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一轮复习模拟卷（培优卷）
一、选择题(共8题；共40分)
1．若复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知某样本的容量为50，平均数为36，方差为48，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将24记录为34，另一个错将48记录为38.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数的部分图象如图所示，其中B，C两点的纵坐标相等，若函数在上恰有3个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．已知a，b，c，且，．则下列关系一定成立的有（ ）
A． B． C． D．
10．在中，D是边BC中点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则是在上的投影向量
C．若点P是的外心，，且，则
D．若点Q是线段AD上的动点，且满足，则的最大值为
11．下列说法正确的有（ ）
A．函数关于点对称
B．函数的图象过定点
C．方程在区间上有且只有1个实数解
D．若，则在时取到最小值
三、填空题(共3题；共15分)
12．某个制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有500名志愿者服用此药，结果如下
体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加
人数 276 144 80
如果另有一人服用此药，估计其体重减轻的概率为 ；
13．用表示不超过x的最大整数，例如，，．已知数列满足，，则 .
14．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中给出了高次代数方程的一种数值求法——牛顿法，用“作切线”的方法求方程的近似解.如图，方程的根就是函数的零点，取初始值，在处的切线与轴的交点横坐标为，在处的切线与轴的交点横坐标为，一直继续下去，得到、、、、，它们越来越接近.若，取，则用牛顿法得到的的近似值 ， .
四、解答题(共5题；共77分)
15． 某校为了提高学生安全意识，利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛（满分150分），加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五组，并画出了其频率分布直方图．
（1）根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的中位数和第80百分位数；
（2）估计乙组20名同学成绩的平均分（同组中的每个数据用该组区间的中点值代表替）；
（3）现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率．
16．已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断并证明在上的单调性；
（3）解不等式.
17．已知数列的首项，的前项和为且满足.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若，求数列的前项和.
18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，
①的角平分线交于M，求线段的长；
②若D是线段上的点，E是线段上的点，满足，求的取值范围．
19．设函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）设函数，求的单调区间；
（3）求的极值点个数．
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一轮复习模拟卷（培优卷）
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】由题可得，
则.
故选：C.
【分析】先对复数进行化简，成a+bi的形式，再由模的计算公式可得结果.
2．【答案】A
【解析】【解答】，则；，则，若可推出，充分性成立；反之不成立，必要性不成立，故充分部必要条件.
故答案为：A
【分析】利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．
3．【答案】A
【解析】【解答】，，
故.
故选：A
【分析】两边平方求出集合A的范围，利用对数不等式的运算求出B的范围，根据集合的运算即可求出结果。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：易知， ，
A、，则与不共线，故A错误；
B、，则与不共线，故B错误；
C、，则与不垂直，故C错误；
D、，则，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据向量的坐标运算结合向量垂直、平行的坐标表示逐项判断即可.
5．【答案】A
【解析】【解答】因为，，，，
所以，
则.
故答案为：A.
【分析】先利用三角函数的平方关系求得，再利用余弦定理的和差公式即可得解.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：因为数列和为等差数列，且前项和分别为、，满足，
所以，又因为，所以，
故答案为：B.
【分析】先求的值，再根据等差数列的性质得，求值即可.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：设收集的48个准确数据为，
所以，
所以，
所以，
又因为
，
则
.
故答案为：B.
【分析】根据数据总和不变，则平均数不变，从而得出的值，再根据方差的定义得出，从而得出，进而找出正确的选项.
8．【答案】D
【解析】【解答】由题意知，轴，所以的图象的一条对称轴方程为，所以，
由于的图象过由，且，得，
所以．
故，因为，
所以，其中，解得，
则，
因为在上的零点为，
且在内恰有3个零点，所以或，
解得。
故答案为：D.
【分析】由题意知，轴，进而得出函数的图象的一条对称轴方程，从而得出实数的值，由于的图象过结合代入法和，进而得出的值，从而求出函数的解析式，再结合代入法得出函数g(x)的解析式，再结合x的取值范围结合构造法和已知条件，进而得出实数a的取值范围，进而结合构造法得出的取值范围，再利用函数在上的零点为且函数在内恰有3个零点，再结合零点存在性定理，进而得出实数a的取值范围。
9．【答案】A,D
【解析】【解答】解：A、因为，，所以，根据同向可加性得，故A正确；
B、取，满足，，但，故B错误；
C、若，等式不成立，故C错误；
D、两式做差得，
因为，所以，所以，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据不等式的性质即可判断A；利用特殊值法即可排除BC；利用作差比较法即可判断D；.
