§4 二项式定理
4.1 二项式定理的推导
基础过关练
题组一 二项式定理的理解
1.(a+b)6的展开式中共有( )
A.5项 B.6项 C.7项 D.8项
2.设A=37+×35+×33+×3,B=×36+×34+×32+1,则A-B的值为( )
A.128 B.129 C.47 D.0
3.若对 x∈R,(ax+b)5=(x+2)5-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1恒成立,其中a,b∈R,则a-b=( )
A.3 B.2 C.0 D.-1
4.用二项式定理展开= .
题组二 求二项展开式的特定项、项的系数及二项式系数
5.的展开式中,含x2项的系数是( )
A.-462 B.462 C.792 D.-792
6.若的展开式中含有非零常数项,则正整数n的可能取值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7.在的展开式中,系数是有理数的项共有( )
A.6项 B.5项 C.4项 D.3项
8.的展开式的第4项是 .
9.的展开式中x2y4的系数为 .
10.在下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线中,并对其求解.条件①:前三项的二项式系数之和为16;条件②:第三项与第四项的二项式系数相等;条件③:所有项的系数之和为1 024.
问题:在(+3x2)n的展开式中, .
(1)求n的值;
(2)求展开式中所有的有理项.
题组三 赋值法求系数和
11.(多选题)已知(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则下列说法正确的是( )
A.a0=1
B.a0+=0
C.a1+a2+a3+a4+a5=-1
D.a0+a2+a4=121
12.设(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|的值为( )
A.29 B.49 C.39 D.59
13.已知(2x+y)n的展开式中各项系数之和为243,则展开式中的第3项为 .
能力提升练
题组一 多项式展开式中的特定项及项的系数
1.(x-y)·(x+y)8的展开式中x3y6的系数为( )
A.28 B.-28
C.56 D.-56
2.的展开式中的常数项为( )
A.588 B.589
C.798 D.799
3.下列各式中,不是(a2+2a-b)4的展开式中的项的是( )
A.8a7 B.6a4b2
C.-32a3b D.-24a3b2
4.已知(ax-2)(x+1)4的展开式中x3的系数为-2,则实数a= .
题组二 赋值法求与系数有关的问题
5.已知的展开式中各项系数的和为2,则展开式中的常数项为( )
A.-80 B.-40
C.40 D.80
6.设(x2+1)·(4x-2)8=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a10·(2x-1)10,则a1+a2+…+a10= .
7.若(x+1+m)2 023=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+
a2 023(x+1)2 023,且(a0+a2+…+a2 022)2-(a1+a3+…+a2 023)2=32 023,则实数m的值为 .
8.的展开式中,不含x的各项系数之和为 .
9.已知,且(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn.
(1)求n的值;
(2)求+…+的值.
题组三 二项式定理的应用
10.1.957的计算结果精确到个位的近似值为( )
A.106 B.107 C.108 D.109
设n为奇数,那么11n+
·11n-1+·11n-2+…+·11-1除以13的余数是( )
A.-3 B.2 C.10 D.11
12.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设a,b,m(m>0)为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡
b(mod m).若a=×3+×32+…+×320,a≡b(mod 5),则b的值可以是( )
A.2 004 B.2 005 C.2 025 D.2 026
答案与分层梯度式解析
§4 二项式定理
4.1 二项式定理的推导
基础过关练
1.C (a+b)n的展开式的项数为n+1,题中n=6,所以共有6+1=7项.故选C.
2.A A-B=×30=(3-1)7=27=128.
3.C 由(x+2)5-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1=(x+2-1)5=(x+1)5,得(ax+b)5=(x+1)5,所以a=b=1,所以a-b=0.
故选C.
4.答案 1+
解析 解法一:.
解法二:(x+1)4
=x0)
=1+.
D 的二项式通项为Tk+1=
x12-2k,k=0,1,2,…,12,令12-2k=2,解得k=5,
所以含x2项的系数是(-1)5=-792.故选D.
C 的二项式通项为Tr+1=(3x2)n-r·
·3n-r··x2n-5r,
因为的展开式中含有非零常数项,
所以存在n,r∈N+,使得2n=5r,
所以n=,结合选项可知,当r=2时,n=5.
故选C.
C ·()20-r · =
(-1)r·(0≤r≤20,r∈N).
令k=,只有当r=2,8,14,20时,k为整数.
故系数是有理数的项共有4项.故选C.
