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第3章《实数》综合能力评价
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C． B D D B D C D
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列实数中的无理数是（ ）
A． B．3.14 C． D．
【思路点拔】无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案．
【解答】解：是分数，3.14是有限小数，4是整数，它们不是无理数；
是无限不循环小数，它是无理数；
故选：C．
【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（3分）若2，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．
【思路点拔】根据算术平方根的概念可得．
【解答】解：若2，则a＝4，
故选：B．
【点评】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
3．（3分）在0、、﹣1、这四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B． C． D．﹣1
【思路点拔】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵1＜0，
∴最小的数是：．
故选：C．
【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
4．（3分）如图，在数轴上表示数的点可能是（ ）
A．点E B．点F C．点P D．点Q
【思路点拔】根据数轴可知点F所表示的数大于﹣3而小于﹣2，依此即可得解
【解答】解：，﹣32，
∴由数轴可知点F所表示的数大于﹣3而小于﹣2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，主要根据数在数轴上的位置判断数的大小，以及通过求无理数近似值从而比较数的大小进行判断．
5．（3分）下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据平方根的性质解答，即可．
【解答】解：A、，3≠±3，选项计算错误，不符合题意；
B、，3≠±3，选项计算错误，不符合题意；
C、无意义，选项计算错误，不符合题意；
D、，选项计算正确，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，平方根，掌握二次根式的性质与化简是关键．
6．（3分）下列语句写成数学式子正确的是（ ）
A．9是81的算术平方根：
B．﹣2是4的负的平方根：
C．±6是36的平方根：
D．5是（﹣5）2的算术平方根：
【思路点拔】根据一个正数的算术平方根只有一个，而一个正数的平方根有两个．
【解答】解：∴（﹣5）＝5，
故选：D．
【点评】本题考查了算术平方根和平方根的差别，准确把握定义是解决本题的关键．
7．（3分）已知一个表面积为12dm2的正方体，则这个正方体的棱长为（ ）
A．1dm B．dm C．dm D．3dm
【思路点拔】根据正方体的表面积公式：s＝6a2，解答即可．
【解答】解：因为正方体的表面积公式：s＝6a2，
可得：6a2＝12，
解得：a．
故选：B．
【点评】此题主要考查正方体的表面积公式的灵活运用，关键是根据公式进行计算．
8．（3分）已知，，那么下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】要利用解题即可．
【解答】解：A、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，故选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式，正确运用二次根式的性质是解题的关键．
9．（3分）与2最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【思路点拔】估算无理数的大小，再确定更接近的整数，进而得出答案．
【解答】解：∵34，而15﹣9＞16﹣15，
∴更接近4，
∴2更接近6，
故选：C．
【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义以及数的大小关系是正确解答的前提．
10．（3分）已知a是的平方根，b，c是﹣8的立方根，则a+b﹣c的值为（ ）
A．15 B．15或﹣3 C．9 D．9或3
【思路点拔】先根据平方根、算术平方根、立方根的定义求得a、b、c的值，再代入所求代数式即可计算．
【解答】解：∵a是的平方根，b，c是﹣8的立方根，
∴a＝3或﹣3，b＝4，c＝﹣2，
当a＝3，b＝4，c＝﹣2时，a+b﹣c＝3+4﹣（﹣2）＝9，
当a＝﹣3，b＝4，c＝﹣2时，a+b﹣c＝﹣3+4﹣（﹣2）＝3，
则a+b﹣c＝9或3，
故选：D．
【点评】此题考查了平方根，立方根和算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）4的算术平方根为 2 ，﹣27的立方根为 ﹣3 ，的平方根为 ±2 ．
【思路点拔】根据算术平方根的定义，立方根的定义与平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：∵，
∴4的算术平方根为：2；
∵，
