(共13张PPT)
1.一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫作从
n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.我们把从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的所有不同排列的个数,叫作从n个
不同元素中取出m个元素的排列数,记作 .
3.我们把有关求排列的个数的问题叫作排列问题.
§2 排列问题
知识点 1 排列、排列数与排列问题
知识 清单破
1.从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的排列共有n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)]种,所
以 =n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)].这个公式叫作排列数公式.
2.当m=n时, =n(n-1)(n-2)·…·2·1,记作n!,读作:n的阶乘.
3.阶乘的相关结论
(1)规定: =1,0!=1.
(2)排列数公式的另一种形式: = (m≤n,且m,n∈N+).
知识点 2 排列数公式与阶乘
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.若组成两个排列的元素相同,则这两个排列是相同的. ( )
2.(n+1)!-n!=n·n!. ( )
3.4×5×6×…×(n-1)×n= ,其中n≥4,n∈N. ( )
4.5个人站成一排,其中甲、乙两人不相邻的排法可列式为 - . ( )
√
√
√
提示
提示
提示
组成两个排列的元素的排列顺序不相同时,这两个排列是不相同的.
(n+1)!-n!=(n+1)·n!-n!=n·n!.
利用插空法可列式为 ;利用间接法可列式为 - .
1.“在”与“不在”的问题
解决“在”与“不在”的问题,常用的方法有特殊位置分析法、特殊元素分析法.若以
位置为主,则需先满足特殊位置的要求,再处理其他位置,若有两个及两个以上的约束条件,则
在考虑一个约束条件的同时也要兼顾其他条件;若以元素为主,则需先满足特殊元素的要求,
再处理其他元素.当直接求解困难时,可考虑用间接法求解,即先不考虑限制条件,计算出排列
总数,再减去不符合要求的排列数.
2.“相邻”与“不相邻”问题
(1)“捆绑法”解决相邻问题
将n个不同的元素排成一列,其中k(k≤n)个元素排在相邻的位置上,求不同排法种数的方法如
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 有限制条件的排列问题
下:①将这k个元素“捆绑”在一起,看成一个整体;②把这个整体当成一个元素与其他元素一
起排列,有 种排法;③“松绑”,即将“捆绑”在一起的元素进行内部排列,其排列方法有
种;④由分步乘法计数原理知,符合条件的排法有 种.
(2)“插空法”解决不相邻问题
将n个不同的元素排成一列,其中k 个元素互不相
邻,求不同排法种数的方法如下:①将没有不相邻要求的(n-k)个元素排成一排,其排列方法有
种;②将要求两两不相邻的k个元素插入(n-k+1)个空隙中,相当于从(n-k+1)个空隙中选出k
个分别分配给两两不相邻的k个元素,其排列方法有 种;③根据分步乘法计数原理知,符
合条件的排法有 种.
(3)“定序”问题
在排列问题中,某些元素在题意中已排定了顺序,对这些元素进行排列时,不再考虑其顺
序.在具体的计算过程中,可采用“除阶乘法”解决,即n个元素的全排列中有m(m≤n)个元素
的顺序固定,则满足题意的排法有 种.
典例 7名师生站成一排照相留念,其中老师1人,男学生4人,女学生2人.分别求满足下列情况的
不同站法的种数.
(1)老师必须站在中间或两端;
(2)2名女学生必须相邻而站;
(3)4名男学生互不相邻;
(4)若4名男学生身高都不等,按从高到低的顺序站.
解析 (1)先考虑老师,有 种站法,再考虑其余6人,有 种站法,所以不同站法的种数为
=2 160.
(2)(捆绑法)2名女学生相邻而站,有 种站法,将她们视为一个整体并与其余5人全排列,有
种排法,所以不同站法的种数为 =1 440.
(3)(插空法)先排老师和女学生,有 种站法,再在老师和女学生站位的空(含两端)中插入男学
生,每空一人,则插入方法有 种,所以不同站法的种数为 =144.
(4)解法一(定序法):在7人全排列的所有站法中,4名男学生不考虑身高顺序的站法有 种,而
按从高到低的顺序站有从左到右和从右到左2种,所以不同站法的种数为2× =420.
解法二(空位法):设想有7个位置,让老师和2名女学生先站好,共有 种站法,然后让4名男学
生按从高到低的顺序站其余的4个位置,而按从高到低的顺序站有从左到右和从右到左2种,
所以不同站法的种数为2× =420.
