(共41张PPT)
第八章
必刷大题17 解析几何
数学
大
一
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习
答案
1
2
3
4
(1)焦点F(2，0)，斜率k＝1，
故直线l的方程为y＝x－2.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
消去x，整理得ky2－8y＋8m＝0，Δ>0，
由km≠0可知k≠0且m≠0，
由根与系数的关系可知y1y2＝，
1.
答案
1
2
3
4
x1x2＝·，
由·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，
得x1x2＋y1y2＝＝0，
即m＝－8k，直线l：y＝kx－8k，
故直线l过定点(8，0).
1.
答案
1
2
3
4
(1)连接PF1，设线段PF2中点为C，连接OC.
∴OC为△F1PF2的中位线，
∴|OC|＝|PF1|.
由以线段PF2为直径的圆与圆O内切可知，
2－|PF2|＝|OC|＝|PF1|，
∴|PF1|＋|PF2|＝4>2＝|F1F2|，
∴点P的轨迹是以F1(－，0)，F2(，0)为焦点，长轴长为4的椭圆，
2.
答案
1
2
3
4
则a＝2，c＝，b＝＝1，
∴轨迹Γ的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知，当直线l的斜率不存在时，
直线l：x＝，直线OQ：y＝0，此时R，
∴⊥l；
当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l：x＝my＋，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(xQ，yQ)，
2.
答案
1
2
3
4
联立
可得(m2＋4)y2＋2my－1＝0，Δ>0，
∴y1＋y2＝－，则yQ＝－，
∴xQ＝myQ＋，
则直线OQ：y＝－x.
2.
答案
1
2
3
4
当x＝时，y＝－m，
即R，∴＝－m，
又kl＝，kl·＝－1，∴⊥l.
综上，⊥l.
2.
答案
1
2
3
4
(1)根据对称性，F(，0)到C的一条渐近线bx－ay＝0的距离
d＝，
则b＝c.
由F(，0)为其右焦点，知c＝，
得b＝，则a2＝c2－b2＝4，
故双曲线C的方程为＝1.
(2)点P在定直线x＝上.
3.
答案
1
2
3
4
依题可设直线l的方程为x＝ty＋3，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立
整理得(3t2－2)y2＋18ty＋15＝0，必有Δ>0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，
则ty1y2＝－(y1＋y2).
3.
答案
1
2
3
4
又A1(－2，0)，A2(2，0)，
所以直线A1M的方程为y＝(x＋2)，
直线A2N的方程为y＝(x－2)，
整理得
＝＝－5，
解得x＝.故点P在定直线x＝上.
3.
答案
1
2
3
4
(1)M为线段PA的垂直平分线上一点，
则|MP|＝|MA|，
则||MA|－|MC||＝||MP|－|MC||
＝2<|AC|＝4，
∴点M的轨迹为以A，C为焦点的双曲线，
且2a＝2，c＝2，b2＝c2－a2＝3，
故曲线H的方程为x2－＝1.
4.
答案
1
2
3
4
(2)①设M(x0，y0)，S(x1，y1)，T(x2，y2)，
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
如图所示，则y1＝x1，y2＝－x2，
可得y1＋y2＝(x1－x2)，y1－y2＝(x1＋x2)，
则，
得，
由题可知|MS|＝|MT|，
4.
答案
1
2
3
4
则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
得，即kST＝，
∴直线ST的方程为y－y0＝(x－x0)，
即3x0x－y0y＝3，
又∵点M在曲线H上，则3＝3，
得3x0x－y0y＝3，
4.
答案
1
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3
4
联立
得(－3)x2＋6x0x－3－＝0，
化简得－3x2＋6x0x－3＝0，
由Δ＝－4×(－3)×(－3)＝0，
可知方程有且仅有一个解，
即直线l与曲线H有且仅有一个交点.
4.
答案
1
2
3
4
②由①联立可得x1＝，
同理可得x2＝，
则|OS|·|OT|＝·
＝4|x1x2|＝4×＝4，
故≥2，
4.
答案
1
2
3
4
当且仅当，即|OS|＝2时取等号.
故的取值范围为[，＋∞).
4.
1.已知直线l：y＝kx＋m与抛物线Γ：y2＝8x交于点A，B.
(1)若直线l的倾斜角为45°，且过抛物线Γ的焦点F，求直线l的方程；
1
2
3
4
答案
焦点F(2，0)，斜率k＝1，
故直线l的方程为y＝x－2.
(2)若·＝0，且km≠0，证明：直线l过定点.
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答案
1
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4
答案
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
消去x，整理得ky2－8y＋8m＝0，Δ>0，
由km≠0可知k≠0且m≠0，
由根与系数的关系可知y1y2＝，
x1x2＝·，
由·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，
1
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4
答案
得x1x2＋y1y2＝＝0，
即m＝－8k，直线l：y＝kx－8k，
故直线l过定点(8，0).
1
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4
答案
2.已知两点F1(－，0)，F2(，0)，设圆O：x2＋y2＝4与x轴交于A，B两点，且动点P满足：以线段PF2为直径的圆与圆O内切，如图所示，记动点P的轨迹为Γ，过点F2且与x轴不重合的直线l与轨迹Γ交于M，N两点.
(1)求轨迹Γ的方程；
1
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3
4
答案
连接PF1，设线段PF2中点为C，连接OC.
∴OC为△F1PF2的中位线，
∴|OC|＝|PF1|.
由以线段PF2为直径的圆与圆O内切可知，
2－|PF2|＝|OC|＝|PF1|，
∴|PF1|＋|PF2|＝4>2＝|F1F2|，
1
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4
答案
∴点P的轨迹是以F1(－，0)，F2(，0)为焦点，
长轴长为4的椭圆，
则a＝2，c＝，b＝＝1，
∴轨迹Γ的方程为＋y2＝1.
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答案
(2)设线段MN的中点为Q，直线OQ与直线x＝相交于点R，求证：⊥l.
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答案
由题意知，当直线l的斜率不存在时，
直线l：x＝，直线OQ：y＝0，此时R，
∴⊥l；
当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l：x＝my＋，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(xQ，yQ)，
联立
1
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4
答案
可得(m2＋4)y2＋2my－1＝0，Δ>0，
∴y1＋y2＝－，则yQ＝－，
∴xQ＝myQ＋，
则直线OQ：y＝－x.
当x＝时，y＝－m，
即R，∴＝－m，
1
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4
答案
又kl＝，kl·＝－1，∴⊥l.
综上，⊥l.
3.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点F(，0)到双曲线C的一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
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答案
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答案
根据对称性，F(，0)到C的一条渐近线bx－ay＝0的距离
d＝，
则b＝c.
由F(，0)为其右焦点，知c＝，
得b＝，则a2＝c2－b2＝4，
故双曲线C的方程为＝1.
(2)设双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(3，0)且斜率不为0的直线l与双曲线C相交于M，N两点，直线A1M与直线A2N相交于点P.试问点P是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由.
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答案
1
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答案
点P在定直线x＝上.
依题可设直线l的方程为x＝ty＋3，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立
整理得(3t2－2)y2＋18ty＋15＝0，必有Δ>0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，则ty1y2＝－(y1＋y2).
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答案
又A1(－2，0)，A2(2，0)，
所以直线A1M的方程为y＝(x＋2)，
直线A2N的方程为y＝(x－2)，
整理得
＝＝－5，
解得x＝.故点P在定直线x＝上.
4.(2024·赤峰模拟)已知点P为圆C：(x－2)2＋y2＝4上任意一点，A(－2，0)，线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程；
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答案
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答案
M为线段PA的垂直平分线上一点，
则|MP|＝|MA|，
则||MA|－|MC||＝||MP|－|MC||
＝2<|AC|＝4，
∴点M的轨迹为以A，C为焦点的双曲线，
且2a＝2，c＝2，b2＝c2－a2＝3，
故曲线H的方程为x2－＝1.
(2)若过点M的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M为线段ST的中点.
①证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；
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答案
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答案
设M(x0，y0)，S(x1，y1)，T(x2，y2)，
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
如图所示，则y1＝x1，y2＝－x2，
可得y1＋y2＝(x1－x2)，y1－y2＝(x1＋x2)，
则，
得，
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答案
由题可知|MS|＝|MT|，
则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
得，即kST＝，
∴直线ST的方程为y－y0＝(x－x0)，
即3x0x－y0y＝3，
又∵点M在曲线H上，则3＝3，
得3x0x－y0y＝3，
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答案
联立
得(－3)x2＋6x0x－3－＝0，
化简得－3x2＋6x0x－3＝0，
由Δ＝－4×(－3)×(－3)＝0，
可知方程有且仅有一个解，
即直线l与曲线H有且仅有一个交点.
②求的取值范围.
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答案
1
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答案
由①联立可得x1＝，
同理可得x2＝，
则|OS|·|OT|＝·
＝4|x1x2|＝4×＝4，
故≥2，
1
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答案
当且仅当，即|OS|＝2时取等号.
故的取值范围为[，＋∞).(共33张PPT)
第八章
必刷小题15 直线与圆
数学
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一
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对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C A D B B C
题号 9 10 11 12 13 14 答案 ACD ACD BD x2＋(y－1)2＝8 [0，) 一、单项选择题
1.已知直线l：mx－(5－2m)y－3＝0的倾斜角为，则m等于
A. B.0 C. D.
√
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答案
由题意直线l的倾斜角为，则直线l⊥x轴，
故方程mx－(5－2m)y－3＝0中，y的系数为0，
即－(5－2m)＝0，解得m＝，
此时，直线l：x＝符合题意.
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答案
2.已知圆O：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋2与圆O恰有一个公共点，则k的值为
A.－1 B.0 C.1 D.
√
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答案
∵直线l：kx－y＋2＝0与圆O恰有一个公共点，
∴直线l与圆O相切，
方法一 圆O：x2＋y2＝4的圆心为O(0，0)，半径为2，
∴圆心到直线l的距离d＝＝2，
解得k＝0.
方法二 由直线l：y＝kx＋2过定点M(0，2)，
由M在圆O：x2＋y2＝4上，直线与圆O相切，
故点M即为切点，故直线l⊥OM，即斜率k＝0.
3.若直线l1：y－2＝(k－1)x和直线l2关于直线y＝x＋1对称，则直线l2恒过定点
A.(2，0) B.(1，－1) C.(1，1) D.(－2，0)
√
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答案
因为直线l1：y－2＝(k－1)x过定点(0，2)，
点(0，2)关于直线y＝x＋1对称的点为(1，1)，
故直线l2恒过定点(1，1).
4.(2025·黔南模拟)若M为圆(x＋1)2＋y2＝2上的动点，则点M到直线x＋y－3＝0的距离的最小值为
A. B.3－ C.2 D.3
√
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圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心C(－1，0)，半径r＝，
点C(－1，0)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝2>，
即直线x＋y－3＝0与圆(x＋1)2＋y2＝2相离，又点M在该圆上，
所以点M到直线x＋y－3＝0的距离的最小值为d－r＝.
答案
5.已知两点A(－1，0)，B(0，2)，点P是圆(x－2)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最小值是
A. B.2
C.3＋ D.3－
√
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答案
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答案
两点A(－1，0)，B(0，2)，则|AB|＝，
直线AB的方程为y＝2x＋2，
圆(x－2)2＋y2＝1的圆心C(2，0)，半径r＝1，
点C到直线AB：2x－y＋2＝0的距离d＝，
因此点P到直线AB距离的最小值为d－r＝－1，
所以△PAB面积的最小值是
××＝3－.
6.已知实数a，b满足a2＋b2＝a－b，则|a＋b－3|的最小值为
A. B.2
C. D.4
√
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答案
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答案
方法一 由题意知，点(a，b)在曲线C：上，
圆心C到直线x＋y－3＝0的距离d＝，
圆C的半径r＝，
所以|a＋b－3|min＝(d－r)＝×＝2.
方法二 由题意知，点(a，b)在曲线上，
设a＝cos θ，b＝－sin θ，θ为参数，
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答案
则|a＋b－3|＝＝，
因为sin∈[－1，1]，
当θ＝，即a＝1，b＝0时，|a＋b－3|min＝|1－3|＝2.
