§3 组合问题
3.1 组合
3.2 组合数及其性质
基础过关练
题组一 组合、组合数及其性质
1.以下5个命题,属于组合问题的有( )
①从1,2,3,…,9九个数字中任取三个,组成一个无重复数字的三位数;②从1,2,3,…,9九个数字中任取三个,然后把这三个数字相加得到一个和,这样的和的个数;③从a,b,c,d四名学生中选两名去完成同一份工作的选法;④5个人规定相互通话一次,通电话的次数;⑤5个人相互写一封信,所有信的数量.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.已知,则正整数x的值为 .
3.不等式的解集为 .
4.+…+= .(用组合数表示即可)
5.(1)求值:;
(2)已知,求.
题组二 组合的简单应用
6.如图,某类共享单车密码锁的密码是由4位数字组成,所有密码中,恰有三个重复数字的密码个数为( )
A.90 B.324 C.360 D.400
7.现有红色、黄色、蓝色的球各4个,每个球上都标有不同的编号.从中任取3个球,若这3个球的颜色不全相同,且至少有一个红球,则不同的取法有( )
A.160种 B.220种 C.256种 D.472种
8.8个点将半圆分成9段弧,以10个点(包括2个端点)为顶点的三角形中钝角三角形的个数为( )
A.55 B.112 C.156 D.120
9.(多选题)从7名男生和5名女生中任选4人参加夏令营,规定男、女生至少各有1人参加,则不同的选法种数为( )
A. B.
C. D.)
10.夏老师从家到学校,可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道,由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了,所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路,如图,假设夏老师家在M处,学校在N处,AB段正在修路要绕开,则夏老师从家到学校的最短路径有( )
A.23条 B.24条 C.25条 D.26条
11.杭州亚运会期间某餐厅为志愿者供应客饭,每位志愿者可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位志愿者有200种以上不同选择,则餐厅至少还需要准备 种不同的素菜.
12.有10本相同的书要送给5位同学,其中甲、乙两位同学每人至少2本,其余每人至少一本,则不同的分配方案有 种.(用数字作答)
题组三 排列与组合的综合应用
13.黄金分割最早见于古希腊和古埃及.黄金分割又称黄金律、中外比,即把一条线段分成长短不等的a,b两段,使得长线段a与原线段a+b的比等于短线段b与长线段a的比,即a∶(a+b)=b∶a,其比值约为0.618 033 9….小王酷爱数学,他选了其中的6,1,8,3,3,9这六个数字组成了手机开机密码,如果两个3不相邻,则小王可以设置的不同密码个数为( )
A.180 B.210 C.240 D.360
14.浙江大学、复旦大学、南京大学三所学校发布了2024年冬令营招生简章,现有甲、乙、丙、丁四位同学报名,每位同学只能选一所大学,每所大学至少有一位同学报名,且甲同学不报南京大学,则不同的报名方法共有( )
A.16种 B.20种 C.24种 D.28种
15.第33届夏季奥运会在法国巴黎举办,这届奥运会将新增电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等五个表演项目.现有A,B,C三个场地分别承担竞赛项目与表演项目比赛,其中电子竞技和冲浪两个项目仅能由A,B两个场地承办,且各自承办其中一项.五个表演项目分别由A,B,C三个场地承办,且每个场地至少承办其中一个项目,则不同的安排方法有( )
A.150种 B.300种
C.720种 D.1 008种
16.用数字1,2,3排成一个五位数,要求每个数字至少用一次,则不同的五位数有( )
A.180个 B.150个 C.120个 D.90个
17.某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁、戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教,每所学校至少安排一名,每名毕业生只去一所学校,则不同的安排方法种数是 .
18.第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人:“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址,“莲莲”代表世界遗产西湖,“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物,其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个,将这6个吉祥物排成前后两排,每排3个,且每排相邻两个吉祥物名称不同,则排法种数共有 .(用数字作答)
19.一条沿江公路上有18盏路灯,为节约用电,现打算关掉其中4盏路灯,为安全起见,要求公路的头尾两盏路灯不可关闭,关掉的相邻两个路灯之间至少有3盏亮着的路灯,则不同的方案总数共有 .
20.(2022陕西西北农林科技大学附中期末)3名男同志和3名女同志到4辆不同的公交车上服务.
