2.3 直线与圆的位置关系
基础过关练
题组一 直线与圆的位置关系的判断
1.直线xsin θ+y-1=0与圆x2+y2=1的位置关系为( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.相切或相交
2.已知直线l:m(x+2)+y-1=0,圆C:x2+y2=6,则直线l与圆C的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
3.(多选题)在同一平面直角坐标系中,直线ax-y+a=0与圆(x+a)2+y2=a2的位置可能是( )
4.若点P(a,b)在圆C:x2+y2=1内,则直线ax+by=1与圆C的位置关系为( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不能确定
题组二 圆的切线问题
5.过点M(2,1)作圆C:(x-1)2+y2=2的切线,则切线的条数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6.(2024重庆第一中学校月考)圆心在y轴上的圆C与直线x-y=1相切于点A(1,0),则圆心C的纵坐标为( )
A.2 B. C.1 D.0
7.若直线y=k(x-1)+2与圆x2+(y-1)2=2相切,则k的值为 ( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
8.以(1,m)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0,2x-y-6=0都相切的圆的标准方程为( )
A.(x-1)2+(y+9)2=5
B.(x-1)2+(y-1)2=25
C.(x-1)2+(y-1)2=5
D.(x-1)2+(y+9)2=25
9.(多选题)已知圆x2+y2=4和点A(2,-1),则过点A的圆的切线方程为( )
A.4x-3y-11=0 B.4x+3y-11=0
C.3x-4y-10=0 D.x=2
10.已知圆C:(x-2)2+(y-1)2=4及圆C外一点M(-4,-1),过点M作圆C的一条切线,切点为N,则|MN|= .
11.由直线x-y+2=0上的点P向圆C:(x-4)2+(y+2)2=1引切线PT(T为切点),则线段PT的最小长度为 .
题组三 圆的弦长问题
12.已知直线l:3x-4y+5=0与圆O:x2+y2=21交于A,B两点,则|AB|=( )
A.2
C.4 D.8
13.(多选题)圆x2+y2-2x+4y-20=0截直线5x-12y+c=0所得的弦长为8,则c的值可能为( )
A.10 B.-68
C.5 D.-34
14.直线y=kx+2与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则k的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
15.(多选题)已知圆(x-1)2+(y-1)2=4与直线x+my-m-2=0,则下列说法正确的是( )
A.直线与圆必相交
B.直线与圆不一定相交
C.直线与圆相交且被截得的弦最短为2
D.直线与圆相交且被截得的弦最长为4
16.若a,b,c是直角三角形的三边长(c为斜边长),则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=2所截得的弦长等于 .
17.直线3x-4y-5=0与圆C:(x-2)2+(y-1)2=25相交于A,B两点,求△ABC的面积.
18.如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处,B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴的正方向,1千米为单位长度,建立平面直角坐标系.圆C经过O,A,B三点.
(1)求圆C的方程;
(2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处,正沿着北偏东45°方向行驶,不改变行驶方向,试问该船有没有触礁的危险
能力提升练
题组一 直线与圆相切的综合应用
1.从原点O引圆(x-m)2+(y-2)2=m2+1的切线y=kx,当m的值变化时,切点P的轨迹方程是( )
A.x2+y2=2(x≠0)
B.(x-1)2+y2=3(x≠0)
C.(x-1)2+(y-1)2=1(x≠0)
D.x2+y2=3(x≠0)
2.(多选题)设圆:x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,P(5,1)为圆外一点,过P作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则( )
A.|PA|=|PB|=2
B.P,A,C,B四点共圆
C.∠APB=30°
D.直线AB的方程为x=2
3.在平面直角坐标系中,已知圆C:x2+(y-3)2=2,A是x轴上的一个动点,AP,AQ分别切圆C于P,Q两点,则线段PQ长度的取值范围是( )
A.
C.
