20026届高考数学【提高版】第七章　立体几何与空间向量 课件（19份打包）

(共48张PPT)
第七章
§7.10　立体几何中的动态、轨迹问题
数学
大
一
轮
复
习
“动态”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖.同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化.
重点解读
例1　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是正方体表面上一个动点，满足BP⊥A1C，则点P的轨迹长度为
A.2 B.2
C.4 D.3
平行、垂直中的动态轨迹问题
题型一
√
由题意可知，动点P的轨迹为过点B与直线A1C垂直的截面与正方体的表面的交线，如图所示.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD⊥AC，BD⊥AA1，
又AC，AA1 平面AA1C且AC∩AA1=A，
所以BD⊥平面AA1C，
因为A1C 平面AA1C，所以BD⊥A1C.
又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC1⊥B1C，BC1⊥B1A1，
又B1C，B1A1 平面B1CA1且B1C∩B1A1=B1，所以BC1⊥平面B1CA1，
因为A1C 平面B1CA1，所以BC1⊥A1C.
由BD，BC1 平面BDC1且BD∩BC1=B，
所以A1C⊥平面BDC1.
于是点P的轨迹长度为不包含点B的△BDC1的周长，
即△BDC1的周长等于3=3.
动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程.
思维升华
跟踪训练1　在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱DD1上的点E满足=，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则点F在侧面CDD1C1上的轨迹长度为
A.2 B.3
C.2 D.4
√
取CC1的中点H，C1D1的中点M，连接B1H，HM，MB1，
在正方体中，明显有HM∥BA1，B1H∥A1E，
又HM 平面A1BE，BA1 平面A1BE，B1H 平面A1BE，A1E 平面A1BE，
所以HM∥平面A1BE，B1H∥平面A1BE，
又HM，B1H 平面B1HM，HM∩B1H=H，
所以平面B1HM∥平面A1BE，
当F在线段MH上运动时，有B1F∥平面A1BE，
即点F在侧面CDD1C1上的轨迹为线段MH，
又MH=C1M=2，
故点F在侧面CDD1C1上的轨迹长度为2.
例2　(多选)(2024·朔州模拟)在三棱锥A1-ABC中，A1A⊥平面ABC，AB⊥
AC，AA1=AB=AC=3，P为△A1BC内的一个动点(包括边界)，AP与平面A1BC所成的角为45°，则
A.A1P的最小值为-
B.A1P的最大值为
C.有且仅有一个点P，使得A1P⊥BC
D.所有满足条件的线段AP形成的曲面面积为
距离、角度有关的动态轨迹问题
题型二
√
√
√
依题意，A1B=A1C=BC=3，
取BC的中点M，连接AM，A1M，
则AM⊥BC，A1M⊥BC，
AM，A1M 平面A1AM，AM∩A1M=M，
所以BC⊥平面A1AM，
过A作AH⊥A1M于H，因为AH 平面A1AM，所以AH⊥BC，
又A1M∩BC=M，A1M，BC 平面A1BC，所以AH⊥平面A1BC，
易得AH=，且H为等边△A1BC的外心，
由AP与平面A1BC所成的角为45°，可知AH=HP，
所以点P的轨迹是以H为圆心，为半径的圆在△A1BC内部及边界上的一部分，如图所示，
所以A1P的最小值为A1H-HP=-，A选项正确；
由于轨迹圆部分在△A1BC外部，所以A1P的
最大值不等于A1H+HP=，B选项错误；
因为BC⊥平面A1AM，若A1P⊥BC，则点P在线段A1H上，
有且仅有一个点P满足题意，C选项正确；
动线段AP形成的曲面为圆锥AH侧面的一部分，
因为cos∠B1HM==，
所以∠B1HM=，因为=，
所以曲面面积为圆锥侧面积的，
圆锥AH的侧面积为××2π×=3π，
所以所有满足条件的线段AP形成的曲面面积为，D选项正确.
距离、角度有关的轨迹问题
(1)距离：可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹.
(2)角度：直线与面成定角，可能是圆锥侧面；直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面.
思维升华
跟踪训练2　如图，在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点P在截面AB1D1内(含边界)，且满足A1P=3.则点P的轨迹长度为　　　　.
2π
取B1D1的中点O1，三棱锥A1-AB1D1为正三棱锥，
过A1作A1G⊥平面AB1D1于点G，如图，
则G为正△AB1D1的中心，又AB1=6，
∵AO1=AB1=×6=3，
∴GO1=AO1=，AG=AO1=2，
由=，得·A1G=·AA1，
∴×××A1G=××6×6×6，∴A1G=2，
∵A1P=3，∴GP==，
∴点P的轨迹是以G为圆心，为半径的圆，即正△AB1D1的内切圆，
∴点P的轨迹长度为2π×=2π.
例3　(多选)(2025·泰安模拟)如图，在五边形ABCDE中，四边形ABCE为正方形，CD⊥DE，CD=DE=，F为AB的中点，现将△ABE沿BE折起到平面A1BE位置，使得A1B⊥DE，则下列结论正确的是
A.平面BCDE⊥平面A1BE
B.若O为BE的中点，则DE∥平面FOC
C.折起过程中，F点的轨迹长度为
D.三棱锥A1-CDE的外接球的体积为π
翻折有关的动态轨迹问题
题型三
√
√
√
对于A，由题意得∠BEC=∠CED=，所以∠BED=，即DE⊥BE，
而已知DE⊥A1B，且A1B∩BE=B，A1B 平面A1BE，BE 平面A1BE，
所以DE⊥平面A1BE，DE 平面BCDE，所以平面BCDE⊥平面A1BE，故A正确；
对于B，因为O为BE的中点，
所以OC⊥BE，
又DE⊥BE，所以OC∥DE，
又DE 平面FOC，OC 平面FOC，所以DE∥平面FOC，故B正确；
对于C，因为四边形ABCE为正方形，CD⊥DE，CD=DE=，
所以CE==2，
过点F作FG⊥BE交BE于点G，如图，
则FG=BF=，
所以折起过程中，F点的轨迹是以G为圆心，FG=为半径，圆心角为的圆弧，
所以F点的轨迹长为×=，故C错误；
对于D，连接A1O，如图，
则A1O⊥BE，又平面BCDE⊥平面A1BE，
平面BCDE∩平面A1BE=BE，
A1O 平面A1BE，所以A1O⊥平面BCDE，
又四边形OCDE为边长为的正方形，
则三棱锥A1-CDE的外接球即为四棱锥A1-OCDE的外接球，
又四边形OCDE外接圆的直径为CE=2，A1O=BE=，
设四棱锥A1-OCDE的外接球的半径为R，则(2R)2=A1O2+OD2=A1O2+CE2，
即(2R)2=+22=6，所以R=，
所以外接球的体积V=R3=×=π，
即三棱锥A1-CDE的外接球的体积为π，故D正确.
翻折有关的轨迹问题
(1)翻折过程中寻找不变的垂直关系求轨迹.
(2)翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹.
(3)可以利用空间坐标运算求轨迹.
思维升华
跟踪训练3　(多选)(2024·南阳模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=3，CD=4，AD=3，点E，F分别为边AB，CD上的点，且EF∥AD，AE=2.将四边形AEFD沿EF折起，如图2，使得平面AEFD⊥平面EBCF，点M是四边形AEFD内的动点，且直线MB与平面AEFD所成的角和直线MC与平面AEFD所成的角相等，则下列结论正确的是
A.AC⊥BF
B.点M的轨迹长度为
C.点M到平面EBCF的最大距离为
D.当点M到平面EBCF的距离最大时，三棱锥M-BCF
外接球的表面积为28π
√
√
√
如图，连接CE，EM.因为平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF=EF，AE 平面AEFD，
又AE⊥EF，所以AE⊥平面EBCF.
所以CE为CA在平面EBCF内的射影.
