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知识 清单破
1.6 平面直角坐标系中的距离公式
知识点 距离公式
名称 适用情况 公式
两点间的距离公式 点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离 |AB|=
点到直线的距离公式 点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0
(其中A,B不全为0)的距离 d=
两条平行直线间 的距离公式 两条平行直线Ax+By+C1=0和
Ax+By+C2=0(其中A,B不全为
0,且C1≠C2)间的距离 d=
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.连接两平行直线上两个点的线段就是两平行直线间的距离. ( )
2.点到直线的距离是点与直线上的点连线长度的最小值. ( )
3.点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 . ( )
4.在求两平行直线间的距离时,可以在其中一条直线上任取一点,将两平行直线间的距离转化
为点到直线的距离. ( )
5.使用两平行直线间的距离公式时,两直线方程中x,y的系数必须对应相等. ( )
√
√
√
提示
提示
两平行直线间的距离是两平行直线间的公垂线段的长,并不是连接两平行直线上任意
两点的线段,而是此线段长度的最小值.
直线方程化为一般式为kx-y+b=0,则点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 .
1.点关于点的对称
若点M(x0,y0)关于点P(a,b)的对称点为N(x,y),则由中点坐标公式可得
2.点关于直线的对称
设点M(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0(A,B均不为0)的对称点为N(x,y),则点N的坐标可由方程组
求得.
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 对称问题
特别地,点M(x0,y0)关于直线y=x+b的对称点为M'(y0-b,x0+b),点M(x0,y0)关于直线y=-x+b的对称点
为M'(-y0+b,-x0+b).(说明:此结论仅适用于对称直线的斜率为±1的情况)
3.直线关于点的对称
求一条不垂直于坐标轴的直线关于点P(a,b)的对称直线的方程时,可在该直线上取两个
特殊点,再求它们关于点P的对称点的坐标,然后利用两点式求其对称直线的方程.
4.直线关于直线的对称
求直线l1关于直线l对称的直线l2时,可利用直线l1上的点A关于直线l的对称点A'必在直线l2上
进行求解.
典例 已知直线l:x+2y-2=0,试求:
(1)点P(-2,-1)关于直线l的对称点的坐标;
(2)直线l1:x-y-2=0关于直线l对称的直线l2的方程;
(3)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程.
解析 (1)设点P(-2,-1)关于直线l的对称点为P'(x0,y0),
则线段PP'的中点M在直线l上,且PP'⊥l.
所以 解得
故P'点的坐标为 .
(2)设直线l与l1的交点为N,由 得N(2,0),在l1上任取一点B(0,-2),设点B关于直线l的
对称点为B'(x1,y1),则 解得 即B' , ,所以直线l2的斜率kNB'=
=7,所以l2的方程为y=7(x-2),即7x-y-14=0.
(3)设直线l关于点A(1,1)的对称直线为l',则直线l'上任一点P'2(x'2,y'2)关于点A的对称点P2(x2,y2)
一定在直线l上.
则 得 将(x2,y2)代入直线l的方程得x'2+2y'2-4=0,所以直线l'的方程为x+2y-
4=0.
1.在直线l上求一点P,使P到两个定点的距离之和最小
(1)当两定点A,B在直线l的异侧时,由“两点之间线段最短”及“三角形中任意两边之和大于
第三边”可知,当P为直线AB与l的交点时,点P到两定点的距离之和最小,最小值为|AB|.如图
①,在直线l上任取一点P',则|P'A|+|P'B|≥|AB|=|PA|+|PB|.
(2)当两定点A,B在直线l的同侧时,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B交直线l于点P,此时点
P到两定点A,B的距离之和最小,最小值为|A'B|.如图②,在直线l上任取一点P',则|P'A|+|P'B|≥
|A'B|=|PA|+|PB|.
讲解分析
疑难 2 利用对称解决线段和、差的最值问题
2.在直线l上求一点P,使点P到两定点的距离之差的绝对值最大
(1)当两定点A,B在直线l的同侧时(A,B的连线与l不平行),直线AB交直线l于点P.此时,点P到两
定点的距离之差的绝对值最大,最大值为|AB|.如图③,在直线l上任取一点P',则有||P'B|-|P'A||≤
|AB|=||PB|-|PA||.
