(共7张PPT)
1.直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l3:A1x+B1y+C1=0,l4:A2x+B2y+C2=0的位置关系如表所示(其中l3的法
向量为m=(A1,B1),l4的法向量为n=(A2,B2)):
知识点 1 两条直线的位置关系
知识 清单破
1.5 两条直线的交点坐标
1.4 两条直线的平行与垂直
位置关系 l1,l2满足的条件 l3,l4满足的条件 l3,l4的法向量满足的条件
平行 k1=k2,b1≠b2 A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0) m∥n
垂直 k1k2=-1 A1A2+B1B2=0 m·n=0
相交 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0 m,n不共线
2.如果两条直线的斜率都不存在,那么它们的倾斜角都是90°,从而它们互相平行或重合;如果
两条直线中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,那么这两条直线互相垂直.
1.设两条直线的方程为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.
若方程组
(1)有无数组解,则两条直线重合;
(2)有唯一一组解,则两条直线相交,此解就是交点坐标;
(3)无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行,反之,亦成立.
2.过两条直线交点的直线系方程
已知直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0相交,则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ∈
R,这个方程表示的直线可以是l1,但不能是l2)表示过l1和l2的交点的直线系方程.
知识点 2 两条直线的交点坐标
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.若直线的斜率不存在,则这条直线一定与y轴平行. ( )
2.直线2x+3y-1=0与直线 + =1平行.( )
3.若直线l1与l2平行,则它们的斜率一定相等. ( )
4.若两条直线l1与l2的斜率都不存在,则l1∥l2. ( )
5.若直线l1⊥l2,则这两条直线的斜率互为负倒数. ( )
√
提示
提示
提示
提示
这条直线也可能与y轴重合.
这两条直线的斜率可能都不存在.
这两条直线可能重合.
可能一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0.
6.若两直线方程组成的方程组有解,则两直线一定相交. ( )
提示
有可能重合.
1.对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2(其中b1≠b2),若l1∥l2,则k1=k2;若l1⊥l2,则k1k2=-1;
若l1与l2相交,则k1≠k2.
2.已知两直线平行或垂直求参数的问题,要先考虑直线的斜率是否存在,若斜率存在,则依据
斜率间的关系求解;若斜率不存在,则需注意特殊情形.也可以利用直线方程的一般式,设l1:A1x
+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1∥l2 A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0);l1⊥l2 A1A2+
B1B2=0.
3.对于两直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2平行的问题,除了要求k1=k2,还需确定b1≠b2,后者在解题中
容易被忽略.
讲解分析
疑难 情境破
疑难 根据直线的位置关系求参数
典例 (1)已知直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8平行,求实数m的值;
(2)若直线(1-a)x+ay-3=0与(2a+3)x+(a-1)y-2=0互相垂直,求实数a的值.
解析 (1)由题意得
解得m=-7.
(2)由题意得(1-a)(2a+3)+a(a-1)=0,即a2+2a-3=0,解得a=1或a=-3.
易错警示 本题(2)中,若用k1·k2=-1,则会漏掉a=1的情况.1.4 两条直线的平行与垂直
1.5 两条直线的交点坐标
基础过关练
题组一 两条直线平行的判定与应用
1.(多选题)下列各直线中,与直线2x-y-3=0平行的是( )
A.2ax-ay+6=0(a≠0,a≠-2)
B.y=2x
C.2x-y+5=0
D.2x+y-3=0
2.经过点(1,0)且与直线2x-y+2=0平行的直线方程是( )
A.2x-y=0 B.2x-y-2=0
C.2x+y=0 D.2x+y-2=0
3.“λ=-1”是“直线l1:x+λy+9=0与l2:(λ-2)x+3y+3λ=0平行”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4.将一张画着直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点(2,0)与点(-2,4)重合,点(2 021,2 022)与点(m,n)重合,则m+n=( )
A.1 B.2 023
C.4 043 D.4 046
5.若直线l1:ax-y+1=0与直线l2:2x-2y-1=0的倾斜角相等,则实数a= .
6.若直线l过点P(3,-4),且它的法向量与直线y=2x+1的法向量平行,则直线l的点法式方程是 .
7.直线l与直线l1:3x+4y+12=0平行,且与坐标轴所围成的三角形的面积是24,求直线l的方程.
