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1.用 把数和字母连接而成的式子叫作代数式.单独一个数或一个字母也是代数式.其中的运算符号可以是加、减、乘、除、乘方等.
2.用字母表示数的书写规范
(1)数与字母相乘,数要放在字母前面;
(2)在含有字母的式子中出现乘号时,一般写成“·”或省略不写;
(3)进行除法运算时,把“÷”写成分数线的形式;
(4)带分数与字母相乘时,要把带分数化成假分数.
1 代数式
第1课时 代数式
第三章 整式及其加减
运算符号
精讲练 新知探究
探究点一 代数式的概念及书写规范
C
B
巩固训练
C
C
探究点二 用字母表示数
例3 用含字母的式子表示下列数.
(1)棱长为a cm的正方体的表面积.
(2)一辆汽车的行驶速度是v km/h,求t h行驶的距离.
(3)温度由t ℃上升5 ℃后是多少
(4)某种苹果的售价是每千克x元(x<10),用50元买5 kg这种苹果,应找回多少钱
解:(1)6a2 cm2.
(2)vt km.
(3)(t+5)℃.
(4)(50-5x)元.
巩固训练
3.用代数式表示“m的3倍与n的差的平方”,正确的是( )
A.(3m-n)2 B.3(m-n)2
C.3m-n2 D.(m-3n)2
A
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1.代数式的值
代数式的值是用具体数值代替代数式里的 ,按照代数式中的运算计算出的结果.
2.求代数式的值的步骤
(1)“代人”:即用具体数值代替代数式里的 ;
(2)“计算”:即按照代数式中给出的运算关系计算出结果.
第2课时 代数式求值
字母
字母
精讲练 新知探究
探究点 求代数式的值
例1 有两种学生作业本,甲种单价是2.5元,乙种单价是2.8元,买这两种作业本的数量分别是m和n.
(1)共需要多少元钱
解:(1)共需(2.5m+2.8n)元钱.
(2)如果甲、乙两种学生作业本分别买了20本和25本,那么共花了多少
元钱
解:(2)把m=20,n=25代入2.5m+2.8n,得
2.5×20+2.8×25=120.
所以甲、乙两种学生作业本共花了120元钱.
例2 按如图所示的运算程序,输入一个数x,便可输出一个相应的数y.若输入的x为-3,则输出的y的值为( )
A.21 B.1
C.-9 D.-1
C
巩固训练
1.当x=-1时,代数式x2+3x+2的值是( )
A.-2 B.-1
C.0 D.4
2.若代数式x-2y-8的值为2,则代数式3x-6y-4的值为( )
A.30 B.-26
C.-30 D.26
C
D
3.按如图所示的程序计算,若开始输入的值为 x=3,则最后输出的结果是( )
A.6 B.21
C.156 D.231
D
4.如图所示,已知圆的半径为R,正方形的边长为a.
(1)阴影部分的面积 S= ;
(2)当R=20 cm,a=8 cm时,阴影部分的面积S= cm2.
5.某地海拔h(km)与温度T(℃)的关系可用T=20-6h来表示,则该地区海拔为2 000 m 的山顶上的温度为 ℃.
πR2-a2
(400π-64)
8
6.填写下表,并观察下面两个代数式的值的变化情况:
m 1 2 3 4 5 6 7
6m+8
2m2+1
(1)当m>0时,随着m值的逐渐变大,两个代数式的值如何变化
解:填表如下.
m 1 2 3 4 5 6 7
6m+8 14 20 26 32 38 44 50
2m2+1 3 9 19 33 51 73 99
(1)当m>0时,随着m值的增大,两个代数式的值分别随m的增大而增大.
(2)哪个代数式的值先超过200
解:(2)当m=10时,6m+8=68,2m2+1=201.
所以代数式2m2+1的值先超过200.
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1.数与字母的乘积的代数式叫作 ,特别地,单独一个 或
也是单项式.
几个单项式的和叫作 ,
单项式和多项式统称 .
2.单项式中的 叫作这个单项式的系数.单项式中
的指数和叫作这个单项式的次数.
3.在多项式中,每个单项式叫作多项式的 .一个多项式中,
的次数,叫作这个多项式的次数.