(2)当两定点A,B在直线l的异侧时,作点A关于直线l的对称点A',直线A'B交直线l于点P.此时,点
P到两定点的距离之差的绝对值最大,最大值为|A'B|.如图④,在直线l上任取一点P',则有||P'B|-
|P'A||≤|A'B|=||PB|-|PA||.
典例 (1)在x轴上求一点P,使得点P到点A(4,1),B(0,4)的距离之差的绝对值最大,并求出最大值;
(2)已知点A(1,2),B(-2,3),直线l:y=x,在直线l上存在一点P,使得|PA|+|PB|最小,求这个最小值.
解析 (1)∵||PA|-|PB||≤|AB|,
∴当P为直线BA与x轴的交点时,点P到点A(4,1),B(0,4)的距离之差的绝对值最大,
∴||PA|-|PB||max=|AB|= =5.
∵直线BA的斜率kBA= =- ,
∴直线BA的方程为y=- x+4,则P .
故所求距离之差的绝对值最大为5,此时点P的坐标为 .
(2)设点A关于直线y=x的对称点为A'(a,b),
则 解得 ∴A'(2,1),
∴|PA|+|PB|的最小值为|A'B|= =2 .1.6 平面直角坐标系中的距离公式
基础过关练
题组一 两点间的距离公式及其简单应用
1.已知点M(m,-1),N(5,m),且|MN|=2,则实数m等于( )
A.1 B.3
C.1或3 D.-1或3
2.(多选题)对于,下列说法正确的是( )
A.可看成点(x,0)与点(1,2)的距离
B.可看成点(x,0)与点(-1,-2)的距离
C.可看成点(x,-1)与点(1,2)的距离
D.可看成点(x,-1)与点(-1,1)的距离
3.已知点A(-1,2),B(2,),P为x轴上一点,且|PA|=|PB|,则点P的坐标为( )
A.(-1,0) B.(1,0)
C.(0,-1) D.(0,1)
4.直线l1:3ax-y-2=0和直线l2:y-2=a(x-1)分别过定点A和B,则|AB|= .
5.已知△ABC的顶点分别为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7).证明:△ABC为等腰直角三角形.
6.如图,点P(6,4),Q(-2,1),P1是点P关于x轴的对称点,连接P1Q交x轴于点M.
(1)求点M的坐标;
(2)求|MP|+|MQ|的值;
(3)N是x轴上不同于点M的任意一点,试比较|NP|+|NQ|与|MP|+|MQ|的大小.
题组二 点到直线的距离公式及其简单应用
7.(多选题)已知A(-2,0),B(4,a)两点到直线l:x-y+1=0的距离相等,则a的值可以是( )
A.4 B.6 C.2 D.-2
8.已知点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离等于,则点P的坐标为( )
A.(-1,8)或(3,-4) B.(1,2)或(2,-1)
C.(-2,11)或(1,2) D.(-1,8)或(2,1)
9.美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭:将整个脸部按照发际线至眉骨、眉骨至鼻底、鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭,各占脸长的.五眼:脸的宽度比例,以眼形长度为单位,把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图,假设三庭中一庭的高度为2,五眼中一眼的宽度为1,若直线AB近似记为该人像的刘海边缘,且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点,
则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为( )
A.
C.
10.点P(2,)到直线x+y+t=0的距离不超过2,则实数t的取值范围是 .
11.已知△ABC的顶点分别为A(-1,5),B(-2,-1),C(4,3).求:
(1)BC边上的中线的长;
(2)△ABC的面积.
题组三 两条平行线间的距离公式及其简单应用
12.若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2间的距离为( )
A.
13.若P,Q分别为直线3x+4y-6=0与直线6x+8y+3=0上任一点,则|PQ|的最小值为( )
A.
14.已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为2x+3y+2=0和2x+3y+4=0,另一组对边所在的直线方程分别为6x-4y+c1=0和6x-4y+c2=0,则|c1-c2|=( )
A.4 B.
15.冰糖葫芦是中国传统小吃,起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示,若将山楂看成是大小相同的圆,竹签看成一条线段,如图2所示,且山楂的半径为2,竹签所在的直线方程为2x+y=0,则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为( )
A.2x+y±2=0 B.2x+y±=0
C.2x+y±4=0 D.2x+y±2=0
16.若两平行直线分别经过点A(5,0),B(0,12),则两平行直线间的距离d的取值范围是 .