解法三(插空法):设想有7个位置,先选4个位置有 种选法,让4名男学生按从高到低的顺序站
好,有从左到右和从右到左2种,所以男学生不同的站法种数为2× ;余下3个位置让其余3人
站,共有 种站法,所以不同站法的种数为2× × =420.
数字排列问题的本质是“元素”占“位置”,有限制条件的排列问题的限制条件主要表
现在某元素不排在某个位置上或某个位置不排某些元素,解决该类排列问题的主要方法是按
照“优先”原则,即优先排特殊元素或优先满足特殊位置,若一个位置安排的元素影响另一
个位置的元素个数,则应分类讨论.
含有数字“0”的排列问题中,有些隐含了数字“0”不能在首位的条件,应将其视为有
限制条件的元素优先进行排列.若在一个题目中,除了数字“0”以外还有其他受限制的数字,
则应考虑受限制的数字对位置的选择会不会影响数字“0”对位置的选择,若有影响,则应分
类讨论.
讲解分析
疑难 2 与数字有关的排列问题
典例 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个:
(1)无重复数字且个位数字不是5的六位数
(2)无重复数字且比1 325大的四位数
(3)无重复数字的六位数 若这些六位数按从小到大的顺序排成一列,则240 135是该列数的第
几项
解析 (1)解法一(间接法):0在十万位或5在个位的“六位数”都有 个,0在十万位且5在个
位的“六位数”有 个.
故符合题意的六位数共有 -2 + =504个.
解法二(直接法):十万位数字的排法因个位数字为0与不为0而有所不同,因此需分两类:
第一类:当个位数字为0时,符合题意的六位数有 个;
第二类:当个位数字不为0时,符合题意的六位数有 个.
故符合题意的六位数共有 + =504个.
(2)符合题意的四位数可分为三类:
第一类:形如2□□□,3□□□,4□□□,5□□□,共有4 个;
第二类:形如14□□,15□□,共有2 个;
第三类:形如134□,135□,共有2 个.
由分类加法计数原理知,无重复数字且比1 325大的四位数共有4 +2 +2 =270个.
(3)符合题意的六位数共有 - =600个,其中十万位数字为1的有 个,十万位数字为2,万位
数字为0或1或3的共有3 个,∵ +3 +1=193,
∴240 135是该列数的第193项.§2 排列问题
2.1 排列与排列数
2.2 排列数公式
基础过关练
题组一 排列数与排列数公式
1.90×91×…×99×100可表示为( )
A. B. C. D.
2.已知n是正整数,且=89,则n=( )
A.8 B.10 C.12 D.15
3.阶乘是基斯顿·卡曼于1808年发明的运算符号,正整数n的阶乘记为n!,它的值为所有小于或等于n的正整数的积,即n!=1×2×3×…×(n-1)×n.根据上述材料,以下说法错误的是( )
A.3!+3×3!=4!
B.8!=40 320
C.12!=12×11!
D.1!++…+=n!
4.一条铁路线上原有n个车站,为了适应客运的需要,在这条铁路线上又新增加了m(m>1)个车站,客运车票增加了58种,则n= ,m= .
5.(1)解不等式:3≤11;
(2)解方程:.
