(共21张PPT)
§3 空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示
知识点 1 空间向量基本定理
知识 清单破
如果向量a,b,c是空间三个不共面的向量,p是空间任意一个向量,那么存在唯一的三元有
序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.{a,b,c}叫作空间向量的一组基,其中a,b,c都叫作基向量.空间
任意三个不共面的向量都可以构成空间向量的一组基.
在空间直角坐标系O-xyz中,分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i, j,k,这三个互相垂
直的单位向量就构成空间向量的一组基{i, j,k},这组基叫作标准正交基.
知识点 2 标准正交基
知识点 3 空间向量运算的坐标表示
向量运算 坐标表示
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
加法 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
减法 a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
数乘 λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R)
数量积 a·b=a1b1+a2b2+a3b3
知识点 4 空间向量平行(共线)和垂直的条件
位置关系 坐标表示
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
平行 a∥b a=λb(λ∈R,b≠0)
当b与三个坐标平面都不平行(即b1b2b3≠0)
时,a∥b = =
垂直 a⊥b a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0
知识点 5 空间向量长度与夹角的坐标表示
向量长度 若a=(a1,a2,a3),则|a|= =
两点间的 距离公式 若A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则|AB|=| |=
向量 夹角公式 若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则cos
= =
(a≠0,b≠0)
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.空间直角坐标系中,向量 的坐标与终点B的坐标相同. ( )
2.若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),a∥b,则 = = .( )
3.若{a,b,c}为空间向量的一组基,则a,b,c全不是零向量. ( )
4.若四边形ABCD是平行四边形,则向量 与 的坐标相同. ( )
√
√
提示
提示
提示
提示
当向量 的起点A在原点时,其坐标才与终点B的坐标相同.
当向量b为零向量时,结论不成立.
要使{a,b,c}作为空间向量的一组基,那么a,b,c三者必不共面,而零向量与任意向量共面,
所以a,b,c全不是零向量.
平行四边形的对边平行且相等,所以 与 方向相同,大小相等,因此二者的对应坐标
也相同.
1.基向量的选择
(1)所选向量必须不共面,可以利用空间向量基本定理或常见的几何图形的几何性质帮助判
断;
(2)所选基向量与要表示的向量一般应在同一封闭图形内,能用基向量的线性运算表示未知
向量;
(3)尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基向量.
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 利用基解决几何向量
2.用一组基表示向量的步骤
(1)定基
根据已知条件,确定三个不共面的向量作为空间向量的一组基.
(2)找目标
用确定或已知的一组基表示目标向量,需要根据三角形法则或平行四边形法则,结合相
等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.
(3)得结论
利用空间向量的一组基{a,b,c}可以表示出空间所有向量,其结果中只能含有a,b,c,不能
含有其他向量.
典例 已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是OA,BC的中点,点G在线段MN上,
且 =2 ,现用一组基{ , , }表示向量 ,有 =x +y +z ,则x,y,z的值分别
为 ( )
A. , , B. , ,
C. , , D. , ,
A
解析 如图所示,连接ON.
∵M,N分别是OA,BC的中点,点G在线段MN上,且 =2 ,
∴ = + , = , = ,
= - , = ( + ),
∴ = +
= + + ,
又 =x +y +z ,
∴x= ,y=z= ,故选A.
方法点拨 用基表示向量时,若基确定,则充分利用向量加法、减法的运算法则,以及数乘向
量的运算律进行表示;若没有给定基,应先选择基,选择基时,要尽量使所选的基向量能方便地
表示其他向量,基向量的模及夹角应已知或易求.
利用空间向量的坐标运算解决空间向量平行、垂直问题的方法
讲解分析
疑难 2 利用空间向量的坐标运算解决空间向量平行、垂直问题
典例 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,G,H分别是CC1,CD,A1C1的中点.
(1)求证:AB1∥GE,AB1⊥EH;
(2)过点B作BM⊥AC1于点M,求点M的坐标;
(3)若P,Q分别为线段B1D1,BD上的点,且3 = ,是否存在λ,使 =λ ,且 ⊥ 若存
在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
解析 如图,以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,
1).由中点坐标公式,得E ,G ,H .
(1)证明: =(1,0,1), = , = .
因为 =2 , · =1× +1× =0,所以 ∥ , ⊥ ,
即AB1∥GE,AB1⊥EH.
