椭圆常考易错检测卷（含解析）-2026届高三数学上学期一轮复习

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椭圆常考易错检测卷-2026届高三数学上学期一轮复习
一．选择题（共8小题）
1．（2025 信阳一模）设椭圆（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0）点A（﹣2，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|＝8，则椭圆E的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025春 驻马店校级期末）我国发射的“嫦娥1号”绕月卫星的运行轨道是以月球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面为m千米，远地点B距地面为n千米，月球半径为R千米，则卫星运行轨道的短轴长为（　　）
A．mn B．2mn
C．2 D．
3．（2025 龙凤区校级模拟）已知F1，F2分别为椭圆E：1的左、右焦点，P是椭圆E上一动点，G点是三角形PF1F2的重心，则点G的轨迹方程为（　　）
A．x2+9y2＝1 B．x2+9y2＝1（y≠0）
C． D．
4．（2025春 金山区校级期中）已知Q是椭圆M：1（0＜b＜3）上的动点，若动点Q到定点P（2，0）的距离|PQ|的最小值为1，则椭圆M的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024秋 白云区校级期末）椭圆5x2﹣ky2＝5的焦距为4，则k的值为（　　）
A．或﹣1 B．或﹣1 C． D．﹣1
6．（2025 河南模拟）如图，过原点O的直线AB交椭圆于A，B两点，过点A分别作x轴、AB的垂线AP，AQ分别交椭圆C于点P，Q，连接BQ交AP于点M，若，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024秋 台州期末）已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（　　）
A．椭圆的长轴长为2
B．椭圆的焦点坐标为，
C．椭圆关于直线y＝x对称
D．当点（x0，y0）在椭圆上时，
8．（2024秋 鼓楼区校级期末）法国数学家加斯帕 蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则下列说法中，正确的个数为（　　）
①椭圆Γ的离心率为
②M到Γ的左焦点的距离的最小值为
③△MPQ面积的最大值为
④若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则
A．1 B．2 C．3 D．4
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 长沙校级期末）设椭圆C：1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是（　　）
A．|PF1|+|PF2|＝2
B．离心率
C．△PF1F2面积的最大值为
D．以线段F1F2为直径的圆与直线相切
（多选）10．（2025春 昌江区校级期末）已知椭圆C：1，F1，F2分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上异于A，B的一个动点，下列结论中正确的有（　　）
A．存在P使得
B．直线PA与直线PB斜率乘积为定值
C．1＜|PF1|＜9
D．若∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，则
（多选）11．（2025春 昌江区校级期末）如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球O1，球O2切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球O1，球O2的半径分别为3和1，球心距，则（　　）
A．椭圆C的中心在直线O1O2上
B．|EF|＝4
C．直线O1O2与椭圆C所在平面所成的角为
D．椭圆C的离心率为
三．填空题（共3小题）
12．（2025 朝阳区校级模拟）已知点A（1，1），且F是椭圆的左焦点，P是椭圆上任意一点，则|PF|+|PA|的最小值是 　 　 ．
13．（2025 东莞市模拟）设椭圆的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝3r时，椭圆的离心率为 　 　 ．
14．（2025春 道县校级期末）已知椭圆的左、右焦点分别F1，F2，椭圆的长轴长为，短轴长为2，P为直线x＝2b上的任意一点，则∠F1PF2的最大值为 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2024秋 广西期末）已知直线2x+3y﹣6＝0经过椭圆C的右顶点A和上顶点B．
（1）求椭圆C的标准方程及离心率；
（2）与直线AB平行的直线l交C于M，N两点（M，N均不与C的顶点重合），设直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值．
16．（2025春 海南期末）已知椭圆C的两个焦点分别为，离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）M为椭圆C的左顶点，直线l与椭圆C交于A，B两点，若MA⊥MB，求证：直线AB过定点．
