抛物线常考易错检测卷（含解析）-2026届高三数学上学期一轮复习

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抛物线常考易错检测卷-2026届高三数学上学期一轮复习
一．选择题（共8小题）
1．（2025 永胜县校级二模）抛物线y＝2x2的准线方程是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025春 开封期末）过抛物线y2＝2x的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点．若线段AB的中点横坐标为2，则|AB|＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2025 安徽模拟）抛物线的焦点坐标是（　　）
A．（0，2） B．（0，4） C．（2，0） D．（4，0）
4．（2025春 常宁市期末）斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝（　　）
A．2 B． C．1 D．
5．（2025春 吉林校级期末）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若|BC|＝2|BN|，则△AFM的面积为（　　）
A． B．4 C． D．2
6．（2025春 浦东新区校级期末）已知F为抛物线Γ：y2＝4x的焦点，给出以下三个条件：①点A、B、C均在抛物线Γ上；②；③A、B、C中存在横坐标大于2的点．则同时满足这三个条件的三角形ABC有（　　）
A．0个 B．2个
C．有限个且多于2个 D．无限个
7．（2025春 静安区校级期中）在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意点P∈Γ，都有Q∈Γ使得|PM| |QM|＝1．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假（　　）
①所有椭圆都是“自相关曲线”．
②存在是“自相关曲线”的双曲线．
A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②假命题
C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题
8．（2025 杭州模拟）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P，Q分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且∠QF2P＝60°，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则等于（　　）
A．4 B．2 C．2 D．3
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 沧州二模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆O：x2+y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（　　）
A．若直线l的斜率为，则|MN|＝8
B．|MF|+2|NF|的最小值为
C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为（0，），则点M的横坐标为
D．若点G（2，2），则△GFM周长的最小值为
（多选）10．（2025春 凤庆县校级期末）已知曲线C：2x|x|＝y|y|﹣2．点，，则以下说法正确的是（　　）
A．曲线C关于原点对称
B．曲线C存在点P，使得
C．直线与曲线C没有交点
D．点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向作垂线，垂足分别为A，B，则
（多选）11．（2025 重庆校级模拟）数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“∞”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（　　）
A．曲线C与直线y＝x有3个公共点
B．的最大值为4
C．曲线C所围成的图形的面积为
D．x2+（y+3）2的最大值为
三．填空题（共3小题）
12．（2025 杏花岭区校级开学）已知双曲线C：的右焦点为F，若以OF（O为坐标原点）为直径的圆被双曲线C的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线C的虚轴长，则双曲线C的离心率为 　 　 ．
13．（2025 泰州模拟）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点M（3，0）的直线l与抛物线相交于A，B两点，直线l与抛物线的准线相交于点N，若|BF|＝3，则△BNF与△ANF的面积之为 　 　 ．
