2024-2025学年江苏省南京师范大学附属实验学校高一下学期期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年江苏省南京师范大学附属实验学校高一下学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
2.在中，已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
3.已知平面向量，，若向量与共线，则（ ）
A. B. 2 C. 5 D.
4.如图，已知，用，表示，则等于（ ）
A. B. C. D.
5.已知菱形的边长为2,为的中点,则 =（）
A. B. C. D. 3
6.已知ABC的三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量=(a,b),=(B,A) ,若 ,则ABC的形状是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
7.若是一组基底，向量，则称为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底下的坐标为，则向量在另一组基底下的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中,角与的顶点均为坐标原点O,始边均为x轴的非负半轴.若角的终边与单位圆交于点P(,),将OP绕原点O按逆时针方向旋转后与角的终边重合,则=( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的共轭复数为
C. 的实部与虚部之和为1 D. 在平面内的对应点位于第一象限
10.已知向量，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 向量与向量的夹角为 D. 在的投影向量是
11.下列等式正确的是（）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为虚数单位，，若，则 .
13.已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为 .
14.函数f(x)＝cos2x－6cosx＋1的值域为 .
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知复数，根据下列条件求实数的值．
(1)是实数；
(2)是纯虚数；
(3)在复平面内对应的点在第二象限．
16.(本小题12分)
已知，，且与的夹角为120°，求：
(1)；
(2)若向量与平行，求实数的值．
17.(本小题12分)
已知分别为三个内角的对边，且．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
18.(本小题12分)
已知向量，．
(1)若，求；
(2)若，求．
19.(本小题12分)
如图，已知扇形的圆心角为，半径为1，是弧上任意一点，作矩形内接于该扇形．

(1)设，试用表示矩形的面积，并指出的取值范围；
(2)点在什么位置时，矩形的面积最大？并说明理由．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】AD
10.【答案】AC
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】－8
14.【答案】
15.【答案】（1）由题意
，
若是实数，则，解得或
（2）若是纯虚数，则，解得；
（3）若在复平面内对应的点在第二象限，则，解得.

16.【答案】（1），
所以.
（2）由于向量与平行，
所以存在实数，使得，
所以，解得.

17.【答案】（1）因为，由正弦定理得，
因为，可得，所以，
若，则，不合题意，故，所以，
又因为，所以.
（2）因为的面积为，可得，可得，
又因为，所以，由余弦定理，
可得，所以，
所以的周长为.

18.【答案】解：（1）因为，所以，所以，
所以.
（2），所以，
.

19.【答案】（1）由题意，则，，

在中，，则，
于是矩形的面积
，其中；
（2）由（1），，
由于，则，
当，即当时，矩形的面积最大，最大值为，此时点是弧的中点．
因此，当点是弧的中点时，矩形的面积最大，最大值为.

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