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2 角
第1课时 角的认识
1.角的定义:由两条具有 的射线组成的图形叫作角,也可以看成是由一条射线绕着它的端点 而成的.
2.角可以用一个或三个 表示,也可以用一个小写的 .
或 表示.
3.角的常用度量单位有 、 、 ,它们之间的进率是60.
公共端点
旋转
大写字母
希腊字母
阿拉伯数字
度
分
秒
精讲练 新知探究
探究点一 角的概念与角的表示方法
例1 请将图中的角用不同方法表示出来,并填写下表:
解:从左到右依次填:∠α,∠ABC,∠ACB,∠ACF,∠BAC.
∠ABE
∠1 ∠2 ∠3 ∠A
巩固训练
1.下列说法中正确的是( )
A.两条射线组成的图形叫作角
B.直线是一个平角
C.一条射线就是一个周角
D.∠AOB与∠BOA表示同一个角
D
2.如图所示,以点O为端点有四条射线,则图中组成角的个数为( )
A.4 B.6
C.8 D.10
B
3.如图所示.
(1)能用一个字母表示的角是 ;
(2)以B为顶点的角是 ;
(3)小于平角的角有 个,
分别为 .
∠A,∠C
∠ABE,∠ABC,∠EBC
7
∠A,∠ABE,∠ABC,∠EBC,∠C,∠AEB,∠CEB
探究点二 角度的单位及换算、方位角
例2 26.54°= ° ′ ″;
35°40′30″= °.
例3 如图所示,射线OP表示的方向是 .
26
32
24
35.675
北偏西60°
巩固训练
4.教材变式题 钟表在9:10时,时针与分针所成的钝角为( )
A.125° B.135° C.145° D.155°
5.(1)34.37°= ° ′ ″.
(2)34°18′36″= °.
C
34
22
12
34.31
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1 线段、射线、直线
第1课时 线段、射线、直线
1.线段、射线、直线
第四章 基本平面图形
名 称 图例 表示方法 延伸 方向 端点 个数 可否
度量
线 段 线段AB或线段BA或线段a 不延伸 2 可
射 线 射线AB 一个 方向 1 否
直 线 直线AB或直线BA或直线a 两个 方向 0 否
联 系 ①将线段向一个方向无限延长就形成了射线,向两个方向无限延长就形成了直线; ②线段和射线可看作直线的一部分 2.点与直线的位置关系:点在直线 ,点在直线 .
3.直线的基本事实
经过两点有且只有 条直线,简述为 .
外
上
一
两点确定一条直线
精讲练 新知探究
探究点一 线段、射线、直线
例1 如图所示,A,B,C是直线l上的 3个点.
(1)图中共有几条线段 把它们表示出来.
(2)图中以点B为端点的射线有几条 怎样表示
(3)直线l还可以怎样表示
解:(1)图中共有3条线段,分别表示为线段AB(或线段BA),线段AC(或线段CA),线段BC(或线段CB).
(2)图中以点B为端点的射线有两条,分别表示为射线BA与射线BC.
(3)直线l还可以表示为直线AB,直线BA,直线AC,直线CA,直线BC或直线CB.
巩固训练
1.手电筒发射出来的光线,类似于几何中的( )
A.线段 B.射线 C.直线 D.折线
2.下列说法正确的是( )
A.直线AB与直线BA不是同一条直线
B.射线AB与射线BA是同一条射线
C.延长线段AB和延长线段BA的含义一样
D.线段AB与线段BA是同一条线段
B
D
3.直线、线段、射线的位置如图所示,其中能相交的是( )
A B C D
B
4.根据下列语句,画出图形.
如图所示,已知A,B,C,D四点.
(1)画直线AB;
(2)连接AC,BD,相交于点O;
(3)画射线AD,BC,相交于点P.
解:如图所示.
探究点二 直线的基本事实
例2 下列说法正确的是( )
A.两点确定两条直线
B.三点确定一条直线
C.过一点只能作一条直线
D.过一点可以作无数条直线
例3 用一个钉子把一根细木条钉在木板上,用手拨木条,木条能转动,这说明 ;用两个钉子把细木条钉在木板
上,就能固定细木条,这说明 .
D
经过一点可以画无数条直线
两点确定一条直线
巩固训练
5.在下列生活、生产现象中,可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是( )
A.钟表的秒针旋转一周,形成一个圆面
B.把笔尖看成一个点,当这个点运动时便得到一条线
C.把弯曲的公路改直,就能缩短路程
D.木匠师傅锯木料时,一般先在木板上画出两个点,然后过这两个点弹出一条墨线
6.工人师傅在用方砖铺地时,常常打两个木桩,然后沿着拉紧的
线铺砖,这样地砖就铺得整齐,这说明 .
