幂函数 错题归纳 专题练 2026年高考数学一轮复习备考

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幂函数 错题归纳 专题练
2026年高考数学一轮复习备考
类型梳理
针对性训练
一、单选题
1．若幂函数是上的偶函数，且在区间上单调递减，若，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．若幂函数的图象过点，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
4．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知幂函数，则下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减
C． D．
6．已知幂函数在上单调递增，则m的值为（ ）
A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3
7．已知幂函数的图像经过点，则（ ）
A．的定义域为 B．为奇函数
C．为减函数 D．的值域为
8．已知函数，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．幂函数图象过点，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．定义域为 B．是偶函数
C．是减函数 D．是奇函数
二、多选题
12．下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数过点，则
B．函数表示幂函数
C．若幂函数在单调递增，则
D．幂函数的图象都过点和
13．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
14．已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
15．已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 ．
16．已知．若幂函数为奇函数，且在上单调递减，则 ．
17．已知，则实数的取值范围是 ．
18．已知，设幂函数的图象关于原点中心对称，且与x轴及y轴均无交点，则k的值为 ．
四、解答题
19．已知函数，（且）
(1)若，求方程的解；
(2)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B A C A D A A D
题号 11 12 13 14
答案 B AC AC BC
1．B
【分析】运用幂函数知识，结合偶函数和单调性性质，转化比较大小即可.
【详解】为偶函数，所以，又因为幂函数在上单调递减，
所以，即．
故选：B.
2．D
【分析】由幂函数与指数函数的单调性比较指数幂的大小即可.
【详解】对于，由于在单调递增，所以，
对于，由于单调递减，故.
所以.
故选：D
3．B
【分析】设，根据幂函数的图象过点求出的值，即可求出的定义域，再根据抽象函数定义域的求法即可得解.
【详解】设，依题意可得，解得，所以，
所以的定义域为，
对于，有，解得，
即函数的定义域是.
故选：B
4．A
【分析】根据幂函数的性质得到，则，其对称轴方程为，根据单调性得到不等式，求出答案.
【详解】因为幂函数是上的偶函数，
则，解得或，
当时，，该函数是奇函数，不合乎题意；
当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意，所以，
则，其对称轴方程为，
因为在区间上单调递减，则.
故选：A.
5．C
【分析】由幂函数的定义求出，由函数奇偶性得到A错误，求出定义域，求导得到函数的单调性，从而判断BCD.
【详解】因为是幂函数，根据幂函数的定义可知，
当时，，等式成立，
因为在R上单调递增，故为唯一解.
此时，其定义域为.
A选项，，所以是偶函数，A选项错误.
B选项，对求导，可得.
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
所以在其定义域上不单调递减的，B错误；
C选项，，在上单调递减.
因为，所以，即，C选项正确.
D选项，，在上单调递增，，
所以，即，D错误.
故选：C.
6．A
【分析】根据幂函数定义和函数单调性列出关于的方程和不等式即可求解.
【详解】由题意可得.
故选：A
7．D
【分析】根据图象过点求出函数解析式，再由解析式判断定义域、单调性、奇偶性、值域得解.
【详解】设，
由函数的图像经过点，则，解得，
所以，故函数的定义域为，故A错误；
由定义域关于原点对称及可知函数为偶函数，故B错误；
由在上无单调性，故C错误；
因为，故的值域为，故D正确.
故选：D
8．A
【分析】令，原不等式可转化为，根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可求解.
【详解】令，则，
所以不等式可化为，
即，因为是奇函数且在上单调递增，
所以，则，
所以在上恒成立，则，
即实数的取值范围是.
故选：A
9．A
【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案.
【详解】设幂函数为，则，故，，
则的定义域为，
故满足，解得.
故选：A
10．D
【分析】将指数式化为对数式，然后判断的范围，结合对数函数、指数函数的单调性判断即可.
【详解】，，
，，，
，所以，
对于A，在单调递增， ，故A错误；
对于B， 在上单调递减， ，故B错误；
对于C， 在单调递减， ，故C错误；
对于D，在单调递增， ,
又在单调递减， ,
，故D正确.
故选：D
11．B
【分析】根据题意求得.进而可得的单调性和奇偶性，进而逐项分析判断.
【详解】设，
代入点，可得，解得，
所以.
对于A：可知的定义域为，故A错误；
对于BD：因为，可知是偶函数，故B正确，D错误；
对于C：由偶函数对称性可知在定义域内不单调，故C错误；
故选：B.
12．AC
【分析】对于A，利用待定系数法求解判断，对于B，根据幂函数的定义分析判断，对于C，根据幂函数的性质分析判断，对于D，举例判断即可.
【详解】对于A，设幂函数为，则，所以，所以A正确，
对于B，因为的系数为2，所以函数不是幂函数，所以B错误，
对于C，因为幂函数在单调递增，
所以，解得，所以C正确，
对于D，因为幂函数的图象不过，所以D错误.
故选：AC
13．AC
【分析】利用的单调性判断A；利用的单调性判断B；利用重要不等式判断C；举出反例判断D.
【详解】选项A，函数在R上单调递增，又，所以，故A正确；
选项B，在R上单调递减，又，所以，故B错误；
选项C，，故C正确；
选项D，取时，得，故D错误．
故选：AC.
14．BC
【分析】设，根据幂函数所过的点求出的解析式，设，，由幂函数的性质可判断与的单调性，由单调性比较大小得到正确答案即可.
【详解】因为是幂函数，可设，
因为幂函数的图象经过点，
所以，即，解得，所以，定义域为，
设，定义域为，因为，
所以由幂函数性质得在上单调递增，
若，则有，即，故A错误，B正确；
设，定义域为，
因为，所以由幂函数性质得在上单调递减，
若，则有，即，故C正确，D错误.
故选：BC
15．4
【分析】根据函数为幂函数及函数为偶函数，求出，从而代入求值即可.
【详解】由题意得，解得或1，
当时，为奇函数，不合要求，
当时，为偶函数，满足要求，
故.
故答案为：4
16．
【分析】由幂函数为奇函数，且在上单调递减，可知是奇数，且，由此可求出的值.
【详解】由为奇函数，知取．
又在上单调递减，，故．
故答案为：
17．
【分析】根据函数的定义域、单调性列不等式组，解不等式组即可得解.
【详解】函数的定义域为，
且为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，
所以，等价于，
所以，
即
即且，
故实数a的取值范围是，
故答案为：.
18．1或3或5
【分析】由题意，令求出k的范围，再根据，以及幂函数的图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，由此求出k的值．
【详解】由题意，令，解得，因为，所以；
当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意；
当时，，幂函数为，图象关于y轴成轴对称，不关于原点对称，不满足题意；
当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意；
当k＝4时，，幂函数为，图象关于y轴成轴对称，不关于原点对称，不满足题意；
当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意；
综上，k的值为1或3或5．
故答案为：1或3或5．
19．(1)
(2)
【分析】（1）先由求出幂函数解析式，再利用换元法，结合一元二次方程和指数与对数函数的关系求解即可；
（2）由幂函数的单调性得到关于的不等式再分离参数，结合基本不等式求解即可.
【详解】（1）即解得，于是 ，
方程即为，
令，则有即，
求得（舍负） ，
所以方程的解为 .
（2）由已知得，
整理得 ，
因为，所以 ，
从而对任意恒成立，
因为（当且仅当取等号），
所以，
即实数的最大值为.
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