第3课时 整 式
单项式
数
一个字母
多项式
整式
数字因数
所有字母
项
次数最高的项
精讲练 新知探究
探究点一 单项式及其相关概念
例1 指出下列代数式中的单项式,并说出单项式的系数和次数.
易错提醒
(1)单项式的次数是单项式中所有字母的指数和,与单项式系数的次数无关;
(2)π是数字,不是字母;
(3)字母的指数没有写时,指数是1,而不是0;
(4)一个数是单项式,其次数是0.
巩固训练
D
-2a3b(答案不唯一)
解:(1)1.25n t,系数为1.25,次数为1.
探究点二 多项式及其相关概念
例2 写出下列多项式是几次几项式,并指出常数项和次数最高的项的
系数.
(1)-4x4y-2x2+3+5y;
解:(1)-4x4y-2x2+3+5y是五次四项式,常数项是3,次数最高的项的系数是-4.
易错提醒
(1)一个多项式中,次数最高的项有时不唯一;
(2)在多项式中,不含字母的项叫作常数项;
(3)多项式的次数不是各个单项式的次数之和.
B
巩固训练
4.多项式3x2-2x+5的各项分别是( )
A.3x2,-2x,5 B.x2,x,5
C.3x2,2x,5 D.3,2,5
5.对于多项式-3x+2xy2-1,下列说法正确的是( )
A.一次项的系数是3
B.次数最高的项是2xy2
C.常数项是1
D.是四次三项式
A
B
C
B
①②③⑤⑦
①②⑦
③⑤
9.如图所示,根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)求阴影部分的周长.
(2)求阴影部分的面积.
(3)上述所求的周长和面积分别是几次几项式 每一项的系数是什么
解:(1)阴影部分的周长=2a+2πr.
(2)阴影部分的面积=2r·a-πr2=2ra-πr2.
(3)2a+2πr是一次二项式,2a的系数是2,2πr的系数是2π;
2ra-πr2是二次二项式,2ra的系数是2,-πr2的系数是-π.
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去括号法则
(1)括号前是“+”,把括号和它前面的“+”去掉后,原括号里各项的符号都 .
(2)括号前是“-”,把括号和它前面的“-”去掉后,原括号里各项的符号都要 .
第2课时 去括号
不改变
改变
精讲练 新知探究
探究点 去括号法则
例1 去括号:
(1)n-3(4-2m);
解:(1)n-3(4-2m)=n-12+6m.
(3)-8(3a-2ab+4)=-24a+16ab-32.
(4)4(m+p)-7(n-2q)=4m+4p-7n+14q.
解:(1)3xy-4xy-(-2xy)=-xy+2xy=xy.
例2 先去括号,再合并同类项:
(1)3xy-4xy-(-2xy);
(2)5a-3b-3(-2b+a);
(3)3(2x2-y2)-2(3y2-2x2).
(2)5a-3b-3(-2b+a)=5a-3b+6b-3a=2a+3b.
(3)3(2x2-y2)-2(3y2-2x2)=6x2-3y2-6y2+4x2=10x2-9y2.
巩固训练
1.下列选项中,去括号正确的是( )
A.a+(b-1)=a-b-1
B.a+(b-1)=a+b+1
C.a-(b-1)=a-b+1
D.a-(b-1)=a-b-1
2.下列各式与多项式a-b-c不相等的是( )
A.(a-b)-c B.a-(b+c)
C.-(b+c-a) D.a-(b-c)
C
D
3.计算-3(x-2y)+4(x-2y)的结果是( )
A.x-2y B.x+2y
C.-x-2y D.-x+2y
4.“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.如:已知m+n=-2,mn=-4,则2(mn-3m)-3(2n-mn)的值为( )
A.-2 B.-8
C.-6 D.-4
A
B
5.先去括号,再合并同类项:
(1)5a-(a+3b);
(2)-2x-(-3x+1);
(3)3x-2+2(x-3);
(4)(2a2-b2)-3(a2-2b2).
解:(1)5a-(a+3b)=5a-a-3b=4a-3b.
(2)-2x-(-3x+1)=-2x+3x-1=x-1.
(3)3x-2+2(x-3)=3x-2+2x-6=5x-8.
(4)(2a2-b2)-3(a2-2b2)=2a2-b2-3a2+6b2=-a2+5b2.
6.(2025娄底期末)化简并求值:
6b2+(a2b-3b2)-2(2b2-a2b),其中a=-2,b=1.