(2)设M(x,y,z),则 =(x,y,z), =(x-1,y,z).又 =(1,1,1),
所以由BM⊥AC1,得 · =0,
即x-1+y+z=0.①
由题意得 ∥ ,
设 =μ (μ∈R),则x=y=z=μ.②
由①②,得μ= ,所以x= ,y= ,z= .
所以点M的坐标为 .
(3)假设存在满足条件的λ.
设P(x1,y1,1),则 =(x1-1,y1,0), =(-x1,1-y1,0),
由3 = 得
即
所以点P的坐标为 .
设Q(x2,y2,0),
则 = , =(x2,y2-1,0),
易得 = , =(-1,1,0).
由 ⊥ ,得 · =x2- +y2- - =0,③
由 =λ ,得 ④
联立③④,无解,即不存在满足条件的λ.
1.求两向量夹角的步骤
(1)确定两向量的坐标:a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).
(2)利用公式求两向量的夹角:cos= .
2.求空间中两点间的距离或线段长度的常用方法
(1)空间两点间的距离公式:若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|AB|=| |= =
.
(2)向量的模的计算公式:a=(x,y,z),则|a|= .
讲解分析
疑难 3 利用空间向量的坐标运算求夹角、长度问题
典例 如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AA1=4,AB=BC=2,M为A1C
的中点,点N在线段AD上,AN=3.
(1)求线段MN的长;
(2)求异面直线MN与A1B夹角的余弦值.
解析 (1)因为几何体ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱,所以AA1⊥平面ABCD,
又AB,AD 平面ABCD,
所以AA1⊥AB,AA1⊥AD.
因为∠BAD=90°,
所以AA1,AB,AD两两互相垂直.
如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
则B(2,0,0),C(2,2,0),A1(0,0,4),N(0,3,0).
因为M为A1C的中点,
所以M(1,1,2),
所以 =(-1,2,-2),
所以|MN|= =3.
(2)由(1)得 =(-1,2,-2), =(2,0,-4),
则cos< , >= = = .
所以异面直线MN与A1B夹角的余弦值为 .§3 空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示
3.1 空间向量基本定理
基础过关练
题组一 空间向量基本定理及相关概念的理解
1.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,能构成空间向量的一组基的是( )
A. B.
C. D.
2.(多选题)已知a,b,c是空间中的三个单位向量,下列说法正确的是( )
A.若a∥b,b∥c,则a∥c
B.若a,b,c两两共面,则a,b,c共面
C.若{a,b,c}是空间向量的一组基,则{a+b,b+c,c+a}也是空间向量的一组基
D.对于空间中的任意一个向量p,总存在实数x,y,z,使得p=xa+yb+zc
题组二 空间向量基本定理的应用
3.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1C1的中点,若,则( )
A.x=1,y=
B.x=1,y=-
C.x=
D.x=-
4.O为空间任意一点,若,A,B,C,P四点共面,则t=( )
A.1 B. C. D.
5.(多选题)如图所示,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且|AP|=3|PN|,,设=c,则下列等式成立的是( )
A.c B.c-a
C.a D.c
6.已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.
(1)求证:BD∥平面EFGH;
(2)求证:E,F,G,H四点共面;
(3)设M是EG和FH的交点,求证:对空间任意一点O,有).
答案与分层梯度式解析
§3 空间向量基本定理及空间
向量运算的坐标表示
3.1 空间向量基本定理
基础过关练
1.AC 如图所示,
对于A,不共面,能构成空间向量的一组基,故A正确;
对于B,,所以共面,不能构成空间向量的一组基,故B错误;
对于C,不共面,能构成空间向量的一组基,故C正确;
对于D,,所以共面,不能构成空间向量的一组基,故D错误.
故选AC.
2.AC 因为a,b,c都是非零向量,所以当a∥b且b∥c时,一定有a∥c,故A正确;
易知B错误;
若a,b,c是空间向量的一组基,则a+b,b+c,c+a不共面,也可以构成空间向量的一组基,故C正确;
对于空间中的任意一个向量p,总存在实数x,y,z,使得p=xa+yb+zc,当且仅当a,b,c不共面时成立,故D错误.故选AC.
3.B 由题意得,,
因为,所以x=1,y=-.
故选B.
4.C 若A,B,C,P四点共面,则存在有序实数对(x,y),使,所以,整理,得,
又,
所以故选C.