易得△BCF为等边三角形，显然CE不垂直于BF，
所以AC不可能垂直于BF，故A错误；
易知BE⊥EF，易证BE⊥平面AEFD，所以∠BME为直线MB与平面AEFD所成的角.同理∠CMF为直线MC与平面AEFD所成的角，所以
∠BME=∠CMF，所以tan∠BME=tan∠CMF，所以=.
因为CF=2BE，所以FM=2EM.
在平面AEFD内，以E为坐标原点，
以的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向
建立平面直角坐标系，则F(3，0)，设M(x，y)，则有=2，化简得(x+1)2+y2=4，即点M在平面AEFD内的轨迹方程为(x+1)2+y2=4(0≤x≤1，y≥0)，所以点M在四边形AEFD内的
轨迹为以(-1，0)为圆心，2为半径的圆的一段弧，弧所对的圆心角为，所以弧长为×2=，B正确；
要使三棱锥M-BCF的体积最大，只要点M的纵坐标的
绝对值最大即可.令x=0，
则y=±，又y≥0，所以M(0，)，
此时M到平面EBCF的最大距离为，C正确；
三棱锥M-BCF外接球的球心在过△BCF的外接圆圆心且垂直于平面BCF的直线上.
在三棱锥M-BCF中，设点Q为等边△BCF外接圆的圆心，设三棱锥M-BCF外接球的球心为O，半径为R，设OQ=a，则有R2=a2+4=+7，
解得a=，所以R2=7，所以三棱锥M-BCF外接球的表面积S=4πR2=28π，D正确.
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B B C AD BCD
一、单项选择题
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，Q是正方形B1BCC1内的动点，A1Q⊥BC1，则Q点的轨迹是
A.点B1 B.线段B1C
C.线段B1C1 D.平面B1BCC1
√
1
2
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答案
1
2
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答案
如图，连接A1C，
因为BC1⊥A1Q，BC1⊥A1B1，
A1Q∩A1B1=A1，A1Q，A1B1 平面A1B1Q，
所以BC1⊥平面A1B1Q，
又B1Q 平面A1B1Q，所以BC1⊥B1Q，
又BC1⊥B1C，所以点Q在线段B1C上.
1
2
3
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5
6
7
8
答案
2.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，N为侧面BCC1B1上的一点，且MN∥平面ABC1，若点N的轨迹长度为2，则
A.AC1=4 B.BC1=4
C.AB1=6 D.B1C=6
√
1
2
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8
答案
如图，取B1C1的中点D，BB1的中点E，连接MD，DE，ME，
由MD∥A1B1∥AB，DE∥BC1，
又MD 平面ABC1，AB 平面ABC1，所以MD∥平面ABC1，
同理可得DE∥平面ABC1，
又MD∩DE=D，MD，DE 平面MDE，
所以平面MDE∥平面ABC1，
又MN∥平面ABC1，
故点N的轨迹为线段DE，
又由DE=BC1=2，可得BC1=4.
3.(2024·南充模拟)在三棱锥A-BCD中，AB=AC=AD=4，BC=CD=DB=6，P为△BCD内部及边界上的动点，AP=2，则点P的轨迹长度为
A.π B.2π
C.3π D.4π
√
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2
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答案
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答案
如图所示，
由AB=AC=AD=4，BC=CD=DB=6，
可知三棱锥A-BCD为正三棱锥，
设点A在底面BCD上的射影为O，
连接BO并延长，交CD于点E，可知E为CD的中点，
则BE=3，OB=2，OE=，
则AO⊥平面BCD，OA==2，
又P为△BCD内部及边界上的动点，AP=2，所以OP=2，
1
2
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8
答案
所以点P的轨迹为以点O为圆心，2为半径的圆在△BCD内部及边界上的部分，
如图所示，OE⊥P1P2，
所以cos∠EOP1==，
即∠EOP1=，∠P1OP2=，
所以点P的轨迹长度为2π×2-3××2=2π.
4.(2025·长沙模拟)在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为3的正三角形，PA=，PC⊥BC，则三棱锥P-ABC的体积最大为
A. B.2
C. D.
√
1
2
3
4
5
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7
8
答案
1
2
3
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5
6
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8
答案
如图，因为PC⊥BC，所以P点在过C点且与BC垂直的平面α上，
设平面α∩平面ABC=l，过点A作l的垂线段交l于点A1，
则AA1⊥α，且AA1=，
因为PA=，所以P点在以A1为圆心的圆周上，
由图可知P到底面ABC的最大高度为=2，
所以三棱锥体积的最大值为V三棱锥P-ABC=×S△ABC×2=××32×2=.
二、多项选择题
5.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF=2，动点Q在棱D'C'上，则在三棱锥A'-EFQ中，下列说法正确的是
A.△EFQ的面积与点E，F的位置无关
B.三棱锥A'-EFQ的体积与点Q的位置有关
C.三棱锥A'-EFQ的体积与点E，F，Q的位置都有关
D.三棱锥A'-EFQ的体积与点E，F，Q的位置均无关，
是定值
√
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2
3
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答案
√
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2
3
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5
6
7
8
答案
连接AD'，BC'，如图.
对于选项A，因为AB∥C'D'，且AB=C'D'，
可知四边形ABC'D'为平行四边形，
且AB⊥平面ADD'A'，AD' 平面ADD'A'，则AB⊥AD'，
可知四边形ABC'D'为矩形，
所以△EFQ的面积S△EFQ=EF·AD'=×2×4=4，
即△EFQ的面积为定值，与点E，F的位置无关，故A正确；
对于选项BCD，因为A'D'⊥平面ABB'A'，且平面ABB'A'∥平面DCC'D'，
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答案
可知三棱锥Q-A'EF的高为A'D'=4，
所以三棱锥A'-EFQ的体积
V三棱锥A'-EFQ=V三棱锥Q-A'EF=A'D'·S△A'EF
=×4××2×4=，
即三棱锥A'-EFQ的体积为定值，与点E，F，Q的位置均无关，故D正确，BC错误.
6.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为正方体表面上的动点，N为线段AC1上的动点，若直线AM与AB的夹角为，则下列说法正确的是
A.点M的轨迹确定的图形是平面图形
B.点M的轨迹长度为+2
C.C1M的最小值为-1
D.当点M在侧面BB1C1C上时，AN+MN的最小值为1
√
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答案
√
√
如图，建立空间直角坐标系，
则D(0，1，0)，C1(1，1，1)，
∵直线AM与AB的夹角为，当点M在侧面AA1D1D上时，
AB⊥AM，不合题意；
当点M在底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D(不包含边界)上时，点M到直线AB
的距离大于AB的长度，此时，AM与AB的夹角大于；
当点M在侧面AA1B1B和底面ABCD上时，可知线段AB1，AC满足题意；
当点M在侧面BCC1B1上时，由AB⊥BM，可知BM=AB，此时弧B1C为所求.
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答案
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答案
∴M点的轨迹为线段AC，AB1，弧B1C，
显然线段AC，AB1，弧B1C不共面，∴A错误；
对于B，点M的轨迹长度为+2，∴B正确；
对于C，若M在线段AC上，则C1M的最小值为1，
同理，若M在线段AB1上，则C1M的最小值也为1，若M在弧B1C上，则C1M的最小值为C1B-1=-1，∴C正确；
对于D，M(1，y，z)(0≤y≤1，0≤z≤1)，且y2+z2=1，
由题意设N(λ，λ，λ)，λ∈[0，1]，则
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答案
AN+MN=λ+
≥λ+=λ+(1-λ)=1，
当且仅当y=z=λ，且y2+z2=1，
即y=z=λ=时，等号成立，∴D正确.
三、填空题
7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点M在正方体内部运动(包括表
面)，且BM∥平面AD1C，则动点M的轨迹所形成区域的面积为　　　.
