新高考高三数学对数与对数函数一轮复习课件(共67张PPT)

(共67张PPT)
基础知识及典例
新高考数学一轮复习
对数与对数函数
01
考情透视·目标导航
考点要求 考题统计 考情分析
（1）对数的概念及运算性质 （2）对数函数的图象 （3）对数函数的性质 2024年II卷第8题，5分 2024年北京卷第7题，4分 2024年天津卷第5题，5分 2023年北京卷第11题，5分 2023年I卷第10题，5分 2022年天津卷第6题，5分 2022年浙江卷第7题，5分 2022年I卷I卷第7题，5分 从近五年的高考情况来看，对数运算与对数函数是高考的一个重点也是一个难点，常与二次函数、幂函数、指数函数、三角函数综合，考查数值大小的比较和函数方程问题.在利用对数函数的图像与性质应用上，体现了逻辑推理与数学运算素养.
复习目标： （1）理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. （2）通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点. （3）了解指数函数与对数函数(，且)互为反函数．
02
知识导图·思维引航
02
03
考点突破·题型探究
1.对数的定义
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作
，其中 叫做对数的底数， 叫做真数.
以10为底的对数叫做常用对数，记作 .
以e为底的对数叫做自然对数，记作 .
x＝logaN
a
N
lg N
ln N
知识梳理·基础回归
知识点1：对数式的运算
2.对数的性质与运算性质
①；；其中且；
②（其中且，）；
③对数换底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
知识梳理·基础回归
（1）对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
（2）对数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 __________
(0，＋∞)
知识梳理·基础回归
知识点2：对数函数的定义及图像
a>1 0性质 过定点 ，即x＝1时，y＝0
当x>1时， ； 当01时， ；
当0函数 函数
(1,0)
y>0
y<0
y<0
y>0
增
减
值域 ____
R
知识梳理·基础回归
（3）反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝ (a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称.
logax
y＝x
知识梳理·基础回归
1、对数函数常用技巧
在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；
当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)
解题方法总结
知识梳理·基础回归
【典例1-1】已知，则 ．（用含的式子表示）
【答案】
【解析】因为，所以，又，
所以
．
故答案为：
题型一：对数式的运算
【典例1-2】（2024·重庆·三模）若正实数，满足，，则 ．
【答案】100
【解析】由于，整理得，①，
又，②，
所以①+②得：；即
对于取常用对数可得，，
故．
【方法技巧】 对数的有关运算问题要注意公式的正用、逆用及变形等应用．
题型一：对数式的运算
【变式1-1】化简下列各式：
（1）；
（2）．
【解析】（1）原式．
（2）原式
．
题型一：对数式的运算
【变式1-2】已知，，则 ．（用表示）
【答案】
【解析】因为，所以，
又，所以
．
故答案为：
题型一：对数式的运算
【典例2-1】已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（　　）
A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c
C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c
【答案】A
【解析】由已知可得b＞a＞1＞d＞c，则a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故A正确，D错误；又a＋d与b＋c的大小不确定，故B，C错误．故选A．
题型二：对数函数的图象及应用
【典例2-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）设方程和方程的根分别为，设函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由得，由得，
所以令，这3个函数图象情况如下图所示：
设交于点，交于点，
由于的图象关于直线对称，
而的交点为，所以，
题型二：对数函数的图象及应用
【典例2-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）设方程和方程的根分别为，设函数，则（ ）
A． B．
C． D．
注意到函数的对称轴为直线，
即，且二次函数的图象是开口向上的抛物线方程，
从而．故选：B．
【方法技巧】
对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等变换得到，当时，对数函数的图像呈上升趋势；当时，对数函数的图像呈下降趋势．
题型二：对数函数的图象及应用
【变式2-1】（多选题）（2024·河南信阳·模拟预测）函数的大致图象不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】函数的定义域为，
因为，所以函数为偶函数，
当时，为减函数，且过定点，
故函数的大致图象不可能为BCD选项．
故选：BCD．
题型二：对数函数的图象及应用
【变式2-2】（2024·高三·江西南昌·开学考试）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出函数和的图象以及直线的图象，如图，
由函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，
结合图象可知，A错误；
由题意知，也即，
由于函数和互为反函数，
二者图象关于直线对称，而为和的图象与直线的交点，
题型二：对数函数的图象及应用
【变式2-2】（2024·高三·江西南昌·开学考试）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
故关于对称，故，B错误；
由，故，C错误；
因为，故，
结合，即得，D正确，
故选：D
题型二：对数函数的图象及应用