7.(2025·绥化模拟)已知圆C的圆心为原点O，且与直线x＋y＋4＝0相切.点P在直线x＝8上，过点P引圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，如图所示，则直线AB恒过定点的坐标为
A.(0，2) B.(2，0)
C.(0，) D.(，0)
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答案
依题意得，圆C的半径r＝＝4，所以圆C的方程为x2＋y2＝16.
因为PA，PB是圆C的两条切线，
所以OA⊥AP，OB⊥BP，
所以A，B在以线段OP为直径的圆上，
设点P的坐标为(8，b)，b∈R，
则线段OP的中点坐标为，
所以以线段OP为直径的圆的方程为(x－4)2＋＝42＋，b∈R，
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答案
化简得x2＋y2－8x－by＝0，b∈R，
因为线段AB为两圆的公共弦，
所以直线AB的方程为8x＋by＝16，b∈R，
即8(x－2)＋by＝0，
所以直线AB恒过定点(2，0).
8.在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(1，0)，C(－1，0)，D(0，1)，若点P满足|PA|＝2|PB|，则2|PC|＋|PD|的最小值为
A.4 B.
C. D.2＋
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答案
设P(x，y)，
由|PA|＝2|PB|，得＝2，
化简整理得x2＋y2＝4，
故P的轨迹是以(0，0)为圆心，2为半径的圆，
|PC|＝
＝
＝，
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答案
设M(－4，0)，则|PC|＝|PM|，
所以2|PC|＋|PD|＝|PM|＋|PD|≥|MD|＝，
当且仅当点P为线段MD与圆x2＋y2＝4的交点时取等号，
所以2|PC|＋|PD|的最小值为.
二、多项选择题
9.已知两条直线l1，l2的方程分别为3x＋4y＋12＝0与ax＋8y－11＝0，则下列结论正确的是
A.若l1∥l2，则a＝6
B.若l1∥l2，则两条平行直线之间的距离为
C.若l1⊥l2，则a＝－
D.若a≠6，则直线l1，l2一定相交
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答案
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答案
两条直线l1，l2的方程分别为3x＋4y＋12＝0与ax＋8y－11＝0，当l1∥l2时，则3×8－4a＝0，解得a＝6，经检验，满足两直线平行，故A正确；
若l1∥l2，则a＝6，所以平行直线间的距离d＝，故B错误；
当l1⊥l2，则3a＋32＝0，解得a＝－，故C正确；
由选项A得，当a≠6时，直线l1，l2一定相交，故D正确.
10.已知圆C：x2＋y2－6x＝0，则下列说法正确的是
A.圆C的半径r＝3
B.点(1，2)在圆C的内部
C.圆C与圆x2＋y2＋2x＋4y－6＝0的公共弦所在直线的方程为4x＋2y－3＝0
D.圆C'：(x＋1)2＋y2＝4与圆C相交
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答案
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答案
圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，所以半径r＝3，故A正确；
将点(1，2)代入圆C的标准方程中，得(1－3)2＋＝12>9，所以点(1，2)在圆C的外部，故B错误；
由题意知，两圆相交，由两圆方程x2＋y2－6x＝0，x2＋y2＋2x＋4y－6＝0相减，得4x＋2y－3＝0，则公共弦所在直线的方程为4x＋2y－3＝0，故C正确；
圆C'的圆心为(－1，0)，半径为2，所以两圆C'与C的圆心距为|CC'|＝4，则3－2<|CC'|<3＋2，故两圆相交，故D正确.
11.在平面直角坐标系Oxy中，圆C：x2＋y2＝1，点P为直线l：x－y－2＝0上的动点，则
A.圆C上有且仅有两个点到直线l的距离为
B.若圆C与曲线x2＋y2－6x－8y＋m＝0恰有三条公切线，则m＝9
C.过点P作圆C的一条切线，切点为Q，∠OPQ可以为60°
D.过点P作圆C的两条切线，切点为M，N，则直线MN恒过定点
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答案
√
√
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答案
由题知，圆心(0，0)到直线l的距离为d＝，圆的半径为1，由<－1，所以圆上不存在点到直线l的距离为，故A错误；
由x2＋y2－6x－8y＋m＝0整理得(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，由题意知曲线为圆，则m<25，圆心为(3，4)，半径为，由题可知，两圆外切时有三条公切线，则＝1＋，解得m＝9，故B正确；
由切点为Q，∠OQP＝90°，则在Rt△OQP中，sin∠OPQ＝，
1
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答案
当|OP|最小时，sin∠OPQ取最大值，∠OPQ最大，
过点O作OP'⊥l，垂足为P'，
|OP'|＝，
当点P与点P'重合时，sin∠OPQ最大，即sin∠OPQ的最大值为，
∠OPQ最大为45°，不可能为60°，故C错误；
设点P(x0，y0)，切点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
可得切线MP的方程为x1x＋y1y＝1，
由点P在切线上，得x1x0＋y1y0＝1，
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答案
同理可得x2x0＋y2y0＝1，
故点M(x1，y1)，N(x2，y2)都在直线x0x＋y0y＝1上，
即直线MN的方程为x0x＋y0y＝1，
又由点P(x0，y0)在直线l：x－y－2＝0上，则y0＝x0－2，
代入直线MN的方程整理得(x＋y)x0－2y－1＝0，
由解得
即直线MN恒过定点，故D正确.
三、填空题
12.(2025·天津滨海区模拟)过点A(－2，－1)，且与直线l：x－y－3＝0相切于点B(2，－1)的圆的方程为 .
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答案
x2＋(y－1)2＝8
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答案
因为圆心与切点的连线与切线垂直，且直线l的斜率kl＝1，
所以圆心和切点连线的斜率k＝－1，
所以圆心与B(2，－1)的连线的直线方程为y＋1＝－(x－2)，即x＋y－1＝0.设圆心C(a，1－a)，则|AC|＝|BC|，
即，
解得a＝0，即圆心C(0，1)，
所以半径r＝＝2，
所以圆的方程为x2＋(y－1)2＝8.
13.若点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ的距离为d，则d的取值范围是 .
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答案
[0，)
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答案
把直线l的方程化为(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，
由解得
所以直线l恒过定点A(1，1)，
其中直线l不包括直线3x＋2y－5＝0.
又|PA|＝，
且PA与直线3x＋2y－5＝0垂直，即点P到直线3x＋2y－5＝0的距离为，
所以点P到直线l的距离d满足0≤d<.
14.已知☉O1：x2＋(y－2)2＝1，☉O2：(x－3)2＋(y－6)2＝9，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，则|PM|＋|PN|的最小值为 .
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答案
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答案
由题意知，☉O1：x2＋(y－2)2＝1的圆心为O1(0，2)，半径r1＝1，
☉O2：(x－3)2＋(y－6)2＝9的圆心为O2(3，6)，半径r2＝3，
设P(t，0)，则|PM|＝
，
|PN|＝
，
则|PM|＋|PN|＝
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答案
，
设A(0，－)，B(3，3)，
则|PM|＋|PN|＝|PA|＋|PB|≥|AB|，
当且仅当A，P，B三点共线时取等号，
此时|PM|＋|PN|的最小值为
|AB|＝.(共31张PPT)
第八章
必刷小题16 圆锥曲线
数学
大
一
轮
复
习
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D D B A C B A
题号 9 10 11 12 13 14 答案 AC AD ABD 2 一、单项选择题
1.椭圆C：＝1的长轴长与焦距之差等于
A. B.2 C.2 D.3
√
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答案
由题得a2＝80，b2＝35，
所以a＝4，c＝＝3，
所以长轴长2a＝8，焦距2c＝6，
所以长轴长与焦距之差等于2a－2c＝2.
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14
答案
2.已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率e<，则a的取值范围是
A.(0，1) B. C.(1，＋∞) D.
√
由题意可知b2＝1，c2＝a2＋1，
所以e2＝，所以1<<3，且a>0，
所以a>.
3.(2024·保定模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为方程
2x2－5x＋2＝0的解，则C的渐近线的斜率的绝对值为
A. B. C. D.
√
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答案
因为方程2x2－5x＋2＝0的解为x＝或x＝2，
且双曲线的离心率大于1，所以e＝2，
由e2＝1＋＝4，解得.
4.在平面直角坐标系中，已知两点A(1，1)，B(－1，－1)，点P为动点，且直线AP与BP的斜率之积为－，则点P的轨迹方程为
A.x2＋2y2＝3 B.x2＋2y2＝3(x≠±1)
C.x2－2y2＝3(x≠±1) D.2x2＋y2＝3(x≠±1)
√
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设P(x，y)，∵A(1，1)，B(－1，－1)，
∴kAP＝(x≠1)，kBP＝(x≠－1)，
由kAP·kBP＝－，得·＝－(x≠±1)，
即x2＋2y2＝3(x≠±1)，
∴动点P的轨迹方程为x2＋2y2＝3(x≠±1).
答案
5.(2024·湛江模拟)已知点M为双曲线C：＝1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|＋|F1F2|－|MF2|等于
A.2 B.4 C.6 D.8
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14
答案
由于M为双曲线C：＝1的左支上一点，
F1，F2分别为C的左、右焦点，
所以|MF2|－|MF1|＝2a，
故|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝2c－2a，
由于a＝2，b＝，c＝＝3，
所以|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝2c－2a＝6－4＝2.
6.已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，该抛物线C与直线l：y＝kx＋1相交于M，N两点，则|MF|＋3|NF|的最小值为
A.2＋2 B.2＋4
C.4＋2 D.4＋4
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14
答案
根据题意可得直线l过该抛物线的焦点F，所以＝1，
所以|MF|＋3|NF|＝(|MF|＋3|NF|)
＝4＋≥4＋2，
当且仅当|MF|＝|NF|＝＋1时取等号.
7.已知O为坐标原点，椭圆C：＝1(0
A. B.
C. D.
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答案
由直线过椭圆C的右焦点且斜率为，
得直线MN的方程为x＝2y＋c(其中c＝)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1≠0且x2≠0，
联立
整理得4(b2＋1)y2＋4b2cy－b4＝0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，
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答案
所以kOM·kON＝
＝
＝，
可得25b4－80b2＋64＝0，
解得b＝.
8.已知A，B是圆C：x2＋y2－8x－2y＋16＝0上两点，点P在抛物线x2＝2y上，当∠APB取得最大值时，|AB|等于
A. B. C. D.
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答案
依题意可得，当PA，PB是圆C的切线时，∠APB取得最大值，即A，B是圆C的切点，设∠APB＝2α，P，
∵圆C：x2＋y2－8x－2y＋16＝0，
∴圆心C(4，1)，半径为1，
从而sin α＝，
∵|PC|2＝－8x0＋17，
令f(x)＝－8x＋17，则f'(x)＝x3－8，
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答案
∴当x<2时，f'(x)<0，
即函数f(x)在(－∞，2)上单调递减；
当x>2时，f'(x)>0，
即函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，
∴f(x)min＝f(2)＝5，即|PC|min＝，
∴(sin α)max＝，此时∠APB最大，
∴|AB|＝2|AC|cos α＝2cos α＝.
二、多项选择题
9.(2024·长沙模拟)已知抛物线C与抛物线y2＝4x关于y轴对称，则下列说法正确的是
A.抛物线C的焦点坐标是(－1，0)
B.抛物线C关于y轴对称
C.抛物线C的准线方程为x＝1
D.抛物线C的焦点到准线的距离为4
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答案
因为抛物线C与抛物线y2＝4x关于y轴对称，
所以抛物线C的方程为y2＝－4x，
则抛物线C的焦点坐标是(－1，0)，准线方程为x＝1，故A，C正确；
抛物线C关于x轴对称，故B错误；
抛物线C的焦点到准线的距离为2，故D错误.
10.已知F1，F2分别是椭圆C：＝1的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是
A.△PF1F2的周长为10
B.△PF1F2面积的最大值为25
C.|PF1|的最小值为1
D.椭圆C的离心率为
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答案
由题意可知a＝3，b＝，c＝＝2，则|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝4，△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝10，故A正确；
当P为短轴端点时，△PF1F2面积取到最大值为|F1F2|×b＝2，故B错误；
|PF1|的最小值为a－c＝1，此时P为长轴左端点，但本题取不到长轴左端点，故|PF1|没有最小值，故C错误；
椭圆C的离心率为e＝，故D正确.
