(共9张PPT)
已知两圆C1:(x-x1)2+(y-y1)2= ,C2:(x-x2)2+(y-y2)2= ,且r2>r1,联立两圆方程得到方程组,两圆
圆心距d=|C1C2|.
知识 清单破
2.4 圆与圆的位置关系
知识点 圆与圆的位置关系
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图形表示
几何特征 d>r1+r2 d=r1+r2 r2-r1
代数特征 方程组无实
数解 方程组有 一组实数解 方程组有 两组实数解 方程组有一 组实数解 方程组无实
数解
公切线条数 4 3 2 1 0
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.若圆C1与圆C2有且只有一个公共点,则圆C1与圆C2外切. ( )
2.设圆C1与圆C2的半径分别为r1,r2,若|C1C2|3.若两圆相切,则d=r1+r2(d为两圆圆心距,r1,r2分别为两圆半径). ( )
4.若两圆没有公共点,则d>r1+r2(d为两圆圆心距,r1,r2分别为两圆半径). ( )
5.若两圆有两条公切线,则两圆相交. ( )
√
提示
提示
提示
提示
两圆外切或内切.
当|r1-r2|<|C1C2|相切包括外切和内切,两圆外切,则d=r1+r2,两圆内切,则d=|r1-r2|.
若两圆没有公共点,则两圆外离或内含,应有d>r1+r2或d<|r1-r2|.
判断圆与圆的位置关系的一般步骤
(1)分别求出两圆的圆心坐标和半径r1,r2;
(2)求两圆的圆心距d;
(3)比较d与|r1-r2|,r1+r2的大小;
(4)根据大小关系确定圆与圆的位置关系.
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 圆与圆的位置关系
典例 圆C:x2+y2-3x+5y=r2- (r>0)与圆D:x2+y2=9的位置关系不可能是 ( )
A.内含 B.相交 C.外切 D.内切
C
解析 将圆C的方程化为 + =r2(r>0),其圆心为C ,圆D:x2+y2=9的圆心为D
(0,0),半径为3,因为两圆的圆心距|CD|= <3,所以圆C的圆心在圆D的内部,所以两
圆的位置关系不可能是外切.
1.求两圆的公共弦所在直线的方程
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,
联立
①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③
若两圆交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B的坐标适合方程①②,也适合方程③,因此方程③就
是经过两圆交点的直线方程.
当两圆相交时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是经过两圆交点的直线方程,即公共弦所在直线的
方程.
讲解分析
疑难 2 两圆的公共弦问题
当两圆外离时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线方程.
当两圆相切时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是两圆的一条公切线方程.
若两圆是等圆,则(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线的方
程.
2.两圆公共弦长的求法
(1)几何法:先求出两圆公共弦所在直线的方程,再利用圆的半径、弦心距、弦长的一半构成
的直角三角形求解;
(2)代数法:联立两圆的方程,求出交点坐标,再利用两点间的距离公式求解.
3.求经过两圆交点的圆的方程的方法
一般地,过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆的方程可设为x2+y2+
D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1),然后由其他条件求出λ即得圆的方程.
典例 已知两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0.
(1)求它们的公共弦所在直线的方程;
(2)求它们的公共弦长.
解析 (1)将两圆方程相减,得公共弦所在直线的方程为x-2y+4=0.
(2)解法一:由(1)得x=2y-4,代入圆C2的方程得y2-2y=0,解得y1=0,y2=2,
∴两圆的交点坐标分别为(-4,0)和(0,2),
∴两圆公共弦的长为 =2 .
解法二:由(1)知两圆公共弦所在直线的方程为x-2y+4=0,且圆心C1(1,-5),半径r1=5 .
圆心C1到直线x-2y+4=0的距离d= =3 ,
设两圆公共弦的长为2l,由勾股定理得r2=d2+l2,即50=45+l2,解得l= (负值舍去),∴两圆公共弦
的长为2l=2 .