题组二 两条直线垂直的判定与应用
8.若两条直线l1:2x+ay-1=0与l2:ax+(2a-1)y+3=0相互垂直,则a的值为( )
A.- B.0
C.-或0 D.-2或0
9.已知点M(1,-2),N(m,2),若线段MN的垂直平分线的方程是+y=1,则实数m的值是( )
A.-2 B.-7 C.3 D.1
10.直线l与直线x+y-2=0垂直,且它在y轴上的截距为4,则直线l的方程为 .
11.已知点A(1,2),点B(2,3),点C在x轴上,△ABC为直角三角形,请写出点C的一个坐标: .
12.若直线l1:2x+3y-1=0的方向向量是直线l2:ax-y+2a=0的法向量,则实数a的值等于 .
13.已知△ABC的顶点分别为A(-5,-1),B(-1,1),C(-2,3).
(1)证明:△ABC为直角三角形;
(2)求AC边上的高所在直线的方程.
题组三 两条直线的交点问题
14.已知三条直线2x+y-4=0,kx-y+3=0,x-y-2=0交于一点,则实数k=( )
A.-1 B.1 C.-
15.若直线kx-k+y+1=0与直线x+3y-3=0的交点在第一象限内,则实数k的取值范围为( )
A.
B.
C.∪(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪
16.已知直线mx+4y-2=0与直线2x-5y+n=0互相垂直,垂足为(1,p),则m+n-p等于( )
A.24 B.20 C.4 D.0
17.在平面直角坐标系xOy中,过直线l1:7x-3y+1=0与l2:x+4y-3=0的交点,且在y轴上的截距为1的直线l的方程为 .(写成一般式)
18.已知两点A(0,4),B(2,-2),直线l1为线段AB的垂直平分线,直线l2:x+y-1=0,求:
(1)直线l1的方程;
(2)直线l1与l2的交点坐标;
(3)直线l1,l2与坐标轴所围成的三角形的面积.
能力提升练
题组 直线位置关系的综合问题
1.与直线y=-2x+3平行,且与直线y=3x+4在x轴上的截距相同的直线方程是( )
A.y=-2x+4 B.y=x+4
C.y=-2x-
2.设a,b,c分别是△ABC中角A,B,C所对边的边长,则直线bx-ysin B-c=0与xsin A+ay+sin C=0的位置关系是( )
A.平行 B.重合
C.垂直 D.相交但不垂直
3.已知a>0,直线l1:x+ay=2a+4与y轴的交点为A,l2:2x+ay=2a+8与x轴的交点为B,l1与l2的交点为C,则四边形OACB的面积的最小值为( )
A.8+4
4.已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线y=2x和x+ay=0上,且线段AB的中点为P0,,则直线AB的方程为( )
A.y=-x-5
C.y=x-5
5.已知直线l:(m+2)x+(m-1)y+m-1=0,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)两点的线段总有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围为( )
A.
C.
6.已知a>0,b>0,直线l1:x+(a-4)y+1=0,l2:2bx+y-2=0,且l1⊥l2,则的最小值为( )
A.2 B.4 C.
7.(多选题)已知三条直线l1:x-2y+2=0,l2:x-2=0,l3:x+my=0将平面分为六个部分,则满足条件的m可以是( )
A.-1 B.-2 C. D.0
8.(多选题)已知直线l1,l2的斜率分别为2,,直线l与直线l1,l2围成一个等腰三角形,且顶角为钝角,则直线l的斜率可能是( )
A.- D.1
9.已知A,B分别是直线x+2y+4=0和直线x+2y-10=0上的点,P为AB的中点,设点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点D(-2,1)的直线l与曲线C,x轴分别交于点M,N,若D为MN的中点,求直线l的方程.
答案与分层梯度式解析
1.4 两条直线的平行与垂直
1.5 两条直线的交点坐标
基础过关练
1.ABC 直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0平行的充要条件为A1B2=A2B1,且A1C2≠A2C1或C1B2≠C2B1.
对于A,易知2×(-a)=-1×2a且-3×2a≠2×6,故A符合;对于B,y=2x 2x-y=0,易知2×(-1)=-1×2且0×2≠-3×2,故B符合;对于C,易知2×(-1)=-1×2且5×2≠-3×2,故C符合;对于D,易知2×1≠-1×2,故D不符合.故选ABC.
2.B 设所求直线的方程是2x-y+c=0(c≠2),
把(1,0)代入,得2+c=0,解得c=-2,
∴所求直线的方程是2x-y-2=0.故选B.
