指对幂函数专题训练（含解析）-2026年高三数学上学期一轮复习

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指对幂函数专题训练-2026年高三数学上学期一轮复习
一．选择题（共8小题）
1．（2025 广州模拟）已知实数a，b满足3a＝4b，则下列不等式可能成立的是（　　）
A．b＜a＜0 B．2b＜a＜0 C．0＜a＜b D．0＜2b＜a
2．（2025 昆明一模）若a，b∈R，则“lna＜lnb”是“a＜b”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2025 河南校级三模）设函数f（x）＝ex（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，0） C．（0，2] D．[2，+∞）
4．（2025 河北模拟）若函数y＝f（x）与g（x）＝2x的图像关于直线y＝x对称，则满足不等式f（x）＞1的x的取值范围是（　　）
A．（1，+∞） B．（﹣∞，0） C．（0，+∞） D．（2，+∞）
5．（2025 临沂校级模拟）假定风力等级与风速的关系满足方程：（其中v为风速，单位：m/s，n为风力等级），2025年4月12日，河北省气象部门发布大风预警，某地区风速达到10m/s，则该地区此次大风的风力等级约为（　　）（注：100.72≈5）
A．2级 B．3级 C．4级 D．5级
6．（2025 琼海三模）已知（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（2025 齐齐哈尔三模）已知点（m，9）在幂函数f（x）＝（m﹣2）xα的图象上，设，b＝f（ln2），，则（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
8．（2025 丽江校级二模）若指数函数f（x）＝ax的图象与射线3x﹣y+5＝0（x≥﹣1）相交，则（　　）
A．a∈（0，] B．a∈[，1）
C．a∈[，1）∪（1，+∞） D．a∈（0，]∪（1，+∞）
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 开封模拟）若lga（a＞0）与lgb（b＞0）互为相反数，则（　　）
A．a+b＝1 B．ab＝1
C．a+b的最小值为2 D．ab的最大值为
（多选）10．（2025 文昌校级模拟）下列说法正确的有（　　）
A．“ x∈R，使得x2﹣x﹣1＝0”的否定是“ x∈R，都有x2﹣x﹣1＝0”
B．设10a＝2，100b＝7，则102a﹣2b的值
C．函数y＝35x﹣1的值域为（0，+∞）
D．若a＞1，则的最小值为9
（多选）11．（2025 曲靖校级模拟）如图，由函数y＝ex﹣e+1与y＝ln（x+e﹣1）的部分图象可得一条封闭曲线Γ，则（　　）
A．Γ有对称轴
B．Γ的弦长的最大值为
C．直线x+y＝t被Γ截得弦长的最大值为
D．Γ的面积大于2e﹣4
三．填空题（共3小题）
12．（2025 武强县校级模拟）已知幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减，若正数a，b满足2a+3b＝m，求的最小值 　 　 ．
13．（2025 龙华区校级模拟）已知函数f（x）＝loga（x﹣1）+3的图象经过定点A，且幂函数g（x）的图象过点A，则g（2）＝ 　 　 ．
14．（2025 福建模拟）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为，若在前5h消除了10%的污染物，当污染物减少50%时，所需时间约为　 　 h（精确到1h，参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099，ln5≈1.609）．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 武强县校级模拟）已知幂函数为奇函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（a+1）＜f（3﹣2a），求a的取值范围．
16．（2025 浦东新区校级三模）已知f（x）＝logax（a＞0且a≠1）．
（1）若a＝3，解方程；
（2）若f（3a﹣1）＞f（a），求a的取值范围．
17．（2025 金山区校级三模）如图所示是函数y＝F（x）的图象，由指数函数f（x）＝ax与幂函数g（x）＝xb“拼接”而成．
（1）已知（m+4）﹣b＜（3﹣2m）﹣b，求m的取值范围；
（2）若方程存在实数解，求t的取值范围．
