双曲线常考易错检测卷（含解析）-2026届高三数学上学期一轮复习

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双曲线常考易错检测卷-2026届高三数学上学期一轮复习
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 内蒙古期末）双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 湖北模拟）已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025 金凤区校级一模）双曲线的两个焦点分别是F1和F2，焦距为8；M是双曲线上的一点，且|MF1|＝5，则|MF2|的值为（　　）
A．1 B．4 C．9 D．1或9
4．（2024秋 朝阳校级期末）若双曲线的离心率为2，则双曲线上任意一点Q到两焦点F1，F2的距离之差的绝对值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025春 龙岗区校级期末）已知F1、F2分别是双曲线x21的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1| |PF2|＝48．则△F1PF2的面积为（　　）
A．8 B．16 C．24 D．8
6．（2025春 雁塔区校级期末）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则a为（　　）
A． B．2 C．或 D．
7．（2024秋 洪雅县期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，且C的一条渐近线与直线平行．A，B，D，E分别是C在第一、二、三、四象限内的四点，且四边形ABDE是平行四边形．若A，E，F2三点共线，则△ADE面积的最小值为（　　）
A．12 B．24 C．16 D．8
8．（2025春 昌江区校级期末）已知点P为双曲线右支上的一个动点，则点P到直线l：y＝2x+4的距离的取值范围为（　　）
A． B． C．（2，+∞） D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 山西期末）已知双曲线，则（　　）
A．双曲线E的实轴长为8
B．双曲线E的虚轴长为3
C．双曲线E的离心率为
D．双曲线E的渐近线的斜率为
（多选）10．（2025 容城县校级模拟）设双曲线的左焦点为F1，右焦点为F2，点P在E的右支上，且不与E的顶点重合，则下列命题中正确的是（　　）
A．若a＝3且b＝2，则双曲线E的两条渐近线的方程是
B．若PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积等于b2
C．若点P的坐标为，则双曲线E的离心率大于3
D．以PF2为直径的圆与以E的实轴为直径的圆外切
（多选）11．（2025春 广安期末）已知双曲线为双曲线的左、右焦点，若直线l过点F2，且与双曲线的右支交于M，N两点，下列说法正确的是（　　）
A．双曲线C的离心率为
B．若l的斜率为2，则MN的中点为（8，12）
C．△MNF1周长的最小值为10
D．△MNF1周长的最小值为16
三．填空题（共3小题）
12．（2025 琼海三模）已知双曲线的离心率为2a，则该双曲线的渐近线方程为　 　 ．
13．（2025春 昌江区校级期末）已知双曲线的一条渐近线方程为2x+3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝　 　 ．
14．（2025春 毕节市期末）已知F为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右焦点，A为C的左顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若直线AB的斜率为1，则C的离心率为 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 汉中期中）已知双曲线的离心率是，焦距为6．
（1）求E的方程；
（2）若直线l：y＝kx+1与E相交于A，B两点，且（O为坐标原点），求k的值．
16．（2025 泸水市校级二模）已知双曲线C：经过点，焦点F到渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l与双曲线C相交于A，B两点，M（4，2）是弦AB的中点，求AB的长度．
17．（2025春 昌江区校级期末）已知双曲线，斜率为k的直线l过点M．
（1）若m＝0，且直线l与双曲线C只有一个交点，求k的值；
（2）已知点T（2，0），直线l与双曲线C有两个不同的交点A，B，直线TA，TB的斜率分别为k1，k2，若k1+k2为定值，求实数m的值．
18．（2025春 静安区校级期中）如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点A，B，它们距离城市中心O的距离均为，C是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心O的距离为3km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路M﹣N﹣P如图所示，道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多4km，其中道路起点M到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到O的距离都相等，以O为原点、线段AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy．
（1）求道路M﹣N﹣P的曲线方程；