17.已知直线l1:x-y=0,l2:2x+y-3=0,l3:ax-2y+4=0.
(1)若点P在l1上,且到l2的距离为3,求点P的坐标;
(2)若l2∥l3,求l2与l3之间的距离.
能力提升练
题组一 与直线有关的对称问题
1.直线3x+4y+5=0关于直线x=1对称的直线方程为( )
A.3x-4y+13=0 B.3x-4y-11=0
C.3x+4y-11=0 D.3x+4y+13=0
2.入射光线在直线l1:2x-y-3=0上,先经过x轴反射到直线l2上,再经过y轴反射到直线l3上,则直线l3的方程为( )
A.x-2y+3=0 B.2x-y+3=0
C.2x+y-3=0 D.2x-y+6=0
3.已知直线l:y=2x+3,点M(1,0),则直线l关于点M对称的直线的方程为 .
4.在△ABC中,顶点A(-1,-4),∠B,∠C的平分线所在直线的方程分别是l1:y+1=0,l2:x+y+1=0,则BC边所在直线的方程为 .
5.已知直线l:x-y+3=0,一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B,又从点B反射到l上的一点C,最后从点C反射回点A.
(1)试判断由此得到的△ABC的个数;
(2)求直线BC的方程.
题组二 与距离最值有关的问题
6.已知点(a,b)在线段3x+4y-10=0(-2≤x≤6)上,则a2+b2-2的取值范围是( )
A.[2,18] B.[2,38]
C.[0,38] D.[0,2-2]
7.著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,隔离分家万事休.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)之间的距离.根据上述观点,可得f(x)=的最小值为( )
A.3
8.已知点A(3,1),在直线y=x和y=0上分别找一点M和N,使△AMN的周长最短,则最短周长为 ( )
A.4 B.2
9.设m∈R,过定点A的动直线l1:x+my+1=0和过定点B的动直线l2:mx-y-2m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的最大值为( )
A.3 D.12
10.(多选题)已知点M(-1,1),N(2,1),且点P在直线l:x+y+2=0上,则( )
A.存在点P,使得PM⊥PN
B.存在点P,使得2|PM|=|PN|
C.|PM|+|PN|的最小值为
D.||PM|-|PN||的最大值为3
11.已知在△ABC中,点A(1,1),B(m,)(112.已知m,n,a,b∈R,且满足3m+4n=6,3a+4b=1,则的最小值为 .
答案与分层梯度式解析
1.6 平面直角坐标系中的距离公式
基础过关练
1.C 因为|MN|=,所以,即m2-4m+3=0,解得m=1或m=3,故选C.
2.BD ,可看成点(x,0)与点(-1,-2)或点(-1,2)的距离,也可看成点(x,-1)与点(-1,1)的距离,故选BD.
3.B 设P(m,0),则|PA|=,由|PA|=|PB|,得,解得m=1,故P(1,0).故选B.
4.答案
解析 易得直线l1:3ax-y-2=0经过定点A的坐标为(0,-2),直线l2:y-2=a(x-1)经过定点B的坐标为(1,2),所以|AB|=.
5.证明 因为|AB|=,
|BC|=,
|AC|=,
所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|.
所以△ABC为等腰直角三角形.
6.解析 (1)根据题意可知P1(6,-4),又Q(-2,1),
所以,
所以直线P1Q的方程为y-1=-(x+2),
整理,得5x+8y+2=0.
令y=0,解得x=-,所以点M的坐标为.
(2)根据题意,得|MP|+|MQ|=|MP1|+|MQ|=|QP1|,
由P1(6,-4),Q(-2,1),得|QP1|=.
所以|MP|+|MQ|=.
(3)|NP|+|NQ|=|NP1|+|NQ|,
|MP|+|MQ|=|MP1|+|MQ|=|QP1|,
在△NQP1中,由两边之和大于第三边,知|NP1|+|NQ|>|QP1|,所以|NP|+|NQ|>|MP|+|MQ|.
7.AB 因为点A,B到直线l的距离相等,所以,解得a=4或a=6.故选AB.
