立体几何初步常考易错检测卷（含解析）-2026届高三数学上学期一轮复习

中小学教育资源及组卷应用平台
立体几何初步常考易错检测卷-2026届高三数学上学期一轮复习
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 保山期中）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（　　）
①梯形的直观图可能不是梯形
②相等的线段在直观图中仍然相等
③不相等的线段在直观图中一定不相等
④线段的中点仍是线段的中点
A．①③ B．④ C．③④ D．②③
2．（2025春 廊坊期末）已知圆台的上、下底面直径长分别为2、8，侧面积为25π，则该圆台的体积为（　　）
A．84π B．68π C．28π D．
3．（2025春 敦煌市校级期末）已知a，b，c表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下面四个命题错误的有（　　）
A．若α∥β，a α，则a∥β
B．若α∩β＝a，b α，c β，b∥c，则a∥b
C．若a∥β，b β，则a∥b
D．a⊥β，b β，则a⊥b
4．（2025春 保山期中）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的小圆锥的高是圆台的一半，若小圆锥的母线长为3，则圆台的母线长为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
5．（2025春 连城县校级月考）如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（　　）
A．1cm2 B． C． D．
6．（2025 西宁模拟）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为1，若将其截去三棱锥A﹣A1B1D1，则剩余部分几何体的体积为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025 桂林模拟）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则直线DC1，B1C所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025春 广东月考）如图，升是旧时量粮食的器具，其形状可看作正四棱台，若该升的上口为15cm，下口为12.5cm，高为8cm，则该升的容积约是（上口指上底边长，下口指下底边长）（　　）
A．1516.7cm3 B．1517.6cm3 C．1518.7cm3 D．1519.6cm3
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 东莞市校级模拟）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为四边形A1B1C1D1的中心，平面AOB∩平面COD＝l，则下列结论正确的是（　　）
A．直线AO与BC1异面 B．AO⊥BD
C．平面AOB⊥平面COD D．l∥平面ABC1D1
（多选）10．（2025 涪城区校级二模）如图，P是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上一个动点，则下列说法正确的有（　　）
A．当P在平面BCC1B1内运动时，四棱锥P﹣AA1D1D的体积不变
B．当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是
C．使得直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为π+4
D．若F是棱A1B1的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF∥平面B1CD1时，PF的最小值是
（多选）11．（2025 阜阳校级模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AB⊥BC，P，Q分别为棱BC，A1C1上的动点，且，，λ∈（0，1），则（　　）
A．存在λ使得PQ⊥A1B
B．存在λ使得PQ∥平面ABB1A1
C．若BB1，B1C1长度为定值，则时三棱锥B﹣A1PQ体积最大
D．当时，直线PQ与A1B所成角的余弦值的最小值为
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 甘肃月考）已知正三棱锥P﹣ABC的侧面均为直角三角形，若该正三棱锥的体积为36，则正三角形ABC的边长为 　 　 ．
13．（2025春 湖北月考）四面体ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，，且异面直线AB与CD所成角为60°，若四面体外接球半径为，则四面体ABCD的体积的最大值为 　 　 ．
14．（2025春 德州月考）多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体，正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的体积的比为 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 南充月考）在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BC＝CD，M为BD的中点．
