(共9张PPT)
上图中的表叫作二项式系数表,历史上也称为杨辉三角.它有如下规律:
设表中任意一个不为“1”的数为 ,那么它“肩上”的两个数分别为 及 ,由组
合数的性质2得到: = + .
知识点 1 二项式系数表(杨辉三角)
知识 清单破
4.2 二项式系数的性质
1.对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 = .
2.增减性与最大值
当k< 时, 随k的增大而增大;当k> 时, 随k的增大而减小.当n是偶数时,中间的一项
为最大值;当n是奇数时,中间的两项 与 相等,且同时为最大值.
3.各二项式系数的和
(a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n,即 + + +…+ =2n.
(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即 + + +…
= + + +….
知识点 2 二项式系数的性质
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.二项展开式的各二项式系数的和为 + +…+ . ( )
2.二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同. ( )
3.若(a+b)n的展开式的第4项的二项式系数与第6项的二项式系数相等,则第5项一定是二项式
系数最大项. ( )
4.(x+2)5与(x-2)5的展开式的各二项式系数和一定不相等.( )
√
提示
提示
提示
二项展开式的各二项式系数的和为 + + +…+ =2n.
由题意可知, = ,所以n=3+5=8,(a+b)8的展开式的中间项为第5项,所以第5项为二项式
系数最大项.
(x+2)5与(x-2)5的展开式的各二项式系数和均为25.
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
(1)观察:对数据要横看、竖看、隔行看、连续看,多角度观察.
(2)规律:通过观察找出每一行的数据之间、行与行的数据之间的规律.
(3)表达:将发现的规律用数学式子表达.
(4)结论:用数学表达式写出结论.
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 杨辉三角问题
典例 如图,在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中,第10行中最大的数与第二大的数的比
值为 (用最简分数表示).
解析 观察题图知,第10行从左至右依次为 , , ,…, ,由二项式系数的性质可得 最
大,第二大的数为 = ,所以第10行中最大的数与第二大的数的比值为 = = .
1.二项式系数的有关性质的形成过程体现了观察—猜想—证明—归纳的数学方法,并且在归
纳证明的过程中应用了函数思想、方程思想等数学思想,大致对应如下:
讲解分析
疑难 2 二项式系数的性质及其应用
2.求展开式中二项式系数最大的项,可根据二项式系数的性质:当n为奇数时,中间两项的二项
式系数最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
3.求二项展开式中系数的最值问题有两种思路:思路一,二项展开式中的系数是关于正整数n
的式子,可以看成关于n的函数,利用判断函数单调性的方法判断系数的增减性,从而求出系数
的最值;思路二,在系数均为正值的前提下,求系数的最大值只需比较相邻两个系数的大小,根
据其展开式的二项式通项正确列出不等式(组)即可求解.
4.根据二项式系数的性质求参数的关键是正确列出与参数有关的关系式,然后解此关系式即
可.必要时,需检验所求参数是否符合题目要求.
典例 在(3x-2y)20的展开式中,求:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数绝对值最大的项;
(3)系数最大的项.
解析 (1)二项式系数最大的项是第11项,且T11= 310(-2)10x10y10= 610x10y10.
(2)设系数绝对值最大的项是第(r+1)(0≤r≤20,r∈N)项,
于是
化简得 解得 ≤r≤ ,
又0≤r≤20,r∈N,所以r=8,
即T9= 31228x12y8是系数绝对值最大的项.
(3)解法一:由于系数为正的项为y的偶次方项,因此可设第2k-1(1≤k≤11,k∈N+)项的系数最
大,于是
所以
解得k=5,则2k-1=9,所以第9项系数最大,且T9= 31228x12y8.
解法二:由(2)知系数绝对值最大的项的系数为正,故此项的系数也最大,故系数最大的项为T9
= 31228x12y8.4.2 二项式系数的性质
基础过关练
题组一 杨辉三角
1.如图所示的表是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒,若a,b依次是某行的前两个数,则当a=7时,b= ( )
A.20 B.21 C.22 D.23
2.(多选题)如图所示,在“杨辉三角”中,下列命题正确的是( )
A.由“在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和”猜想:
B.由“第n行所有数之和为2n”猜想:+…+=2n
C.第20行中,第10个数最大
D.第15行中从左到右第7个数与第8个数的比为7∶9
3.阅读材料,完成相应任务:“贾宪三角”又称“杨辉三角”,在欧洲则称为“帕斯卡三角”(如下表),它揭示了(a+b)n(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的规律.
