第4节 点电荷的电场 匀强电场
(赋能课——精细培优科学思维)
课标要求 层级达标
1.能推导点电荷的场强公式,并理解其具体含义。2.知道场强的叠加原理,并能够进行简单的计算。3.知道匀强电场的特点,并能分析匀强电场中电荷的受力。 学考层级 1.能根据库仑定律和电场强度的定义式推导点电荷场强的计算式,并能进行有关的计算。2.体会电场强度叠加原理的含义,会用矢量的运算法则处理相关问题。3.知道匀强电场及其电场线的特点,并能解决带电粒子在匀强电场中的平衡和运动问题。
选考层级 能对点电荷的电场和场强叠加原理的综合问题进行分析,培养综合分析能力和知识的迁移能力。
一、点电荷的电场
1．点电荷电场的电场强度大小
2．点电荷电场的电场强度方向
若Q为正电荷，电场强度方向沿Q和该点的连线指向______；
若Q为负电荷，电场强度方向沿Q和该点的连线指向______。
以点电荷Q为球心的球面上各点电场强度大小相同，方向不同。
[质疑辨析]
如图所示，为放入点电荷Q的电场中A点试探电荷的受力情况。
请对以下结论作出判断。
(1)A点的电场强度方向与力FA方向相同。( )
(2)A点离Q的距离r越小，A点的电场强度越大。( )
(3)由E＝可知，r→0时，A点的电场强度趋近于无穷大。( )
(4)在E＝中场强大小E与q无关，同样在E＝k中场强大小E与Q也无关。( )
二、场强叠加原理 匀强电场
1．场强叠加原理：如果有多个点电荷同时存在，电场中任一点的电场强度等于这些点电荷各自在该点产生的电场强度的________。
2．匀强电场
(1)电场强度______和______都处处相同的电场。
(2)匀强电场的电场线为相互______的等间距的直线。
[情境思考]
带有等量异种电荷的两金属板之间的电场分布如图所示，这个电场具有什么特点？
强化点(一) 电场强度两个计算公式的比较
任务驱动
真空中某一点电荷Q产生的电场，在距Q为r的A点放入q，受到电场力为F。如何根据已知条件求解A处的场强大小？
[要点释解明]
E＝与E＝k的比较
表达式 E＝ E＝k
本质区别 定义式 决定式
意义及用途 给出了一种量度电场强弱的方法 指明了点电荷电场的场强大小的决定因素
适用范围 一切电场 真空中点电荷的电场
Q或q意义 q表示引入电场的试探(或检验)电荷的电荷量 Q表示产生电场的点电荷的电荷量
关系理解 E用F与q的比值来表示，但E的大小与F、q大小无关 E不仅用Q、r来表示，且E∝Q，E∝
[题点全练清]
1．下列关于电场强度的公式E＝和E＝k的几种不同的理解，正确的是( )
A．公式E＝只适用于真空中点电荷产生的电场
B．由公式E＝可知，电场中某点的电场强度E与试探电荷在该点所受的电场力成正比
C．在公式F＝k中，k是点电荷Q2产生的电场在点电荷Q1处的场强大小；而k是点电荷Q1产生的电场在点电荷Q2处的场强大小
D．由公式E＝k可知，在离点电荷非常近的地方(r→0)，电场强度E趋于无穷大
2．在一个点电荷Q产生的电场中，Ox坐标轴与它的一条电场线重合，坐标轴上A、B两点的坐标分别为2.0 m和5.0 m。放在A、B两点的试探电荷受到的电场力F跟试探电荷电荷量q的关系图像如图所示，F的正方向为x轴的正方向。求：
(1)B点的电场强度的大小和方向；
(2)试判断点电荷Q的电性，并说明理由；
(3)点电荷Q的位置坐标。
强化点(二) 电场强度的叠加
任务驱动
(1)如图甲所示，在正点电荷Q的电场中有一试探电荷q，已知q到Q的距离为r，Q对q的静电力是多大？Q在q所在位置产生的电场的电场强度大小是多少？方向如何？
(2)如果再有一正点电荷Q′＝Q，放在如图乙所示的两个不同位置，q所在位置的电场的电场强度大小分别是多少？
[要点释解明]
1．由于电场强度是矢量，故欲求出各个电荷在某点产生的电场强度的矢量和需用平行四边形定则。
2．各个电荷产生的电场是独立的、互不影响的。
3．计算不能视为点电荷的带电体的电场强度时，可以把带电体分成很多小块，每个小块都可以看成点电荷，用点电荷的电场叠加的方法计算。
[例1] (2024·河北高考)如图，真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷，分别固定在正三角形ABC的顶点B、C。M为三角形ABC的中心，沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为。已知正三角形ABC的边长为a，M点的电场强度为0，静电力常量为k。顶点A处的电场强度大小为( )
A. B.
C. D.
听课记录：
[例2] (2024·福州期中检测)如图，水平面上有一均匀带电圆环，带电量为＋Q，其圆心为O点。有一带电量为－q、质量为m的小球，在电场力和重力作用下恰能静止在O点正下方的P点。OP间距为L，P和圆环边缘上任一点的连线与PO间的夹角为θ。静电力常量为k，则带电圆环在P点处产生的场强大小为( )