【典例3-1】函数 （且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为对数函数（且）恒过定点，
所以函数 （且）的图象必过定点．
故选：C．
题型三：对数函数过定点问题
【典例3-2】函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C． D．
【答案】B
【解析】当时，，
函数过定点，得，所以，
因为，，
所以，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，的最小值为8．故选：B
题型三：对数函数过定点问题
【方法技巧】
恒过定点．
【变式3-1】函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A． B．3 C．7 D．4
【答案】A
【解析】对于函数，
当时，，所以，则，
所以，
当且仅当时等号成立．故选：A
题型三：对数函数过定点问题
【变式3-2】已知直线经过函数图象过的定点（其中均大于0），则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】因为，
所以函数图象过的定点为，
将其代入直线方程得，即，
又，
所以，
当且仅当即时，等号成立，故有最小值4．
故选：C．
题型三：对数函数过定点问题
【典例4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设，，，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，
，
则，故选：C．
题型四：比较对数式的大小
【典例4-2】已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，∴，
因为，∴，
∴．故选：D．
题型四：比较对数式的大小
【方法技巧】
比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法．
【变式4-1】（2024·天津·二模）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
，
，，．故选：C．
题型四：比较对数式的大小
【变式4-2】（2024·宁夏银川·三模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知，，，因为在定义域内单调递增，
所以，即，
因为在定义域内单调递减，所以，
即，
因为在上单调递减，所以，即，
综上：．故选：D
题型四：比较对数式的大小
【典例5-1】方程的解是 ．
【答案】
【解析】由方程，可得，
，解得．
故答案为：
题型五：解对数方程或不等式
【典例5-2】不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】设函数，
则应有，解得，所以，定义域为．
又，
所以，由，可得．
因为以及均在上单调递增，
所以，在上单调递增，所以，．
综上所述，．所以，不等式的解集为．
题型五：解对数方程或不等式
【典例5-2】不等式的解集为 ．
【方法技巧】
（1）对于形如的形式，利用转化；对于形如的形式，可借助换元法转化为二次方程求解．
（2）解对数不等式，也是利用对数函数的单调性将不等式转化为比较真数之间的不等式，再解这个不等式即可．
题型五：解对数方程或不等式
【变式5-1】不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】设，其定义域为，
和在均为增函数，
则在为增函数，且，
，即，，
不等式的解集是．
故答案为：．
题型五：解对数方程或不等式
【变式5-2】方程：的解是 ．
【答案】
【解析】因为，即，
所以，
即，解得，则，或无实根．
故答案为：
题型五：解对数方程或不等式
【变式5-3】不等式的解集是 ．
【答案】或
【解析】原不等式可化为，即，
∴，于是，亦即或，
∴或，故解集为或
故答案为：或
题型五：解对数方程或不等式
【典例6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】要使函数在区间上有最大值或最小值，
由于开口向上，
故需函数在区间上有最小值，且．
该函数图像的对称轴为直线，所以，解得，
所以，且，即实数的取值范围为．故选：B．
题型六：对数函数的最值与值域问题
【典例6-2】已知函数的最大值为2，则 ．
【答案】6
【解析】因为函数由
与复合而成，
而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，
函数取得最大值，
由二次函数的性质易知当时，，此时，
所以，解得．
【方法技巧】
对数函数的最值与值域问题通常利用对数函数的单调性解决．
题型六：对数函数的最值与值域问题
【变式6-1】若函数（且）的最小值为－4，则实数a的值为 ．
【答案】
【解析】由题意知，，解得，
因为，
因为，则，又因为的最小值为－4，
则，所以，
即，得，
因为，所以．
题型六：对数函数的最值与值域问题
【变式6-2】已知函数 （且）．
（1）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；
（2）是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，且最大值为？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）当时，函数恒有意义，
所以在上恒成立，
即在上恒成立．
令，，则，
所以在上单调递减，所以，所以．
又且，所以．
题型六：对数函数的最值与值域问题
【变式6-2】已知函数 （且）．
（1）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；
（2）是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，且最大值为？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由．
【解析】（2）函数在区间上有意义，则在上恒成立．
由（1）同理可知，，
又函数在区间上为减函数，并且最大值为．
当时，为减函数，则且在上单调递增，
所以，即，故不存在这样的实数；
当时，为增函数，则且在上单调递减，
所以，即，故不存在这样的实数．
综上，不存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，且最大值为．
题型六：对数函数的最值与值域问题
【典例7-1】已知函数，若对任意都有，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为若对任意，都有，
