2026年高三数学上学期专题训练：导数及其应用（含解析）

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2026年高三数学上学期专题训练：导数及其应用
一、单选题
1．（2025·江西·模拟预测）设，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·江苏南京·二模）已知，则的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．（2025·四川成都·一模）函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知，若0是的极小值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·广东惠州·模拟预测）已知，若有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·四川内江·模拟预测）曲线在处的切线如图所示，则＝（ ）

A．0 B．2 C．－2 D．－1
7．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数是定义在上的可导函数，且满足，，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·河北保定·二模）已知函数记函数的个零点为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．若，则 B．可以有2个极值点
C．若，则是增函数 D．若有两个零点，则
10．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是的一个周期 B．在区间上单调递减
C．是奇函数 D．在区间上恰有2个极值点
11．（2024·河北·模拟预测）已知定义在上的可导函数是偶函数，且满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．是的一个周期 B．的图象关于点中心对称
C．的图象关于对称 D．
三、填空题
12．（2025·上海·模拟预测）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 .
13．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数，则在点处的切线方程为 .
14．（2025·山东德州·三模）已知曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则 ．
四、解答题
15．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极小值，且，求的取值范围．
16．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知函数的图象经过点，函数在处有极值，且．
(1)求函数的解析式；
(2)若（且），求的极大值.
17．（2025·四川广安·模拟预测）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程.
(2)证明：在上单调递增.
(3)若，证明：.
18．（2025·广东惠州·模拟预测）已知函数，.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围.
19．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数．
(1)当时，在处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求的取值范围；
(3)，使，证明．
《2026年高三数学上学期专题训练：导数及其应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C D A C B A ACD AD
题号 11
答案 ABD
1．D
【分析】构造函数，利用导数判断出单调性，再利用单调性可得答案.
【详解】令，则，令，得；
令，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即，
得，即，所以，
所以，即.
故选：D.
2．A
【分析】先设点及点，应用两点间距离，再应用导函数计算得出切线斜率得出切点，最后应用点到直线距离计算求解.
【详解】设点是函数图象上的点，点是直线上的点，
则，所以，
因为，设函数在点处的切线与直线平行，
则，解得，则点，
所以的最小值为点到直线的距离，
所以的最小值为2，
故选：
3．C
【分析】对函数求导，然后根据切点坐标求出切线的斜率和切线方程.
【详解】因为，所以.
所以，而.
所以切线方程为，即.
故选：C.
4．D
【分析】求导，并得到恒成立，再令，求出，分，和三种情况进行分析，得到时，满足0是的极小值点，求出的取值范围.
【详解】，
因为是函数的极小值点，所以恒成立，
令，则，
，
当时，，即在附近单调递增，
又，所以当时，在附近，
当时，在附近，满足0是的极小值点；
当时，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，所以单调递增，此时无极小值点；
当时，，即在附近单调递减，又，
所以当时，在附近，
当时，在附近，
此时0是的极大值点，不符合题意．
综上所述：的取值范围为．
故选：D
5．A
【分析】先得到为奇函数且单调递减，问题等价于方程在R上有三个不同的实数根，令，求导得到其单调性和极值情况，从而得到的取值范围为.
【详解】的定义域为R，且，
所以是奇函数，
有三个零点等价于
方程有三个不相等的实数根，
又是奇函数，可得，
，可知单调递减，所以有，即，
所以问题等价于方程在R上有三个不同的实数根，
即函数的图象与直线有三个不同的交点，
由，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以的极大值为，极小值为，
∴的取值范围为.
故选：A
6．C
【分析】设切线方程为，根据切线方程得到关于的方程组，解得，进而得出导数值计算求解.
【详解】设曲线在处的切线方程为，
则解得
所以曲线在处的切线方程为，则切线斜率为1，
所以，
因此，．
故选：C.
7．B
【分析】先判断函数的周期性，从而得到导数的周期性，再根据导函数的对称性和周期性可求 .
【详解】由可得，
所以函数周期是，且的周期也是.
因为，故，
故的图象关于直线对称.
对求导得，.
则
故选：B.
8．A
【分析】令，则，时，求出的零点；时，利用零点存在定理得存在零点；时，利用导数研究其单调性，进而得在上无零点，则有两个零点，从而求出函数的零点，即可得解．
【详解】由题可知，
令，则，
当时，，此时有唯一的零点；
当时，，
当时，单调递减，且，
所以存在，使得；
当时，，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，
所以在上无零点，
所以在其定义域上有两个零点．
当时，因为，所以由，得，解得；
当时，由，得，或，
所以函数共有3个零点，分别为，
所以．
故选：A．
9．ACD
【分析】A由，设，设并应用导数研究不等式判断；B对函数求导，构造，应用导数研究其零点判断；C由函数单调递增，有恒成立，结合其单调性判断；D令且，问题化为有两个解，利用导数求左侧的单调性和值域求参数范围判断.
【详解】由于，则，
设，设，则，
所以时，，此时单调递减；时，，此时单调递增，
所以，即，故A正确；
由于，设，
则，
所以，在上单调递增，即不可能有2个解，
所以不可能有2个极值点，故B错误；
若是增函数，则，即恒成立，
由上知是增函数，又，只需，故C正确；
有两个零点，即有两个不同的解，
令且，则，故在上为增函数且，
故原方程有两个解转化为有两个解，易知，即有两个解，
设，则，当时，时，
所以在上单调递增，在上单调递减，则，
由于，，所以，即，故D正确．
故选：ACD
10．AD
【分析】对于A，化简函数表达式，结合周期公式验算即可；对于B，由复合函数单调性即可判断；对于C，化简函数表达式，结合三角函数奇偶性即可判断；对于D，由三角函数性质以及极值点的概念即可判断.