14．（2025 青岛开学）已知动圆过点且与直线l：相切，直线l与y轴交于K，点P为动圆圆心的轨迹E上任意一点，∠KPF的角平分线与y轴交点为M（0，m），则m最大值为　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2024秋 大连期末）已知抛物线C：y2＝4x，过点M（2，0）倾斜角为θ的直线与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）若θ，求|AB|的值；
（2）若θ∈[，]，求△ABO面积的取值范围．
16．（2025春 东坡区校级期末）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的横坐标为1，且|PF|＝2，A，B是抛物线E上异于O的两点．
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）若直线OA，OB的斜率之积为﹣4，求证：直线AB恒过定点．
17．（2024秋 清远期末）如图，已知直线l：y＝﹣3x+10与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l′与直线l关于y轴对称，试在抛物线C上求一点P，使得点P到直线l′的距离最短，并求出最短距离．
18．（2025春 会宁县校级期末）已知直线l与抛物线E：y2＝2x相切，且切点为B（2，2）．
（1）求直线l的斜率k的值；
（2）如图，M，N是x轴上两个不同的动点，且满足|BM|＝|BN|，直线BM，BN与抛物线E的另一个交点分别是P，Q，若直线PQ的斜率为k2，求k2的值．
19．（2025 宛城区校级三模）如图，双曲线C1：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点F1，F2分别为双曲线C2：1的左、右顶点，过点F1的直线分别交双曲线C1的左、右两支于A，B两点，交双曲线C2的右支于点M（与点F2不重合），且△BF1F2与△ABF2的周长之差为2．
（1）求双曲线C1的方程；
（2）若直线MF2交双曲线C1的右支于D，E两点．
①记直线AB的斜率为k1，直线DE的斜率为k2，求k1k2的值；
②试探究：|DE|﹣|AB|是否为定值？并说明理由．
抛物线常考易错检测卷-2026届高三数学上学期一轮复习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A B A A B A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BC BCD ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 永胜县校级二模）抛物线y＝2x2的准线方程是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由y＝2x2得，
∴抛物线准线方程为．
故选：D．
2．（2025春 开封期末）过抛物线y2＝2x的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点．若线段AB的中点横坐标为2，则|AB|＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：由题意xA+xB＝4，
所以|AB|＝xA+xB+p＝2×2+1＝5．
故选：C．
3．（2025 安徽模拟）抛物线的焦点坐标是（　　）
A．（0，2） B．（0，4） C．（2，0） D．（4，0）
【解答】解：抛物线的标准方程为：x2＝8y，p＝4，则抛物线的焦点坐标（0，2）．
故选：A．
4．（2025春 常宁市期末）斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝（　　）
A．2 B． C．1 D．
【解答】解：易知抛物线C的焦点为（1，0），
所以p＝2，
此时直线AB的方程为，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y并整理得3x2﹣10x+3＝0，
由韦达定理得，
则．
故选：B．
5．（2025春 吉林校级期末）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若|BC|＝2|BN|，则△AFM的面积为（　　）
A． B．4 C． D．2
【解答】解：由题意可知，p＝2，则F（1，0），抛物线的准线方程为x＝﹣1，
∵A，B是焦点弦的两个端点，∴|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|，
又|BC|＝2|BN|，∴|BC|＝2|BF|，可得，
则|BN|＝|BF|，|BC|，可得|CF|＝4，
∵，∴，
得|AM|＝4，则|AF|＝4，可得F到AM的距离为，
∴．
故选：A．
6．（2025春 浦东新区校级期末）已知F为抛物线Γ：y2＝4x的焦点，给出以下三个条件：①点A、B、C均在抛物线Γ上；②；③A、B、C中存在横坐标大于2的点．则同时满足这三个条件的三角形ABC有（　　）
A．0个 B．2个
C．有限个且多于2个 D．无限个
【解答】解：假设有这样的三角形存在，因为A，B，C在抛物线Γ：y2＝4x上，焦点F（1，0），