8.B 因为点P在直线3x+y-5=0上,所以可设点P的坐标为(a,5-3a),则点P到直线x-y-1=0的距离d=,解得a=2或a=1.当a=2时,点P的坐标为(2,-1);当a=1时,点P的坐标为(1,2).综上所述,点P的坐标为(1,2)或(2,-1).故选B.
9.B 如图所示,以鼻尖所在位置为原点O,中庭下边界为x轴,垂直于中庭下边界的直线为y轴,建立平面直角坐标系,
则A,
所以直线AB的方程为,整理得x-y+=0,所以原点O到直线AB的距离为.故选B.
10.答案 [-9,-1]
解析 因为点P(2,)到直线x+y+t=0的距离不超过2,所以≤2,解得-9≤t≤-1,
故实数t的取值范围是[-9,-1].
11.解析 (1)设BC边的中点为D,连接AD,则D(1,1),所以BC边上的中线AD的长为.
(2)因为kAB==6,所以AB边所在直线的方程为y+1=6(x+2),即6x-y+11=0,
又|AB|=,
点C(4,3)到直线AB的距离d=,
所以S△ABC==16.
12.B ∵直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,∴3-a(a-2)=0且2a2-18≠0,解得a=-1,∴l1:x-y+6=0,l2:-3x+3y-2=0,即x-y+=0,∴直线l1与l2间的距离d=.故选B.
13.C 由,得两条直线相互平行,|PQ|的最小值就是两平行线之间的距离,
方程3x+4y-6=0可变形为6x+8y-12=0,
则|PQ|的最小值为.
故选C.
14.A 直线2x+3y+2=0与直线2x+3y+4=0之间的距离d1=,直线6x-4y+c1=0与直线6x-4y+c2=0之间的距离d2=|c1-c2|,由题意得d1=d2,即|c1-c2|,解得|c1-c2|=4.故选A.
15.D 因为竹签所在的直线方程为2x+y=0,所以可设与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为2x+y+c=0(c≠0),由两平行直线间的距离公式,可得=2,解得c=±2,所以与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为2x+y±2=0.故选D.
16.答案 (0,13]
解析 易知当两平行直线与直线AB垂直时,d最大,即dmax=|AB|=13,所以0故d的取值范围是(0,13].
17.解析 (1)设点P的坐标为(t,t),
由,得|t-1|=5,∴t=-4或t=6,
∴点P的坐标为(-4,-4)或(6,6).
(2)由l2∥l3,得a=-4,
∴l3:-4x-2y+4=0,即2x+y-2=0,
∴l2与l3之间的距离d=.
能力提升练
1.B 设点P(x,y)是所求直线上任意一点,则P(x,y)关于直线x=1的对称点为P'(2-x,y),且点P'在直线3x+4y+5=0上,所以3(2-x)+4y+5=0,整理得3x-4y-11=0.所以所求直线的方程为3x-4y-11=0.故选B.
2.B 设直线l1:2x-y-3=0与x轴,y轴的交点分别为A,B,则A,B(0,-3).易知点A关于y轴的对称点A1的坐标为,点B关于x轴的对称点B1的坐标为(0,3),且A1,B1在反射光线l3上,故l3的方程为=1,即2x-y+3=0.故选B.
3.答案 2x-y-7=0
解析 设(x0,y0)为对称直线上任一点,
则其关于点M的对称点为(2-x0,-y0),易知该点在直线l上,
所以-y0=2(2-x0)+3,化简得2x0-y0-7=0,
所以所求直线的方程为2x-y-7=0.
4.答案 x+2y-3=0
解析 由题意得,点A关于直线l1和l2对称的点A1,A2都在直线BC上,
设A1(x1,y1),A2(x2,y2),
易得所以A1(-1,2),
易得所以A2(3,0),
则,所以BC边所在直线的方程为y-0=-(x-3),整理得x+2y-3=0.
5.解析 (1)如图,设B(m,0),点A关于x轴的对称点为A'(1,-2),
设点B关于直线l:x-y+3=0的对称点为B'(x0,y0),
则
∴B'(-3,m+3).
根据光学知识,知点C既在直线A'B上,也在直线B'A上,易得直线A'B的方程为y=(x-m).
由得x=.
又直线B'A的方程为y-2=(x-1),
由得x=.
