综合·融通(二) 带电粒子在有界磁场中的运动
(融会课—主题串知综合应用)
带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题常涉及带电粒子在直线边界磁场、圆形边界磁场中的运动问题，以及带电粒子在磁场中运动的多解问题。通过本节课的学习，掌握各种情形中圆周运动的圆心、半径、对应圆心角的确定方法与多解现象原因分析及临界极值问题的分析方法。
主题(一) 带电粒子在直线边界磁场中的运动
[知能融会通]
1．圆心、半径、运动时间的确定
(1)圆心的确定
带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧，其圆心一定在与速度方向垂直的直线上。通常有两种确定方法。
①已知入射方向和出射方向时，可以通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，图中P为入射点，M为出射点，O为轨道圆心)。
②已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点，O为轨道圆心)。
(2)运动半径的确定
作入射点、出射点对应的半径，并作出相应的辅助三角形，利用三角形的解析方法或其他几何方法，求解出半径的大小，并与半径公式r＝联立求解。
(3)运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可表示为t＝T。可见粒子转过的圆心角越大，所用时间越长。
2．带电粒子在有界磁场中运动的几个结论
(1)粒子进入单边磁场时，进、出磁场具有对称性，如图(a)、(b)、(c)所示。
(2)当速率一定时，粒子运动的弧长越长，圆心角越大，运动时间越长。
[典例] 真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为＋q的粒子沿着与MN夹角为θ＝30°的方向垂直射入磁场中，粒子不能从PQ边界射出磁场(不计粒子重力的影响)，求：
(1)粒子射入磁场的速度大小范围；
(2)粒子在磁场中的运动时间。
尝试解答：
/方法技巧/
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
1．题目特点：这类题目中往往含有“最大”“最高”“至少”“恰好”等词语。
2．分析方法：从轨迹入手找准临界状态及其条件，如带电粒子刚好穿出或刚好不穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
3．两种常见的寻找临界状态的方法：
(1)放缩圆法：当粒子的入射方向不变而速度大小可变时，画出半径逐渐变大的圆轨迹，找到临界圆。
(2)旋转圆法：当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，轨迹圆大小不变，只是位置绕入射点发生了旋转，画出某方向的圆，然后绕入射点旋转得到其他圆，找到临界圆。
[题点全练清]
1．(2024·黑龙江绥化高二统考)如图所示，匀强磁场的边界为直角三角形，∠EGF＝30°，已知磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，F处有一粒子源，沿FG方向发射出大量带正电荷q的同种粒子，粒子质量为m，粒子的初速度大小可调，则粒子从F射入磁场到垂直EG边离开磁场所用时间为( )
A. B.
C. D．
2．(2024·福建厦门高二阶段练习)如图所示，在x轴上方有磁感应强度为B的匀强磁场，一个带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴负方向成60°角，不计粒子所受的重力，若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中运动，到x轴的最大距离为a，则该粒子的比荷及所带电荷的正负是( )
A.，正电荷 B.，负电荷
C.，正电荷 D．，负电荷
主题(二) 带电粒子在圆形边界磁场中的运动
[知能融会通]
1．圆形边界
如图所示，若粒子沿半径方向射入磁场，则
(1)一定沿半径方向射出。
(2)构建由磁场圆半径R、轨迹圆半径r和两圆圆心连线构成的直角三角形，若速度偏向角为θ，则有tan＝。
(3)磁场圆和轨迹圆对应的圆心角互补，即α＋θ＝π。
2．环状磁场区域
(1)径向出入：带电粒子沿(逆)半径方向射入磁场，若能返回同一边界，则一定逆(沿)半径方向射出磁场，如图甲、乙所示。
(2)最值相切：①一群粒子沿环状磁场的半径方向从中空区域射入磁场，不能穿越磁场的最大速度对应轨迹(两圆相切)如图丙所示；②沿各方向从中空区域射入磁场区域的所有粒子都不能穿越磁场的最大速度对应轨迹(两圆相切)如图丁所示。
[典例] (2024·陕西宝鸡高二阶段练习)如图所示，两个同心圆之间的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，两个同心圆的半径分别为a和3a，圆心处有一粒子源，能发射速度为v的粒子，粒子的质量为m，电荷量为q，忽略重力。若粒子均被限制在图中实线圆围成的区域内，则磁感应强度最小值为( )
A. B.
C. D．
听课记录：
[题点全练清]
1.如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q＞0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°。不计重力，则为( )
A. B.
C. D．
2.(2024·广西来宾高二阶段练习)如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则这两种情况下带电粒子从P点射入到距P点最远处射出，其在磁场中所经历的时间比t1∶t2为( )
A．1∶2 B.2∶1
C.∶1 D．1∶1
主题(三) 带电粒子在磁场中运动的多解问题
(一)电性不确定形成双解
在相同的初速度和磁场的条件下，由于粒子的电性不同，在磁场中运动轨迹不同，导致形成双解。
(1)按粒子带正、负电荷分别讨论。
(2)画出粒子的可能轨迹，如图所示。
(3)根据牛顿运动定律建立动力学方程，再结合几何关系，解决有关问题。
[例1] 如图所示，在xOy平面内，y≥0的区域有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一质量为m、带电荷量的绝对值为q的粒子从原点O沿与x轴正方向成60°角方向以v0射入，粒子的重力不计，求带电粒子在磁场中运动的时间和带电粒子离开磁场时的位置。
尝试解答：
(二)磁场方向不确定形成双解
题目只指明磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的双解。解决此类问题的关键是审清题目，区别磁场方向，确定临界状态。
[例2] 如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为、速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是( )
A．B＝，垂直纸面向里
B．B＝，垂直纸面向里
C．B＝，垂直纸面向外
D．B＝，垂直纸面向外
听课记录：
(三)运动的周期性形成多解
1．带电粒子在空间运动时往往具有周期性，从而形成多解，通过分析第一周期或前几个周期的运动规律，寻找运动周期的通解。
2．在有其他条件限制下，通解有可能变为有限个解或单一解。
[例3] 如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射速率不同、质量为m、电荷量为q(q＞0)的同种粒子(重力不计，粒子间的相互作用不计)，所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab＝L，则粒子的速度可能是( )
