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一轮复习：三角函数测试卷（培优卷）
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布 客观题（占比） 68.0(45.3%)
主观题（占比） 82.0(54.7%)
题量分布 客观题（占比） 13(68.4%)
主观题（占比） 6(31.6%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 8(42.1%) 40.0(26.7%)
填空题 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答题 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多项选择题 3(15.8%) 18.0(12.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (31.6%)
2 容易 (42.1%)
3 困难 (26.3%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 三角函数诱导公式二~六 5.0(3.3%) 2
2 含三角函数的复合函数的奇偶性 6.0(4.0%) 11
3 含三角函数的复合函数的周期 15.0(10.0%) 16
4 两角和与差的正弦公式 25.0(16.7%) 6,14,17
5 含三角函数的复合函数的值域与最值 55.0(36.7%) 10,16,18,19
6 图形的对称性 6.0(4.0%) 11
7 同角三角函数间的基本关系 5.0(3.3%) 1
8 含三角函数的复合函数的单调性 11.0(7.3%) 7,11
9 正弦定理 37.0(24.7%) 6,17,18
10 向量在几何中的应用 5.0(3.3%) 8
11 函数的零点与方程根的关系 6.0(4.0%) 9
12 同角三角函数基本关系的运用 30.0(20.0%) 15,19
13 余弦定理 15.0(10.0%) 17
14 运用诱导公式化简求值 13.0(8.7%) 15
15 二倍角的正弦公式 23.0(15.3%) 10,19
16 函数恒成立问题 17.0(11.3%) 19
17 二倍角的余弦公式 5.0(3.3%) 2
18 正弦函数的性质 21.0(14.0%) 9,16
19 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 28.0(18.7%) 3,4,9,10,11
20 辅助角公式 5.0(3.3%) 4
21 任意角三角函数的定义 5.0(3.3%) 5
22 三角形中的几何计算 17.0(11.3%) 18
23 解三角形 22.0(14.7%) 14,18
24 两角和与差的正切公式 10.0(6.7%) 1,13
25 简单的三角恒等变换 46.0(30.7%) 6,8,10,16,17
26 扇形的弧长与面积 5.0(3.3%) 12
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一轮复习：三角函数测试卷（培优卷）
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：，解得，
则.
故答案为：B.
【分析】由题意利用同角三角函数基本关系求得的值，再利用两角和的正切公式化简求值即可.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：由，则.
故答案为：D.
【分析】本题需要利用三角函数的降幂公式和诱导公式，将进行转化，再代入已知条件计算.
3．【答案】B
【解析】【解答】由题 ，平移后得到的函数是 ，其图象过点 ， ，因为 ， ， ，所以 函数 有一条对称轴为。
故答案为：B.
【分析】利用最小正周期公式求出的值，再利用三角型函数图象平移结合平移后的三角型函数图象过点 ，从而求出的值，再将三角型函数与对称性与正弦函数的对称性利用换元法建立联系，从而求出三角型函数 的其中一条对称轴。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：因为，
所以，先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得到的图象，再向左平移个单位，得到的图象.
故答案为：D．
【分析】利用已知条件和辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合正弦型函数的图象的伸缩变换和平移变换，从而找出正确的选项.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意，以轴的非负半轴为始边，
以所在的射线为终边的最小正角为，
由任意角的三角函数的定义可得，
的坐标为，即，
故答案为：D.
【分析】本题考查任意角三角函数的定义.根据条件先确定点的位置：所在的射线为终边的最小正角为，利用三角函数的定义可表示出的坐标为，进而求出Q点的坐标.
6．【答案】D
【解析】【解答】由及正弦定理得，
所以，得，
所以或（舍去），所以，
因为是锐角三角形，故，解得，
故，，
.
故答案为：D
【分析】本题考查利用正弦定理解三角形.先利用正弦定理进行边化角，再利用两角和与差的正弦公式进行化简可推出，再根据是锐角三角形，可列出不等式组，解不等式组可求出，利用二倍角的正弦公式化简可得，再利用基本不等式可求出取值范围.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意，则，
可得，且，
可得，
所以，，
则，，
因为，所以，
当时，则，，，则，
所以，此时，，显然函数不单调；
当时，，，，则，
所以，此时，，
满足题意，
所以的最大值为14.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件得出、，从而得出，，则，从大到小代入解析式去判断函数在上的单调性，进而得出的最大值.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴
如图所示，延长交与点，
∵是的垂心，
∴，
同理可得，∴：，
∴，
不妨设，其中，
∵，
∴，解得或，
当时，此时，则都是钝角，则，矛盾.
