中小学教育资源及组卷应用平台
一轮复习——三角函数测试卷（培优卷）
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布 客观题（占比） 58.0(38.7%)
主观题（占比） 92.0(61.3%)
题量分布 客观题（占比） 11(57.9%)
主观题（占比） 8(42.1%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 8(42.1%) 40.0(26.7%)
填空题 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答题 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多项选择题 3(15.8%) 18.0(12.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (26.3%)
2 容易 (42.1%)
3 困难 (31.6%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 三角函数诱导公式二~六 5.0(3.3%) 2
2 含三角函数的复合函数的周期 11.0(7.3%) 11,14
3 含三角函数的复合函数的值域与最值 26.0(17.3%) 6,11,17
4 正弦定理的应用 45.0(30.0%) 15,16,18
5 同角三角函数间的基本关系 11.0(7.3%) 9,13
6 含三角函数的复合函数的单调性 20.0(13.3%) 6,17
7 函数的最大（小）值 6.0(4.0%) 9
8 正弦定理 22.0(14.7%) 13,19
9 两角和与差的余弦公式 15.0(10.0%) 16
10 利用三角函数的单调性比较大小 5.0(3.3%) 5
11 数列的概念及简单表示法 5.0(3.3%) 14
12 函数的零点与方程根的关系 16.0(10.7%) 4,8,11
13 同角三角函数基本关系的运用 5.0(3.3%) 3
14 余弦定理 22.0(14.7%) 13,19
15 平面向量共线（平行）的坐标表示 15.0(10.0%) 16
16 函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质 16.0(10.7%) 4,10,12
17 函数的零点 5.0(3.3%) 14
18 函数的单调性及单调区间 5.0(3.3%) 7
19 函数单调性的性质 6.0(4.0%) 9
20 二倍角的正弦公式 6.0(4.0%) 9
21 利用对数函数的单调性比较大小 5.0(3.3%) 5
22 函数恒成立问题 15.0(10.0%) 17
23 正弦函数的性质 5.0(3.3%) 8
24 平面向量的数量积运算 5.0(3.3%) 3
25 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 10.0(6.7%) 6,7
26 任意角三角函数的定义 5.0(3.3%) 1
27 函数的奇偶性 5.0(3.3%) 2
28 三角形中的几何计算 54.0(36.0%) 13,16,18,19
29 解三角形 5.0(3.3%) 13
30 余弦定理的应用 28.0(18.7%) 15,16
31 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 21.0(14.0%) 10,17
32 含三角函数的复合函数的对称性 6.0(4.0%) 11
33 简单的三角恒等变换 47.0(31.3%) 15,18,19
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
一轮复习——三角函数测试卷（培优卷）
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得，
因为，所以，
故选：B.
【分析】根据三角函数的定义可求得，进而，即可求得的值.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
所以函数是偶函数.
故选：A.
【分析】先利用诱导公式化简函数可得，进而再结合诱导公式和函数奇偶性的定义即可得出结论.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：由，可得，
则.
故答案为：B.
【分析】由，可得，结合定义以及同角三角函数式求解即可.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：画出函数和在区间上的图象，如图所示：
由图可知， 函数与的图象共有9个交点.
故答案为：D．
【分析】画出函数和在区间上的图象，数形结合求解即可．
5．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得，，所以，
又所以，所以最小；
而由三角函数的基本性质，当时，，
所以，则；所以，
故答案为：D.
【分析】先利用对数函数、三角函数的性质判断a、b、c的正负，再通过作商法以及三角函数的重要不等式（当时，）比较b与c的大小，从而确定a、b、c的大小关系.
6．【答案】C
【解析】【解答】解： 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数，
A、 不是奇函数，故A错误；
B、不关于直线对称，故B错误；
C、当时，，则，故C正确；
D、当时，，因为在上不单调，
所以在上不单调，故D错误．
故答案为：C.
