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2 一元一次方程的解法
第1课时 等式的基本性质
1.等式的两边都加(或减)同一个代数式,所得结果仍是 .
2.等式的两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),所得结果仍是
.
等式
等式
精讲练 新知探究
探究点一 等式的基本性质
例1 根据等式的基本性质填空,并说明依据:
(1)若2x=5-x,则2x+ =5;
(2)若m+2n=5+2n,则m= ;
解:(1)x 等式的两边都加同一个代数式,所得结果仍是等式;
(2)5 等式的两边都减同一个代数式,所得结果仍是等式;
解:(3)-7 等式的两边都乘同一个数,所得结果仍是等式;
(4)2 等式的两边都除以同一个不为0的数,所得结果仍是等式.
巩固训练
C
C
探究点二 利用等式的基本性质解方程
例2 依据等式的基本性质解方程:
(1)3+x=5; (2)7x=-4;
解:(1)方程两边同时减3,得
3+x-3=5-3.化简,得x=2.
(3)9x=8x-6; (4)8m=4m+1.
解:(3)方程两边同时减8x,得
9x-8x=8x-6-8x.
化简,得x=-6.
巩固训练
D
D
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第2课时 解一元一次方程—— 移项
1.把方程中的某一项改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形称为移项.
2.移项的依据是 .
等式的基本性质
精讲练 新知探究
探究点 利用移项解一元一次方程
例题 解方程:(1)2x+7=-3;
解:(1)移项,得2x=-3-7,
合并同类项,得2x=-10,
两边都除以2,得x=-5.
移项的目的:把所有含有未知数的项移到方程的一边,把所有常数项移到方程的另一边.一般地,把含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边.
归纳总结
巩固训练
D
2.解方程6x+1=-4,移项正确的是( )
A.6x=4-1 B.-6x=-4-1
C.6x=1+4 D.6x=-4-1
3.填空:
(1)由2x+3=1,得2x=1 ;
(2)由3x-4=x+2,得3x =2 .
D
-3
-x
+4
4.解下列方程:
(1)-3x=2+2x;
(2)5+4x=7-2x;
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1 认识方程
1.方程:含有未知数的表示量 的等式称为方程.
2.一元一次方程:在一个方程中,只含有 未知数,且方程中的代数式都是整式,未知数的次数都是 ,这样的方程叫作一元一次方程.
3.方程的解:使方程左、右两边的值 的未知数的值,叫作方程的解.
一元方程的解也叫根.
4.求方程的解的过程称为 .
第五章 一元一次方程
相等
一个
1
相等
解方程
精讲练 新知探究
探究点一 一元一次方程的概念
例1 下列各式中,是方程的为 ;是一元一次方程的为 .
(填序号)
①②⑤⑥
①⑤
一元一次方程的三要素
(1)只有一个未知数;(2)未知数的次数都是1;(3)等号的两边都是整式.
归纳总结
巩固训练
2.在①2-5;②1+7x=-8y+3;③x=6;④3x=2x-9;⑤2x>7中,方程共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.已知关于x的方程4xm-1+3=0是一元一次方程,则m= .
C
2
D
探究点二 方程的解
例2 检验x=2和x=-3是否为方程4x+3=5x+1的解.
解:当x=2时,左边=4×2+3=11,
右边=5×2+1=11,左边=右边,则x=2是方程的解.
当x=-3时,左边=4×(-3)+3=-9,右边=5×(-3)+1=-14,左边≠右边,则x=-3不是方程的解.
巩固训练
4.写出一个关于x的一元一次方程,且它的解为x=3: .
5.检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解.
(1)2x+5=10x-3(x=1);
(2)0.52x-(1-0.52)x=80(x=1 000).
x-3=0(答案不唯一)
解:(1)是.(2)不是.
探究点三 列方程
例3 《九章算术》中记载了一道数学问题,其译文为:有人合伙买羊,每人出5钱,还缺45钱;每人出7钱,还缺3钱.问合伙人数是多少 为解决此问题,设合伙人数为x,则可列方程为 .