易错警示 只有在两圆相交的前提下,方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0才是圆C1:x2+y2+D1x+E1y
+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的公共弦所在直线的方程.2.4 圆与圆的位置关系
基础过关练
题组一 圆与圆的位置关系的判断
1.已知圆C1:x2+y2=49和圆C2:x2+y2-6x-8y+9=0,则两圆的位置关系是( )
A.外离 B.相交
C.内切 D.外切
2.圆C:x2+y2-4x+6y+13=r2(r>0)与圆D:x2+y2=16的位置关系可能是( )
A.内含 B.相交
C.外切 D.内切
3.早在两千多年前,墨子就给出了圆的定义:“一中同长也.”已知O为坐标原点,P(-1,),若圆O,圆P的“长”分别为1,r,且两圆外切,则r= .
4.已知A是圆C1:x2+y2=1上的动点,B是圆C2:(x-3)2+(y-4)2=1上的动点,则|AB|的取值范围为 .
5.已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,问:m为何值时,
(1)圆C1与圆C2外切
(2)圆C1与圆C2内含
(3)圆C1与圆C2只有一个公共点
题组二 两圆的公共弦问题
6.圆x2+y2-2x-8=0和圆x2+y2+2x-4y-4=0的公共弦的长为( )
A.
7.已知圆C1:x2+y2-4=0与圆C2:x2+y2+mx+4y-11=0(m∈R)的公共弦所在直线与直线l:2x-y+1=0垂直,则m的值为( )
A.2 B.-2 C.8 D.-8
8.已知圆C1与y轴相切于点(0,3),圆心在经过点(2,1)与点(-2,-3)的直线l上.
(1)求圆C1的方程;
(2)若圆C1与圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0相交于M,N两点,求两圆的公共弦长.
题组三 两圆的公切线问题
9.圆O:x2+y2=4与圆M:x2+(y-5)2=4的公切线条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.已知圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-4)2+(y+a)2=64,其中a∈N+.若圆C1,C2仅有2条公切线,则a的值可能是 (给出满足条件的一个值即可).
11.在平面直角坐标系内,与点A(1,2)的距离为3,且与点B(3,8)的距离为1的直线共有 条.
能力提升练
题组 圆与圆的位置关系的综合问题
1.集合M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2,r>0},且M∩N=N,则r的取值范围是( )
A.(0,-1) B.(0,1]
C.(0,2-] D.(0,2]
2.两圆x2+y2=16,(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0)在交点P处的切线互相垂直,则r=( )
A.5 B.4
C.3 D.2
3.已知平面内一点M(3,4),若圆C上存在点P,使|PM|=3,则称该圆为点M(3,4)的“3价圆”.下列圆中不是点M(3,4)的“3价圆”的是( )
A.圆x2+y2=1
B.圆x2+(y-2)2=4
C.圆(x-2)2+y2=4
D.圆(x-4)2+(y-3)2=9
4.(多选题)已知圆O:x2+y2=9和圆M:x2+y2+6x-4y+9=0交于P,Q两点,下列说法中正确的有( )
A.两圆有两条公切线
B.直线PQ的方程为3x-2y+9=0
C.线段PQ的长为
D.所有过点P,Q的圆的方程可以记为x2+y2-9+λ(x2+y2+6x-4y+9)=0(λ∈R,λ≠-1)
5.已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=4和两点A(a,0),B(-a,0)(a>0),若圆C上有且仅有一点P,使得∠APB=90°,则实数a的值是( )
A.2-
C.2-或2+
6.已知圆C的直径AB=6,点M满足|MA|=2|MB|.记点M的轨迹为W,设W与C交于P,Q两点,则|PQ|= .
7.某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB,对应的圆心角∠AOB=,该地区为打击走私,在海岸线外侧2海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证(如图,其中海域与陆地近似看作在同一平面内),在圆弧的两端点A,B处分别建有监测站,A与B之间的直线距离为10海里.
(1)求海域ABCD的面积;
(2)现海上P点处有一艘不明船只,在A点测得其距A点4海里,在B点测得其距B点2海里.判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD内,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
2.4 圆与圆的位置关系
基础过关练
1.B 由题意得,圆C1的圆心为(0,0),半径为7,圆C2的圆心为(3,4),半径为4,两圆心之间的距离为=5,因为7-4<5<7+4,所以两圆的位置关系是相交.故选B.