【分析】根据三角函数图象的平移变换求得函数的解析式，再根据奇函数的性质即可判断A；利用代入法求解即可判断BCD.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：已知函数 ，其中 ， ，其图像关于直线 对称，对满足 的 ， ，有 ，∴ .
再根据其图像关于直线 对称，可得 ， .
∴ ，∴ .
将函数 的图像向左平移 个单位长度得到函数 的图像.令 ，求得 ，
则函数 的单调递减区间是 ， ，
故答案为：B.
【分析】根据已知得到函数 两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得 的值，结合其对称轴，求得 的值，进而求得 解析式.根据图像变换的知识求得 的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得 的单调递减区间.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：函数，
因为函数图象的对称轴方程为，
当时，可得；当时，可得，
即两个相邻的最高点与最低点间的距离为，即，则，可得，
因为的图象关于直线对称，所以，
即，解得，
则函数，
函数的零点个数等价于方程实根的个数，
方程在内实根的个数，函数在区间的图象，如图所示：
由图可知：当或时，方程在内实根的个数为1；
当时，方程在内实根的个数为2；
当时，方程在内实根的个数为3，其中在内实根的个数为2，
因为是周期为的函数，所以当时，在，内方程实根的个数均为2，
因为在内恰有2023个零点，且2023为奇数，
所以，不合题意，
当时，；当时，；
故满足条件的有序实数对只有3对.
故答案为：B.
【分析】由据题意，结合辅助角公式化简求得函数，把函数的零点个数转化为方程实根的个数，结合方程在内实根的个数，分类讨论求解即可.
9．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：函数的定义域为，则，
因为
，
A、因为，，所以函数为偶函数，故A正确；
B、函数的最小正周期为，故B正确；
C、因为，所以没有最大值，故C错误；
D、当时，函数取最小值，，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先求定义域，再利用正弦的二倍角公式、同角三角函数基本关系化简，逐项分析判断即可.
10．【答案】B,C
【解析】【解答】解：A、因为是边长为1的等边三角形，所以的最小正周期为2，所以，解得，
易得，所以，因为，所以，，，
由五点作图法可得：，即，所以；
A、因为，所以，故A错误；
B、由A可得，则，故直线是图象的一条对称轴，故B正确；
C、令，得，则单调递减区间为，故C正确；
D、令，得，
则的单调递增区间为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据图象求得，再利用正弦函数的图象与性质逐项分析判断即可.
11．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
因为，所以为偶函数，
当时，，
则
当时，，
当时，，
所以，函数的图象如图所示：
由可知，在内，，
当时，，
当，且时，，
当或，时，，
因为，所以为偶函数，
则函数的图象如图所示：
由函数的图象得到不是周期函数，故选项正确；
因为函数的值域是，故选项正确；
由，
所以函数的图象不关于对称，故选项不正确；
对于方程，
当时，方程有一个实数根；
当时，，此时，方程没有实数根；
当时，，此时，方程没有实数根，
所以方程只有一个实数根，故正确.
故答案为：.
【分析】利用偶函数的定义和偶函数的图象的对称性，再结合已知条件和周期函数的定义，则判断出选项A；利用函数的图象得出函数的值域，则判断出选项B；利用已知条件和函数的图象的对称性，则判断出选项C；利用分类讨论的方法和方程求解的方法，则判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
12．【答案】（答案不唯一）
【解析】【解答】解：因为函数的周期为，所以，
又因为，所以，即函数，
令，所以，当时，，
故函数图象的一条对称为.
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据函数周期为求出，即可求函数的解析式，再整体代入求其对称轴即可.
13．【答案】
【解析】【解答】解：若，由余弦定理可得，解得，
，由余弦定理可得，
整理可得，
因为，所以，
化简可得，即，，
则的面积.
故答案为：.
【分析】由题意，利用余弦定理化简求得与的值，根据同角三角函数以及三角形面积公式求解即可.