5x+45=7x+3
巩固训练
6.已知长方形的长比宽大5,其周长为50,求其长、宽.设宽为x,则可列出的方程为 .
2[x+(x+5)]=50
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第3课时 一元一次方程的应用(三)—— 行程问题
1.相遇问题
甲、乙相向而行,甲走的路程+乙走的路程=甲、乙相距的路程.
2.追及问题
(1)同时不同地,前者走的路程+ =追者走的路程;
(2)同地不同时,前者所用时间- =追者所用的时间.
相距路程
多用时间
精讲练 新知探究
探究点 列一元一次方程解决行程问题
例题 甲、乙两地相距100 km,小张与小王分别从甲、乙两地同时出发,小张的速度比小王的速度快10 km/h.
(1)两人相向而行,经过2 h相遇,小张与小王的速度分别为多少
解:(1)设小王的速度为x km/h,
则小张的速度为(x+10)km/h.
根据题意,得2x+2(x+10)=100.
解得x=20.x+10=30.
因此小王与小张的速度分别为20 km/h和30 km/h.
(2)在(1)的条件下,若两人同向而行,则多长时间小张追上小王
解:(2)设m h后小张追上小王.
根据题意,得30m=20m+100.
解得m=10.
因此10 h后,小张追上小王.
巩固训练
C
2.艳艳和君君约定从A地沿相同路线骑行去B地,已知艳艳的速度是君君速度的1.2倍,若君君先骑行2 km,艳艳才从A地出发,艳艳出发半小时后恰好追上君君,则君君每小时骑行 km.
20
3.A,B两地相距48千米,甲骑自行车从A地前往B地,速度为每小时16千米,
1小时后,乙骑电动车也沿相同的路线从A地前往B地,速度为每小时40千米.
(1)乙出发多长时间后能追上甲
(2)若乙到达B地后立即返回,则返回途中与甲相遇的地点距A地多少千米
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第3课时 解一元一次方程——去括号
1.去括号的依据是去括号法则和分配律.
2.去括号解方程的步骤
、 、合并同类项、系数化为1.
去括号
移项
精讲练 新知探究
探究点 去括号解一元一次方程
例题 解方程:
(1)3(x-4)=12;
解:(1)去括号,得3x-12=12.
移项,得3x=12+12.
合并同类项,得3x=24.
方程两边同除以3,得x=8.
(2)5-(2x-1)=x; (3)2x+3=1-(2-3x).
解:(2)去括号,得5-2x+1=x.
移项,得-2x-x=-5-1.
合并同类项,得-3x=-6.
方程两边同除以-3,得x=2.
(3)去括号,得2x+3=1-2+3x.
移项,得2x-3x=1-2-3.
合并同类项,得-x=-4.
方程两边同除以-1,得x=4.
去括号时的注意事项
(1)不要漏乘括号内的任何一项;
归纳总结
(2)括号前面是正因数,去掉括号和正号,括号里的每一项都不变号;括号前面是负因数,去掉括号和负号,括号里的每一项都变号.
巩固训练
1.解方程1-(2x+3)=6,去括号的结果正确的是( )
A.1+2x-3=6 B.1-2x-3=6
C.1-2x+3=6 D.1+2x+3=6
2.解方程2(x-1)=1时,“去括号”将其变形为2x-2=1的依据是( )
A.乘法结合律
B.乘法对加法的分配律
C.等式的基本性质1
D.等式的基本性质2
B
B
3.方程x(x-1)=x(x+1)-10的解为( )
A.x=21 B.x=5 C.x=12 D.x=15
4.当x= 时, 2(x+3)的值与3(1-x)的值互为相反数.
5.解方程:
(1)3x+2(x-2)=6;
B
9
解:(1)去括号,得3x+2x-4=6.
移项,得3x+2x=6+4.
合并同类项,得5x=10.
方程两边同除以5,得x=2.
(2)2-3(x+1)=1-2(1+0.5x).
解:(2)去括号,得2-3x-3=1-2-x.
移项,得-3x+x=1-2+3-2.
合并同类项,得-2x=0.