【详解】对于A，由题知，，所以最小正周期，是的一个周期，故A正确；
对于B，当时，，令，则作区间上单调递减，在区间上单调递增，故B错误；
对于C，为偶函数，故C错误；
对于D，当时，，令，则在区间上恰有两个极值点，故D正确.
故选：AD．
11．ABD
【分析】由题意可得，，从而可得，即可判断A；由，可得，即可得函数关于点对称，再结合函数为偶函数且周期为4，可得函数关于中心对称，从而判断B；对两边求导，得，从而得函数的图象关于对称，从而判断C；由，可得，从而得为奇函数，又因为函数的定义为，从而得，，从而判断D.
【详解】解：对于A，因为是上的偶函数，所以，
又因为，所以，即，
所以，所以，
所以函数是周期函数，为函数的最小正周期，故A正确；
对于B，因为，所以，所以函数关于点对称，
又因为函数为偶函数，所以函数关于点对称，
又因为函数的周期为，所以函数关于中心对称，故B正确；
对于C，因为，所以，即，
所以函数的图象关于对称，故C错误；
对于D，因为，所以，即，
所以为奇函数，且定义为，所以，
又因为，所以，所以，
即，所以是周期函数，为最小正周期，
所以，故D正确.
故选：ABD.
12．
【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求出结果．
【详解】，
当时，在上严格单调递增，不符合题意;
当时，令；.
所以在上严格单调递增，在上严格单调递减，
所以在处取得极大值.
因为函数在区间上存在最大值，
所以.
故答案为：.
13．
【分析】求出，再利用导数的几何意义可求切线方程.
【详解】，故，
故且，
，，
故切线方程为：，化简得.
故答案为：.
14．
【分析】根据题意结合对称性可设，结合导数的几何义求得，即可得结果．
【详解】因为和互为反函数，其图象关于直线对称，
且反比例函数的图象也关于直线对称，
可知点关于直线对称，
设，则，
设，则，
由题意可得：，解得或(舍去)，
可得，代入可得，所以．
故答案为：．
15．(1)
(2)
【分析】（1）当时，，求导得，根据导数的几何意义，得到切线方程的斜率，再结合切线方程过定点得到切线方程.
（2）根据函数得到函数的定义域为，对求导，讨论a的范围，结合导数判断函数的单调性，确定函数是否存在极小值，结合题给条件得到关于a的不等式，构造关于a的新函数，求导判断函数单调性，解不等式求解.
【详解】（1）因为，所以，
求导得
所以，
又因为，
故曲线在点处的切线方程为．
（2）由函数可知，.
求导得：，
当时，因为，所以，
此时为单调递增函数，没有极小值，与题意不符；
当时，，
因为，所以当时，，当时，，
所以函数有极小值为．
又，所以，即，
因为，所以．
设，则，
所以在上单调递增，
又，所以的解集为，即的取值范围是．
16．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先求出导函数，再根据题目条件列出等式求解出，，，得出；最后利用导数求出函数极值进行验证.
（2）先根据（1）中结论和题目条件得出，求出导函数；再根据和分两种情况讨论，分别利用导数判断函数的单调性求出极大值即可.
【详解】（1）因为，
所以.
由函数的图象经过点，可得：，
由函数在处有极值，可得：且，
由，可得：，
以上式子联立，解得：，，，
故，，
令，解得：或；令，解得：，
则函数在内单调递增；在内单调递减；在内单调递增，
故在处取极小值，符合题意，
所以．
（2）因为，，
所以，，，
则.
令，解得：，.
当时，有，
令，解得：或；令，解得：，
此时函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则的极大值为.
当时，有，
令，解得：或；令，解得：，
此时函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则的极大值为.
综上可得：当时，的极大值为；
当时，的极大值为．
17．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求出，求导，得到，利用导数几何意义得到切线方程；
（2）求定义域，二次求导，得到函数的单调性；
（3）证法一：由（2）得，在上单调递增，结合零点存在性定理和特殊点函数值得到的单调性和最值，结合基本不等式求出，证明出结论；
证法二：当时，等价于，令，则有，令，求导得到单调性，证明出结论.
【详解】（1）当时，，，
则，，
故曲线在点处的切线方程为，
即；
（2）的定义域为，则，
令函数，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增；
（3）证法一：由（2）得，在上单调递增，
因为，由，，
可知存在唯一实数，使得，
即，两边取对数，变形可得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
所以的极小值为
，
当且仅当时，等号成立，
因为，所以，
所以.
证法二：当时，等价于，
即，
令，则有，
先证当时，，
令函数，则，
当时，，则在上单调递增，
所以当时，，即当时，得证；
再证，
令函数，则，
当时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，即得证；
综上，，即当时，得证.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用导数求得，可求切线方程；
（2）求导，分类讨论求得的单调性，进而可得极大值，再根据极大值小于0，求得的取值范围.
【详解】（1）当时，则，，
所以，
所以函数在点处的切线方程为，
即；
（2）函数的定义域为，
又，
当时恒成立，
在上单调递增，无极值.
当时，由，解得，
由，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，极大值为.
令，
解得，所以的取值范围为.
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由导数的几何意义求解；
（2）引入函数，利用求得必要条件，再证明其也是充分的即得；
（3）不妨设，由整理得，利用（2）的结论，得，从而有时，，得出时，，即，然后对进行记放缩后可证得结论成立.
【详解】（1）当时，
因为，所以在处的切线方程为．
（2）当时，恒成立，即恒成立，
设，
要使得当时，恒成立，则，即．
下面验证的充分性
当时，
设，，
设，则
当时，，所以单调递增，即，
所以单调递增，即，所以当时，，充分性得证
所以的取值范围为．
（3）即
不妨设
由（2）知时，，即
所以时，．
所以时，，即．
因为
所以，
即，
所以．
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