D
两点确定一条直线
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第3课时 尺规作图:作一个角等于已知角
1.作一个角等于已知角
作法与示范:
作法 示范
作射线O′A′
以点O为圆心,以任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D
以点O′为圆心,以OC长为画弧,交O′A′于点C′
以点C′为圆心,以CD长为半径画弧,交前面的弧于点D′
过点D′作射线O′B′. 则∠A′O′B′就是所要作的角
2.作一个角等于已知角是尺规作图中的一种基本作图,先任意作一条
作为角的一边,再确定另一边.这一过程必须使用三次圆规画弧.作角的步骤可简记为首尾画射线,中间三条弧.
射线
精讲练 新知探究
探究点 用尺规作一个角等于已知角
例题 如图所示,已知∠AOB.
求作:∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB.
作法:①以点 为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D.
②画一条射线O′A′,以点 为圆心, 长为半径画弧,交O′A′于点C′.
③以点 为圆心, 长为半径画弧,与第②步中所画的弧交于点D′.
④过点 画射线O′B′.
则∠A′O′B′=∠AOB.
O
O′
OC
C′
CD
D′
巩固训练
1.如图所示,点C在∠AOB的OB边上,用尺规作出了∠NCB=∠AOB,作图痕迹中,弧FG是( )
A.以点C为圆心,OD为半径所画的弧
B.以点C为圆心,DM为半径所画的弧
C.以点E为圆心,OD为半径所画的弧
D.以点E为圆心,DM为半径所画的弧
D
2.如图所示,第一步以点O为圆心,以任意长为半径画弧①,分别交OA,OB于点E,F;第二步以点E为圆心,以线段EF的长为半径画弧②,过两弧的交点作射线OC,若∠AOB=36°,则∠BOC的度数为 °.
72
3.尺规作图:已知∠α,∠β,求作∠AOB,使∠AOB=∠α+∠β.(保留作图痕迹)
解:如图所示,∠AOB即为所作.
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第2课时 比较线段的长短
1.线段的基本事实
两点之间的所有连线中,线段最短,简述为 .
2.两点间的距离:两点之间线段的 ,叫作这两点之间的距离.
3.比较两条线段长短的方法: 和 .
4.尺规作图:只用 的直尺和圆规画图称为尺规作图.
5.线段的中点:把一条线段分成 的两条线段的点叫作
线段的中点.
两点之间线段最短
长度
度量法
叠合法
没有刻度
相等
精讲练 新知探究
探究点一 线段的基本事实及两点间的距离
例1 相关部门开山挖隧道,把盘山公路改为平直的隧道后,大家开车经过的路程明显减短,出现这种现象的原因是 .
例2 下列说法中,错误的是( )
A.两点之间的所有连线中,线段最短
B.两点确定一条直线
C.连接两点的线段叫作两点间的距离
D.连接两点的线段的长度叫两点间的距离
两点之间线段最短
C
两点之间的距离与线段的区别
两点之间的距离是连接两点线段的长度,是数量,而不是线段,线段是图形.
归纳总结
巩固训练
1.小王准备从A地去往B地.如图所示,导航提供的三条可选路线,其长分别为131 km,108 km,128 km.但实际A,B两地之间的距离为95.5 km.能解释这一现象的数学知识是( )
A.两点之间线段最短
B.垂线段最短
C.两点之间直线最短
D.两点确定一条直线
A
探究点二 线段长短的比较与尺规作图
例3 有不在同一直线上的两条线段AB和CD,李明很难判断出他们的长
短,因此他借助圆规,操作如图所示,由此可得出( )
A.AB=CD B.AB>CD
C.ABB
例4 已知线段a,b,c(a>c)(如图所示).
作线段AB,使AB=a+b-c.
解:(1)画射线AE.
(2)在射线AE上顺次截取AC,CD,使AC=a,CD=b.
(3)在线段AD上截取线段DB,使DB=c,则线段AB为所求.
巩固训练
2.如图所示,在三角形ABC中,比较线段AC和AB的长短,科学的方法有( )
①沿点A折叠,使AB与AC在同一条直线上,观察点B相对于点C的位置;②用直尺度量出AB和AC的长度;③用圆规将线段AB叠放到线段AC上,观察点B相对于点C的位置;④凭感觉估计.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
3.已知线段a,b,作线段AB=2a-b.(要求:尺规作图,并保留作图痕迹)
解:如图所示,首先作一条射线AE,然后在射线AE上依次截取AC,CD,使AC=CD=a,最后在线段AD上截取DB=b,则线段AB即为所求.