11.圆锥曲线具有丰富的光学性质.双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点F2处发出的光线，在点P处经过双曲线反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点F1，且双曲线在点P处的切线平分∠F1PF2.如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线C过点(3，－1)，其左、右焦点分别为F1，F2.若从F2发出的光线经双曲线右支上一点P反射的光线为PQ，点P处的切线交x轴于点T，则下列说法正确的是
A.双曲线C的方程为x2－y2＝8
B.过点P且垂直于PT的直线平分∠F2PQ
C.若PF2⊥PQ，则|PF1|·|PF2|＝18
D.若∠F1PF2＝60°，则|PT|＝
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答案
对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为＝1(a>0)，所以＝1，解得a2＝8，得到双曲线的方程为x2－y2＝8，故A正确；
对于B，
如图，由题知∠F1PT＝∠F2PT，
∠F1PT＝∠MPQ，
所以∠MPQ＝∠F2PT，
若HP⊥TM，所以∠F2PH＝∠QPH，故B正确；
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答案
对于C，因为PF2⊥PQ，所以PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°，所以＝8＝|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝16，故C错误；
对于D，因为∠F1PF2＝60°，
令|PF1|＝m>0，|PF2|＝n>0，
由mnsin 60°＝，得mn＝32，
由m－n＝4，得m2－2mn＋n2＝32，
所以m2＋n2＝96，
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答案
从而有(m＋n)2＝160，得到m＋n＝4，
由m·|PT|sin 30°＋n·|PT|sin 30°＝，
得到(m＋n)|PT|sin 30°＝，
从而有(m＋n)|PT|sin 30°＝8，
解得|PT|＝，故D正确.
三、填空题
12.(2024·北京海淀区质检)抛物线y2＝4x上与焦点距离等于3的点的横坐标是 .
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答案
2
抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，
设抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F(1，0)的距离为3，
则|PF|＝x0＋＝x0＋1＝3，所以x0＝2.
13.(2025·长沙模拟)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的倾
斜角分别为α，β，若α＝5β，则C的离心率为 .
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答案
根据双曲线C：＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的倾斜角为α，β，
则α＋β＝π，又α＝5β，所以β＝，
所以＝tan β＝，故离心率e＝.
14.已知点F为椭圆C：＝1的左焦点，垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同的两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M(异于点Q)，直线QM恒过定点B，则点B的坐标为 .
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14
答案
由题意可知直线PF的斜率存在，设直线PF的方程为y＝k(x＋)，
设P(x1，y1)，M(x2，y2)，则Q(x1，－y1)，
联立直线与椭圆方程
消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋4k2－4＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
显然Δ＝16(k2＋1)>0，x1≠x2，
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14
答案
所以直线QM的方程为y－y2＝(x－x2)，
整理得y＝，
又
＝
＝＝－2，
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14
答案
所以直线QM的方程为y＝(x＋2)，
当x＝－2时，y＝0恒成立，
故直线QM过定点B(－2，0).(共61张PPT)
第八章
数学
大
一
轮
复
习
进阶篇 圆锥曲线中的综合问题
椭圆、双曲线中的常见结论及应用
进阶1
椭圆、双曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式、法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解.
重点解读
例1 (1)设F1，F2分别为椭圆C：＝1的左、右焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为 .
焦半径公式(第二定义)
题型一
(3，)
方法一 △MF1F2为等腰三角形，点M在第一象限 |MF1|>|MF2|，且|MF2|又|F1F2|＝8，所以|MF2|≠|F1F2|，
故只能|MF1|＝|F1F2|＝8，
设M(x0，y0)(x0>0，y0>0)，
则解得
所以M(3，).
方法二 △MF1F2为等腰三角形，
点M在第一象限 |MF1|>|MF2|，且|MF2|又|F1F2|＝8，
所以|MF2|≠|F1F2|，
故只能|MF1|＝|F1F2|＝8，
设M(x0，y0)(x0>0，y0>0)，
由椭圆焦半径公式知|MF1|＝6＋x0＝8，
解得x0＝3，代入椭圆方程得y0＝，故M(3，).
(2)双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的一点P满足|PF1|＝5，则△PF1F2的面积为 .
6或4
方法一 由题意得a＝1，b＝，c＝2，e＝2，
设P(x0，y0)，则|PF1|＝|2x0＋1|＝5，
解得x0＝2或x0＝－3，
当x0＝2时，代入双曲线方程可求得y0＝±3，
所以·|F1F2|·|y0|＝6；
当x0＝－3时，代入双曲线方程可求得y0＝±2，
所以·|F1F2|·|y0|＝4.
综上所述，△PF1F2的面积为6或4.
方法二 由题意得a＝1，b＝，c＝2，
所以|F1F2|＝4，
当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义可知|PF1|－|PF2|＝2，
又|PF1|＝5，所以|PF2|＝3，
显然，
所以PF2⊥F1F2，
从而·|PF2|·|F1F2|＝×3×4＝6；
当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义可知|PF2|－|PF1|＝2，
又|PF1|＝5，所以|PF2|＝7，
从而cos∠PF1F2＝＝－，
所以sin∠PF1F2＝，
从而·|PF1|·|F1F2|·sin∠PF1F2
＝×5×4×＝4.
综上所述，△PF1F2的面积为6或4.
(1)如图1，椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点
P(x0，y0)为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径|PF1|和|PF2|可按下面的公式计算
①|PF1|＝a＋ex0；②|PF2|＝a－ex0(记忆：左加右减).
思维升华
(2)如图2，双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，
点P(x0，y0)为双曲线上任意一点，则双曲线的焦半径|PF1|和|PF2|可按下面的公式计算
①|PF1|＝|ex0＋a|；②|PF2|＝|ex0－a|(记忆：左加右减).
思维升华
跟踪训练1 (1)双曲线＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的一点P满足|PF1|＝3|PF2|，则点P的坐标为 .
(2，±)
由题意得a＝b＝，c＝2，e＝，
设P(x0，y0)，则|PF1|＝|x0＋|，
|PF2|＝|x0－|，
因为|PF1|＝3|PF2|，
所以|x0＋|＝3|x0－|，
解得x0＝2或x0＝，
又|x0|≥，所以x0＝2，
代入双曲线方程可求得y0＝±，即P(2，±).
(2)椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|
的取值范围为 .
[2，6]
由题意得a＝，c＝2，e＝，
设P(x0，y0)，其中－≤x0≤，
则|PF1|＝x0，|PF2|＝x0，
所以|PF1|·|PF2|＝6－，取值范围为[2，6].
设P是圆锥曲线上任意一点，F为它的一个焦点，O为坐标原点，∠PFO＝θ，
(1)椭圆：|PF|＝.
(2)双曲线：|PF|＝.
记忆规律：同正异负.即当P与F位于虚轴的同侧时取正，否则取负.
(3)抛物线：|PF|＝.
圆锥曲线的角度式焦半径公式
微拓展
典例 设F1，F2分别是双曲线C：5x2－4y2＝m2的左、右焦点，过F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，且满足＝7，则直线l的斜率为 .
或－
如图，设双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线的右支上，
连接MF2，过点M作右准线x＝的垂线MN，记∠MF2O＝θ，
则由双曲线的第二定义知，
，
整理得|MF2|＝.由双曲线C：5x2－4y2＝m2，得＝1，
所以a2＝，b2＝，离心率e＝，
由题设直线l的倾斜角为π－θ，由＝7，
知|AF2|＝7|BF2|，
所以＝7×，
或＝7×，
解得cos θ＝－或cos θ＝，
把e＝代入，可求得θ＝120°或θ＝60°.
故直线l的斜率为或－.
例2 已知椭圆＝1(a>b>0)，不垂直于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，M为线段AB的中点，直线AB和OM(O是坐标原点)的斜率分别为kAB，kOM，求证：kAB·kOM＝－.
垂径定理(第三定义)
题型二
方法一 如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
则kAB＝，kOM＝，
x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
因为
两式作差得＝0，即·＝－，
于是·＝－，所以kAB·kOM＝－.
方法二 设直线AB的方程为y＝kx＋m，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
由消去y得
(b2＋a2k2)x2＋2kma2x＋a2m2－a2b2＝0，
所以x1＋x2＝－，
于是y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，
所以M，
于是kOM＝＝－.
因此kAB·kOM＝k·＝－.
方法三 令＝x'，＝y'，则x'2＋y'2＝1.
原题设中的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)分别对应单位圆中的点A'(x'1，y'1)，B'(x'2，y'2)，M'(x'0，y'0)，且M'是线段A'B'的中点，
由圆的垂径定理得kA'B'·kOM'＝－1，
又因为kAB＝·kA'B'，kOM＝·kOM'，
所以kAB·kOM＝·kA'B'··kOM'＝·kA'B'·kOM'＝－.
(1)椭圆中的垂径定理
思维升华
(2)双曲线中的垂径定理
思维升华
(3)垂径定理也可以描述为：设点M是有心圆锥曲线＝1(m>0，
n>0，或mn<0)中与坐标轴不垂直且不过中心O的弦AB的中点，则
kAB·kOM＝－.
(4)若点M是有心圆锥曲线的弦AB的中点，其中AB与坐标轴不垂直且不过中心O，且将圆看作是离心率e＝0的特殊的椭圆，则有kAB·kOM＝e2－1.
思维升华
跟踪训练2 (1)已知双曲线C：x2－y2＝2 025的左、右顶点分别为A，B，
P为双曲线右支上一点，且∠APB＝4∠PAB，则∠PAB＝ .
令∠PAB＝α，则α∈，
∠PBx＝β，则β∈，
则β＝5α，所以α∈，
由双曲线的垂径定理可知
tan α·tan β＝tan α·tan 5α＝e2－1＝1，
则tan α＝＝tan，－5α∈，
则α＝－5α，故α＝.
(2)已知A，B是椭圆＝1(a>b>0)长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，且k1k2≠0.若|k1|＋
|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率为 .
如图所示，连接MB，由椭圆的第三定义可知
kAM·kBM＝e2－1＝－，
而kBM＝－kBN k1k2＝，
则|k1|＋|k2|≥2＝1 e＝.
例3 (多选)如图，F1，F2是圆锥曲线的焦点，A，B为椭圆中过点F2的弦的两个端点，P为双曲线上任意一点，下列说法正确的是
A.椭圆中△ABF1的周长为4a
B.椭圆中当A为短轴的端点时，∠F1AF2最大
C.椭圆中
D.双曲线中
√
焦点三角形
题型三
√
√
对于A，由椭圆的定义可知△ABF1的周长为4a显然成立，A正确；
对于B，cos∠F1AF2＝
＝
＝
＝－1，
∵|AF1||AF2|≤＝a2，
当且仅当|AF1|＝|AF2|，即点A是短轴端点时取等号，
∴cos∠F1AF2＝－1≥－1，
又∵y＝cos θ在(0，π)上单调递减，
∴当A为短轴端点时，∠F1AF2最大，B正确；
对于C，由选项B的推导过程得cos∠F1AF2＝－1，
∴|AF1||AF2|＝，
∴|AF1||AF2|sin∠F1AF2
＝··sin∠F1AF2
＝b2·
＝b2tan ，C错误；
对于D，证明方法同椭圆，，D正确.
椭圆、双曲线焦点三角形离心率
设P是圆锥曲线上任意一点，F1，F2为它的两个焦点，且P，F1，F2三点不共线，记∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ，则
椭圆的离心率为
e＝；
双曲线的离心率为
e＝.
思维升华
跟踪训练3 已知椭圆C：＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为
A.2 B.4 C.6 D.12
√
由e＝，得，即a＝2c. ①
设△F1PF2的内切圆的半径为r，
因为△F1PF2的内切圆的面积为3π，所以πr2＝3π，解得r＝(舍负).
在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知
＝b2tanr(2a＋2c)，
即b2＝(a＋c)， ②
又a2＝b2＋c2， ③
联立①②③得c＝3，a＝6，b＝3，
所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.
1.椭圆焦点弦三角形周长公式
F1，F2分别为椭圆C的两个焦点，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则椭圆焦点弦三角形△F1AB的周长为4a.
