2.3 第1课时 二次根式的概念和乘除运算 教案 2025-2026北师大版数学八年级上册

3　二次根式
第1课时　二次根式的概念和乘除运算
1.了解二次根式的概念.
2.经历二次根式的乘法法则和除法法则的探索过程，掌握二次根式的乘法法则和除法法则，并会运用法则进行运算.
3.会用实数的运算律及乘法公式进行二次根式的乘除运算.
重点：了解二次根式的概念及掌握二次根式的乘法法则和除法法则.
难点：利用实数的运算律及乘法公式进行二次根式的乘除运算.
1.观察下列代数式：
，，，，（其中b＝24，c＝25）.上述式子有什么共同特征？
学生回答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数.
2.计算：×＝　　　　，＝　　　　，＝　　　　，＝　　　　.
上述二次根式的运算有什么规律？你能用字母表示你发现的规律吗？
探究点一　二次根式的相关概念
类型一　二次根式的概念
【例1】下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
（1）.（2）.（3）.（4）（x≥0，y≥0）.（5）.（6）.
【解析】二次根式必须满足三个条件：（1）含有根号；（2）根的指数是2；（3）被开方数是非负数.
【解】（1）（2）（4）（5）符合二次根式的形式，故是二次根式.
（3）是三次根式，故不是二次根式.
（6）中被开方数小于0，无意义，故不是二次根式.
【方法总结】在判断一个代数式是不是二次根式时，应该在原始形式的基础上进行判断，不能先化简再作判断.
类型二　二次根式有意义的条件
【例2】要使二次根式有意义，则x的取值范围是　　　　.
【解析】根据二次根式的定义，被开方数a≥0，因此要使二次根式有意义，则被开方数x－2≥0，即x≥2.
【解】x≥2
探究点二　二次根式的乘除运算
【例3】计算：
（1）×.（2）.（3）3×2.
【解析】运用二次根式的乘法法则和除法法则进行运算即可得到答案.
【解】（1）×＝＝＝2.
（2）＝－＝－＝5－2＝3.
（3）3×2＝3×2×＝6.
探究点三　运算律在二次根式中的应用
【例4】计算：
（1）（2－1）2.（2）（3＋2）（3－2）.
【解析】以前学过的实数的运算律及乘法公式仍然适用于二次根式.
【解】（1）（2－1）2＝（2）2－2×2×1＋12＝13－4.
（2）（3＋2）（3－2）＝（3）2－（2）2＝18－12＝6.
探究点四　运用二次根式乘除法解决实际问题
【例5】如图，有一张边长为6cm的正方形纸板.现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为cm.求：
（1）剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积.
（2）长方体盒子的体积.
【解析】（1）直接利用大正方形的面积减去四个小正方形面积得出答案.（2）直接利用长方体的体积公式得出答案.
【解】（1）（6）2－4×（）2＝108－12＝96（cm2）.
（2）（6－2）（6－2）×＝4×4×＝48（cm3）.
1.要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A.x≥2025 B.x＞2025
C.x＜2025 D.x≤2025
2.计算：
（1）×. （2）.
（3）（＋）（－）. （4）（1－2）2.
第1课时　二次根式的概念和乘除运算
1.二次根式的概念；
2.二次根式的乘法；
3.二次根式的除法.
本节课学习了二次根式的概念和二次根式的乘除法法则，能运用实数的运算律及乘法公式进行二次根式的乘除法运算.
　　通过本节课的学习，要求学生掌握二次根式的概念及二次根式的乘除法法则，并能熟练地运用法则进行二次根式的乘除运算，理解以前学过的实数的运算律仍然适用.通过教学，发现学生的运算能力有待提升，对这一部分知识还要多加练习.
答案
课堂训练
1.D
2.解：（1）×＝＝＝2.
（2）＝＝＝2.
（3）（＋）（－）＝（）2－（）2＝5－3＝2.
（4）（1－2）2＝1－4＋8＝9－4.