A．k B．k
C. D.
听课记录：
电场强度叠加的三种常用方法
(1)合成法：电场强度是矢量，合成时遵循矢量运算法则(平行四边形定则或三角形定则)；对于同一直线上电场强度的合成，可先规定正方向，进而把矢量运算转化成代数运算。
(2)对称法：对称法实际上就是根据某些物理现象、物理规律、物理过程或几何图形的对称性进行解题的一种方法，利用此方法分析和解决问题可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，有出奇制胜之效。
(3)微元法：微元法就是将研究对象分割成若干微小的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量转化为常量、容易确定的量。
[题点全练清]
1．如图所示，在正方形四个顶点分别放置一个点电荷，所带电荷量已在图中标出，则下列四个选项中，正方形中心处电场强度最大的是( )
2．如图所示，电荷量为q的正点电荷与均匀带电薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过薄板的几何中心。若图中A点处的电场强度为零，静电力常量为k，则带电薄板在图中B点处产生的电场强度( )
A．大小为k，方向水平向左
B．大小为k，方向水平向右
C．大小为k，方向水平向左
D．大小为k，方向水平向右
强化点(三) 匀强电场的应用
[要点释解明]
匀强电场中平衡问题的解法
(1)根据电场方向，判断带电体所受电场力。
(2)分析带电体所受其他力。
(3)正交分解，根据平衡条件或牛顿第二定律、动能定理等力学规律，列式进行计算。
[典例] 如图所示，长l＝1 m 的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角θ＝37°。已知小球所带电荷量q＝1.0×10－6 C，匀强电场的场强E＝3.0×103 N/C，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)求小球所受电场力F的大小。
(2)求小球的质量m。
(3)若突然剪断细绳，求小球的加速度。
(4)若将电场撤去，求小球摆到最低点时速度v的大小。
尝试解答：
[题点全练清]
1．如图所示，实线为一匀强电场的电场线(方向未知)，虚线为一个点电荷仅受电场力作用时的运动轨迹的一部分，则可以知道( )
A．电场线方向向右
B．电场线方向向左
C．点电荷是负电荷
D．点电荷经过B点时的速度比经过A点时的速度大
2．(2024·新课标卷)如图，两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O点上，下端分别系有均带正电荷的小球P、Q；小球处在某一方向水平向右的匀强电场中，平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等。则( )
A．两绳中的张力大小一定相等
B．P的质量一定大于Q的质量
C．P的电荷量一定小于Q的电荷量
D．P的电荷量一定大于Q的电荷量
第4节 点电荷的电场 匀强电场
一、1.静电力 场源 场源 2.该点 Q
[质疑辨析]
(1)× (2)√ (3)× (4)×
二、1.矢量和 2.(1)大小 方向 (2)平行
[情境思考]
提示：各处电场强度大小相等，方向相同。
强化点(一)
[任务驱动] 提示：两种思路：(1)根据场强定义式E＝。
(2)根据点电荷场强的决定式E＝k。
[题点全练清]
1．选C 电场强度的定义式E＝适用于任何电场，故A错误；电场中某点的电场强度由电场本身决定，而与电场中该点是否有试探电荷和试探电荷所受的电场力无关，试探电荷所受电场力与其所带电荷量的比值仅反映该点场强的大小，不能决定场强的大小，故B错误；根据库仑定律公式F＝k，Q表示场源电荷，则q为试探电荷，故将Q2看作场源电荷时，E＝k表示点电荷Q2产生的电场在点电荷Q1处的场强大小，反之亦然，故C正确；公式E＝是点电荷产生的电场中某点场强的计算式，当r→0时，所谓“点电荷”已不存在，该公式不再适用，故D错误。
2．解析：(1)根据电场强度的定义式E＝，可知F q图像的斜率表示电场强度，则B点的电场强度大小为EB＝＝ N/C＝500 N/C，由于负电荷在B点所受电场力沿x轴正方向，所以EB沿x轴负方向。
(2)同理可知A点场强方向沿x轴正方向，由此可推知点电荷Q应位于A、B两点之间，则Q带负电。
(3)由题图可知A点场强大小为EA＝＝ N/C＝2 000 N/C。设点电荷Q的位置坐标为x，则EA＝，EB＝，联立解得x＝3.0 m。
答案：(1)500 N/C，方向沿x轴负方向 (2)带负电，理由见解析 (3)x＝3.0 m
强化点(二)
[任务驱动] 提示：(1)根据库仑定律得F＝k，Q在q所在位置产生的电场的电场强度大小E＝＝k，方向沿Qq的连线由Q指向q。
(2)Q、Q′分别对q有静电力的作用，q所受的静电力为两个力的合力，分别为F0＝k－k＝0，F0′＝＝k，则E0＝0，E0′＝k。
[例1] 选D B点、C点的电荷在M点产生的合场强大小为E＝2cos 60°＝，因M点的合场强为零，因此带电细杆在M点产生的场强大小为EM＝E，由对称性可知带电细杆在A点产生的场强大小为EA＝EM＝E，方向竖直向上，因此A点的合场强大小为E合＝EA＋2cos 30°＝，故选D。
[例2] 选B 如图所示，选取圆环上某一微元，设其所带电荷量为ΔQ，该微元在P点产生的场强大小为E＝k＝k＝k，由于整个圆环上所有带电微元在P点产生的场强在水平方向的合场强为零，故带电圆环在P点处产生的场强大小为E合＝∑Ey＝∑Ecos θ＝∑k·cos θ＝k，故A错误，B正确；小球恰能静止在P点，根据平衡条件可得E合q＝mg，解得E合＝，即带电圆环在P点处产生的场强大小为，故C、D错误。
[题点全练清]
1．选B 点电荷电场强度公式为E＝，由于各点电荷到正方形中心处距离r相等，根据矢量合成法则，可知B正确。
2．选C 由于A点处的电场强度为零，则正点电荷在A点处产生的场强大小E1和带电薄板在A点处产生的场强大小EA相等，即E1＝EA＝，场强方向相反，则带电薄板在A点处产生的场强方向水平向右。由于A、B两点关于带电薄板对称，所以带电薄板在B点产生的场强大小EB和在A点产生的场强大小EA相等，方向相反，故EB＝E1＝，方向水平向左，故C正确。
强化点(三)
[典例] 解析：(1)小球所受电场力