2.双曲线焦点弦三角形周长公式
F1，F2分别为双曲线C的两个焦点，过F2的直线交双曲线C同一支于A，B两点，且|AB|＝m，则焦点弦三角形△F1AB的周长为4a＋2m.
焦点弦三角形
微拓展
3.椭圆焦点弦三角形面积公式
(1)F1，F2分别为椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2且倾斜角为θ的直线l与椭圆C交于A，B两点，则焦点弦三角形△F1AB的面积，其中p＝.
(2)F1，F2分别为椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝m，则焦点弦三角形△F1AB的面积＝b.
4.双曲线焦点弦三角形面积公式
(1)F1，F2分别为双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2且倾斜角为θ的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，则焦点弦三角形△F1AB的面积，其中p＝.
(2)F1，F2分别为双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，且|AB|＝m，则焦点弦三角形△F1AB的面积＝b.
(3)F1，F2分别为双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2
的直线l与双曲线C右支、左支分别交于A，B两点，且|AB|＝m，则焦点弦三角形△F1AB的面积＝b.
5.抛物线焦点弦三角形面积公式
设直线l过焦点F且与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，O为坐标原点，
直线l的倾斜角为θ，则焦点弦三角形△OAB的面积S△OAB＝.
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C D D B ABC AD
题号 9 10 答案 ∪ 一、单项选择题
1.已知F1，F2分别是椭圆C：＝1的左、右焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为
A.25 B.16 C.9 D.7
√
1
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9
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答案
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2
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7
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9
10
答案
由题意，a＝4，b＝3，c＝，离心率e＝，
设M(x0，y0)，－4≤x0≤4，
则|MF1|＝4＋x0，|MF2|＝4－x0，所以|MF1|·|MF2|＝16－，
故当x0＝0时，|MF1|·|MF2|取得最大值16.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
2.椭圆C：＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C上，直线
PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1的斜率的取值范围是
A. B.
C. D.
√
由垂径定理得·＝－＝－，
又∈[－2，－1]，所以∈.
3.(2024·成都模拟)如图，A，B分别是椭圆C：＝1的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上(点P异于A，B两点)，线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为
A. B.
C. D.
√
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4
5
6
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10
答案
1
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3
4
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6
7
8
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10
答案
根据椭圆的第三定义可知kAQ·kBQ＝e2－1，
又
所以kAP·kBP＝4kAP·kBQ＝4＝－1，
则e＝.
4.已知双曲线的中心为原点O，且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线方程为
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
√
1
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3
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5
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7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
由条件知，线段MN的中点P在直线y＝x－1上，所以P，
由垂径定理有kMN·kOP＝＝e2－1，
即1×＝e2－1，解得e＝，
又c＝，所以a＝，b＝，
故所求双曲线方程为＝1.
答案
5.如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别
是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是
A. B.
C. D.
√
1
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10
答案
1
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7
8
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10
答案
设双曲线C2的方程为＝1(a2>0，b2>0)，
则有＝4－1＝3.
设椭圆C1中，a1＝2，b1＝1，
又四边形AF1BF2为矩形，
所以△AF1F2的面积为tan 45°＝，
即＝1，所以＝3－1＝2，
故双曲线C2的离心率e＝.
6.已知双曲线C：＝1(a>0)的右支上的点P(x0，y0)满足|PF1|＝3|PF2|(F1，F2分别是双曲线的左、右焦点)，则(c为双曲线C的半焦距)的取值范围是
A.[4，＋∞) B.
C. D.[2，4]
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
由双曲线的第二定义可知|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a，
∵右支上的点P(x0，y0)满足|PF1|＝3|PF2|，
∴ex0＋a＝3(ex0－a) ex0＝2a，
由e＝，解得x0＝，
∵P在右支上，可得x0＝≥a，
又c>a，可得1<≤2，即1则＋4e2＋－4，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
令e2＝t，1而f(t)＝在(1，4]上单调递减，
∴∈，∴2≤<.
答案
二、多项选择题
7.(2024·泸州模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别
是F1，F2，其中|F1F2|＝2c，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法中正确的是
A.弦AB的长度的最小值为
B.若|AB|＝m，则△F1AB的周长为2m＋4a
C.若AB的中点为M，坐标原点为O，且直线AB的斜率为k，则kOM·k＝
D.若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率e∈[2，＋∞)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
√
答案
√
√
弦AB的长度的最小值为通径，故A正确；
由双曲线的定义得|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，
所以|AF1|＝|AF2|＋2a，|BF1|＝|BF2|＋2a，
|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋2a＋|BF2|＋2a＝|AB|＋4a，
则△F1AB的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝2|AB|＋4a＝2m＋4a，故B正确；
根据双曲线中的垂径定理可得kAB·kOM＝kOM·k＝，故C正确；
若直线AB的斜率为，所以<，
所以b2<3a2，所以c2<4a2，所以e＝∈(1，2)，故D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
8.已知椭圆＋y2＝1，A，B分别为长轴左、右端点，F1，F2分别为左、
右焦点，点P为椭圆上除去A，B之外的任意一点，则
A.△PAB面积的最大值为2
B.|PF1|2＋|PF2|2的最大值为8
C.kPA·kPB＝
D.若∠F1PF2＝60°，则
√
1
2
3
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5
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7
8
9
10
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
依题意知，a＝2，b＝1，c＝，
当P为短轴端点时，(S△PAB)max＝×2a×b＝2，A正确；
∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
由基本不等式≤
知，≥2，即|PF1|2＋|PF2|2≥8，故B错误；
由垂径定理得，kPA·kPB＝－＝－，C错误；
＝b2tan＝1×tan 30°＝，D正确.
答案
三、填空题
9.(2024·南京模拟)已知双曲线＝1上一点M与两焦点F1，F2所成的
角∠F1MF2＝120°，则△F1MF2的面积为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
根据双曲线焦点三角形的面积公式的二级结论得
.
10.双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的一点P满足
∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围为 .
1
2
3
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5
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10
答案
∪
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
∠F1PF2为钝角 cos∠F1PF2<0，
而cos∠F1PF2＝，
所以<0，
由题意得a＝1，b＝，c＝2，|F1F2|＝4，
设P点的横坐标为x0，由焦半径公式得|PF1|＝|2x0＋1|，|PF2|＝|2x0－1|，
所以－16<0，解得－又x0≤－1或x0≥1，且当x0＝±1时，∠F1PF2＝180°，
所以x0∈∪.(共42张PPT)
第八章
数学
大
一
轮
复
习
进阶篇 圆锥曲线中的综合问题
与弦长、周长、距离、面积有关的范围(最值)问题
进阶2
解决圆锥曲线中的最值与范围问题，一般有两种方法：
(1)几何法，若题目的条件和结论有明显的几何特征，可考虑利用圆锥曲线的定义和图象的有关性质来求解；
(2)代数法，先根据条件列出目标函数，然后根据函数表达式的特征选用适当的方法求出最值或范围.
常见的方法：①基本不等式法；②利用函数单调性；③配方法；④换元法；⑤判别式法；⑥导数法；⑦利用三角函数有界性.
例1 (2024·衢州模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，斜率为的直线l与y轴交于点P，l与C交于A，B两点，T是A关于x轴的对称点.当P与坐标原点O重合时，△ABT的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
与弦长、周长有关的范围(最值)问题
题型一
当P与坐标原点O重合时，可设A(x0，y0)(x0>0)，
则有B(－x0，－y0)，T(x0，－y0)，
且x0＝2y0，AT⊥BT，
则S△ABT＝|AT|·|BT|＝·2y0·2x0＝，
即2，∴，则，
则有＝1，由离心率为，即，
则a2＝2c2＝b2＋c2，∴a2＝2b2，
即有＝1，解得b2＝1，∴a2＝2，
即椭圆C的方程为＋x2＝1.
(2)当P异于O点时，记直线BT与x轴交于点Q，求△OPQ周长的最小值.
设直线l的方程为x＝2y＋t(t≠0)，令x＝0，有y＝－，即yP＝－，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则T(x1，－y1)，
联立直线l与椭圆方程
消去x得9y2＋8ty＋2t2－2＝0，
有y1＋y2＝－，y1y2＝，
Δ＝64t2－36(2t2－2)>0，得－3直线BT的方程为y＝(x－x2)＋y2，
令y＝0，xQ＝＋x2＝，
由x＝2y＋t，得
＝＋t＝＋t＝，即xQ＝，
则C△OPQ＝|yP|＋|xQ|＋
＝≥2＋1，
当且仅当t＝±时等号成立，
故△OPQ周长的最小值为＋1.
利用根与系数的关系解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：
(1)设直线方程，设交点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)；
(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，注意Δ的判断；
(3)列出根与系数的关系；
(4)将所求问题或题中的关系转化为x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)的形式；
(5)代入根与系数的关系求解.
思维升华
跟踪训练1 (2025·衡阳模拟)已知抛物线C：x2＝4y，过点D(0，2)的直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，直线l1与l2交于点M.
(1)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2＝－2；
由题意知，直线l的斜率存在，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx＋2，
由得x2－4kx－8＝0，
Δ＝16k2＋32>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－8，
由y＝x2，得切点A，B，
y'＝x，所以切线l1的斜率k1＝x1，
切线l2的斜率k2＝x2，
所以k1k2＝x1x2＝×(－8)＝－2.
(2)设线段AB的中点为N，求的取值范围.
由(1)可得y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4＝4(k2＋1)，
故＝2(k2＋1)，N(2k，2(k2＋1)).
由(1)得l1：y－(x－x1)，
可化为y＝x1x－， ①
同理得l2：y＝x2x－， ②
由①②，得x＝＝2k，y＝＝－2，即M(2k，－2)，
则|MN|＝2(k2＋1)＋2＝2(k2＋2)，
|AB|＝·|x1－x2|＝·
＝·＝4，
所以.
由k2≥0，k2＋1≥1，得0<≤1，
故∈，即的取值范围为.
例2 已知P(0，)和Q(，1)为椭圆C：＝1(a>b>0)上的两点.
(1)求椭圆C的方程和离心率；
与距离、面积有关的范围(最值)问题
题型二
因为P(0，)和Q(，1)为椭圆C：＝1(a>b>0)上的两点，
所以解得
又因为a2＝b2＋c2，所以c2＝2.
所以椭圆C的方程为＝1，离心率e＝.
(2)设直线l：y＝kx＋1与椭圆C交于A，B两点，求△AOB面积的取值范围.
联立方程
消去y得(1＋2k2)x2＋4kx－2＝0，
因为Δ＝(4k)2－4×(1＋2k2)×(－2)＝32k2＋8>0，
所以设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
所以|AB|＝＝×.
又因为点O到直线l：y＝kx＋1的距离为d＝，
所以△AOB的面积S＝×d×|AB|
＝×××
＝，
令t＝4k2＋1(t≥1)，
则S＝≤
，
也就是当k＝0时，△AOB的面积取最大值，
又因为当|k|→＋∞时，S→0，
所以△AOB面积的取值范围是(0，].
强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、距离、三角形的面积等问题.
思维升华
跟踪训练2 双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B，D两点，且△ABD是直角三角形.
(1)求双曲线C的方程；
依题意，∠BAD＝90°，半焦距c＝2，
由|AF|＝|BF|，得a＋c＝，得a2＋2a＝22－a2，
解得a＝1(其中a＝－2<0舍去)，
所以b2＝c2－a2＝4－1＝3，
故双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝－2，求点A到直线MN的距离d的取值范围.
由(1)知A(－1，0)，显然直线MN不可能与x轴平行，故可设直线MN的方程为x＝my＋n，
联立
消去x整理得(3m2－1)y2＋6mny＋3(n2－1)＝0，
在条件下，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，
由k1k2＝－2，得·＝－2，
即y1y2＋2(x1＋1)(x2＋1)＝0，
即y1y2＋2(my1＋n＋1)(my2＋n＋1)＝0，
整理得(2m2＋1)y1y2＋2m(n＋1)(y1＋y2)＋2(n＋1)2＝0，
所以3(n2－1)(2m2＋1)－12m2n(n＋1)＋2(n＋1)2(3m2－1)＝0，
化简得n2－4n－5＝0，解得n＝5或n＝－1(舍去)，此时Δ>0，
则直线MN的方程为x－my－5＝0，得d＝，
又M，N都在双曲线的右支上，
故有y1y2＝<0，
解得0≤m2<，
此时1≤<，d＝∈(3，6]，
所以点A到直线MN的距离d的取值范围为(3，6].