A. B.
C. D．
听课记录：
综合·融通(二) 带电粒子在有界磁场中的运动
主题(一)
[典例] 解析：(1)粒子刚好不能从PQ边界射出磁场，即轨迹与PQ相切，如图所示，设轨迹半径为r，则l＝r＋rcos θ，轨迹半径r＝＝，由半径公式r＝得v＝；故粒子不能从PQ边界射出磁场时的速度v≤。
(2)粒子的速度大小不同，轨迹不同，但圆心角相同，即在磁场中的运动时间相同。
由几何知识可看出，轨迹所对应圆心角为300°，则运动时间t＝T＝T，周期T＝，所以t＝。
答案：(1)v≤ (2)
[题点全练清]
1．选C 由题知，粒子从F射入磁场到垂直EG边离开磁场，则根据几何关系，粒子的运动轨迹的圆心在E点，有∠FEG＝60°，qvB＝m，T＝，则粒子所用时间为t＝＝，故选C。
2.选B 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，如图所示，由几何知识可得α＝θ＝60°，到x轴的最大距离为a，则有粒子的轨道半径r与a的关系为a＝r＋rcos60°＝r，由洛伦兹力提供向心力，可得qvB＝m，解得＝，由解析图和左手定则可知，粒子带负电。故选B。
主题(二)
[典例] 选C 当粒子在磁场中的运动轨迹与外圆相切时，粒子在题图中实线圆围成的区域内运动的半径最大，磁感应强度最小，粒子的运动轨迹如图。设粒子在磁场中运动的最大半径为r，根据几何知识有r2＋a2＝(3a－r)2，得r＝a，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，得B＝＝，故选C。
[题点全练清]
1.选B 根据题意找出粒子做圆周运动的圆心，如图所示。设圆形磁场区域的半径为R，由几何关系可知，带电粒子以v1射入磁场时，在磁场中运动的轨迹半径r1＝R，带电粒子以v2射入磁场时，在磁场中运动的轨迹半径r2＝＝R，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝，可得v＝，所以＝＝，B正确。
2．选D 由于是相同的粒子，粒子进入磁场时的速度大小相同，由qvB＝m，可知R＝，又T＝＝，即粒子在磁场中做圆周运动的周期相同。
若粒子运动的速度大小为v1，如图所示，当粒子在磁场边界的出射点M离P点最远时，则MP＝2R1，同样，若粒子运动的速度大小为v2，粒子在磁场边界的出射点N离P点最远时，则NP＝2R2，则两种情况下带电粒子均在磁场中运动了，故带电粒子从P点射入到距P点最远处射出，其在磁场中所经历的时间比t1∶t2＝1∶1，A、B、C错误，D正确。
主题(三)
[例1] 解析：根据题意可知，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有
qv0B＝m＝mR
解得R＝，T＝
当带电粒子带正电时，轨迹如图中OAC所示，由几何关系可知，带电粒子在磁场中运动的圆心角为240°，故粒子在磁场中运动的时间t1＝T＝
粒子在C点离开磁场OC＝2Rsin 60°＝
故离开磁场的位置为－，0
当带电粒子带负电时，轨迹如图中ODE所示，由几何关系可知，带电粒子在磁场中运动的圆心角为120°，故粒子在磁场中的运动时间t2＝T＝
粒子在E点离开磁场OE＝2Rsin 60°＝
故离开磁场时的位置为，0。
答案： －，0或 ，0
[例2] 选B 当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知，sin 30°＝，可得r1＝s，由r1＝可得B1＝，故所加匀强磁场的磁感应强度应满足B1′≥；当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹与OP相切于N点，如图乙所示，由几何关系可知，s＝＋r2，得r2＝，由r2＝，可得B2＝，故所加匀强磁场的磁感应强度应满足B2′≥；综合上述分析可知，选项B正确，A、C、D错误。
[例3] 选B 由题意可知，粒子可能的运动轨迹如图所示，由几何知识知所有圆弧所对应的圆心角均为120°，所以粒子运动的半径为r＝·(n＝1,2,3，…)；粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，得qvB＝m，则v＝＝·(n＝1,2,3，…)，故选项B正确。
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带电粒子在有界磁场中的运动
(融会课—主题串知综合应用)
综合 融通(二)
带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题常涉及带电粒子在直线边界磁场、圆形边界磁场中的运动问题,以及带电粒子在磁场中运动的多解问题。通过本节课的学习,掌握各种情形中圆周运动的圆心、半径、对应圆心角的确定方法与多解现象原因分析及临界极值问题的分析方法。
1
主题(一) 带电粒子在直线边界
磁场中的运动
2
主题(二) 带电粒子在圆形边界
磁场中的运动
3
主题(三) 带电粒子在磁场中
运动的多解问题
4
课时跟踪检测
CONTENTS
目录
主题(一) 带电粒子在直线
边界磁场中的运动
1.圆心、半径、运动时间的确定
(1)圆心的确定
带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧,其圆心一定在与速度方向垂直的直线上。通常有两种确定方法。
知能融会通
①已知入射方向和出射方向时,可以通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线,两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示,图中P为入射点,M为出射点,O为轨道圆心)。
②已知入射方向和出射点的位置时,可以通过入射点作入射方向的垂线,连接入射点和出射点,作其中垂线,这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示,P为入射点,M为出射点,O为轨道圆心)。
(2)运动半径的确定
作入射点、出射点对应的半径,并作出相应的辅助三角形,利用三角形的解析方法或其他几何方法,求解出半径的大小,并与半径公式r=联立求解。