10．【答案】A,B,C
【解析】【解答】A：因为D是边BC中点，所以，即，因此本选项说法正确；
B：因为分别表示方向上的单位向量，
由平面向量加法的几何意义可知：表示的平分线表示的向量，
所以由可得：是的平分线，而D是边中点，
所以有，在上的投影为：，所以是在上的投影向量，因此本选项说法正确；
C：因为点P是的外心，D是边BC中点，所以，即，
，
，因为，所以
，因此本选项的说法正确；
D：因为D是边BC中点，所以由，可得：
，因为点Q是线段上的动点，所以三点共线，因此可得：，要想有最大值，则一定有，
，当且仅当时取等号，即时取等号，因此本选项说法不正确，
故答案为：ABC
【分析】对于A，由，即可判断；
对于B，由都是单位向量可知，是的平分线，而D是边中点，进而得到，即可判断；
对于C，由外心的性质可得，由，代入，化简可得，结合AC=5，即可判断；
对于D，由D为BC中点，可得，由三点共线可得，结合基本不等式即可判断。
11．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：对于A：因为，
该函数可由反比例函数先向左平移1个单位，再向上平移1个单位，
所以的图象关于对称，故A正确；
对于B：由，
令，则，
所以函数的图象过定点，故B错误；
对于C：由，得，
令，
易知在上单调递增且图象连续不断，
因为，，
所以，
所以方程在区间上有且只有1个实数解，故C正确；
对于D：因为，所以，
所以，
当且仅当时，即当时，
有最小值为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先分离常数结合反比例函数，则判断出选项A；由对数型函数的定点判断出选项B；结合零点存在定理判断出选项C；利用基本不等式求最值的方法判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【解析】【解答】解：由表中数据得：估计这个人体重减轻的概率约为
故答案为：.
【分析】根据表中数据，用频率估计概率求解即可.
13．【答案】2022
【解析】【解答】解：由题意，所以数列为递增数列.
由，
两边取倒数可得：.
所以，
所以.
因为，，所以.
所以，
即.
故答案为：2022.
【分析】先利用定义法判断数列为递增数列，再对递推公式取倒数变形可得，再利用题中定义，结合数列的单调性进行和裂项求和求解即可.
14．【答案】；
【解析】【解答】解：因为，，
则，且，
则，
所以，曲线在处的切线方程为，
则，
由题意可得，解得，
则，
所以，
所以，曲线在处的切线方程为，
则，
由题意可得，解得.
故答案为：；.
【分析】利用导数求出曲线在处的切线方程，从而求出的值，再利用导数求出曲线在处的切线方程，从而求出的值.
15．【答案】（1）解：由题意可知，甲组20名同学成绩的中位数是，
因为，所以甲组20名同学成绩的第80百分位数为．
所以甲组20名同学成绩的中位数为119， 甲组20名同学成绩的第80百分位数为133.
（2）解：由频率分布直方图可知：乙组20名同学成绩的平均数分为：
．
（3）解：甲组20名同学的成绩不低于140（分）的有2个，记作、；
乙组20名同学的成绩不低于140（分）的有个，记作、、．
记事件为“取出的2个成绩不是同一组”，任意选出2个成绩的所有样本点为：，，，，，，，，，，共10个，其中两个成绩不是同一组的样本点是：，，，，，，共6个，
故．
所以取出的2个人的成绩不在同一组的概率为.
【解析】【分析】（1）利用中位数与第百分位数的定义求解即可；
（2）利用在频率分布直方图中，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和求解即可；
（3）利用列举法写出基本事件的个数，结合古典概型的计算公式求解即可.
16．【答案】（1）解：由题意可知，，解得：，
所以，
因为，即，解得，
所以，．
（2）解：函数在上为减函数；
证明如下：任意，且，
所以，
因为，所以，，
所以，即，所以函数在上为减函数．
（3）解：不等式，即，即，
所以，解得，
所以该不等式的解集为．
【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义列式可得，结合可得，即可求得函数 的解析式；
（2）根据单调性的定义证明在上为减函数即可；
（3）利用奇函数的定义将不等式转化为，进而根据函数的单调性列不等式组，进而求解即可求得不等式的解集
（1）函数是定义在上的奇函数，，解得：，
∴，而，解得，
∴，．
（2）函数在上为减函数；证明如下：
任意，且，
则，
因为，所以，，
所以，即，所以函数在上为减函数．
（3）由题意，不等式可化为，
所以，解得，所以该不等式的解集为．
17．【答案】（1）证明：因为，所以，
又，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列.
（2）解：由（1）可得，所以，
当时，
所以，
当时也成立，所以，所以，
因，①
，②
②-①得，③
则，④
③-④得
所以.
【解析】【分析】（1）要证明是等差数列，需将已知等式变形为相邻两项的差为常数，结合首项，依据等差数列定义证明.
（2）先由（1）得出的通项，进而得到，再求出、，最后用错位相减法求的前项和 .
（1）证明：因为，所以，
又，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列.