∴﹣27的立方根是﹣3；
∵，，
∴的平方根是±2．
故答案为：2，﹣3，±2．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，立方根的定义与平方根的定义．
12．（3分）写出一个比大的整数，可以是 2（答案不唯一） ．
【思路点拔】根据，即12，因此即可得出结果．
【解答】解：∵，
∴12，
∴比大的整数是2，
故答案为：2（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握其估算方法是解题的关键．
13．（3分）如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是 0与±1 ．
【思路点拔】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据立方根的定义即可求解．
【解答】解：只有±1和0的立方根等于它本身，那么这个数是0与±1．
故答案为：0与±1．
【点评】此题考查了立方根的性质，解题时要掌握一些特殊数字的特殊性质，如1，﹣1和0．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0．
14．（3分）一个球形容器的容积为36π立方米，则它的半径R＝ 3 米．（球的体积：V球πR3，其中R为球的半径）
【思路点拔】根据V球πR3公式列等式，开立方求出R．
【解答】解：∵V球πR3，
∴πR3＝36π，
解得R＝3；
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了立方根，掌握立方根的性质，根据球体的体积公式列出等式是解题关键．
15．（3分）若（）2与互为相反数，则的值是 ．
【思路点拔】根据相反数的概念列出算式，根据偶次方、算术平方根具有非负性分别求出a、b，计算即可．
【解答】解：由题意得：（a）20，
则a0，b+1＝0，
解得：a，b＝﹣1，
则，
故答案为：．
【点评】本题考查的是非负数的性质，熟记偶次方、算术平方根具有非负性是解题的关键．
16．（3分）已知x是整数，当取最小值时，x的算术平方根是 ．
【思路点拔】根据接近的整数为7，即可得出结论．
【解答】解：∵x是整数，
∵，
∴，
∵6.82＝46.24，
∴接近的整数为：7，
∴x＝7时取最小值，
∴7的算术平方根是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查的是实数的性质，算术平方根，估算无理数的大小，先根据题意得出接近的整数为7是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：
（1）
（2）
【思路点拔】（1）先计算绝对值、立方根、算术平方根，再计算加减即可；
（2）先计算乘方、绝对值、立方根、算术平方根，再计算加减即可．
【解答】解：（1）
＝1+3﹣4
＝0；
（2）
．
【点评】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
18．（8分）仔细观察下列各数，回答问题：，0，，π，﹣|﹣1|，．
（1）在数轴上表示上述各数中的非负数（标在数轴上方，无理数标出大致位置），并把它们用“＜”号连接．
（2）上述各数中介于﹣2与﹣1之间的数有 2 个．
【思路点拔】（1）先化简一些复杂的数，并表示在数轴上，根据数轴上的大小：右边的数总比左边的大，按从小到大的顺序排列；
（2）根据数轴上点的大小关系直接写出即可．
【解答】解：（1）0.5，﹣|﹣1|＝﹣1，
属于非负数的有：0，，π，，
画数轴表示如下：
∴0π；
（2）上述各数中介于﹣2与﹣1之间的数有：，﹣|﹣1|，2 个．
故答案为：2．
【点评】本题考查了实数的分类、无理数的估算，利用数轴表示数及大小比较，熟练掌握非负数和无理数的定义是关键，明确数轴上的数右边的数总比左边的大．
19．（8分）经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离h（米）和下落时间t（秒）可以用公式来估计．
（1）一个物体从125米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？
（2）一个物体从高空某处落到地面用了2秒，问物体下落前离地面高多少米？
【思路点拔】（1）将h＝125代入计算即可；
（2）将t＝2代入计算即可．
【解答】解：（1）当h＝125米时，
5（秒），
答：一个物体从125米高的塔顶自由下落，落到地面需要5秒；
（2）当t＝2秒时，，
，
解得h＝20，
答：物体下落前离开地面20米．
【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的计算是解题的关键．
20．（8分）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25．
（1）大正方形的边长是 ，小正方形的边长是 ．
（2）求图中阴影部分的周长．
【思路点拔】（1）根据题意可得小正方形边长为3，大正方形边长为5，即可求解；
（2）根据大小正方形的边长为3和5，列式即可求解．
【解答】解：（1）∵大正方形的面积为25，小正方形的面积为18，
∴大正方形边长为5，小正方形边长为，
故答案为：5，3；
（2）∵大正方形边长为5，小正方形边长为3，
∴阴影部分的周长2（5﹣3）+410+6．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算的应用，明确题意，求出大小正方形的边长是解题的关键.