（2）现要在M﹣N﹣P上建一站点Q，使得Q到景点C的距离最近，问如何设置站点Q的位置？（即确定点Q的坐标）
19．（2025春 吉林校级期末）在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）S的方程，若曲面S和三元方程F（x，y，z）＝0之间满足：①曲面S上任意一点的坐标均为三元方程F（x，y，z）＝0的解；②以三元方程F（x，y，z）＝0的任意解（x0，y0，z0）为坐标的点均在曲面S上，则称曲面S的方程为F（x，y，z）＝0，方程F（x，y，z）＝0的曲面为S．已知空间中某单叶双曲面C的方程为，双曲面C可视为平面xOz中某双曲线的一支绕z轴旋转一周所得的旋转面，已知直线l过C上一点Q（1，1，2），且以d＝（﹣2，0，﹣4）为方向向量．
（1）指出xOy平面截曲面C所得交线是什么曲线，并说明理由；
（2）证明：直线l在曲面C上；
（3）若过曲面C上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面C上．设直线l′在曲面C上，且过点，求异面直线l与l′所成角的余弦值．
双曲线常考易错检测卷-2026届高三数学上学期一轮复习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C B C C A B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AD BCD BD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 内蒙古期末）双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意可知，a2＝2，b2＝7，
所以离心率为．
故选：B．
2．（2025 湖北模拟）已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：双曲线的离心率为2，可得 2，即：，
可得a＝2，
渐近线方程为：yx．
故选：B．
3．（2025 金凤区校级一模）双曲线的两个焦点分别是F1和F2，焦距为8；M是双曲线上的一点，且|MF1|＝5，则|MF2|的值为（　　）
A．1 B．4 C．9 D．1或9
【解答】解：双曲线的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8；
可得a2+12＝16，解得a＝2，
M是双曲线上的一点，且|MF1|＝5＜a+c＝6，
所以M在双曲线的左支上，所以|MF2|＝|MF1|+2a＝5+4＝9．
故选：C．
4．（2024秋 朝阳校级期末）若双曲线的离心率为2，则双曲线上任意一点Q到两焦点F1，F2的距离之差的绝对值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由双曲线，可得a＝|m|，b＝1，c，
可得离心率，
解得，所以，
又由双曲线的定义，可得双曲线上一点Q到两焦点F1，F2的距离之差的绝对值为．
故选：B．
5．（2025春 龙岗区校级期末）已知F1、F2分别是双曲线x21的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1| |PF2|＝48．则△F1PF2的面积为（　　）
A．8 B．16 C．24 D．8
【解答】解：∵P是双曲线左支上的点，∴|PF2|﹣|PF1|＝2，|F1F2|＝10，
在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF20，
∴∠F1PF2＝90°，即PF1⊥PF2，
∴△F1PF2的面积为|PF1| |PF2|48＝24，
故选：C．
6．（2025春 雁塔区校级期末）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则a为（　　）
A． B．2 C．或 D．
【解答】解：双曲线渐近线方程为，
因为双曲线的两条渐近线的夹角为，
所以或，解得或．
故选：C．
7．（2024秋 洪雅县期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，且C的一条渐近线与直线平行．A，B，D，E分别是C在第一、二、三、四象限内的四点，且四边形ABDE是平行四边形．若A，E，F2三点共线，则△ADE面积的最小值为（　　）
A．12 B．24 C．16 D．8
【解答】解：因为在双曲线C中，|F1F2|＝4，且双曲线的一条渐近线与直线平行
所以，
解得，
则双曲线C的标准方程为．
因为四边形ABDE为平行四边形，
所以S△ADE＝2S△OAE，
易知直线AE的斜率不为零，F2（2，0），
设直线AE的方程为x＝my+2，A（x1，y1），E（x2，y2），
联立，消去x并整理得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0，
此时3m2﹣1≠0且Δ＝36（m2+1）＞0，
由韦达定理得．
因为点A，E均在双曲线的右支上，且双曲线渐近线的斜率为，
所以，
解得，
此时，
令，
此时m2＝t2﹣1，
所以，
因为在上单调递减，
所以当t＝1时，S△OAE取得最小值，最大值为6，
则△ADE面积的最小值为12．
故选：A．
8．（2025春 昌江区校级期末）已知点P为双曲线右支上的一个动点，则点P到直线l：y＝2x+4的距离的取值范围为（　　）
A． B． C．（2，+∞） D．
【解答】解：双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，
直线y＝2x+4与其中一条渐近线y＝2x平行，
二者之间的距离d，且直线y＝2x+4在直线y＝2x的左边，
由题意知点P到直线y＝2x+4的距离大于，
点P到直线l：y＝2x+4的距离的取值范围为（，+∞）．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 山西期末）已知双曲线，则（　　）