（1）求证：CM⊥AD；
（2）若N为BC的中点，过MN的平面α交平面ACD于PQ，求证：PQ∥平面BCD．
16．（2025春 德州月考）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为BC，A1B1的中点．
（1）求证：DE∥平面A1ACC1；
（2）求证：AB⊥DE．
（3）若AA1＝6，AB＝AC＝4，求三棱锥A﹣BCE的体积．
17．（2025春 河北月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，，侧面BCC1B1为正方形，D为棱BB1的中点，点E为棱AC上一点，且AD∥平面BC1E．
（1）证明：平面ABB1A1⊥平面BCC1B1；
（2）求的值；
（3）若∠ABB1＝60°，求直线C1E与平面ABB1A1所成角的正弦值．
18．（2025春 丰南区期中）如图，正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，上底面边长为，下底面边长为，E为CC1的中点，侧棱长为3．
（1）证明：AC1∥平面BDE；
（2）求该正四棱台的表面积．
19．（2025春 广东月考）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D为BC中点，平面PAD⊥平面ABC，PB＝PC，BC＝2PD＝2，，三棱锥P﹣ABC的体积为．Q，R分别是直线AB，AC上一点，且BC∥平面PQR，记平面PBC∩平面PQR＝l．
（1）证明：平面PBC⊥平面PAD；
（2）求二面角P﹣BC﹣A的正弦值；
（3）若l与CQ所成角的正弦值为，求的值．
立体几何初步常考易错检测卷-2026届高三数学上学期一轮复习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C B B D A A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD AC BCD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 保山期中）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（　　）
①梯形的直观图可能不是梯形
②相等的线段在直观图中仍然相等
③不相等的线段在直观图中一定不相等
④线段的中点仍是线段的中点
A．①③ B．④ C．③④ D．②③
【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：
对于①，由斜二测法画图可知原图中的平行关系在直观图中仍然平行，故梯形的直观图仍然是梯形，①错误；
对于②，对于线段长度，x轴方向线段长度不变，y轴方向线段长度减半，所以相等的线段在直观图中不一定相等，②错误；
对于③，由斜二测画法，不相等的线段在直观图中可能相等，③错误；
对于④，线段的中点仍是线段的中点，④正确．
故选：B．
2．（2025春 廊坊期末）已知圆台的上、下底面直径长分别为2、8，侧面积为25π，则该圆台的体积为（　　）
A．84π B．68π C．28π D．
【解答】解：设圆台的母线长为l，
因为圆台的上、下底面直径长分别为2、8，侧面积为25π，
所以该圆台的侧面积为πl×（1+4）＝5πl＝25π，
故l＝5，
取圆台的轴截面ABCD，则四边形ABCD为等腰梯形，
分别过点C、D在平面ABCD内作CE⊥AB、DF⊥AB，垂足分别为点E、F，如下图所示：
因为CD∥AB，CE⊥AB，DF⊥AB，
则四边形CDFE为矩形，故EF＝CD＝2，
且CE＝DF，
因为AD＝BC，DF＝CE，∠DAF＝∠CBE，
故△ADF≌△BCE，
所以，AD＝5，
故，
故圆台的高为4，
因此该圆台的体积为．
故选：C．
3．（2025春 敦煌市校级期末）已知a，b，c表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下面四个命题错误的有（　　）
A．若α∥β，a α，则a∥β
B．若α∩β＝a，b α，c β，b∥c，则a∥b
C．若a∥β，b β，则a∥b
D．a⊥β，b β，则a⊥b
【解答】解：若α∥β，a α，则a∥β，所以A选项正确；
若α∩β＝a，b α，c β，b∥c，则a∥b，所以B选项正确；
若a∥β，b β，则a，b可能平行或异面，所以C选项错误；
若a⊥β，b β，则a⊥b，所以D选项正确．
故选：C．
4．（2025春 保山期中）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的小圆锥的高是圆台的一半，若小圆锥的母线长为3，则圆台的母线长为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
【解答】解：因为截得的小圆锥的高是圆台的一半，所以小圆锥的母线长也为圆台母线长的一半，
故圆台的母线长为6．
故选：B．
5．（2025春 连城县校级月考）如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（　　）
A．1cm2 B． C． D．
【解答】解：由题可得：原来的图形是平行四边形，
其在横轴上的边长为1，高为，
所以它的面积是．
故选：B．
