1.3 直线的方程
基础过关练
题组一 直线方程的点斜式与斜截式
1.过点P()且倾斜角为135°的直线方程为( )
A.3x-y-4=0
C.x+y-=0
2.(多选题)下列说法错误的有( )
A.斜率为-2,在y轴上的截距为3的直线方程为y=-2x±3
B.经过点P(x1,y1),斜率为0的直线方程是y=y1
C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1)
D.方程y=k(x-2)与方程k=表示同一条直线
3.(多选题)同一坐标系中,直线l1:y=ax+b与l2:y=bx-a的大致位置可能为( )
4.已知直线l经过点P(-1,2),且其斜率为k.
(1)若k=2,求l的点斜式方程;
(2)若直线l在y轴上的截距为4,求l的斜截式方程.
题组二 直线方程的两点式与截距式
5.已知直线l经过点(-3,-2),(1,2),则下列不在直线l上的点是( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(2,1)
6.(多选题)直线l过点(1,-2),且在两坐标轴上的截距之和为-2,则直线l的方程为( )
A.x-3y-7=0 B.2x-y-4=0
C.x+y+1=0 D.4x-y-8=0
7.已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上的中线所在直线的方程为( )
A.5x+3y-6=0 B.3x-5y+15=0
C.x+13y+5=0 D.3x+8y+15=0
8.(多选题)下列命题正确的是( )
A.截距相等的直线都可以用方程x+y=a(a∈R)表示
B.经过两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)·(y2-y1)表示
C.过点(2,1)且在两坐标轴上截距相等的直线有2条
D.不经过原点的直线都可以用方程=1表示
9.某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李票费用y(元)与行李质量x(kg)的关系如图所示,则旅客最多可免费携带行李的质量为( )
A.20 kg
B.25 kg
C.30 kg
D.80 kg
10.已知直线l:=1.
(1)若直线l的斜率是2,求m的值;
(2)当直线l与两坐标轴的正半轴相交,且所围三角形的面积最大时,求此直线的方程.
11.若直线AB与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在直线同时满足下列条件:①△AOB的周长为12;②△AOB的面积为6 若存在,求出直线方程;若不存在,请说明理由.
题组三 直线方程的一般式与点法式
12.(多选题)如果AB<0,BC>0,那么直线Ax+By+C=0经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
13.已知直线l:x+y-1=0,则下列结论正确的是( )
A.直线l的倾斜角为
B.直线l的斜率为
C.直线l在y轴上的截距为-1
D.向量v=(1,1)是直线l的一个法向量
14.若直线l经过点P(-2,1),且直线l的一个法向量为v=(2,-1),则直线l的方程为 .
15.已知直线l:(m2+1)x-2y+1=0(m为常数),若直线l的斜率为,则m= ,若m=-1,则直线l在y轴上的截距为 .
16.已知直线l:5ax-5y-a+3=0.
(1)求证:无论a为何值,直线l恒过第一象限;
(2)从下面两个条件中任选一个,求a的值.
条件①:直线l的倾斜角比直线x-3y+1=0的倾斜角大;
条件②:直线l的一个方向向量为v=(1,1).
能力提升练
题组 直线方程的应用
1.直线l1:y=kx+b(kb≠0)和直线l2:=1在同一坐标系中的图形可能是( )
2.已知直线l:2x-my+m-4=0,则下述论断正确的是( )
A.直线l不可能经过坐标原点
B.直线l的斜率可能为0
C.直线l的倾斜角不可能是
D.直线l恒过定点(2,1)
3.已知点A(1,3),B(2,1),若直线l:y=k(x+2)-1与线段AB相交,则k的取值范围是( )
A.
C.
4.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为3,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是( )
A.x+y+5=0 B.2x-y-1=0
C.x-2y+4=0 D.x+y-7=0
5.若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
6.已知直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(2,1),则过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是( )
A.2x+y+1=0 B.2x-y+1=0
C.2x+y-1=0 D.x+2y+1=0
7.瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知在平面直角坐标系中,△ABC各顶点的坐标分别为A(0,0),B(8,0),C(0,6),则其“欧拉线”的方程为 .(结果写成直线的一般式方程)
8.已知直线l:(a+2)x-ay-3a-8=0,O为坐标原点,若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,当|OA|+|OB|最小时,a= .
9.如图,为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪,另外,△AEF内部有一文物保护区域,不能占用,经过测量,AB=100 m,
BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,应该如何设计才能使草坪面积最大
答案与分层梯度式解析
1.3 直线的方程
基础过关练
1.D 因为直线的倾斜角为135°,所以直线的斜率k=tan 135°=-1,所以直线的方程为y+2),即x+y+=0,故选D.