F＝qE＝1.0×10－6×3.0×103 N＝3.0×10－3 N，方向水平向右。
(2)小球受到重力mg、拉力FT和电场力F的作用而平衡，如图所示，则＝tan 37°，得m＝4.0×10－4 kg。
(3)若突然剪断细绳，小球受重力和电场力作用，做初速度为零的匀加速直线运动，所受合力F合＝＝mg
由牛顿第二定律F合＝ma
得加速度大小a＝g＝12.5 m/s2
方向与剪断细绳前细绳拉力方向相反。
(4)由动能定理得mgl(1－cos 37°)＝mv2，得v＝＝2.0 m/s。
答案：(1)3.0×10－3 N (2)4.0×10－4 kg
(3)12.5 m/s2，方向与剪断细绳前细绳拉力方向相反
(4)2.0 m/s
[题点全练清]
1．选D 因为合力的方向指向轨迹的凹侧，知点电荷所受电场力方向水平向右，根据题中条件，无法判断点电荷的电性和电场线方向，选项A、B、C错误；若点电荷从A点向B点运动，则电场力与速度方向的夹角为锐角，点电荷做加速运动，经过B点时的速度比经过A点时的速度大，若点电荷从B点向A点运动，则电场力与速度方向的夹角为钝角，点电荷做减速运动，经过B点时的速度比经过A点时的速度大，故选项D正确。
2．选B 设匀强电场场强为E，Q和P两球之间库仑力为F，绳子的拉力分别为T1、T2，两球质量分别为m1、m2，电荷量分别为q1、q2，T1、T2与竖直方向的夹角均为θ，对于小球Q有q1E＋T1sin θ＝F，T1cos θ＝m1g，对于小球P有q2E＋F＝T2sin θ，T2cos θ＝m2g，整理有q1E＝F－T1sin θ>0，q2E＝T2sin θ－F>0，可得T2>T1，又因为＝，可知m2>m1，即P的质量一定大于Q的质量，两小球的电荷量大小关系无法判断，故选B。
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点电荷的电场 匀强电场
(赋能课——精细培优科学思维)
第 4 节
课标要求 层级达标 1.能推导点电荷的场强公式,并理解其具体含义。 2.知道场强的叠加原理,并能够进行简单的计算。 3.知道匀强电场的特点,并能分析匀强电场中电荷的受力。 学考 层级 1.能根据库仑定律和电场强度的定义式推导点电荷场强的计算式,并能进行有关的计算。
2.体会电场强度叠加原理的含义,会用矢量的运算法则处理相关问题。
3.知道匀强电场及其电场线的特点,并能解决带电粒子在匀强电场中的平衡和运动问题。
选考 层级 能对点电荷的电场和场强叠加原理的综合问题进行分析,培养综合分析能力和知识的迁移能力。
1
课前预知教材
2
课堂精析重难
3
课时跟踪检测
CONTENTS
目录
课前预知教材
一、点电荷的电场
1.点电荷电场的电场强度大小
2.点电荷电场的电场强度方向
若Q为正电荷,电场强度方向沿Q和该点的连线指向_____;
若Q为负电荷,电场强度方向沿Q和该点的连线指向___。
该点
Q
[微点拨]
以点电荷Q为球心的球面上各点电场强度大小相同,方向不同。
[质疑辨析]
如图所示,为放入点电荷Q的电场中A点试探电荷的受力情况。
请对以下结论作出判断。
(1)A点的电场强度方向与力FA方向相同。 ( )
(2)A点离Q的距离r越小,A点的电场强度越大。 ( )
×
√
(3)由E=可知,r→0时,A点的电场强度趋近于无穷大。 ( )
(4)在E=中场强大小E与q无关,同样在E=k中场强大小E与Q也无关。 ( )
×
×
二、场强叠加原理 匀强电场
1.场强叠加原理:如果有多个点电荷同时存在,电场中任一点的电场强度等于这些点电荷各自在该点产生的电场强度的_______。
2.匀强电场
(1)电场强度_____和_____都处处相同的电场。
(2)匀强电场的电场线为相互______的等间距的直线。
矢量和
大小
方向
平行
[情境思考]
带有等量异种电荷的两金属板之间的电场分布如图所示,这个电场具有什么特点
提示:各处电场强度大小相等,方向相同。
课堂精析重难
真空中某一点电荷Q产生的电场,在距Q为r的A点放入q,受到电场力为F。如何根据已知条件求解A处的场强大小
强化点(一) 电场强度两个计算公式的比较
任务驱动
提示:两种思路:(1)根据场强定义式E=。
(2)根据点电荷场强的决定式E=k。
E=与E=k的比较
要点释解明
表达式
本质区别 定义式 决定式
意义及用途 给出了一种量度电场强弱的方法 指明了点电荷电场的场强大小的决定因素
适用范围 一切电场 真空中点电荷的电场
Q或q意义 q表示引入电场的试探(或检验)电荷的电荷量 Q表示产生电场的点电荷的电荷量
关系理解 E用F与q的比值来表示,但E的大小与F、q大小无关
续表
1.下列关于电场强度的公式E=和E=k的几种不同的理解,正确的是( )
A.公式E=只适用于真空中点电荷产生的电场
B.由公式E=可知,电场中某点的电场强度E与试探电荷在该点所受的电场力成正比
题点全练清
C.在公式F=k中,k是点电荷Q2产生的电场在点电荷Q1处的场强大小;而k是点电荷Q1产生的电场在点电荷Q2处的场强大小
D.由公式E=k可知,在离点电荷非常近的地方(r→0),电场强度E趋于无穷大
√
解析:电场强度的定义式E=适用于任何电场,故A错误;电场中某点的电场强度由电场本身决定,而与电场中该点是否有试探电荷和试探电荷所受的电场力无关,试探电荷所受电场力与其所带电荷量的比值仅反映该点场强的大小,不能决定场强的大小,故B错误;
根据库仑定律公式F=k,Q表示场源电荷,则q为试探电荷,故将Q2看作场源电荷时,E=k表示点电荷Q2产生的电场在点电荷Q1处的场强大小,反之亦然,故C正确;公式E=是点电荷产生的电场中某点场强的计算式,当r→0时,所谓“点电荷”已不存在,该公式不再适用,故D错误。
2.在一个点电荷Q产生的电场中,Ox坐标轴与它的一条电场线重合,坐标轴上A、B两点的坐标分别为2.0 m和5.0 m。放在A、B两点的试探电荷受到的电场力F跟试探电荷电荷量q的关系图像如图所示,F的正方向为x轴的正方向。求:
(1)B点的电场强度的大小和方向;
答案:500 N/C,方向沿x轴负方向
解析:根据电场强度的定义式E=,可知F-q图像的斜率表示电场强度,则B点的电场强度大小为EB== N/C=500 N/C,由于负电荷在B点所受电场力沿x轴正方向,所以EB沿x轴负方向。
(2)试判断点电荷Q的电性,并说明理由;
答案:带负电,理由见解析
解析:同理可知A点场强方向沿x轴正方向,由此可推知点电荷Q应位于A、B两点之间,则Q带负电。