6．（2025 西宁模拟）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为1，若将其截去三棱锥A﹣A1B1D1，则剩余部分几何体的体积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：将平行六面体截去三棱锥后，剩余部分几何体的体积等于平行六面体的体积减去三棱锥的体积，
记平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V＝1，
则三棱锥A﹣A1B1D1的体积V1 h hV，
所以剩余部分几何体的体积为V﹣V1＝1．
故选：D．
7．（2025 桂林模拟）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则直线DC1，B1C所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：以{，，}为基底，则，
则||，
||，
（） （）
＝1×1×cos60°﹣1×2×cos60°+1×2×cos60°﹣22，
所以，
则直线DC1，B1C所成角的余弦值为．
故选：A．
8．（2025春 广东月考）如图，升是旧时量粮食的器具，其形状可看作正四棱台，若该升的上口为15cm，下口为12.5cm，高为8cm，则该升的容积约是（上口指上底边长，下口指下底边长）（　　）
A．1516.7cm3 B．1517.6cm3 C．1518.7cm3 D．1519.6cm3
【解答】解：因为正四棱台器具升的上口为15cm，下口为12.5cm，高为8cm，
所以该升的容积约是．
故选：A．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 东莞市校级模拟）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为四边形A1B1C1D1的中心，平面AOB∩平面COD＝l，则下列结论正确的是（　　）
A．直线AO与BC1异面 B．AO⊥BD
C．平面AOB⊥平面COD D．l∥平面ABC1D1
【解答】解：选项A，设平面ABB1A1的中心为G，则G是A1B的中点，
因为O是A1C1的中点，所以OG∥BC1，
所以O，G，B，C1四点共面，
假设直线AO与BC1共面，
由于平面OABC1与平面OGBC1有3个交点O，B，C1，且O，B，C1三点不共线，
所以平面OABC1与平面OGBC1重合，显然点A 平面OGBC1，
所以假设不成立，即直线AO与BC1异面，故选项A正确；
选项B，由正方体的性质知，BD⊥AC，AA1⊥平面ABCD，
因为BD 平面ABCD，所以AA1⊥BD，
又AC∩AA1＝A，AC、AA1 平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，
因为AO 平面ACC1A1，所以AO⊥BD，故选项B正确；
选项C，分别取AB，CD的中点E，F，连接OE，OF，EF，显然OE⊥AB，OF⊥CD，
因为AB∥CD，AB 平面COD，CD 平面COD，所以AB∥平面COD，
又AB 平面AOB，平面AOB∩平面COD＝l，所以AB∥l，即AB∥CD∥l，
所以OE⊥l，OF⊥l，
所以∠EOF即为平面AOB与平面COD所成的角，
设正方体的棱长为2，则EF＝2，OE＝OF，
在△OEF中，由余弦定理知，cos∠EOF，
所以∠EOF≠90°，即平面AOB⊥平面COD不成立，故选项C错误；
选项D，由选项B知，AB∥l，
因为AB 平面ABC1D1，l 平面ABC1D1，所以l∥平面ABC1D1，故选项D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（2025 涪城区校级二模）如图，P是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上一个动点，则下列说法正确的有（　　）
A．当P在平面BCC1B1内运动时，四棱锥P﹣AA1D1D的体积不变
B．当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是
C．使得直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为π+4
D．若F是棱A1B1的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF∥平面B1CD1时，PF的最小值是
【解答】解：因为底面正方形AA1D1D的面积不变，又P到平面AA1D1D的距离为正方体棱长，
故四棱锥P﹣AA1D1D的体积不变，故A正确；
D1P与A1C1所成的角即为D1P与AC所成的角，
当P在端点A，C时，所成的角最小，最小为，
当P在AC的中点时，所成的角最大，最大为，故B错误；
由于P在正方体表面上，P的轨迹为对角线AB1，AD1，
以及在平面A1B1C1D1内以A1为圆心、2为半径的圆弧，
由于AA1＝2，A1P＝2，所以在Rt△AA1P中，，
即直线AP与平面A1B1C1D1所成的角为45°，
又由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，所以直线AP与平面ABCD所成的角为45°；
如图①，故P的轨迹长度为，故C正确；
分别取A1D1、DD1、BC、B1B、CD的中点M、N、S、E、P，
由正方体的性质可知M、N、S、E、P、F六点共面，且为正六边形MNPSEF，
由中位线定理，MF∥B1D1，B1D1 平面B1CD1，所以MF∥平面B1CD1，