根据上述规律,完成下列问题:
(1)直接写出:(a+b)5= ;
(2)(a+1)8的展开式中a项的系数是 .
题组二 二项式系数的性质
4.一串装饰彩灯由灯泡串联而成,每串有20个灯泡,只要有一个灯泡坏了,整串彩灯就不亮,则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为( )
A.20 B.219 C.220 D.220-1
5.在(2-3x)15的展开式中,二项式系数的最大值为 ( )
A. B. C.- D.-
6.在(a-b)20的展开式中,二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( )
A.第15项 B.第16项
C.第17项 D.第18项
7.(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展开式中x2的系数是( )
A.60 B.80 C.84 D.120
8.在的展开式中,所有的二项式系数之和为64,则各项的系数的绝对值之和为 .
9.给出下列条件:①展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比为243∶32;②展开式中的前三项的二项式系数之和为16.从这两个条件中任选一个补充在下面问题中的横线上,并完成解答.
问题:已知, .
(1)求展开式中的二项式系数最大的项;
(2)求展开式中的系数最大的项.
能力提升练
题组一 二项式系数与杨辉三角
1.(多选题)下列各式正确的是( )
A.1×2+2×3+3×4+…+99×100=2
B.+…+201=100×2100
C.+…+50=25×2100
D.+…+
2.(多选题)我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角,如图所示,这是数学史上的一个伟大成就.该图中的表蕴含着许多的数学规律,下列结论正确的是( )
A.+…+
B.111=11,112=121,……,115=15 101 051
C.从左往右逐行数,第2 024项在第63行第8个
D.第5行到第10行的所有数字之和为2 024
题组二 二项式系数的性质
3.(多选题)对于(m为常数,且m≠0),下列说法正确的是( )
A.展开式有常数项
B.展开式的第6项的二项式系数最大
C.若m=2,则展开式的各二项式系数和为310
D.≥1在x∈[1,3]上恒成立,则m≥0
4.杨辉三角在我国最早由贾宪在《释锁算术》中提出,后来南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》中进行了详细说明.杨辉三角中的三角形数表,是自然界和谐统一的体现.杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列,其中蕴含着二项式系数的性质,例如递推性质.在的展开式中,第三项和第四项的二项式系数之和为 ,常数项为 .
5.已知n为满足S=a++…+(a≥3)能被9整除的正整数a的最小值,则在的展开式中,二项式系数最大的项为第 项.
6.已知(+x2)2n(n∈N+)的展开式的各二项式系数之和比(3x-1)n+1的展开式的各偶数项的二项式系数之和大992,求的展开式中:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项.
答案与分层梯度式解析
4.2 二项式系数的性质
基础过关练
1.C 观察题图可知,从第三行开始,每一行除开始和末尾的两个数外,中间的数分别是其两肩上相邻两个数的和,当a=7时,b的两肩上的两个数分别为6,16,所以b=6+16=22.
2.ABD 易知A,B正确;对于C,第20行的数是(i=0,1,2,…,20),最大的数是,即是第11个数,故C错误;
对于D,易知第n行从左到右第k个数是,则第15行中从左到右第7个数与第8个数分别是,则,故D正确.
故选ABD.
3.答案 (1)a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 (2)8
解析 (1)由题图可得(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5.
(2)由杨辉三角的性质可得(a+1)8的展开式中a项的系数为=8.
4.D 因为只要有一个灯泡坏了,整串彩灯就不亮,所以因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为+…+=220-1,故选D.
5.B (2-3x)15的展开式中共有16项,中间的两项为第8项和第9项,这两项的二项式系数相等且最大,为,故选B.
6.B 第6项的二项式系数为,因为,所以第6项与第16项的二项式系数相同,故选B.
7.D (1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展开式中x2的系数为+…++…+=120.故选D.