4.(多选题)已知圆M:(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1,直线l:y=kx,则下面命题中是真命题的有( )
A.对任意实数k与θ,直线l和圆M相切
B.对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点
C.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l和圆M相切
D.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l和圆M相切
5.已知点A(x,y)在曲线y=上运动,则的最大值为 .
6.已知过点P(3,0)的直线与圆C:(x-2)2+(y-1)2=4交于A,B两点(A点在x轴上方),若|BP|=3|PA|,圆的切线l与AB平行,则直线AB与切线l间的距离是 .
7.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若不过原点的直线l与圆C相切,且在x轴,y轴上的截距相等,求直线l的方程;
(2)从圆C外一点P(x,y)向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求点P的轨迹方程.
题组二 直线与圆相交的综合应用
8.已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条互相垂直的弦,且垂足为M(1,),则四边形ABCD面积的最大值为( )
A.4 B.5 C.8 D.10
9.已知圆O:x2+y2=49,直线l过点M(6,3),且交圆O于P,Q两点,则使弦长|PQ|为整数的直线l的条数为( )
A.18 B.20 C.22 D.24
10.(多选题)在平面直角坐标系中,已知点A(-4,2),B(2,2),点P满足=2,设点P的轨迹为圆C,则下列说法正确的是( )
A.圆C的方程是(x-4)2+(y-2)2=16
B.过点A向圆C引切线,两条切线的夹角为
C.过点A作直线l,若圆C上恰有三个点到直线l的距离为2,则该直线的斜率为±
D.过直线3x+4y=60上的一点D向圆C引切线DM,DN,切点分别为M,N,则四边形DMCN的面积的最小值为16
11.已知直线l:mx-y-m=0与☉C:(x+1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足△ABC的面积为的实数m的一个值: .
12.若直线l过点A(0,5),且被圆C:x2+y2+4x-12y+24=0截得的弦长为4,则直线l的方程为 .
13.若直线l:ax+by=0(b≠0)与圆C:x2+y2-4x-4y-10=0相交于A,B两点,|AB|≥8,则直线l的斜率的取值范围为 .
14.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短的问题.在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2+(y+2)2≤2,若将军从点A(-4,0)处出发,河岸线所在直线的方程为x+y-1=0,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为 .
15.已知两点D(4,2),M(3,0)及圆C:(x-2)2+(y-3)2=5,l为经过点M的一条动直线.
(1)若直线l经过点D,求证:直线l与圆C相切;
(2)若直线l与圆C相交于两点A,B,从下列条件中选择一个作为已知条件,并求△ABD的面积.
条件①:直线l平分圆C;
条件②:直线l的斜率为-3.
16.已知圆C过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线l:2x-7y+8=0上.
(1)求圆C的标准方程;
(2)过点D(0,5)且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M,N,若=30,其中O为坐标原点,求直线l的方程.
答案与分层梯度式解析
2.3 直线与圆的位置关系
基础过关练
1.D 圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径r=1,
则圆心到直线的距离d=≤r=1,
所以直线与圆相切或相交.故选D.
2.A 由直线方程可得y-1=-m(x+2),因此直线l过定点(-2,1),设为A,因此|AC|=.故点A在圆C的内部,从而直线l与圆C相交,故选A.
3.AD 圆(x+a)2+y2=a2的圆心为(-a,0),半径为|a|.圆心(-a,0)到直线ax-y+a=0的距离d=.不妨令<|a|,可得<1,即1-2a+a2<1+a2,当a>0时,不等式恒成立,说明直线与圆相交,圆心在x轴负半轴上且直线的斜率为正数;当a<0时,不等式不成立,说明直线与圆相离,圆心在x轴正半轴上且直线的斜率为负数.所以A,D可能,B,C不可能.故选AD.
4.C 因为点P(a,b)在圆C:x2+y2=1内,所以a2+b2<1,设圆心C(0,0)到直线ax+by=1的距离为d,则d=>1,因为圆C:x2+y2=1的半径r=1,所以d>r,所以直线ax+by=1与圆C的位置关系为相离.故选C.