同理MN∥平面B1CD1，且MF∩MN＝M，MF，MN 平面MNPSEF，
所以平面MNPSEF∥平面B1CD1，
所以FP所在的平面为如图②所示的正六边形，
当P为BC的中点时，FP的长最小，最小为，故D错误．
故选：AC．
（多选）11．（2025 阜阳校级模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AB⊥BC，P，Q分别为棱BC，A1C1上的动点，且，，λ∈（0，1），则（　　）
A．存在λ使得PQ⊥A1B
B．存在λ使得PQ∥平面ABB1A1
C．若BB1，B1C1长度为定值，则时三棱锥B﹣A1PQ体积最大
D．当时，直线PQ与A1B所成角的余弦值的最小值为
【解答】解：如图，由题意可建立如图所示的空间直角坐标系B1﹣xyz，
设BC＝a，BB1＝b，
则由题：B1（0，0，0），A1（0，2，0），C1（a，0，0），A（0，2，b），B（0，0，b），
所以（0，﹣2，b），，，（0，0，b），
又，，λ∈（0，1），
所以（λa，0，b），
即P（λa，0，b），
，
即Q（a﹣λa，2λ，0），
所以，
对A，由上（a﹣2λa，2λ，﹣b） （0，﹣2，b）＝﹣4λ﹣b2＜0，故A错误；
对B，由题意（a，0，0）是平面ABB1A1的一个法向量，
（a﹣2λa，2λ，﹣b） （a，0，0）＝a2﹣2λa2，
故当时，，
此时PQ∥平面ABB1A1，故B正确；
对C，由上（λa，﹣2，b），（a﹣2λa，2λ，﹣b），，﹣2，b），
设平面A1BP的一个法向量为（x，y，z），
则，
取z＝2，则（0，b，2），
设点Q到平面A1BP的距离为d，则由λ∈（0，1）得：
d，
又由题意可知：，
，
因为BB1，B1C1长度为定值，所以ab为定值，
故当时，三棱锥B﹣A1PQ体积最大，故C正确；
对D，设直线PQ与AB所成角为θ，由上当λ时，
，
当且仅当时等号成立，故D对．
故选：BCD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 甘肃月考）已知正三棱锥P﹣ABC的侧面均为直角三角形，若该正三棱锥的体积为36，则正三角形ABC的边长为 　　 ．
【解答】解：因为正三棱锥P﹣ABC的侧面均为直角三角形，又该正三棱锥的体积为36，
所以设该正三棱锥的各侧棱长均为a，其侧面均为直角三角形，
所以底面正三角形的边长为，
所以该正三棱锥的体积，解得a＝6，
所以三角形ABC的边长为．
故答案为：．
13．（2025春 湖北月考）四面体ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，，且异面直线AB与CD所成角为60°，若四面体外接球半径为，则四面体ABCD的体积的最大值为 　　 ．
【解答】解：根据题意构建直三棱柱ABE﹣FCD，其中，
设G，H分别为△ABE，△CDF的外心，连结GH，取其中点O，
则O既是直三棱柱ABE﹣FCD的外接球的球心，也是四面体ABCD的外接球的球心，
∵异面直线AB与CD所成角为60°，∴∠ABE＝60°或120°，
设△ABE的外接圆半径为r，
则r2，
由正弦定理知，，
①当∠ABE＝60°时，由余弦定理得，AE2＝AB2+BE2﹣2AB BE cos60°，
即AB2+BE2﹣AB BE＝12，
所以12＝AB2+BE2﹣AB BE≥2AB BE﹣AB BE＝AB BE，当且仅当AB＝BE时等号成立，
所以四面体ABCD的体积；
②当∠ABE＝120°时，由余弦定理得，AE2＝AB2+BE2﹣2AB BE cos120°，
所以AB2+BE2+AB BE＝12，
所以12＝AB2+BE2+AB BE≥2AB BE+AB BE＝3AB BE，
即AB BE≤4，当且仅当AB＝BE时等号成立，
所以四面体ABCD的体积，
综上，四面体ABCD的体积的最大值为．
故答案为：．
14．（2025春 德州月考）多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体，正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的体积的比为 　　 ．
【解答】解：根据题意可知正八面体的外接球和内切球的球心重合，且为体对角线的交点，
设正八面体的棱长为2，外接球和内切球的半径分别为R，r，
则，且各侧面积，又两个正四棱锥的高为，
所以正八面体的体积，解得，
所以正八面体外接球和内切球的体积比为．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 南充月考）在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BC＝CD，M为BD的中点．
（1）求证：CM⊥AD；
（2）若N为BC的中点，过MN的平面α交平面ACD于PQ，求证：PQ∥平面BCD．
【解答】证明：（1）由BC＝CD，M为BD的中点，则CM⊥BD，
由平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以CM⊥平面ABD，AD 平面ABD，故CM⊥AD．
（2）由M为BD的中点，N为BC的中点，则MN∥CD，
由MN α，CD α，则CD∥α，又CD 平面ACD，平面ACD∩平面α＝PQ，
所以PQ∥CD，PQ 平面BCD，CD 平面BCD，
所以PQ∥平面BCD．