2.ACD 斜率为-2,在y轴上的截距为3的直线方程为y=-2x+3,故A中说法错误;斜率为0的直线上所有点的纵坐标均相同,则直线方程为y=y1,故B中说法正确;当倾斜角θ为时,直线方程为x=1,故C中说法错误;方程y=k(x-2)表示一条直线,而方程k=表示直线y=k(x-2)上除去点(2,0)的部分,故D中说法错误.故选ACD.
3.BC 对于A,l1:a<0,b<0,l2:b>0,-a>0,即a<0,故A错误;对于B,l1:a>0,b<0,l2:b<0,-a<0,即a>0,故B正确;对于C,l1:a<0,b>0,l2:b>0,
-a>0,即a<0,故C正确;对于D,l1:a>0,b>0,l2:b<0,-a<0,即a>0,故D错误.故选BC.
4.解析 (1)当直线l经过点P(-1,2)且斜率k=2时,l的点斜式方程为y-2=2(x+1).
(2)由已知可得,直线l经过点(-1,2),(0,4),所以其斜率k==2,
所以l的斜截式方程为y=2x+4.
5.D 因为直线l经过点(-3,-2),(1,2),所以直线l的方程为,整理,得x-y+1=0,
将各个选项中点的坐标代入直线l的方程,可知点(-2,-1),(-1,0),(0,1)都在直线l上,点(2,1)不在直线l上.故选D.
6.BC 由题意得,直线在两坐标轴上均有截距且截距均不为0,故设所求直线方程为=1(ab≠0),
则故直线方程为x+y+1=0或2x-y-4=0,故选BC.
7.C ∵B(3,-3),C(0,2),
∴线段BC的中点坐标为.
又∵BC边上的中线所在直线过点A(-5,0),
∴BC边上的中线所在直线的方程为,即x+13y+5=0.故选C.
8.BC 对于A,如直线y=2x,它在两坐标轴上的截距都为0,但不能用方程x+y=a(a∈R)表示,故A错误.
对于B,经过两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线有两种情况:
当x1≠x2时,直线方程为y-y1=(x-x1),整理,得(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1);
当x1=x2时,直线方程为x=x1,即方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)成立.
综上所述,经过两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)·(y2-y1)表示,故B正确.
对于C,当直线在x轴和y轴上的截距均为0时,可设直线方程为y=kx(k≠0),
因为直线过点(2,1),所以1=2k,解得k=,所以所求直线的方程为y=x;
当直线在x轴和y轴上的截距不为0时,可设直线方程为=1(a≠0),即x+y=a(a≠0),
因为直线过点(2,1),所以2+1=a,即a=3,所以所求直线的方程为x+y=3.
综上所述,过点(2,1)且在两坐标轴上截距相等的直线有2条,故C正确.
对于D,例如直线x=1不经过原点,但是不能用方程=1表示,故D错误.故选BC.
9.C 由题图知点A(60,6),B(80,10).由直线的两点式方程得,整理得x-5y-30=0,令y=0,解得x=30,即旅客最多可免费携带30 kg的行李.故选C.
10.解析 (1)由题意得直线l过点(m,0),(0,4-m),
则=2,解得m=-4.
(2)由题意得m>0,4-m>0,解得0则三角形的面积S=.
当m=2时,S有最大值,
故直线l的方程为=1,即x+y-2=0.
11.解析 设直线AB的方程为=1(a>0,b>0),则直线AB在x轴、y轴上的截距分别为a,b,
由题意得,
则
所以a2+b2=25,所以(a+b)2=a2+2ab+b2=49 a+b=7,所以
当a=3,b=4时,直线方程为4x+3y-12=0;
当a=4,b=3时,直线方程为3x+4y-12=0.
故存在满足题意的直线,直线方程为4x+3y-12=0或3x+4y-12=0.
12.ACD 因为AB<0,所以B≠0,故直线的斜截式方程为y=-,因为AB<0,BC>0,所以-<0,故直线经过第一、三、四象限.故选ACD.
13.D 因为直线l:x+y-1=0的方程即y=-x+1,所以直线l的斜率为-1,倾斜角为,在y轴上的截距为1,故A,B,C错误;对于D,因为直线l:x+y-1=0的一个方向向量为(1,-1),所以v=(1,1)是它的一个法向量,故D正确.故选D.
14.答案 2x-y+5=0
解析 由题意得直线l的方程为2(x+2)-(y-1)=0,即2x-y+5=0.