(1)若每辆车上都要有人服务,但最多安排男、女各一名,有多少种不同的安排方法
(2)若男、女同志各服务两辆车,有多少种安排方法
答案与分层梯度式解析
§3 组合问题
3.1 组合
3.2 组合数及其性质
基础过关练
1.B ①取出三个数字后,改变这三个数字的顺序,会得到不同的三位数,所以此问题与顺序有关,是排列问题;②取出三个数字之后,无论怎样改变这三个数字的顺序,其和均不变,此问题只与取出的元素有关,与元素的顺序无关,是组合问题;③两名学生完成的是同一份工作,没有顺序,是组合问题;④甲与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电话,与顺序无关,是组合问题;⑤寄信人与收信人是有区别的,是排列问题.故属于组合问题的有3个.故选B.
2.答案 4或2
解析 由,可得2x-1=x+3或2x-1+x+3=8,解得x=4或x=2,经检验均符合题意,故正整数x的值为4或2.
3.答案 {5,6,7,8,9,10,11}
解析 由题意得x≥5,x∈N.
原不等式可化为,
即x2-11x-12<0,解得-1又x≥5,x∈N,所以x∈{5,6,7,8,9,10,11}.
4.答案
解析 根据组合数的性质得+…++…++…+=…=.
5.解析 (1)由题意得解得4≤n≤5,
∵n∈N+,∴n=4或n=5.
当n=4时,原式==5;
当n=5时,原式==16.
(2)由题意可知m的取值范围为{m|0≤m≤5,m∈N},
由已知得,
即10m=(7-m)(6-m),整理得m2-23m+42=0,
解得m=21(舍去)或m=2,
∴=28.
6.C 分两步进行分析:①从10个数字中任选一个,重复安排在密码四个位置中的三个位置,有=40种情况;②在剩下的9个数字中任选一个,安排在剩余的位置,有9种情况,则有40×9=360个恰有三个重复数字的密码.
7.A 若取出的球中有1个红球,则不同的取法有=112(种);
若取出的球中有2个红球,则不同的取法有=48(种).
故不同的取法有112+48=160(种).故选A.
8.B 在10个点中,任意3点不共线,所以从中任取3个点,可以组成=120个三角形,其中没有锐角三角形,有8个直角三角形,所以钝角三角形有120-8=112(个).故选B.
9.BC (1)分三类:3男1女,2男2女,1男3女,
∴男、女生至少各有1人参加的选法种数为.
(2)任选4人的方法种数为,其中全部为男生或全部为女生的方法种数为,所以男、女生至少各有1人参加的选法种数为.故选BC.
10.D 由M到N的最短路径需要向右走四段路,向上走三段路,所以不考虑修路的情况有条路径,由M到A的最短路径需要向右走两段路,向上走一段路,所以由M到A的最短路径有条,由B到N的最短路径需要向右走一段路,向上走两段路,所以由B到N的最短路径有条,
所以由M到N不经过AB的最短路径有=26(条).故选D.
11.答案 7
解析 设还需要准备n(n≥2,n∈N+)种不同的素菜,由题意得>200,解得n>或n<,
因为n≥2,n∈N+,所以n的最小值为7,
所以餐厅至少还需要准备7种不同的素菜.
12.答案 35
解析 解法一:5位同学每人分1本,因为甲、乙两位同学每人至少2本,所以剩余的5本至少分成两份,利用“隔板法”如下:
分成两份,给甲、乙,共=4种分法;
分成三份,给甲、乙和另一名学生,共=18种分法;
分成四份,给甲、乙和另两名学生,共=12种分法;
分成五份,五名学生再每人1本,共1种分法.
所以不同的分配方案有4+18+12+1=35(种).
解法二:先分给甲、乙一人一本书,再将余下的8本相同的书送给5位同学,每人至少一本,使用隔板法,8本书形成7个空(不算两端),在7个空中插入4块隔板,所以不同的分配方案有=35(种).
13.C 先把6,1,8,9进行排列,有 种情况,然后选两个空档插入3,有种情况,所以小王可以设置的不同密码个数为=240.
故选C.
14.C 可分为两类:
第1类:甲单独报一个学校,则不同的报名方法有=12(种);
第2类,甲和其中一位同学报一个学校,则不同的报名方法有=12(种).
由分类加法计数原理,可得共有12+12=24种不同的报名方法.故选C.