5.B 因为(2-1)2+12=2,所以点M(2,1)在圆C:(x-1)2+y2=2上,所以过点M(2,1)所作的圆C:(x-1)2+y2=2的切线仅有1条.故选B.
6.C 由题意得,直线AC垂直于直线x-y=1,则直线AC的方程为y=
-(x-1),即x+y-1=0.令x=0,得y=1,即圆心C的纵坐标为1.故选C.
7.D 圆x2+(y-1)2=2的圆心为(0,1),半径r=.∵直线y=k(x-1)+2与圆x2+(y-1)2=2相切,∴,整理得(k+1)2=0,∴k=-1,故选D.
8.C 设圆的半径为r,则r=,可得所以圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5,故选C.
9.CD 当过点A且与圆相切的直线的斜率存在时,设切线方程为y=k(x-2)-1,即kx-y-2k-1=0,则圆心到该直线的距离为=2,解得k=,故切线方程为3x-4y-10=0;当过点A且与圆相切的直线的斜率不存在时,直线方程为x=2,经验证,直线x=2与圆x2+y2=4相切.故过点A的圆的切线方程为3x-4y-10=0和x=2,故选CD.
10.答案 6
解析 圆C:(x-2)2+(y-1)2=4的圆心为C(2,1),半径r=2,由题意得CN⊥MN,
所以|MN|==6.
11.答案
解析 圆C:(x-4)2+(y+2)2=1的圆心C(4,-2),半径r=1,点C(4,-2)到直线x-y+2=0的距离d=,
于是得|PT|=,当且仅当PC垂直于直线x-y+2=0时取“=”,
所以线段PT的最小长度为.
12.B 由题意得圆O的圆心为O(0,0),半径r=,圆心O到直线l的距离d==1,所以|AB|=2.故选B.
13.AB x2+y2-2x+4y-20=0化为标准方程为(x-1)2+(y+2)2=52,则圆心为(1,-2),半径r=5,又弦长l=8,∴圆心到直线的距离d=,解得c=10或c=-68.故选AB.
14.A 圆(x-3)2+(y-2)2=4的圆心为(3,2),半径r=2,将直线y=kx+2化为kx-y+2=0,则圆心到直线kx-y+2=0的距离d=≥0,由垂径定理得|MN|=2,因为|MN|≥2,所以2≥2,解得0≤d≤1,即∈[0,1],解得-≤k≤,故k的取值范围是.故选A.
15.AC 圆(x-1)2+(y-1)2=4的圆心为(1,1),半径r=2.将x+my-m-2=0变形为x-2+m(y-1)=0,得直线过定点(2,1).∵=1<2,∴点(2,1)在圆内,∴直线与圆必相交,故A正确,B错误;由平面几何知识可知,当直线x+my-m-2=0与过定点(2,1)和圆心的直线垂直时,所得的弦最短,此时弦长为2×,故C正确;易知直线x+my-m-2=0不可能过圆心,∴直线被截得的弦的长不可能为4,故D错误.故选AC.
16.答案 2
解析 由题意得a2+b2=c2,则圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离d==1,又半径r=,所以弦长为2=2.
17.解析 由题知圆心为C(2,1),半径为5,圆心到直线的距离d=.由勾股定理得|AB|=2×,所以S△ABC=.
18.解析 (1)易知O(0,0),A(40,40),B(20,0).
设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则
故圆C的方程为x2+y2-20x-60y=0.
(2)由题意得D(-20,-20),
船航线所在直线的斜率为1,
故船航线所在直线的方程为x-y+20-20=0.
由(1)得圆C的圆心坐标为(10,30),半径为10.
圆心C到直线x-y+20-20=0的距离d=,
故该船有触礁的危险.