解:原式=6b2+a2b-3b2-4b2+2a2b
=3a2b-b2.
当a=-2,b=1时,
原式=3×(-2)2×1-12
=12-1
=11.
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3 探索与表达规律
第1课时 探索规律
1.数与算式的规律问题:首先要认真观察数与数之间的规律及算式本身存在的规律,把等式横向、纵向分别进行比较,找出其中的不变部分与变化部分,然后找出其中的变化规律.
2.探索图形变化的规律问题:要注意观察图形、分析图形特点,挖掘相邻两个图形间的增减变化关系,有时也可将图形进行分割,从不同角度
分析图形的变化特点,从中找出规律,大胆猜想,用恰当的代数
式表示规律并加以验证.
3.探究规律的一般步骤
(1)仔细观察思考,寻找 关系;
(2)用 式或等式表示规律;
(3)用具体的数值验证规律.
数量
代数
精讲练 新知探究
探究点 数式及图形变化中的规律
例1 如图所示的是某月的月历表,用带阴影的方框恰好盖住4个数,若这样的阴影方框可以上下左右移动.设a表示的数是x,则这4个数的和为
(用含x的代数式表示).
4x+14
例2 用相等长度的火柴棒搭成如图所示的一组图形,按照此规律,搭第n个图形要用的火柴棒的根数用含n的代数式表示为 .
8n+4
巩固训练
1.一组按照规律排列的式子如下:2m,-5m2,10m3,-17m4,26m5,….根据规律写出的第21个式子为( )
A.401m21 B.-401m21
C.442m21 D.-442m21
2.如图所示,在一个角内部画射线,画1条射线时,图中共有3个角;画2条射线时,图中共有6个角;画3条射线时,图中共有10个角.画10条射线时,图中共有 个角.
C
66
3.如图所示,用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面,请观察图形并解答有关问题:
(1)第99个图形中,第一行共有 块瓷砖,第一列共有 块瓷砖,该图中白色瓷砖共有 块;
(2)第n个图形中,铺设地面所用黑色瓷砖的块数为 (用含n的代数式表示).
102
103
10 100
4n+10
n=1 n=2 n=3
…
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第2课时 借助运算解释规律和现象
借助代数运算解释规律和现象,需要借助字母列出算式并加以计算.根据计算的结果说明理由.
精讲练 新知探究
探究点 借助运算解释规律和现象
例题 某学校将组织学生参加长跑活动.七(2)班班主任王老师对全班46名同学说:想参加的同学举手,如果举手的人数和没有举手的人数之差是奇数,我只派9个班干部参加;如果是偶数,让全班同学参加.请用学过的知识来说明老师的真实想法.
解:设举手的人数为x,那么没有举手的人数为(46-x),举手的人数和没有举手的人数之差为x-(46-x)=x-46+x=2x-46=2(x-23).
因为x是整数,所以x-23是整数.
所以2(x-23)是偶数.
所以老师的真实想法是让全班同学都参加.
解答数字游戏规律问题的一般步骤
(1)用字母表示题目中相关的量;
归纳总结
(2)根据要求列出代数式来表达数量关系;
(3)根据运算的结果发现并解释规律或现象.
巩固训练
1.甲对乙说:“有一个游戏,规则是任想一个数,把这个数乘2,结果加上8,再除以2,最后减去所想的数,此时我就知道结果.”那么结果是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图所示的是一个“数值转换机”,若开始输入x的值是8,则第1次输出的结果是4,第2次输出的结果是2,…,第2 024次输出的结果是( )
A.8 B.4
C.2 D.1
D
C
3.莱蒙托夫是俄国著名的诗人,爱好数学,有一次,他给一些军官表演猜数游戏,他请一名军官随便想好一个数,不要说出来,然后请这位军官将想好的数加上25,再加上125,再减去37,再减去最初想好的数,把所得的数乘5,最后再除以2.这时莱蒙托夫说,我可以猜出你算出的结果,这个结果是 .
282.5
4.对于以下三位正整数:121,253,374,495,583,671,880,….它们都能被11整除.若设百位数字是a,十位数字是b,个位数字是c.
(1)观察这些三位数,根据你的观察,总结a,b,c满足的关系式是 ;
(2)为了说明满足a,b,c上述关系式的三位正整数都能被11整除,请利用代数式的运算说明你得出的结论的正确性.