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答案
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答案
因为平面A1BC1∥平面ACD1，
点M是该正方体表面及其内部的一动点，
且BM∥平面AD1C，
所以点M的轨迹是△A1BC1及其内部，
所以动点M的轨迹所形成区域的面积为=×·sin =.
8.如图，点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的一个动点，直线
AP与平面ABCD所成的角为60°，则点P的轨迹长度为　　　　　.
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答案
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答案
因为直线AP与平面ABCD所成的角为60°，所以点P的轨迹在以A为顶点，
底面圆的半径为，高为1的圆锥的侧面上，
又因为点P是正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的一个动点，
所以点P的轨迹如图所示，
则点P的轨迹长为2×2π×=.(共86张PPT)
第七章
§7.6　空间向量的概念与运算
数学
大
一
轮
复
习
1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有 和 的量
相等向量 方向 且模 的向量
相反向量 长度 而方向 的向量
共线向量(或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相______
或 的向量
共面向量 平行于 的向量
大小
方向
相同
相等
相等
相反
平行
重合
同一个平面
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 .
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在 的有序实数对(x，y)，使p= .
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p= .{a，b，c}叫做空间的一个基底.
a=λb
唯一
xa+yb
xa+yb+zc
3.空间向量的数量积及运算律
(1)数量积
非零向量a，b的数量积
a·b= .
|a||b|cos〈a，b〉
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3).
向量表示 坐标表示
数量积 a·b _______________
共线 a=λb(b≠0，λ∈R) ______________________
垂直 a·b=0(a≠0，b≠0) ________________
模 |a|
________________
a1b1+a2b2+a3b3
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3
a1b1+a2b2+a3b3=0
向量表示 坐标表示
夹角余弦值
cos〈a，b〉=_____________________
4.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，那么称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则称向量a为平面α的法向量.
(3)空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 n1=λn2(λ∈R)
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2=0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l α l∥α n⊥m n·m=0
l⊥α n∥m n=λm(λ∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m n=λm(λ∈R)
α⊥β n⊥m n·m=0
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面.(　　)
(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反.(　　)
(3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有=0.(　　)
(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(　　)
×
√
√
×
2.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设=a，=b，=c，则下列向量中与相等的向量是
A.-a+b+c B.a+b+c
C.-a-b-c D.-a-b+c
√
==)==-a-b-c.
3.若平面α外的直线l的方向向量为a=(1，0，-2)，平面α的法向量为m=(8，-1，4)，则
A.l⊥α B.l∥α
C.a∥m D.l与α斜交
√
根据题意，直线l的方向向量为a=(1，0，-2)，
平面α的法向量为m=(8，-1，4)，易得a·m=1×8-2×4=0，
又直线l在平面α外，则有l∥α.
4.已知空间向量a=(λ，1，2)，b=(2，λ+1，λ)，若a∥b，则实数λ=　　　.
-2
由a∥b，可设b=μa(μ∈R)，
则(2，λ+1，λ)=(μλ，μ，2μ)，
所以
1.牢记空间中三点共线、四点共面的充要条件
(1)在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：=x+y(其中x+y=1)，O为平面内任意一点.
(2)在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：=x+y+z(其中x+y+z=
1)，O为空间任意一点.
2.解题时防范以下几个易误点
(1)向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b=b·a，a·(b+c)=a·b+a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.
(2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量.
(3)直线的方向向量和平面的法向量均不为零向量且不唯一.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)已知向量=(1，a，-2)，=(-3，6，b)，若A，B，C三点共线，则a-b等于
A.-8 B.-2 C.2 D.8
空间向量的线性运算
题型一
√
因为A，B，C三点共线，所以与共线，又向量=(1，a，-2)，=(-3，6，b)，
所以==，
所以a=-2，b=6，所以a-b=-8.
(2)在三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BC的中点，=2，则等于
A.- B.
C.- D.--
√
因为=2，所以=，
所以==
=×)+-)+
=-.
用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键.
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.
(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立.
思维升华
跟踪训练1　在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若=a，=b，=c，则等于
A.a-b+c B.a-b+c
C.a+b+c D.a-b+c
√
根据题意可得=)=(a+c)，==(a+c)，
所以==-=-b+(a+c)=a-b+c.
例2　(多选)下列说法正确的是
A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B.若G是四面体OABC的底面△ABC的重心，则=)
C.若=-，则A，B，C，G四点共面
D.若向量p=mx+ny+kz(其中x，y，z是三个不共面的向量，m，n，k∈R)，则
称p在基底{x，y，z}下的坐标为(m，n，k).若p在单位正交基底{a，b，c}
下的坐标为(1，2，3)，则p在基底{a-b，a+b，c}下的坐标为
空间向量基本定理及其应用
题型二
√
√
对于A，若b=0，则满足a与b共线，b与c共线，但是a与c不一定共线，故A错误；
对于B，由于G为四面体OABC的底面△ABC的重心，设D为BC的中点，故=2，
整理得-=2-2，故3=，
故=)，故B正确；
对于C，由于-≠1，对于=-，
故A，B，C，G四点不共面，故C错误；
对于D，p在单位正交基底{a，b，c}下的坐标为(1，2，3)，即p=a+2b+3c，设p在基底{a-b，a+b，c}下的坐标为(x，y，z)，则满足p=x(a-b)+y(a+b)+
zc=(x+y)a+(y-x)b+zc=a+2b+3c，
故解得
则p在基底{a-b，a+b，c}下的坐标为，故D正确.
应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较
思维升华
三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面
跟踪训练2　O为空间任意一点，若=-+t，若A，B，C，P四点共面，则实数t等于
A.1 B.
C. D.
√
因为=-，
所以=-+t可化简为
-=-+t，
即=+t，
由于A，B，C，P四点共面，则+t=1，
解得t=.
例3　(1)(多选)已知空间中A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(-1，3，1)三点，则
A.与是共线向量
B.与向量方向相同的单位向量是
C.与夹角的余弦值是-
D.平面ABC的一个法向量是(1，-2，5)
空间向量数量积及其应用
题型三
√
√
因为A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(-1，3，1)，
所以=(2，1，0)，=(-1，2，1)，
因为不存在实数λ，使得=λ，
所以与不共线，故A错误；
因为||==，
所以与向量方向相同的单位向量是=，故B错误；
又=(-3，1，1)，所以与夹角的余弦值是==-，
故C正确；
不妨令n=(1，-2，5)，则·n=1×2+(-2)×1+5×0=0，
·n=1×(-1)+(-2)×2+5×1=0，
即⊥n且⊥n，
所以n=(1，-2，5)是平面ABC的法向量，故D正确.
(2)已知圆锥SO的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面(异于顶点和底面圆周)上任意一点，则·的取值范围为
A.(-4，4) B.[-4，4]
C.(-2，2) D.[-2，2]
√
如图所示，延长SQ交底面圆周于点B，过点Q作QG⊥底面圆于点G，
显然·=·()=·=2cos〈，〉·||，
由题意可知cos〈，〉∈[-1，1]，0<||<2，
所以·的取值范围为(-4，4).
空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.
思维升华
跟踪训练3　已知空间向量a=(-2，-1，1)，b=(3，4，5)，则下列结论正确的是
A.(a+b)∥a B.a与b夹角的余弦值为
C.2a⊥(5a+6b) D.4|a|=|b|
√
对于A，a+b=(1，3，6)，因为≠≠，所以a+b与a不平行，故A错误；
对于B，a与b夹角的余弦值为==-，故B错误；
对于C，2a=(-4，-2，2)，5a+6b=(8，19，35)，则2a·(5a+6b)=-32-38+70=
0，即2a⊥(5a+6b)，故C正确；
对于D，4|a|=4，|b|=×=5，故D错误.
例4　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，设E，F分别为PC，BD的中点.求证：
(1)EF∥平面PAD；
向量法证明平行、垂直
题型四
如图，取AD的中点O，连接OP，OF.
因为PA=PD，
所以PO⊥AD.