2.ABD 由圆C的方程可得圆心C(2,-3),∵22+(-3)2=13<16,∴圆心C(2,-3)在圆D的内部,∴两圆的位置关系可能是内含、相交或内切.故选ABD.
3.答案 1
解析 由题意知圆O的圆心为O(0,0),半径为1,
圆P的圆心为P(-1,),半径为r,|OP|==2.又∵两圆外切,∴|OP|=r+1,∴r=1.
4.答案 [3,7]
解析 由题意知圆C1的圆心为C1(0,0),半径为1,圆C2的圆心为C2(3,4),半径为1.易知|C1C2|=5,则两圆外离,所以5-2≤|AB|≤5+2,即3≤|AB|≤7.
5.解析 把圆C1,圆C2的方程化为标准方程,得圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9,其圆心为(m,-2),半径为3,圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4,其圆心为(-1,m),半径为2.
(1)如果圆C1与圆C2外切,那么=3+2,整理得m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2,即当m=-5或m=2时,两圆外切.
(2)如果圆C1与圆C2内含,那么<3-2,整理得m2+3m+2<0,解得-2(3)如果圆C1与圆C2只有一个公共点,那么两个圆相切,因此=3-2或=3+2,解得m=-2或m=-1或m=-5或m=2,即当m的值为-2或-1或-5或2时,两圆只有一个公共点.
6.D 将两圆方程相减得4x-4y+4=0,即x-y+1=0,易知圆x2+y2-2x-8=0的标准方程为(x-1)2+y2=9,则其半径为3,圆心(1,0)到公共弦所在直线的距离d=,因此所求弦长为2.故选D.
7.A 把圆C1与圆C2的方程相减得mx+4y-7=0,即为圆C1与圆C2的公共弦所在直线方程,由直线mx+4y-7=0与直线l垂直,得2m-4=0,解得m=2.当m=2时,圆C2:x2+y2+2x+4y-11=0,即圆C2:(x+1)2+(y+2)2=16,圆心为C2(-1,-2),半径r2=4,圆C1:x2+y2=4的圆心为C1(0,0),半径r1=2,于是|C1C2|=∈(r2-r1,r2+r1),则圆C1与圆C2相交,符合题意,所以m的值为2.
8.解析 (1)经过点(2,1)与点(-2,-3)的直线l的方程为,即y=x-1,
因为圆C1与y轴相切于点(0,3),
所以圆心在直线y=3上,
联立可得圆心坐标为(4,3),
故圆C1的半径为4,
故圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16.
(2)圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16,即x2+y2-8x-6y+9=0,圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0,
两式作差可得两圆公共弦所在的直线方程为2x+3y-4=0,
圆C1的圆心到直线2x+3y-4=0的距离d=,
所以两圆的公共弦长为2.
9.D 圆O:x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r1=2,圆M:x2+(y-5)2=4的圆心为M(0,5),半径r2=2,所以两圆圆心距|OM|=5>r1+r2,所以圆O与圆M的位置关系为外离,所以圆O与圆M的公切线条数为4.故选D.
10.答案 5(答案不唯一,填写5,6,7,8,9中的一个均可)
解析 圆C1:x2+y2=4的圆心为C1(0,0),半径r1=2,圆C2:(x-4)2+(y+a)2=64的圆心为C2(4,-a),半径r2=8,所以|C1C2|=,因为圆C1,C2仅有2条公切线,所以圆C1,C2相交,所以6<<10,即2011.答案 4
解析 到点A(1,2)的距离为3的点的轨迹是以A(1,2)为圆心,3为半径的圆,
到点B(3,8)的距离为1的点的轨迹是以B(3,8)为圆心,1为半径的圆,
则所求直线即为两圆的公切线,
由|AB|=,且|AB|>1+3,
可知两圆外离,有4条公切线,所以符合题意的直线有4条.