课时精练
答案
1
2
(1)双曲线C：x2－＝1(b>0)的离心率为，
a＝1，可得c＝，所以b＝1，
可得双曲线C：x2－y2＝1，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
(2)设经过点P的直线方程为y＝kx－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1>0，x2>0，
联立方程组
1.
答案
1
2
消去y得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
所以
解得1所以线段MN的中点坐标为，
1.
答案
1
2
所以线段MN的垂直平分线方程为y＋＝－，
令x＝0得截距t＝>2，
即线段MN的垂直平分线l在y轴上的截距t的取值范围是(2，＋∞).
1.
答案
1
2
(1)由题意知椭圆E的左焦点F1(－1，0)，连接PF1，QF1，如图1，
设椭圆E的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
则△PQF2的周长为|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝2a－|PF1|＋2a－|QF1|＋|PQ|
＝4a－(|PF1|＋|QF1|－|PQ|)≤4a(当P，Q，F1三点共线时取等号)，
由4a＝8，得a＝2，
易知c＝1，所以b＝，
所以椭圆E的标准方程为＝1.
2.
图1
答案
1
2
(2)如图2，可设直线l：x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由
得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，Δ＝144(m2＋1)>0，
y1＋y2＝，y1y2＝，
|F1F2||y1－y2|
＝，
2.
图2
答案
1
2
令t＝(t≥1)，则，
由y＝3t＋在[1，＋∞)上单调递增，
得≤3，所以的最大值为3，
此时m＝0，直线l的方程为x＝1.
2.
图2
1.已知双曲线C：x2－＝1(b>0)的离心率为.
(1)求此双曲线的渐近线方程；
1
2
答案
双曲线C：x2－＝1(b>0)的离心率为，
a＝1，可得c＝，所以b＝1，
可得双曲线C：x2－y2＝1，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
(2)若经过点P(0，－1)的直线与双曲线C的右支交于不同的两点M，N，求线段MN的垂直平分线l在y轴上的截距t的取值范围.
1
2
答案
1
2
答案
设经过点P的直线方程为y＝kx－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1>0，x2>0，
联立方程组
消去y得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
所以
解得11
2
答案
所以线段MN的中点坐标为，
所以线段MN的垂直平分线方程为y＋＝－，
令x＝0得截距t＝>2，
即线段MN的垂直平分线l在y轴上的截距t的取值范围是(2，＋∞).
1
2
答案
2.如图，已知椭圆E的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P，Q为椭圆上的两个动点，△PQF2周长的最大值为8.
(1)求椭圆E的标准方程；
1
2
答案
由题意知椭圆E的左焦点F1(－1，0)，连接PF1，QF1，如图1，
设椭圆E的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
则△PQF2的周长为|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝2a－|PF1|＋2a－|QF1|＋|PQ|
＝4a－(|PF1|＋|QF1|－|PQ|)≤4a(当P，Q，F1三点共线时取等号)，
由4a＝8，得a＝2，
易知c＝1，所以b＝，
所以椭圆E的标准方程为＝1.
图1
1
2
答案
(2)过F2作直线l与椭圆E交于不同的两点M，N，求△F1MN面积取最大值时直线l的方程.
1
2
答案
如图2，可设直线l：x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由
得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，Δ＝144(m2＋1)>0，
y1＋y2＝，y1y2＝，
|F1F2||y1－y2|
＝，
图2
1
2
答案
令t＝(t≥1)，则，
由y＝3t＋在[1，＋∞)上单调递增，
得≤3，所以的最大值为3，
此时m＝0，直线l的方程为x＝1.
图2(共49张PPT)
第八章
数学
大
一
轮
复
习
进阶篇 圆锥曲线中的综合问题
与角度、斜率、参数、向量有关的范围(最值)问题
进阶3
例1 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程；
与角度、斜率有关的范围(最值)问题
题型一
抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，准线方程为x＝－，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为＝p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值.
方法一 设Q(x0，y0)，
则＝9＝(9－9x0，－9y0)，
∴P(10x0－9，10y0)，
由P在抛物线上可得(10y0)2＝4(10x0－9)，即x0＝>0，
∴直线OQ的斜率kOQ＝，
当y0＝0时，kOQ＝0；
当y0≠0时，kOQ＝，
当y0>0时，∵25y0＋≥2＝30，
此时0当y0<0时，kOQ<0，
综上，直线OQ斜率的最大值为.
方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程为y2＝x－.
设直线OQ的方程为y＝kx，
则当直线OQ与抛物线y2＝x－相切时，其斜率k取到最值，
联立得k2x2－x＋＝0，
则Δ＝－4k2×＝0，
解得k＝±，
∴直线OQ斜率的最大值为.
方法三 (轨迹方程＋换元求最值法)
同方法一得点Q的轨迹方程为y2＝x－.
设直线OQ的斜率为k，Q(x，y)，
则k2＝.
令＝t，
则k2＝－t2＋t的对称轴为t＝，
∴0≤k2≤，－≤k≤.
故直线OQ斜率的最大值为.
方法四 由题可设P(4t2，4t)(t≥0)，Q(x，y)，
∵F(1，0)，＝9，
∴(x－4t2，y－4t)＝9(1－x，－y)，
于是∴
则直线OQ的斜率为k＝，
当t＝0时，k＝0；
当t>0时，k＝≤，
当且仅当4t＝，即t＝时等号成立，
综上，直线OQ斜率的最大值为.
求解与斜率、角度有关的最值问题的关键是建立关于斜率的目标函数，然后运用基本不等式或者函数求解有关的问题.
思维升华
跟踪训练1 (2024·皖北协作区联考)已知双曲线E：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P是E的右支上一点，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为3.
(1)求E的方程；
设双曲线的半焦距为c(c>0)，
∵|PF1||PF2|＝3，
∴|PF1||PF2|＝6.
由题可知|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，
∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4a2，
即4c2－12＝4a2，∴b2＝3.
又＝2，∴a2＝1.
故E的方程为x2－＝1.
(2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点F2的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别为kAM和kBN，求kBN的最小值.
如图，由题可知F2(2，0)，
A(－1，0)，B(1，0)，且直线MN的斜率不为0，
设直线MN的方程为x＝ty＋2，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立
得(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝.
∵kAM＝，kBN＝，
∴
＝＝－，
∴kBN＝－3kAM，
∴kBN＝(kAM－1)2－1，
∵直线AM与E的右支有交点，
∴－∴当kAM＝1，kBN＝－3时，kBN取得最小值，且最小值为－1.
例2 已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，以坐标原点O为圆心，
椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切.
(1)求椭圆C的方程；
与参数、向量有关的范围(最值)问题
题型二
由题意可知，短半轴长b＝＝1，
因为e＝，则e2＝，
即a2＝2b2＝2，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)若过点M(2，0)的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足＝t(t∈R)，当||<时，求实数t的取值范围.
由题意可知，直线AB的斜率存在，
设直线AB为y＝k(x－2)，
联立方程
消去y得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，
由Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)>0，解得k2<，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
因为＝t，
则(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，易知t≠0，
可得x＝，
y＝[k(x1＋x2)－4k]＝，
且点P在椭圆上，
则＝2，
整理得16k2＝t2(1＋2k2)，
又因为||＝||<，
则|x1－x2|<，
可得(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]<，
即(1＋k2)<，
整理得(4k2－1)(14k2＋13)>0，解得k2>，
所以且16k2＝t2(1＋2k2)，
可得t2＝＝8－∈，
解得－2所以实数t的取值范围为∪.
含参数、向量的范围(最值)问题，通常利用向量的运算转化为目标函数，然后利用基本不等式、函数单调性或求导等方法来求最值，也可以利用几何图形的有界性、判别式得到不等关系，从而求出相关量的范围(最值).
思维升华
跟踪训练2 在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，且与双曲线－y2＝1共顶点.P为
椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q.
(1)求椭圆C的方程；
双曲线－y2＝1的顶点坐标为(±，0)，故a2＝2，
由题意得c＝1，故b2＝a2－c2＝2－1＝1，
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)若＝λ，且λ∈，求·的最大值.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＝(x1＋1，y1)，＝(－1－x2，－y2)，
因为＝λ，λ∈，
所以
即
所以
解得x2＝，
所以·＝x1x2＋y1y2
＝(－λx2－λ－1)x2－λ＝－－(1＋λ)x2－λ
＝－－(1＋λ)·－λ
＝，
因为λ∈，
所以λ＋≥2，当且仅当λ＝，即λ＝1时，取等号，
故·的最大值为.
课时精练
答案
1
2
(1)由题意得a2＝4，b2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，
所以△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝4＋2.
(2)显然当直线l的斜率k不存在时，直线x＝0不满足题意，设直线l的方程为y＝kx＋2(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
1.
答案
1
2
由Δ＝(16k)2－4×12(1＋4k2)>0，得k2>，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1y2＝＝k2x1x2＋2k＋4，
因为∠AOB为锐角，A，O，B不共线，
所以cos∠AOB>0，
所以·>0，所以x1x2＋y1y2>0，
所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋2k＋4
1.
答案
1
2
＝＋4
＝>0，
解得0，
解得－2所以实数k的取值范围为∪.
1.
答案
1
2
(1)如图1，依题意，|m－n|＝||AB|＋|BF2|＋|AF2|－(|BP|＋|PF1|＋|BF1|)|
＝||AB|＋(|BP|＋|PF2|)＋|AF1|－(|BP|＋|PF1|＋|AB|＋|AF1|)|
＝||PF2|－|PF1||＝2a＝4，
解得a＝2，又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
则，即b＝，
所以双曲线C的标准方程为＝1.
2.
图1
答案
1
2
(2)由(1)知a＝2，则双曲线C的方程为＝1，如图2，
设T(x0，y0)，过T的直线l'的方程为y－y0＝k(x－x0)，
即y＝kx＋y0－kx0，令m＝y0－kx0，显然k≠0，
由
消去y得(b2k2－4)x2＋2b2mkx＋b2m2－4b2＝0，
由直线l'与双曲线只有一个公共点，
得Δ＝(2b2mk)2－4(b2k2－4)(b2m2－4b2)＝0，
2.
图2
答案
1
2
化简得b2k2＋m2－4＝0，
代入m＝y0－kx0得(b2＋)k2－2x0y0k＋－4＝0，
由直线l'与双曲线相切，得k＝，
而＝1，于是k＝，
过点T且与l'垂直的直线的斜率为－，
方程为y－y0＝－(x－x0)，
2.
图2
答案
1
2
令y＝0，得x＝，即M，
令x＝0，得y＝，即N，
设Q(x，y)，由＝λ，λ∈(0，1)，
得
2.
图2
答案
1
2
即
代入＝1，
得＝1，
依题意，该双曲线与双曲线＝1共焦点，
2.
图2
答案
1
2
则＝b2＋4，
化简得[(b2＋4)λ－4]2＝0，于是λ＝∈(0，1)，
λb＝≤＝1，
当且仅当b＝2，λ＝时取等号，所以λb的最大值为1.
2.
图2
1.已知椭圆C：＋y2＝1.
(1)若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，P为C的上顶点，求△PF1F2的周长；
1
2
答案
由题意得a2＝4，b2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，
所以△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝4＋2.
(2)设过定点M(0，2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围.
1
2
答案
1
2
答案
显然当直线l的斜率k不存在时，直线x＝0不满足题意，
设直线l的方程为y＝kx＋2(k≠0)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
由Δ＝(16k)2－4×12(1＋4k2)>0，得k2>，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
1
2
答案
y1y2＝＝k2x1x2＋2k＋4，
因为∠AOB为锐角，A，O，B不共线，
所以cos∠AOB>0，
所以·>0，所以x1x2＋y1y2>0，
所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋2k＋4
＝＋4＝>0，
解得0，
1
2
答案
解得－2所以实数k的取值范围为∪.