易错警示 解决二项展开式中的特定项问题时,要注意问题的形式,分清是项、项的系数,还是二项式系数,如本题的问题是“系数是有理数的项”,而不是“有理项”,系数是有理数的项指系数的指数为整数的项,有理项是该项字母的指数为整数的项.
8.答案 -20x2
解析 的二项式通项为Tr+1=,r=0,1,…,6,
则第4项是T4=(-1)3×=-20x2.
9.答案 60
解析 的二项式通项为Tr+1=x6-ryr.
令r=4,得T5=60x2y4.
故x2y4的系数为60.
10.解析 (1)选条件①:前三项的二项式系数之和为=16,即1+n+=16,
化简得n2+n-30=0,解得n=5或n=-6(舍负),
故n=5.
选条件②:因为第三项与第四项的二项式系数相等,所以,即,n≥3,n∈N,化简得1=,解得n=5.
选条件③:令x=1,有4n=1 024,解得n=5.
(2)(+3x2)5的二项式通项为Tr+1=)5-r·(3x2)r=3r,
所以当r=2,5时为有理项,对应的项分别为T3=32x10=243x10,
故展开式中的有理项为90x6与243x10.
11.ABD 对于A,取x=0,则a0=1,故A正确;
对于B,取x=,则a0+=0,故B正确;
对于C,取x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1,①
则a1+a2+a3+a4+a5=-1-a0=-2,故C错误;
对于D,取x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243,②
①+②,得2(a0+a2+a4)=242,
所以a0+a2+a4=121,故D正确.故选ABD.
12.B 易得(1-3x)9的二项式通项为Tr+1=(-3)rxr,∴a0,a2,a4,a6,a8为正数,a1,a3,a5,a7,a9为负数,
∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9,
令x=-1,得(1+3)9=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=49,
∴|a0|+|a1|+…+|a9|=49.
13.答案 80x3y2
解析 令x=y=1,得(2+1)n=243,解得n=5,即(2x+y)n=(2x+y)5,其二项式通项为Tk+1=x5-kyk,则展开式中的第3项为T3=23x3y2=80x3y2.
能力提升练
1.B 由二项式定理得(x-y)(x+y)8=(x-y)(x7y1+…+x0y8)
=x(x7y1+…+x7y1+…+x0y8)
=(x8y1+…+x7y2+…+x0y9),
因此x3y6的系数为=-28.故选B.
2.B 解法一:的二项式通项为Tr+1=,r=0,1,…,8,
的二项式通项为Tk+1=)8-r-k·,0≤k≤r,
令8-r-3k=0,可得r=8,k=0或r=5,k=1或r=2,k=2,所以展开式中的常数项为=589.
故选B.
解法二:因为的展开式中的项可以看成8个含有三个单项式中各取一个相乘而得,
若得到常数项,则有以下情况:①8个1;②2个,1个,5个1;③4个,2个,2个1.
所以展开式中的常数项为×12=589.
故选B.
3.D (a2+2a-b)4表示4个因式a2+2a-b的乘积,在这4个因式中,有一个因式选2a,其余的3个因式选a2,所得的项为×(a2)3=8a7,
所以8a7是(a2+2a-b)4的展开式中的项;
在这4个因式中,有2个因式选-b,其余的2个因式选a2,
所得的项为×(a2)2=6a4b2,
所以6a4b2是(a2+2a-b)4的展开式中的项;
在这4个因式中,有1个因式选-b,剩下的3个因式选2a,
所得的项为(2a)3=-32a3b,
所以-32a3b是(a2+2a-b)4的展开式中的项;
在这4个因式中,有2个因式选-b,其余的2个因式中有一个因式选a2,剩下的一个因式选2a,
所得的项为×(2a)=24a3b2,
所以-24a3b2不是(a2+2a-b)4的展开式中的项.
故选D.
4.答案 1
解析 (ax-2)(x+1)4=ax(x+1)4-2(x+1)4,
因为(x+1)4中含x2的项为x2,含x3的项为x3,
所以(ax-2)(x+1)4中含x3的项为axx3,
故a=-2,解得a=1.
5.D 令x=1,得展开式中各项系数的和为1+a,
∴1+a=2,∴a=1,
∴
=,
的二项式通项为Tr+1=(-1)r25-rx5-2r,
令5-2r=1,得r=2;
令5-2r=0,无整数解,
所以展开式中的常数项为8=80,
故选D.