能力提升练
1.D 设P(x,y),x≠0,易知|OP|=,∴x2+y2=3(x≠0),故选D.
2.ABD 将圆C的方程化为标准方程,得(x-1)2+(y-1)2=4,所以圆心C(1,1),半径r=2.如图,对于A,因为|PC|==4,所以|PA|=|PB|=,故A正确;在Rt△BCP中,PC=4,BC=2,则sin∠CPB=,即∠CPB=30°,则∠APB=2∠CPB=60°,∠BCP=∠ACP=60°,所以点A,B在直线PC上的投影长均为2×
cos 60°=1,则点A,B的横坐标均为2,所以直线AB的方程为x=2,故C错误,D正确;对于B,直线PC与圆C相交于点D(3,1),显然|DC|=|DB|=|DP|=|AD|=2,故P,A,C,B四点共圆,故B正确.故选ABD.
B 设|AC|=x,则x≥3,由PC⊥AP可知|AP|=,
∵AC垂直平分PQ,∴|PQ|=2×,∴当x=3时,|PQ|取得最小值,最小值为2,又≤|PQ|<2.故选B.
4.BD 由题意可得,圆M的圆心为(-cos θ,sin θ),半径为1,则圆心到直线l:y=kx的距离d==|sin(θ+φ)|≤1,所以直线l和圆M有公共点,且对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l和圆M相切.故选BD.
5.答案
解析 y=可变形为x2+y2=4(y≥0),它是以原点为圆心,2为半径的上半圆,如图,
点A(x,y)在上半圆上运动,表示点A(x,y)与点M(-4,0)连线的斜率,
由图可知,当直线AM与半圆相切时斜率最大,设直线AM的斜率为k,则直线方程为y=k(x+4),即kx-y+4k=0,
因此=2,解得k=(负值舍去),
所以.
6.答案 2-或2+
解析 因为(3-2)2+(0-1)2<4,所以点P(3,0)在圆C内,即点P在弦AB上.
因为点P在x轴上,点A在x轴上方,所以点B在x轴下方,如图所示:
则直线AB必不可能与y轴垂直,可设直线AB的方程为x=my+3.
由得(m2+1)y2+(2m-2)y-2=0,
易知该方程有两个不相等的实数根,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y2<0因为|BP|=3|PA|,所以|0-y2|=3|y1-0|,即-y2=3y1,
则y1+y2=-2y1=,即y1=,
由y1>0可得m>1,
所以y1y2=-3,整理得m2-6m+1=0,
解得m1=3-2(舍去),m2=3+2,
所以直线AB的方程为x=(3+2)y+3,即(3+2)y-x+3=0,则圆心C(2,1)到直线AB的距离d=.
因为圆心C(2,1)到切线l的距离是半径2,
所以直线AB与切线l间的距离是2-或2+.
7.解析 (1)易知圆C的圆心坐标为(-1,2),半径为.
由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零,设直线方程为x+y-a=0(a≠0),由直线与圆相切得,解得a=-1或a=3,
∴直线l的方程为x+y+1=0或x+y-3=0.
(2)易知|PC|2=|PM|2+|CM|2=|PM|2+2,
∴|PM|2=|PC|2-2.
∵|PM|=|PO|,∴|PC|2-2=|PO|2,
∴(x+1)2+(y-2)2-2=x2+y2,
即2x-4y+3=0,故点P的轨迹方程为2x-4y+3=0.
8.B 设圆心O到直线AC,BD的距离分别为d1,d2,则=OM2=3,所以四边形ABCD的面积S=AC·BD=≤4-=5,当且仅当时取等号.故四边形ABCD面积的最大值为5.故选B.
9.B 圆O的半径r=7,因为62+32=45<49,所以点M在圆O内.过点O作OC⊥PQ,垂足为C,连接OM,OP,如图所示,
设|OC|=d,
则有|PQ|=2,
所以当|CM|=0,即M,C两点重合时,|PQ|取得最小值,为2=4,
当PQ为圆O的直径时,|PQ|取得最大值,为2r=14,
所以4≤|PQ|≤14.