18．（2024 广汉市校级模拟）设函数h（x）是定义在（﹣3，3）的偶函数，且当x∈[0，3）时，h（x）＝log2（3﹣x），将函数h（x）中x∈[0，3）和x∈（﹣3，0）两部分的表达式相加得到函数y＝f（x）．
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
（2）判断函数y＝f（x）的奇偶性；
（3）讨论函数y＝f（x）在定义域内的单调性，并证明．
19．（2023 城关区校级模拟）已知函数．
（Ⅰ）若函数f（x）是R上的奇函数，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域是一切实数，求a的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．
指对幂函数专题训练-2026年高三数学上学期一轮复习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D D D B C D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BC BCD ACD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 广州模拟）已知实数a，b满足3a＝4b，则下列不等式可能成立的是（　　）
A．b＜a＜0 B．2b＜a＜0 C．0＜a＜b D．0＜2b＜a
【解答】解：设3a＝4b＝k，当k＝1时，a＝b＝0，
当k＞1时，a＝log3k＞0，b＝log4k＞0，
，所以a＞b＞0，
因为2b＝log2k＞0，，所以2b＞a＞0，
当0＜k＜1时，a＝log3k＜0，b＝log4k＜0，2b＝log2k＜0，
，所以0＞b＞a，
因为，所以0＞a＞2b．
故选：B．
2．（2025 昆明一模）若a，b∈R，则“lna＜lnb”是“a＜b”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由lna＜lnb，得0＜a＜b，反之不成立，
故“lna＜lnb“是“a＜b“的充分不必要条件．
故选：A．
3．（2025 河南校级三模）设函数f（x）＝ex（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，0） C．（0，2] D．[2，+∞）
【解答】解：函数f（x）＝ex（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，
所以g（x）＝（x﹣a）x在（0，1）上单调递减，
所以1，即a≥2．
故选：D．
4．（2025 河北模拟）若函数y＝f（x）与g（x）＝2x的图像关于直线y＝x对称，则满足不等式f（x）＞1的x的取值范围是（　　）
A．（1，+∞） B．（﹣∞，0） C．（0，+∞） D．（2，+∞）
【解答】解：若函数y＝f（x）与g（x）＝2x的图像关于直线y＝x对称，
则f（x）＝log2x，
又log2x＞1，
则x＞2，
则x的取值范围为（2，+∞）．
故选：D．
5．（2025 临沂校级模拟）假定风力等级与风速的关系满足方程：（其中v为风速，单位：m/s，n为风力等级），2025年4月12日，河北省气象部门发布大风预警，某地区风速达到10m/s，则该地区此次大风的风力等级约为（　　）（注：100.72≈5）
A．2级 B．3级 C．4级 D．5级
【解答】解：因为，
当v＝10m/s时，lgnlg100.72，
故n＝100.72≈5．
故选：D．
6．（2025 琼海三模）已知（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：（x1，y1），（x2，y2）是y＝2x上的点，
则y1，y2，
22，当且仅当x1＝x2时，等号成立，
又（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，
故，
两边同时取对数可得，log2．
故选：B．
7．（2025 齐齐哈尔三模）已知点（m，9）在幂函数f（x）＝（m﹣2）xα的图象上，设，b＝f（ln2），，则（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【解答】解：因为f（x）＝（m﹣2）xα为幂函数，所以m﹣2＝1，解得m＝3，
把点（3，9）代入f（x）＝xα中，得3α＝9，解得α＝2，所以f（x）＝x2，
因为a＝f（）＝f（1），b＝f（ln2），c＝f（），
且f（x）在（0，+∞）上为增函数，
又因为0＜ln2＜1，则f（ln2）＜f（1）＜f（），