6.答案 512
解析 ∵(x2+1)(4x-2)8=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a10(2x-1)10,
∴令x=1,得(1+1)×(4×1-2)8=a0+a1+a2+…+a10=29,令x=,得=a0=0,
∴a1+a2+…+a10=29-0=512.
7.答案 2或-2
解析 在(x+1+m)2 023=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a2 023(x+1)2 023中,
令x=0,得(1+m)2 023=a0+a1+a2+…+a2 023,
令x=-2,得(-1+m)2 023=a0-a1+a2-a3+…-a2 023,
所以(a0+a2+…+a2 022)2-(a1+a3+…+a2 023)2
=(a0-a1+a2-a3+…-a2 023)(a0+a1+a2+a3+…+a2 023)
=(-1+m)2 023(1+m)2 023=(m2-1)2 023=32 023,
所以m2-1=3,解得m=±2.
8.答案 256
解析 的二项式通项为Tr+1=·(-4y+2)r,易知r=8时的项不含x,此时T8+1=·
(-4y+2)8=(-4y+2)8,令y=1,可得各项系数之和为256.
9.解析 (1)易知n≥7,n∈N.∵,
∴n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)
=,
整理可得=1,
即n2-11n-60=0,解得n=15或n=-4(舍去).
故n的值为15.
(2)由(1)得n=15,
∴(1-2x)n=(1-2x)15=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a15x15,
令x=0,可得a0=1,
令x=,可得+…+=0,
∴+…+=-1.
10.B 1.957=(2-0.05)7=27-×25×0.052-…-0.057≈27-×25×0.052=107.28≈107.故选B.
11.C 11n+·11n-1+·11n-2+…+·11-1
=·11n+·11n-1+·11n-2+…+·11+-2
=(11+1)n-2=12n-2=(13-1)n-2=·13n-·13n-1+…+(-1)n-1··13+
(-1)n·-2.
因为n为奇数,所以上式=·13n-·13n-1+…+(-1)n-1··13-3=[·13n-·13n-1+…+(-1)n-1··13-13]+10.
所以11n+·11n-1+·11n-2+…+·11-1除以13的余数是10.故选C.
12.D a≡b(mod 5)的意思是a和b被5除得的余数相同,已知a=×32+…+×320,
则由二项式定理得a=(1+3)20=420=(5-1)20=×519+…-,
因为×519+…-×5能被5整除,
所以a除以5余=1,所以b除以5余1.
结合选项知2 026除以5余1.故选D.
1(共13张PPT)
§４ 二项式定理
知识 清单破
4.1 二项式定理的推导
知识点 二项式定理
概念 公式(a+b)n= an+ an-1b+…+ an-kbk+…+
bn(n∈N+,k=0,1,2,…,n)称为二项式定理
二项展开式 an+ b+…+ an-kbk+…+ bn
二项式系数 (k=0,1,2,…,n)
二项式通项 Tk+1= an-kbk
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.(a+b)n的二项展开式中共有n项. ( )
2.在二项式定理中,交换a,b的顺序对各项没有影响. ( )
3. bk是(a+b)n的展开式中的第k项.( )
4.(a-b)n与(a+b)n的二项展开式的各二项式系数对应相同. ( )
5.(x+2)n的展开式中的第3项的系数是 . ( )
6. 的展开式中的常数项为15.( )
√
√
提示
提示
(x+2)n的展开式中的第3项的二项式系数是 ,系数是4 .
的二项式通项为Tk+1= (x2)6-k =(-1)k x12-3k(k=0,1,…,6).令12-3k=0,得k=4,故
常数项为(-1)4 =15.
1.对于常数项,其隐含的条件是字母的指数为0(即0次项).
2.对于有理项,一般是先写出二项式通项,然后令其所有的字母的指数都等于整数.解这类问
题必须合并二项式通项中同一字母的指数,合并后,根据具体要求,令其为整数,再根据数的整
除性来求解.
3.对于整式项,其二项式通项中同一字母的指数合并后应是非负整数,求解方式与求有理项一
致.
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 求二项展开式的特定项的常用方法
典例 已知在 (n∈N+)的展开式中,第6项为常数项.
(1)求n的值;
(2)求展开式中所有的有理项(只需说明第几项是有理项).
解析 (1) 的二项式通项为Tk+1= (-3)k =(-3)k (k=0,1,…,n).
∵第6项为常数项,
∴当k=5时,有 = =0,即n=10.
(2)根据二项式通项Tk+1=(-3)k 及题意,得 令 =r(r∈Z),则10-2k=3r,即k=
5- r.