当|PQ|=4时,表示圆O内过点M的最短弦,只有1条;当|PQ|=14时,表示圆O内过点M的最长弦,只有1条;当|PQ|=5,6,7,8,9,10,11,12,13时,由圆的对称性可知,圆O内过点M的弦有2条.
故使弦长|PQ|为整数的直线l的条数为1+1+9×2=20.
10.ABD 对于A,设P(x,y),则=2,化简得x2+y2-8x-4y+4=0,即(x-4)2+(y-2)2=16,故A正确;对于B,易知圆心C(4,2),半径r=4,则|AC|=8,设两条切线的夹角为α,则sin ,又为锐角,所以,则α=,故B正确;对于C,易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-2=k(x+4),即kx-y+4k+2=0,因为圆C上恰有三个点到直线l的距离为2,所以圆心到直线l的距离d==2,解得k=±,故C错误;对于D,由题意可得四边形DMCN的面积S=2×,故只需求|DC|的最小值即可,|DC|的最小值为点C到直线3x+4y=60的距离d1==8,所以四边形DMCN的面积的最小值为4×,故D正确.故选ABD.
11.答案
解析 ☉C:(x+1)2+y2=4的圆心为C(-1,0),半径r=2,
则圆心C到直线l:mx-y-m=0的距离d=,
则|AB|=2,
故S△ABC=|AB|·d=d,
所以d=1或d=.
当d=1时,=1,解得m=±;
当d=时,,解得m=±.
故m=±或m=±.
12.答案 3x-4y+20=0或x=0
解析 圆C的方程x2+y2+4x-12y+24=0可化为(x+2)2+(y-6)2=16,∴圆心为C(-2,6),半径为4.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,令圆的方程中x=0,则y=6±2,此时直线被圆C截得的弦长为4,满足题意;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+5,即kx-y+5=0,
∵直线被圆C截得的弦长为4,∴圆心到直线l的距离d=,
∴l的方程为3x-4y+20=0.
综上,l的方程为3x-4y+20=0或x=0.
13.答案 [2-]
解析 将圆C的方程化为标准方程,得(x-2)2+(y-2)2=18,则圆心坐标为(2,2),半径r=3,
设圆心到直线l的距离为d,要求|AB|≥8,
即2≥8,即d2≤2,
∴,即a2+b2+4ab≤0(b≠0),
∴+1≤0,解得-2-≤-2+,
设直线l的斜率为k,则k=-,
∴2-≤k≤2+.
14.答案 4
解析 设点A关于直线x+y-1=0的对称点为A'(a,b),则AA'的中点坐标为,
故则A'(1,5).
由x2+(y+2)2≤2知军营所在区域中心为C(0,-2),
则“将军饮马”的最短总路程为|A'C|-.
15.解析 (1)证明:因为直线l经过点D,M,所以直线l的方程为2x-y-6=0.
圆C的圆心为C(2,3),半径r=,则圆心C(2,3)到直线l的距离为=r,
所以直线l与圆C相切.
(2)选择条件①:若直线l平分圆C,
则直线l过圆心C(2,3),所以直线l的方程为y-0=(x-3),即3x+y-9=0.
此时|AB|=2r=2,
点D(4,2)到直线l的距离为,
所以S△ABD=.
选择条件②:若直线l的斜率为-3,
则直线l的方程为y-0=-3(x-3),即3x+y-9=0,
此时圆心C(2,3)在直线l上,则|AB|=2r=2,
点D(4,2)到直线l的距离为,
所以S△ABD=.
16.解析 (1)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
由已知得
故圆C的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=13.
