2024-2025学年云南省曲靖市第一中学高一下学期期中测试数学试题A（含答案）

2024-2025学年云南省曲靖市第一中学高一下学期期中测试数学试题A
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=3,b=4,C=,则c的值为( )
A. 13 B. C. 19 D.
4.一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，，轴，轴，则在原图中的长为（ ）
A. B. C. 4 D. 8
5.已知向量，满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
6.若，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7.已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数，则（ ）
A. B. 的虚部为
C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限
10.已知点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 若与的夹角为锐角，则
11.已知对任意角,,+=2恒成立.设ABC的内角A,B,C满足2A+2B+2C=,ABC面积S满足1S,记a,b,c分别为角A,B,C所对的边,则下列说法正确的是( )
A. ABC= B. ABC外接圆面积的最大值为9
C. bc(b+c)的最小值为8 D. abc[8,27]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知长方体的长宽高分别为3,4,5,则该长方体的外接球的表面积是 .
13.若是关于的实系数方程的一个复数根，则 .
14.对于任意实数，定义符号，其意义为：当时，；当时，；若，函数，有4个零点，则取值范围为_____ ___.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
向量，
（1）求向量的模长；
（2）若向量，且，求实数的值.
16.(本小题12分)
如图,在ABC中,已知B=,D是边BC上一点,AD=10,AC=14,DC=6.
(1)求ADC的值;
(2)求AB的长;
(3)求BC的长.
17.(本小题12分)
如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面边长为2，高为3.圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处.
(1)求该几何体的体积；
(2)求该几何体的表面积.
18.(本小题12分)
已知向量是平面内的一组基底，且与的夹角为锐角，
(1)求证三点共线．
(2)设，若的最小值是，求锐角的值．
19.(本小题12分)
已知为坐标原点,对于函数,称向量为的相伴向量,同时称为向量的相伴函数.
(Ⅰ)记的相伴函数为,求的最大值;
(Ⅱ)已知动点满足(0,],且的相伴函数在时取得最大值,求的最小值;
(Ⅲ)已知为函数的相伴向量,在ABC中,AB=2,(),且点G为ABC的外心,求+的最大值.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】AD
10.【答案】ACD
11.【答案】BD
12.【答案】50π
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1），.
（2）
，且，
∴.

16.【答案】解：（1）在中，，，，
由余弦定理可得：；
（2）因为，，
所以，所以，
在中，，，，
由正弦定理可得；
（3）在中，，，
所以，，
在中，由正弦定理可得，
，
所以.

17.【答案】解：（1）正三棱柱的底面积为.
∴正三棱柱的体积为.
设正三角形的内切圆半径为，
∴，∴，
∴圆锥的体积为，该几何体的体积为.
（2）∵正三棱柱的表面积为，
倒圆锥的底面圆面积为，
倒圆锥的母线长为.
倒圆锥的侧面积为.
∴该几何体的表面积为.

18.【答案】解：（1）由，
得，则，
即，又有公共点，
所以三点共线.
（2）依题意，
令，函数是开口向上的二次函数，
则当时，，即，
整理得，则，所以锐角.

19.【答案】解：(Ⅰ)由题意得=)，
所以的最大值为；
(Ⅱ)由题设可得=，且(0,]，
在时取得最大值，得+=(kZ)，
则=- +2k(kZ)，
所以==+=(+)，
根据对勾函数的性质知在(0,]上单调递减，
故=，所以的最小值为；
(Ⅲ)由题意得，=，因此C=，
设ABC外接圆的半径为R，根据正弦定理可得2R==2，
故，所以||=||=||=，
又+=(-)+(-)(-)
=-+--+
=-2++ =-4AGC+2AGB+2，
又C=，所以AGB=2C=，AGB==0，
所以+=2-4AGC，
所以当AGC=时，+取得最大值，最大值为6.

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