3.A 若直线l1:x+λy+9=0与直线l2:(λ-2)x+3y+3λ=0平行,则1×3=λ(λ-2),即λ2-2λ-3=0,解得λ=3或λ=-1.当λ=3时,直线l1:x+3y+9=0与直线l2:x+3y+9=0重合,舍去.故“λ=-1”是“直线l1与l2平行”的充要条件.
4.C 记(2,0),(-2,4)分别为A,B,则直线AB的斜率kAB==-1.由题意知,过点(2 021,2 022)和点(m,n)的直线与直线AB平行,所以=-1,整理得m+n=4 043.故选C.
5.答案 1
解析 直线l1:ax-y+1=0即y=ax+1,
直线l2:2x-2y-1=0即y=x-,
因为直线l1:ax-y+1=0与直线l2:2x-2y-1=0的倾斜角相等,所以,即a=1.
6.答案 2(x-3)-(y+4)=0
解析 直线y=2x+1的一个法向量是(2,-1),因为直线l的法向量与直线y=2x+1的法向量平行,且过点P(3,-4),所以直线l的点法式方程是2(x-3)-(y+4)=0.
7.解析 根据题意可设直线l:3x+4y+m=0(m≠12),该直线分别与x轴,y轴交于A,B两点,则A,则直线l与坐标轴所围成的三角形的面积S==24,解得m=±24.所以直线l的方程是3x+4y±24=0.
8.C 因为l1⊥l2,所以2a+a(2a-1)=0,解得a=-或a=0.
易错警示 若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1⊥l2 A1A2+B1B2=0.若仅考虑两条直线的斜率的乘积为-1,容易漏掉一条直线的斜率为零,另一条直线的斜率不存在的情况.
9.C +y=1 y=-x+1,所以直线+y=1的斜率为-,因为线段MN的垂直平分线的方程是+y=1,所以kMN·=-1,即=-1,解得m=3,故选C.
10.答案 x-y+4=0
解析 设直线l的方程为x-y+m=0,又它在y轴上的截距为4,∴m=4,∴直线l的方程为x-y+4=0.
11.答案 (3,0)(答案不唯一,填(3,0),(5,0)中的任意一个都可以)
解析 设C(x,0),易知当x=1或x=2时,不符合题意,
当x≠1且x≠2时,kAB=,
当A为直角时,kAB·kAC=1×=-1,解得x=3,此时C的坐标为(3,0);
当B为直角时,kAB·kBC=1×=-1,解得x=5,此时C的坐标为(5,0);
当C为直角时,kAC·kBC==-1,化简,得x2-3x+8=0,该方程无实数解.
综上所述,点C的坐标可以为(3,0)或(5,0).
12.答案
解析 由题意得l1⊥l2,∴2a-3=0,解得a=.
13.解析 (1)证明:∵kAB=,∴kAB·kBC=-1,
∴AB⊥BC,∴△ABC为直角三角形.
(2)∵kAC=,∴AC边上的高所在直线的斜率为-,又AC边上的高所在直线过点B,∴AC边上的高所在直线的方程是y-1=-(x+1),即3x+4y-1=0.
14.C 由即直线2x+y-4=0与直线x-y-2=0的交点坐标为(2,0),将(2,0)代入kx-y+3=0,得2k-0+3=0,解得k=-.故选C.
15.C 当k=时,kx-k+y+1==0,与x+3y-3=0平行,不符合题意,∴k≠.
由
∴k>2或k<-.故选C.
16.D 由两直线垂直,得m×2+4×(-5)=0,解得m=10,所以mx+4y-2=0可化为5x+2y-1=0,又因为垂足(1,p)同时满足两直线方程,所以将(1,p)代入两直线方程,得所以m+n-p=10-12+2=0,故选D.
17.答案 9x+5y-5=0
解析 解法一:由即直线l1与l2的交点坐标为,又直线l过点(0,1),所以直线l的方程为,即9x+5y-5=0.
解法二:由题设,可令直线l的方程为7x-3y+1+λ(x+4y-3)=0,因为直线l过点(0,1),
所以0-3+1+λ(0+4-3)=0,解得λ=2,故直线l的方程为9x+5y-5=0.
18.解析 (1)易得线段AB的中点为(1,1),kAB==-3,
所以直线l1的斜率为,则其方程为y-1=(x-1),即x-3y+2=0.
(2)由
所以直线l1与l2的交点坐标为.
(3)记P,根据题意作出图形如图所示:
则直线l1,l2与坐标轴所围成的三角形为△PCD,其中C(-2,0),D(1,0),
所以S△PCD=|CD|·|yP|=.
