2026年高三数学上学期专题训练：数列（含解析）

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2026年高三数学上学期专题训练：数列
一、单选题
1．（2025·江西新余·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．已知，则且
B．命题“”是真命题
C．是的充分条件，则
D．若等比数列的通项公式为，则其前项和
2．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·四川广安·模拟预测）已知数列满足，，则使得成立的最小自然数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2025·四川成都·一模）记为等比数列的前项和，若，则的公比为（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·云南丽江·模拟预测）已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．2014 B．2024 C．2025 D．2026
7．（2025·广东惠州·模拟预测）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．是递增数列
二、多选题
9．（2025·海南三亚·一模）数列为等差数列，为其前项和，已知，则（ ）
A． B．
C． D．当或时，最大
10．（2025·河南许昌·模拟预测）已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．为中的最小项
B．对任意的，，都有
C．存在，使得，，成等差数列
D．对任意的，，都有
11．（2025·广西河池·二模）已知数列满足且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．数列是周期数列
C．是等差数列
D．数列的通项公式为
三、填空题
12．（2025·云南临沧·模拟预测）已知数列中，，，，则数列的通项公式为 ．
13．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列中，，，则数列的前n项和的最大值等于
14．（2025·河北邢台·二模）已知数列的前n项和为，且，，则 ．
四、解答题
15．（2025·江西·模拟预测）已知数列的首项.
(1)求数列的通项公式；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
16．（2024·河北·模拟预测）记为各项均为正数的数列的前项和，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
17．（2025·四川成都·一模）记为数列的前项和，已知，且.
(1)求，，；
(2)在下列两个结论中，任选一个加以证明；（若两个都证明，以首选计分）
①是等比数列；②是等比数列.
(3)记为数列的前项和，求.
18．（2025·江苏连云港·模拟预测）在数列中，，对于，，，成等差数列，其公差为．
(1)判断是否成等比数列？并说明理由；
(2)证明：，，成等比数列；
(3)设，数列的前项和为，证明：．
19．（2025·湖南长沙·三模）已知等差数列的第2项为3，其前5项和为25．数列是公比大于0的等比数列，，．
(1)求和的通项公式；
(2)记，，
（ⅰ）证明是等比数列；
（ⅱ）证明，．
《2026年高三数学上学期专题训练：数列》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D D A C B B AB ABD
题号 11
答案 ACD
1．C
【分析】举反例判断A，利用导数求函数的最小值，判断B，结合充分条件的定义判断C，举反例判断D.
【详解】对于A，当，满足，故A错误；
对于B，设，则，所以当时，；
当时，，即，故B错误；
对于C，由于是的充分条件，所以且，所以，即，故C正确；
对于D，当时，结论不成立，故D错误．
故选：C.
2．C
【分析】由累加法及等比数列前和公式可得，即可得到.
【详解】由，知，
所以，即，
故，又适合上式，故．
故选：C.
3．D
【分析】化简递推关系可得，证明数列为常数数列，由此求出，进而求解即可..
【详解】由，则，
所以，则数列为常数列，
又，则，即，为递增数列，
因为，，
所以使得成立的最小自然数为8.
故选：D.
4．D
【分析】由等比数列前项和的性质，成等比，公比为，结合即可求公比.
【详解】设等比数列的公比为，
根据等比数列前项和的性质，成等比，且公比为，
又，即，所以，
解得.
故选：D.
5．A
【分析】化简表达式，求出首项和公比，即可求出.
【详解】由题意，，
在等比数列中，，
设公比为q，
，解得，
∴，
当时，，解得：，
∴是以2为首项，3为公比的等比数列，
∴.
故选：A.
6．C
【分析】根据给定条件，利用等比数列性质及对数运算计算得解.
【详解】等比数列的各项均为正数，且，
.
故选：C
7．B
【分析】根据等差数列的定义求解即可.
【详解】设的公差为，则，，
故.
故选：B.
8．B
【分析】由题意，，两式相减求出数列的通项公式，再结合对数的运算性质判断ABD，设，记，利用导数可得在上恒成立，进而利用放缩判断C.
【详解】因为，
所以,
两式相减得，则，
则，所以，A说法错误；
，，而，故B说法正确；
设，记，则
故，即在上恒成立，
所以，故C错误；
，
所以，故不是递增数列，D说法错误；
故选：B
9．AB
【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式进行运算，即可得到判断.
