(共12张PPT)
1.定义
在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋
转到和直线l首次重合时所成的角,称为直线l的倾斜角.通常倾斜角用α表示.(直线的倾斜角是
反映直线的倾斜程度的量,每一条直线都有倾斜角)
2.范围
当直线l和x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.因此,直线的倾斜角α的取值范围为[0,π).
§１ 直线与直线的方程
知识点 1 直线的倾斜角
知识 清单破
1.1 一次函数的图象与直线的方程
1. 2 直线的倾斜角、斜率及其关系
经过不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线l的斜率k= (x1≠x2).
(1)斜率是一个比值,它与P1,P2两点在直线上的位置无关,而与两点横、纵坐标之差的顺序有
关(即x2-x1,y2-y1中x2与y2对应,x1与y1对应).
(2)运用斜率的两点式的前提条件是“x1≠x2”,也就是直线不与x轴垂直,而当直线与x轴垂直
时,直线的倾斜角为90°,斜率不存在.
知识点 2 斜率的两点式
由正切函数的概念可知,倾斜角不是 的直线,它的斜率k和它的倾斜角α满足k=tan α
.
当α∈ 时,斜率k≥0,且k随倾斜角α的增大而增大;
当α∈ 时,斜率k<0,且k随倾斜角α的增大而增大;
当α= 时,直线l与x轴垂直,此时直线l的斜率不存在.
知识点 3 直线的斜率与倾斜角的关系
若k是直线l的斜率,则v=(1,k)是它的一个方向向量;若直线l的一个方向向量的坐标为(x,y),其
中x≠0,则它的斜率k= .
知识点 4 直线的斜率与方向向量的关系
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.当k<0时,直线的倾斜角为钝角. ( )
2.过任意两点的直线的斜率都能用斜率的两点式求解. ( )
3.倾斜角为0的直线只有一条. ( )
4.若直线的一个方向向量为v=(2,4),则此直线的斜率为2. ( )
5.若两直线的斜率相等,则它们的倾斜角也一定相等. ( )
6.直线的倾斜角构成的集合与直线构成的集合建立了一一对应的关系. ( )
当过两点的直线垂直于x轴时,不能用斜率的两点式求解.
√
提示
提示
所有与x轴平行或重合的直线的倾斜角均为0.
√
√
直线的倾斜角与斜率的关系
(1)当直线的倾斜角α满足0°≤α<90°时,斜率非负,倾斜角越大,斜率越大;
(2)当直线的倾斜角α满足90°<α<180°时,斜率为负,倾斜角越大,斜率越大;
(3)k=tan α 的图象如图所示.
由斜率k的范围截取函数图象,进而可得倾斜角α的范围;反过来,由倾斜角α的范围截取函
数图象,进而可得斜率k的范围.
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 倾斜角与斜率的关系及应用
典例 已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的倾斜角α的取值范围;
(2)若直线l的斜率存在,求直线l的斜率k的取值范围.
思路点拨 作出图形并观察,可以发现直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间(包括
PB与PA的倾斜角).
解析 如图,由题意可知kPA= =-1,kPB= =1,所以直线PA的倾斜角为 ,PB的倾斜角为
.
(1)由图可知,直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间(包括PB与PA的倾斜角),∵PB的
倾斜角是 ,PA的倾斜角是 ,
∴直线l的倾斜角α的取值范围是 ≤α≤ .
(2)根据倾斜角与斜率的关系知,直线l的斜率k的取值范围是k≤-1或k≥1.
易错警示 本题易错误地认为-1≤k≤1,结合图形考虑,l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的
倾斜角之间(包括PB与PA的倾斜角),即 ≤α≤ ,利用k=tan α(0≤α<π)的图象(如图所示)得
到k的取值范围是k≤-1或k≥1.
1.若点A,B,C都在某条斜率存在的直线上,则任意两点的坐标都可以确定这条直线的斜率,即
kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC);反之,若kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC),则直线AB与AC(或AB与BC或AC
与BC)的倾斜角相同,又过同一点A(或B或C),所以点A,B,C在同一条直线上.
2.形如 的范围(最值)问题,可以利用 的几何意义(过定点(a,b)与动点(x,y)的直线的斜
率),借助图形,将求范围(最值)问题转化为求斜率的范围(最值)问题,从而简化运算过程.
疑难 2 直线斜率的应用
讲解分析
典例 已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),试求 的最大值和最小值.