A．双曲线E的实轴长为8
B．双曲线E的虚轴长为3
C．双曲线E的离心率为
D．双曲线E的渐近线的斜率为
【解答】解：由，双曲线的实轴在x轴，可得a＝4，b＝3，
∴，
∴实轴2a＝8，虚轴2b＝6，故A选项正确，B选项错误；
离心率，故C选项错误；
渐近线方程，则斜率为，故D选项正确．
故选：AD．
（多选）10．（2025 容城县校级模拟）设双曲线的左焦点为F1，右焦点为F2，点P在E的右支上，且不与E的顶点重合，则下列命题中正确的是（　　）
A．若a＝3且b＝2，则双曲线E的两条渐近线的方程是
B．若PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积等于b2
C．若点P的坐标为，则双曲线E的离心率大于3
D．以PF2为直径的圆与以E的实轴为直径的圆外切
【解答】解：因为双曲线的左焦点为F1，右焦点为F2，点P在E的右支上，且不与E的顶点重合，
所以当a＝3且b＝2时，E的渐近线斜率为，选项A错误；
，故选项B正确；
把P点坐标代入E的方程得：
，选项C正确；
如图所示：
∵两圆的圆心距IO是△F1PF2的中位线，
∴其等于两圆的半径之和，故两圆外切，选项D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（2025春 广安期末）已知双曲线为双曲线的左、右焦点，若直线l过点F2，且与双曲线的右支交于M，N两点，下列说法正确的是（　　）
A．双曲线C的离心率为
B．若l的斜率为2，则MN的中点为（8，12）
C．△MNF1周长的最小值为10
D．△MNF1周长的最小值为16
【解答】解：对A，由双曲线方程得，故c＝2，
则离心率e＝2，故A错误；
对B，根据题意可知F1（﹣2，0），F2（2，0），又l的斜率为2，
∴直线l的方程为y＝2（x﹣2），
联立双曲线方程化简得x2﹣16x+19＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），
∴x1+x2＝16，∴，∴y1+y2＝2x1﹣4+2x2﹣4＝2（x1+x2）﹣8＝24，
∴，∴MN的中点为（8，12），故B正确；
对C和D，根据双曲线定义得|MF1|﹣|MF2|＝2，|NF1|﹣|NF2|＝2，
两式相加得|MF1|+|NF1|＝4+|MF2|+|NF2|，
设△MNF1的周长为C，
则4+2（|MF2|+|NF2|）＝4+2|MN|，
则题目求△MNF1周长的最小值转化为求弦长|MN|的最小值，
设直线l的方程为x﹣2＝my，联立双曲线方程3x2﹣y2＝3，
得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0，根据直线l与双曲线有两个交点M，N，
则3m2﹣1≠0，即，Δ＝（12m）2﹣4（3m2﹣1）×9＝36m2+36＞0，
当直线l与渐近线平行时，此时，
若要直线l与双曲线交点在右支上，
则，
∴，
设，则，
令，则，
则当n＝1，即m＝0时，|MN|min＝6，此时直线l方程为x＝2，
故△MNF1的周长的最小值为16，故C错误，D正确，
故选：BD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 琼海三模）已知双曲线的离心率为2a，则该双曲线的渐近线方程为　　 ．
【解答】解：由题意得，且a＞0，解得a＝1，则渐近线方程为．
故答案是：．
13．（2025春 昌江区校级期末）已知双曲线的一条渐近线方程为2x+3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝　1或13　 ．
【解答】解：已知双曲线的渐近线方程为2x±ay＝0，
又双曲线的一条渐近线方程为2x+3y＝0，
不妨设a＞0，
则a＝3，
又F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝7，
则||PF1|﹣|PF2||＝6，
则|PF2|＝13或|PF2|＝1，
又，
则|PF2|＝13或|PF2|＝1．
故答案为：1或13．
14．（2025春 毕节市期末）已知F为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右焦点，A为C的左顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若直线AB的斜率为1，则C的离心率为 　2　 ．
【解答】解：设点F（c，0），
∵BF垂直于x轴，
∴把x＝c代入双曲线的方程中，可得y＝±，
不妨取B（c，），则|BF|，
∵直线AB的斜率为1，
∴|AF|＝|BF|，即a+c，
∴a2+ac＝b2＝c2﹣a2，即2a2+ac﹣c2＝0，
解得c＝2a或c＝﹣a（舍），
∴离心率e2．
故答案为：2．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 汉中期中）已知双曲线的离心率是，焦距为6．
（1）求E的方程；
（2）若直线l：y＝kx+1与E相交于A，B两点，且（O为坐标原点），求k的值．
【解答】解：（1）由于的焦距为6，离心率是，
因此，其中，所以，因此．
因此E的方程为．
（2）设B（x2，y2），A（x1，y1），
联立双曲线方程和直线l
化简得（4﹣5k2）x2﹣10kx﹣25＝0，由于直线l：y＝kx+1与E相交于A，B两点，
因此
所以k2＜1且，根据韦达定理可得．
又因为，
因此．
所以．
因此，
将韦达定理代入上式可得，
所以，所以，满足且k2＜1．
16．（2025 泸水市校级二模）已知双曲线C：经过点，焦点F到渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l与双曲线C相交于A，B两点，M（4，2）是弦AB的中点，求AB的长度．
