平面向量及其应用常考易错检测卷（含解析）-2026届高三数学上学期一轮复习

中小学教育资源及组卷应用平台
平面向量及其应用常考易错检测卷-2026届高三数学上学期一轮复习
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 南充月考）如图，在△ABC中，，AD⊥BC于D，AD＝2，BC＝6，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 临沂一模）在△ABC中，点D是AB的中点，点P在CD上，若，则λ＝（　　）
A． B． C． D．
3．（2025春 汉台区校级期末）已知单位向量，满足，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025春 临泉县校级月考）在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点（靠近点C），则（　　）
A． B． C． D．
5．（2025春 辽宁期中）已知向量，，若存在实数x，使得，则m的取值范围是（　　）
A．[﹣1，0] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，2] D．[﹣2，0]
6．（2025春 德州月考）某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处（OP垂直于平面OAC），如图．已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为30°，45°，60°，B是AC的中点，AB＝20米，则该建筑的高度OP＝（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．（2025春 丽江校级期末）下列命题中正确命题个数为（　　）
①向量存在唯一的实数λ，使得向量；
②为单位向量，且向量，则向量；
③若向量，则；
④若平面向量，，则向量．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2025春 昌图县校级月考）如图，小胡同学为了测量地面上一栋大楼AB的高度（大楼AB垂直于地面），在与楼底B同一水平面内选取两个测量基点C和D，在C点测得大楼顶部A的仰角是，在D点测得大楼顶部A的仰角是，测得水平面上的米，则该大楼的高度为（　　）
A．37米 B．38米 C．39米 D．40米
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 林甸县月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（　　）
A．若A＞B，则sinA＞sinB
B．若a＞b，则sinA＞sinB
C．若a＝4，b＝5，c＝6，则△ABC为钝角三角形
D．在△ABC中，
（多选）10．（2025春 宁乡市期末）已知向量与满足，，且，则下列说法正确的是（　　）
A．若k＝4，则向量与向量共线
B．向量与的夹角为150°
C．
D．向量与向量垂直
（多选）11．（2025春 甘肃月考）在直角三角形ABC中，AB⊥AC，D为线段BC上一点，则下列说法正确的有（　　）
A．不存在直角三角形ABC，使得是，的等差中项
B．若∠BAD＝∠CAD，，，则AD＝1
C．若AB＝3，AC＝4，D是△ABC的内切圆在BC上的切点，则
D．若BD＝CD，则存在直角三角形ABC，使得是，的等比中项
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 保山期中）已知向量，，若与平行，则||＝ 　 　 ．
13．（2025春 河北月考）已知△ABC中，点G，O分别是知△ABC的重心和外心，且，，则边BC的长为　 　 ．
14．（2025春 运城月考）如图所示，在△ABC中，是BC的中点，D是BE的中点，∠BAD＝α，∠DAE＝β，∠EAC＝γ，则 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 林甸县月考）在△ABC中，a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，已知．
（1）求证：a、b、c满足2b＝a+c；
（2）求角B的取值范围．
16．（2024秋 北京校级期末）已知向量，，．
（1）求；
（2）若向量，试用表示；
（3）若，求实数k的值．
17．（2025春 武清区校级月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量，，且．
（1）求角C；
（2）若b＝2，sinA＝sinB，求△ABC的周长．
18．（2025春 南充月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝9，，N为AC的中点，设，，BN与CM相交于点P．
（1）用，表示、；
（2）若，求λ的值；
（3）求cos∠MPN．
19．（2025春 佳木斯校级期末）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔 德 费马（1601—1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得∠AMB＝∠BMC＝∠CMA＝120°的点M即为费马点，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．若M是△ABC的“费马点”，，b＜c．
（1）求角A；
（2）若，求bc的值；
（3）在（2）的条件下，设，若当t∈[1，2]时，不等式f（t）≥0恒成立，求实数n的取值范围．
平面向量及其应用常考易错检测卷-2026届高三数学上学期一轮复习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B A D B A B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD ACD BCD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 南充月考）如图，在△ABC中，，AD⊥BC于D，AD＝2，BC＝6，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，|AD|＝|CD|＝2，则|AC|2，|BD|＝4，
