2,AB=4,∴AH=2,
又AE=2,EH=2,∴∠EAH=60°,
设(0≤x≤1),
则,
∴|
=
=,
∴当x=时,|FG|取最小值;当x=0或x=1时,|FG|取最大值2,
∴FG的长度的取值范围是[].
8.解析 (1)证明:.
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,△ABC为正三角形,
所以=0,
<.
所以)·()
=
=|
=-1+1=0,
所以,即AB1⊥BC1.
(2)由(1)知-1.
又||,
所以cos<,
所以||=2,即侧棱长为2.
12.2 空间向量的运算
第1课时 空间向量的加减法与数乘运算
基础过关练
题组一 空间向量的加减法
1.已知A,B,C,D是空间中互不相同的四个点,则=( )
A. B. C. D.
2.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,化简=( )
A. B. C. D.
3.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式运算的结果为的有( )
A. B.
C. D.
4.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若=c,则= (用a,b,c表示).
题组二 空间向量的数乘运算
5.如图,四面体OABC中,=c.点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则=( )
A.c B.-c
C.-c D.c
6.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1C1,BB1的中点,G是MN的中点,若,则x+y+z=( )
A.1 B. C. D.
7.化简:-3(a-2b+c)= .
题组三 共线向量基本定理
8.已知向量a,b,且=7a-2b,则一定共线的三点是( )
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
9.已知是空间两个不共线的向量,,那么必有( )
A.共线
B.共线
C.共线
D.A,B,C三点不共线
10.已知A,B,P三点共线,O为空间任意一点,+β,则β= .
答案与分层梯度式解析
2.2 空间向量的运算
第1课时 空间向量的加减法与数乘运算
基础过关练
1.B .故选B.
2.B 如图所示,.
故选B.
3.BCD A.;
B.;
C.;
D..
故选BCD.
4.答案 a-b+c
解析 =-b+a+c=a-b+c.
5.C 因为OM=2MA,所以,
又N为BC的中点,所以),
因此,a+b+c.
故选C.
6.C 如图所示,连接AM,AN.
∵G是MN的中点,
∴)
=
=.
又,
∴x+y+z=.故选C.
7.答案 a+b-c
解析 原式=a+b-c+a-b+c-3a+6b-3c
=a+b+c
=a+b-c.
8.A 因为=2a+4b=2(a+2b)=2,且AB,BD有公共点B,所以A,B,D三点共线.
9.D 若共线,则(λ∈R),
又,所以λ,
即,则共线,与条件矛盾,故A错误;
若共线,则(μ∈R),
又,所以μ,
即,则共线,与条件矛盾,故B错误;
若共线,则(m∈R),
则有),
整理,得,
又,
所以无解,
所以不共线,故C错误,D正确.
故选D.
10.答案
解析 因为A,B,P三点共线,所以(λ∈R),
即),即,
又,所以所以β=.
1