解:(1)a+c=b
(2)因为a+c=b,
所以100a+10b+c=100a+10(a+c)+c=100a+10a+10c+c=110a+11c=
11(10a+c),
所以能被11整除.
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1.所含字母相同,并且相同字母的 也相同的项,叫作同类项.
所有 项都是同类项.
2.合并同类项
把同类项合并成 项叫作合并同类项.
3.合并同类项的法则
合并同类项时,把同类项的 相加,字母和字母的指数 .
2 整式的加减
第1课时 合并同类项
指数
常数
一
系数
不变
精讲练 新知探究
探究点一 同类项的概念
例1 下列各组式子,属于同类项的有哪些
(1)2a2b与2ab2; (2)3a与3b;
解:(1)2a2b与2ab2中的字母相同,但a,b的指数不同,故不是同类项.
(2)3a与3b所含字母不同,故不是同类项.
(4)-x2y3与6y3x2所含字母相同,并且相同字母的指数也相同,故是同类项.
方法技巧
识别同类项的方法
(1)所含字母相同,相同字母的指数相同;
(2)同类项与系数无关,与字母的先后顺序无关;
(3)几个常数项也是同类项.
巩固训练
1.下列各式中,是5x2y的同类项的是( )
A.3a2b B.x3
C.-x2y D.5x2yz
2.下列各组单项式中,不是同类项的是( )
A.-a2与2a2 B.-mn与2nm
C.2与0 D.2m4n2与4m2n4
3.写出单项式-9x2y3的一个同类项: .
C
D
6x2y3(答案不唯一)
探究点二 合并同类项
例2 合并同类项:
(2)4ax+a2-6ax+8ax+4+5a2-3
=(4-6+8)ax+(1+5)a2+(4-3)
=6ax+6a2+1.
方法技巧
合并同类项的方法
(1)用不同的符号作标记,找全同类项;
(2)合并同类项时,只合并同类项的系数,字母及其指数不变.
巩固训练
D
D
(2)2a2b+3a2b-6a2b=(2+3-6)a2b=-a2b.
(3)ab-xy-ab+2xy=(ab-ab)+(-xy+2xy)=xy.
(4)-4n2m+2mn+9mn2-3mn=(-4n2m+9mn2)+(2mn-3mn)=5mn2-mn.
巩固训练
A
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1.进行整式加减运算时,如果遇到括号要先 ,再合并 .
2.多项式作为整体参与计算时,要注意添加括号.
第3课时 整式的加减
去括号
同类项
精讲练 新知探究
探究点一 整式的加减运算
例1 已知A=a2-2ab+b2,B=a2+2ab+b2.求:
解:(1)A+B=a2-2ab+b2+a2+2ab+b2=2a2+2b2;
巩固训练
1.多项式6a2-5a+3与多项式5a2+2a-1的差是( )
A.a2-7a+4 B.a2-3a+2
C.a2-7a+2 D.a2-3a+4
2.已知M=2a+b,N=4a-3b,则2M-N的结果为( )
A.-2b B.-b
C.4b D.5b
A
D
解:(1)3a+2b-(-3a-5b)
=3a+2b+3a+5b
=6a+7b.
3.计算:
(1)3a+2b-(-3a-5b);
(2)-2y3+(-x2y+3xy2)-2(xy2-y3).
(2)-2y3+(-x2y+3xy2)-2(xy2-y3)
=-2y3-x2y+3xy2-2xy2+2y3
=xy2-x2y.
探究点二 整式加减的应用
例2 已知一个两位数的个位数字是a,十位数字比个位数字大2.
(1)这个两位数是多少 (用含a的式子表示,结果化到最简)
(2)把这个两位数十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新的两位数,试说明新数与原数的和能被22整除.
解:(1)根据题意,得10(a+2)+a=11a+20,则这个两位数是11a+20.
(2)新两位数是10a+a+2=11a+2,
新数与原数的和是11a+20+11a+2=22a+22=22(a+1),
所以新数与原数的和能被22整除.
巩固训练
4.一个长方形的周长为6a+8b,其中一边长为2a-b,则与其相邻的另一边长为( )
A.4a+5b B.a+b
C.a+5b D.a+7b
C
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