(3)点电荷Q的位置坐标。
答案:x=3.0 m
解析:由题图可知A点场强大小为EA== N/C=2 000 N/C。设点电荷Q的位置坐标为x,则EA=,EB=,联立解得x=3.0 m。
(1)如图甲所示,在正点电荷Q的电场中有一试探电荷q,已知q到Q的距离为r,Q对q的静电力是多大 Q在q所在位置产生的电场的电场强度大小是多少 方向如何
提示:根据库仑定律得F=k,Q在q所在位置产生的电场的电场强度大小E==k,方向沿Qq的连线由Q指向q。
任务驱动
强化点(二) 电场强度的叠加
(2)如果再有一正点电荷Q'=Q,放在如图乙所示的两个不同位置,q所在位置的电场的电场强度大小分别是多少
提示:Q、Q'分别对q有静电力的作用,q所受的静电力为两个力的合力,分别为F0=k-k=0,F0'==k,则E0=0,E0'=k。
1.由于电场强度是矢量,故欲求出各个电荷在某点产生的电场强度的矢量和需用平行四边形定则。
2.各个电荷产生的电场是独立的、互不影响的。
3.计算不能视为点电荷的带电体的电场强度时,可以把带电体分成很多小块,每个小块都可以看成点电荷,用点电荷的电场叠加的方法计算。
要点释解明
[例1] (2024·河北高考)如图,真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷,分别固定在正三角形ABC的顶点B、C。M为三角形ABC的中心,沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆,电荷量为。已知正三角形ABC的边长为a,M点的电场强度为0,静电力常量为k。顶点A处的电场强度大小为( )
A. B. C. D.
[解析] B点、C点的电荷在M点产生的合场强大小为E=2cos 60°
=,因M点的合场强为零,因此带电细杆在M点产生的场强大小为EM=E,由对称性可知带电细杆在A点产生的场强大小为EA=EM=E,方向竖直向上,因此A点的合场强大小为E合=EA+2cos 30°=,故选D。
√
[例2] (2024·福州期中检测)如图,水平面上有一均匀带电圆环,带电量为+Q,其圆心为O点。有一带电量为-q、质量为m的小球,在电场力和重力作用下恰能静止在O点正下方的P点。OP间距为L,P和圆环边缘上任一点的连线与PO间的夹角为θ。静电力常量为k,则带电圆环在P点处产生的场强大小为 ( )
A.k B.k C. D.
√
[解析] 如图所示,选取圆环上某一微元,设其所带电荷量为ΔQ,该微元在P点产生的场强大小为E=k=k=k,由于整个圆环上所有带电微元在P点产生的场强在水平方向的合场强为零,故带电圆环在P点处产生的场强大小为E合=∑Ey
=∑Ecos θ=∑k·cos θ=k,故A错误,B正确;
小球恰能静止在P点,根据平衡条件可得E合q=mg,解得E合=,即带电圆环在P点处产生的场强大小为,故C、D错误。
[思维建模]
电场强度叠加的三种常用方法
(1)合成法:电场强度是矢量,合成时遵循矢量运算法则(平行四边形定则或三角形定则);对于同一直线上电场强度的合成,可先规定正方向,进而把矢量运算转化成代数运算。
(2)对称法:对称法实际上就是根据某些物理现象、物理规律、物理过程或几何图形的对称性进行解题的一种方法,利用此方法分析和解决问题可以避免复杂的数学演算和推导,直接抓住问题的实质,有出奇制胜之效。
(3)微元法:微元法就是将研究对象分割成若干微小的单元,或从研究对象上选取某一“微元”加以分析,从而可以化曲为直,使变量、难以确定的量转化为常量、容易确定的量。
1.如图所示,在正方形四个顶点分别放置一个点电荷,所带电荷量已在图中标出,则下列四个选项中,正方形中心处电场强度最大的是 ( )
题点全练清
√
解析:点电荷电场强度公式为E=,由于各点电荷到正方形中心处距离r相等,根据矢量合成法则,可知B正确。
2.如图所示,电荷量为q的正点电荷与均匀带电薄板相距2d,点电荷到带电薄板的垂线通过薄板的几何中心。若图中A点处的电场强度为零,静电力常量为k,则带电薄板在图中B点处产生的电场强度 ( )
A.大小为k,方向水平向左
B.大小为k,方向水平向右
C.大小为k,方向水平向左
D.大小为k,方向水平向右
√
解析:由于A点处的电场强度为零,则正点电荷在A点处产生的场强大小E1和带电薄板在A点处产生的场强大小EA相等,即E1=EA=,场强方向相反,则带电薄板在A点处产生的场强方向水平向右。由于A、B两点关于带电薄板对称,所以带电薄板在B点产生的场强大小EB和在A点产生的场强大小EA相等,方向相反,故EB=E1=,方向水平向左,故C正确。
要点释解明
强化点(三) 匀强电场的应用
匀强电场中平衡问题的解法
(1)根据电场方向,判断带电体所受电场力。
(2)分析带电体所受其他力。
(3)正交分解,根据平衡条件或牛顿第二定律、动能定理等力学规律,列式进行计算。
[典例] 如图所示,长l=1 m的轻质细绳上端固定,下端连接一个可视为质点的带电小球,小球静止在水平向右的匀强电场中,绳与竖直方向的夹角θ=37°。已知小球所带电荷量q=1.0×10-6 C,匀强电场的场强E=3.0×103 N/C,取重力加速度g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。
(1)求小球所受电场力F的大小。
[答案] 3.0×10-3 N
[解析] 小球所受电场力
F=qE=1.0×10-6×3.0×103 N=3.0×10-3 N,方向水平向右。
(2)求小球的质量m。
[答案] 4.0×10-4 kg
[解析] 小球受到重力mg、拉力FT和电场力F的作用而平衡,如图所示,则=tan 37°,得m=4.0×10-4 kg。
(3)若突然剪断细绳,求小球的加速度。
[答案] 12.5 m/s2,方向与剪断细绳前细绳拉力方向相反
[解析] (若突然剪断细绳,小球受重力和电场力作用,做初速度为零的匀加速直线运动,所受合力F合==mg
由牛顿第二定律F合=ma
得加速度大小a=g=12.5 m/s2
方向与剪断细绳前细绳拉力方向相反。
(4)若将电场撤去,求小球摆到最低点时速度v的大小。
[答案] 2.0 m/s
[解析] 由动能定理得mgl(1-cos 37°)=mv2,得v=
=2.0 m/s。
1.如图所示,实线为一匀强电场的电场线(方向未知),虚线为一个点电荷仅受电场力作用时的运动轨迹的一部分,则可以知道 ( )
A.电场线方向向右