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO 平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
又O，F分别为AD，BD的中点，所以OF∥AB.
又四边形ABCD是正方形，所以OF⊥AD.
因为PA=PD=AD，
所以PA⊥PD，OP=OA=.
如图，以O为坐标原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则A，F，D，P，C.
因为E为PC的中点，所以E.
易知平面PAD的一个法向量为=，
因为=，
·=·=0.
且EF 平面PAD，所以EF∥平面PAD.
(2)平面PAB⊥平面PDC.
因为=，=(0，-a，0)，
所以·=·(0，-a，0)=0，
所以⊥，
所以PA⊥CD.
又PA⊥PD，PD∩CD=D，PD，CD 平面PDC，
所以PA⊥平面PDC.
又PA 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC.
(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素).
(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.
思维升华
跟踪训练4　如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点.求证：
(1)EF∥平面A1B1BA；
因为AB=AC，E为BC的中点，
所以AE⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，
所以过E作平行于BB1的垂线为z轴，
EC，EA所在直线分别为x轴、y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为AB=3，BE=，所以AE=2，
所以E(0，0，0)，C(，0，0)，
A(0，2，0)，B(-，0，0)，A1(0，2，)，则F.
=，=(-，-2，0)，=(0，0，).
设平面A1B1BA的一个法向量为n=(x，y，z)，
则所以
取所以n=(-2，，0).
因为·n=×(-2)+1××0=0，
所以⊥n.
又EF 平面A1B1BA，
所以EF∥平面A1B1BA.
(2)平面AEA1⊥平面BCB1.
易证EC⊥平面AEA1，
所以=(，0，0)为平面AEA1的一个法向量.
同理易证EA⊥平面BCB1，
所以=(0，2，0)为平面BCB1的一个法向量.
因为·=0，所以⊥，
故平面AEA1⊥平面BCB1.
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课时精练
对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C A B B B BD ABD
题号 9 10 13 　14 答案 (-5，-2，6) C 　BD 答案
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(1)∵E，H分别是线段PA，AB的中点，
∴PB∥EH.
∵PB 平面EFH，且EH 平面EFH，
∴PB∥平面EFH.
(2)因为PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，
则AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(0，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，H(1，0，0).
11.
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11.
=(0，2，-2)=(1，0，0)=(0，1，1)，
∴·=0×0+2×1+(-2)×1=0，
·=0×1+2×0+(-2)×0=0.
∴⊥⊥
∴PD⊥AF，PD⊥AH.
∵AH∩AF=A，且AH，AF 平面AHF，
∴PD⊥平面AHF.
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12.
(1)===--)=-a+b-c.
(2)假设存在点M，使AM⊥A1N，
设=λ=λb(λ∈[0，1])，
显然==c-a+λb.
因为AM⊥A1N，所以·=0，
即(c-a+λb)·=0，
所以-c·a+c·b-c2+a2-a·b+c·a-λa·b+λb2-λb·c
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=c·a+c·b-c2+a2-a·b+λb2=0.
设CA=CB=CC1=1，
又〈a，b〉=〈a，c〉=〈b，c〉=
所以c·a-c2+a2-a·b+λb2=0，
即×1×1×-12+×12-×1×1×λ×12=0，
解得λ=
所以当C1M=C1B1时，AM⊥A1N.
12.
一、单项选择题
1.在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则-)
等于
A.- B. C. D.-
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知识过关
答案
在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则=2
所以-)=-=.
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答案
2.已知a=(1，m，3)，b=(2，4，n)，且a∥b，则m+n等于
A.4 B.6
C.8 D.10
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答案
因为a∥b，
所以存在实数t，使得a=tb，
又a=(1，m，3)，b=(2，4，n)，
所以(1，m，3)=t(2，4，n)=(2t，4t，nt)，
所以解得
所以m+n=2+6=8.
3.设m为实数，若直线l垂直于平面α，且l的方向向量为(m，2，4)，平面α的法向量为(2，4，8)，则m的值为
A.1 B.2 C.-20 D.-10
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答案
因为直线l垂直于平面α，
所以直线l的方向向量(m，2，4)与平面α的法向量(2，4，8)平行，
即==解得m=1.
4.已知a=(1，0，2)，b=(3，-2，1)，c=(-1，m，3)，若a，b，c三个向量共面，则实数m等于
A.-1 B.2 C.3 D.5
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答案
∵a，b，c三个向量共面，
∴存在唯一有序实数对(λ，μ)，使c=λa+μb，
即(-1，m，3)=λ(1，0，2)+μ(3，-2，1)，
即
5.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，BD=3·-·
=4，则cos〈〉等于
A. B.-
C. D.-
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答案
因为·-·=()·-()·
=··-·-·
=·(-)=·=4，
所以·=-4，
cos〈〉===-.
6.(2025·日照模拟)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，以正方体中心为球心的球O与正方体的各条棱相切，若点P在球O的正方体外部(含正方体表面)运动，则·的最大值为
A.2 B.
C. D.
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答案
取AB的中点E，
可知E在球面上，可得=-=-
所以·=()·()=-=-
点P在球O的正方体外部(含正方体表面)运动，
当PE为直径时=
所以·的最大值为.
二、多项选择题
7.下列命题正确的是
A.平面α，β的法向量分别为n1=(0，1，3)，n2=(1，2，6)，则α∥β
B.直线l的方向向量为a=(1，-1，2)，直线m的方向向量为b=则l
与m垂直
C.直线l的方向向量为a=(0，1，-1)，平面α的法向量为n=(1，-1，-1)，则l∥α
D.平面α经过A(1，0，-1)，B(0，1，0)，C(-1，2，0)三点，向量n=(1，u，t)是
平面α的一个法向量，则u+t=1
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答案
对于A，向量n1=(0，1，3)与n2=(1，2，6)不共线，平面α与β不平行，A错误；
对于B，由a=(1，-1，2)，b=得a·b=1×2-1×1+2×=0，l与m垂直，B正确；
对于C，a·n=1×(-1)+(-1)×(-1)=0，a⊥n，则l α或l∥α，C错误；
对于D=(1，-1，-1)=(-1，1，0)，
由n=(1，u，t)是平面α的一个法向量，得解得u+t=1，D正确.
8.下列说法正确的是
A.在空间直角坐标系Oxyz中，点(3，-4，5)关于Oxy平面对称的点为(3，-4，-5)
B.对空间任意一点O与不共线的A，B，C三点，若=x+y+z其
中x，y，z∈R且x+y+z=1，则P，A，B，C四点共面
C.已知a=(0，1，1)，b=(0，0，-1)，则a在b上的投影向量为(0，0，-1)
D.向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底{a+b，a-b，c}
下的坐标为(3，1，3)
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√
对于A，点(3，-4，5)关于Oxy平面对称的点应满足横、纵坐标不变，竖坐标变为相反数，即为(3，-4，-5)，故A正确；
对于B，因为x+y+z=1，则z=1-x-y，所以=x+y+(1-x-y)即-=x-x+y-y所以=x+y所以P，A，B，C四点共面，故B正确；
对于C，由投影向量定义可得a在b上的投影向量为b=b=-b=(0，0，1)，
故C错误；
对于D，设向量p在基底{a+b，a-b，c}下的坐标为(x，y，z)，
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答案
则p=x(a+b)+y(a-b)+zc，
又向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，
则p=4a+2b+3c，
所以4a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc，
所以解得
所以向量p在基底{a+b，a-b，c}下的坐标为(3，1，3)，故D正确.
三、填空题
9.在空间直角坐标系中，已知A(1，1，0)，B(-1，0，2)，点C满足=
3则点C的坐标为　 　　　.
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(-5，-2，6)
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答案
设C(x，y，z)，
则=(-2，-1，2)=(x-1，y-1，z)
=3=(-6，-3，6)，
故解得
故点C的坐标为(-5，-2，6).