14．【答案】（答案不唯一）
【解析】【解答】由题意得，
，
∵，
∴，
，
令，即，
，
对取特殊值即可，取，得；取，得（答案不唯一）．
故答案为：
【分析】由题意得，进而得出正弦型函数的最小正周期，再结合和正弦型函数的最小正周期公式得出的值，从而得出正弦型函数的解析式，再结合函数的零点的定义和特殊值法得出 可以的值。
15．【答案】（1）解：∵，则，
∴.
（2）解：由（1）可得，由正弦定理可得，
若选条件①：由余弦定理，即，
注意到，解得，则，
由三角形的性质可知此时存在且唯一确定，
∵，则，
可得，
∴的面积.
若选条件②：∵，可得，则有：
若为锐角，则，
由余弦定理，即，
整理得：，且，解得，则；
若为钝角，则，
由余弦定理，即，
整理得：，且，解得，则；
综上所述：此时存在但不唯一确定，不合题意.
若条件③：由题意可得：，即，
解得，则，
由三角形的性质可知此时存在且唯一确定，
由余弦定理可得，
则，可得，
∴的面积.
【解析】【分析】(1)根据结合三角恒等变换分析求解；
(2)由(1)结合正弦定理得 ， 选条件①：利用余定理求得 ，， 进而利用三角形面积公式求解；
选条件②：分C为锐角和C为钝角过论，利用余弦定理求出，，再结合题意分析判断；
选条件③：根据题意求得，，利用余弦定理结合面积公式运算求解.
16．【答案】（1）解：因为，所以，
由正弦定理得，即，
整理得，
由余弦定理可知，
又因为，所以.
（2）解：因为，所以，所以，
所以，即，所以，
因为的外接圆半径，
所以由正弦定理可得，所以，
所以．
【解析】【分析】（1）结合题意表示出可得，利用正弦定理将角化边整理可得，再利用余弦定理可求得cosA的值，进而求得A的值即可；
（2）结合第（1）问可得，进而利用已知条件和两角和的余弦公式可得，利用正弦定理化简得，再利用三角形的面积公式计算求出的面积即可.
（1）由已知，即，
由正弦定理得，即，
整理得，即，
又，故；
（2）因为，所以，则，
即，又，所以．
因为的外接圆半径，
所以由正弦定理可得，所以，
所以．
17．【答案】（1）解：由函数图象可知，，
则，
因为，所以，
由，
得，
则，
因为，所以，
所以．
（2）解：由，
得，
所以的单调递减区间为．
（3）解：因为不等式在上恒成立，
所以，
又因为，
所以，
当时，，
则，
所以m的取值范围为．
【解析】【分析】（1）根据函数图象的最高点的纵坐标确定A的值，再利用特殊点的坐标得出的值，从而得出函数的解析式.
（2）根据换元法和正弦函数的单调性，从而得出正弦型函数的单调性，则得出函数的单调递减区间.
（3）根据x的取值范围结合正弦型函数求最值的方法得出函数在的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数m的取值范围.
（1）由函数图象可知，，
则，因为，所以．
由，得，
即，
因为，所以，所以．
（2）由，得，
所以的单调递减区间为．
（3）因为不等式在上恒成立，所以，
因为，所以，
当时，，
则，即m的取值范围为．
18．【答案】（1）因为，
，
两式相加得，得证.
（2）当时，，满足.
令，，故无最大值，
因为
，
，
则，
，
，
则或，
由，有，则.
①时，，时取等号，
②时，
，
时取等号，
因为，则的最小值是，
综上，有最小值，无最大值.
（3）①时，，则.
②时，
在中，由正弦定理有，则，，
则，
由函数在上单调递减，有，
∴
综上，的面积的取值范围是.
【解析】【分析】（1）利用，展开化简即可证明；
（2）取，利用极限思想证明出无最大值，接着对式子进行化简，结合基本不等式进行求解即可得到结果；
（3）结合面积公式与正弦定理转化成求，进而利用函数在求出最值即可得到结果.
（1）因为，
，
两式相加得，得证.
（2）当时，，满足.
令，，故无最大值，
因为
，
，
则，
，
，
则或，
由，有，则.