(3)运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T,当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时,其运动时间可表示为t=T。可见粒子转过的圆心角越大,所用时间越长。
2.带电粒子在有界磁场中运动的几个结论
(1)粒子进入单边磁场时,进、出磁场具有对称性,如图(a)、(b)、(c)所示。
(2)当速率一定时,粒子运动的弧长越长,圆心角越大,运动时间越长。
[典例] 真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场,
磁场方向如图所示,MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷
量为+q的粒子沿着与MN夹角为θ=30°的方向垂直射入磁场
中,粒子不能从PQ边界射出磁场(不计粒子重力的影响),求:
(1)粒子射入磁场的速度大小范围;
[答案] v≤
[解析] 粒子刚好不能从PQ边界射出磁场,即轨迹与PQ相切,如图所示,设轨迹半径为r,则l=r+rcos θ,轨迹半径r==,由半径公式r=得v=;故粒子不能从PQ边界射出磁场时的速度v≤。
(2)粒子在磁场中的运动时间。
[答案]
[解析] 粒子的速度大小不同,轨迹不同,但圆心角相同,即在磁场中的运动时间相同。
由几何知识可看出,轨迹所对应圆心角为300°,则运动时间t=T=T,周期T=,所以t=。
/方法技巧/
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
1.题目特点:这类题目中往往含有“最大”“最高”“至少”“恰好”等词语。
2.分析方法:从轨迹入手找准临界状态及其条件,如带电粒子刚好穿出或刚好不穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
3.两种常见的寻找临界状态的方法:
(1)放缩圆法:当粒子的入射方向不变而速度大小可变时,画出半径逐渐变大的圆轨迹,找到临界圆。
(2)旋转圆法:当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时,轨迹圆大小不变,只是位置绕入射点发生了旋转,画出某方向的圆,然后绕入射点旋转得到其他圆,找到临界圆。
1.(2024·黑龙江绥化高二统考)如图所示,匀强磁
场的边界为直角三角形,∠EGF=30°,已知磁感应强
度大小为B,方向垂直纸面向里,F处有一粒子源,沿FG方向发射出大量带正电荷q的同种粒子,粒子质量为m,粒子的初速度大小可调,则粒子从F射入磁场到垂直EG边离开磁场所用时间为 ( )
A.B . C. D.
题点全练清
√
解析:由题知,粒子从F射入磁场到垂直EG边离开磁场,则根据几何关系,粒子的运动轨迹的圆心在E点,有∠FEG=60°,qvB=m,T=,则粒子所用时间为t==,故选C。
2.(2024·福建厦门高二阶段练习)如图所示,在x轴上方
有磁感应强度为B的匀强磁场,一个带电粒子从坐标原点O
处以速度v进入磁场,粒子进入磁场时的速度方向垂直于
磁场且与x轴负方向成60°角,不计粒子所受的重力,若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中运动,到x轴的最大距离为a,则该粒子的比荷及所带电荷的正负是 ( )
A.,正电荷 B.,负电荷
C.,正电荷 D.,负电荷
√
解析:带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,
如图所示,由几何知识可得α=θ=60°,到x轴的最
大距离为a,则有粒子的轨道半径r与a的关系为
a=r+rcos60°=r,由洛伦兹力提供向心力,可得qvB=m,解得=,由解析图和左手定则可知,粒子带负电。故选B。
主题(二) 带电粒子在圆形
边界磁场中的运动
1.圆形边界
如图所示,若粒子沿半径方向射入磁场,则
知能融会通
(1)一定沿半径方向射出。
(2)构建由磁场圆半径R、轨迹圆半径r和两圆圆心连线构成的直角三角形,若速度偏向角为θ,则有tan=。
(3)磁场圆和轨迹圆对应的圆心角互补,即α+θ=π。
2.环状磁场区域
(1)径向出入:带电粒子沿(逆)半径方向射入磁场,若能返回同一边界,则一定逆(沿)半径方向射出磁场,如图甲、乙所示。
(2)最值相切:①一群粒子沿环状磁场的半径方向从中空区域射入磁场,不能穿越磁场的最大速度对应轨迹(两圆相切)如图丙所示;②沿各方向从中空区域射入磁场区域的所有粒子都不能穿越磁场的最大速度对应轨迹(两圆相切)如图丁所示。
[典例] (2024·陕西宝鸡高二阶段练习)如图所示,两个同
心圆之间的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场,两个同心
圆的半径分别为a和3a,圆心处有一粒子源,能发射速度为v的
粒子,粒子的质量为m,电荷量为q,忽略重力。若粒子均被限制在图中实线圆围成的区域内,则磁感应强度最小值为 ( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 当粒子在磁场中的运动轨迹与外圆相切时,
粒子在题图中实线圆围成的区域内运动的半径最大,磁感
应强度最小,粒子的运动轨迹如图。设粒子在磁场中运动
的最大半径为r,根据几何知识有r2+a2=(3a-r)2,得r=a,根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m,得B==,故选C。
1.如图,圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,质量
为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径
MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1,
离开磁场时速度方向偏转90°;若射入磁场时的速度大小
为v2,离开磁场时速度方向偏转60°。不计重力,则为( )
A.B. C. D.