10.已知三棱锥P-ABC的体积为6，M是空间中一点=-
则三棱锥A-MBC的体积是　　.
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答案
=-故3=-
不妨令=3
则=-
又-=1，故H，A，B，C四点共面，
故V三棱锥M-ABC=V三棱锥P-ABC=×6=4.
∵E，H分别是线段PA，AB的中点，∴PB∥EH.
∵PB 平面EFH，且EH 平面EFH，
∴PB∥平面EFH.
四、解答题
11.如图，四棱锥P -ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点.求证：
(1)PB∥平面EFH；
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(2)PD⊥平面AHF.
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答案
因为PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，
则AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(0，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，H(1，0，0).
=(0，2，-2)=(1，0，0)=(0，1，1)，
∴·=0×0+2×1+(-2)×1=0，
·=0×1+2×0+(-2)×0=0.
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答案
∴⊥⊥
∴PD⊥AF，PD⊥AH.
∵AH∩AF=A，且AH，AF 平面AHF，
∴PD⊥平面AHF.
12.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=CC1=a=b=c，〈a，b〉=〈a，c〉=〈b，c〉=N是AB的中点.
(1)用a，b，c表示向量；
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===--)=-a+b-c.
(2)在线段C1B1上是否存在点M，使AM⊥A1N？若存在，求出M的位置，若不存在，请说明理由.
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答案
假设存在点M，使AM⊥A1N，
设=λ=λb(λ∈[0，1])，
显然==c-a+λb.
因为AM⊥A1N，所以·=0，
即(c-a+λb)·=0，
所以-c·a+c·b-c2+a2-a·b+c·a-λa·b+λb2-λb·c
=c·a+c·b-c2+a2-a·b+λb2=0.
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答案
设CA=CB=CC1=1，
又〈a，b〉=〈a，c〉=〈b，c〉=
所以c·a-c2+a2-a·b+λb2=0，
即×1×1×-12+×12-×1×1×λ×12=0，
解得λ=
所以当C1M=C1B1时，AM⊥A1N.
13.1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开展大生产运动，最终走出了困境.如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段AB与CD所在直线异面垂直，E，F分别为AB，CD的中点，且EF⊥AB，EF⊥CD，线拐子使用时将丝线从点A出发，依次经过D，B，C又回到点A，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”.图中AB=EF=CD=30 cm，则丝线缠一圈的长度为
A.90 cm B.90 cm
C.60 cm D.80 cm
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能力拓展
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答案
依题意⊥⊥⊥
所以·=0·=0·=0，
又=
所以=
=+2·+2·+2·
=152+302+152=152×6，
所以||=15
1
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3
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5
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8
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10
11
12
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14
答案
同理可得||=||=||=15
所以丝线缠一圈的长度为4×15=60(cm).
14.(多选)(2025·齐齐哈尔模拟)设Ox，Oy，Oz是空间中两两夹角均为θ的三条数轴，e1，e2，e3分别是与x，y，z轴正方向同向的单位向量，若=xe1+ye2+ze3(x，y，z∈R)，则把有序数对(x，y，z)θ叫做在坐标系Oxyz中的坐标，则下列结论正确的是
A.若a=(-1，3，-7)θ，b=(3，-2，4)θ，则a+b=(2，1，3)θ
B.若a=b=则a·b=0
C.若a=(x，y，0)θ，b=(1，2，0)θ，则当且仅当x∶y=1∶2时，θ=
D.若===则二面角O-AB-C的余弦值为
1
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答案
√
√
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14
答案
对于A，因为a=(-1，3，-7)θ=-e1+3e2-7e3，b=(3，-2，4)θ=3e1-2e2+4e3，
则a+b=2e1+e2-3e3=(2，1，-3)θ，故A错误；
对于B，因为a=b=
此时a，b在空间直角坐标系中，则a·b=2×3+6×(-1)=0，故B正确；
对于C，因为a=(x，y，0)θ=xe1+ye2，b=(1，2，0)θ=e1+2e2，
当x∶y=1∶2时，y=2x，则a=(x，y，0)θ=xe1+2xe2=x(e1+2e2)=xb，
此时a∥b，θ不一定为故C错误；
对于D，因为===
则三棱锥O-ABC是棱长为1的正四面体，如图所示，
取AB的中点H，连接OH，HC，
在等边△OAB，△ABC中，
易知OH⊥AB，HC⊥AB，OH=HC=
则∠OHC即为二面角O-AB-C的平面角，
在△OHC中，由余弦定理得，cos∠OHC===
所以二面角O-AB-C的余弦值为故D正确.
1
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答案
返回(共45张PPT)
第三章
必刷大题6　导数的综合问题
数学
大
一
轮
复
习
答案
1
2
3
4
(1)由已知可得f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=-a，
所以f'(2)=-a=-即a=1，
所以f(x)=ln x-(x+1)，f'(x)=-1=
令f'(x)>0，得0令f'(x)<0，得x>1，
所以f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+∞).
1.
答案
1
2
3
4
(2)由(1)得f(x)=ln x-(x+1)，
将不等式整理得f(x)-+2x+>k(x-1)，
因为x∈(1，2)，所以x-1>0，
原不等式可转化为k<-在(1，2)上恒成立，
令M(x)=-x∈(1，2)，
则M'(x)=-=
1.
答案
1
2
3
4
令P(x)=(x2-1)(2-x)-2xln x，x∈(1，2)，
则P'(x)=-(3x-1)(x-1)-2ln x<0，
所以P(x)在(1，2)上单调递减，
P(x)所以M(x)在(1，2)上单调递减，
M(x)>M(2)=ln 2-
所以k≤ln 2-所以实数k的取值范围是.
1.
答案
1
2
3
4
(1)∵f(x)=ex-1-ln x，
f(x)的定义域为(0，+∞)，
∴f'(x)=ex-1-
令l(x)=ex-1-(x>0)，∴l'(x)=ex-1+>0，
∴当x>0时，l(x)即f'(x)单调递增，
又∵f'(1)=0，
2.
答案
1
2
3
4
∴当x∈(0，1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增.
∴f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞).
2.
答案
1
2
3
4
(2)∵g(x)=f(x)-m(x-1)=ex-1-ln x-mx+m(m>0)，
∴g'(x)=ex-1--m(x>0，m>0)，
由(1)可知g'(x)在(0，+∞)上单调递增，且g'(1)=-m<0，
又g'(1+m)=em--m>em-(m+1)，
易证em>m+1，则g'(1+m)>0，
∴存在唯一的t∈(1，1+m) (1，+∞)，使得g'(t)=0，
2.
答案
1
2
3
4
∴当x∈(0，t)时，g'(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(t，+∞)时，g'(x)>0，g(x)单调递增；
∴g(x)min=g(t)=et-1-ln t-mt+m，
又当x→0时，g(x)→+∞；
当x→+∞时，g(x)→+∞，
所以若方程g(x)=ex-1-ln x-mx+m=0有唯一的实根x0，
则x0=t>1，
2.
答案
1
2
3
4
∴
消去m可得(2-t)et-1-ln t+1-=0(t>1)，令h(t)=(2-t)et-1-ln t+1-(t>1)，
则h'(t)=(1-t)et-1-+=(1-t)<0，
∴h(t)在(1，+∞)上为减函数，且h(1)=1>0，h(2)=-ln 2<0，
∴当h(t)=0时，t∈(1，2)，即12.
答案
1
2
3
4
(1)当a=1,b=-2时,f(x)=ln x--x,x>0,
令f'(x)=+-1=2,得(3x+2)(x-1)=0,
解得x=1(负值舍去),
故切点为(1,-3),
切线方程为y+3=2(x-1),即2x-y-5=0.
3.
答案
1
2
3
4
(2)f'(x)=--1,
∵x=1为f(x)的极小值点,
∴f'(1)=a-b-1=0,a=b+1,
∴f'(x)=-=-,
①当b≤0时,x-b>0,令f'(x)=0得x=1,
当00,f(x)单调递增;
当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,f(x)在x=1处取得极大值,舍去.