所以b＜a＜c．
故选：C．
8．（2025 丽江校级二模）若指数函数f（x）＝ax的图象与射线3x﹣y+5＝0（x≥﹣1）相交，则（　　）
A．a∈（0，] B．a∈[，1）
C．a∈[，1）∪（1，+∞） D．a∈（0，]∪（1，+∞）
【解答】解：当a＞1时，必会有交点，
当a＜1时，过（﹣1，2）是临界点，当f（x）过（﹣1，2）时，a，
若要f（x）与射线有交点，其图象需在（﹣1，2）的上方，
比如过（﹣1，3）点此时a，由此可知a的取值范围为（0，]．
综上a的范围是（0，]∪（1，+∞），
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 开封模拟）若lga（a＞0）与lgb（b＞0）互为相反数，则（　　）
A．a+b＝1 B．ab＝1
C．a+b的最小值为2 D．ab的最大值为
【解答】解：由题意可得lga+lgb＝lgab＝0，
所以ab＝1，a＞0，b＞0，
则a+b2，当且仅当a＝b时取等号．
故选：BC．
（多选）10．（2025 文昌校级模拟）下列说法正确的有（　　）
A．“ x∈R，使得x2﹣x﹣1＝0”的否定是“ x∈R，都有x2﹣x﹣1＝0”
B．设10a＝2，100b＝7，则102a﹣2b的值
C．函数y＝35x﹣1的值域为（0，+∞）
D．若a＞1，则的最小值为9
【解答】解：选项A，根据存在量词命题的否定可知，“ x∈R，使得x2﹣x﹣1＝0”的否定是“ x∈R，都有x2﹣x﹣1≠0”，故A错误．
选项B，10a＝2，100b＝7，，故B正确．
选项C，因为函数的定义域为R，所以函数的值域为（0，+∞），故C正确．
选项D，由a＞1得，，
当且仅当，即a＝5时等号成立，故D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（2025 曲靖校级模拟）如图，由函数y＝ex﹣e+1与y＝ln（x+e﹣1）的部分图象可得一条封闭曲线Γ，则（　　）
A．Γ有对称轴
B．Γ的弦长的最大值为
C．直线x+y＝t被Γ截得弦长的最大值为
D．Γ的面积大于2e﹣4
【解答】解：如图，由函数y＝ex﹣e+1与y＝ln（x+e﹣1）的部分图象可得一条封闭曲线Γ，
∵y＝ex﹣e+1，∴ex＝y+e﹣1，∴x＝ln（y+e﹣1），
∴y＝ex﹣e+1的反函数为y＝ln（x+e﹣1），两者关于y＝x对称，
∴Γ有对称轴，故A正确．
，令h（x）＝ex﹣x﹣e+1，h′（x）＝ex﹣1，
h（x）在（﹣∞，0）上单调递减；（0，+∞）上单调递增，
∵h（﹣2）＞0，，
∴h（x）在（﹣2，﹣1）上有一个零点x0，另一个零点为1，
∴A（1，1），B（x0，y0），
∴，
∴Γ的弦长的最大值大于，故B错误．
x+y＝t与曲线Γ对称轴AB垂直，
如图，只需考察曲线y＝ex﹣e+1上P到y＝x距离大最大值即可，
找出过P与曲线相切且与AB平行的点P0即可，
令f（x）＝ex﹣e+1，令f′（x）＝ex＝1 x＝0，
此时P0（0，2﹣e），P0到y＝x的距离为，
∴直线x+y＝t被Γ截得弦长最大值为，故C正确．
，（﹣2＜x0＜﹣1），故D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 武强县校级模拟）已知幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减，若正数a，b满足2a+3b＝m，求的最小值 　24　 ．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减，
∴，解得m＝1，
∴正数a，b满足2a+3b＝1，
∴（）（2a+3b）＝1212+224，
当且仅当，即2a＝3b时，等号成立，
∴的最小值为24．
故答案为：24．
13．（2025 龙华区校级模拟）已知函数f（x）＝loga（x﹣1）+3的图象经过定点A，且幂函数g（x）的图象过点A，则g（2）＝ 　3　 ．
【解答】解：令x﹣1＝1，则x＝2，f（2）＝3，即A（2，3），
因为幂函数g（x）的图象过点A（2，3），
故g（2）＝3．
故答案为：3．
14．（2025 福建模拟）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为，若在前5h消除了10%的污染物，当污染物减少50%时，所需时间约为　33　 h（精确到1h，参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099，ln5≈1.609）．
【解答】解：因为，所以当t＝0时，P＝P0，
所以当污染物减少50%时，，
解得．
