2.2 圆的一般方程
基础过关练
题组一 对圆的一般方程的理解
1.圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的半径为( )
A.4 B.2
C. D.1
2.下列关于方程x2+y2+2ax-b2=0的说法正确的是 ( )
A.该方程表示一个圆
B.只有当a=0时,该方程才能表示一个圆
C.该方程表示一个点
D.当a,b不全为0时,该方程才能表示一个圆
3.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,且坐标原点在该圆外,则a的取值范围是 .
4.若圆C:x2+y2+Dx+2y=0的圆心在直线x-2y+1=0上,则圆C的半径为 .
题组二 求圆的一般方程
5.圆心在射线y=x(x≤0)上,半径为5,且经过坐标原点的圆的方程为( )
A.x2+y2-8x-6y=0
B.x2+y2-6x-8y=0
C.x2+y2+8x+6y=0
D.x2+y2+6x+8y=0
6.过点M(-1,1),且圆心与已知圆C:x2+y2-4x+6y-3=0相同的圆的一般方程为 .
7.已知点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),D(2,a)四点共圆,则a= .
8.已知圆C过点M(0,-2),N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上,求圆C的一般方程.
题组三 圆的一般方程的应用
9.圆x2+y2-2x-2y-7=0的圆心到直线x+y=0的距离为( )
A.
C.2 D.3
10.若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线y=x-1对称,则( )
A.D+E=2 B.D-E=-1
C.D-E=-2 D.D+E=1
11.(多选题)若点A(a,a)在圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0外,则实数a的值可以是( )
A.-5 B.-4 C.4 D.5
12.(多选题)若P为圆C:x2+y2-4x-6y+9=0上任意一点,点Q(1,2),则|PQ|的值可以为( )
A.0.6 B.2 C.3.41 D.3.42
13.若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-7)2的最小值为 .
能力提升练
题组 圆的方程及其应用
1.在平面直角坐标系中,已知点A(4,3),点B是圆(x+1)2+y2=4上的动点,则线段AB的中点M的轨迹方程是( )
A.=1
B.=4
C.(x-3)2+(y-3)2 =1
D.(x-3)2+(y-3)2=2
2.方程x2+y2+ax+(2b-1)y-1-b2=0表示圆心在y轴上的圆,当其半径r最小时,方程为( )
A.x2+=1 B.x2+(y-1)2=2
C.x2+
3.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点Q,P的距离之比=λ(λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆,其方程为x2+y2=1,Q为x轴上一定点,P,且λ==2,则点Q的坐标为( )
A.(-1,0) B.(1,0)
C.(-2,0) D.(2,0)
4.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆取得最大面积时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角α等于( )
A.135° B.45° C.60° D.120°
5.圆x2+y2-4y=0关于直线y=2x+1对称的图形的方程为( )
A.(x-1)2+(y-1)2=2
B.(x-1)2+(y-2)2=4
C.=4
D.=4
6.圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0(a>0,b>0)对称,则的最小值为 .
7.平面直角坐标系中,已知点A(-1,-1),B(0,3),P(1,a),N(1,a+1),当四边形PABN的周长最小时,△APN的外接圆的方程为 .
8.已知圆C过点A(4,2),B(1,3),它与x轴的交点为(x1,0),(x2,0),与y轴的交点为(0,y1),(0,y2),且x1+x2+y1+y2=6,求圆C的一般方程.
9.已知平面直角坐标系中的点P(x,y)的坐标x,y满足x2+y2-6x+4y+4=0,记μ=x2+y2+2x-4y的最大值为M,最小值为m.
(1)请说明点P的轨迹是怎样的图形;
(2)求M+m的值.
答案与分层梯度式解析
2.2 圆的一般方程
基础过关练
1.B 圆C的半径r==2.故选B.
2.D 方程x2+y2+2ax-b2=0可化为(x+a)2+y2=a2+b2,所以当a=b=0时,方程表示一个点;当a,b不全为0时,方程表示一个圆.故选D.
3.答案 (-2,-1)∪
解析 因为方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,
所以a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,
整理,得3a2+4a-4<0,解得-2
又坐标原点在圆外,所以2a2+a-1>0,即(2a-1)(a+1)>0,解得a<-1或a>.
综上所述,a∈(-2,-1)∪.
4.答案
解析 圆C:x2+y2+Dx+2y=0的圆心为,
则有--2×(-1)+1=0,解得D=6,所以圆C的半径为.
5.C 因为圆心在射线y=x(x≤0)上,所以设圆心为(a≤0),又半径为5,且经过坐标原点,所以=5,解得a=-4或a=4(舍去),所以圆心为(-4,-3),则圆的方程为(x+4)2+(y+3)2=25,即x2+y2+8x+6y=0.故选C.
6.答案 x2+y2-4x+6y-12=0
解析 将圆C的方程化为标准方程得(x-2)2+(y+3)2=16,则圆心C的坐标为(2,-3),故所求圆的半径r=|CM|==5,所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25,即x2+y2-4x+6y-12=0.