21．（8分）已知a是121的算术平方根，（b﹣1）3＝﹣64．
（1）求a，b的值．
（2）求的平方根．
【思路点拔】（1）根据算术平方根的定义，立方根的定义，得出a＝11，b﹣1＝﹣4即可求解；
（2）将a＝11，b＝﹣3代入，求算术平方根，再求平方根即可求解．
【解答】解：（1）∵a是121的算术平方根，
∴a11，
∵（b﹣1）3＝﹣64，
∴b﹣1＝﹣4，
∴b＝﹣3；
（2）∵a＝11，b＝﹣3，
∴2（a+b）＝2×（11﹣3）＝2×8＝16，
∴，
∵4的平方根是±2，
∴的平方根为±2．
【点评】本题考查了求算术平方根，平方根，立方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键．
22．（10分）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是32768，它是一个整数的立方，希望求它的立方根．华罗庚不假思索给出了答案，邻座的乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘．你知道华罗庚是怎样快速准确计算出的吗？请按照下面的问题试一试．
（1）由103＝1000，1003＝1000000，因为1000＜32768＜1000000，请确定是 两 位数；
（2）由32768的个位上的数是8，请确定的个位上的数是 2 ，划去32768后面的三位数768得到32，因为33＝27，43＝64，请确定的十位上的数是 3 ；
（3）所以 32 ；
（4）已知13824是一个整数的立方，仿照上面的计算过程，请计算：．
【思路点拔】（1）根据题中所给的分析方法先求出这32768的立方根都是两位数；
（2）继续分析求出个位数和十位数即可；
（3）利用（1）（2）中的结论可得结果；
（4）利用（1）（2）中材料中的过程进行分析可得结论．
【解答】解：（1）由103＝1000，1003＝1000000，
∵1000＜32768＜100000，
∴，
∴是两位数；
故答案为：两；
（2）∵只有个位数是2的立方数是个位数是8，
∴的个位上的数是2
划去32768后面的三位数768得到32，
因为33＝27，43＝64，
∵27＜32＜64，
∴．
∴的十位上的数是3．
故答案为：2，3；
（3）所以；
（4）由103＝1000，1003＝1000000，
1000＜13824＜1000000，
∴，
∴是两位数；
∵只有个位数是4的立方数是个位数是4，
∴的个位上的数是4
划去13824后面的三位数824得到13，
因为23＝8，33＝27，
∵8＜13＜27，
∴．
∴．
【点评】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度．
23．（10分）木工李师傅现有一块面积为4m2的正方形胶合板，准备做装饰材料用，他设计了如下两种方案：
方案一：沿着边的方向裁出一块面积为3m2的长方形装饰材料．
方案二：沿着边的方向裁出一块面积为3m2的长方形装饰材料，且其长、宽之比为3：2．
李师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由．
【思路点拔】方案一：由正方形的边长为2m知，可裁出一个长为2m、宽为1.5m的矩形；
方案二：设长方形纸片的长为3x m，则宽为2x m，根据面积为3m2可得长方形纸片的长为m，即可作出判断．
【解答】解：方案一可行．理由如下：
因为正方形胶合板的面积为4m2，所以正方形胶合板的边长为2（m）．
如图所示，沿着EF裁剪，因为BC＝EF＝2m，所以只要使BE＝CF＝3÷2＝1.5（m）就满足条件．方案一裁剪方法不唯一．
方案二不可行．理由如下：
设所裁长方形装饰材料的长为3x m、宽为2x m．
则3x 2x＝3，
即2x2＝1，解得x（负值已舍去）．
所以所裁长方形的长为m．
因为2，
所以方案二不可行．
【点评】本题考查了算术平方根的定义：一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根；0的算术平方根为0．也考查了估算无理数的大小．
24．（12分）同学们通过学习教材中的探究，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度与小正方形的边长相同），将图1中的大正方形画在图2的数轴上，如图所示，通过探究回答以下问题：
探究：能否用两个面积为1dm2的小正方形拼成一个面积为2dm2的大正方形？
（1）图1中大正方形的边长为 ，图2中点M表示的数为 ．
（2）小易同学根据自己的学习经验，探究了如下问题：
如图3，在4×4的方格中，每个小正方形的边长为1．
①图3中正方形ABCD的面积为 10 ；
②如图4，若点A在数轴上表示的数是﹣1，以A为圆心，AD为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是 ．
（3）请在网格中画一个面积为5的正方形，使得正方形的顶点均在格点上．（备注网格小正方形的边长为1个单位长度）
【思路点拔】（1）根据勾股定理求出大正方形的边长，然后根据点M到原点的距离表示出点M即可；
（2）①用割补法求出正方形ABCD的面积，再根据算术平方根的定义即可求出边长；
②E表示的数比﹣1大，用﹣1加上AE长度即为E表示的数．
（3）根据网格的特点和勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）图1中大正方形的边长为，
∴图2中点M表示的数为；，
故作案为：，；
（2）①∵正方形ABCD的面积是；
故答案为：10；
②∵正方形ABCD边长为，
∴，
∴E表示的数比﹣1大，即E表示的数为，
故答案为：；
（3）∵正方形的面积为5
∴正方形的边长为，
如图所示，