3.
答案
1
2
3
4
②当b=1时,f'(x)=-≤0,
f(x)在(0,+∞)上单调递减,
f(x)不存在极值,舍去.
③当0当b0,f(x)单调递增;
当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,此时f(x)在x=1处取得极大值,舍去.
3.
答案
1
2
3
4
④当b>1时,当0当10,f(x)单调递增;当x>b时,f'(x)<0,f(x)单调递减,此时f(x)在x=1处取得极小值,符合题意.
综上,b的取值范围为(1,+∞).
3.
答案
1
2
3
4
(1)易知f(x)的定义域为(-1，+∞)，
由f(x)=x-aln(1+x)，得f'(x)=1-=
当a≤0时，f'(x)>0在(-1，+∞)上恒成立，
所以f(x)在(-1，+∞)上为增函数，
当a>0时，令f'(x)=0，得x=a-1，
当x∈(-1，a-1)时，f'(x)<0，
当x∈(a-1，+∞)时，f'(x)>0，
4.
答案
1
2
3
4
即f(x)在(-1，a-1)上单调递减，在(a-1，+∞)上单调递增.
综上所述，当a≤0时，f(x)在(-1，+∞)上为增函数，
当a>0时，f(x)在(-1，a-1)上单调递减，在(a-1，+∞)上单调递增.
(2)当a=1时，f(x)=x-ln(1+x)，
由(1)知，f(x)在(-1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，
所以f(x)=x-ln(1+x)≥f(0)=0，
得到x≥ln(x+1)，
4.
答案
1
2
3
4
对于任意正整数n，令x=
则≥ln=ln(2n+1)-ln(2n-1)，
所以2>ln 3-ln 1+ln 5-ln 3+ln 7-ln 5+…+ln(2n+1)-ln(2n-1)=ln(2n+1)，
即1+++…+>ln(2n+1)，
命题得证.
4.
答案
1
2
3
4
(3)因为p(x)=x-1-[x-1-aln(1+x-1)]=aln x(a>0，x>0)，
所以直线AB的斜率
kAB=又p'(x)=所以p'(x3)=
由题意得kAB==
又易知p'(x)=(a>0)在(0，+∞)上单调递减，要证x3<
即证p'(x3)>p'
4.
答案
1
2
3
4
即证>
又0=
令=t>1，即证ln t>
即证(t+1)ln t-2(t-1)>0，
令q(t)=(t+1)ln t-2(t-1)(t>1)，
则q'(t)=ln t+-1，
4.
答案
1
2
3
4
令r(t)=ln t+-1，则r'(t)=-=
当t>1时，r'(t)>0，
即r(t)在(1，+∞)上单调递增，所以r(t)>r(1)=0，即q'(t)>0，
故q(t)在(1，+∞)上单调递增，
所以q(t)>q(1)=0，
即(t+1)ln t>2(t-1)，
所以x3<故命题得证.
4.
1.(2024·葫芦岛模拟)已知函数f(x)＝ln x－a(x＋1)(a∈R)在点(2，f(2))处的切线与直线x＋2y＝0平行.
(1)求f(x)的单调区间；
1
2
3
4
答案
1
2
3
4
答案
由已知可得f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝－a，
所以f'(2)＝－a＝－即a＝1，
所以f(x)＝ln x－(x＋1)，
f'(x)＝－1＝
令f'(x)>0，得0令f'(x)<0，得x>1，
所以f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞).
(2)当x∈(1，2)时，f(x)>＋(k－2)x－k－恒成立，求实数k的取值范围.
1
2
3
4
答案
1
2
3
4
答案
由(1)得f(x)＝ln x－(x＋1)，
将不等式整理得f(x)－＋2x＋>k(x－1)，
因为x∈(1，2)，所以x－1>0，
原不等式可转化为k<在(1，2)上恒成立，
令M(x)＝x∈(1，2)，
则M'(x)＝＝
令P(x)＝(x2－1)(2－x)－2xln x，x∈(1，2)，
1
2
3
4
答案
则P'(x)＝－(3x－1)(x－1)－2ln x<0，
所以P(x)在(1，2)上单调递减，
P(x)所以M(x)在(1，2)上单调递减，
M(x)>M(2)＝ln 2－
所以k≤ln 2－
所以实数k的取值范围是.
1
2
3
4
答案
2.(2024·赣州模拟)已知函数f(x)＝ex－1－ln x.
(1)求f(x)的单调区间；
1
2
3
4
答案
∵f(x)＝ex－1－ln x，
f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴f'(x)＝ex－1－
令l(x)＝ex－1－(x>0)，
∴l'(x)＝ex－1＋>0，
∴当x>0时，l(x)即f'(x)单调递增，
1
2
3
4
答案
又∵f'(1)＝0，
∴当x∈(0，1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增.
∴f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞).
1
2
3
4
答案
(2)已知m>0，若函数g(x)＝f(x)－m(x－1)有唯一的零点x0，证明：11
2
3
4
答案
∵g(x)＝f(x)－m(x－1)＝ex－1－ln x－mx＋m(m>0)，
∴g'(x)＝ex－1－－m(x>0，m>0)，
由(1)可知g'(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g'(1)＝－m<0，
又g'(1＋m)＝em－－m>em－(m＋1)，
易证em>m＋1，则g'(1＋m)>0，
∴存在唯一的t∈(1，1＋m) (1，＋∞)，使得g'(t)＝0，
∴当x∈(0，t)时，g'(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(t，＋∞)时，g'(x)>0，g(x)单调递增；
1
2
3
4
答案
∴g(x)min＝g(t)＝et－1－ln t－mt＋m，
又当x→0时，g(x)→＋∞；当x→＋∞时，g(x)→＋∞，
所以若方程g(x)＝ex－1－ln x－mx＋m＝0有唯一的实根x0，则x0＝t>1，
∴
消去m可得(2－t)et－1－ln t＋1－＝0(t>1)，
令h(t)＝(2－t)et－1－ln t＋1－(t>1)，
1
2
3
4
答案
则h'(t)＝(1－t)et－1－
＝(1－t)<0，
∴h(t)在(1，＋∞)上为减函数，
且h(1)＝1>0，h(2)＝－ln 2<0，
∴当h(t)＝0时，t∈(1，2)，即13.(2025·八省联考)已知函数f(x)=aln x+-x.
(1)设a=1,b=-2,求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程;
1
2
3
4
答案
当a=1,b=-2时,f(x)=ln x--x,x>0,
令f'(x)=+-1=2,得(3x+2)(x-1)=0,
解得x=1(负值舍去),
故切点为(1,-3),
切线方程为y+3=2(x-1),即2x-y-5=0.
(2)若x=1是f(x)的极小值点,求b的取值范围.
1
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4
答案
1
2
3
4
答案
f'(x)=--1,
∵x=1为f(x)的极小值点,
∴f'(1)=a-b-1=0,a=b+1,
∴f'(x)=-=-,
①当b≤0时,x-b>0,令f'(x)=0得x=1,
当00,f(x)单调递增;
当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,f(x)在x=1处取得极大值,舍去.
1
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3
4
答案
②当b=1时,f'(x)=-≤0,
f(x)在(0,+∞)上单调递减,
f(x)不存在极值,舍去.
③当0当b0,f(x)单调递增;
当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,此时f(x)在x=1处取得极大值,舍去.
④当b>1时,当01
2
3
4
答案
当10,f(x)单调递增;当x>b时,f'(x)<0,f(x)单调递减,此时f(x)在x=1处取得极小值,符合题意.
综上,b的取值范围为(1,+∞).