(2)由题意知直线l的方程为y=kx+5,
代入方程(x-3)2+(y-2)2=13,整理得(1+k2)x2-6(1-k)x+5=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2=,
故=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+5)(kx2+5)
=(1+k2)x1x2+5k(x1+x2)+25=+30=30,
解得k=1或k=0.
当k=1时,Δ=[-6(1-k)]2-4(1+k2)×5=-40<0,不符合题意,舍去,
当k=0时,Δ=[-6(1-k)]2-4(1+k2)×5=16>0,符合题意.
所以直线l的方程为y=5.
1(共14张PPT)
一般地,已知直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0)和圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心C(a,b)到直线l
的距离d= ,由 消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其
判别式为Δ.
知识 清单破
2.3 直线与圆的位置关系
知识点 直线与圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
代数法 Δ<0 Δ=0 Δ>0
几何法 d>r d=r d公共点个数 0 1 2
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.直线4x+3y-40=0与圆x2+y2=100的位置关系是相交.( )
2.直线l与圆C相交于A,B两点,当|AB|最大时,直线l过圆心. ( )
3.过点P且和圆相切的直线有两条. ( )
4.直线x+y=m(m>0)与圆x2+y2=m相切,则m= . ( )
5.x轴被圆心为(1,-2),半径为2 的圆所截得的弦长为8. ( )
6.直线ax-y+3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于A,B两点,且弦AB的长为2 ,则a=0. ( )
√
√
√
√
提示
提示
当点P在圆的外部时,有两条切线;当点P在圆上时,有一条切线;当点P在圆内时,没有切
线.
若直线x+y=m(m>0)与圆x2+y2=m相切,则有 = ,所以m=2.
1.直线与圆的位置关系有三种:相交、相切、相离.主要区别是直线与圆的公共点的个数.
2.常见的直线与圆的位置关系的判断方法有三种:代数法、几何法、直线系法.
(1)代数法:将直线与圆的方程联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,利用Δ判断位
置关系.
(2)几何法:计算圆心到直线的距离,再与半径比较大小即可.
(3)直线系法:若直线恒过定点,可通过点与圆的位置关系及其他条件判断直线与圆的位置关
系.
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 直线与圆的位置关系
典例 设m∈R,则直线l:mx+y-2m-1=0与圆x2+y2=5的位置关系为 ( )
A.相离 B.相切
C.相交或相切 D.相交
C
解析 解法一:方程mx+y-2m-1=0可化为m(x-2)+y-1=0,
由 解得
所以直线l恒过点A(2,1).
又22+12=5,所以点A在圆x2+y2=5上,
所以过点A的直线l与圆相交或相切.
解法二:圆心到直线l的距离d= ,不妨假设 ≤ ,即(2m+1)2≤5(m2+1),整理,得
(m-2)2≥0,显然成立,所以d≤ ,所以直线l与圆相交或相切.
1.过点P(x0,y0)的圆的切线方程的求法
(1)点P在圆上时,求切点与圆心连线所在直线的斜率,若斜率存在且不为0,记为k,则k切线=- ;若
斜率为0,则切线斜率不存在;若斜率不存在,则切线斜率为0.
结论:①过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程是x0x+y0y=r2;②过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点
P(x0,y0)的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(2)点P在圆外时,设切线斜率为k,列出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径r,解出k即可
(若仅求出一个k值,则有一条斜率不存在的切线).
2.切线长的求法
过圆外一点P可作圆的两条切线,我们把点P与切点之间的线段的长称为切线长.切线长可由
讲解分析
疑难 2 圆的切线
勾股定理来计算.
如图,过圆外一点P(x0,y0)作圆(x-a)2+(y-b)2=r2的切线,则切线长为 .
从圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一点P(x0,y0)引圆的两条切线,切线长为
.
典例 (1)过点(4,0)的直线l与圆x2+y2-4x-8y+16=0相切,则直线l的方程为 ;
(2)已知圆O:x2+y2=1,过直线3x+4y-10=0上的动点P作圆O的一条切线,切点为A,则|PA|的最小
值为 .