故，则，∴是锐角，，
于是，解得.
故选：A.
【分析】由O是垂心，结合已知条件可得：，进而可得，设，其中，根据三角形内角和为π，结合正切的和差角公式求得k的值，即可求得tanB，进而求得cosB.
9．【答案】A,D
【解析】【解答】解：由图可知，，又因为，所以，解得，
所以，又函数过点，所以，
即，又因为，所以，则，
所以，故选项A正确；
当，则，因为在上不单调，
所以在上不单调，故选项B错误；
将的图象向右平移个单位长度后得到为非奇非偶函数，故选项C错误；
令，即，即，解得，
所以在上的零点有，，，共个，故选项D正确.
故选：AD
【分析】利用三角函数图象的性质和特点求出和，再由函数过点求出，即可得到解析式，最后根据正弦函数的性质一一判断即可.
10．【答案】A,B,C
【解析】【解答】解：函数
，
A、函数的最小正周期为，故A正确；
B、的图象向左平移个单位得，故B正确；
C、因为，所以是函数图象的一个对称中心，故C正确；
D、当时，，，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式结合辅助角公式化简函数的解析式，根据周期公式求解即可判断A；利用三角函数图象变换即可判断B；利用正弦型函数的对称性即可判断C；由可求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质即可判断D.
11．【答案】C,D
【解析】【解答】解：根据图像的最大值为，且，故，
，故或（舍），
因为，故，
即，，
选项A：因为，向左平移得到，所以，选项A正确；
对选项B：当时，，故关于点对称，所以，选项B正确；
对选项C：因为，，，所以，选项C错误；
对选项D：为偶函数，则，，
解得，，当时，有最小值为，所以，选项D错误.
故答案为：CD.
【分析】根据函数图象最高点与平衡位置的关系以及五点对应法，从而确定A，的值，进而得到函数和的解析式，再根据余弦型函数的图象平移变换，从而判断出选项A正确，利用代入验证法和图象的对称性，从而判断出选项B正确，举反例和函数的单调性得到选项C错误，利用偶函数的定义和计算最小值的方法得出θ的最小值，从而判断出选项D错误，进而得到答案.
12．【答案】
【解析】【解答】解：设弧长为，半径为，圆心角为，
由，可得，
则，
所以扇形的周长为.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和扇形的面积公式得出圆的半径长，再利用弧长公式以及扇形周长公式，从而得出所求扇形的周长.
13．【答案】
【解析】【解答】解：因为，，
所以.
故答案为：
【分析】观察可知，利用两角差的正切公式即可求得的值 .
14．【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，连接，延长交于，
因为为重心，所以为AB中点，
因为，所以，所以，
由重心的性质得，，即，
由余弦定理得，，，
因为，所以，
所以，
又因为，所以，
所以
.
故答案为：.
【分析】连接，延长交于，已知条件结合重心的性质可知，由双余弦定理，再根据，可知，由，可知，进而可知，再结合余弦定理，即可求出 实数的值 .
15．【答案】解：（1）利用诱导公式知；
（2）角的终边经过点，
则，；
（3）由题得，所以.
.
.
【解析】【分析】（1）根据三角函数的诱导公式化简即可；
（2）根据三角函数的定义即可求解；
（3）先根据条件得出，化简得原式为，再代入的值即得解.
16．【答案】（1）解：函数
则函数的最小周期为；
当，，即，，函数取到最大值为；
（2）解：由（1）得函数，
当时，，
当，即，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减，
综上可知，函数在单调递增，在单调递减．
【解析】【分析】（1）利用正弦的二倍角公式，结合两角差的正弦公式化简求得，利用整体法求函数的周期和最大值即可；
（2）利用正弦函数的单调性求解即可.
（1）
故函数的周期为，
当，，即，，函数取到最大值为.