16．（2025春 德州月考）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为BC，A1B1的中点．
（1）求证：DE∥平面A1ACC1；
（2）求证：AB⊥DE．
（3）若AA1＝6，AB＝AC＝4，求三棱锥A﹣BCE的体积．
【解答】解：（1）证明：取A1C1的中点F，又D，E分别为BC，A1B1的中点，
所以EF∥DC，且EF＝DC，所以四边形EFCD为平行四边形，
所以DE∥CF，又DE 平面A1ACC1，CF 平面A1ACC1，
所以DE∥平面A1ACC1；
（2）证明：取AB中点H，易知AB⊥EH，AB⊥HD，且EH∩HD＝H，
所以AB⊥平面EHD，又DE 平面EHD，
所以AB⊥DE；
（3）由AA1＝6，AB＝AC＝4，AB⊥AC，
所以则．
17．（2025春 河北月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，，侧面BCC1B1为正方形，D为棱BB1的中点，点E为棱AC上一点，且AD∥平面BC1E．
（1）证明：平面ABB1A1⊥平面BCC1B1；
（2）求的值；
（3）若∠ABB1＝60°，求直线C1E与平面ABB1A1所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：由AB＝BC，，
得AC2＝AB2+BC2，所以AB⊥BC，
又因为侧面BCC1B1为正方形，
所以BC⊥BB1，
因为AB∩BB1＝B，AB，BB1 平面ABB1A1，
所以BC⊥平面ABB1A1，
又BC 平面BCC1B1，
故平面ABB1A1⊥平面BCC1B1．
（2）如图，连接CD与BC1交于点F，连接EF，
因为AD∥平面BC1E，平面ADC∩平面BC1E＝EF，AD 平面ADC，
所以AD∥EF，则，
在正方形BCC1B1中，
△BDF∽△C1CF，D为棱BB1的中点，
所以，
所以．
（3）设AB＝BC＝2，
由（1）可知，BC⊥平面ABB1A1，又BC∥B1C1，
所以B1C1⊥平面ABB1A1，
由（2）知，，延长C1E交A1A的延长线于H，
因为侧面BCC1B1为正方形，且AB＝BC＝2，则，
连接B1H，所以直线C1E与平面ABB1A1所成的角为∠B1HC1，
所以AA1＝BB1＝2，A1B1＝AB＝2，则A1H＝3，
由∠ABB1＝60°得∠AA1B1＝60°，
在△A1B1H中，根据余弦定理，
，
则，
在Rt△B1C1H中，，
所以．
故直线C1E与平面ABB1A1所成角的正弦值为．
18．（2025春 丰南区期中）如图，正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，上底面边长为，下底面边长为，E为CC1的中点，侧棱长为3．
（1）证明：AC1∥平面BDE；
（2）求该正四棱台的表面积．
【解答】解：（1）证明：在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，连结AC，交BD于点O，连结OE，
在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，∴O为AC中点，
又∵E为CC1的中点，
∴OE∥AC1，
又OE 平面BDE，AC1 平面BDE，
∴AC1∥平面BDE．
（2）由已知，梯形ABB1A1中，，，AA1＝3，
过A1作A1M⊥AB，交AB于点M，
∴，∴，
∴梯形ABB1A1的面积为：，
∴正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的表面积为：
．
19．（2025春 广东月考）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D为BC中点，平面PAD⊥平面ABC，PB＝PC，BC＝2PD＝2，，三棱锥P﹣ABC的体积为．Q，R分别是直线AB，AC上一点，且BC∥平面PQR，记平面PBC∩平面PQR＝l．
（1）证明：平面PBC⊥平面PAD；
（2）求二面角P﹣BC﹣A的正弦值；
（3）若l与CQ所成角的正弦值为，求的值．
【解答】解：（1）证明：如图，过P作PE⊥AD，垂足为E，
因为平面PAD⊥平面ABC，平面PAD∩平面ABC＝AD，PE 平面PAD，
所以PE⊥平面ABC，
因为BC 平面ABC，
所以PE⊥BC，
因为PB＝PC，D为BC中点，
所以PD⊥BC，
因为PD∩PE＝P，PD 平面PAD，PE 平面PAD，
所以BC⊥平面PAD，
又BC 平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAD．
（2）因为BC⊥平面PAD，AD 平面PAD，
所以AD⊥BC，
因为PD⊥BC，
所以∠PDA为二面角P﹣BC﹣A的平面角．
因为三棱锥P﹣ABC的体积为，
所以，
解得，
所以二面角P﹣BC﹣A的正弦值为．
（3）因为BC∥平面PQR，BC 平面PBC，平面PBC∩平面PQR＝l，
所以BC∥l，
所以l与CQ所成角等于BC与CQ所成角，
由（2）知AD⊥BC，
所以，
由题意得，，
①如图，当Q在线段AB上时，
因为，，
所以sin∠BQC＝sin（π﹣∠ABC﹣∠BCQ）＝sin（∠ABC+∠BCQ）
，
在△BCQ中，由正弦定理得，，即，
解得，
所以，故．
②如图，当Q在线段AB的延长线上时，
因为，，
所以，
在△BCQ中，由正弦定理得，，即，
解得，
所以，，
综上所述，或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)