题点全练清
√
解析:根据题意找出粒子做圆周运动的圆心,如图
所示。设圆形磁场区域的半径为R,由几何关系可知,
带电粒子以v1射入磁场时,在磁场中运动的轨迹半径r1
=R,带电粒子以v2射入磁场时,在磁场中运动的轨迹半径r2==R,根据洛伦兹力提供向心力有qvB=,可得v=,所以==,B正确。
2.(2024·广西来宾高二阶段练习)如图,虚线所示的圆形区域
内存在一垂直于纸面的匀强磁场,P为磁场边界上的一点,大量相
同的带电粒子以相同的速率经过P点,在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为v1,这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上;若粒子射入速率为v2,相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则这两种情况下带电粒子从P点射入到距P点最远处射出,其在磁场中所经历的时间比t1∶t2为 ( )
A.1∶2 B.2∶1 C.∶1 D.1∶1
√
解析:由于是相同的粒子,粒子进入磁场时的速度大小相同,由qvB=m,可知R=,又T==,即粒子在磁场中做圆周运动的周期相同。
若粒子运动的速度大小为v1,如图所示,当粒子在磁场边界的出射点M离P点最远时,则MP=2R1,同样,若粒子运动的速度大小为v2,粒子在磁场边界的出射点N离P点最远时,则NP=2R2,则两种情况下带电粒子均在磁场中运动了,故带电粒子从P点射入到距P点最远处射出,其在磁场中所经历的时间比t1∶t2=1∶1,A、B、C错误,D正确。
主题(三) 带电粒子在磁场
中运动的多解问题
(一)电性不确定形成双解
在相同的初速度和磁场的条件下,由于粒子的电性不同,在磁场中运动轨迹不同,导致形成双解。
(1)按粒子带正、负电荷分别讨论。
(2)画出粒子的可能轨迹,如图所示。
(3)根据牛顿运动定律建立动力学方程,再结合几何关系,解决有关问题。
知能融会通
[例1] 如图所示,在xOy平面内,y≥0的区域有垂直
于xOy平面向里的匀强磁场,磁感应强度为B,一质量
为m、带电荷量的绝对值为q的粒子从原点O沿与
x轴正方向成60°角方向以v0射入,粒子的重力不计,求带电粒子在磁场中运动的时间和带电粒子离开磁场时的位置。
[答案] - ,0 或 ,0
[解析] 根据题意可知,带电粒子在磁场中做匀速
圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,有
qv0B=m=mR
解得R=,T=
当带电粒子带正电时,轨迹如图中OAC所示,由几何关系可知,带电粒子在磁场中运动的圆心角为240°,故粒子在磁场中运动的时间
t1=T=
粒子在C点离开磁场OC=2Rsin 60°=
故离开磁场的位置为 - ,0
当带电粒子带负电时,轨迹如图中ODE所示,由几何关系可知,带电粒子在磁场中运动的圆心角为120°,故粒子在磁场中的运动时间
t2=T=
粒子在E点离开磁场OE=2Rsin 60°=
故离开磁场时的位置为 ,0 。
(二)磁场方向不确定形成双解
题目只指明磁感应强度的大小,而未具体指出磁感应强度的方向,此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的双解。解决此类问题的关键是审清题目,区别磁场方向,确定临界状态。
[例2] 如图所示,A点的离子源沿纸面垂直OQ
方向向上射出一束负离子,离子的重力忽略不计。
为把这束负离子约束在OP之下的区域,可加垂直纸
面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s,负离子的比荷为、速率为v,OP与OQ间的夹角为30°,则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是( )
A.B=,垂直纸面向里
B.B=,垂直纸面向里
C.B=,垂直纸面向外
D.B=,垂直纸面向外
√
[解析] 当磁场方向垂直纸面向里时,离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示,切点为M,设轨迹半径为r1,由几何关系可知,sin 30°=,可得r1=s,由r1=可得B1=,故所加匀强磁场的磁感应强度应满足B1'≥;当磁场方向垂直纸面向外时,其临界轨迹与OP相切于N点,如图乙所示,由几何关系可知,s=+r2,得r2=,由r2=,可得B2=,故所加匀强磁场的磁感应强度应满足B2'≥;综合上述分析可知,选项B正确,A、C、D错误。
(三)运动的周期性形成多解
1.带电粒子在空间运动时往往具有周期性,从而形成多解,通过分析第一周期或前几个周期的运动规律,寻找运动周期的通解。
2.在有其他条件限制下,通解有可能变为有限个解或单一解。
[例3] 如图所示,直线MN与水平方向成60°角,MN
的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场,左下方存在垂直
纸面向里的匀强磁场,两磁场的磁感应强度大小均为B。
一粒子源位于MN上的a点,能水平向右发射速率不同、质
量为m、电荷量为q(q>0)的同种粒子(重力不计,粒子间的相互作用不计),所有粒子均能通过MN上的b点,已知ab=L,则粒子的速度可能是 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可知,粒子可能的运动轨迹如图所
示,由几何知识知所有圆弧所对应的圆心角均为120°,
所以粒子运动的半径为r=·(n=1,2,3,…);粒子在匀强
磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,得qvB=m,则v=
=·(n=1,2,3,…),故选项B正确。
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1.(2024·广西高考)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场
区域如图所示,磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里。
质量为m、电荷量为+q的粒子,以初速度v从O点沿x轴正
向开始运动,粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°,交点为P。不计粒子重力,则P点至O点的距离为 ( )
A. B.
C.(1+) D.