17．（2025春 台江区校级期末）如图，已知椭圆C：1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1、F2，左顶点为P，焦距为2，若△PF1F2为正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F1，斜率为的直线与椭圆相交于M，N两点，求MN的长；
（3）过点F1的直线与椭圆相交于AB两点，若，求直线AB的方程．
18．（2025 阜阳校级模拟）已知椭圆的离心率为，其左、右焦点与短轴端点构成的四边形面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆外一点P作两条互相垂直的直线l1，l2，l1，l2与椭圆均相切，切点分别为A，B两点．
（i）求P的轨迹方程．
（ⅱ）记原点O到l1，l2的距离分别为d1，d2，求d1d2的最大值．
19．（2025 盐池县二模）在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别是椭圆C：的右顶点，上顶点，若C的离心率为，且O到直线AB的距离为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中点M在第一象限，点N在x轴下方且不在y轴上，设直线BM，BN的斜率分别为k1，k2．
①求证：为定值，并求出该定值；
②设直线BM与x轴交于点T，求△BNT的面积S的最大值．
椭圆常考易错检测卷-2026届高三数学上学期一轮复习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B D D D D D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AD ACD BD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 信阳一模）设椭圆（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0）点A（﹣2，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|＝8，则椭圆E的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：椭圆（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0），
另一个焦点为F'（﹣2，0），
由椭圆的定义可得2a＝|PF|+|PF'|，
即|PF'|＝2a﹣|PF|，
可得|PA|﹣|PF'|＝8﹣2a，
由||PA|﹣|PF'||≤|AF'|＝1，
可得﹣1≤8﹣2a≤1，
解得a，
又c＝2，可得
e∈[，]，
故选：A．
2．（2025春 驻马店校级期末）我国发射的“嫦娥1号”绕月卫星的运行轨道是以月球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面为m千米，远地点B距地面为n千米，月球半径为R千米，则卫星运行轨道的短轴长为（　　）
A．mn B．2mn
C．2 D．
【解答】解：设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则由题意可知：a﹣c﹣R＝m，a+c﹣R＝n，可得a，．
则b2＝a2﹣c2＝（）2﹣（）2＝（m+R）（n+R）．
则b．
故选：C．
3．（2025 龙凤区校级模拟）已知F1，F2分别为椭圆E：1的左、右焦点，P是椭圆E上一动点，G点是三角形PF1F2的重心，则点G的轨迹方程为（　　）
A．x2+9y2＝1 B．x2+9y2＝1（y≠0）
C． D．
【解答】解：设G（x，y），（y≠0），设P为（m，n），
又易知F1（，0），F2（，0），
∴根据三角形的重心坐标公式可得：
，∴，∴P（3x，3y），
又P在椭圆E：1上，
∴，（y≠0），
即x2+9y2＝1（y≠0），
∴G的轨迹方程为x2+9y2＝1（y≠0），
故选：B．
4．（2025春 金山区校级期中）已知Q是椭圆M：1（0＜b＜3）上的动点，若动点Q到定点P（2，0）的距离|PQ|的最小值为1，则椭圆M的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可设：Q（3cosθ，bsinθ），
则|PQ|2＝（3cosθ﹣2）2+b2sin2θ＝（3cosθ﹣2）2+b2（1﹣cos2θ）
＝（9﹣b2）cos2θ﹣12cosθ+4+b2，
令t＝cosθ∈[﹣1，1]，则|PQ|2＝（9﹣b2）t2﹣12t+4+b2，
注意到0＜b＜3，则9﹣b2＞0，
可知f（t）＝（9﹣b2）t2﹣12t+4+b2的图象开口向上，对称轴为，
当，即0＜b2＜3时，可知f（t）在[﹣1，1]内的最小值为，
则，
整理得b4﹣6b2+9＝0，解得b2＝3，不合题意；
当，即3≤b2＜9时，可知f（t）在[﹣1，1]内的最小值为f（1）＝1，符合题意；
综上所述：3≤b2＜9．
可得椭圆M的离心率，
所以椭圆M的离心率的取值范围是．
故选：D．
5．（2024秋 白云区校级期末）椭圆5x2﹣ky2＝5的焦距为4，则k的值为（　　）
A．或﹣1 B．或﹣1 C． D．﹣1
【解答】解：椭圆5x2﹣ky2＝5化为标准形式，得x21，
∵椭圆线5x2﹣ky2＝5的焦距为4，
∴当椭圆焦点在x轴上时，a2＝1，a＝1，不符合题意，