15.答案 0;
解析 由题意得,所以m=0.
若m=-1,则直线l的方程为2x-2y+1=0,可变形为y=x+,所以直线l在y轴上的截距为.
16.解析 (1)证明:将直线l的方程变形得y-,所以直线l的斜率为a,且过定点,
而点在第一象限,所以无论a为何值,直线l恒过第一象限.
(2)若选择条件①:因为直线x-3y+1=0的斜率k=,所以其倾斜角α=,
则l的倾斜角为,可知l的斜率kl=1,即kl==1,所以a=1.
若选择条件②:由直线l的一个方向向量为v=(1,1),可知l的斜率kl=1,
即kl==1,所以a=1.
能力提升练
1.D A选项中,由l1可得k>0且b<0,由l2可得k<0且b<0,矛盾.B选项中,由l1可得k>0且b<0,由l2可得k>0且b>0,矛盾.C选项中,由l1可得k<0且b<0,由l2可得k>0且b<0,矛盾.D选项中,由l1,l2均可得到k>0且b>0.故选D.
2.D 令x=0,y=0,得m-4=0,即m=4,故当m=4时,
直线l:y=x经过坐标原点,故A错误.方程2x-my+m-4=0可化为my=2x+m-4,当m=0时,直线l:x=2,其斜率不存在;当m≠0时,直线l:y=,其斜率不为0,故B,C错误.方程2x-my+m-4=0可化为(y-1)m=2(x-2),即直线l恒过定点(2,1),故D正确.故选D.
3.D 直线l:y=k(x+2)-1恒过点P(-2,-1),则kPA=,结合图形(图略)可得k的取值范围是.故选D.
4.D 设P(3,m).因为点P在直线PA上,所以3-m+1=0,解得m=4,即点P的坐标为(3,4).
由题意知PA与x轴的交点为A,所以点A的坐标为(-1,0),又|PA|=|PB|,点B在x轴上,所以点A,B关于直线x=3对称,所以点B的坐标为(7,0),所以kPB==-1,所以直线PB的方程为y-0=-(x-7),即x+y-7=0.故选D.
5.C 易知直线在x轴、y轴上的截距之和为a+b.
由题意得a+b=ab,即=1,
∴a+b=(a+b)≥2+2=4,当且仅当,即a=b=2时取等号,
∴直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.
6.A 把(2,1)代入直线方程a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0,得2a1+b1+1=0,2a2+b2+1=0,
两式相减得2(a1-a2)=b2-b1,
过点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程是(a2-a1)(y-b1)=(b2-b1)(x-a1),
∴y-b1=-2(x-a1),即2x+y-(2a1+b1)=0,
∵2a1+b1+1=0,∴2a1+b1=-1,
∴所求直线方程为2x+y+1=0.故选A.
7.答案 3x-4y=0
解析 由题设知,△ABC是直角三角形,则其垂心为直角顶点A(0,0),其外心为斜边BC的中点M(4,3),故其重心在直线AM上,故其“欧拉线”的方程即直线AM的方程,为y=x,即3x-4y=0.
8.答案 -
解析 方程(a+2)x-ay-3a-8=0可化为a(x-y-3)+2x-8=0,由即直线l过定点(4,1),假设直线l的截距式方程为=1(s>0,t>0),则+5≥2+5=9,当且仅当,即s=6,t=3时,等号成立,此时直线l的方程为x+2y-6=0,所以且-=3,解得a=-.
9.解析 建立如图所示的平面直角坐标系,则E(30,0),F(0,20),EF所在直线的方程为=1.
在线段EF上取一点P(m,n)(0≤m≤30),作PQ⊥BC于Q,PR⊥CD于R,则矩形PQCR即为要建的矩形草坪,
设矩形PQCR的面积是S,则S=|PQ|·|PR|=(100-m)(80-n).
又因为=1(0≤m≤30),所以n=20,
故S=(100-m)(0≤m≤30),
当m=5时,S有最大值,此时=5,即当点P为线段EF上靠近F点的六等分点时,可使草坪面积最大.