①时，，时取等号，
②时，
，
时取等号，
因为，则的最小值是，
综上，有最小值，无最大值.
（3）①时，，
则.
②时，
在中，由正弦定理有，则，，
则，
由函数在上单调递减，有，
∴
综上，的面积的取值范围是.
19．【答案】（1）解：已知，由正弦定理可得，
又，所以，则，又，所以；
因为，由余弦定理可得，
即，由正弦定理可得，
所以，
则，
所以，
即，即，即，
又，所以，所以，则；
（2）解：①由（1）可知，因为，由正弦定理，所以，，
在中，由余弦定理可得
，则，
因为，所以，
∵，∴，
∴，∴的周长为.
②已知如图所示：
设，
在中，，
由正弦定理，得，
又在中，由正弦定理可得，得，
所以
，
所以当且仅当，即时，的面积取最小值为.
【解析】【分析】（1）先利用正弦定理将边化角可得，即可求出，再利用余弦定理可得再利用正弦定理将边化角，即可求出；
（2）①利用余弦定理可求出的长，推导出，可求出、的长，即可得出的周长；
②设，由正弦定理得出，利用三角形的面积公式结合三角恒等变换、三角函数的基本性质可求出面积的最小值及其对应的值.
（1）因为，由正弦定理可得，
又，所以，则，又，所以；
因为，由余弦定理可得，
即，由正弦定理可得，
所以，
则，
所以，
即，即，即，
又，所以，所以，则；
（2）①由（1）可知，
因为，由正弦定理，所以，，
在中，由余弦定理可得
，则，
因为，所以，
∵，∴，
∴，∴的周长为.
②设，
在中，，
由正弦定理，得，
又在中，由正弦定理可得，得，
所以
，
所以当且仅当，即时，的面积取最小值为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
一轮复习——三角函数测试卷（培优卷）
一、选择题(共8题；共40分)
1．已知点在角的终边上，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．的奇偶性是（ ）
A．偶函数 B．奇函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
3．定义：，其中为向量的夹角.若，则（ ）
A．8 B．16 C． D．
4．函数与的图象在区间上的交点个数为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
5．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数
B．的图象关于直线对称
C．在上的值域为
D．在上单调递增
7．已知函数 ，其中 ， ，其图象关于直线 对称，对满足 的 ， ，有 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，则函数 的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数的对称轴方程为，且函数在内恰有个零点，则满足条件的有序实数对（ ）
A．只有2对 B．只有3对 C．只有4对 D．有无数对
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．已知函数，则（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期为
C．的最大值为4 D．的最小值为0
10．已知函数的部分图像如图所示，为的图像与轴的交点，为图像上的最高点，是边长为1的等边三角形，.则（ ）
A．
B．直线是图像的一条对称轴
C．的单调递减区间为
D．的单调递增区间为
11．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过的最大整数，则 称为高斯函数，例如 ，. 已知函数 ，函数 ，则下列4个命题中，其中正确结论的选项是（ ）
A．函数 不是周期函数；
B．函数 的值域是
C．函数 的图象关于 对称：
D．方程 只有一个实数根；
三、填空题(共3题；共15分)
12．已知函数的周期为，则函数图象的一条对称轴方程为 ．
13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积为 ．
14．函数的非负零点按照从小到大的顺序分别记为，．，若，则的值可以是 ．（写出符合条件的一个值即可）
四、解答题(共5题；共77分)
15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求的值；
（2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：的周长为9．
16．在中，内角的对边分别为，向量，且．
（1）求；
（2）若的外接圆半径为2，且，求的面积．
17．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）求的单调递减区间；
（3）若不等式在上恒成立，求m的取值范围.
18．已知内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
（1）证明：；
（2）求的最值；
（3）若，，求的面积S的取值范围.
19．在中，内角，，的对边分别为，，，且，.
（1）求角和；
（2）已知，设、为线段上的两个动点（靠近点），且.
①若，求的周长；
②当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