B.电场线方向向左
C.点电荷是负电荷
D.点电荷经过B点时的速度比经过A点时的速度大
题点全练清
√
解析:因为合力的方向指向轨迹的凹侧,知点电荷所受电场力方向水平向右,根据题中条件,无法判断点电荷的电性和电场线方向,选项A、B、C错误;若点电荷从A点向B点运动,则电场力与速度方向的夹角为锐角,点电荷做加速运动,经过B点时的速度比经过A点时的速度大,若点电荷从B点向A点运动,则电场力与速度方向的夹角为钝角,点电荷做减速运动,经过B点时的速度比经过A点时的速度大,故选项D正确。
2.(2024·新课标卷)如图,两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O点上,下端分别系有均带正电荷的小球P、Q;小球处在某一方向水平向右的匀强电场中,平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等。则 ( )
A.两绳中的张力大小一定相等
B.P的质量一定大于Q的质量
C.P的电荷量一定小于Q的电荷量
D.P的电荷量一定大于Q的电荷量
√
解析:设匀强电场场强为E,Q和P两球之间库仑力为F,绳子的拉力分别为T1、T2,两球质量分别为m1、m2,电荷量分别为q1、q2,T1、T2与竖直方向的夹角均为θ,对于小球Q有q1E+T1sin θ=F,T1cos θ=m1g,对于小球P有q2E+F=T2sin θ,T2cos θ=m2g,整理有q1E=F-T1sin θ>0,q2E=T2sin θ-F>0,可得T2>T1,又因为=,可知m2>m1,即P的质量一定大于Q的质量,两小球的电荷量大小关系无法判断,故选B。
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A级——学考达标
1.对于由点电荷产生的电场,下列说法中正确的是( )
A.电场强度的定义式仍成立,即E=,式中的q就是产生电场的点电荷
B.在真空中电场强度的表达式为E=,式中的Q就是产生电场的点电荷
C.在真空中电场强度的表达式为E=,式中的Q是试探电荷
D.以上说法都不对
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解析:E=是电场强度的定义式,适用于任何电场,式中q为试探电荷而非场源电荷,故A错误;而E=k为点电荷Q产生的电场强度的决定式,式中Q为场源电荷,故B正确,C、D错误。
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2.真空中,A、B两点与点电荷Q的距离分别为r和3r,则A、B两点的电场强度大小之比为 ( )
A.3∶1 B.1∶3
C.9∶1 D.1∶9
解析:由点电荷电场的场强公式有:E=k∝,故有===9∶1,
C项正确,A、B、D项错误。
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3.如图所示,真空中A、B两点到点电荷+Q的距离相等,则这两点的电场强度的关系是 ( )
A.大小相等,方向相同
B.大小相等,方向不同
C.大小不等,方向相同
D.大小不等,方向不同
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解析:由点电荷电场的电场强度公式E=k可知,由于A、B两点到场源电荷的距离相等,所以A、B两点的电场强度大小相等,A点的电场强度方向为沿A点与场源电荷的连线背离场源电荷,B点的电场强度方向为沿B点与场源电荷的连线背离场源电荷,所以A、B两点的电场强度方向不同,故B正确。
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4.如图所示,两个点电荷分别固定在A、B两处,A处点电荷带正电、电荷量为+Q1(Q1>0),B处点电荷带负电、电荷量为-3Q1,A、B两点连线上C点到A、B两点的距离关系为BC=3AC,则下列说法正确的是 ( )
A.在直线AB上A点左侧的某处有一点电场强度为零
B.在直线AB上B点右侧的某处有一点电场强度为零
C.C点的电场强度为零
D.A、B两点连线的中点为连线上电场强度最大的点
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解析:因B带负电,A带正电,且B的电荷量大于A的电荷量,则根据场强叠加原理可知,场强为零的点必在A点左侧,选项A正确,B错误;因为A、B两电荷在C点的场强方向均向右,可知C点的电场强度不为零,选项C错误;根据点电荷的电场分布规律可知,越靠近两点电荷的位置场强越大,可知A、B两点连线的中点不是连线上电场强度最大的点,选项D错误。
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5.如图所示,正方形ABCD的边长为L,对角线的交点为O。在A、C两点固定两个电荷量均为Q的正点电荷,在B点固定另外一个点电荷,已知D点的合电场强度为0,静电力常量为k,则下列说法正确的是 ( )
A.B点固定的点电荷可能是正点电荷
B.B点固定的点电荷的电荷量为-Q
C.O点的电场强度大小为
D.O点的电场强度大小为
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解析:A、C两点电荷在D点的合场强方向从B指向D,D点的合电场强度为0,则B点固定的点电荷是负点电荷,故A错误;A、C两点电荷在D点的场强大小分别为EA=,EC=,A、C两点电荷在D点的合场强大小为EAC=,B点固定的点电荷在D点的场强与A、C两点电荷在D点的合场强大小相等,
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方向相反,有EB==,则B点固定的点电荷的电荷量为QB=-2Q,故B错误;A、C两点电荷在O点的场强相互抵消,故O点的场强大小等于B点的负点电荷在O点产生的场强,即EO==,故C错误,D正确。
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6.如图,在光滑绝缘水平面上,三个带电小球a、b和c分别位于边长为l的正三角形的三个顶点上;a、b带正电,电荷量均为q,c带负电。整个系统置于方向水平的匀强电场中,已知静电力常量为k,若三个小球均处于静止状态,则匀强电场场强的大小为 ( )