设A（，y1），B（，y2），C（，y3），
所以（1，y1），（1，y2），（1，y3），
因为，所以，整理可得，
设第一象限的点的横坐标大于2，假设2，则y3＞2，
则 8＜y12+y22+2y1y2＜2（y12+y22）＜8，
显然不成立，
所以不存在这样的三角形满足这3个条件，
故选：A．
7．（2025春 静安区校级期中）在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意点P∈Γ，都有Q∈Γ使得|PM| |QM|＝1．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假（　　）
①所有椭圆都是“自相关曲线”．
②存在是“自相关曲线”的双曲线．
A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②假命题
C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题
【解答】解：对于①，不妨设椭圆方程为，M（m，0），
则椭圆上一点P到M距离为，
当m＞a时，对称轴，可得|PM|∈[m﹣a，m+a]，
总存在m使得（m﹣a）（m+a）＝1，此时满足题意，故任意椭圆都是“自相关曲线”，故①正确，
对于②，对于给定的双曲线和点P，显然|PM|存在最小值，
而M横坐标趋近于无穷大时，|PM|趋近于无穷大，|PM|∈[m，+∞），
故不满足题意，不存在双曲线是“自相关曲线”，故②错误．
故选：B．
8．（2025 杭州模拟）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P，Q分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且∠QF2P＝60°，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则等于（　　）
A．4 B．2 C．2 D．3
【解答】解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，P在双曲线的右支上，
根据椭圆及双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，
可得|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，设|F1F2|＝2c，∠QF2P＝60°，
四边形F1PF2Q是平行四边形，所以，∠F1PF2＝120°，
在△PF1F2中由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos 120°，
化简得3a12+a22＝4c2，
该式可化为：，
结合e1，e2，
∴则4．
故选：A．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 沧州二模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆O：x2+y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（　　）
A．若直线l的斜率为，则|MN|＝8
B．|MF|+2|NF|的最小值为
C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为（0，），则点M的横坐标为
D．若点G（2，2），则△GFM周长的最小值为
【解答】解：由题意得点（1，2）在抛物线C：y2＝2px 上，
所以22＝2p，解得p＝2，所以C：y2＝4x，则 F（1，0），
设直线l：x＝my+1，与y2＝4x 联立得y2﹣4my﹣4＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
所以 ，
当 时，|MN|＝16，故A错误；
，
则，
当且仅当 时等号成立，故B正确；
如图，过点M作准线的垂线，垂足为M′，交 y 轴于M1，取MF的中点为D，过点D作y轴的垂线，
垂足为D1，则MM1∥OF，DD1是梯形OFMM1的中位线，
由抛物线的定义可得|MM1|＝|MM′|﹣|M1M′|＝|MF|﹣1，
所以 ，所以以MF为直径的圆与y轴相切，
所以 为圆与 y 轴的切点，所以点D的纵坐标为，
又D为MF的中点，所以点M的纵坐标为，
又点M在抛物线上，所以点M的横坐标为，故C正确；
过G作GH垂直于准线，垂足为H，
所以ΔGFM 的周长为 ，
当且仅当点 M 的坐标为（1，2）时取等号，故D错误．
故选：BC．
（多选）10．（2025春 凤庆县校级期末）已知曲线C：2x|x|＝y|y|﹣2．点，，则以下说法正确的是（　　）
A．曲线C关于原点对称
B．曲线C存在点P，使得
C．直线与曲线C没有交点
D．点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向作垂线，垂足分别为A，B，则
【解答】解：若x≥0，y≥0，
此时2x2＝y2﹣2，
即，
此时曲线C为双曲线的一部分；
若x≤0，y≥0，