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解析:粒子运动轨迹如图所示,在磁场中,根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m,可得粒子做圆周运动的半径r=,根据几何关系可得P点至O点的距离LPO=r+=(1+)。故选C。
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2.(2024·安徽合肥高二月考)如图所示,在正方形abcd区
域内有垂直纸面向里的匀强磁场,一带正电粒子从a点沿ab
方向射入磁场中,当入射速度小于或等于v时,粒子在该磁场
区域运动时间最长,且最长时间为t。若其他条件均不变,当入射粒子的速度大小为4v时,则该粒子在磁场中的运动时间为 ( )
A. B. C. D.
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解析:带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,有qvB=m=mr,整理得r=,T=。从a点沿ab方向进入磁场中的粒子,在磁场中运动的最长时间为半个周期,对应的最大半径是正方形边长的一半,即速度为v时,粒子做圆周运动的半径等于正方形边长的一半,从d点射出磁场,圆心角为π,根据=,整理有t=。当入射速度为4v时,由上述公式可知周期不变,半径变为原来的4倍,即是正方形边长的两倍,粒子将从bc边离开磁场,利用几何知识可知,对应的圆心角为,由上述分析有=,整理有t'==t,故选D。
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3.如图所示,空间中存在一平面直角坐标系xOy,
其第一象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。
将一带负电的粒子从y轴上的A(0,a)点以一定初速度,
沿着与y轴正半轴成θ=45°的方向射入磁场,经磁场偏转后,粒子从x轴上的C点垂直x轴离开磁场。已知磁感应强度大小为B,粒子的比荷和电荷量分别为k、q,粒子的重力不计。下列说法正确的是 ( )
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A.粒子在磁场中运动的时间为
B.从射入磁场到离开磁场,粒子所受洛伦兹力冲量的大小为
C.粒子在磁场中运动的轨道半径为a
D.C与O点相距(+1)a
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解析:如图所示,作出粒子的轨迹,粒子在磁场中运动的
时间为t=·=,A错误;由几何关系得粒子的运动轨
迹半径R=a,由洛伦兹力提供向心力有qvB=m,解得v==,因为洛伦兹力是变力,所以粒子所受洛伦兹力冲量的大小I≠(qvB)t,即I≠·
=,B、C错误;由几何关系可知,C与O点距离为sOC=R+a=(+1)a,
D正确。
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4.如图所示,正六边形abcdef区域内有垂直于纸面向外
的匀强磁场。一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域,
当速度大小为vb时,从b点离开磁场,在磁场中运动的时间为tb。
当速度大小为vc时,从c点离开磁场,在磁场中运动的时间为tc。不计粒子重力。则( )
A.vb∶vc=1∶2,tb∶tc=2∶1 B.vb∶vc=2∶1,tb∶tc=1∶2
C.vb∶vc=2∶1,tb∶tc=2∶1 D.vb∶vc=1∶2,tb∶tc=1∶2
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解析:根据题意作出的粒子运动轨迹如图所示,设正六
边形的边长为l。当带电粒子的速度大小为vb时,其轨迹圆
心在a点,轨迹半径r1=l,转过的圆心角θ1=π;当带电粒子的
速度大小为vc时,其轨迹圆心在O点(即fa、cb延长线的交点),故轨迹半径r2=2l,转过的圆心角θ2=。根据qvB=m得v=,故==;由T=得T=,所以两种情况粒子在磁场中做圆周运动的周期相等,又因为t=T,可得==,A正确,B、C、D错误。
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5.(2024·四川绵阳高二检测)如图所示,MN是磁感应强度为B的匀强磁场的边界。一质量为m、电荷量为q的粒子在纸面内从O点射入磁场。若粒子速度为v0,最远能落在边界上的A点。下列说法正确的有 ( )
A.若粒子落在A点的右侧,其速度一定大于v0
B.若粒子落在A点的左侧,其速度一定小于v0
C.若粒子落在A点左、右两侧d的范围内,其速度可能小于v0-
D.若粒子落在A点左、右两侧d的范围内,其速度不可能大于v0+
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解析:由题意可知,当粒子在O点垂直射入磁场时,在边界上的落点最远,又r=,即=,所以粒子若落在A的右侧,速度应大于v0,A正确;当粒子落在A的左侧时,由于不一定是垂直入射,所以速度可能等于、大于或小于v0,B错误;当粒子落到A点左侧相距d的点时,最小速度为vmin,则
=,又因=,所以vmin=v0-,所以若粒子落在A点左右两侧距离为d的范围内,其速度不可能小于vmin=v0-,C错误;
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当粒子落到A点右侧相距d的点时,最小速度为v1,则=,又因=,即v1=v0+,所以若粒子落在A点左右两侧d的范围内,其速度可能大于v0+,D错误。
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6.如图所示,有一圆形匀强磁场区域,O为圆心,磁场方向垂直于纸面向里。一个正电子和一个负电子(正、负电子的质量相等,电量大小也相等,但是电性相反)以不同的速率沿着PO方向垂直磁场射入,其运动轨迹如图所示,a、b两点分别表示两种电子离开磁场区域时的位置。下列判断中正确的是 ( )
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A.经过a点的为正电子,经过b点的为负电子
B.经过b点的电子在磁场中的运动时间较长
C.经过b点的电子在磁场中的运动速率较小
D.经过a点的电子在磁场中受到的洛伦兹力较小
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解析:根据左手定则可判断经过b点的为正电子,经
过a点的为负电子,选项A错误;根据洛伦兹力提供向心力
有qvB=m,解得R=,作出电子的轨迹半径如图,由图可
知,经过b点的电子轨迹半径较大,由于正、负电子的质量相等,电量大小也相等,可知经过b点的电子在磁场中的运动速率较大,选项C错误;
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洛伦兹力f=qvB,经过a点的电子在磁场中的运动速率较小,则经过a点的电子在磁场中受到的洛伦兹力较小,选项D正确;电子在磁场中运动的周期T===,两电子质量相等,电量大小也相等,所以周期相同,而电子在磁场中的运动时间t=T,由图可知经过b点的电子圆心角较小,在磁场中的运动时间较短,选项B错误。
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7.如图所示,等腰直角三角形BAC区域内(不包含
边界)存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大
小为B,顶角A为90°。大量质量为m、电荷量为+q的粒子,以不同的速率从BC边中点O沿OA方向射入该磁场区域,不计粒子重力。则从AB边射出的粒子在磁场中的运动时间不可能为 ( )
A.B. C. D.