思路点拨 的几何意义是过点(-2,-3)和曲线y=x2-2x+2(-1≤x≤1)上任意一点(x,y)的直
线的斜率,结合图形求出斜率的最大值和最小值即可.
解析 的几何意义是过点(-2,-3)和曲线y=x2-2x+2(-1≤x≤1)上任意一点(x,y)的直线的斜
率.
对于y=x2-2x+2,当x=-1时,y=5;当x=1时,y=1.
设点(-1,5)为B,点(1,1)为A,点(-2,-3)为P,如图所示.
由图可知,当直线经过点P(-2,-3)和B(-1,5)时,斜率最大;当直线经过点P(-2,-3)和A(1,1)时,斜率
最小.
又kPA= = ,kPB= =8,
所以 的最大值为8,最小值为 .第一章 直线与圆
§1 直线与直线的方程
1.1 一次函数的图象与直线的方程
1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系
基础过关练
题组一 直线的倾斜角
1.下列说法中,正确的是( )
A.任意一条直线都有唯一的倾斜角
B.一条直线的倾斜角可以为-
C.倾斜角为0的直线只有一条,即x轴
D.若直线的倾斜角为α,则sin α∈(0,1)
2.已知直线l1的倾斜角为110°,若直线l2与l1垂直,则l2的倾斜角为( )
A.10° B.20° C.70° D.200°
3.(多选题)设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角可能为( )
A.α+45° B.α-135°
C.135°-α D.α-45°
4.已知一束光线射到x轴上并经x轴反射.若入射光线所在直线的倾斜角α1=60°,则反射光线所在直线的倾斜角为 .
题组二 斜率的两点式
5.已知点A(1,-3),B(-1,3),则直线AB的斜率是( )
A. C.3 D.-3
6.(多选题)已知点A的坐标为(3,4),在坐标轴上有一点B,若kAB=4,则点B的坐标可以为( )
A.(0,-4) B.(0,-8)
C.(2,0) D.(-2,0)
7.斜拉桥是桥梁建筑的一种形式,在桥梁平面上有多根拉索,所有拉索的合力方向与中央索塔一致.重庆千厮门嘉陵江大桥共有20根拉索,在索塔两侧对称排列,如图1所示.已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi+1|(i=1,2,3,…,9)均为3.4 m,拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi+1|(i=1,2,3,…,9)均为16 m.如图2所示,若以A10B10所在直线为x轴,P1P10所在直线为y轴建立平面直角坐标系,最短拉索的锚P1,A1满足|OP1|=66 m,|OA1|=86 m,则最长拉索所在直线的斜率为( )
A.±0.47 B.±0.45 C.±0.42 D.±0.40
8.已知A(1,3),B(-2,1),C(4,m)三点在同一条直线上,则m= .
9.如果直线l过点(1,2),且不经过第四象限,求直线l的斜率的取值范围.
题组三 直线的斜率与倾斜角的关系
10.如图,设直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则k1,k2,k3的大小关系为( )
A.k1
B.k2C.k3D.k111.(多选题)在下列四个命题中,正确的是( )
A.若直线的倾斜角α为锐角,则其斜率一定大于0
B.若一条直线的斜率为tan α,则此直线的倾斜角为α
C.任意直线都有倾斜角α,且当α≠90°时,斜率为tan α
D.直线的倾斜角越大,其斜率越大
12.(多选题)若直线l的斜率为m2-,则直线l的倾斜角可能为( )
A.
C.
13.已知直线l1的倾斜角是直线l2的倾斜角的2倍,且l1的斜率为-,则l2的斜率为( )
A.3或- B.3
C.或-3 D.
14.若直线l经过A(2,1),B(1,
-m2)(m∈R)两点,则直线l的倾斜角α的取值范围是 .
15.若过点P(1-a,1+a)与Q(4,2a)的直线的倾斜角为钝角,且m=3a2-4a,则实数m的取值范围是 .
16.已知坐标平面内三点A(-2,-4),B(2,0),
C(-1,1).
(1)求直线AB的斜率和倾斜角;
(2)若A,B,C,D可以构成平行四边形且点D位于第一象限,求点D的坐标.
题组四 直线的斜率与方向向量的关系
17.(多选题)已知直线l的倾斜角为,则l的方向向量可能为( )
A.(1,-,-1)
C.(-2,2,-2)
18.经过A(x,2),B(3,-4)两点的直线的一个方向向量为(1,3),则x= .
19.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2).