故答案为：33．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 武强县校级模拟）已知幂函数为奇函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（a+1）＜f（3﹣2a），求a的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得m2﹣3m+3＝1且为奇数，
解得m＝1或m＝2，
经检验m＝1符合题意，
所以f（x）＝x3；
（2）由（1）得f（x）在R上单调递增，
由f（a+1）＜f（3﹣2a）得a+1＜3﹣2a，
解得a，
故a的取值范围为{a|a}．
16．（2025 浦东新区校级三模）已知f（x）＝logax（a＞0且a≠1）．
（1）若a＝3，解方程；
（2）若f（3a﹣1）＞f（a），求a的取值范围．
【解答】解：（1）由对数运算法则，，
f（3x）＝log3（3x）＝1+log3x，
设t＝log3x，则原方程等价于（3﹣t）（1+t）＝﹣5，解得t＝﹣2或t＝4．
所以原方程的解为x或x＝81．
（2）当0＜a＜1时，函数y＝f（x）严格单调递减，f（3a﹣1）＞f（a）等价于不等式组，解得a；
当a＞1时，函数y＝f（x）严格单调递增，f（3a﹣1）＞f（a）等价于不等式组，解得a＞1．
综上，a的取值范围是（，）∪（1，+∞）．
17．（2025 金山区校级三模）如图所示是函数y＝F（x）的图象，由指数函数f（x）＝ax与幂函数g（x）＝xb“拼接”而成．
（1）已知（m+4）﹣b＜（3﹣2m）﹣b，求m的取值范围；
（2）若方程存在实数解，求t的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意得，解得，
所以函数F（x），
由于函数y＝x﹣b在（0，+∞）上单调递减，且（m+4）﹣b＜（3﹣2m）﹣b，
所以，解得m，所以m的取值范围是（，）．
（2）存在实数解，所以有解，
所以的图象与y＝F（x﹣2025）的图象有交点，
因此，解得t≤﹣1或，
所以t的取值范围是．
18．（2024 广汉市校级模拟）设函数h（x）是定义在（﹣3，3）的偶函数，且当x∈[0，3）时，h（x）＝log2（3﹣x），将函数h（x）中x∈[0，3）和x∈（﹣3，0）两部分的表达式相加得到函数y＝f（x）．
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
（2）判断函数y＝f（x）的奇偶性；
（3）讨论函数y＝f（x）在定义域内的单调性，并证明．
【解答】解：（1）当x∈（﹣3，0）时，﹣x∈（0，3），则h（x）＝h（﹣x）＝log2（3+x），
所以f（x）＝log2（3﹣x）+log2（3+x），x∈（﹣3，3）．
（2）由（1）知，x∈（﹣3，3），f（﹣x）＝log2（3+x）+log2（3﹣x）＝f（x），
函数f（x）是（﹣3，3）上的偶函数．
（3）f（x）在（﹣3，0）上单调递增，在（0，3）上单调递减，证明如下：
由（1）知，x∈（﹣3，3），，
函数f（x）在（﹣3，0）上单调递增，在（0，3）上单调递减，
x1，x2∈（﹣3，0），x1＜x2，则，于是，
而函数y＝log2x在（0，+∞）上单调递增，因此，
即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在（﹣3，0）上单调递增，由偶函数的性质得f（x）在（0，3）上单调递减．
19．（2023 城关区校级模拟）已知函数．
（Ⅰ）若函数f（x）是R上的奇函数，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域是一切实数，求a的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝0，求得a＝0．……………………（2分）
又此时f（x）＝﹣x是R上的奇函数．
所以a＝0为所求．………………………………（4分）
（Ⅱ）函数f（x）的定义域是一切实数，则恒成立．
即恒成立，由于．……………………………………（6分）
故只要a≥0即可 ………………………………………………………………（7分）
（Ⅲ）由已知函数f（x）是减函数，故f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（0）＝log2（1+a），
最小值是．…………………………………（8分）
由题设（11分）
故 为所求．…………………………………………（12分）
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