巩固训练
4.如图所示,小林利用圆规在线段CE上截取线段CD,使CD=AB.若点D恰好为CE的中点,则下列结论中错误的是( )
C
5.若点B在线段AC上,AB=6 cm,BC=10 cm,P,Q分别是AB,BC的中点,则线段PQ的长为( )
A.3 cm B.5 cm C.6 cm D.8 cm
D
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3 多边形和圆的初步认识
1.多边形:由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的 .
平面图形叫作多边形.
2.对角线:连接多边形不相邻两个顶点的线段叫作多边形的对角线.
3.正多边形:各边 ,各角也 的多边形叫作正多边形.
封闭
相等
相等
4.圆:平面上,一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周,另一个端点形成的图形叫作圆.固定的端点叫作 ,这条线段叫作圆的 .
5.弧:圆上任意两点间的 叫作圆弧,简称弧.
6.扇形:由一条弧和经过这条弧的端点的两条 所组成的图形叫作扇形.
7.圆心角:顶点在 的角叫作圆心角.
圆心
半径
部分
半径
圆心
精讲练 新知探究
探究点一 多边形
例1 下面图形是多边形的是( )
例2 过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成 4 个三角
形,则这个多边形的边数为( )
A.7 B.4
C.5 D.6
D
D
n边形有n条边,n个顶点,n个内角,过n边形的一个顶点有(n-3)条对角线,将n边形分割成(n-2)个三角形.
归纳总结
巩固训练
1.如图所示的图形中,属于多边形的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.从五边形的一个顶点出发,可以画出m条对角线,它们将五边形分成n个三角形.则m,n的值分别为( )
A.1,2 B.2,3
C.3,4 D.4,4
B
B
3.易错题 从多边形一条边上的一点(不是顶点)处出发,连接各个顶点得到2 023个三角形,则这个多边形的边数为( )
A.2 024 B.2 023
C.2 022 D.2 021
4.下列说法正确的是( )
A.圆上任意两点间的线段叫作弧
B.由一条弧和两条半径所组成的图形叫作扇形
C.顶点在圆上的角叫作圆心角
D.圆就是一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周,另一个端
点形成的图形
A
D
探究点二 圆
例3 将一个半径为2的圆分割成四个扇形,它们的圆心角的度数比为3∶6∶8∶7.
(1)求这四个扇形的圆心角的度数;
(2)求最大扇形的面积(结果保留π).
(1)扇形的圆心角度数的算法
圆心角度数=360°×扇形占整个圆的比.
归纳总结
巩固训练
5.跨学科融合 扇子最早称“翣”,在我国已有两千多年历史.“打开半个月亮,收起兜里可装,来时荷花初放,去时菊花正黄.”这则谜语说的就是扇子.如图所示,一竹扇完全打开后,外侧两竹条AB,AC的夹角为135°,
AB的长为30 cm,扇面BD的长为20 cm,则扇面的面积为( )
C
6.如图所示,甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比是1∶2∶3∶4,则甲、乙、丙、丁四个扇形中的最大圆心角的度数是 .
144°
60°
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第2课时 角的大小比较
1.比较两个角的大小的常用方法
和 .
2.角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个 的角,这条射线叫作这个角的平分线.
度量法
叠合法
相等
精讲练 新知探究
探究点一 角的大小比较
例1 比较两个角的大小,有以下两种方法:
(1)用量角器度量两个角的大小,角度大的角大;
(2)构造图形,如果一个角包含另一个角,则这个角大.
对于如图所示的∠ABC与∠DEF,用以上两种方法比较它们的大小.
解:方法一:用量角器度量,得∠ABC=50°,∠DEF=70°,故∠DEF>∠ABC.
方法二:如图所示,把∠ABC放在∠DEF上,使B和E重合,边EF和BC在同一条直线上,DE和BA在EF的同侧,从图形上可以看出∠DEF包含∠ABC,故∠DEF>∠ABC.
巩固训练
1.∠α和∠β的顶点和一边都重合,另一边都在公共边的同侧,且∠α>
∠β,那么∠α的另一边落在∠β的( )
A.另一边上 B.内部
C.外部 D.以上结论都不对
2.∠A=40.4°,∠B=40°4′,关于两个角的大小,下列说法正确的是( )
A.∠A>∠B B.∠A<∠B
C.∠A=∠B D.无法确定
C
A
探究点二 角的平分线及角的运算
例2 如图所示,已知∠AOB=90°,∠BOC=40°,OD平分∠AOC,求∠BOD的度数.
巩固训练
3.如图所示,已知O是直线AB上一点,∠1=50°,OD平分∠BOC,则∠2的度数是( )
A.25°
B.50°
C.65°
D.70°
4.易错题 已知∠AOB=80°,在其顶点O处引一条射线OC,且∠BOC=
40°,则∠AOC= .
C
40°或120°
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