(1)求直线AB的斜率并写出直线BC的一个方向向量;
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动,求直线AD的斜率的取值范围.
能力提升练
题组 直线的倾斜角、斜率及其应用
1.m,n,p是两两不相等的实数,则点A(m+n,p),B(n+p,m),C(p+m,n)必( )
A.在同一条直线上
B.是直角三角形的三个顶点
C.是等腰三角形的三个顶点
D.是等边三角形的三个顶点
2.经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为,则y=( )
A.-1 B.-3 C.0 D.2
3.函数y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,…,xn,使得=…=,则n的取值集合为( )
A.{3,4}
B.{2,3,4}
C.{3,4,5}
D.{2,3}
4.若正方形的一条对角线所在直线的斜率为3,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率之和为( )
A.-
C.-
5.(多选题)已知点A(2,4),B(3,3),点P(a,b)是线段AB(包括端点)上的动点,则的值可能是 ( )
A.-1 B.
6.已知抛物线y=x2上一点P,过点P作倾斜角互补的两条直线PA,PB分别交抛物线于另外的两点A,B,已知直线AB的斜率为-2,则点P的横坐标为( )
A.2 B.
7.已知两点A(-1,1),B(3,-2),过点P(2,-1)的直线l与线段AB有公共点,则直线l(不考虑斜率不存在的情况)的斜率k的取值范围是 .
8.数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形少数时难入微.”事实上,很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如与相关的代数问题可以转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间的距离的几何问题.结合上述观点,函数f(x)=,x∈的值域为 .
9.已知点A(1,0),B(0,2),点P(a,b)在线段AB上.
(1)求直线AB的斜率;
(2)求ab的最大值.
答案与分层梯度式解析
第一章 直线与圆
§1 直线与直线的方程
1.1 一次函数的图象与直线的方程
1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系
基础过关练
1.A 易知A正确;若直线的倾斜角为α,则α的取值范围是[0,π),所以sin α∈[0,1],故B错误,D错误;所有与x轴平行或重合的直线的倾斜角都是0,故C错误.
2.B 因为l1的倾斜角为110°,l2与l1垂直,所以l2的倾斜角为110°-90°=20°.故选B.
3.AB 如图1,当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°;如图2,当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.故选AB.
4.答案 120°
解析 根据题意作出示意图,入射光线所在直线的倾斜角α1=60°,由入射角等于反射角及倾斜角的概念,得反射光线所在直线的倾斜角α2=120°.
5.D 直线AB的斜率kAB==-3.故选D.
6.BC 当点B在y轴上时,设B(0,y),由kAB=4,可得=4,解得y=-8,
∴B(0,-8);当点B在x轴上时,设B(x,0),由kAB=4,可得=4,解得x=2,∴B(2,0).
综上所述,点B的坐标为(0,-8)或(2,0).故选BC.
7.C 设单位长度为1 m.根据题意,得|OA10|=|OA1|+|A1A10|=86+9×16=230(m),|OP10|=|OP1|+|P1P10|=66+9×3.4=96.6(m),则点A10(230,0),点P10(0,96.6),
所以=-0.42,同理=0.42,故选C.
8.答案 5
解析 因为A,B,C三点在同一条直线上,所以kAB=kAC,即,解得m=5.
9.解析 如图,当直线l过点(1,2)且平行于x轴时,斜率最小,为0,当直线l过点(1,2)且过原点时,斜率最大,为2,所以过点(1,2)且不经过第四象限的直线l的斜率的取值范围是[0,2].
10.D 由题图可知l2,l3的倾斜角为锐角,且l2的倾斜程度比l3大,所以k2>k3>0,l1的倾斜角为钝角,所以k1<0.综上,k1故选D.
11.AC 对于A,当0°<α<90°时,其斜率k=tan α>0,故A正确;
对于B,若一条直线的斜率为tan(-30°)=-,则此直线的倾斜角为150°,故B错误;
对于C,由直线倾斜角的定义可得,每一条直线都有确定的倾斜角,
由斜率的定义可得,当直线的倾斜角α≠90°时,直线的斜率为tan α,故C正确;
对于D,直线的倾斜角为锐角时斜率大于0,倾斜角为钝角时斜率小于0,如直线的倾斜角为45°,对应斜率为1,直线的倾斜角为135°,对应斜率为-1,45°<135°,而1>-1,故D错误.
故选AC.