7.答案 1
解析 设过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则
所以过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+6x-2y-15=0,又点D在此圆上,所以4+a2+12-2a-15=0,即a2-2a+1=0,所以a=1.
8.解析 设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则有
所以圆C的一般方程为x2+y2-6x+4y+4=0.
9.A 将x2+y2-2x-2y-7=0化为(x-1)2+(y-1)2=9,则圆心为(1,1),其到直线x+y=0的距离d=.故选A.
10.C 由圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可知圆心坐标为,因为圆关于直线y=x-1对称,所以圆心在直线y=x-1上,所以-
-1,即D-E=-2.故选C.
11.AB 解法一:由题意得(-2a)2+02-4(a2+2a-3)>0,解得a<.又点A(a,a)在圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0外,所以a2+a2-2a2+a2+2a-3>0,即a2+2a-3>0,解得a<-3或a>1.
综上所述,a的取值范围为(-∞,-3)∪,故选AB.
解法二:把圆的方程化为标准方程为(x-a)2+y2=3-2a,设圆心为P,则P(a,0),半径r=,易知3-2a>0,所以a<.若点A(a,a)在圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0外,则|AP|=,即有a2>3-2a,解得a<-3或a>1,又a<,所以实数a的取值范围是(-∞,-3)∪.故选AB.
ABC 由圆C的方程得圆心为C(2,3),半径r==2,而|CQ|=<2,故点Q在圆C内,
由图可知,|PQ|max=r+|CQ|=2+,此时P与P1重合;|PQ|min=r-|CQ|=2-,此时P与P2重合.
故|PQ|的取值范围为[2-].
结合选项可知ABC正确.
13.答案 20
解析 圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的圆心为(-2,-1),半径为2,由题意得直线l:ax+by+1=0过圆心,则-2a-b+1=0,即b=1-2a,则(a-2)2+(b-7)2=(a-2)2+(1-2a-7)2=5(a+2)2+20≥20.故答案为20.
能力提升练
1.A 设B(m,n),M(x,y),则根据中点坐标公式得由点B在圆(x+1)2+y2=4上,得(2x-3)2+(2y-3)2=4,即=1,故选A.
2.D 由题意得a=0,则方程为x2+y2+(2b-1)y-1-b2=0,即x2+,则r2=1+,令函数f(b)=,可知其图象的开口向上,对称轴为直线b=,所以f(b)的最小值为f,即r2的最小值为,此时圆的方程为x2+.故选D.
3.C 设Q(a,0),M(x,y),则|MQ|=.因为λ==2,所以=2,整理得x2+y2+.因为动点M的轨迹方程是x2+y2=1,所以解得a=-2,所以Q(-2,0).
故选C.
4.A 设圆的半径为r.方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的标准方程为,则r2=1-,当此圆取得最大面积时,k=0,此时r=1,直线y=(k-1)x+2即为y=-x+2,所以tan α=-1,因为0°≤α<180°,所以α=135°,故选A.
5.D 圆关于直线对称的图形仍为圆.
将已知圆的方程x2+y2-4y=0化为标准方程可得x2+(y-2)2=4,其圆心为(0,2),记C(0,2),半径r=2.
设点C(0,2)关于直线y=2x+1对称的点为D(x0,y0),
则有
即对称圆的圆心为D.
易知对称圆的半径r1=r=2,
所以其方程为=4.故选D.
6.答案 9
解析 圆x2+y2+4x-2y-1=0,即(x+2)2+(y-1)2=6,其圆心为(-2,1),
因为圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0(a>0,b>0)对称,
所以直线ax-2by+2=0(a>0,b>0)过圆心(-2,1),
所以-2a-2b+2=0,即a+b=1,
又a>0,b>0,
所以≥2+5=9,
当且仅当,即a=时取等号,
所以的最小值为9.
7.答案 x2+y2+3x-3y-2=0
解析 四边形PABN的周长C=|PA|+|AB|+|BN|+|NP|=+1,
故当取得最小值时四边形PABN的周长最小.
,它表示y轴上的点(0,-a)与(-2,1)和点(1,-2)的距离之和,易知当这三点共线时该距离之和最小,为点(-2,1)和点(1,-2)间的距离,令G(-2,1),H(1,-2),则kGH==-1,所以直线GH的方程为y-1=-(x+2),令x=0,得y=-1,所以a=1.
因此四边形PABN的周长最小时,P(1,1),N(1,2).
设经过A,P,N三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则
故△APN的外接圆的方程为x2+y2+3x-3y-2=0.
8.解析 设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
令y=0,得x2+Dx+F=0,所以x1+x2=-D;
令x=0,得y2+Ey+F=0,所以y1+y2=-E.
所以x1+x2+y1+y2=-(D+E)=6,
所以D+E=-6.①
又圆C过点A(4,2),B(1,3),
所以42+22+4D+2E+F=0,②
12+32+D+3E+F=0,③
由①②③得D=-4,E=-2,F=0,
所以圆C的一般方程为x2+y2-4x-2y=0.