5.BD 对于A,利用向量加法的运算法则,得b+c,A错误;
对于B,利用向量减法的运算法则,得b+c-a,B正确;
对于C,因为|AP|=3|PN|,所以b+c-a,C错误;
对于D,=a+b+c-a=a+b+c,D正确.故选BD.
6.证明 (1)∵E,H分别是AB,DA的中点,即EH为△ABD的中位线,∴EH∥BD,
又EH 平面EFGH,BD 平面EFGH,
∴BD∥平面EFGH.
(2)连接BG,则,
由平面向量基本定理,知E,F,G,H四点共面.
(3)易知,
∴,因此四边形EFGH是平行四边形,
∴M为EG,FH的中点.
在空间中任取一点O,连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG,如图所示:
则,
),
∴).
13.2 空间向量运算的坐标表示及应用
基础过关练
题组一 空间向量运算的坐标表示
1.若向量a,b满足a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),则a·b等于( )
A.-1 B.-5
C.5 D.7
2.已知a=(1,2,2),b=(-2,1,1),则向量b在a方向上的投影向量为( )
A.
B.
C.
D.
3.已知{a,b,c}是空间向量的一组基,{a,b+c,b-c}是空间向量的另一组基,若向量ρ在基{a,b,c}下的坐标为(2,3,-1),则向量ρ在基{a,b+c,b-c}下的坐标是( )
A.(2,-1,-2) B.(2,-1,2)
C.(2,1,-2) D.(2,1,2)
4.以下四组向量在同一平面内的是( )
A.(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)
B.(3,0,0),(1,1,2),(2,2,4)
C.(1,2,3),(1,3,2),(2,3,1)
D.(1,0,0),(0,0,2),(0,3,0)
5.若a=(2,3,-1),b=(2,0,3),c=(0,2,2),则a·(b+c)的值为 .
6.已知直线l经过A(-2,1,1),B(1,0,-3)两点,直线l上有一点P,使得,则点P的坐标为 .
题组二 空间向量的平行与垂直
7.已知a=(λ+1,0,2λ),b=(6,2μ-1,2),若a∥b,则λ和μ的值分别为( )
A. B.5,2
C.- D.-5,-2
8.已知a=(1,5,-2),b=(m,2,m+1),若a⊥b,则m的值为( )
A.-6 B.-8
C.6 D.8
9.已知向量a=(-1,1,0),b=(1,0,2),且ka+b与a-2b互相平行,则k=( )
A.- B.
C. D.-
10.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,若棱AD上存在点M,使得B1M⊥MC,则AB长度的取值范围是( )
A. B.
C. D.
11.点A(1,2,1),B(3,3,2),C(1,4,3),若点D在线段AB上,且满足CD⊥AB,则点D的坐标为 .
12.已知
=(-1,4,-1),设a=.
(1)证明:△ABC是直角三角形;
(2)若(-2a+kb)∥c,求k的值.
题组三 空间向量的长度和夹角
13.若a=(3x,-5,4)与b=(x,2x,-2)(x≠0)的夹角为钝角,则x的取值不可能为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
14.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=BC=1,动点P,Q分别在线段C1D,AC上,则线段PQ长度的最小值是( )
A. B. C. D.
15.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是线段AD,BC上的动点,且AE=BF,AC与EF交于点G,EF在AB与CD之间滑动,但与AB和CD均不重合.现将四边形EFCD沿直线EF折起,使平面EFCD⊥平面ABFE,在EF从AB滑动到CD的过程中,
∠AGC的大小( )
A.先变小后变大 B.先变大后变小
C.不发生变化 D.由小变大
16.已知点A(0,1,2),B(1,-1,3),C(1,5,-1).
(1)若D为线段BC的中点,求线段AD的长;
(2)若=(2,a,1),且=1,求a的值,并求此时向量夹角的余弦值.
17.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AB1⊥BC1,O,O1分别是AC,A1C1的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求正三棱柱的侧棱长;
(2)求异面直线AB1与BC夹角的余弦值.
答案与分层梯度式解析
3.2 空间向量运算的坐标表示及应用
基础过关练
1.B 由已知得,a=[(a+b)+(a-b)]=[(-2,-1,2)+(4,-3,-2)]=(1,-2,0),
b=[(a+b)-(a-b)]=[(-2,-1,2)-(4,-3,-2)]=(-3,1,2),
∴a·b=1×(-3)-2×1+0=-5.