方程两边同除以-2,得x=0.
6.在一次劳动课上,有24名同学在甲处劳动,有18名同学在乙处劳动,现在从乙处调一部分人去支援甲处,使得在甲处的人数比在乙处人数的2倍多3,应从乙处调往甲处多少人
解:设应从乙处调往甲处x人,根据题意,得(24+x)-2(18-x)=3,
解得x=5.
答:应从乙处调往甲处5人.
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第2课时 一元一次方程的应用(二)——“盈不足”问题
“盈不足”问题是把一定数量的物品平均分给一定数量的人,物品和人数都未知,只已知在两次分配中一次是盈(有余),一次是亏(不足),或者两次都盈余,或者两次都亏的数量,求参加分配的物品总量及人员总数.
精讲练 新知探究
探究点 “盈不足”问题
例题 《九章算术》中有一题,原文如下:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三.问人数、羊价各几何 ”题意是:若干人共同出资买羊,每人出5钱,还差45钱;每人出7钱,还差3钱.求人数和羊价.
解:设一共有x人.
由题意,得5x+45=7x+3.
解得x=21.
所以5x+45=5×21+45=150(钱).
答:一共有21人,羊价为150钱.
基本运算公式
(盈+亏)÷两次分得之差=人数;
(大盈-小盈)÷两次分得之差=人数;
(大亏-小亏)÷两次分得之差=人数;
每人出的较多钱数×人数-剩余钱数=物价;
每人出的较少钱数×人数+不足钱数=物价.
归纳总结
巩固训练
1.某汽车队运送一批货物,若每辆汽车装4吨,则还剩下8吨装不下;若每辆汽车装4.5吨,则恰好装完.该车队运送货物的汽车共有多少辆 设该车队运送货物的汽车共有x辆,则可列方程为( )
A.4x+8=4.5x
B.4x-8=4.5x
C.4x=4.5x+8
D.4(x+8)=4.5x
A
2.《孙子算经》中有一道题,原文是:今有三人共车,二车空;二人共车,九人步,问人与车各几何 译文为:今有若干人乘车,每3人共乘一车,最终剩余2辆车;若每2人共乘一车,最终剩余9个人无车可乘.问共有多少人,多少辆车 设共有x人,则x的值为( )
A.38 B.39
C.40 D.41
B
3.七(1)班共有学生42名,一节美术课上,老师组织同学们做圆柱形茶叶筒(一个桶身和两个桶底组成一套),每名学生能做桶身20个或桶底30个,为使做的桶身和桶底正好配套,设安排x名学生做桶身,则下面所列方程正确的是( )
A.20x=30(42-x)
B.2×20x=30(42-x)
C.20(42-x)=30x
D.20x=2×30(42-x)
B
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第4课时 解一元一次方程—— 去分母
1.利用等式的 ,在方程两边同时乘所有分母的 ,从而去掉分母.
2.解方程的一般步骤
、 、移项、合并同类项、系数化为1.
基本性质
最小公倍数
去分母
去括号
精讲练 新知探究
解:(2)去分母,得5(x-1)=20-2(x+2),
去括号,得5x-5=20-2x-4,
移项,得5x+2x=20-4+5,
合并同类项,得7x=21,
系数化为1,得x=3.
(1)去分母的依据是等式的基本性质,去分母时注意不要漏乘没有分母的项;
归纳总结
(2)去掉分母以后,分数线也同时去掉,分子上如是多项式要用括号括起来;
(3)去分母与去括号这两步分开写,不要跳步,防止忘记变号.
巩固训练
B
3.某工程,甲单独做12天可以完成,乙单独做15天可以完成.现在两人合做,但途中乙因事离开了几天,最后一共花了8天把这项工程做完,则乙中途离开了 天.
C
3
(2)去分母,得2(2x-5)-4=3x+1.
去括号,得4x-10-4=3x+1.
移项,得4x-3x=1+10+4.
合并同类项,得x=15.
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3 一元一次方程的应用
第1课时 一元一次方程的应用(一)——形积问题
1.等积变形问题:形状发生了变化,而体积(或容积)没变.此时,根据变化前后体积(或容积) 来列式求解.