所以|AB|2，
所以cos∠CAB，
所以在上的投影向量为．
故选：A．
2．（2025 临沂一模）在△ABC中，点D是AB的中点，点P在CD上，若，则λ＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据点D是AB的中点，可得，
因为λ，所以λ（），
解得（λ）λ，即，
因为P、C、D三点共线，所以，解得．
故选：B．
3．（2025春 汉台区校级期末）已知单位向量，满足，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵，，
∴，
∴，且，
∴与的夹角为．
故选：B．
4．（2025春 临泉县校级月考）在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点（靠近点C），则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点（靠近点C），
所以，，结合，可得．
故选：A．
5．（2025春 辽宁期中）已知向量，，若存在实数x，使得，则m的取值范围是（　　）
A．[﹣1，0] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，2] D．[﹣2，0]
【解答】解：因为有实数解，所以，
整理可得，
令，
整理可得f（x）＝2sinx（sinxcoscosxsin）
＝﹣sin2x
＝sin（2x），
由于，所以，
解得﹣2≤m≤0．
故选：D．
6．（2025春 德州月考）某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处（OP垂直于平面OAC），如图．已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为30°，45°，60°，B是AC的中点，AB＝20米，则该建筑的高度OP＝（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【解答】解：设OP＝x，由题可得，OB＝x，，
因为B是AC的中点，所以AC＝2AB＝40米，
因为，所以，
因为B是AC的中点，所以，得，
所以，
所以，解得，
所以该建筑的高度米．
故选：B．
7．（2025春 丽江校级期末）下列命题中正确命题个数为（　　）
①向量存在唯一的实数λ，使得向量；
②为单位向量，且向量，则向量；
③若向量，则；
④若平面向量，，则向量．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：当，时，满足，
但此时不存在λ，使得，故①不正确；
由于为单位向量，且，
故的模等于，方向与的方向相同或相反，
故，故②正确；
当时，满足，
但与不一定相等，故③不正确；
当时，，成立，
但与可能不共线，故④不正确；
综上，正确的命题为②，共1个．
故选：A．
8．（2025春 昌图县校级月考）如图，小胡同学为了测量地面上一栋大楼AB的高度（大楼AB垂直于地面），在与楼底B同一水平面内选取两个测量基点C和D，在C点测得大楼顶部A的仰角是，在D点测得大楼顶部A的仰角是，测得水平面上的米，则该大楼的高度为（　　）
A．37米 B．38米 C．39米 D．40米
【解答】解：设大楼AB＝h米．
在Rt△ABC中，因为在C点测得大楼顶部A的仰角是，，，所以．
在Rt△ABD中，因为在D点测得大楼顶部A的仰角是，，，所以BD＝AB＝h．
已知在△BCD中，，DC＝76米，根据余弦定理BC2＝BD2+DC2﹣2 BD DC cos∠BDC．
则，
即，
即h2+38h﹣2888＝0，解得
得到，（高度不能为负舍去）．
该大楼的高度为38米．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 林甸县月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（　　）
A．若A＞B，则sinA＞sinB
B．若a＞b，则sinA＞sinB
C．若a＝4，b＝5，c＝6，则△ABC为钝角三角形
D．在△ABC中，
【解答】解：对于AB，因为△ABC中，A＞B等价于a＞b，即sinA＞sinB，故AB正确；
对于C，因为a＜b＜c，故C为内角中的最大角，
而，故C为锐角，
故△ABC为锐角三角形，故C错误；
对于D，由正弦定理有，
则，故D成立．
故选：ABD．
（多选）10．（2025春 宁乡市期末）已知向量与满足，，且，则下列说法正确的是（　　）
A．若k＝4，则向量与向量共线
B．向量与的夹角为150°
C．
D．向量与向量垂直
【解答】解：因为，，，
所以，
解得，
对于选项A，若k＝4，则，
所以（）∥（）共线，故选项A正确；
对于选项B，因为，
又，所以，故选项B错误，
对于选项C，因为，所以，故选项C正确；
对于选项D，因为，
所以⊥（），故选项D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（2025春 甘肃月考）在直角三角形ABC中，AB⊥AC，D为线段BC上一点，则下列说法正确的有（　　）
A．不存在直角三角形ABC，使得是，的等差中项
B．若∠BAD＝∠CAD，，，则AD＝1
C．若AB＝3，AC＝4，D是△ABC的内切圆在BC上的切点，则
D．若BD＝CD，则存在直角三角形ABC，使得是，的等比中项
【解答】解：对于A选项，，，，满足是，的等差中项，A选项错误；
对于B选项，直角三角形ABC中，AB⊥AC，故，
由正弦定理可得，
又，，故AD＝1，B选项正确；
对于C选项，设△ABC的内切圆为r，
，因此△ABC的内切圆半径r＝1，
BD＝2，CD＝3，故，因此，
因此，，
因此，故C选项正确；
对于D选项，取AB＝1，，因此，，
故，
因此存在直角三角形ABC，使得是，的等比中项，故D选项正确．
故选：BCD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 保山期中）已知向量，，若与平行，则||＝ 　　 ．
【解答】解：向量，，
∴（4，2m）﹣（1，m﹣1）＝（3，m+1），
∵与平行，