所以,即3m2+8m-3=0,
解得m=或m=-3.
当m=时,符合题意;
当m=-3时,点B在直线x-y+3=0上,不符合题意.
综上,符合题意的△ABC只有1个.
(2)由(1)得m=,
则直线A'B的方程为3x+y-1=0,
即直线BC的方程为3x+y-1=0.
6.B 如图所示,
(a,b)是图中线段AB上的一点,且a2+b2为原点到该线段上点的距离的平方,易知A(-2,4),B(6,-2),所以|OA|2=22+42=20,|OB|2=62+22=40,又原点到直线的距离d==2,则d2=4,所以a2+b2∈[4,40],所以a2+b2-2∈[2,38].故选B.
7.答案 C
信息提取 ①令|PA|=;②求|PA|+|PB|的最小值.
数学建模 构建平面内两点间的距离问题,将求函数的最值问题转化为平面内动点到两定点的距离之和的最值问题,再通过对称性求解.
解析 f(x)=,
表示点P(x,0)到点A(-2,4)和B(-1,3)的距离之和,如图所示:
C(-2,-4)是点A(-2,4)关于x轴的对称点,故最小值为|BC|=.
8.B 设点A关于直线y=x和y=0的对称点分别为B,C,则B(1,3),C(3,-1),∴|BC|=2.
∵|AM|+|AN|+|MN|=|BM|+|CN|+|MN|≥|BC|,
∴最短周长为2.故选B.
9.B 方程x+my+1=0可化为my=-(x+1),则直线l1过定点A(-1,0),方程mx-y-2m+3=0可化为y-3=m(x-2),则直线l2过定点B(2,3),当m=0时,如图①所示,
直线l1:x=-1,直线l2:y=3,则交点P(-1,3),
此时|PA|=3,|PB|=3,∴|PA|+|PB|=6;
当m≠0时,如图②所示,
直线l1的斜率k1=-,直线l2的斜率k2=m,
∵k1k2=-1,∴l1⊥l2,则△PAB是直角三角形,
∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=(2+1)2+(3-0)2=18,
又∵(|PA|+|PB|)2=|PA|2+|PB|2+2|PA||PB|≤2(|PA|2+|PB|2)=2×18=36,且|PA|+|PB|>0,
∴|PA|+|PB|≤=6,当且仅当|PA|=|PB|=3时等号成立.∴|PA|+|PB|的最大值为6.故选B.
10.BCD 对于A,设P(a,-a-2),当a=-1时,P(-1,-1),PM的斜率不存在,kPN=≠0,PM与PN不垂直,同理,当a=2时,P(2,-4),易知PM与PN不垂直,当a≠-1且a≠2时,kPM=,若PM⊥PN,则kPM·kPN==-1,整理,得2a2+5a+7=0,则Δ=52-4×2×7<0,方程无解,故PM与PN不垂直,故A错误;
对于B,设P(a,-a-2),若2|PM|=|PN|,则2,即2a2+10a+9=0,则Δ=102-4×2×9=28>0,方程有解,则存在点P,使得2|PM|=|PN|,故B正确;
对于C,如图①,设M(-1,1)关于直线l的对称点为M'(m,n),
则即M'(-3,-1),所以|PM|+|PN|=|PM'|+|PN|≥|M'N|=,当且仅当M',P,N三点共线时取等号,故C正确;
对于D,如图②,
||PM|-|PN||≤|MN|=3,当且仅当P在NM的延长线与直线l的交点处时取等号,故D正确.
故选BCD.
11.答案
解析 因为A(1,1),C(4,2),
所以|AC|=.
直线AC的方程为y-1=(x-1),即x-3y+2=0,
根据点到直线的距离公式可得点B(m,)(1所以S=|AC|·d=+2|
=.
因为1所以-,所以0≤,
所以当=0,即m=时,S最大.
12.答案 1
解析 设点A(m,n),B(a,b),直线l1:3x+4y=6,直线l2:3x+4y=1,
则|AB|=,
由题意知点A(m,n)在直线l1:3x+4y=6上,点B(a,b)在直线l2:3x+4y=1上,显然l1∥l2,
所以|AB|的最小值就是两平行线之间的距离,
即|AB|min==1.
1