此时﹣2x2＝y2﹣2，
即，
此时曲线C为椭圆的一部分；
若x≤0，y≤0，
此时﹣2x2＝﹣y2﹣2，
即，
此时曲线C为双曲线的一部分；
若x≥0，y≤0，
此时2x2＝﹣y2﹣2，无解，
所以曲线C如下所示：
由图可知，曲线C不关于原点对称，故选项A错误；
当点P在第一象限时，F1，F2为双曲线：的焦点，
由双曲线的定义可知，故选项B正确；
因为为第一象限图象（x≥0，y≥0）和第三象限图象（x≤0，y≤0）的渐近线，
所以直线与曲线C没有交点，故选项C正确；
设Q（x0，y0）为曲线C上第三象限的点，
此时（x0＜0，y＜0），
则点Q到直线与的距离之积为，故选项D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（2025 重庆校级模拟）数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“∞”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（　　）
A．曲线C与直线y＝x有3个公共点
B．的最大值为4
C．曲线C所围成的图形的面积为
D．x2+（y+3）2的最大值为
【解答】解：根据，得，
因此，所以，
解得或|x|＝0，因此或或x＝0，
所以C与y＝x有3个公共点，因此选项A正确；
对于选项B，x2+y2＝2|x|﹣2|y| ，
如图所示：
根据图可知，所在圆的半径为2，圆心为，．
令，那么，所以，
如图，当该直线与相切时，直线与y轴的截距最大，
根据d＝r，得，解得b＝±4，所以的最大值为4，所以选项B正确；
根据选项B知，C所围成的图形的面积为四个全等弓形OAB的面积之和，
设弓形OAB的面积为S1，
在三角形ADO中，，
因此，
因此扇形ADO的面积，
，因此，
因此C所围成的图形的面积为，所以选项C错误；
曲线x2+（y+3）2可表示为定点（0，﹣3）与曲线C上的点（x，y）的距离的平方，
根据图可知，最大距离为定点（0，﹣3）到圆心的距离与半径之和，
所以，
因此x2+（y+3）2的最大值为，所以选项D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 杏花岭区校级开学）已知双曲线C：的右焦点为F，若以OF（O为坐标原点）为直径的圆被双曲线C的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线C的虚轴长，则双曲线C的离心率为 　　 ．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为：，即bx﹣ay＝0，圆心为，
所以圆心到渐近线的距离为，
由题意可得a＝2b，所以，
所以，即离心率．
故答案为：．
13．（2025 泰州模拟）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点M（3，0）的直线l与抛物线相交于A，B两点，直线l与抛物线的准线相交于点N，若|BF|＝3，则△BNF与△ANF的面积之为 　　 ．
【解答】解：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，焦点为F（1，0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
过A，B两点分别作准线x＝﹣1的垂线，垂足分别为A1，B1，
∵|BF|＝3，由抛物线的定义可得：|BB1|＝x2﹣（﹣1）＝3，
∴x2＝2，可得y2＝8，解得y＝±2，
不妨取点，
又∵M（3，0），∴直线l的斜率k＝﹣2，
∴直线AB的方程为y＝﹣2（x﹣3），
由，得2x2﹣13x+18＝0，则2x1＝9，
∴x1，y1＝﹣23，故A（，﹣3），
∴|AA1|（﹣1），
由△B1BN∽△A1AN，可得，
∴△BNF与△ANF的面积之比．
故答案为：．
14．（2025 青岛开学）已知动圆过点且与直线l：相切，直线l与y轴交于K，点P为动圆圆心的轨迹E上任意一点，∠KPF的角平分线与y轴交点为M（0，m），则m最大值为　　 ．
【解答】解：动圆圆心的轨迹E为抛物线x2＝2y，焦点，准线方程为，
过点P作PH垂直于准线，H为垂足，如图所示：
因为抛物线x2＝2y关于y轴对称，不妨设点P的横坐标x≥0，
由抛物线的定义可得|PF|＝|PH|，设∠PKH＝θ，
由，求导可得y'＝x，设切点，切线斜率为k＝x0，
因此切线方程为，代入，可得，解得x0＝±1，
因此当直线PK与x2＝2y相切时，其倾斜角等于，
因此，且．
由角平分线定理可得，因此，因此
因为函数在单调递减，
因此当时，，故m最大值为．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2024秋 大连期末）已知抛物线C：y2＝4x，过点M（2，0）倾斜角为θ的直线与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）若θ，求|AB|的值；
（2）若θ∈[，]，求△ABO面积的取值范围．
【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