1
2
答案
2.双曲线C：＝1(a>0，b>0)的焦点为F1，F2(F1在F2下方)，虚轴的右端点为A，过点F2且垂直于y轴的直线l交双曲线于点P(P在第一象限)，与直线AF1交于点B，记△ABF2的周长为m，△BPF1的周长为n，|m－n|＝4.
(1)若C的一条渐近线方程为y＝x，求C的标准方程；
1
2
答案
如图1，依题意，|m－n|＝||AB|＋|BF2|＋|AF2|－(|BP|＋|PF1|＋|BF1|)|
＝||AB|＋(|BP|＋|PF2|)＋|AF1|－(|BP|＋|PF1|＋|AB|＋|AF1|)|
＝||PF2|－|PF1||＝2a＝4，
解得a＝2，又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
则，即b＝，
所以双曲线C的标准方程为＝1.
图1
1
2
答案
(2)已知动直线l'与C相切于点T，过点T且与l'垂直的直线分别交x轴、y轴于M，N两点，Q为线段MN上一点，＝λ，λ∈(0，1).若||QF2|－|QF1||为定值，求λb的最大值.
1
2
答案
由(1)知a＝2，则双曲线C的方程为＝1，如图2，
设T(x0，y0)，过T的直线l'的方程为y－y0＝k(x－x0)，
即y＝kx＋y0－kx0，令m＝y0－kx0，显然k≠0，
由
消去y得(b2k2－4)x2＋2b2mkx＋b2m2－4b2＝0，
由直线l'与双曲线只有一个公共点，
得Δ＝(2b2mk)2－4(b2k2－4)(b2m2－4b2)＝0，
图2
1
2
答案
化简得b2k2＋m2－4＝0，
代入m＝y0－kx0得(b2＋)k2－2x0y0k＋－4＝0，
由直线l'与双曲线相切，得k＝，
而＝1，于是k＝，
过点T且与l'垂直的直线的斜率为－，
方程为y－y0＝－(x－x0)，
令y＝0，得x＝，即M，
图2
1
2
答案
令x＝0，得y＝，即N，
设Q(x，y)，由＝λ，λ∈(0，1)，
得
即
代入＝1，
图2
1
2
答案
得＝1，
依题意，该双曲线与双曲线＝1共焦点，
则＝b2＋4，
化简得[(b2＋4)λ－4]2＝0，于是λ＝∈(0，1)，
λb＝≤＝1，
当且仅当b＝2，λ＝时取等号，所以λb的最大值为1.
图2(共49张PPT)
第八章
数学
大
一
轮
复
习
进阶篇 圆锥曲线中的综合问题
进阶4
解析几何中的定点问题
在解析几何中，有些含有参数的动直线或动曲线，不论参数如何变化总是经过某定点，探求这个定点的坐标，这类问题称为“定点问题”.定点问题是高考中考查解析几何的热点问题，此类问题往往定中有动，动中有定.
直线过定点问题的通法是设出直线方程，通过根与系数的关系和已知条件找出相应的关系式，代入直线方程，将问题转化为过定点的直线系、曲线系或恒成立问题来求解，即可得到定点.
定点问题常见类型：①由斜率关系求定点；②由倾斜角关系求定点；③切点弦过定点；④相交弦过定点；⑤圆过定点.
例1 已知点P(4，3)为双曲线E：＝1(a>0，b>0)上一点，E的左焦点F1到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线E的标准方程；
直线过定点
题型一
设F1(－c，0)(c>0)到渐近线y＝x，
即bx－ay＝0的距离为，
则，结合a2＋b2＝c2得b＝，
又P(4，3)在双曲线＝1上，
所以＝1，得a2＝4，
所以双曲线E的标准方程为＝1.
(2)不过点P的直线y＝kx＋t与双曲线E交于A，B两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线y＝kx＋t过定点，并求该定点的坐标.
联立
消去y并整理得(3－4k2)x2－8ktx－4t2－12＝0，
则3－4k2≠0，Δ＝64k2t2＋4(3－4k2)(4t2＋12)>0，即t2＋3>4k2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠4，x2≠4，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
则kPA＋kPB＝
＝
＝＝1，
所以2kx1x2＋(t－4k－3)(x1＋x2)－8t＋24＝x1x2－4(x1＋x2)＋16，
所以(2k－1)x1x2＋(t－4k＋1)(x1＋x2)－8t＋8＝0，
所以－－8t＋8＝0，
整理得t2－6k＋2kt－6t－8k2＋9＝0，
所以(t－3)2＋2k(t－3)－8k2＝0，
所以(t－3－2k)(t－3＋4k)＝0，
因为直线y＝kx＋t不过点P(4，3)，
即3≠4k＋t，t－3＋4k≠0，
所以t－3－2k＝0，即t＝2k＋3，
所以直线y＝kx＋t＝kx＋2k＋3，
即y－3＝k(x＋2)，
所以该直线过定点，且定点为(－2，3).
解析几何中定点问题的解题策略
(1)设线法：用两个参数表示直线方程.一般步骤为
①设直线方程为y＝kx＋m(或x＝ny＋t)，联立直线与圆锥曲线方程，得出根与系数的关系；
②结合根与系数的关系和已知条件，得到k，m或n，t的关系，或者解出m，t的值；
③将②的结果代入y＝kx＋m(或x＝ny＋t)，得到定点坐标.
思维升华
(2)解点法：用一个参数表示直线方程.一般步骤为
①引进参数，根据已知条件，求出直线上的两个点A，B的坐标(含参数)；
②特殊位置入手，找到定点P(有时可考虑对称性)；
③证明A，B，P三点共线，从而直线AB过定点P.(其中一个方法)
思维升华
跟踪训练1 已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，且C经
过点P.
(1)求椭圆C的标准方程；
由题意，设椭圆C的标准方程为＝1(a>b>0)，焦距为2c，
则c＝，椭圆的另一个焦点为F2(，0)，
由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝＝4，则a＝2，
所以b＝＝1，
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)设C与y轴正半轴交于点D，直线l：y＝kx＋m与C交于A，B两点(l不经过点D)，且AD⊥BD.证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标.
由已知得D(0，1)，
由
得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－4)>0，即4k2>m2－1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝，
由AD⊥BD得，·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝0，
即＝0，
所以5m2－2m－3＝0，解得m＝1或m＝－，
①当m＝1时，直线l经过点D，舍去；
②当m＝－时，显然有Δ>0，
直线l经过定点.
综上，直线l经过定点.
例2 已知椭圆C：＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为B2，B1，左、右焦点分别为F1，F2，四边形B1F1B2F2是面积为2的正方形.
(1)求椭圆C的标准方程；
圆过定点问题
题型二
由题意可得
解得
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)已知圆O：x2＋y2＝的切线l与椭圆C相交于D，E两点，判断以DE为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.
由题意可知，圆O：x2＋y2＝的圆心坐标为(0，0)，半径为，
∵<1，
可知圆O：x2＋y2＝在椭圆C内，切线l与椭圆C相交，
①当直线l的斜率不存在时，
∵直线l与圆相切，
故切线方程为x＝±，
将切线方程x＝代入椭圆方程，
解得y＝±，
设D，E，
则以DE为直径的圆的方程为＋y2＝；
同理，当切线方程为x＝－时，
求得以DE为直径的圆的方程为＋y2＝，
联立方程
解得即两圆只有一个交点(0，0)，
若存在定点，则定点应为(0，0).
②当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝kx＋m，
则圆心到直线的距离d＝，
整理得m2＝(1＋k2)，
联立方程
消去y得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，Δ>0，
设D(x1，y1)，E(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝，
∴·＝x1x2＋y1y2
＝＝0，
即·＝0，
∴以DE为直径的圆经过定点O(0，0)，
综上可知，以DE为直径的圆过定点(0，0).
圆过定点问题的解题策略
(1)利用特殊情况寻找特殊点.
(2)引入参变量建立关于曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.
思维升华
跟踪训练2 (2025·湖北新高考协作体联考)已知平面内一动圆过点P(2，0)，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
设动圆圆心为(x，y)，
依题意，，即y2＝4x，
所以曲线C的方程为y2＝4x.
(2)若过点Q(4，0)的直线l与曲线C交于点M，N，问：以线段MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.
依题意，直线l不垂直于y轴，
设直线l的方程为x＝my＋4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由
消去x并整理得y2－4my－16＝0，Δ>0恒成立，
则
设以线段MN为直径的圆的圆心为E(xE，yE)，
则yE＝2m，xE＝2m2＋4，即E(2m2＋4，2m)，
|MN|＝|y1－y2|
＝·
＝4，
则圆E的方程为[x－(2m2＋4)]2＋(y－2m)2
＝4(m2＋1)(m2＋4)，
化简得4xm2＋4ym－(x2－8x＋y2)＝0，
由得
因此对于 m∈R，圆E恒过原点，
所以以线段MN为直径的圆过定点(0，0).
课时精练
答案
1
2
(1)将点(2，－1)代入抛物线方程得22＝－2p×(－1)，可得p＝2，
故抛物线C的标准方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.
(2)由题意知直线l的斜率存在，焦点坐标为(0，－1)，
设直线l的方程为y＝kx－1，
与抛物线方程x2＝－4y联立可得x2＋4kx－4＝0，Δ＝16k2＋16>0，
故x1＋x2＝－4k，x1x2＝－4，
设M，N，
1.
答案
1
2
则kOM＝－，kON＝－，
直线OM的方程为y＝－x，与y＝－1联立可得A，
同理可得B，
易知以AB为直径的圆的圆心坐标为，
圆的半径为，
且＝2k，
1.
答案
1
2
＝2×＝2，
则圆的方程为(x－2k)2＋(y＋1)2＝4(k2＋1)，
令x＝0，整理可得y2＋2y－3＝0，解得y1＝－3，y2＝1，
即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0，－3)，(0，1).
1.
答案
1
2
(1)由已知得e＝，c2＝a2＋b2，所以b＝2a，
又点P(3，4)在C上，故＝1，
解得a2＝5，b2＝20，
所以双曲线C的方程为＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，可设A(m，n)，B(m，－n)，
则无解.
2.
答案
1
2
当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，与C联立，
消去y得(4－k2)x2－2kmx－m2－20＝0，
由已知得k2≠4，
且Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋20)＝16(m2－5k2＋20)>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
直线PA，PB的斜率分别为
2.
答案
1
2
k1＝，k2＝，
由k1k2＝1，
得(kx1＋m－4)(kx2＋m－4)＝(x1－3)(x2－3)，
即(k2－1)x1x2＋(km－4k＋3)(x1＋x2)＋m2－8m＋7＝0，
所以－(k2－1)(m2＋20)＋2km(km－4k＋3)＋(4－k2)(m2－8m＋7)＝0，
化简得(m＋3k－4)(5m－9k－12)＝0，
又已知l不过点P(3，4)，故m＋3k－4≠0，
2.
答案
1
2
所以5m－9k－12＝0，即m＝k＋，
故直线l的方程为y＝k，
所以直线l过定点.
2.
1.已知抛物线C：x2＝－2py(p>0)经过点(2，－1).
(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程；
1
2
答案
将点(2，－1)代入抛物线方程得22＝－2p×(－1)，可得p＝2，
故抛物线C的标准方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.
(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于M，N两点，直线y＝－1分别交直线OM，ON于A，B两点.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
1
2
答案
1
2
答案
由题意知直线l的斜率存在，焦点坐标为(0，－1)，
设直线l的方程为y＝kx－1，
与抛物线方程x2＝－4y联立可得x2＋4kx－4＝0，Δ＝16k2＋16>0，
故x1＋x2＝－4k，x1x2＝－4，
设M，N，
则kOM＝－，kON＝－，
直线OM的方程为y＝－x，与y＝－1联立可得A，
1
2
答案
同理可得B，
易知以AB为直径的圆的圆心坐标为，
圆的半径为，
且＝2k，
＝2×＝2，
1
2
答案
则圆的方程为(x－2k)2＋(y＋1)2＝4(k2＋1)，
令x＝0，整理可得y2＋2y－3＝0，解得y1＝－3，y2＝1，
即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0，－3)，(0，1).
1
2
答案
2.(2025·九江模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，点P(3，4)在C上.
(1)求双曲线C的方程；
由已知得e＝，c2＝a2＋b2，所以b＝2a，
又点P(3，4)在C上，故＝1，
解得a2＝5，b2＝20，
所以双曲线C的方程为＝1.