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解析:粒子进入磁场之后洛伦兹力提供向心力,由
qvB=m,解得r=,周期T==,可知粒子在磁场
中的运动周期相同,但在磁场中运动轨迹对应的圆心角不同,即运动时间不同,当运动轨迹正好与AB边相切时如图所示,此时粒子在磁场中运动时间为t=·=,若速度增大,则粒子运动轨迹半径增大,粒子从AB边射出,轨迹对应的圆心角小于135°,运动时间小于t,因此选A。
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8.(多选)如图所示,直线POQ的上方有方向垂直于纸面向外的匀强磁场,两带电粒子P、Q先后射入磁场,P的速度与磁场边界的夹角为30°,Q的速度与磁场边界的夹角为60°。已知两粒子在磁场中做匀速圆周运动的时间相同,且均从O点射出磁场,PO=2OQ,则 ( )
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A.P和Q均带正电
B.P和Q的比荷之比为1∶2
C.P和Q的速度大小之比为∶1
D.P和Q在磁场中运动的半径之比为2∶1
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解析:由题意可知,两粒子均从O点射出磁场,根
据左手定则可知,Q带正电,P带负电,A错误;根据题
意找出粒子做圆周运动的圆心,粒子运动轨迹如图
所示,由几何关系可知,cos30°==,cos60°==,可知R1=QO,
R2=OP,又因PO=2OQ,则R2=2QO,
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故R2∶R1=2QO∶QO=2∶1,由两粒子在磁场中做匀速圆周运动的时间相同,即tP=tQ,又tP=·,tQ=·,有·=·,可得∶
=1∶2,由公式qvB=m,可得v=,又因R2∶R1=2∶1,∶=1∶2,
则vP∶vQ=∶1,D错误,B、C正确。
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9.(多选)如图所示,在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场,在MN边界放一刚性挡板,粒子碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度从P点射入,恰好从Q点射出,下列说法正确的是 ( )
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A.带电粒子一定带负电荷
B.带电粒子的速度最小值为
C.若带电粒子与挡板碰撞,则受到挡板作用力的冲量大小为
D.带电粒子在磁场中运动时间可能为
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解析:若粒子带正电,与挡板MN碰撞后恰好从Q点射出,运动轨迹如图甲所示,设轨迹半径为r1,由几何关系可得L2+(r1-0.5L)2=,解得r1=L,由洛伦兹力提供向心力,有qv1B=m,解得v1=,由动量定理得I=2mv1
=,A错误,C正确;若粒子的运动轨迹如图乙所示,由左手定则可知,粒子带负电,粒子运动的轨迹半径最小,设速度最小为v2,由qv2B=m,解得v2=,B错误;
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若粒子带负电,运动轨迹如图丙所示,当轨迹半径等于L时,此时转过的圆心角为60°,所以在磁场中运动的时间为t==,D正确。
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10.(2023·全国甲卷)(多选)光滑刚性绝缘圆筒内
存在着平行于轴的匀强磁场,筒上P点开有一个小孔,
过P的横截面是以O为圆心的圆,如图所示。一带电粒
子从P点沿PO射入,然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间,速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变,沿法线方向的分量大小不变、方向相反;电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是 ( )
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A.粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B.最少经2次碰撞,粒子就可能从小孔射出
C.射入小孔时粒子的速度越大,在圆内运动时间越短
D.每次碰撞后瞬间,粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线
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解析:由带电粒子在圆形磁场中的运动规律可知,带电粒子指向圆心射入,与筒壁碰撞后依然指向圆心,所以带电粒子不可能通过圆心O,A错误,D正确;当带电粒子每次偏转60°撞击筒壁时,恰好经两次碰撞从小孔射出,B正确;带电粒子速度越大,做圆周运动的半径越大,当偏转角度小于60°撞击筒壁时,带电粒子射出小孔前经历的撞击次数增加,在圆筒内运动时间可能变长,C错误。
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11.(2024·山东临沂高二统考)如图所示,在平面直角坐标系
xOy第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场,从y轴上P点沿与
y轴负方向成θ=30°角发射一带电粒子,速度为v0=1×106 m/s,
粒子的比荷为=1.0×107 C/kg,带电粒子恰好垂直x轴射出磁场,OP间距离为L=0.5 m,不计粒子受到的重力,求:
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(1)匀强磁场的磁感应强度大小B;
答案:0.1 T
解析:设粒子在磁场中运动的轨道半径为R,根据几何关系可得Rsin θ=L
由牛顿第二定律有qv0B=m
解得B=0.1 T。
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(2)带电粒子在磁场中运动的时间。
答案:×10-6 s
解析:粒子的运动周期为T=
在磁场中的运动时间为t=T
解得t=×10-6 s。
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12.如图,一个重力不计的带电粒子,以大小为v的速度从
坐标(0,L)的a点,平行于x轴射入磁感应强度大小为B、方向
垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域,并从x轴上b点射出磁
场,射出速度方向与x轴正方向夹角为60°。求:
(1)带电粒子在磁场中运动的轨道半径;
答案:2L
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解析:画出粒子运动的轨迹如图
由几何知识得Rsin 30°+L=R
解得R=2L。
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(2)带电粒子的;
答案:
解析:由洛伦兹力提供向心力,得qBv=m
解得==。
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(3)粒子从a点运动到b点的时间。
答案:
解析:粒子运动的周期为T==
粒子从a点运动到b点的时间为t=T=。
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4课时跟踪检测(四) 带电粒子在有界磁场中的运动
1．(2024·广西高考)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为＋q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为( )
A. .
C．(1＋) .