2.周长或面积问题:形状发生了变化,周长或面积可能有变化,也可能没有变化.此时,根据变化前后的周长或面积间的关系来列式求解.
相等
精讲练 新知探究
探究点一 等积变形问题
例1 要锻造一个直径为12 cm,高为8 cm的圆柱形毛坯,应截取直径为
8 cm的圆钢多长(不计锻造时的损耗)
(1)本题的等量关系是 ;
解:(1)圆钢体积=毛坯体积
(2)设截取直径为8 cm的圆钢x cm,根据数量关系填表:
解:(2)如下表所示:
项目 应截圆钢 锻造毛坯
底面半径
高
体积
项目 应截圆钢 锻造毛坯
底面半径 4 6
高 x 8
体积 π×42·x π×62×8
则π×42·x=π×62×8,
即16πx=288π,
解这个方程,得x=18.
因此,截取直径为8 cm的圆钢18 cm.
(1)等积变形是指形状变化,体积(或容积)不变;等量关系是变化前的体积(或容积)=变化后的体积(或容积).
归纳总结
(2)列方程解实际问题的基本步骤
①理解题意,找出等量关系;
②设未知数,根据等量关系列方程;
③解方程,检验所求解是否符合实际意义.
④作答.
巩固训练
1.一个底面半径为10 cm,高为30 cm的圆柱形大杯中存满了水,把水倒入底面直径为10 cm的圆柱形小杯中,刚好倒满12杯,则小杯的高为( )
A.6 cm B.8 cm
C.10 cm D.12 cm
2.用直径为200毫米的圆钢锻造长、宽、高分别为300毫米、300毫米、100毫米的长方体零件,应截取圆钢多长
设需直径200毫米的圆钢x毫米,则根据题意所列方程为
.
C
1002πx=300×300×100
3.一个圆柱形水杯内盛有水,水面高3 cm,水杯内底面面积是50 cm2,在这个杯中放入底面为正方形且边长为5 cm的长方体铁块后,铁块沉入杯底但水面没有淹没铁块,此时水面的高是多少
解:设此时水面的高度是x cm.
根据题意,得
50(x-3)=5×5x,
解得x=6.
答:此时水面的高度是6 cm.
探究点二 周长或面积问题
例2 已知一个长方形的周长为60 cm.
(1)若它的长比宽多6 cm,则这个长方形的宽是多少
解:(1)设长方形的宽为x cm,则长为(x+6)cm.
由题意,得2[x+(x+6)]=60.
解得x=12.
这个长方形的宽是12 cm.
(2)若它的长与宽的比是2∶1,则这个长方形的长是多少
解:(2)设长方形的宽为a cm,则长为2a cm.
由题意,得2(2a+a)=60.
解得a=10.
则2a=20.
所以这个长方形的长是20 cm.
巩固训练
4.如图所示,正方形的一边长减少2 cm后,得到一个长方形(阴影部分).若长方形的周长为26 cm,求正方形的边长.设正方形的边长为x cm,可列方程为( )
A.x+(x+2)=26
B.2x+2(x+2)=26
C.x+(x-2)=26
D.2x+2(x-2)=26
D
5.一墙上钉着用一根彩绳围成的梯形状的饰物,如图实线所示(单位:
cm).小颖将梯形下底的钉子去掉,并将这条彩绳钉成一个长方形,如图虚线所示.小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米 如果设长方形的长为
x cm,根据题意,可得方程为( )
A.2(x+10)=10×4+6×2
B.2(x+10)=10×3+6×2
C.2x+10=10×4+6×2
D.2(x+10)=10×2+6×2
A
6.一块长方形菜地长18 m,如果把它的长增加到22 m,宽减少3 m,它的面积没变,那么这块长方形菜地的面积是多少
解:设这块长方形菜地原来的宽为x m.
由题意,得18x=22(x-3).
解得x=16.5.
所以18×16.5=297(m2).
答:这块长方形菜地的面积为297 m2.
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