（2）由（1）可得，所以，
当时，
所以，
当时也成立，所以，所以，
因，①
，②
②-①得，③
则，④
③-④得
所以.
18．【答案】（1）解：，则，故，所以，因为，
可得，由，所以．
（2）解：①法一：在与中，
由正弦定理得，
即，故，
所以，
所以
法二：在中，由是的角平分线
所以
由知：
即，解得
②法一：由，得
又
所以．
的取值范围为；
法二：以所在直线为x轴，过点A垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
由．则
因为，
所以．
所以
由，得的取值范围为
【解析】【分析】(1)由三角形内角的性质整理化简即可得出关于cosA的方程，由角的取值范围即可求出角的大小。
(2) ① 法一 ：由已知条件姐正弦定理以及数乘向量的运算公式，代入数值计算出结果即可。 法二： 由角平分线的几何性质结合三角形面积公式，代入数值计算出边的大小。
②法一： 由数乘向量的运算性质以及数量积的运算性质，由此即可求出数量积的取值范围。
法二： 根据题意建立直角坐标系由此求出点以及向量的坐标，然后由向量以及数量积的坐标公式，代入数值结合一次函数的性质即可得出数量积的取值范围。
19．【答案】（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，
所以，，
则，解得，
所以.
（2）由（1）得，
则，
令，解得，不妨设，，则，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，，即
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，在上单调递减，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
所以在上有一个极大值点；
当时，在上单调递增，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，，
所以，则单调递增，
所以在上无极值点；
综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.
【解析】【分析】（1）对求导，利用，，求解 的值；
（2）对 求导，求出和区间得到 的单调区间；
（3）通过求解 的变号零点个数来求的极值点个数．
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试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布 客观题（占比） 63.0(42.0%)
主观题（占比） 87.0(58.0%)
题量分布 客观题（占比） 12(63.2%)
主观题（占比） 7(36.8%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 8(42.1%) 40.0(26.7%)
填空题 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答题 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多项选择题 3(15.8%) 18.0(12.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (26.3%)
2 容易 (47.4%)
3 困难 (26.3%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 频率分布直方图 13.0(8.7%) 15
2 复数代数形式的混合运算 5.0(3.3%) 1
3 平面向量的坐标运算 5.0(3.3%) 4
4 用频率估计概率 5.0(3.3%) 12
5 与二面角有关的立体几何综合题 17.0(11.3%) 18
6 等差数列的性质 5.0(3.3%) 6
7 等差数列与等比数列的综合 5.0(3.3%) 13
8 古典概型及其概率计算公式 13.0(8.7%) 15
9 函数零点存在定理 5.0(3.3%) 8
10 图形的对称性 6.0(4.0%) 11
11 同角三角函数间的基本关系 5.0(3.3%) 2
12 不等关系与不等式 6.0(4.0%) 9
13 利用导数研究曲线上某点切线方程 22.0(14.7%) 14,19
14 两角和与差的余弦公式 5.0(3.3%) 5
15 平面向量加法运算 6.0(4.0%) 10
16 函数的零点与方程根的关系 11.0(7.3%) 8,11
17 同角三角函数基本关系的运用 5.0(3.3%) 5
18 平面向量共线（平行）的坐标表示 5.0(3.3%) 4
19 等差数列的前n项和 5.0(3.3%) 6
20 众数、中位数、平均数 18.0(12.0%) 7,15
21 平面向量垂直的坐标表示 5.0(3.3%) 4
22 对数函数的图象与性质 11.0(7.3%) 3,11
23 数列的通项公式 15.0(10.0%) 17
24 单位向量 6.0(4.0%) 10
25 数列的前n项和 15.0(10.0%) 17
26 复数的模 5.0(3.3%) 1
27 利用不等式的性质比较数（式）的大小 6.0(4.0%) 9
28 平面向量的数量积运算 17.0(11.3%) 18
29 必要条件、充分条件与充要条件的判断 5.0(3.3%) 2
30 极差、方差与标准差 5.0(3.3%) 7
31 函数的奇偶性 15.0(10.0%) 16
32 用样本估计总体的百分位数 13.0(8.7%) 15
33 基本不等式在最值问题中的应用 6.0(4.0%) 11
34 奇偶性与单调性的综合 15.0(10.0%) 16
35 利用导数研究函数的单调性 17.0(11.3%) 19
36 解三角形 17.0(11.3%) 18
37 函数在某点取得极值的条件 17.0(11.3%) 19
38 交集及其运算 5.0(3.3%) 3
39 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 5.0(3.3%) 8
40 等差数列概念与表示 15.0(10.0%) 17
41 函数单调性的判断与证明 15.0(10.0%) 16
42 平面向量的综合题 6.0(4.0%) 10
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