所以对任意，都有，
令，
则在上单调递增．
首先．
题型七：对数函数中的恒成立问题
【典例7-1】已知函数，若对任意都有，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
因为在上递增，所以在上递增．
当时，显然符合题意；
当时，令，
则在上递增，所以，则．
综上所述，，故D正确．
故选：D．
题型七：对数函数中的恒成立问题
【典例7-2】若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】变形为：，
即在上恒成立，
若，此时在上单调递减，
，
题型七：对数函数中的恒成立问题
【典例7-2】若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
而当时，，显然不合题意；
当时，画出两个函数的图像，
要想满足在上恒成立，
只需，即，
解得：，综上：实数a的取值范围是．故选：C
题型七：对数函数中的恒成立问题
【典例7-2】若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
已知不等式能恒成立求参数值（取值范围）问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再利用数形结合的方法来解决．
题型七：对数函数中的恒成立问题
【变式7-1】已知函数，且，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】根据题意知，
因为，其图象开口向下，对称轴为，
所以当时，其最小值，
当时，，在上的最小值为，
则由得，
当时，，在上的最小值为，则时，无解，
故实数的取值范围为．
题型七：对数函数中的恒成立问题
【变式7-2】已知且，当时，，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】当时，．
当时，成立．
当时，若成立，是减函数，是增函数，则，解得，所以．
综上，的取值范围为．
题型七：对数函数中的恒成立问题
【典例8-1】（2024·四川南充·模拟预测）函数的零点为，
函数的零点为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，，
，
令，则，
又因为与互为反函数，
所以、分别与的的交点关于对称，
所以，即：，
又因为，，
所以由零点存在性定理可知，，
题型八：对数函数的综合问题
【典例8-1】（2024·四川南充·模拟预测）函数的零点为，
函数的零点为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
又因为，即，
所以，
对于A项，因为，，
所以，故A项错误；
对于B项，因为，所以，
又因为，，
所以，故B项正确；
题型八：对数函数的综合问题
【典例8-1】（2024·四川南充·模拟预测）函数的零点为，
函数的零点为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
对于C项，因为，，
所以，故C项错误；
对于D项，因为， ，，
所以，故D项错误．故选：B．
题型八：对数函数的综合问题
【典例8-2】（2024·云南·二模）已知函数的定义域为，且
若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，，
由复合函数的单调性可知在上单调递减，
所以；
当时，，
因为在上单调递增，为增函数，
所以在上单调递增，
题型八：对数函数的综合问题
【典例8-2】（2024·云南·二模）已知函数的定义域为，且
若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
又在上为增函数，所以在单调递增，
所以．
综上，在上恒成立，当且仅当时取等号．
所以不等式，
解得且且，即原不等式的解集为．
故选：D
题型八：对数函数的综合问题
【典例8-2】（2024·云南·二模）已知函数的定义域为，且
若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
对数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是对数函数还是内层是对数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解．
题型八：对数函数的综合问题
【变式8-1】设定义域为R的函数，若关于x的方程有8个不同的实根，到实数b的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题设，的图象如图所示：
令，则化为
，∴要使原方程有8个不同实根，
则有2个不同的实根且两根、，
题型八：对数函数的综合问题
【变式8-1】设定义域为R的函数，若关于x的方程有8个不同的实根，到实数b的取值范围是 ．
∴，可得，
又在上递减，在上递增，且，
即，综上，．
题型八：对数函数的综合问题
04
真题练习·命题洞见
05
课本典例·高考素材
1．我们可以把看作每天的"进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是．利用计算工具计算并回答下列问题：
（1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？
（2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？
【解析】（1）．
∴一年后“进步”的大约是“落后”的倍
（2）由得,
∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍．
由得．
∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍．
由得解得
∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍．
3．已知， ， ，求实数a的取值范围．
【解析】解：，
当时成立；
②当时，解得．
又，
∴a的取值范围是．
06
易错分析·答题模板
答题模板：对数型复合函数的单调问题
1、模板解决思路
判断复合函数单调性的原则是“同增异减”．
2、模板解决步骤
第一步：求函数的定义域．
第二步：将函数分解成内层函数和外层函数．
第三步：判断内层函数和外层函数的单调性．
第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性．
【典例1】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
B
A
感谢观看
THANK YOU