9.解析 (1)x2+y2-6x+4y+4=0可化为(x-3)2+(y+2)2=9.因此,点P的轨迹是以(3,-2)为圆心,3为半径的圆.
(2)μ=x2+y2+2x-4y=(x+1)2+(y-2)2-5,
设C1(3,-2),C2(-1,2),则μ=|C2P|2-5,
|C2C1|=.
易知|C2P|max=|C2C1|+3=4+3,
|C2P|min=|C2C1|-3=4-3,
∴M=(4-3)2-5,∴M+m=72.
1(共13张PPT)
圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.
特别地,当a=b=0时,方程为x2+y2=r2,表示以坐标原点为圆心,r为半径的圆.
§２ 圆与圆的方程
知识点 1 圆的标准方程
知识 清单破
2.1 圆的标准方程
2.2 圆的一般方程
1.圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0),其圆心为 ,半径为
.
2.圆的一般方程在代数结构上的典型特征
(1)x2,y2的系数相同,且不等于0;
(2)不含xy项.
知识点 2 圆的一般方程
知识点 3 点与圆的位置关系
点(x0,y0)与圆的位置关系 判断方法 若圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2 若圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
点在圆内 (x0-a)2+(y0-b)2点在圆上 (x0-a)2+(y0-b)2=r2 + +Dx0+Ey0+F=0
点在圆外 (x0-a)2+(y0-b)2>r2 + +Dx0+Ey0+F>0
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.已知圆心和圆上一点,能确定圆的方程.( )
2.圆(x-1)2+(y-2)2=5的圆心为(1,2),半径为5. ( )
3.过原点且圆心为(a,b)的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0). ( )
4.方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆.( )
5.方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)表示圆. ( )
√
√
√
提示
提示
提示
半径为 .
当m=0时,方程表示一个点,当m≠0时,方程表示一个圆.
方程可化为x2+y2+ax-ay=0.因为D2+E2-4F=2a2>0,所以此方程表示圆.
1.直接代入法
确定圆心坐标和半径,直接代入圆的标准方程即可.
(1)利用已知条件确定圆心C(a,b)及半径r.
(2)利用几何性质,确定圆心C(a,b)及半径r.
①圆心与切点的连线垂直于圆的切线;
②圆心到切线的距离等于圆的半径;
③圆的半径r,弦长的一半h与弦心距d满足r2=h2+d2;
④圆的弦的垂直平分线过圆心;
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 圆的标准方程的求法
⑤已知过圆心的直线l及圆上两点,则两点连线(圆的弦)的垂直平分线m(m与l不重合)与直线l
的交点即为圆心.
2.待定系数法
(1)根据题意,设所求圆的标准方程或一般方程;
(2)根据已知条件建立关于参数的方程组;
(3)解方程组,求出参数的值;
(4)将参数的值代入所设的方程中,即可得到所求圆的方程.
典例 (1)已知圆P过点A(1,0),B(4,0),若圆心P的纵坐标为2,求圆P的标准方程;
(2)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0, )在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为 ,
求圆C的标准方程;
(3)已知圆C的圆心在直线x-2y-3=0上,且圆C过点A(2,-3),B(-2,-5),求圆C的标准方程.
解析 (1)由圆的对称性可知,圆心P必在线段AB的垂直平分线上,
∴P的横坐标为 = ,即P ,
圆P的半径r=|AP|= = ,
∴圆P的标准方程为 +(y-2)2= .
(2)设圆心C(a,0)(a>0),则 = ,
∴a=2,半径r=|CM|= =3,
故圆C的标准方程为(x-2)2+y2=9.
(3)∵圆C的圆心在直线x-2y-3=0上,
∴设圆心C(2m+3,m),半径为r,
则圆C的方程为(x-2m-3)2+(y-m)2=r2,
又圆C过点A(2,-3),B(-2,-5),
∴ 解得
∴C(-1,-2),
故圆C的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
1.求与圆有关的轨迹问题的方法
(1)直接法:直接根据已知条件列出方程.
(2)定义法:根据圆、直线等定义列方程.
(3)代入法:找到要求点与已知点的关系,将已知点的坐标用要求点的坐标表示并代入已知点
的坐标满足的关系式.
2.直接法求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
(2)列出适合条件P的点M的集合{M|P(M)};
(3)用坐标表示P(M),列出方程f(x,y)=0;
讲解分析
疑难 2 与圆有关的轨迹问题
(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
(5)证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
也可简记为:建系、设点、列式、化简、证明.
典例 已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点的轨迹方程.
解析 (1)设线段AP的中点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),
由题意得 ∴
又点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上,
∴(2x-2)2+(2y)2=4,即(x-1)2+y2=1.
故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
(2)设PQ的中点为N(x1,y1),
在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.
设O为圆x2+y2=4的圆心,连接ON,则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以 + +(x1
-1)2+(y1-1)2=4,化简得 + -x1-y1-1=0.
故线段PQ的中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.