12.ACD 设直线l的倾斜角为α,则α∈[0,π),
因为直线l的斜率k=m2-≥-,
所以α≠且tan α≥-,结合正切函数的图象,可得α∈,
结合选项,可得ACD符合.
13.B 设l2的倾斜角为α,则l1的倾斜角为2α,则tan 2α=,
整理,得3tan2α-8tan α-3=0,解得tan α=3或tan α=-,
因为tan 2α=-<0,
所以2α∈,
所以α∈,所以tan α=3.故选B.
14.答案 ≤α<
解析 因为直线l经过A(2,1),B(1,-m2)(m∈R)两点,所以kl=
tan α==1+m2≥1,因为0≤α<π,所以≤α<.
15.答案
解析 设直线的倾斜角为α,斜率为k,
则k=tan α=,
又α为钝角,∴<0,
即(a-1)(a+3)<0,故-3∵关于a的函数m=3a2-4a图象的对称轴为直线a=,
∴当a=时,m有最小值,为-.
又当a=-3时,m=39,当a=1时,m=-1,
∴实数m的取值范围是.
16.解析 (1)由题意可知直线AB的斜率为=1,
因为直线的倾斜角的取值范围为[0,π),所以直线AB的倾斜角为.
（2）如图,当点D位于第一象限时,kCD=kAB,kBD=kAC,
设D(x,y),则
解得
故点D的坐标为(3,5).
17.AC 由题意得l的斜率为tan .
A中,对应的斜率为,故A正确;
B中,对应的斜率为,故B错误;
C中,对应的斜率为,故C正确;
D中,对应的斜率为,故D错误.
故选AC.
18.答案 5
解析 由题意可得=3,解得x=5.
解析 (1)直线AB的斜率为,直线BC的斜率为=-1,
∴直线BC的一个方向向量为(1,-1).
(2)如图,当点D由点B运动到点C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC,
由(1)可知kAB=,又kAC=,
∴直线AD的斜率的取值范围为.
方法技巧 求直线的斜率的取值范围,需结合图形,利用边界直线的斜率可得所求斜率的取值范围.
能力提升练
1.A 由已知得kAB==-1,∴kAB=kBC,
又B是直线AB,BC的公共点,
∴A,B,C三点共线.
2.B 由直线AB的倾斜角为,得直线AB的斜率k=tan =-1,即k==-1,解得y=-3.
故选B.
3.B =…=的几何意义是:曲线上存在n个点与坐标原点连线的斜率相等,即n指的是过原点的直线与曲线的交点个数.如图,
由图可得n的值可以为2,3,4.故选B.
4.C 如图,在正方形OABC中,对角线OB所在直线的斜率为3,
设对角线OB所在直线的倾斜角为θ,则tan θ=3,
由正方形的性质可知,直线OA的倾斜角为θ-45°,直线OC的倾斜角为θ+45°,
故kOA=tan(θ-45°)=,
kOC=tan(θ+45°)==-2,
则kOA+kOC=.故选C.
5.CD 设k=,则k可以看成点P(a,b)与坐标原点O连线的斜率.
当点P在线段AB上由B点运动到A点时,直线OP的斜率由kOB增大到kOA,如图所示.
又kOB==2,所以1≤k≤2,即的取值范围是[1,2],结合选项可知C,D符合.
6.A 设P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1≠x2,
则kAB==-2,故x1+x2=-4.
同理,kPA=.
因为直线PA,PB的倾斜角互补,
所以kPA=-kPB,即 x1+x2=-2x0,
所以-2x0=-4,即x0=2.故选A.
7.答案 (-∞,-1]∪
解析 如图,由题意可知kPA==-1.
要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是(-∞,
-1]∪.
8.答案
解析 如图所示,设P(cos x,sin x)为单位圆O上的一点,点A(-1,
-1),B(1,0),C,则f(x)=,x∈表示点P在劣弧BC(不包括点B,包括点C)上运动时,直线PA的斜率,
因为kAB==1,
所以f(x)的值域为.
9.解析 (1)由题意知,直线AB的斜率kAB==-2.
(2)当点P(a,b)与点A,B均不重合时,
由点P(a,b)在线段AB上,得kAP=kAB,即=-2,
即b=-2a+2(0当P与A或B重合时也满足b=-2a+2,
因此b=-2a+2(0≤a≤1),
所以2=2a+b≥2,
所以ab≤,
当且仅当2a=b,即a=,b=1时,等号成立.
故ab的最大值为.
1