故选B.
2.B ∵a=(1,2,2),b=(-2,1,1),∴a·b=1×(-2)+2×1+2×1=2,
向量a方向上的单位向量e=,
∴向量b在a方向上的投影向量为e=.故选B.
3.D 因为向量ρ在基{a,b,c}下的坐标为(2,3,-1),所以ρ=2a+3b-c.
设向量ρ在基{a,b+c,b-c}下的坐标是(x,y,z),则ρ=xa+y(b+c)+z(b-c)=xa+(y+z)b+(y-z)c,
所以在基{a,b+c,b-c}下的坐标是(2,1,2).故选D.
4.B 对于A,设(1,1,0)=m(0,1,1)+n(1,0,1),则无解,故A中三个向量不共面;
对于B,因为(2,2,4)=0(3,0,0)+2(1,1,2),故B中三个向量共面;
对于C,设(1,2,3)=p(1,3,2)+q(2,3,1),则无解,故C中三个向量不共面;
对于D,设(1,0,0)=a(0,0,2)+b(0,3,0),则无解,故D中三个向量不共面.
故选B.
5.答案 5
解析 因为b=(2,0,3),c=(0,2,2),
所以b+c=(2,2,5),
又因为a=(2,3,-1),
所以a·(b+c)=2×2+3×2+(-1)×5=5.
6.答案 (-5,2,5)
解析 设P(x,y,z),则=(x+2,y-1,z-1),
又,
∴(x+2,y-1,z-1)=-(3,-1,-4)=(-3,1,4),
∴
∴点P的坐标为(-5,2,5).
7.A 因为a∥b,所以b=ma(m∈R),
即故选A.
8.D 因为a⊥b,所以a·b=0,
即m+10-2(m+1)=0,解得m=8,
故选D.
9.D ka+b=(-k+1,k,2),a-2b=(-3,1,-4),
因为ka+b与a-2b互相平行,所以,解得k=-,故选D.
10.C 如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
设AM=x(0≤x≤1),AB=a(a>0),
则M(0,x,0),B1(a,0,1),C(a,1,0),
所以=(a,1-x,0),
因为B1M⊥MC,所以,
所以=-a2+x(1-x)=0,
即a=,
当0≤x≤1,a>0时,a∈,
所以AB长度的取值范围是,
故选C.
11.答案
解析 设点D的坐标为(x,y,z),则=(x-1,y-2,z-1),
因为点D在线段AB上,且满足CD⊥AB,
所以
解得所以点D的坐标为.
12.解析 (1)证明:∵=(-2,2,1),
∴=(-1,-2,2)·(-2,2,1)=(-1)×(-2)+(-2)×2+2×1=0,
∴,即BA⊥BC,
∴△ABC是直角三角形.
(2)∵-2a+kb=(2-2k,4+2k,k-4),(-2a+kb)∥c,
∴,解得k=2.
13.D 由题意得a·b=3x2-10x-8<0,解得-若a与b共线,则,无解,所以a与b不共线,所以-14.C 建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,0),C1(0,1,2),
设,λ,μ∈[0,1],
则=(1,0,0)+μ(-1,1,0)=(1-μ,μ,0),
∴=(1-μ,μ-λ,-2λ),
∴|
=
=,
∴当λ=时,线段PQ的长度取得最小值,最小值为.
15.C 设正方形ABCD的边长为1,AE=a(0则A(a,0,0),C(0,1,1-a),G(0,a,0),
所以=(0,1-a,1-a),
则cos∠AGC=,
所以∠AGC=120°,即∠AGC不会发生变化,故选C.
16.解析 (1)由题意得,D(1,2,1),∴,即线段AD的长为.
(2)易知=2-2a+1=1,解得a=1,∴=(2,1,1).
∴cos<,
即向量.
17.解析 (1)设正三棱柱的侧棱长为h.
由题意得A(0,-1,0),B(,0,h),C1(0,1,h),则,1,h).因为AB1⊥BC1,所以=-3+1+h2=0,所以h=(负值舍去).故正三棱柱的侧棱长为.
(2)由(1)可知,1,0),
所以|=2,
所以cos<.
所以异面直线AB1与BC夹角的余弦值为.
1