若θ，
此时直线AB的方程为y＝x﹣2，
联立，消去y并整理得x2﹣8x+4＝0，
由韦达定理得x1+x2＝8，x1x1＝4，
所以|AB|4；
（2）设直线AB的方程为x＝my+2，
联立，消去x并整理得y2﹣4my﹣8＝0，
此时Δ＞0，
由韦达定理得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，
所以，
又点O到直线AB的距离，
所以△ABO的面积d＝4，
因为，
所以，
则．
故△ABO的面积的取值范围为．
16．（2025春 东坡区校级期末）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的横坐标为1，且|PF|＝2，A，B是抛物线E上异于O的两点．
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）若直线OA，OB的斜率之积为﹣4，求证：直线AB恒过定点．
【解答】解：（1）由题意得，，点P的横坐标为1，且|PF|＝2，
则，
∴p＝2，
∴抛物线E的方程为；y2＝4x；
（2）证明：当直线AB的斜率不存在时，
设，，
因为直线OA，OB的斜率之积为﹣4
则，化简得t2＝4．
所以A（1，t），B（1，﹣t），此时直线AB的方程为x＝1．
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx+b，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，化简得ky2﹣4y+4b＝0，需满足Δ＝16（1﹣kb）＞0，
根据根与系数的关系得，
因为直线OA，OB的斜率之积为﹣4，
所以，即y1y2+4x1x2＝0，即，
解得y1y2＝0（舍去）或y1y2＝﹣4，
所以，即b＝﹣k，满足Δ＝16（1﹣kb）＞0，所以y＝kx﹣k，
即y＝k（x﹣1），
综上所述，直线AB过定点（1，0）．
17．（2024秋 清远期末）如图，已知直线l：y＝﹣3x+10与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l′与直线l关于y轴对称，试在抛物线C上求一点P，使得点P到直线l′的距离最短，并求出最短距离．
【解答】解：（1）联立消去y并整理得9x2﹣（60+2p）x+100＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
所以，
因为OA⊥OB，
所以，
解得，
所以抛物线C的方程为．
（2）由题知，直线l′的方程为y＝3x+10，
令直线m平行于直线l'，且与抛物线C相切，则切点即为点P．
设直线m的方程为y＝3x+b，
联立消去y并整理得，
令．解得，
所以，解得，所以．
所以点P的坐标为，最短距离为．
18．（2025春 会宁县校级期末）已知直线l与抛物线E：y2＝2x相切，且切点为B（2，2）．
（1）求直线l的斜率k的值；
（2）如图，M，N是x轴上两个不同的动点，且满足|BM|＝|BN|，直线BM，BN与抛物线E的另一个交点分别是P，Q，若直线PQ的斜率为k2，求k2的值．
【解答】解：（1）根据题意设直线l的方程为y﹣2＝k1（x﹣2），
联立抛物线的方程得y2y4＝0，
令Δ＝0，得（）2﹣4（4）＝0，
解得k1．
（2）由题知，两直线BM，BN的斜率互为相反数，
设直线BM的方程为y﹣2＝t（x﹣2），
联立，得y2y4＝0，
所以2yP4，即yP2，
所以P（，），
将t换成﹣t，得Q（，），
所以k2．
19．（2025 宛城区校级三模）如图，双曲线C1：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点F1，F2分别为双曲线C2：1的左、右顶点，过点F1的直线分别交双曲线C1的左、右两支于A，B两点，交双曲线C2的右支于点M（与点F2不重合），且△BF1F2与△ABF2的周长之差为2．
（1）求双曲线C1的方程；
（2）若直线MF2交双曲线C1的右支于D，E两点．
①记直线AB的斜率为k1，直线DE的斜率为k2，求k1k2的值；
②试探究：|DE|﹣|AB|是否为定值？并说明理由．
【解答】解：（1）不妨设|F1F2|＝2c，
因为△BF1F2与△ABF2的周长之差为2，
所以|BF1|+|F1F2|﹣|AB|﹣|AF2|＝2，
即2c﹣2a＝2，
又因为F1，F2分别为双曲线C2的左、右顶点，
所以c＝2a，
解得a＝1，c＝2，
则b2＝3，
故双曲线C1的方程为；
（2）①由（1）知，双曲线C2的方程为，
不妨设M（x0，y0），
因为点M在双曲线C2上，
所以，
则；
②由（1）知直线AB的方程为y＝k1（x+2），
联立，消去y并整理得，
不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），
由韦达定理得．
因为A，B位于双曲线的左、右两支，
所以，
即，
此时，
因为k1k2＝3，
所以直线DE的方程为，
同理得|DE|，
则，
故|DE|﹣|AB|为定值，定值为4．
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