∵k∈N且0≤k≤10,
∴r可取2,0,-2,即k可取2,5,8.
故展开式中的第3项、第6项及第9项为有理项.
1.求两个二项式乘积的展开式中特定项的一般步骤
(1)分别求每个展开式的二项式通项;
(2)找到构成展开式中特定项的组成部分;
(3)利用多项式乘法分别相乘即可.
2.求三项展开式中特定项的方法
(1)因式分解法:先通过因式分解将三项式变成两个二项式,然后用二项式定理分别展开.
(2)逐层展开法:先将三项式分成两组,用二项式定理展开,再把其中含两项的一组展开.
(3)利用组合知识:把三项式(a+b+c)n看成n个(a+b+c)的积,利用组合知识分析项的构成,注意最
后把各个同类项合并.
讲解分析
疑难 2 两个二项式乘积、三项展开式问题
典例 (1)在 (1+x)6的展开式中,含x2的项的系数为 ( )
A.15 B.20 C.30 D.35
(2)(x2+3x+2)5的展开式中x2的系数为 .
C
800
解析 (1)(1+x)6的展开式的二项式通项为Tk+1= xk,k=0,1,2,…,6.
因为 (1+x)6=(1+x)6+ (1+x)6,
所以展开式中含x2的项为1× x2+ × x4=30x2,所以展开式中含x2的项的系数为30.
(2)解法一:(x2+3x+2)5=[(1+x)(2+x)]5=(1+x)5(2+x)5,
(1+x)5的展开式的二项式通项为Tr+1= xr,
(2+x)5的展开式的二项式通项为Tk+1= 25-kxk,
所以 的展开式的二项式通项为Tr+1,k+1= 25-kxr+k,其中0≤r≤5,0≤k≤5,且r,k∈N,
令r+k=2,可得 或 或
因此, 的展开式中x2的系数为 ×23+ ×24+ ×25=800.
解法二: = ,且它的展开式的二项式通项为Tk+1= (x2+3x)5-k·2k(0≤k≤5,
k∈N), 的展开式的二项式通项为Tr+1= (x2)5-k-r(3x)r= 3rx10-2k-r(0≤k≤5,且0≤r≤5-
k,r,k∈N),
所以Tk+1= 2k3rx10-2k-r(0≤k≤5,且0≤r≤5-k,k,r∈N),
令10-2k-r=2,可得k=3,r=2或k=4,r=0.
当k=3,r=2时,x2的系数为 ×23×32=720;
当k=4,r=0时,x2的系数为 ×24×30=80.
综上, 的展开式中x2的系数为720+80=800.
解法三:(x2+3x+2)5表示5个因式(x2+3x+2)的乘积,要得到含x2的项,分以下两种情况:①从1个因
式中取x2,其余4个因式中都取2,②从2个因式中取3x,其余3个因式中都取2.故x2的系数为 ×24
+ ×32×23=80+720=800.
1.解决系数和问题的思维过程
讲解分析
疑难 3 赋值法求系数和问题
2.展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子,求其展开式中各项系数之和常用赋值
法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R,n∈N+)的式子,求其展开式中各项系数之和,只需令
x=y=1即可.
(2)一般地,令f(x)=(ax+b)n,即f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则(ax+b)n的展开式中各项系数之和为
f(1);奇数项系数之和为a0+a2+a4+…= ;偶数项系数之和为a1+a3+a5+…= .
典例 已知(3x-1)7=a0x7+a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7.
(1)求a4的值;
(2)求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|的值;
(3)求a1+a3+a5+a7的值.
解析 (1)(3x-1)7的二项式通项为Tr+1= ·(3x)7-r·(-1)r(r=0,1,…,7),
令7-r=3,得r=4,所以a4= ×33×(-1)4=945.
(2)设(3x+1)7=b0x7+b1x6+b2x5+b3x4+b4x3+b5x2+b6x+b7,则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|=b0+b1+b2+
b3+b4+b5+b6+b7,
令x=1,可得b0+b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7=(3×1+1)7=16 384,即|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|=
16 384.
(3)令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=27,
令x=-1,则-a0+a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=(-4)7,
则2(a1+a3+a5+a7)=27-47=27-214,
所以a1+a3+a5+a7=26-213=-8 128.
方法总结 赋值法是解决展开式中系数或展开式中系数的和、差问题的常用方法.要根据所
求,灵活地对字母赋值,通常赋的值为0,-1或1.
