6.1 第3课时 方差与标准差 教案 2025-2026北师大版数学八年级上册

第3课时　方差与标准差
1.了解刻画数据离散程度的两个量度——标准差和方差，能借助计算器求出相应的数值.
2.经历表示数据离散程度的几个量度的探索过程，通过实例体会用样本估计总体的统计思想，培养学生的数学应用能力.
重点：理解方差和标准差的概念.
难点：应用方差和标准差分析数据，并作出决策.
这个统计图（投影展示）反映了甲、乙、丙三个选手的射击成绩.这三人谁的成绩最好？你是怎么判断的？
探究点一　利用方差的计算公式计算方差
【例1】甲、乙两台机床生产同种零件，这两台机床10天出的次品个数如下：
甲：0，1，0，2，2，0，3，1，2，4；乙：2，3，1，1，0，2，1，1，0，1.
分别计算甲、乙两台机床生产零件出次品的方差.
【解析】先分别计算平均数，再利用方差的计算公式计算.
【解】由题意，得＝＝1.5（个），＝＝1.2（个），
所以＝×[3×（0－1.5）2＋2×（1－1.5）2＋3×（2－1.5）2＋1×（3－1.5）2＋1×（4－1.5）2]＝1.65，
＝×[2×（0－1.2）2＋5×（1－1.2）2＋2×（2－1.2）2＋1×（3－1.2）2]＝0.76.
探究点二　利用标准差的公式计算标准差
【例2】某次考试中，A，B，C，D，E五位同学的数学、英语成绩（单位：分）如下表所示：
A B C D E
英语 88 85 94 82 76
数学 71 72 69 68 70
　　（1）求这五位同学数学成绩的标准差（结果可保留根号）.
（2）为了比较同一学生不同学科成绩的好与差，可采用“标准分”〔标准分＝（个人成绩－平均分）÷成绩的标准差〕进行比较，标准分大的成绩更好.请通过计算说明A同学在这次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？
【解析】（1）先计算五位同学数学成绩的方差，然后求出标准差.（2）由（1）得到的数据，计算B同学在这次考试中数学与英语的标准分.
【解】（1）因为＝×（71＋72＋69＋68＋70）＝70（分），
所以s2＝×[（71－70）2＋（72－70）2＋（69－70）2＋（68－70）2＋（70－70）2]＝2，所以标准差为.
（2）由题意，得英语成绩的平均分为×（88＋85＋94＋82＋76）＝85（分），英语成绩的方差为×[（88－85）2＋（85－85）2＋（94－85）2＋（82－85）2＋（76－85）2 ]＝36，所以英语成绩的标准差为6.
由（1）得数学成绩的平均分为70分，标准差为，所以A同学的数学标准分为（71－70）÷＝，A同学的英语标准分为（88－85）÷6＝.
因为＞，
所以A同学在这次考试中，数学学科考得更好.
1.甲、乙两机器分别灌装每瓶质量为500g的矿泉水，从它们灌装的矿泉水中分别抽取了30瓶，测算它们实际质量的方差是＝4.8，＝3.6，那么　　　　灌装的矿泉水质量比较稳定（填“甲”或“乙”）.
2.已知一组数据：3，5，7，9，11.求这组数据的标准差.
第3课时　方差与标准差
1.方差；
2.标准差.
本节课主要学习了用方差与标准差表示出一组数据与其平均值的离散程度，即稳定性.方差或标准差越小，稳定性越好.
　　通过本节课的学习，学生做到了以下三个方面：首先，掌握了方差和标准差的概念，会计算一组数据的方差和标准差；其次，能够理解“二差”的应用，知道一般情况下二差越小，数据越稳定；最后，形成严谨的学习态度和求简的数学精神.
答案
课堂训练
1.乙
2.解：＝＝7，
方差s2＝×[（3－7）2＋（5－7）2＋（7－7）2＋（9－7）2＋（11－7）2]＝8，
标准差s＝＝2.