∴，解得m＝2，
∴（1，1），
则||．
故答案为：．
13．（2025春 河北月考）已知△ABC中，点G，O分别是知△ABC的重心和外心，且，，则边BC的长为　　 ．
【解答】解：如图，延长AG交BC于点D，
过点O作OE⊥AC于点E，作OF⊥AB于点F，
因点G，O分别是知△ABC的重心和外心，
则，
，
则
，
即，
又，则，
整理得，解得，
因，
则，
即边BC的长为．
故答案为：．
14．（2025春 运城月考）如图所示，在△ABC中，是BC的中点，D是BE的中点，∠BAD＝α，∠DAE＝β，∠EAC＝γ，则 　　 ．
【解答】解：由题意可得BD＝DE，CE＝2DE，∠BAD＝α，∠DAE＝β，∠EAC＝γ，
所以S△AEC＝2S△ABD＝2S△ADE，S△AECS△ABC，
有
．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 林甸县月考）在△ABC中，a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，已知．
（1）求证：a、b、c满足2b＝a+c；
（2）求角B的取值范围．
【解答】（1）证明：由，可得，
整理得a（1+cosC）+c（1+cosA）＝3b，
结合正弦定理得sinA（1+cosC）+sinC（1+cosA）＝3sinB，
所以sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA＝3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）＝3sinB，
根据sin（A+C）＝sinB，化简得2sinB＝sinA+sinC，结合正弦定理得2b＝a+c；
（2）由（1）得，
根据余弦定理得cosB，
当且仅当时，即a＝c时，等号成立，
所以，结合B∈（0，π），函数y＝cosx在（0，π）上递减，可得，
综上所述，角B的取值范围是．
16．（2024秋 北京校级期末）已知向量，，．
（1）求；
（2）若向量，试用表示；
（3）若，求实数k的值．
【解答】解：（1）根据（1，2），（﹣3，2），可得（1，2）﹣2（﹣3，2）＝（7，﹣2），
所以．
（2）根据题意，与不共线，因此设（x，y∈R），
所以（5，2）＝x（1，2）+y（﹣3，2），可得，
解得x＝2，y＝﹣1，可得．
（3）由题意得k2k（1，2）+2（﹣3，2）＝（k﹣6，2k+4）．
因为（7，﹣2），且∥k2，所以﹣2（k﹣6）＝7（2k+4），解得k＝﹣1．
17．（2025春 武清区校级月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量，，且．
（1）求角C；
（2）若b＝2，sinA＝sinB，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）由题意可得（a+b）sinA﹣（b+c）（sinC﹣sinB）＝0，
所以（a+b）a﹣（b+c）（c﹣b）＝0，
整理得﹣ab＝a2+b2﹣c2，
可得a2+b2﹣c2＝2abcosC，
所以，
又C∈（0，π），
所以；
（2）由b＝2，sinA＝sinB，可得a＝b＝2，
由，
所以c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2+ab＝12，解得，
所以△ABC的周长为．
18．（2025春 南充月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝9，，N为AC的中点，设，，BN与CM相交于点P．
（1）用，表示、；
（2）若，求λ的值；
（3）求cos∠MPN．
【解答】解：（1）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝9，，N为AC的中点，
又，，BN与CM相交于点P，
则，
故；
（2）由（1）可得：，
因为P，B，N三点共线，
设，
即，
，
故，，
所以，
解得；
（3）由（1）知，，，
又∠C＝90°，AC＝6，BC＝9，故，
，
，
同理：，
则．
19．（2025春 佳木斯校级期末）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔 德 费马（1601—1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得∠AMB＝∠BMC＝∠CMA＝120°的点M即为费马点，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．若M是△ABC的“费马点”，，b＜c．
（1）求角A；
（2）若，求bc的值；
（3）在（2）的条件下，设，若当t∈[1，2]时，不等式f（t）≥0恒成立，求实数n的取值范围．
【解答】解：（1）由可得，ccosB＝2acosA﹣bcosC，
由正弦定理，sinCcosB＝2sinAcosA﹣sinBcosC，即sinCcosB+sinBcosC＝2sinAcosA，
因sinCcosB+sinBcosC＝sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sinA代入可得：sinA（1﹣2cosA）＝0，
因0＜A＜180°，则sinA＞0，故，得A＝60°；
（2）设，则由可得，
xycos120°+yzcos120°+zxcos120°+4＝0，整理得，xy+yz+zx＝8①，
又由S△ABC＝S△AMB+S△BMC+S△CMA可得，，
整理得，bc＝xy+yz+zx＝8；
（3）在△ABC中，由余弦定理，b2+c2﹣2bccos60°＝12，即b2+c2＝20②，
分别在△AMB，△BMC，△CMA中，由余弦定理，，
将三个等式左右分别相加，b2+c2+12＝2（x2+y2+z2）+xy+yz+zx，
将①，②代入整理得，x2+y2+z2＝12，于是（x+y+z）2＝x2+y2+z2+2（xy+yz+zx）＝28，
从而，，
依题意，当t∈[1，2]时，不等式9t﹣n 3t+28≥0恒成立，即在[1，2]上恒成立，
因，当且仅当时等号成立，
故有，即实数n的取值范围为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)