2．(2024·安徽合肥高二月考)如图所示，在正方形abcd区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，一带正电粒子从a点沿ab方向射入磁场中，当入射速度小于或等于v时，粒子在该磁场区域运动时间最长，且最长时间为t。若其他条件均不变，当入射粒子的速度大小为4v时，则该粒子在磁场中的运动时间为( )
A. B.
C. D.
3.如图所示，空间中存在一平面直角坐标系xOy，其第一象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。将一带负电的粒子从y轴上的A(0，a)点以一定初速度，沿着与y轴正半轴成θ＝45°的方向射入磁场，经磁场偏转后，粒子从x轴上的C点垂直x轴离开磁场。已知磁感应强度大小为B，粒子的比荷和电荷量分别为k、q，粒子的重力不计。下列说法正确的是( )
A．粒子在磁场中运动的时间为
B．从射入磁场到离开磁场，粒子所受洛伦兹力冲量的大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为a
D．C与O点相距(＋1)a
4.如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场。一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为vb时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb。当速度大小为vc时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc。不计粒子重力。则( )
A．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1
B．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝1∶2
C．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝2∶1
D．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝1∶2
5．(2024·四川绵阳高二检测)如图所示，MN是磁感应强度为B的匀强磁场的边界。一质量为m、电荷量为q的粒子在纸面内从O点射入磁场。若粒子速度为v0，最远能落在边界上的A点。下列说法正确的有( )
A．若粒子落在A点的右侧，其速度一定大于v0
B．若粒子落在A点的左侧，其速度一定小于v0
C．若粒子落在A点左、右两侧d的范围内，其速度可能小于v0－
D．若粒子落在A点左、右两侧d的范围内，其速度不可能大于v0＋
6．如图所示，有一圆形匀强磁场区域，O为圆心，磁场方向垂直于纸面向里。一个正电子和一个负电子(正、负电子的质量相等，电量大小也相等，但是电性相反)以不同的速率沿着PO方向垂直磁场射入，其运动轨迹如图所示，a、b两点分别表示两种电子离开磁场区域时的位置。下列判断中正确的是( )
A．经过a点的为正电子，经过b点的为负电子
B．经过b点的电子在磁场中的运动时间较长
C．经过b点的电子在磁场中的运动速率较小
D．经过a点的电子在磁场中受到的洛伦兹力较小
7.如图所示，等腰直角三角形BAC区域内(不包含边界)存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，顶角A为90°。大量质量为m、电荷量为＋q的粒子，以不同的速率从BC边中点O沿OA方向射入该磁场区域，不计粒子重力。则从AB边射出的粒子在磁场中的运动时间不可能为( )
A. B.
C. D.
8．(多选)如图所示，直线POQ的上方有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，两带电粒子P、Q先后射入磁场，P的速度与磁场边界的夹角为30°，Q的速度与磁场边界的夹角为60°。已知两粒子在磁场中做匀速圆周运动的时间相同，且均从O点射出磁场，PO＝2OQ，则( )
A．P和Q均带正电
B．P和Q的比荷之比为1∶2
C．P和Q的速度大小之比为∶1
D．P和Q在磁场中运动的半径之比为2∶1
9.(多选)如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度从P点射入，恰好从Q点射出，下列说法正确的是( )
A．带电粒子一定带负电荷
B．带电粒子的速度最小值为
C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量大小为
D．带电粒子在磁场中运动时间可能为
10．(2023·全国甲卷)(多选)光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是( )
A．粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B．最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出
C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线
11．(2024·山东临沂高二统考)如图所示，在平面直角坐标系xOy第一象限内
有垂直纸面向里的匀强磁场，从y轴上P点沿与y轴负方向成θ＝30°角发射一带电粒子，速度为v0＝1×106 m/s，粒子的比荷为＝1.0×107 C/kg，带电粒子恰好垂直x轴射出磁场，OP间距离为L＝0.5 m，不计粒子受到的重力，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度大小B；
(2)带电粒子在磁场中运动的时间。
12．如图，一个重力不计的带电粒子，以大小为v的速度从坐标(0，L)的a点，平行于x轴射入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，并从x轴上b点射出磁场，射出速度方向与x轴正方向夹角为60°。求：