8.答案 729
解析 由题意得2n=64,∴n=6,
设的展开式中各项的系数为a0,a1,a2,…,a6,则各项的系数的绝对值之和为|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|,即为的展开式中各项的系数之和,
令x=1,得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=(1+2)6=36,
故各项的系数的绝对值之和为36=729.
9.解析 (1)选条件①:令x=1,得所有项的系数之和为3n,因为二项式系数之和为2n,所以3n∶2n=243∶32,解得n=5.
选条件②:由题意得=16,化简得n2+n-30=0,所以n=5,
故展开式中的二项式系数最大的项为第3项和第4项,
的二项式通项为Tr+1=x10-3r,
则T3=25-2x10-9=40x.
(2)由(1)知Tr+1=25-rx10-3r,
由得1≤r≤2且r∈N+,
所以r=1或2,所以系数最大的项为第2项和第3项,所以T2=24x10-6=80x4.
能力提升练
1.ACD 对于A,根据组合数的性质,得左边=+…++…+,故A正确;
对于B,设S=+…+201,
则S=201+…+1·,
两式相加得2S=202(+…+),
所以S=101×2100,故B错误;
对于C,由于m,
所以+…+50+…+
100+…++…+)=50×299=25×2100,故C正确;
对于D,因为(1+x)100=(1+x)90(1+x)10,
所以展开式中含x20项的系数为+…+,故D正确.
故选ACD.
2.AC 对于A,已知(m,n∈N+,m则+…++…+
+…+=…=,故A正确;
对 于B,115=(1+10)5=15+×104+105
=1+50+1 000+10 000+50 000+100 000=161 051,故B错误;
对于C,第n(n∈N)行共有(n+1)项,
从左往右逐行数,第n行最后一项对应的项数为1+2+3+…+n+(n+1)=,
因为=2 016,且2 024=2 016+8,
所以从左往右逐行数,第2 024项在第63行第8个,故C正确;
对于D,第n(n∈N+)行所有项之和为+…+=2n,
所以第5行到第10行的所有数字之和为25+26+…+210=32+64+…+
1 024=2 016,故D错误.
故选AC.
AB 对于A,的二项式通项为Tr+1=
x10-r·x10-2r,
令10-2r=0,可得r=5,因此展开式的第6项为常数项,故A正确;
对于B,由的展开式,结合二项式系数的性质,可得展开式的第6项的二项式系数最大,故B正确;
对于C,当m=2时,展开式的各二项式系数和为210,故C错误;
对于D,由≥1在x∈[1,3]上恒成立,可得x+≥1或x+≤-1在x∈[1,3]上恒成立,
即m≥x-x2或m≤-x-x2在x∈[1,3]上恒成立,
令g(x)=x-x2,则g(x)在[1,3]上单调递减,所以g(x)max=g(1)=0,
令h(x)=-x-x2,则h(x)在[1,3]上单调递减,所以h(x)min=h(3)=-12,
所以m≥0或m≤-12,故D错误.
故选AB.
4.答案 35;60
解析 在的展开式中,第三项的二项式系数为,第四项的二项式系数为,所以第三项和第四项的二项式系数之和为=35.
的二项式通项为Tr+1=,
r=0,1,…,6,
令3-r=0,得r=2,
所以展开式中的常数项为(-2)2x0=4×15=60.
5.答案 6和7
解析 S=a++…++…+97+…+)+a-2,
∵a≥3,∴使S能被9整除的正整数a的最小值满足amin-2=9,∴amin=11,
∴n=11,
∴,其展开式的二项式系数最大的项为第6项、第7项.
6.解析 (+x2)2n的展开式的各二项式系数之和为22n,
(3x-1)n+1的展开式的各偶数项的二项式系数之和为2n+1-1=2n.
由题意得22n-2n=992,解得n=5,
所以.
(1)的展开式中二项式系数最大的项为第51项,即.
(2)(2x)100-r··2100-r·
(-1)r·x100-2r,0≤r≤100,r∈N,其系数的绝对值为·2100-r,设系数的绝对值最大的项是第(k+1)项,
则
解得≤k≤,
∵k≤100,k∈N,∴k=33,
∴系数的绝对值最大的项为第34项,
即T34=·(2x)67·267x34.
1