A. B. C. D.
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解析:以c球为研究对象,除受另外a、b两个小球的库仑力外还受匀强电场的静电力,如图所示,c球处于平衡状态,据共点力平衡条件可知F静=2kcos 30°,F静=Eqc,得E=,故选B。
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7.(多选)如图所示,足够大的绝缘粗糙薄板水平固定放置,薄板上、下两侧的A、B两点固定有两个点电荷,其中A处点电荷的电荷量为+Q,B处点电荷的电荷量为-Q,A、B两点连线与薄板垂直,且垂足O为A、B连线的中点。将一轻质细绳一端固定在O点,另一端连接一带电小球,小球恰能在薄板平面上以速度v0绕O点做匀速圆周运动,则下列说法正确的是 ( )
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A.小球带正电
B.薄板对小球的弹力竖直向上
C.小球运动过程中,小球所在位置的电场强度相同
D.小球运动过程中所受电场力始终不变
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解析:依题意,小球恰能做匀速圆周运动,所以小球必定不受滑动摩擦力作用,则小球必定不受薄板的弹力作用,故B错误;根据等量异种点电荷的电场分布特点可知,薄板处的电场强度方向竖直向下,小球竖直方向受力平衡,所以电场力必定竖直向上,大小等于小球的重力,则小球带负电,故A错误;小球运动过程中所受电场力始终不变,则小球做圆周运动轨迹上的电场强度相同,故C、D正确。
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8.如图所示是一个边长相等的共面十边形,若在e点固定电荷量为Q的正电荷,i点固定电荷量为Q的负电荷。下列说法正确的是 ( )
A.a、c两点的电场强度相同
B.b、g两点的电场强度相同
C.b点的电场强度比d点的电场强度小
D.f点的电场强度比j点的电场强度小
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解析:在e点、i点固定等量异种电荷,根据等量异种电荷的电场分布可知a、c两点的电场强度大小相同,方向不同,A错误;b、g两点的电场强度方向相同,大小不同,B错误;利用点电荷场强公式E=k,结合场强叠加原理,可判断b点的电场强度比d点的电场强度小,f点的电场强度与j点的电场强度相等,C正确,D错误。
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9. （12分）如图所示,空间中A、B、C三点的连线恰构成一直角三角形,且∠C=30°,AB=L,在B、C两点分别放置一点电荷,它们的电荷量分别是+Q与-Q(静电力常量为k)。求斜边AC的中点D处的场强。
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答案:,方向水平向右
解析:连接BD,由几何关系可得BD=CD=AB=L。点电荷+Q与-Q在D处产生的场强大小均为E1=k,方向如图所示,二者之间夹角大小为60°。
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根据场强叠加原理可知,D处的场强为这两个场强的矢量和,可解得E=2E1cos 30°=2××=,方向水平向右。
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B级——选考进阶
10.(多选)如图所示,金属板带电荷量为+Q,质量为m的金属小球带电荷量为+q,当小球静止后,悬挂小球的绝缘细线与竖直方向间的夹角为α,小球与金属板中心O恰好在同一条水平线上,且距离为L。下列说法正确的是( )
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A.金属板在小球处产生的场强为E1=
B.金属板在小球处产生的场强为E1=
C.金属小球在O点产生的场强为E2=
D.金属小球在O点产生的场强为E2=
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解析:金属板不能看作点电荷,在小球处产生的场强不能用E=计算,A错误;根据小球处于平衡得,小球受电场力F=mgtan α,由E=得:E1=,B正确;小球可看作点电荷,在O点产生的场强E2=,C正确;根据牛顿第三定律知,金属板受到小球的电场力大小为F'=F=mgtan α,但金属板不能看作试探电荷,故不能用E=求场强,D错误。
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11.半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置,圆心位于O点,环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分,取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点,O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变,q为 ( )
A.正电荷,q= B.正电荷,q=
C.负电荷,q= D.负电荷,q=
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解析:取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷,根据对称性可知,圆环在O点产生的电场强度为与A在同一直径上的A1和与B在同一直径上的B1产生的电场强度的矢量和,如图所示,因为两段弧长非常小,故可看成点电荷,则有E1=k=k,由图可知,两场强的夹角为120°,
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则两者的合场强为E=E1=k,根据O点的合场强为零,则放在D点的点电荷为负电荷,在O点产生的电场强度大小为E'=E=k,根据E'=k,联立解得q=。
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12.(2024·贵州高考)如图,A、B、C三个点位于以O为圆心的圆上,直径AB与弦BC间的夹角为30°。A、B两点分别放有电荷量大小为qA、qB的点电荷时,C点的电场强度方向恰好沿圆的切线方向,则等于( )