(1)带电粒子在磁场中运动的轨道半径；
(2)带电粒子的；
(3)粒子从a点运动到b点的时间。
课时跟踪检测(四)
1．选C 粒子运动轨迹如图所示，在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得粒子做圆周运动的半径r＝，根据几何关系可得P点至O点的距离LPO＝r＋＝(1＋)。故选C。
2．选D 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m＝mr，整理得r＝，T＝。从a点沿ab方向进入磁场中的粒子，在磁场中运动的最长时间为半个周期，对应的最大半径是正方形边长的一半，即速度为v时，粒子做圆周运动的半径等于正方形边长的一半，从d点射出磁场，圆心角为π，根据＝，整理有t＝。当入射速度为4v时，由上述公式可知周期不变，半径变为原来的4倍，即是正方形边长的两倍，粒子将从bc边离开磁场，利用几何知识可知，对应的圆心角为，由上述分析有＝，整理有t′＝＝t，故选D。
3.选D 如图所示，作出粒子的轨迹，粒子在磁场中运动的时间为t＝·＝，A错误；由几何关系得粒子的运动轨迹半径R＝a，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得v＝＝，因为洛伦兹力是变力，所以粒子所受洛伦兹力冲量的大小I≠(qvB)t，即I≠·＝，B、C错误；由几何关系可知，C与O点距离为sOC＝R＋a＝(＋1)a，D正确。
4．选A 根据题意作出的粒子运动轨迹如图所示，设正六边形的边长为l。当带电粒子的速度大小为vb时，其轨迹圆心在a点，轨迹半径r1＝l，转过的圆心角θ1＝π；当带电粒子的速度大小为vc时，其轨迹圆心在O点(即fa、cb延长线的交点)，故轨迹半径r2＝2l，转过的圆心角θ2＝。根据qvB＝m得v＝，故＝＝；由T＝得T＝，所以两种情况粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，又因为t＝T，可得＝＝，A正确，B、C、D错误。
5．选A 由题意可知，当粒子在O点垂直射入磁场时，在边界上的落点最远，又r＝，即＝，所以粒子若落在A的右侧，速度应大于v0，A正确；当粒子落在A的左侧时，由于不一定是垂直入射，所以速度可能等于、大于或小于v0，B错误；当粒子落到A点左侧相距d的点时，最小速度为vmin，则＝，又因＝，所以vmin＝v0－，所以若粒子落在A点左右两侧距离为d的范围内，其速度不可能小于vmin＝v0－，C错误；当粒子落到A点右侧相距d的点时，最小速度为v1，则＝，又因＝，即v1＝v0＋，所以若粒子落在A点左右两侧d的范围内，其速度可能大于v0＋，D错误。
6.选D 根据左手定则可判断经过b点的为正电子，经过a点的为负电子，选项A错误；根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得R＝，作出电子的轨迹半径如图，由图可知，经过b点的电子轨迹半径较大，由于正、负电子的质量相等，电量大小也相等，可知经过b点的电子在磁场中的运动速率较大，选项C错误；洛伦兹力f＝qvB，经过a点的电子在磁场中的运动速率较小，则经过a点的电子在磁场中受到的洛伦兹力较小，选项D正确；电子在磁场中运动的周期T＝＝＝，两电子质量相等，电量大小也相等，所以周期相同，而电子在磁场中的运动时间t＝T，由图可知经过b点的电子圆心角较小，在磁场中的运动时间较短，选项B错误。
7．选A 粒子进入磁场之后洛伦兹力提供向心力，由qvB＝m，解得r＝，周期T＝＝，可知粒子在磁场中的运动周期相同，但在磁场中运动轨迹对应的圆心角不同，即运动时间不同，当运动轨迹正好与AB边相切时如图所示，此时粒子在磁场中运动时间为t＝·＝，若速度增大，则粒子运动轨迹半径增大，粒子从AB边射出，轨迹对应的圆心角小于135°，运动时间小于t，因此选A。
8．选BC 由题意可知，两粒子均从O点射出磁场，根据左手定则可知，Q带正电，P带负电，A错误；根据题意找出粒子做圆周运动的圆心，粒子运动轨迹如图所示，由几何关系可知，cos30°＝＝，cos60°＝＝，可知R1＝QO，R2＝OP，又因PO＝2OQ，则R2＝2QO，故R2∶R1＝2QO∶QO＝2∶1，由两粒子在磁场中做匀速圆周运动的时间相同，即tP＝tQ，又tP＝·，tQ＝·，有·＝·，可得∶＝1∶2，由公式qvB＝m，可得v＝，又因R2∶R1＝2∶1，∶＝1∶2，则vP∶vQ＝∶1，D错误，B、C正确。
9．选CD 若粒子带正电，与挡板MN碰撞后恰好从Q点射出，运动轨迹如图甲所示，设轨迹半径为r1，由几何关系可得L2＋(r1－0.5L)2＝r12，解得r1＝L，由洛伦兹力提供向心力，有qv1B＝m，解得v1＝，由动量定理得I＝2mv1＝，A错误，C正确；若粒子的运动轨迹如图乙所示，由左手定则可知，粒子带负电，粒子运动的轨迹半径最小，设速度最小为v2，由qv2B＝m，解得v2＝，B错误；若粒子带负电，运动轨迹如图丙所示，当轨迹半径等于L时，此时转过的圆心角为60°，所以在磁场中运动的时间为t＝＝，D正确。
10．选BD 由带电粒子在圆形磁场中的运动规律可知，带电粒子指向圆心射入，与筒壁碰撞后依然指向圆心，所以带电粒子不可能通过圆心O，A错误，D正确；当带电粒子每次偏转60°撞击筒壁时，恰好经两次碰撞从小孔射出，B正确；带电粒子速度越大，做圆周运动的半径越大，当偏转角度小于60°撞击筒壁时，带电粒子射出小孔前经历的撞击次数增加，在圆筒内运动时间可能变长，C错误。
11．解析：(1)设粒子在磁场中运动的轨道半径为R，根据几何关系可得Rsin θ＝L
由牛顿第二定律有qv0B＝m，解得B＝0.1 T。
(2)粒子的运动周期为T＝
在磁场中的运动时间为t＝T，解得t＝×10－6 s。
答案：(1)0.1 T (2)×10－6 s
12．解析：(1)画出粒子运动的轨迹如图
由几何知识得Rsin 30°＋L＝R
解得R＝2L。
(2)由洛伦兹力提供向心力，得qBv＝m
解得＝＝。
(3)粒子运动的周期为T＝＝
粒子从a点运动到b点的时间为t＝T＝。
答案：(1)2L (2) (3)
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