题组二 无限制条件的排列问题
6.参加完某项活动的6名成员合影留念,前排和后排各3人,则不同排法的种数为( )
A.360 B.720 C.2 160 D.4 320
7.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,若将组成的四位数按从小到大的顺序排成一个数列,则第85个数为( )
A.2 301 B.2 304
C.2 305 D.2 310
题组三 有限制条件的排列问题
8.贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村开赛.该联赛由台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展演变而来,被网友称为“村BA”.“村BA”给全国人民展现的不仅是贵州人热爱生活的精神,更展现了如今欣欣向荣的贵州山水人文,同时给贵州的旅游带来巨大的收益.为庆祝比赛顺利结束,主办方设置了一场扣篮表演,分别由重庆、贵州、四川、云南代表队每队各选出2名球员参加扣篮表演,贵州队作为东道主,扣篮表演必须在第一位和最后一位,那么表演顺序一共有( )
A.种 B.2种
C.种 D.种
9.杭州第19届亚运会火炬2023年9月14日在浙江台州传递,火炬传递路线以“和合台州,活力城市”为主题,全长大约8千米.从和合公园出发,途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑.假设某段路线由甲、乙等6人传递,每人传递一棒,且甲不从乙手中接棒,乙不从甲手中接棒,则不同的传递方案共有( )
A.288种 B.360种
C.480种 D.504种
10.某学校筹备元旦晚会节目单时,准备在前五个节目中排三个歌唱节目,一个小品节目以及一个相声节目,若三个歌唱节目最多有两个相邻,则不同的排法种数为( )
A.75 B.80 C.84 D.96
11.开学典礼上甲、乙、丙、丁、戊这5名同学从左至右排成一排上台领奖,要求甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有1名同学的排法有( )
A.12种 B.16种 C.20种 D.24种
12.某城市志愿者的招募项目中有一个“国际服务项目”,还有8个名额空缺,这些名额需要分配给3个单位,则每个单位至少一个名额且各单位名额数互不相同的分配方法种数是( )
A.14 B.12 C.10 D.8
13.元宵节灯展后,悬挂的8盏花灯需要取下,如图所示,每次取一盏,则不同的取法有( )
A.32种 B.70种 C.90种 D.280种
14.某市某中学为了弘扬我国二十四节气文化,特制作出“立春”“惊蛰”“清明”“立夏”“芒种”“小暑”六张知识展板并分别放置在六个并排的文化橱窗里,要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻,且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻,则不同的放置方式种数为( )
A.192 B.240 C.120 D.288
15.(多选题)甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排,下列说法正确的是( )
A.若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列,则不同的排法有12种
B.若甲、乙不相邻,则不同的排法有72种
C.若甲不能在最左端,且乙不能在最右端,则不同的排法共有72种
D.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,则不同的排法有24种
16.夏老师要进行年度体检,有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、血压测量五个项目,为了保证体检数据的准确性,抽血必须作为第一个项目完成,而夏老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起检查,则不同的检查方案一共有 种.
17.甲、乙、丙3人从1楼上了同一部电梯,已知3人都在2至6层的某一层出电梯,且在每一层最多只有两人同时出电梯,从同一层出电梯的两人不区分出电梯的顺序,则甲、乙、丙3人出电梯的不同方法总数是 .
18.某学校将要举行校园歌手大赛,现有3男3女参加,需要安排他们的出场顺序.(结果用数字作答)
(1)如果3名女生都不相邻,那么有多少种不同的出场顺序
(2)如果女生甲在女生乙的前面(可以不相邻),那么有多少种不同的出场顺序
(3)如果3名男生都相邻,且女生甲不在第一个出场,那么有多少种不同的出场顺序
答案与分层梯度式解析
§2 排列问题
2.1 排列与排列数
2.2 排列数公式
基础过关练
1.B =100×99×…×(100-11+1)=100×99×…×91×90,故选B.
2.D 因为=89,所以-1=89,即=90,
所以=90,即(n-5)(n-6)=90,
整理得n2-11n-60=0,解得n=15或n=-4(舍去).
3.D 3!+3×3!=(1+3)×3!=4!,故A中说法正确;
8!=1×2×3×…×8=40 320,故B中说法正确;
12!=1×2×3×…×11×12=11!×12,故C中说法正确;
1!++…+=1+2+3+…+n≠n!,故D中说法错误.故选D.
4.答案 14;2
解析 由题意可得,现在这条铁路线上有(n+m)个车站,
因此有=(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=m(2n+m-1)=58=2×29,
因为m,n均为正整数,m>1,所以2n+m-1也为正整数,且2n+m-1>m>1,
所以
5.解析 (1)由题意得3(x+2)(x+1)+12x(x-1)≤11x(x+1),化简得2x2-7x+3≤0,
即(2x-1)(x-3)≤0,所以≤x≤3.
因为x≥2,且x∈N+,所以原不等式的解集为{2,3}.
(2)易知所以x≥3,x∈N+,
由得(2x+1)·2x·(2x-1)·(2x-2)=140x(x-1)(x-2),化简得(4x2-35x+69)·(x-1)·x=0,解得x1=3,x2=(舍去),x3=1(舍去),x4=0(舍去).所以原方程的解为x=3.
6.B 解法一:分两步完成.第一步,从6人中选3人排前排有=120种不同排法;第二步,剩下的3人排后排有=6种不同排法.按照分步乘法计数原理,知有120×6=720种不同排法,故选B.
解法二:6名成员合影,每个人都可以站前排也可站后排,所以相当于6个人的全排列,即有=720种不同排法.故选B.