3x+4y-12=0或x=4
解析 (1)将圆的方程化为(x-2)2+(y-4)2=4,得圆心为(2,4),半径为2,
当直线l的斜率不存在时,直线l:x=4,
此时直线l与圆x2+y2-4x-8y+16=0相切,符合题意;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,
则圆心(2,4)到直线l的距离d= = =2,解得k=- ,所以直线l的方程为3x+4y-12
=0.
综上,直线l的方程为3x+4y-12=0或x=4.
(2)如图所示,连接PO,AO,则|PA|2=|PO|2-|OA|2=|PO|2-1,
当|PO|最小时,|PA|最小,|PO|的最小值为点O到直线3x+4y-10=0的距离,即|PO|min= =2,
故|PA|的最小值为 = .
1.弦长的求法
讲解分析
疑难 3 弦长问题
几何法 利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系r2=d2+ 解题
交点法 若直线与圆的交点坐标易求出,则直接用两点间的距离公式求弦长
公式法 设直线m:y=kx+b与圆的两交点分别为(x1,y1),(x2,y2),将直线方程与圆的方程联立,消去y后利用根与系数的关系得弦长l= |x1-x2|=
2.圆的中点弦问题
(1)若线段AB是圆C的弦,D是弦AB的中点,则在解题中可应用以下性质:
①AB⊥CD,如果斜率kAB,kCD都存在,则kAB·kCD=-1;
②设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),则x0= ,y0= .
(2)解决与中点弦有关的问题,有下列三种常见方法:
①利用根与系数的关系求出中点坐标;
②设出弦的两个端点的坐标,代入圆的方程,利用作差法求出斜率,此法即为点差法;
③利用圆本身的几何性质,即圆心与非直径的弦中点的连线与弦垂直解决问题.
典例 (1)直线l:x-2y-1=0与圆M:x2+y2-4x-6y+k=0相交于A,B两点,且|AB|=4,则实数k的值为 ( )
A. B.2 C. D.4
(2)过原点且倾斜角为60°的直线被圆C:x2+y2-4x=0所截得的弦长为 .
D
2
解析 (1)圆M的方程可化为(x-2)2+(y-3)2=13-k,则圆心为M(2,3),半径r= ,所以圆心M到
直线l的距离d= = ,由d2+ =r2,得5+22=13-k,解得k=4,故选D.
(2)由题意得直线方程为y= x,即 x-y=0,圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4,
圆心为C(2,0),半径r=2,
圆心C到直线的距离d= = ,
所以弦长l=2 =2 =2.
形如z= 的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;形如z=ax+by的最值问题,可转
化为动直线截距的最值问题;形如z=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为两点间距离的平方的
最值问题.
利用所给式子的几何意义解题,充分体现数形结合以及转化的数学思想.
讲解分析
疑难 4 利用代数式的几何意义求解最值问题
典例 已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.求:
(1) 的最大值和最小值;
(2)y-x的最小值;
(3)x2+y2的最大值和最小值.
解析 方程x2+y2-4x+1=0表示以点(2,0)为圆心, 为半径的圆.
(1)设 =k,即y=kx,则当圆心(2,0)到直线y=kx的距离等于半径时,直线与圆相切,斜率取得最大
值和最小值.
由点到直线的距离公式,得 = ,解得k=± ,所以kmax = ,kmin=- .
(2)设y-x=b,即y=x+b,则当直线y=x+b与圆相切时,直线在y轴上的截距b取得最值.由点到直线
的距离公式,得 = ,解得b=-2± ,所以(y-x)min=-2- .
(3)x2+y2是圆上的点与原点O的距离的平方,设圆与x轴交于B,D两点,点B位于O,D之间,则(x2+y2)max=
|OD|2=(2+ )2=7+4 ,(x2+y2 )min=|OB|2=(2- )2=7-4 .