A. B.
C. D.2
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解析:根据题意可知两电荷为异种电荷,假设qA为正电荷,qB为负电荷,两电荷在C点的场强如图,设圆的半径为r,根据几何知识可得rAC=r,rBC=r,tan 60°=,同时有EA= ,EB=,联立解得=。故选B。
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13.(18分)如图所示,在绝缘粗糙的水平地面上有水平方向的匀强电场,三个质量相同且均可看成点电荷的带电小球A、B、C分别位于竖直平面内的直角三角形的三个顶点上。球B、C在地面上,球A在球B的正上方,AB间距为L,AC连线与水平方向夹角为30°,三球恰好都静止不动。已知A、B带正电,电荷量均为Q,C球带负电,带电量为-4Q,重力加速度为g,静电力常量为k。求:
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(1)判断匀强电场的方向;
答案:方向水平向右
解析:对A受力分析,A受到C的库仑力有水平向左的分量,A要受力平衡,其受到的电场力需水平向右,所以匀强电场的方向水平向右。
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(2)球A的质量m及匀强电场的电场强度E的大小;
答案:k
解析:对A受力分析,竖直方向有
mg+ksin 30°=k解得m=k
水平方向有QE=kcos 30°得E=。
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(3)地面对球C的摩擦力大小和方向。
答案:k 方向水平向右
解析:对球C进行受力分析,C球受力平衡,
水平方向有k+kcos 30°+f=4QE
解得地面对球C的摩擦力大小为f=(9-8)k
地面对球C的摩擦力方向水平向右。
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4课时跟踪检测(五) 点电荷的电场 匀强电场
(选择题1～8小题，每小题4分；10～12小题，每小题6分。本检测卷满分80分)
A级——学考达标
1．对于由点电荷产生的电场，下列说法中正确的是( )
A．电场强度的定义式仍成立，即E＝，式中的q就是产生电场的点电荷
B．在真空中电场强度的表达式为E＝，式中的Q就是产生电场的点电荷
C．在真空中电场强度的表达式为E＝，式中的Q是试探电荷
D．以上说法都不对
2．真空中，A、B两点与点电荷Q的距离分别为r和3r，则A、B两点的电场强度大小之比为( )
A．3∶1 B．1∶3
C．9∶1 D．1∶9
3．如图所示，真空中A、B两点到点电荷＋Q的距离相等，则这两点的电场强度的关系是( )
A．大小相等，方向相同
B．大小相等，方向不同
C．大小不等，方向相同
D．大小不等，方向不同
4．如图所示，两个点电荷分别固定在A、B两处，A处点电荷带正电、电荷量为＋Q1(Q1>0)，B处点电荷带负电、电荷量为－3Q1，A、B两点连线上C点到A、B两点的距离关系为BC＝3AC，则下列说法正确的是( )
A．在直线AB上A点左侧的某处有一点电场强度为零
B．在直线AB上B点右侧的某处有一点电场强度为零
C．C点的电场强度为零
D．A、B两点连线的中点为连线上电场强度最大的点
5.如图所示，正方形ABCD的边长为L，对角线的交点为O。在A、C两点固定两个电荷量均为Q的正点电荷，在B点固定另外一个点电荷，已知D点的合电场强度为0，静电力常量为k，则下列说法正确的是( )
A．B点固定的点电荷可能是正点电荷
B．B点固定的点电荷的电荷量为－Q
C．O点的电场强度大小为
D．O点的电场强度大小为
6．如图，在光滑绝缘水平面上，三个带电小球a、b和c分别位于边长为l的正三角形的三个顶点上；a、b带正电，电荷量均为q，c带负电。整个系统置于方向水平的匀强电场中，已知静电力常量为k，若三个小球均处于静止状态，则匀强电场场强的大小为( )
A. B.
C. D.
7．(多选)如图所示，足够大的绝缘粗糙薄板水平固定放置，薄板上、下两侧的A、B两点固定有两个点电荷，其中A处点电荷的电荷量为＋Q，B处点电荷的电荷量为－Q，A、B两点连线与薄板垂直，且垂足O为A、B连线的中点。将一轻质细绳一端固定在O点，另一端连接一带电小球，小球恰能在薄板平面上以速度v0绕O点做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．小球带正电
B．薄板对小球的弹力竖直向上
C．小球运动过程中，小球所在位置的电场强度相同
D．小球运动过程中所受电场力始终不变
8.如图所示是一个边长相等的共面十边形，若在e点固定电荷量为Q的正电荷，i点固定电荷量为Q的负电荷。下列说法正确的是( )
A．a、c两点的电场强度相同
B．b、g两点的电场强度相同
C．b点的电场强度比d点的电场强度小
D．f点的电场强度比j点的电场强度小
9. (12分)如图所示，空间中A、B、C三点的连线恰构成一直角三角形，且∠C＝30°，AB＝L，在B、C两点分别放置一点电荷，它们的电荷量分别是＋Q与－Q(静电力常量为k)。求斜边AC的中点D处的场强。
B级——选考进阶
10．(多选)如图所示，金属板带电荷量为＋Q，质量为m的金属小球带电荷量为＋q，当小球静止后，悬挂小球的绝缘细线与竖直方向间的夹角为α，小球与金属板中心O恰好在同一条水平线上，且距离为L。下列说法正确的是( )
A．金属板在小球处产生的场强为E1＝
B．金属板在小球处产生的场强为E1＝
C．金属小球在O点产生的场强为E2＝
D．金属小球在O点产生的场强为E2＝
11.半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q为( )
A．正电荷，q＝ B．正电荷，q＝
C．负电荷，q＝ D．负电荷，q＝
12．(2024·贵州高考)如图，A、B、C三个点位于以O为圆心的圆上，直径AB与弦BC间的夹角为30°。A、B两点分别放有电荷量大小为qA、qB的点电荷时，C点的电场强度方向恰好沿圆的切线方向，则等于( )