（2）由（1）得
当时，，
从而当，即，单调递增；
当，即时，单调递减．
综上可知，在单调递增，在单调递减．
17．【答案】（1）解：由，可得，则，即；
（2）解： 若，， 由余弦定理可得，，
则，即，即，
当且仅当时等号成立，则 的最大值为4；
（3）解：因为，，所以，所以，，
则
，
又因为，所以，则.
【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式结合同角三角函数的商式求解即可；
（2）利用余弦定理建立方程，根据完全平方公式结合基本不等式求解即可；
（3）由锐角三角形的性质，可得角的取值，利用正弦定理，整理三角函数的解析式，并由三角函数的恒等式求解即可.
（1），，，；
（2）由余弦定理可得，，
，
的最大值为4，当且仅当时取到；
（3），，，.
，
，
，，.
18．【答案】（1）解：，由正弦定理可得：，
，
，
，
因为，所以，
又因为，所以；
（2）解|：由（1），由正弦定理可得：，，
则
，
因为为锐角三角形，所以，所以，则，
则，即的周长范围为；
（3）解：由，可得，即，
由余弦定理得，则，
，即，解得，
故.
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理结合三角恒等变换求出，即可求得；
（2）由（1）的结论，利用正弦定理将周长的范围转化为正弦型函数的值域问题计算即可；
（3）由三角形内切圆的性质可得，结合余弦定理计算即可.
（1）由，可得，
，
，
，又，则，
，又，
.
（2）由（1），由正弦定理得，，
，
因为为锐角三角形，所以，
，则，
，
所以的周长范围为.
（3）由，
，即，
由余弦定理得，得，
，即，
解得或（舍去），
所以.
19．【答案】（1）解：函数，
若，则，
即，解得，
；
（2）解：，
，
，
当时，；
（3）解：存在，使得关于的不等式对任意的恒成立，
因为，
所以恒成立，
令，则，
则在上恒成立，
即，其中，即，解得，故的取值范围为.
【解析】【分析】（1）由题意，可得，，利用立方和公式化简求即可；
（2）根据的解析式，结合三角变换和三角函数的有界性求出的范围，并猜想的范围即可；
（3）由，可将问题转化为恒成立，换元令，，可得在上恒成立，运算得解.
（1）由，得，
又，得，
.
（2），
，
，
所以当时，.
（3）存在，使得关于的不等式对任意的恒成立，
，
恒成立，
令，则，
则在上恒成立，
即，其中，
，得.
所以的取值范围为.
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一轮复习：三角函数测试卷（培优卷）
一、选择题(共8题；共40分)
1．已知，则（ ）
A． B．3 C．1 D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 （ ， ）的最小正周期是 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度后所得的函数图象过点 ，则函数 （ ）
A．有一个对称中心
B．有一条对称轴
C．在区间 上单调递减
D．在区间 上单调递增
4．要得到的图象，只需将的图象（ ）
A．所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个单位
B．所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个单位
C．所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位
D．所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位
5．点从出发，沿着单位圆的边界顺时针运动弧长到达点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数（，），，，且在上单调，则的最大值为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．18
8．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则( )
A． B． C． D．
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在上单调递增
C．的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数
D．在上的零点有4个
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．的图象向左平移个单位后可以得到函数的图象
C．是函数图象的一个对称中心
D．函数在区间的最小值为
11．已知函数，若函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上的单调递减区间为
D．若函数为偶函数，则θ的最小值为
三、填空题(共3题；共15分)
12．已知扇形的面积为9cm2，其圆心角弧度数为2rad，则其周长为 cm.
13．已知，，则 .
14．设为的重心，满足.若，则实数的值为 .
四、解答题(共5题；共77分)
15．（1）化简：；
（2）已知角的终边经过点，求的值；
（3）已知角终边上一点，化简并求值：.
16．已知函数
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）讨论函数在上的单调性．
17．设的三个内角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值；
（3）若为锐角三角形，且，求的取值范围.
18．设的内角A，B，C所对的边分别为b，c，且满足，．
（1）求A；
（2）若为锐角三角形，求周长的取值范围；
（3）若的内切圆半径，求的面积S.
19．已知函数
（1）若求的值；
（2）试求的取值范围，猜想当时的取值范围不需写出证明过程；
（3）存在使得关于x的不等式对任意的恒成立，求a的取值范围.
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