1
2
答案
(2)直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若直线PA，PB的斜率互为倒数，证明：直线l过定点.
1
2
答案
当直线l的斜率不存在时，可设A(m，n)，B(m，－n)，
则无解.
当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，与C联立，
消去y得(4－k2)x2－2kmx－m2－20＝0，
由已知得k2≠4，
且Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋20)＝16(m2－5k2＋20)>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
1
2
答案
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
直线PA，PB的斜率分别为
k1＝，k2＝，
由k1k2＝1，
得(kx1＋m－4)(kx2＋m－4)＝(x1－3)(x2－3)，
即(k2－1)x1x2＋(km－4k＋3)(x1＋x2)＋m2－8m＋7＝0，
所以－(k2－1)(m2＋20)＋2km(km－4k＋3)＋(4－k2)(m2－8m＋7)＝0，
化简得(m＋3k－4)(5m－9k－12)＝0，
1
2
答案
又已知l不过点P(3，4)，故m＋3k－4≠0，
所以5m－9k－12＝0，即m＝k＋，
故直线l的方程为y＝k，
所以直线l过定点.(共52张PPT)
第八章
数学
大
一
轮
复
习
进阶篇 圆锥曲线中的综合问题
进阶5
解析几何中的定值问题
解析几何中的定值问题是近几年高考和竞赛中的热点题型，是指某些几何量(如线段长度、图形面积、直线斜率、角的度数等)的大小或某些代数表达式的值与题目中的参数无关，不随参数的变化而变化，始终是一个确定的数值.
解决定值问题的基本方法是函数方法
(1)从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
常见的定值问题有：①斜率为定值；②斜率和(积、比)为定值；③角度为定值；④距离、面积为定值；⑤数量积为定值；⑥系数和为定值.
例1 已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，O为坐标原点.
(1)求抛物线E的标准方程；
与斜率、角度有关的定值问题
题型一
由题意可知，焦点F到准线的距离为p＝2，
所以抛物线E的标准方程为y2＝4x.
(2)已知点T(t，0)，若E上存在一点P，使得·＝－1，求t的取值范围；
设P(x，y)，可知y2＝4x，x≥0，
则＝(－x，－y)，＝(t－x，－y)，
可得·＝－x(t－x)＋y2＝x2－tx＋4x＝x2＋(4－t)x＝－1，
显然x＝0不满足上式，则x>0，可得t－4＝x＋，
又因为x＋≥2＝2，当且仅当x＝，
即x＝1时，等号成立，则t－4≥2，即t≥6，
所以t的取值范围为[6，＋∞).
(3)过M(－4，0)的直线交E于A，B两点，过N(－4，4)的直线交E于A，C两点，B，C位于x轴的同侧，证明：∠BOC为定值.
设A，B，C，
则直线AB的斜率kAB＝，
可得直线AB的方程为y－y1＝，
整理得4x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0，
同理可得，直线AC的方程为4x－(y1＋y3)y＋y1y3＝0，
由题意可得
整理得4(y3－y2)＝(y2y3＋16)，
又因为直线OB，OC的斜率分别为kOB＝，kOC＝，
显然∠BOC为锐角，则
tan∠BOC＝
＝，
所以∠BOC为定值.
解决定值问题的处理技巧
(1)思路：可从特殊情况入手(如直线的斜率不存在时)，求出定值，再证明这个值与变量无关.
(2)运算：在运算过程中，应尽量减少所求表达式中变量的个数，以利于向目标靠拢.
思维升华
跟踪训练1 (2025·邯郸模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，离心率为.过点(4，0)的直线l与C的
右支交于M，N两点，设直线AM，BM，BN的斜率分别为k1，k2，k3.
(1)若k1＝，求k3；
设双曲线C的焦距为2c，
由题意得，a＝2，，所以c＝.
因为c2＝a2＋b2，
所以b＝，所以双曲线C的标准方程为＝1.
直线AM的方程为y＝(x＋2)，
由
消去y化简并整理得x2－2x－8＝0，
解得x＝4或x＝－2，
又因为A点坐标为(－2，0)，所以M点的坐标为(4，3).
又直线MN过点(4，0)，所以直线MN的方程为x＝4，
所以N(4，－3)，k3＝＝－.
(2)证明：k2(k1＋k3)为定值.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则k1＝，k2＝，k3＝.
因为点M，N在双曲线C：＝1上，
所以k1k2＝·.
设直线MN的方程为x＝my＋4，由
消去x化简并整理得(3m2－4)y2＋24my＋36＝0.
则
故k2k3＝·
＝＝－.
所以k2(k1＋k3)＝k1k2＋k2k3＝＝－，为定值.
例2 已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，与a＝(3，－1)共线.
(1)求椭圆C的离心率；
与距离、面积、系数和有关的定值问题
题型二
设椭圆C的方程为＝1(a>b>0)，F(c，0)，
则直线AB的方程为y＝x－c，
联立
消去y并整理得(a2＋b2)x2－2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，Δ>0，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系可得x1＋x2＝，x1x2＝，
由＝(x1＋x2，y1＋y2)，a＝(3，－1)，
且与a共线，得3(y1＋y2)＋(x1＋x2)＝0，
又y1＝x1－c，y2＝x2－c，
则3(x1＋x2－2c)＋(x1＋x2)＝0，
∴x1＋x2＝，即，
可得a2＝3b2＝3(a2－c2)，∴，
∴椭圆C的离心率为e＝.
(2)设M为椭圆C上任意一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，证明：λ2＋μ2为定值.
由(1)知a2＝3b2，
所以椭圆C的方程＝1可化为x2＋3y2＝3b2，
设＝(x，y)，由＝λ＋μ得(x，y)＝λ(x1，y1)＋μ(x2，y2)，
∴
∵M(x，y)在椭圆上，
∴(λx1＋μx2)2＋3(λy1＋μy2)2＝3b2，
∴λ2(＋3)＋μ2(＋3)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2， ①
由(1)知，x1＋x2＝，a2＝c2，b2＝c2，
x1x2＝c2，
x1x2＋3y1y2＝x1x2＋3(x1－c)(x2－c)
＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2
＝c2－c2＋3c2＝0，
又＋3＝3b2，＋3＝3b2，
代入①得，λ2＋μ2＝1，
故λ2＋μ2为定值1.
解析几何中的定值，从代数角度看，定值与参数的取值无关，选择适当的变量以及消参方法，就可以得出定值.解答解析几何问题，方法的选择至关重要，如果方法选择不当，那么会导致计算量过大，就不易得到正确的运算结果，在分析清楚解题思路的基础上，树立优化意识，即算法的内在逻辑分析，优化解法.
思维升华
跟踪训练2 已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋3相切，点P在椭圆C上，|PF1|＝2，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆C的标准方程；
依题意有b＝，∴b2＝3，
由|PF1|＝2及椭圆的定义得|PF2|＝2a－2，
由余弦定理得－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝，
即a2－3a＋3＝c2，
又a2－c2＝b2＝3，∴a＝2，
故椭圆C的标准方程为＝1.
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点，且kOA·kOB＝－，试判断△AOB的面积是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.
易知m≠0，联立
可得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
则Δ＝48(3＋4k2－m2)>0， ①
又x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝，
由kOA·kOB＝－，
可得＝－，∴y1y2＝－x1x2，
即＝－·，
解得2m2－4k2＝3，满足①，
∵|AB|＝
＝＝，
设原点到直线l的距离为d，d＝，
∴S△AOB＝·d·|AB|＝××，
故S△AOB为定值，定值为.
课时精练
答案
1
2
(1)由题意，设点P(x0，y0)，A(－2，0)，B(2，0)，
则直线PA的斜率为kPA＝，
直线PB的斜率为kPB＝，
所以kPA·kPB＝·，
又由点P(x0，y0)在椭圆上，可得＝1，
即＝1－，
1.
答案
1
2
所以kPA·kPB＝＝－，
即直线PA与直线PB的斜率之积为定值.
(2)由直线l过点D(1，0)，且斜率不为0，
可设直线l的方程为x＝ky＋1，
联立
整理得(k2＋4)y2＋2ky－3＝0，Δ>0，
1.
答案
1
2
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
则，
即3y1＋3y2＝2ky1y2，
又由直线AM：y＝(x＋2)，
直线BN：y＝(x－2)，
联立方程组，可得(x＋2)＝(x－2)，
1.
答案
1
2
整理得··
＝＝3，
解得x＝4，即点Q(4，yQ)，
又由向量＝(－2，0)，＝(4，yQ)，
所以·＝－2×4＋0×yQ＝－8，
即·为定值.
1.
答案
1
2
(1)双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
即bx±ay＝0，
因为顶点到渐近线的距离为，
所以，
设P(x0，y0)(x0>a)，A1(－a，0)，A2(a，0)，
则··＝4，
所以＝4(－a2)，
2.
答案
1
2
因为点P(x0，y0)在双曲线上，
所以＝1，
所以－a2)，所以＝4，
又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝4，c2＝5，
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2)设直线MN的方程为x＝my－2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
2.
答案
1
2
联立
得(4m2－1)y2－16my＋12＝0，
则Δ＝(－16m)2－4(4m2－1)×12＝64m2＋48>0，
且4m2－1≠0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
因为直线l与双曲线C交于x轴上方的M，N两点，
2.
答案
1
2
所以
即解得m>，
所以yE＝，
xE＝myE－2＝，
即E，所以kOE＝＝4m，
2.
答案
1
2
又，所以，
所以yF＝，
所以xF＝myF－2＝－，所以F，
所以kOF＝＝－，
所以kOE·kOF＝4m·＝－12，
即直线OE，OF的斜率之积为定值－12.
2.
1.已知椭圆C：＋y2＝1，A，B是椭圆C的左、右顶点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点.
(1)证明：直线PA与直线PB的斜率之积为定值；
1
2
答案
1
2
答案
由题意，设点P(x0，y0)，A(－2，0)，B(2，0)，
则直线PA的斜率为kPA＝，
直线PB的斜率为kPB＝，
所以kPA·kPB＝·，
又由点P(x0，y0)在椭圆上，可得＝1，
即＝1－，
1
2
答案
所以kPA·kPB＝＝－，
即直线PA与直线PB的斜率之积为定值.
(2)设经过D(1，0)且斜率不为0的直线l交椭圆于M，N两点，直线AM与直线BN交于点Q，求证：·为定值.
1
2
答案
1
2
答案
由直线l过点D(1，0)，且斜率不为0，
可设直线l的方程为x＝ky＋1，
联立
整理得(k2＋4)y2＋2ky－3＝0，Δ>0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
1
2
答案
则，即3y1＋3y2＝2ky1y2，
又由直线AM：y＝(x＋2)，
直线BN：y＝(x－2)，
联立方程组，可得(x＋2)＝(x－2)，
整理得··
＝＝3，
1
2
答案
解得x＝4，即点Q(4，yQ)，
又由向量＝(－2，0)，＝(4，yQ)，
所以·＝－2×4＋0×yQ＝－8，
即·为定值.
1
2
答案
2.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且顶点到渐近线的距离为，点P是双曲线C右支上一动点(不与A2重合)，且
满足PA1，PA2的斜率之积为4.
(1)求双曲线C的标准方程；
1
2
答案
双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
即bx±ay＝0，
因为顶点到渐近线的距离为，
所以，
设P(x0，y0)(x0>a)，A1(－a，0)，A2(a，0)，
则··＝4，
所以＝4(－a2)，
1
2
答案
因为点P(x0，y0)在双曲线上，
所以＝1，
所以－a2)，所以＝4，
又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝4，c2＝5，
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
1
2
答案
(2)过点Q(－2，0)的直线l与双曲线C交于x轴上方的M，N两点，若E是线段MN的中点，F是线段MN上一点，且，O为坐标原点，试判断直线OE，OF的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，请说明理由.
