5.4 第1课时 二元一次方程与一次函数 教案 2025-2026北师大版数学八年级上册

4　二元一次方程与一次函数
第1课时　二元一次方程与一次函数
1.理解二元一次方程（组）与一次函数的关系.
2.掌握两直线在同一平面直角坐标系中的位置关系，能根据图象确定二元一次方程组的解.
3.能综合应用一次函数、一元一次方程、二元一次方程（组）解决相关实际问题，学会用函数的观点去认识问题.
重点：理解二元一次方程（组）与一次函数的关系.
难点：应用方程与函数的联系解决问题.
x＋y＝5是什么？
探究点一　用图象法解二元一次方程组
【例1】在同一平面直角坐标系内画出二元一次方程2x－y－2＝0和x－y＋3＝0所对应的一次函数的图象，利用图象求：
（1）方程2x－2＝x＋3的解.
（2）方程组的解.
【解析】（1）首先画出y＝2x－2，y＝x＋3的图象，方程的解看两直线的交点，横坐标的值即x的值.（2）方程组的解看两直线的交点，x＝横坐标的值，y＝纵坐标的值.
【解】画y＝2x－2和y＝x＋3的图象如图所示.
（1）根据图象，可知方程2x－2＝x＋3的解为x＝5.
（2）根据图象，可知方程组的解为
探究点二　二元一次方程组的解与两个一次函数图象的交点之间的关系
【例2】已知关于x，y的二元一次方程组的解是则一次函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交点坐标为　　　　.
【解析】根据题意，可知x＝－4，y＝2同时满足两个一次函数表达式，则一次函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交点坐标为（－4，2）.
【解】（－4，2）
探究点三　二元一次方程组的解与两个一次函数图象的位置关系
类型一　判断两直线位置关系
【例3】若方程组没有解，则一次函数y＝2－x与y＝－x的图象必定（　　）
A.重合 B.平行
C.相交 D.无法确定
【解析】因为方程组没有解，所以一次函数y＝2－x与y＝－x的图象没有交点.故一次函数y＝2－x与y＝－x的图象必定平行.
【答案】B
【方法总结】二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数图象没有交点，即两条直线平行；反之亦然.
类型二　解决面积问题
【例4】已知直线y1＝2x－2与y轴交于点A，直线y2＝－2x＋6与y轴交于点B，两条直线交于点C.
（1）方程组的解是　　　　.
（2）求△ABC的面积.
【解析】（1）由两直线的交点C的坐标，可得出方程组的解.（2）先求出A，B两点的纵坐标，再根据三角形面积公式得出答案.
【解】（1）
（2）令x＝0，则y1＝－2，y2＝6，
所以A（0，－2），B（0，6），所以AB＝8.
由（1）可知，C（2，2），
所以S△ABC＝×8×2＝8.
如图所示，已知一次函数y＝ax＋2与y＝kx＋b的图象交于点A，且方程组的解为点B的坐标为（0，－1）.请求出两个一次函数的表达式.
第1课时　二元一次方程与一次函数
1.二元一次方程与一次函数的关系；
2.二元一次方程组与一次函数的关系.
本节课我们学习了二元一次方程（组）与一次函数的关系，二者之间可以相互转化：二元一次方程的解可以看作是相应一次函数图象上的点的坐标；二元一次方程组的解可以看作是相应两条直线的交点坐标.当二元一次方程组无解时，两条直线平行，反之亦然；当二元一次方程组有无数组解时，两条直线就变成一条直线（重合），反之亦然.
　　本节课通过分析探究得出结论：两条直线的交点坐标就是这两条直线所对应的一次函数的表达式所组成的二元一次方程组的解.这有两个方面的应用：一方面，可以根据图象的交点坐标求出方程组的解；另一方面，先求出方程组的解，也就知道了这两条直线的交点坐标.这进一步体现了数形结合的思想.
答案
课堂训练
解：由题意可知，点A的坐标为（2，1）.因为点A在函数y＝ax＋2的图象上，所以2a＋2＝1，所以a＝－.因为点A（2，1）和点B（0，－1）在函数y＝kx＋b的图象上，所以解得故这两个一次函数的表达式分别为y＝－x＋2，y＝x－1.