7.A 千位上的数字为1的四位数有=60个,千位、百位上的数字分别为2,0的四位数有=12个,千位、百位上的数字分别为2,1的四位数有=12个,
而60+12+12=84,所以第85个数是千位、百位上的数字分别为2,3的最小四位数,即2 301.故选A.
8.C 由题意知,一共有8个人需要排列.先确定贵州2名球员的顺序为,再确定其余6人的顺序为.由分步乘法计数原理可得,一共有种表演顺序.
故选C.
9.C 由题知甲、乙不相邻,所以可以先安排除甲、乙以外的4人,有种排法,然后插空安排甲、乙两人,有种排法,所以不同的传递方案共有=480(种).故选C.
10.C (间接法)这五个节目的全排列的排列数为,其中三个歌唱节目都相邻的排法数为,故满足条件的排法种数为=120-36=84,故选C.
11.C ①若甲与丙之间为乙,且三人相邻,共有=2种排法,将三人捆绑看成一个整体,与丁、戊两人全排列,共有=6种排法,则此时有2×6=12种排法;
②若甲与丙之间不是乙,先排甲与丙,再从丁、戊中选取1人,安排在甲与丙之间,有=4种排法,此时乙在甲的另一侧,将四人捆绑看成一个整体,将这个整体与剩下的1人全排列,有=2种排法,此时有4×2=8种排法.
综上,总共有12+8=20种排法,故选C.
12.B 根据题意,各单位名额数互不相同,则8个名额分配给3个单位的名额数可能情况有1,2,5和1,3,4,共2种.对于其中任一种名额分配方式,将其分配给3个单位的方法有种,所以每个单位至少一个名额且各单位名额数互不相同的分配方法种数为2=12.故选B.
13.B 因为每次取花灯时只能取一盏,所以每串花灯必须先取下面的,即每串花灯取下的顺序确定,取下的方法有=70(种).故选B.
归纳总结 定序问题可用缩小倍数的方法来解决,若有(m+n)个元素排成一列,其中m个元素之间的先后顺序确定不变,则共有种不同的排法.
14.A 由题意知,当只考虑“立春”和“惊蛰”时,将其捆绑在一起,利用捆绑法可得,有=240种不同的放置方式.
当“惊蛰”与“立春”和“清明”均相邻,即“惊蛰”在“立春”“清明”之间时,将三者捆绑在一起,有2=48种不同的放置方式.
所以最终满足题意的放置方式种数为240-48=192.
故选A.
15.BD 对于A,有=20种排法,故A错误;
对于B,先安排丙、丁、戊三人,有=6种排法,再将甲、乙两人插空,有=12种排法,故甲、乙不相邻的排法种数为6×12=72,故B正确;
对于C,若最左端排乙,则其余四人可进行全排列,有=24种排法;若最左端不排乙,则最左端只能从丙、丁、戊中选出1人,又乙不能在最右端,所以有=54种排法,则共有24+54=78种排法,故C错误;
对于D,将甲、乙捆绑,看成一个整体且固定顺序,再与其他三人站成一排,故有=24种排法,故D正确.故选BD.
16.答案 12
解析 将心电图、血压测量两项全排列,有=2种情况,再将腹部彩超和胸部CT两项排在其空位中,有=6种情况,最后将抽血放在第一位,有1种情况,
所以共有2×6×1=12种不同的检查方案.
17.答案 120
解析 分两种情况讨论:
①3人都在2至6层的某一层1人独自出电梯,共有=60(种);
②3人中有2人“捆”在一起(有3种“捆”法)在同一层出电梯,另1人在另外一层出电梯,即从5层中任选2层出电梯,共有3=60(种).
故甲、乙、丙3人出电梯的不同方法总数是60+60=120.
18.解析 (1)根据题意,分2步进行分析:
①先将3名男生排成一排,有种情况.
②男生排好后有4个空位,在4个空位中任选3个,安排3名女生,有种情况,
则有=144种不同的出场顺序.
(2)根据题意,将6人排成一排,有种情况,
其中女生甲在女生乙的前面,所以不用考虑两人的先后顺序,则有=360种不同的出场顺序.
(3)根据题意,分3步进行分析:
①将3名男生看成一个整体,考虑三人之间的顺序,有种情况;
②将除甲之外的2名女生和3名男生的整体全排列,有种情况,排好后有4个空位;
③女生甲不在第一个出场,则女生甲的安排方法有3种.
根据分步乘法计数原理,有3=108种不同的出场顺序.
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