【详解】设等差数列的公差为，则，故B正确；
所以，故A正确；
，故C错误；
由，可得，
由于二次函数的对称轴为，开口向上，
所以当或时，最小，故D错误；
故选：AB
10．ABD
【分析】对于选项A，B，将递推数列构造成一个函数，然后对函数求导并判断单调性，从而可验证A,B的正确性；对于选项C，构造新函数，对新函数求导，判断函数的单调性，进而可判断的大小；对于选项D，基于C中构造的新函数的单调性，即可判断不等式的成立.
【详解】令，所以，
当，；当，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，
所以，，…，，
所以是中最小的项.
且对任意的，，都有，故A，B正确；
令，，
所以，所以在上单调递减，所以，
所以即；即，…，即，
综上所述，是中最大的项，所以不可能使得，，成等差数列，故C错误；
因为当，，，所以，
所以，即，
所以对任意的，，都有，故D正确.
故选：ABD.
11．ACD
【分析】根据给定的递推公式，依次计算判断A；变形给定的递推公式，结合等差数列定义判断BCD.
【详解】对于A，由，得，A正确；
对于BC，由，得，
则，数列是首项为，公差为的等差数列，B错误，C正确；
对于D，，则，解得，D正确.
故选：ACD
12．
【分析】结合给定递推关系构造等比数列，进而求出即可.
【详解】由，得，
由于，因此是首项为，公比为的等比数列，
从而可得，则．
故答案为：．
13．
【分析】由题意可知数列是首项为10，公差为的等差数列，求出前n项和，转化为求函数的最大值问题即可.
【详解】当时，，且，
所以，数列是首项为10，公差为的等差数列，
则数列的前n项和为，
因，故当时，取得最大值18．
故答案为：．
14．
【分析】因式分解后可得，则可得数列为等差数列，再利用等差数列的性质计算即可得解.
【详解】因为，
化简可得，
则，即，
所以数列为等差数列，所以，
所以，所以．
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用构造法可求的通项公式；
（2）利用参变分离和数列的单调性可求的最大项，从而可求参数的取值范围.
【详解】（1）数列的首项，可得，
而，故，故，
即数列是首项和公比均为3的等比数列，可得，即.
（2）若恒成立，即为，即恒成立，
设，可得，.
即数列是单调递减数列，可得，
所以，即实数的取值范围是
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据之间的关系计算；
（2）由（1）可知，然后使用裂项相消求和即可.
【详解】（1）由题可知：，当时，，
由①，当时，②；
①-②得：，
所以，即，
所以数列是以2为首项，2为公差得等差数列.
所以，即；
（2）由（1）可知：，
所以，
所以，
则.
17．(1)，，
(2)证明见解析
(3)，
【分析】（1）分别令，可计算出结果；
（2）选①依题意得到，然后变形可得；选②依题意（3）得到当时，，然后得到，变形即可；
选择①、②由（2）可知，然后使用错位相减法求和.
【详解】（1）（1）令，得.又，所以.
.
令，得.又，所以.
故.
（2）若选择①：由已知，得.
故，所以，.
故是首项和公比均为2的等比数列.
若选择②：由已知，.故当时，.
两式相减，得.
化简并整理，得（，且）.
又，，所以.
故是以1为首项，2为公比等比数列.
（3）若选择①：由（2）知，，故.
若选择②：由（2）知，，故.
所以.
所以.
则.
两式错位相减，得.
所以，
18．(1)成等比数列，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，令，和，依次求出，利用等比数列定义判断即可；
（2）由，，成公差为的等差数列，得，即可利用累加法求出，从而可得，，，再利用等比数列定义判断即可；
（3）当为奇数时，，，当为偶数时，，，利用放缩法求出数列的前项和为，即可证明.
【详解】（1）当时，成公差为1的等差数列，
则，；
当时，成公差为2的等差数列，则，；
当时，成公差为3的等差数列，则．
所以，，从而，故成等比数列.
（2）由，，成公差为的等差数列，得，
可得：，，，，，
累加得
因为，，成公差为的等差数列，所以，
，又因为，，成公差为的等差数列，
所以，
所以，得，，成等比数列．
（3）由，由（2）知：
当为奇数时，，，
当为偶数时，，，
故，且对一切正整数，有，
时，
，
综上，．
19．(1)，；，
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式进行计算；
（2）
（ⅰ）根据，写出并计算，由证明出是等比数列；
（ⅱ）由，设出，用错位相减得出，从而证明.
【详解】（1）因为等差数列的第2项为3，其前5项和为25．
所以，，
计算得，公差为，
所以；
设等比数列的公比为，因为，所以，
解得或（舍），故；
（2）（ⅰ）由题意，，
所以，
所以，且，所以数列是以4为公比的等比数列；
（ⅱ）由题意知，，
所以，所以，
设，则，
两式相减得，
所以，
所以．
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