1.3 勾股定理的应用 教案 2025-2026北师大版数学八年级上册

3　勾股定理的应用
1.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提升分析问题、解决问题的能力.
2.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性.
重点：应用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题.
难点：从实际问题中合理抽象出数学模型.
如图，装修工人李叔叔想检测某块装修用砖的边AD是否垂直于底边AB.他量得边AD长30cm，边AB长40cm，B，D两点之间的距离是50cm，边AD垂直于边AB吗？
探究点一　应用勾股定理解决折叠问题
【例1】如图，正方形纸片ABCD的边长为8cm，E是边AD的中点.将这个正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F，求DF的长.
【解析】正方形的四条边相等，四个角都是直角.折叠前后对应边相等，对应角相等.可设未知数表示DF的长，然后利用勾股定理建立方程求解DF的长.
【解】设DF的长为xcm.
因为正方形纸片ABCD的边长为8cm，
所以CF＝（8－x）cm.
因为E是边AD的中点，AD＝8cm，
所以AE＝DE＝4cm.
根据折叠的性质，得EF＝CF＝（8－x）cm.
在Rt△DEF中，根据勾股定理，得DE2＋DF2＝EF2，即42＋x2＝（8－x）2，解得x＝3，
所以DF的长为3cm.
【方法总结】与折叠有关的题，可先根据折叠的性质得到一些线段的等量关系，再在直角三角形中运用勾股定理列方程求解.
探究点二　应用勾股定理解决实际问题
【例2】如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5m.
（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5m，求这架梯子的顶端A距地面的高度.
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5m到点A'，那么梯子的底端B在水平方向上滑动的距离BB'为多少？
【解析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度.（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑0.5m后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次利用勾股定理，即可得出梯子的底端B'离墙角的距离OB'，再减去OB，即可得到在水平方向上滑动的距离BB'.
【解】（1）根据勾股定理，得
AO2＝AB2－OB2＝2.52－1.52＝4＝22，
所以AO＝2m.
故这架梯子的顶端A距地面的高度为2m.
（2）由题意可知，梯子下滑了0.5m，
即OA'＝2－0.5＝1.5（m）.
根据勾股定理，得OB'2＝A'B'2－OA'2＝2.52－1.52＝4＝22，
所以OB'＝2m，
所以BB'＝OB'－OB＝2－1.5＝0.5（m）.
故如果梯子的顶端A下滑0.5m到点A'，那么梯子的底端B在水平方向上滑动的距离BB'为0.5m.
1.如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在BC边上.将△DCE沿DE折叠，使点C恰好落在对角线BD上的点F处，则EF的长为　　　　. 第1题图
　　2.星期天小明去钓鱼，如图所示，鱼饵A在离水面BD1.3m处，在距离鱼线1.2m的点D处的水下0.8m的点C处有一条鱼发现了鱼饵，以0.2m/s的速度向鱼饵游来，那么这条鱼至少几秒后才能到鱼饵A处？
3　勾股定理的应用
应用勾股定理解决实际问题.
本节课学习了应用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题，并从实际问题中合理抽象出数学模型.
　　通过本节课的学习，要求学生进一步理解并掌握勾股定理，能够利用勾股定理解决实际问题，并在解题过程中使学生掌握转化思想，体会数学在现实生活中的应用.
答案
课堂训练
1.3
2.解：如图所示，
过点C作CE⊥AB于点E，连接AC.
由题意，得EC＝1.2m，AE＝1.3－0.8＝0.5（m）.
由勾股定理，得AC2＝EC2＋AE2＝1.22＋0.52＝1.32，
所以AC＝1.3m，1.3÷0.2＝6.5（s）.
故这条鱼至少6.5s后才能到鱼饵A处.