15.B 电子竞技和冲浪两个项目仅能由A,B两个场地承办,且各自承办其中一项,有=2种安排方法;
五个表演项目分别由A,B,C三个场地承办,且每个场地至少承办其中一个项目,有=150种安排方法.
故不同的安排方法有2×150=300(种).
故选B.
16.B 用数字1,2,3排成一个五位数,共有35=243个不同的数.
只用1或2或3排成一个五位数,共有3个不同的数.
用其中的两个数字排成一个五位数,先从数字1,2,3中选出两个,有=3种选法,
假如选了数字1,2排成一个五位数,可按数字1的个数分类:
若数字1只用了一次,则可排成=5个不同的数;
若数字1用了两次,则可排成=10个不同的数;
若数字1用了三次,则可排成=10个不同的数;
若数字1用了四次,则可排成=5个不同的数.
共有5+10+10+5=30个不同的数.
因此用其中的两个数字排成一个五位数,共有3×30=90个不同的数.
所以用数字1,2,3排成一个五位数,且每个数字至少用一次的不同的五位数有243-3-90=150(个).
故选B.
解题指导 根据题意,可采用间接法,先求得所有的五位数的个数,再求得用一个数字排成的五位数和用两个数字排成的五位数的个数,进而求得答案.
17.答案 240
解析 先将5名毕业生分成4组共有=10(种),再将4组毕业生安排到4所不同的学校有=24(种),根据分步乘法计数原理可知,不同的安排方法共有10×24=240(种).
易错警示 平均分组时应考虑重复计算的情况,比如四个人平均分成两组,即两人为一组的所有选法有=3(种),即A,B,C,D四个人中,两个人为一组的选法为(AB,CD),(AC,BD),(AD,BC),而非(AB,CD),(AC,BD),(AD,BC),(CD,AB),(BD,AC),(BC,AD),应剔除重复分组.本题中5名学生分成4组,共有=10种分法,其中前三组均为一人,是平均分组,故分组后还应除以.
18.答案 336
解析 由题意可分两种情形:
①前排含有两种不同名称的吉祥物,即从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种,其中一种取两个,另一种取一个,有=24种排法,后排有=2种排法,故有24×2=48种排法;
②前排含有三种不同名称的吉祥物,有=48种排法,后排有=6种排法,故有48×6=288种排法.
因此,共有48+288=336种排法.
19.答案 35
解析 先拿出15盏路灯,按如下顺序排好(表示灯亮;表示灯灭),
再将剩下的三盏灯放进去,
若三盏灯在一起,有=5种方法;
若将三盏灯分成两组,有=20种方法;
若三盏灯均不在一起,有=10种方法.
所以共有5+20+10=35种不同的方案.
20.解析 (1)先将3名男同志安排到车上,有种方法,在未安排男同志的那辆车上安排一名女同志,有种方法,剩余2名女同志有种安排方法.共有=432种安排方法.
(2)男同志分为2组,有种方法,女同志分为2组,有种方法,将4组安排到4辆车上有种方法.共有=216种安排方法.
1(共15张PPT)
§3 组合问题
知识点 1 组合与组合问题
知识 清单破
1.一般地,从n个不同元素中,任取m(m≤n,且m,n∈N+)个元素为一组,叫作从n个不同元素中取
出m个元素的一个组合.
2.我们把有关求组合的个数的问题叫作组合问题.
1.组合数的概念
从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的所有组合的个数,叫作从n个不同元
素中取出m个元素的组合数,记作 .
2.组合数公式
从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的组合数为 = =
= .
上述这个公式叫作组合数公式.
规定: =1.
知识点 2 组合数及其性质
3.组合数的性质
(1)性质1: = .
(2)性质2: = + .
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.从a1,a2,a3这三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是 . ( )
2.从1,3,5,7中任取两个数相乘可得 个积. ( )
3. = =2 023. ( )
4.从a,b,c,d中任取2个合成一组,其中a,b与b,a是同一个组合. ( )
5.组合和排列一样,都与“顺序”有关. ( )
√
√
√
提示
提示
从三个不同元素中任取两个元素的组合数为 .
排列要考虑元素之间的顺序,组合则与顺序无关.