4.已知函数f(x)＝x－aln(1＋x)，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
1
2
3
4
答案
1
2
3
4
答案
易知f(x)的定义域为(－1，＋∞)，由f(x)＝x－aln(1＋x)，
得f'(x)＝1－
当a≤0时，f'(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，
所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，
当a>0时，令f'(x)＝0，得x＝a－1，
当x∈(－1，a－1)时，f'(x)<0，当x∈(a－1，＋∞)时，f'(x)>0，
即f(x)在(－1，a－1)上单调递减，在(a－1，＋∞)上单调递增.
综上所述，当a≤0时，f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，
当a>0时，f(x)在(－1，a－1)上单调递减，在(a－1，＋∞)上单调递增.
(2)证明：对于任意正整数n，都有1＋＋…＋>ln(2n＋1)；
1
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3
4
答案
1
2
3
4
答案
当a＝1时，f(x)＝x－ln(1＋x)，
由(1)知，f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)＝x－ln(1＋x)≥f(0)＝0，
得到x≥ln(x＋1)，
对于任意正整数n，令x＝
则≥ln＝ln(2n＋1)－ln(2n－1)，
1
2
3
4
答案
所以2>ln 3－ln 1＋ln 5－ln 3＋ln 7－ln 5＋…＋ln(2n＋1)－ln(2n－1)
＝ln(2n＋1)，
即1＋＋…＋>ln(2n＋1)，
命题得证.
(3)设p(x)＝x－1－f(x－1)，a>0，若曲线y＝p(x)上的两点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，满足01
2
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答案
1
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答案
因为p(x)＝x－1－[x－1－aln(1＋x－1)]＝aln x(a>0，x>0)，
所以直线AB的斜率kAB＝
又p'(x)＝所以p'(x3)＝
由题意得kAB＝
又易知p'(x)＝(a>0)在(0，＋∞)上单调递减，要证x3<
即证p'(x3)>p'
1
2
3
4
答案
即证>
又0即证ln >
令＝t>1，即证ln t>
即证(t＋1)ln t－2(t－1)>0，
令q(t)＝(t＋1)ln t－2(t－1)(t>1)，
则q'(t)＝ln t＋－1，
1
2
3
4
答案
令r(t)＝ln t＋－1，
则r'(t)＝当t>1时，r'(t)>0，
即r(t)在(1，＋∞)上单调递增，所以r(t)>r(1)＝0，即q'(t)>0，
故q(t)在(1，＋∞)上单调递增，
所以q(t)>q(1)＝0，即(t＋1)ln t>2(t－1)，
所以x3<故命题得证.(共45张PPT)
第七章
§7.9　立体几何中的截面、交线问题
数学
大
一
轮
复
习
“截面、交线”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、周长、扇形弧长、面积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解.
重点解读
例1　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是A1B1的中点，N在棱CC1上，且CN=2NC1.作出过点D，M，N的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面，写出作法.
作截面
题型一
方法一　如图所示，五边形DQMFN即为所求截面.
作法如下：连接DN并延长交D1C1的延长线于点E，
连接ME交B1C1于点F，延长EM交D1A1的延长线于点H，
连接DH交AA1于点Q，连接QM，FN，
则五边形DQMFN即为所求截面.
方法二　连接DN，过点M作DN的平行线交AA1于Q点，
连接DQ，过N作DQ的平行线交B1C1于F点，连接MF，
则五边形DQMFN即为所求截面.
作截面的几种方法
(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程.
(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点.
(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线.
思维升华
跟踪训练1　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CD，DD1的中点，作出过点E，F，G的平面截正方体的截面.
如图，过点G作EF的平行线交BB1于点J，
过点J作FG的平行线交A1B1于点I，
过点I作EF的平行线交A1D1于点H，
易知点J，I，H都在截面EFG内，
且都是其所在棱的中点，从而所得截面是正六边形EFGHIJ.
例2　已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是线段BB1上靠近B1的三等分点，点F是线段D1C1上靠近D1的三等分点，则平面AEF截正方体ABCD-A1B1C1D1形成的截面图形为
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
截面图形的形状判断
题型二
√
如图，设AB=6，分别延长AE，A1B1交于点G，
此时B1G=3，
连接FG交B1C1于点H，连接EH，
设平面AEF与平面DCC1D1的交线为l，则F∈l，
因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
平面AEF∩平面ABB1A1=AE，平面AEF∩平面DCC1D1=l，
所以l∥AE，设l∩D1D=I，则FI∥AE，
此时△FD1I∽△ABE，故ID1=，连接AI，
所以五边形AIFHE为所求截面图形.
判断几何体被一个平面所截的截面形状，关键在于弄清这个平面与几何体的面相交成线的形状和位置.
思维升华
跟踪训练2　如图，正三棱柱ABC-A'B'C'的所有棱长都相等，P为线段BB'的中点，Q为侧面BB'C'C内的一点(包括边界，异于点P)，过点A，P，Q作正三棱柱的截面，则截面的形状不可能是
A.五边形 B.四边形
C.等腰三角形 D.直角三角形
√
对于B，当PQ的延长线与线段B'C'(除端点外)相交于点F时，延长PQ交CC'的延长线于点D，
连接AD交A'C'于点E，连接EF，如图1，
此时过点A，P，Q作正三棱柱的截面为四边形APFE
(当Q在线段B'C'(除端点外)上时，截面也为四边形)，
故截面的形状可能是B；
对于A，当PQ的延长线与线段CC'或BC(除B点外)相交
(或点Q在线段CC'或BC(除B点外)上)时，截面为三角形，
结合B选项可知，截面为三角形或四边形，不可能为五边形，故截面的形状不可能是A；
图1
对于C，取CC'的中点为Q，连接PQ，AQ，如图2，又P为线段BB'的中点，
所以AP=AQ，所以△APQ为等腰三角形，故截面的形状可能是C；
对于D，取BC的中点为Q，连接AQ，PQ，如图3，
因为三棱柱ABC-A'B'C'为正三棱柱，所以AQ⊥BC，
又BB'⊥平面ABC，AQ 平面ABC，所以BB'⊥AQ，
又BC∩BB'=B，BC，BB' 平面BB'C'C，所以AQ⊥平面BB'C'C，
又PQ 平面BB'C'C，
所以AQ⊥PQ，所以△APQ为直角三角形，故截面的形状可能是D.
图2
图3
例3　(2024·呼和浩特模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M为棱DC的中点，N为侧面BC1的中心，过点M的平面α垂直于DN，则平面α截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面面积为
A.4() B.2
C.5 D.4
截面图形的周长或面积
题型三
√
如图所示，取BC，CC1的中点E，F，分别连接NE，NF，DE，DF，AD1，D1M，AM，
在正方形ABCD中，因为M，E分别为DC，BC的中点，可得△ADM∽△DCE，
所以∠DAM=∠CDE，∠AMD=∠CED，
因为∠ADM=90°，
所以∠AMD+∠CDE=∠AMD+∠DAM=90°，
所以∠DPM=90°，即AM⊥DE，
又因为E，N分别为BC，BC1的中点，
所以NE∥CC1，
因为CC1⊥平面ABCD，AM 平面ABCD，
所以CC1⊥AM，所以AM⊥NE，
又因为DE∩NE=E且DE，NE 平面DNE，
所以AM⊥平面DNE，
因为DN 平面DNE，所以AM⊥DN，
同理可证D1M⊥DN，
又因为AM∩D1M=M且AM，D1M 平面AD1M，
所以DN⊥平面AD1M，
即平面α截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面为△AD1M，
由正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，
在Rt△ADD1中，可得AD1===4，
在Rt△ADM中，可得AM===2，
在Rt△DD1M中，可得D1M===2，
所以截面的面积为S=×4×=4.
几何体的截面的相关计算，关键在于根据公理作出所求的截面，再运用解三角形的相关知识得以解决.