【解答】解：（1）设焦点F（c，0），其到渐近线的距离，
又因为经过点，
所以，解得a＝2，
双曲线C的方程为．
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），
因为M（4，2）是弦AB的中点，
则，
由于，
两式相减得，，
即，
所以直线l的方程为，
联立，消去y得，6x2﹣48x+76＝0，
所以，
所以．
17．（2025春 昌江区校级期末）已知双曲线，斜率为k的直线l过点M．
（1）若m＝0，且直线l与双曲线C只有一个交点，求k的值；
（2）已知点T（2，0），直线l与双曲线C有两个不同的交点A，B，直线TA，TB的斜率分别为k1，k2，若k1+k2为定值，求实数m的值．
【解答】解：（1）由已知得l：y＝kx+2．
联立，（1﹣4k2）x2﹣16kx﹣20＝0，
要使直线l与双曲线C只有一个交点，则方程（*）只有一个解．
①当1﹣4k2＝0，即时，满足要求：
②当1﹣4k2≠0，即时，Δ＝（16k）2+80（1﹣4k2），
令Δ＝0，得，
综上所述，或；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），l：y﹣2＝k（x﹣m），即y＝kx+2﹣mk．
联立，得（1﹣4k2）x2+8k（mk﹣2）x﹣4（m2k2﹣4mk+5）＝0，
所以，，
所以，
y1x2，
从而k1+k2
，
要使k1+k2为定值，则，解得m＝2．
18．（2025春 静安区校级期中）如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点A，B，它们距离城市中心O的距离均为，C是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心O的距离为3km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路M﹣N﹣P如图所示，道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多4km，其中道路起点M到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到O的距离都相等，以O为原点、线段AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy．
（1）求道路M﹣N﹣P的曲线方程；
（2）现要在M﹣N﹣P上建一站点Q，使得Q到景点C的距离最近，问如何设置站点Q的位置？（即确定点Q的坐标）
【解答】解：（1）因为道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多4km，
则道路MN所在的曲线是以定点A，B为左、右焦点的双曲线的右支上，
且，所以b2，
又点M的纵坐标为6，可得点M的横坐标为，
所以道路MN所在的曲线方程为，
又由线路NP段上的任意一点到O的距离都相等，
则线路NP所在的曲线为以O为圆心，ON为半径的圆，其方程为x2+y2＝4（y≤0），
故道路M﹣N﹣P曲线方程为MN段：为，
NP段：x2+y2＝4（y≤0）．
（2）当Q点在线路MN上，设Q（x0，y0），
又由C（0，3），则，
由（1）可得x2﹣y2＝4，则，
可得当时，|CQ|有最小值，且，
当Q点在线路NP上，设Q（x0，y0），
又由C（0，3），则，
由（1）可得x2+y2＝4，则，
可得当y0＝0时，|CQ|有最小值，且，
因为，所以|CQ|有最小值为，此时，则，
则点Q的坐标为，此时Q到C的距离最小．
19．（2025春 吉林校级期末）在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）S的方程，若曲面S和三元方程F（x，y，z）＝0之间满足：①曲面S上任意一点的坐标均为三元方程F（x，y，z）＝0的解；②以三元方程F（x，y，z）＝0的任意解（x0，y0，z0）为坐标的点均在曲面S上，则称曲面S的方程为F（x，y，z）＝0，方程F（x，y，z）＝0的曲面为S．已知空间中某单叶双曲面C的方程为，双曲面C可视为平面xOz中某双曲线的一支绕z轴旋转一周所得的旋转面，已知直线l过C上一点Q（1，1，2），且以d＝（﹣2，0，﹣4）为方向向量．
（1）指出xOy平面截曲面C所得交线是什么曲线，并说明理由；
（2）证明：直线l在曲面C上；
（3）若过曲面C上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面C上．设直线l′在曲面C上，且过点，求异面直线l与l′所成角的余弦值．
【解答】解：（1）根据坐标平面xOy内点的坐标的特征可知，坐标平面xOy的方程为z＝0，
已知曲面C的方程为，
当z＝0时，xOy平面截曲面C所得交线上的点M（x，y，0）满足x2+y2＝1，
即，
也即M在平面xOy上到原点距离为定值1，
从而xOy平面截曲面C所得交线是平面xOy上，以原点O为圆心，1为半径的圆．
（2）设P（x0，y0，z0）是直线l上任意一点，
由，均为直线l的方向向量，有，
从而存在实数λ，使得，即（x0﹣1，y0﹣1，z0﹣2）＝λ（﹣2，0，﹣4），
则，解得x0＝1﹣2λ，y0＝1，z0＝2﹣4λ，
所以点P的坐标为（1﹣2λ，1，2﹣4λ），
于是，
因此点P的坐标总是满足曲面C的方程，从而直线l在曲面C上．
（3）直线l′在曲面C上，且过点，
设M（x1，y1，z1）是直线l′上任意一点，直线l′的方向向量为，
由，均为直线l′的方向向量，有，
从而存在实数t，使得，即，
则，解得，
所以点M的坐标为，
∵M（x1，y1，z1）在曲面C上，∴，
整理得，
由题意，对任意的t，有恒成立，
∴，且，
∴，或，
不妨取，则，或，
∴，或，
又直线l的方向向量为，
则异面直线l与l′所成角的余弦值均为．
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