【点评】本题考查了算术平方根的意义，勾股定理，实数和数轴，以及用数轴上的点表示实数，解题的关键是求出正方形ABCD的边长．中小学教育资源及组卷应用平台
第3章《实数》综合能力评价
（满分：120分 时间：120分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列实数中的无理数是（ ）
A． B．3.14 C． D．
2．（3分）若2，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．
3．（3分）在0、、﹣1、这四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B． C． D．﹣1
4．（3分）如图，在数轴上表示数的点可能是（ ）
A．点E B．点F C．点P D．点Q
5．（3分）下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）下列语句写成数学式子正确的是（ ）
A．9是81的算术平方根：
B．﹣2是4的负的平方根：
C．±6是36的平方根：
D．5是（﹣5）2的算术平方根：
7．（3分）已知一个表面积为12dm2的正方体，则这个正方体的棱长为（ ）
A．1dm B．dm C．dm D．3dm
8．（3分）已知，，那么下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）与2最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（3分）已知a是的平方根，b，c是﹣8的立方根，则a+b﹣c的值为（ ）
A．15 B．15或﹣3 C．9 D．9或3
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）4的算术平方根为 ，﹣27的立方根为 ，的平方根为 ．
12．（3分）写出一个比大的整数，可以是 ．
13．（3分）如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是 ．
14．（3分）一个球形容器的容积为36π立方米，则它的半径R＝ 米．（球的体积：V球πR3，其中R为球的半径）
15．（3分）若（）2与互为相反数，则的值是 ．
16．（3分）已知x是整数，当取最小值时，x的算术平方根是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：
（1）
（2）
18．（8分）仔细观察下列各数，回答问题：，0，，π，﹣|﹣1|，．
（1）在数轴上表示上述各数中的非负数（标在数轴上方，无理数标出大致位置），并把它们用“＜”号连接．
（2）上述各数中介于﹣2与﹣1之间的数有 个．
19．（8分）经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离h（米）和下落时间t（秒）可以用公式来估计．
（1）一个物体从125米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？
（2）一个物体从高空某处落到地面用了2秒，问物体下落前离地面高多少米？
19．（8分）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25．
（1）大正方形的边长是 ，小正方形的边长是 ．
（2）求图中阴影部分的周长．
21．（8分）已知a是121的算术平方根，（b﹣1）3＝﹣64．
（1）求a，b的值．
（2）求的平方根．
22．（10分）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是32768，它是一个整数的立方，希望求它的立方根．华罗庚不假思索给出了答案，邻座的乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘．你知道华罗庚是怎样快速准确计算出的吗？请按照下面的问题试一试．
（1）由103＝1000，1003＝1000000，因为1000＜32768＜1000000，请确定是 位数；
（2）由32768的个位上的数是8，请确定的个位上的数是 ，划去32768后面的三位数768得到32，因为33＝27，43＝64，请确定的十位上的数是 ；
（3）所以 ；
（4）已知13824是一个整数的立方，仿照上面的计算过程，请计算：．
23．（10分）木工李师傅现有一块面积为4m2的正方形胶合板，准备做装饰材料用，他设计了如下两种方案：
方案一：沿着边的方向裁出一块面积为3m2的长方形装饰材料．
方案二：沿着边的方向裁出一块面积为3m2的长方形装饰材料，且其长、宽之比为3：2．
李师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由．
24．（12分）同学们通过学习教材中的探究，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度与小正方形的边长相同），将图1中的大正方形画在图2的数轴上，如图所示，通过探究回答以下问题：
探究：能否用两个面积为1dm2的小正方形拼成一个面积为2dm2的大正方形？
（1）图1中大正方形的边长为 ，图2中点M表示的数为 ．
（2）小易同学根据自己的学习经验，探究了如下问题：
如图3，在4×4的方格中，每个小正方形的边长为1．
①图3中正方形ABCD的面积为 ；
②如图4，若点A在数轴上表示的数是﹣1，以A为圆心，AD为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是 ．
（3）请在网格中画一个面积为5的正方形，使得正方形的顶点均在格点上．（备注网格小正方形的边长为1个单位长度）