1
2
答案
设直线MN的方程为x＝my－2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立
得(4m2－1)y2－16my＋12＝0，
则Δ＝(－16m)2－4(4m2－1)×12＝64m2＋48>0，且4m2－1≠0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
因为直线l与双曲线C交于x轴上方的M，N两点，
1
2
答案
所以
即解得m>，
所以yE＝，
xE＝myE－2＝，
即E，所以kOE＝＝4m，
1
2
答案
又，所以，
所以yF＝，
所以xF＝myF－2＝－，所以F，
所以kOF＝＝－，
所以kOE·kOF＝4m·＝－12，
即直线OE，OF的斜率之积为定值－12.(共48张PPT)
第八章
数学
大
一
轮
复
习
进阶篇 圆锥曲线中的综合问题
进阶6
解析几何中的定直线问题
定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法.
解决定直线问题的核心在于确定定点的轨迹.主要方法有：
(1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程.
(2)待定系数法：设出含参数的直线方程，待定系数法求解出系数.
(3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证.
例1 在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点坐标为(1，0)，其中一条渐近线的倾斜角为.
(1)求双曲线C的标准方程；
点在定直线上
题型一
根据题意，设双曲线C的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
由题知a＝1，＝tan ，可得b＝，
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2)过点T(2，0)作直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，在线段AB上取一点E满足|AE|·|TB|＝|EB|·|AT|，证明：点E在一条定直线上.
易知T(2，0)为双曲线的右焦点，如图所示，
由题知直线l的斜率存在，
设斜率为k，则－故直线l的方程为y＝k(x－2)，
代入双曲线方程得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝－，
且x1≤－1，1≤x2<2，
设E(x0，y0)，点E在线段AB上，
所以x1由|AE|·|TB|＝|EB|·|AT|可得
(x0－x1)·(2－x2)
＝(x2－x0)·(2－x1)，
化简得4x0－(2＋x0)(x1＋x2)＋2x1x2＝0，
代入x1＋x2和x1x2并化简可得x0＝，
即存在点E满足条件，并且点E在定直线x＝上.
证明点在定直线上的一般方法
(1)联立方程消去参数.
(2)挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标.
(3)将横、纵坐标分别用参数表示，再消去参数.
(4)设点，对方程变形解得定直线.
思维升华
跟踪训练1 如图，在△ABC中，|BC|＝2，|AB|＋|AC|＝4，若以BC所在直线为x轴，以线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.设动顶点A(x，y).
(1)求顶点A的轨迹方程；
由|AB|＋|AC|＝4>|BC|＝2，
可知点A的轨迹为以B，C为焦点的椭圆(去掉(－2，0)，(2，0)两点)，且该椭圆的长轴长为2a＝4，a＝2，
该椭圆的焦距为2c＝2，c＝，
即b＝＝1，
故顶点A的轨迹方程为＋y2＝1(y≠0).
(2)记第(1)问中所求轨迹为M，设D1(－2，0)，D2(2，0)，过点(1，0)作动直线l与曲线M交于P，Q两点(点P在x轴下方).求证：直线D1P与直线D2Q的交点E在一条定直线上.
直线l的方程可设为x＝my＋1，
联立
消去x可得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，
Δ＝4m2＋12(m2＋4)>0显然成立，
设Q(x1，y1)，P(x2，y2)，y1>0，y2<0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
即2my1y2＝3(y1＋y2)，
设直线D2Q：y＝(x－2)，
直线D1P：y＝(x＋2)，
联立上述两方程，
消去y可得(x－2)＝(x＋2)，
x－x＝，
x＝2y1(x2＋2)＋2y2(x1－2)，
又x2＝my2＋1，x1＝my1＋1，
则x＝2y1(my2＋3)＋2y2(my1－1)，(3y1＋y2)x＝4my1y2＋6y1－2y2，
由4my1y2＝6(y1＋y2)，
则(3y1＋y2)x＝6(y1＋y2)＋6y1－2y2
＝12y1＋4y2，3y1＋y2不恒为0，解得x＝4，
综上所述，交点E在定直线x＝4上.
例2 已知R是圆M：(x＋)2＋y2＝8上的动点，点N(，0)，直线NR与圆M的另一个交点为S，点L在直线MR上，MS∥NL，动点L的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
三角形内心(外心、重心、垂心)在定直线上
题型二
圆M的圆心坐标为M(－，0)，半径r＝2，
因为MS∥NL，
所以△MSR∽△LNR，
又因为|MR|＝|MS|，
所以|LR|＝|LN|，
所以||LM|－|LN||＝||LM|－|LR||＝|MR|＝r＝2<2＝|MN|，
所以点L在以M，N为焦点，2为实轴长的双曲线上，
设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，
则2a＝2，2c＝2.
所以a＝，c＝，b＝1，
又L不可能在x轴上，所以曲线C的方程为－y2＝1(y≠0).
(2)若过点P(－2，0)的直线l与曲线C相交于A，B两点，且A，B都在x轴上方，问：在x轴上是否存在定点Q，使得△QAB的内心在一条定直线上？请你给出结论并证明.
在x轴上存在定点Q(－1，0)，使得△QAB的内心在一条定直线上.
证明如下：
由条件可设l：x＝my－2.代入－y2＝1，
得(m2－2)y2－4my＋2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|x1|>，|x2|>，
则得m2≠2，
所以y1＋y2＝>0，y1y2＝>0，
所以y1＋y2＝2my1y2，
取Q(－1，0)，
则kAQ＋kBQ＝
＝0，
又A，B都在x轴上方，所以∠AQB的平分线为定直线x＝－1，
所以在x轴上存在定点Q(－1，0)，使得△QAB的内心在定直线x＝－1上.
三角形内切圆的圆心在三角形的角平分线上，角平分线是角的关系，因此找角与斜率的关系即可.
思维升华
跟踪训练2 (2025·衡水模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M(1，1)是椭圆C上一点，且点M到点F1，F2的距离之和为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
由题意，得解得
故椭圆C的标准方程为＝1.
(2)斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，则△MAB的外心是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由.
△MAB的外心在定直线2x－y－1＝0上.理由如下：
由题意设直线l的方程为y＝x＋t，
因为直线l不能过点M(1，1)，所以t≠，
联立
得3x2＋4tx＋4t2－6＝0，
所以Δ＝16t2－12(4t2－6)>0，
即－设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
若直线MA⊥x轴，则A(1，－1)，
代入直线l：y＝x＋t，
得t＝－，不符合题意，故x1≠1；
同理可得x2≠1，
所以直线MA，MB的斜率一定存在，
则kMA＋kMB＝
＝
＝
＝＝0，
即直线MA与MB的斜率互为相反数.
设直线MA的方程为y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋1－k.
若k＝0，则直线MA：y＝1，
此时A(－1，1)，代入直线l：y＝x＋t，
则t＝，不符合题意，故k≠0，
联立
得(2k2＋1)x2＋4k(1－k)x＋2(1－k)2－3＝0，
由Δ＝4(2k＋1)2>0得k≠－，
则k≠－且k≠0，
则x1＋1＝－，
设线段MA的中点为N(x0，y0)，
所以x0＝＝－，
所以y0＝kx0＋1－k
＝k·＋1－k＝，
即N，
所以线段MA的垂直平分线的方程为
y－＝－，
即y＝－x＋， ①
直线MB的方程为y－1＝－k(x－1)，k≠0，且k≠，
同理可得线段MB的垂直平分线的方程为
y＝x－， ②
联立①②，得
即2x－y－1＝0，
故△MAB的外心在定直线2x－y－1＝0上.
课时精练
答案
1
2
(1)当经过点P(2，1)的直线斜率不存在时，直线方程为x＝2，
与抛物线C：x2＝4y有且只有一个公共点P(2，1)，符合题意；
当经过点P(2，1)的直线斜率存在时，
不妨设直线方程为y－1＝k(x－2)，
代入抛物线方程化简得x2－4kx＋8k－4＝0，
令Δ＝(－4k)2－4(8k－4)＝0，得k＝1，
直线方程为x－y－1＝0，
因此所求直线方程为x＝2或x－y－1＝0.
1.
答案
1
2
(2)设过点P与抛物线C相切的切线方程为l：y－n＝k(x－m)，
由
消去y整理得x2－4kx＋4(km－n)＝0，
因为l与抛物线C相切，
所以Δ＝(－4k)2－4×1×4(km－n)＝0，
即k2－mk＋n＝0.
又因为k1，k2是方程k2－mk＋n＝0的两根，
1.
答案
1
2
则k1＋k2＝m，k1k2＝n，
由(k1－1)(k2－1)＝4，
可得k1k2－(k1＋k2)－3＝0，即n－m－3＝0，
从而动点P(m，n)在直线x－y＋3＝0上.
1.
答案
1
2
(1)因为椭圆G的焦点在x轴上，且过点E(2，0)，
所以a＝2，又椭圆G过点D，
所以＝1，解得b2＝3，
故椭圆G的标准方程为＝1.
(2)如图，设直线l的方程为y＝x＋t，
因为点D在直线l上方，
所以t<1，
2.
答案
1
2
联立
消去y得3x2＋4＝12，
整理得x2＋tx＋t2－3＝0.
由Δ>0得t2－4(t2－3)>0 t2<4，
则－2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2.
答案
1
2
则x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－3.
若AD⊥x轴，则A，
代入直线l：y＝x＋t，得t＝－2，不符合题意，
故x1≠1；
同理可得x2≠1.
所以直线AD，BD的斜率一定存在，
故kAD＝·，kBD＝·，
2.
答案
1
2
因为kAD＋kBD＝··
＝·
＝·
＝＝0，
所以∠ADB的平分线为直线x＝1，
故△DAB的内切圆圆心一定在直线x＝1上.
2.
1.已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，设动点P的坐标为(m，n).
(1)若m＝2，n＝1，求过点P与抛物线C有且只有一个公共点的直线方程；
1
2
答案
1
2
答案
当经过点P(2，1)的直线斜率不存在时，直线方程为x＝2，
与抛物线C：x2＝4y有且只有一个公共点P(2，1)，符合题意；
当经过点P(2，1)的直线斜率存在时，不妨设直线方程为y－1＝k(x－2)，
代入抛物线方程化简得x2－4kx＋8k－4＝0，
令Δ＝(－4k)2－4(8k－4)＝0，得k＝1，
直线方程为x－y－1＝0，
因此所求直线方程为x＝2或x－y－1＝0.
(2)设过动点P的两条直线l1，l2均与C相切，且l1，l2的斜率分别为k1，k2，满足(k1－1)(k2－1)＝4.证明：动点P在一条定直线上.
1
2
答案
1
2
答案
设过点P与抛物线C相切的切线方程为l：y－n＝k(x－m)，
由
消去y整理得x2－4kx＋4(km－n)＝0，
因为l与抛物线C相切，
所以Δ＝(－4k)2－4×1×4(km－n)＝0，
即k2－mk＋n＝0.
又因为k1，k2是方程k2－mk＋n＝0的两根，
1
2
答案
则k1＋k2＝m，k1k2＝n，
由(k1－1)(k2－1)＝4，
可得k1k2－(k1＋k2)－3＝0，即n－m－3＝0，
从而动点P(m，n)在直线x－y＋3＝0上.
1
2
答案
2.(2024·葫芦岛模拟)已知椭圆G：＝1(a>b>0)经过D，E(2，0)
两点.作斜率为的直线l与椭圆G交于A，B两点(点A在点B的左侧)，且点D
在直线l上方.
(1)求椭圆G的标准方程；
因为椭圆G的焦点在x轴上，且过点E(2，0)，
所以a＝2，又椭圆G过点D，
所以＝1，解得b2＝3，
故椭圆G的标准方程为＝1.
1
2
答案
(2)证明：△DAB的内切圆的圆心在一条定直线上.
1
2
答案
如图，设直线l的方程为y＝x＋t，
因为点D在直线l上方，
所以t<1，
联立
消去y得3x2＋4＝12，
整理得x2＋tx＋t2－3＝0.
1
2
答案
由Δ>0得t2－4(t2－3)>0 t2<4，
则－2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－3.
若AD⊥x轴，则A，
代入直线l：y＝x＋t，得t＝－2，不符合题意，故x1≠1；
同理可得x2≠1.
1
2
答案
所以直线AD，BD的斜率一定存在，
故kAD＝·，kBD＝·，
因为kAD＋kBD＝··
＝·
＝·
＝＝0，
1
2
答案
所以∠ADB的平分线为直线x＝1，
故△DAB的内切圆圆心一定在直线x＝1上.