能力提升练
1.C 易知直线y=3x+4在x轴上的截距为-,
∴所求直线过点.
设所求直线方程为y=-2x+m(m≠3),
把代入,得-2×+m=0,解得m=-,
故所求直线方程为y=-2x-.故选C.
C 直线bx-ysin B-c=0的斜率为,直线xsin A+ay+sin C=0的斜率为-,在△ABC中,由=2R,R为△ABC的外接圆半径,得
-·2R=-1,故两直线垂直.
3.A 因为直线l1:x-4=-a(y-2),l2:2(x-4)=-a(y-2)都过点(4,2),
所以C(4,2).连接OC,如图所示:
在直线l1:x+ay=2a+4中,令x=0,得y=2+,所以A,在直线l2:2x+ay=2a+8中,令y=0,得x=4+a,所以B(4+a,0),
所以S四边形OACB=S△OAC+S△OCB=≥8+2,当且仅当a=,即a=2时等号成立.所以当a=2时,四边形OACB的面积取得最小值,为8+4.故选A.
4.C 由题意得a=2,则P(0,5).
设A(x1,2x1),B,则∴A(4,8),B(-4,2).
∴直线AB的方程为,即y=x+5.故选C.
5.D 直线l的方程可化为m(x+y+1)+(2x-y-1)=0,由即直线l过定点(0,-1),记P(0,-1),如图,
由题可知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,直线l的倾斜角为α,则0≤α<π,
显然直线PA的斜率为=-1,直线PB的斜率为=1,
由于直线l经过点P(0,-1),且与线段AB总有公共点,所以-1≤k≤1,即-1≤tan α≤1,
又k=≠-1,所以-1所以0≤α≤<α<π,
所以直线l的倾斜角的取值范围是.故选D.
6.D 因为l1⊥l2,所以2b+a-4=0,即a+1+2b=5,
因为a>0,b>0,所以a+1>0,2b>0,
所以(a+1+2b)
=,
当且仅当a=时,等号成立.故选D.
7.ABD 因为三条直线l1:x-2y+2=0,l2:x-2=0,l3:x+my=0将平面分为六个部分,
所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交,
当三条直线交于一点时,由将(2,2)代入方程x+my=0,得2+2m=0,解得m=-1.
当两条平行线与第三条直线相交时,可得l1∥l3或l2∥l3,
当l1∥l3时,m=-2;当l2∥l3时,m=0.
综上可知,m=-1或m=-2或m=0.故选ABD.
8.ACD 设直线l1,l2,l的倾斜角分别为α,β,γ,
则tan α=2,tan β=,直线l的斜率k=tan γ,
将直线l1,l2平移,使它们均过原点,设直线l与直线l1,l2分别交于点A,B,
当0<∠AOB<时,由题意知tan∠AOB=tan(α-β)=,
因为△AOB为等腰三角形,且顶角为钝角,
所以∠ABO为钝角或∠OAB为钝角.
若∠ABO为钝角,则∠AOB=∠OAB,如图①所示:
所以tan γ=tan(∠OAB+α)=,
所以直线l的斜率为-,故A正确;
若∠OAB为钝角,则∠AOB=∠ABO,如图②所示:
所以tan∠OAB=tan(π-∠AOB-∠ABO)=tan(π-2∠AOB)=
-tan 2∠AOB=-,
所以tan γ=tan(∠OAB+α)=,
所以直线l的斜率为-,故C正确;
当<∠AOB<π时,如图③所示:
tan∠AOB=tan[π-(α-β)]=-tan(α-β)=-,
因为△AOB为等腰三角形,所以∠OAB=∠OBA,
所以tan∠AOB=tan(π-∠OAB-∠OBA)=tan(π-2∠OAB)=
-tan 2∠OAB=-,
所以由-,解得tan∠OAB=或tan∠OAB=-3(舍),
所以tan γ=tan(β+∠OBA)=tan(β+∠OAB)==1,所以直线l的斜率为1,故D正确.
故选ACD.
9.解析 (1)设点P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),
因为P为AB的中点,所以x1+x2=2x,y1+y2=2y,
由x1+2y1+4=0,x2+2y2-10=0,可得x1+x2+2(y1+y2)-6=0,所以2x+4y-6=0,即x+2y-3=0,
所以曲线C的方程为x+2y-3=0.
(2)设M(3-2b,b),N(a,0),
因为D(-2,1)为MN的中点,
所以
则N(-3,0),所以直线l的方程为y=(x+3),整理得x-y+3=0,即直线l的方程为x-y+3=0.
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