1.分组问题的求解策略
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 分组与分配问题
常见形式 处理方法
非均匀不 编号分组 将n个不同元素分成m(m≤n)组,每组元素数目均不相同,且不考虑各组间的顺序,不管是否分尽,分法种数N= · · ·…·
均匀不编 号分组
非均匀编 号分组 将n个不同元素分成m组,各组元素数目均不相同,且考虑各组间的顺序,其分法种数为N·
均匀编号 分组 将n个不同元素分成m组,其中r组元素个数相等且考虑各组间的顺序,其分法种数为 ·
2.相同元素分配问题的处理策略
隔板法:如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,便可看作排成一行的小球的空隙中
插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒
子的一种方法,此方法称为隔板法.
隔板法专门用于解决相同元素的分配问题.将n个相同的元素分给m(m≤n)个不同的对
象,有 种方法.可理解为在(n-1)个空中插入(m-1)块隔板.
提示 不同元素的分配问题往往是先分组再分配.
典例1 把10个相同的小球全部放入编号分别为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的小球数
不小于盒子的编号数,则不同的方法共有 种.
解析 首先在编号为2,3的两个盒子中分别放入1,2个小球,这样还剩10-3=7个小球,则问题变
为求把7个相同的小球全部放入编号分别为1,2,3的三个盒子中,每个盒子至少放一个球的不
同方法的种数,由隔板法可知共有 =15种方法.
15
典例2 按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的方法
(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
(3)分成三份,每份2本;
(4)分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本.
解析 (1)(非均匀不编号分组)先从6本书中选择1本,有 种方法,再从剩余5本书中选择2本,
有 种方法,还剩3本书全选,有 种方法,所以共有 =60种方法.
(2)(非均匀编号分组)在(1)的基础上进行分配即可,所以共有 =360种方法.
(3)(均匀不编号分组)从6本书中选择2本书,有 种方法,再从剩余4本书中选择2本书,有 种
方法,还剩2本书全选,有 种方法,所以共有 种方法.
但是,这些方法中有重复.假如6本书分别为A、B、C、D、E、F,若三个步骤分别选出的是
AB,CD,EF,则根据顺序的不同,所有情况为(AB,CD,EF),(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),
(EF,AB,CD),(EF,CD,AB),但这只能算一种方法.
所以不同的方法共有 =15种.
(4)(均匀编号分组)在(3)的基础上进行分配,则分配方法共有 × =90种.
(5)(均匀不编号分组)从6本书中选择4本书的方法有 种,从剩余2本书中选择1本书的方法有
种,
因为在最后两本书的选择中发生了重复,所以分配方法共有 =15种.
(6)(均匀编号分组)在(5)的基础上进行分配即可,所以有 × =90种方法.
1.正确区分“有序”与“无序”
区分排列与组合的重要标志是“有序”和“无序”,无序的问题用组合的知识解答,有
序的问题用排列的知识解答.
2.辩证看待“元素”与“位置”
排列、组合问题中的元素与位置没有严格的界定标准,将哪些事件看成元素或位置,随解题
者的思维方式的变化而变化,要视具体情况而定.有时“元素选位置”解决问题更简捷,有时
“位置选元素”效果会更好.
讲解分析
疑难 2 排列、组合的综合应用问题
典例 如图,
一个正方形花圃被分成5部分.
(1)若给这5个部分种花,要求相邻两部分种植不同颜色的花,现有红、黄、蓝、绿4种颜色的
花可供选择,问有多少种不同的种植方法
(2)若在这5个部分放入7个不同的盆栽,要求每个部分都有盆栽,问有多少种不同的放法
解析 (1)先对A种植,有4种不同的种植方法;再对B种植,有3种不同的种植方法;然后对C种
植,需进行分类:
①若C与B的颜色相同,则D有2种不同的种植方法,E有2种不同的种植方法,共有4×3×1×2×2=4
8种不同的种植方法;
②若C与B的颜色不同,则C有2种不同的种植方法,D有1种不同的种植方法,E有2种不同的种
植方法,共有4×3×2×1×2=48种不同的种植方法.
综上,共有48+48=96种不同的种植方法.
(2)将7个盆栽分成5组,有2种分法:
①分成2、2、1、1、1,有 种分法;
②分成3、1、1、1、1,有 种分法.
将分好的5组全排列,对应5个部分,
则一共有 × =16 800种放法.
方法总结 解排列、组合问题要遵循两个原则:①按元素(或位置)的性质进行分类;②按事情
发生的过程进行分步.具体地说,解排列、组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊
元素(或位置),再考虑其他元素(或位置).