当椭圆焦点在y轴上时，a2，b2＝1，
∴1＝22，解得k＝﹣1，
综上所述，k的值为﹣1．
故选：D．
6．（2025 河南模拟）如图，过原点O的直线AB交椭圆于A，B两点，过点A分别作x轴、AB的垂线AP，AQ分别交椭圆C于点P，Q，连接BQ交AP于点M，若，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设A（x1，y1），Q（x2，y2），
则B（﹣x1，﹣y1），P（x1，﹣y1），M（x1，），
由AB⊥AQ，则 1，可得①，
由B，M，Q三点共线，则kBQ＝kBM，即②，
又因为1，1，
即0，即③，
将①②代入③得，可得e．
故选：D．
7．（2024秋 台州期末）已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（　　）
A．椭圆的长轴长为2
B．椭圆的焦点坐标为，
C．椭圆关于直线y＝x对称
D．当点（x0，y0）在椭圆上时，
【解答】解：由，得
对于A、椭圆的长轴长为2a＝4，故A错误；
对于B、椭圆的焦点坐标为（1，0），（﹣1，0），故B错误；
对于C、椭圆不关于直线y＝x对称，故C错误；
对于D、当点（x0，y0）在椭圆上时，，则，故D正确．
故选：D．
8．（2024秋 鼓楼区校级期末）法国数学家加斯帕 蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则下列说法中，正确的个数为（　　）
①椭圆Γ的离心率为
②M到Γ的左焦点的距离的最小值为
③△MPQ面积的最大值为
④若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：对于①，直线x＝a，y＝b与椭圆都相切，且这两条直线垂直，因此其交点（a，b）在圆C上，
即有，则，
椭圆Γ的离心率，故①正确；
对于②，令M（x0，y0），有，
令椭圆Γ的左焦点F（﹣c，0），有，
则，
而，
因此，即，
所以M到椭圆Γ的左焦点的距离的最小值为，故②正确；
对于③，依题意，如图，点M、P、Q均在圆C上，且，因此线段PQ是圆C的直径，
即有，显然圆C上的点到直线PQ距离最大值为圆C的半径，
即点M到直线PQ距离最大值为，
因此△MPQ面积的最大值为，故 ③正确；
对于④，依题意，直线PQ过原点O，即点A，B关于原点O对称，
设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），
于是得，，
又由①知，，两式作差得：，
所以，故④正确，
所以说法正确的有①②③④．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 长沙校级期末）设椭圆C：1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是（　　）
A．|PF1|+|PF2|＝2
B．离心率
C．△PF1F2面积的最大值为
D．以线段F1F2为直径的圆与直线相切
【解答】解：由题意，椭圆，
可得，b＝1，
可得，
所以焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），
根据椭圆的定义，
所以A正确；
椭圆的离心率为，
所以B错误；
当P在椭圆的上、下顶点时，△PF1F2的面积最大，
即△PF1F2面积的最大值为，
所以C错误；
由原点（0，0）到直线的距离，
所以以线段F1F2为直径的圆与直线相切，
所以D正确．
故选：AD．
（多选）10．（2025春 昌江区校级期末）已知椭圆C：1，F1，F2分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上异于A，B的一个动点，下列结论中正确的有（　　）
A．存在P使得
B．直线PA与直线PB斜率乘积为定值
C．1＜|PF1|＜9
D．若∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，则
【解答】解：由椭圆C：1，可得a＝5，b＝3，c＝4，
由c＞b，可得以F1F2为直径的圆与椭圆有交点，即存在P使得，故A正确；
设P（x，y）（x≠±5），可得y2＝9（1）．
由A（﹣5，0），B（5，0），可得直线PA与直线PB斜率乘积为 ，故B错误；
由点P是椭圆上异于A，B的一个动点，可得a﹣c＜|PF1|＜a+c，即1＜|PF1|＜9，故C正确；
若∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
在△PF1F2中，由正弦定理可得，
又m+n＝2a＝10，则，即，
化为9sinsincoscos，则tantan，故D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（2025春 昌江区校级期末）如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球O1，球O2切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球O1，球O2的半径分别为3和1，球心距，则（　　）
A．椭圆C的中心在直线O1O2上
B．|EF|＝4
C．直线O1O2与椭圆C所在平面所成的角为
D．椭圆C的离心率为
【解答】解：根据题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，
椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，可得圆锥的轴截面及球O1，球O2的截面大圆，
如图，
点A，B分别为圆O1，O2与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，MN是椭圆长轴，
可知椭圆C的中心（即MN的中点）不在直线O1O2上，所以选项A错误；
2a＝|MN|＝|MF|+|FN|＝|MF|+|ME|＝|MB|+|MA|＝|AB|，
过O2作O2D⊥O1A于D，连接O2B，显然ABO2D为矩形，
又因为，
那么，
过O2作O2C⊥O1E交O1E延长线于C，显然CEFO2为矩形，
，所以选项B正确；
因此O1O2与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为，所以选项C错误；
因此，所以选项D正确．
故选：BD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 朝阳区校级模拟）已知点A（1，1），且F是椭圆的左焦点，P是椭圆上任意一点，则|PF|+|PA|的最小值是 　3　 ．
【解答】解：设椭圆是右焦点为F'，由椭圆的定义可得|PF|＝2a﹣|PF'|，
所以|PF|+|PA|＝2a﹣|PF'|+|PA|＝2a﹣（|PF'|﹣|PA|）≥2a﹣|AF|，
当且仅当A，P，F'三点共线时取等号，
由椭圆的方程可得a2＝4，b2＝3，所以c2＝a2﹣b2＝4﹣3＝1，
可得右焦点F'（1，0），
所以|PF'|＝1，
所以2a﹣|PF'|＝2×2﹣1＝3，
所以|PF|+|PA|的最小值为3，
故答案为：3
13．（2025 东莞市模拟）设椭圆的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝3r时，椭圆的离心率为 　　 ．
【解答】解：△F1PF2中，∠F1PF2，
由正弦定理可得：2R，而，
即2R，可得R，
由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝（|PF1|+|PF2|）2﹣3|PF1||PF2|，
可得|PF1||PF2|，
|PF1||PF2|sin∠F1PF2 b2，
（2a+2c） r＝（a+c） r，
所以r，
又因为R＝3r，
可得3 ，
整理可得：3a2﹣2ac﹣5c2＝0，
解得ac或a＝﹣c（舍），
所以离心率e．
故答案为：．
14．（2025春 道县校级期末）已知椭圆的左、右焦点分别F1，F2，椭圆的长轴长为，短轴长为2，P为直线x＝2b上的任意一点，则∠F1PF2的最大值为 　　 ．
【解答】解：如图，
由题意有，b＝1，c＝1，
故直线x＝2b即直线x＝2，
设直线x＝2与x轴的交点为Q，
设|PQ|＝t，有，tan∠PF2Q，
可得tan∠F1PF2＝tan（∠PF2Q﹣∠PF1Q）
，
当且仅当时取等号，可得∠F1PF2的最大值为．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2024秋 广西期末）已知直线2x+3y﹣6＝0经过椭圆C的右顶点A和上顶点B．
（1）求椭圆C的标准方程及离心率；
（2）与直线AB平行的直线l交C于M，N两点（M，N均不与C的顶点重合），设直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值．
【解答】解：（1）因为直线2x+3y﹣6＝0经过椭圆C的右顶点A和上顶点B，
所以a＝3，b＝2，
则椭圆C的标准方程为，
因为，
所以椭圆C的离心率为；
（2）证明：由（1）知直线AB的斜率为，
设直线l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，消去y并整理得8x2﹣12tx+9t2﹣36＝0，
由韦达定理得，
因为，，
所以，
因为，
又，
所以，
所以．
故k1k2为定值．
16．（2025春 海南期末）已知椭圆C的两个焦点分别为，离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）M为椭圆C的左顶点，直线l与椭圆C交于A，B两点，若MA⊥MB，求证：直线AB过定点．
【解答】解：（1）因为椭圆C的两个焦点分别为，离心率为，
所以，，①
又a2＝b2+c2，②
联立①②，解得a＝2，b＝1，
则椭圆C的标准方程为；
（2）证明：由（1）知椭圆C的左顶点M（﹣2，0），
不妨设直线AB的方程为x＝ty+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去x并整理得（t2+4）y2+2mty+m2﹣4＝0，
此时Δ＝（2mt）2﹣4（t2+4）（m2﹣4）＞0，
即t2+4＞m2，
由韦达定理得，，
因为MA⊥MB，
所以，
此时（x1+2）（x2+2）+y1y2＝0，
即x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2＝0，
因为，
所以，
可得（t2+1）（m2﹣4）+（mt+2t）（﹣2mt）+（m2+4m+4）（t2+4）＝0，
即5m2+16m+12＝0，
解得或m＝﹣2，
当m＝﹣2时，直线AB的方程为x＝ty﹣2，
此时直线AB经过点M，不符合题意；
当时，直线AB的方程为，恒过定点．
故直线AB过定点．