能力提升练
1.C 由M∩N=N得N M,∴圆(x-1)2+(y-1)2=r2内切或内含于圆x2+y2=4,又两圆的圆心距为,∴2-r≥,∴02.C 设交点P(x0,y0),则=16,(x0-4)2+(y0+3)2=r2,∴r2=41-8x0+6y0,不妨令过点P的两条切线的斜率存在,∵两切线互相垂直,∴=
-1,∴3y0-4x0=-16.∴r2=41+2(3y0-4x0)=9,∴r=3.
3.A 因为|PM|=3,所以点P在以M为圆心,3为半径的圆上,又P为圆C上一点,所以P为圆M与圆C的公共点.问题转化为判断圆M与圆C的位置关系.x2+y2=1表示以(0,0)为圆心,1为半径的圆,该圆与圆M的圆心距d==5>3+1=4,所以两圆外离,所以x2+y2=1表示的圆不是点M(3,4)的“3价圆”.同理可判断圆M与选项B、C、D中的圆都相交.故选项B、C、D中的圆均是点M(3,4)的“3价圆”.故选A.
4.AB A中,因为圆O:x2+y2=9和圆M:x2+y2+6x-4y+9=0相交,所以两圆有两条公切线,故正确;B中,圆O:x2+y2=9和圆M:x2+y2+6x-4y+9=0的方程相减得3x-2y+9=0,所以直线PQ的方程为3x-2y+9=0,故正确;C中,圆心O(0,0)到直线PQ的距离d=,所以|PQ|=2,故错误;D中,方程可化为x2+y2+=0,而>0,所以方程x2+y2-9+λ(x2+y2+6x-4y+9)=0(λ∈R,λ≠-1)表示圆,因为λ∈R,λ≠-1,所以由所给方程可得所以该圆恒过P,Q两点,但此方程不能表示圆M,而圆M也是过点P、Q的圆,故不正确.故选AB.
5.C 圆C:(x-1)2+(y-1)2=4的圆心为C(1,1),半径r=2,由两点A(a,0),
B(-a,0)(a>0),可得以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2,设该圆为圆O,则其圆心为O(0,0),半径R=a,若点P满足∠APB=90°,则点P在圆x2+y2=a2上,又圆C上有且只有一点P使得∠APB=90°,所以圆C与圆x2+y2=a2相切,则有|OC|2=(0-1)2+(0-1)2=(2-a)2或|OC|2=(0-1)2+(0-1)2=(2+a)2,又因为a>0,所以a=2-或a=2+.故选C.
6.答案
解析 以线段AB的中点为原点,AB所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,
则圆C的方程为x2+y2=9,A(-3,0),B(3,0),设M(x,y),
由题意可知,,
整理,得(x-5)2+y2=16,
故点M的轨迹为圆,即圆W的方程为(x-5)2+y2=16,
两圆的方程相减,得直线PQ的方程为x=,
圆心(0,0)到直线x=的距离d=,
所以线段|PQ|=2.
7.信息提取 ①海域ABCD的形状为扇环,且在海岸线(弧)外侧2海里内;②∠AOB=,AB=10海里;③PA=4海里,PB=2海里.
数学建模 以探究海域监测问题为背景,构建圆的模型解决实际问题.根据题意建立平面直角坐标系,分析出不明船只既在以A为圆心,4海里为半径的圆上,也在以B为圆心,2海里为半径的圆上,得出相关圆的方程,从而通过解方程组可以确定不明船只的准确位置(即不明船只相应的坐标),再判断不明船只是否在海域ABCD内,而海域ABCD的范围也可以通过圆的方程进行表达.
解析 (1)因为∠AOB=,AB=10海里,AD=BC=2海里,所以OA=OB=AB=10海里,OD=OA+AD=12海里,所以S海域ABCD=·π(OD2-OA2)=π·(122-102)=(平方海里).
(2)以O为原点,OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系(令点A在第一象限).由题意知,点P在以A为圆心,4海里为半径的圆(x-5)2+(y-5)2=16上;点P也在以B为圆心,2海里为半径的圆(x-10)2+y2=76上.
由
易知海域ABCD内的点(x,y)满足
由32+(3)2=156>144,可知这艘不明船只没有进入海域ABCD内.
1