1(共11张PPT)
知识点 1 直线方程的几种形式
知识 清单破
1.3 直线的方程
名称 已知条件 方程 适用范围
点斜式 点P(x0,y0)和斜率k y-y0=k(x-x0) 不垂直于x轴的直线
斜截式 斜率k,在y轴上的截距b y=kx+b 不垂直于x轴的直线
两点式 点P1(x1,y1)和P2(x2,y2) = (其中x1≠x2,y1≠y2) 不垂直于坐标轴的直线
截距式 在x轴上的截距a,在y轴上的截距b + =1(其中ab≠0) 不垂直于坐标轴且不
过原点的直线
一般式 Ax+By+C=0 (其中A,B不全为0) 平面内所有直线
*点法式 点P(x0,y0)和法向量n=
(A,B) A(x-x0)+B(y-y0)=0 平面内所有直线
直线与y轴交点的纵坐标叫作直线在y轴上的截距,直线与x轴交点的横坐标叫作直线在x
轴上的截距.
知识点 2 截距
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.斜率存在的直线都可以用点斜式表示. ( )
2.斜率存在的直线都可以用斜截式表示. ( )
3.斜率存在的直线都可以用两点式表示. ( )
4.截距不是距离,而是一个数,可正、可负、可为0. ( )
5.过原点的直线可以表示为y=kx. ( )
6.直线方程的一般式中有A,B,C三个参数,因此最少需要三个条件求解. ( )
√
√
√
斜率为0的直线不能用两点式表示.
提示
提示
提示
过原点的直线可以表示为y=kx或x=0.
直线方程的一般式只需要两个条件就能求解.
求直线方程的几种常见设法
(1)已知直线上一点的坐标,且斜率存在,可设直线方程为点斜式;
(2)已知直线的斜率,可设直线方程为斜截式;
(3)已知直线(不经过原点)在x轴,y轴上的截距,可设直线方程为截距式或斜截式;
(4)已知直线上两点的坐标(横、纵坐标均不相同),可设直线方程为两点式,也可先求出斜率,
再用直线方程的点斜式求解.
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 求直线的方程
典例 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为直线方程的一般式:
(1)斜率为 ,且经过点A(5,3);
(2)过点B(-3,0),且垂直于x轴;
(3)斜率为4,在y轴上的截距为-2;
(4)在y轴上的截距为3,且平行于x轴;
(5)经过C(-1,5),D(2,-1)两点;
(6)在x轴,y轴上的截距分别是-3,-1;
(7)过点(2,-1)且法向量为(2,-1)的直线方程.
解析 (1)由直线方程的点斜式得y-3= (x-5),即 x-y+3-5 =0.
(2)x=-3,即x+3=0.
(3)y=4x-2,即4x-y-2=0.
(4)y=3,即y-3=0.
(5)由直线方程的两点式得 = ,即2x+y-3=0.
(6)由直线方程的截距式得 + =1,即x+3y+3=0.
(7)设(x,y)是所求直线上任意一点,则2(x-2)-(y+1)=0,整理可得所求直线方程为2x-y-5=0.
关键技巧 (1)已知一点的坐标,求过该点的直线方程,若斜率存在,则一般选用直线方程的点
斜式,再由其他条件确定直线的斜率.(2)已知直线的斜率求直线方程,一般选用直线方程的斜
截式,再由其他条件确定直线上的一个点或者在y轴上的截距.(3)已知两点坐标,求过这两点
的直线方程,一般选用直线方程的两点式,若这两点是与坐标轴的交点,就用直线方程的截距
式.(4)无论选用什么形式的直线方程,都要注意各方程的限制条件,对特殊情况下的直线要单
独讨论.
1.过定点的直线系方程
当一条直线过定点P0(x0,y0)时,我们可设直线方程为y-y0=k(x-x0),且k能取遍所给范围内的每一
个值,这个方程就表示满足条件的经过定点P0(x0,y0)的不与x轴垂直的所有直线,这个方程就叫
作过定点P0(x0,y0)的直线系方程.由于y-y0=k(x-x0)不能表示过点P0(x0,y0)且与x轴垂直的直线,因
此过定点P0(x0,y0)的直线系方程y-y0=k(x-x0)中不含方程x=x0.
2.如何求直线所经过的定点
(1)将直线方程化为y-y0=k(x-x0)的形式,则直线过定点(x0,y0).
(2)应用分离参数的方法,将直线方程化为a1x+b1y+c1+λ(a2x+b2y+c2)=0的形式,由
求出定点坐标.
讲解分析
疑难 2 直线过定点问题
(3)特殊值法,对方程中的参数赋两个不同的特殊值,可得到关于x,y的两个方程,联立并解得x,y
的值,即得定点坐标(x,y).
典例 无论k为何实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0都经过一个定点,这个定点的坐标是 .
解析 将直线方程变形为(x+3y-11)-k(2x-y-1)=0,若直线经过定点,则直线方程与k无关,即
解得
∴直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0恒过定点(2,3).
(2,3)