17．（2025春 台江区校级期末）如图，已知椭圆C：1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1、F2，左顶点为P，焦距为2，若△PF1F2为正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F1，斜率为的直线与椭圆相交于M，N两点，求MN的长；
（3）过点F1的直线与椭圆相交于AB两点，若，求直线AB的方程．
【解答】解：（1）由焦距为2可得2c＝2，再由△PF1F2为正三角形，P为左顶点，可得b 2c，
所以a2＝b2+c2＝3+1＝4，
所以椭圆的方程为：1；
（2）由（1）可得上焦点F1（0，1），
由题意可设直线MN的方程为：yx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立整理可得5x2+2x﹣9＝0，
可得Δ＞0，x1+2，x1x2，
所以弦长|MN| ；
（3）当直线AB的斜率不存在时，则过F1的直线为x轴，可得A，B为短轴的顶点，
因为，设A（0，），B（0，），F1（0，1），则（0，1），（0，1），
显然2，所以直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的方程为y＝kx+1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，整理可得：（4+3k2）x2+6kx﹣9＝0，
可得x1+x2，x1x2，
因为，即（﹣x1，1﹣y1）＝2（x2，y2﹣1），
可得﹣x1＝2x2，即x1＝﹣2x2，代入x1+x2，可得x2，x1，
再代入x1x2，可得 （），
解得：k2，
可得k＝±，
所以直线AB的方程为y＝±x+1．
18．（2025 阜阳校级模拟）已知椭圆的离心率为，其左、右焦点与短轴端点构成的四边形面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆外一点P作两条互相垂直的直线l1，l2，l1，l2与椭圆均相切，切点分别为A，B两点．
（i）求P的轨迹方程．
（ⅱ）记原点O到l1，l2的距离分别为d1，d2，求d1d2的最大值．
【解答】解：（1）由题意，椭圆的离心率为，
则①，
又左、右焦点与短轴端点构成的四边形面积为，
所以2bc，可得②，
又a2＝b2+c2③，
由①②③可得，a＝3，b＝2，c，
故椭圆C的方程为；
（2）（i）设P（m，n），过点P的直线为y＝k（x﹣m）+n与椭圆C相切，
联立方程组，可得（9k2+4）x2+18k（n﹣km）x+9k2m2﹣18kmn+9n2﹣36＝0，
则Δ＝[18k（n﹣km）]2﹣4（9k2+4）（9k2m2﹣18kmn+9n2﹣36）＝144[（9﹣m2）k2+＝144[（9﹣m2）k2+2mnk﹣n2+4]＝0，
因为l1，l2互相垂直，
则直线l1，l2的斜率即为方程144[（9﹣m2）k2+2mnk﹣n2+4]＝0的两个根，
则，
所以m2+n2＝13，
故点P的轨迹方程为x2+y2＝13；
（ii）过点O作OC⊥l1于点C，作OD⊥l2于点D，
则OC＝d1，OD＝d2，
故四边形OCPD为矩形，
所以PD＝OC＝d1，
则，
所以，
当且仅当d1＝d2时取等号，
故d1d2的最大值为．
19．（2025 盐池县二模）在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别是椭圆C：的右顶点，上顶点，若C的离心率为，且O到直线AB的距离为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中点M在第一象限，点N在x轴下方且不在y轴上，设直线BM，BN的斜率分别为k1，k2．
①求证：为定值，并求出该定值；
②设直线BM与x轴交于点T，求△BNT的面积S的最大值．
【解答】解：（1）设椭圆C的焦距为2c（c＞0），
因为椭圆C的离心率为，
所以，
由a2﹣b2＝c2，得a2﹣b2a2，即a＝2b，
所以直线AB的方程为1，即x+2y﹣2b＝0，
因为原点O到直线BA的距离为，
所以，
解得b＝1，a＝2，
所以椭圆C的标准方程为y2＝1．
（2）设直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣2），其中k，且k≠1，即y＝kx﹣2k+1，
设直线l与椭圆C交于点M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，得（4k2+1）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k＝0，
则x1+x2，x1x2，
①证明： （）

4，为定值，得证．
②直线BM的方程为y＝k1x+1，
令y＝0，得x，故T（，0），
设直线BN与x轴交于点Q，
直线BN的方程为y＝kx+1，
令y＝0，得x，故Q（，0），
联立，得（41）x2+8k2x＝0，
解得x2或x2＝0（舍去），
则y2＝k2x2+1＝k2 （）+11，
所以△BNT的面积S |QT| |yB﹣y2||| |1﹣（1）|＝|| ，
由①可知，4，
所以4，代入上式得S＝|4| |2| ，
因为点N在x轴下方且不在y轴上，
所以k2或k2，即20，
所以S＝（2） 4 4（1），
当k2时，S＝4（1）＜4，
当k2时，S＝4（1）＞4，
所以只需考虑k2，令t＝2k2﹣1，则t＞0，
所以S＝4[1]＝4（1）≤4（1）＝22，当且仅当t，即t，k2时取等号，
所以△BNT面积S的最大值为22．
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