A. B.
C. D．2
13. (18分)如图所示，在绝缘粗糙的水平地面上有水平方向的匀强电场，三个质量相同且均可看成点电荷的带电小球A、B、C分别位于竖直平面内的直角三角形的三个顶点上。球B、C在地面上，球A在球B的正上方，AB间距为L，AC连线与水平方向夹角为30°，三球恰好都静止不动。已知A、B带正电，电荷量均为Q，C球带负电，带电量为－4Q，重力加速度为g，静电力常量为k。求：
(1)判断匀强电场的方向；
(2)球A的质量m及匀强电场的电场强度E的大小；
(3)地面对球C的摩擦力大小和方向。
课时跟踪检测(五)
1．选B E＝是电场强度的定义式，适用于任何电场，式中q为试探电荷而非场源电荷，故A错误；而E＝k为点电荷Q产生的电场强度的决定式，式中Q为场源电荷，故B正确，C、D错误。
2．选C 由点电荷电场的场强公式有：E＝k∝，故有＝2＝2＝9∶1，C项正确，A、B、D项错误。
3．选B 由点电荷电场的电场强度公式E＝k可知，由于A、B两点到场源电荷的距离相等，所以A、B两点的电场强度大小相等，A点的电场强度方向为沿A点与场源电荷的连线背离场源电荷，B点的电场强度方向为沿B点与场源电荷的连线背离场源电荷，所以A、B两点的电场强度方向不同，故B正确。
4．选A 因B带负电，A带正电，且B的电荷量大于A的电荷量，则根据场强叠加原理可知，场强为零的点必在A点左侧，选项A正确，B错误；因为A、B两电荷在C点的场强方向均向右，可知C点的电场强度不为零，选项C错误；根据点电荷的电场分布规律可知，越靠近两点电荷的位置场强越大，可知A、B两点连线的中点不是连线上电场强度最大的点，选项D错误。
5．选D A、C两点电荷在D点的合场强方向从B指向D，D点的合电场强度为0，则B点固定的点电荷是负点电荷，故A错误；A、C两点电荷在D点的场强大小分别为EA＝，EC＝，A、C两点电荷在D点的合场强大小为EAC＝，B点固定的点电荷在D点的场强与A、C两点电荷在D点的合场强大小相等，方向相反，有EB＝＝，则B点固定的点电荷的电荷量为QB＝－2Q，故B错误；A、C两点电荷在O点的场强相互抵消，故O点的场强大小等于B点的负点电荷在O点产生的场强，即EO＝＝，故C错误，D正确。
6．选B 以c球为研究对象，除受另外a、b两个小球的库仑力外还受匀强电场的静电力，如图所示，c球处于平衡状态，据共点力平衡条件可知F静＝2kcos 30°，F静＝Eqc，得E＝，故选B。
7．选CD 依题意，小球恰能做匀速圆周运动，所以小球必定不受滑动摩擦力作用，则小球必定不受薄板的弹力作用，故B错误；根据等量异种点电荷的电场分布特点可知，薄板处的电场强度方向竖直向下，小球竖直方向受力平衡，所以电场力必定竖直向上，大小等于小球的重力，则小球带负电，故A错误；小球运动过程中所受电场力始终不变，则小球做圆周运动轨迹上的电场强度相同，故C、D正确。
8．选C 在e点、i点固定等量异种电荷，根据等量异种电荷的电场分布可知a、c两点的电场强度大小相同，方向不同，A错误；b、g两点的电场强度方向相同，大小不同，B错误；利用点电荷场强公式E＝k，结合场强叠加原理，可判断b点的电场强度比d点的电场强度小，f点的电场强度与j点的电场强度相等，C正确，D错误。
9．解析：连接BD，由几何关系可得BD＝CD＝AB＝L。点电荷＋Q与－Q在D处产生的场强大小均为E1＝k，方向如图所示，二者之间夹角大小为60°。
根据场强叠加原理可知，D处的场强为这两个场强的矢量和，可解得E＝2E1cos 30°＝2××＝，方向水平向右。
答案：，方向水平向右
10．选BC 金属板不能看作点电荷，在小球处产生的场强不能用E＝计算，A错误；根据小球处于平衡得，小球受电场力F＝mgtan α，由E＝得：E1＝，B正确；小球可看作点电荷，在O点产生的场强E2＝，C正确；根据牛顿第三定律知，金属板受到小球的电场力大小为F′＝F＝mgtan α，但金属板不能看作试探电荷，故不能用E＝求场强，D错误。
11．选C 取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷，根据对称性可知，圆环在O点产生的电场强度为与A在同一直径上的A1和与B在同一直径上的B1产生的电场强度的矢量和，如图所示，因为两段弧长非常小，故可看成点电荷，则有E1＝k＝k，由图可知，两场强的夹角为120°，则两者的合场强为E＝E1＝k，根据O点的合场强为零，则放在D点的点电荷为负电荷，在O点产生的电场强度大小为E′＝E＝k，根据E′＝k，联立解得q＝。
12．选B 根据题意可知两电荷为异种电荷，假设qA为正电荷，qB为负电荷，两电荷在C点的场强如图，设圆的半径为r，根据几何知识可得rAC＝r，rBC＝r，tan 60°＝，同时有EA＝ ，EB＝，联立解得＝。故选B。
13．解析：(1)对A受力分析，A受到C的库仑力有水平向左的分量，A要受力平衡，其受到的电场力需水平向右，所以匀强电场的方向水平向右。
(2)对A受力分析，竖直方向有mg＋ksin 30°＝k
解得m＝k
水平方向有QE＝kcos 30°
得E＝。
(3)对球C进行受力分析，C球受力平衡，水平方向有k＋kcos 30°＋f＝4QE
解得地面对球C的摩擦力大小为
f＝(9－8)k
地面对球C的摩擦力方向水平向右。
答案：(1)方向水平向右 (2)k
(3)k 方向水平向右
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