思维升华
跟踪训练3　如图所示，棱长为3的正四面体形状的木块，点P是△ABC的重心，过点P将木块锯开，并使得截面平行于AD和BC，则截面的面积为
A.1 B.2
C.3 D.4
√
由题意可知，点P是△ABC的重心，过点P作EF∥BC，
分别交AB，AC于点E，F，作FG∥AD交CD于点G，
设平面EFG与BD交于点H，连接HG，EH，
由于BC 平面EFG，EF 平面EFG，故BC∥平面EFG，
因为FG∥AD，AD 平面EFG，FG 平面EFG，所以AD∥平面EFG，
即四边形EFGH即为所求截面，
由于BC∥平面EFG，平面EFG∩平面BCD=HG，BC 平面BCD，
故BC∥HG∥EF，同理FG∥EH，
故四边形EFGH为平行四边形，
设M为BC的中点，连接AM，DM，
则AM⊥BC，DM⊥BC，AM，DM 平面ADM，AM∩DM=M，故BC⊥平面ADM，AD 平面ADM，故BC⊥AD，
而EF∥BC，FG∥AD，故EF⊥FG，
即平行四边形EFGH为矩形，即所求截面是矩形，
因为点P是△ABC的重心，则AP=AM，
故EF=BC=2，AF=AC，
所以FG=AD=1，故矩形EFGH的面积为EF×FG=2，即截面的面积为2.
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B D B ABC ABD
一、单项选择题
1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如果点E是AA1的中点，那么过点D1，B，E截正方体所得的截面图形为
A.三角形 B.矩形
C.正方形 D.菱形
√
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
分别取BB1，CC1的中点G，F，连接A1G，BF，D1F，GF，如图，四边形D1EBF即为过点D1，B，E截正方体所得的截面图形，
由题意可知A1E∥GB且A1E=GB，
所以四边形A1EBG为平行四边形，
所以A1G∥EB，又因为GF∥B1C1且GF=B1C1，
A1D1∥B1C1且A1D1=B1C1，
所以A1D1∥GF且A1D1=GF，
所以四边形A1GFD1为平行四边形，
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
所以D1F∥A1G，
所以D1F∥EB，同理ED1∥BF，
所以四边形D1EBF为平行四边形，
又因为EB=BF，所以平行四边形D1EBF为菱形.
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
2.在三棱锥P-ABC中，AB+2PC=9，E为线段AP上更靠近P的三等分点，过E作平行于AB，PC的平面，则该平面截三棱锥P-ABC所得截面的周长为
A.5 B.6
C.8 D.9
√
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
如图所示，在三棱锥P-ABC中，过E分别作EF∥AB，EH∥PC，
再分别过点H，F作HG∥AB，FG∥PC，可得E，F，G，H四点共面，
因为AB 平面EFGH，EF 平面EFGH，所以AB∥平面EFGH，同理可证，PC∥平面EFGH，所以截面即为平行四边形EFGH，
又由E为线段AP上更靠近P的三等分点，且AB+2PC=9，
所以EF=AB，EH=PC，
所以平行四边形EFGH的周长为2(EF+EH)=(AB+2PC)=6.
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1，点M在线段BC(不包括端点)上，点N在线段CC1上，且CN=，若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形，则线段BM长的取值范围为
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
要想平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形，则要平面AMN与正方形BCC1B1，ADD1A1分别交于MN，AR，
显然与正方形ABB1A1无交线，只需保证与正方形A1B1C1D1无交线即可，
因为平面BCC1B1∥平面ADD1A1，
平面AMNR与两个平面分别交于MN，AR，
由面面平行的性质可得MN∥AR，
因为点N在线段CC1上，且CN=，
由几何关系知，随着BM的增大，AR增大，
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
故当R与D1重合时，BM最大，
因为正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1，所以正方体棱长为1，
连接AD1，D1N，如图所示，
由于MN∥AD1，故△ADD1∽△MCN，
故CM=CN=，故BM最长为，
故BM长的取值范围是.
4.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，与直线A1C垂直的平面α截该正方体所得的截面多边形为M，则M的面积的最大值为
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
连接A1B，因为BC⊥平面ABB1A1，AB1 平面ABB1A1，所以BC⊥AB1，且AB1⊥A1B，A1B∩BC=B，BC，A1B 平面A1BC，
所以AB1⊥平面A1BC，A1C 平面A1BC，
所以AB1⊥A1C，同理B1D1⊥A1C，
且AB1∩B1D1=B1，AB1，B1D1 平面AB1D1，
所以A1C⊥平面AB1D1，
所以平面α为平面AB1D1或与其平行的平面，M只能为三角形或六边形.
当M为三角形时，其面积的最大值为×=，当M为六边形时，此时的
情况如图①所示，
图①
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
设KD=x，则AK=1-x，KL=(1-x)，KE=x，依次可以表示出六边形的边长，如图②所示，六边形可看作由两个等腰梯形构成，
其中LP∥KO∥EN，KO=，两个等腰梯形的高分别为(1-x)，x，
则S六边形LKENOP=x+)·(1-x)+(1-x)+]·x
=(-2x2+2x+1)=-，
当且仅当x=时，六边形面积最大，
即截面是正六边形时截面面积最大，最大值为.
图②
二、多项选择题
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，则过A，Q，B1三点的截面图形可能是
A.等边三角形 B.矩形
C.等腰梯形 D.正方形
√
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)；
当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)；
当点Q不与点D，D1重合时，若Q，R满足D1Q=D1R，则截面图形为等腰梯形AQRB1，如图(3)，不可能为正方形.
6.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则
A.直线A1G与平面AEF平行
B.=
C.过A1C的平面截此正方体所得的截面可能不是四边形
D.过A1C的平面截此正方体所得的截面面积的取值范围是
√
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
对于A，取B1C1的中点H，分别连接GH，A1H，如图1，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得A1H∥AE，
因为A1H 平面AEF，且AE 平面AEF，
所以A1H∥平面AEF，
又由E，F，G，H分别为正方形BCC1B1的边BC，CC1，
BB1，B1C1的中点，可得GH∥EF，
因为GH 平面AEF，且EF 平面AEF，所以GH∥平面AEF，
又因为A1H∩GH=H，且A1H，GH 平面A1GH，所以平面A1GH∥平面AEF，
因为A1G 平面A1GH，所以A1G∥平面AEF，所以A正确；
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
对于B，由E，F，G分别为正方形BCC1B1的边BC，CC1，BB1的中点，
可得S△EFG==，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得A1B1⊥平面BCC1B1，
即A1到平面BCC1B1的距离为A1B1=1，
又由==S△EFG·A1B1=××1=，
所以B正确；
对于C，连接A1D，B1C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得A1B1∥CD，且B1C∥A1D，所以四边形A1B1CD为平行四边形，
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
其中A1C 平面A1B1CD，所以过A1C的平面截此正方体
所得的截面可能是四边形，
所以C错误；
对于D，如图2所示，当截面为矩形ACC1A1时，
此时点C1到A1C的距离最远，
所以截面的面积最大，最大值为1×=；
分别取C1D1，AB的中点I，J，当截面为菱形A1JCI时，
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
根据正方体的对称性，可得点I到A1C的距离最近，截面的面积最小，
因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，可得A1C=，IJ=，
所以菱形的面积为S=××=，
所以过A1C的平面截此正方体所得的截面面积的取值
范围是，所以D正确.
三、填空题
7.如图，四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于2，E为线段SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
3+2
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
由题意知，四边形ABCD为菱形，
∴CD∥AB，
∵CD 平面SAB，AB 平面SAB，
∴CD∥平面SAB，
∵CD 平面CDE，平面CDE∩平面SAB=EF，∴EF∥CD，则EF∥AB，
∵E为SA的中点，则F为SB的中点，
∴EF=AB=1，
∵△SAD是边长为2的等边三角形，则DE⊥SA，
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
且DE=2sin 60°=，同理可得CF=，
因此四边形DEFC的周长为3+2.
8.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点K为棱A1B1的中点，过
A，C，K三点作正方体的截面，则截面的面积为　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
如图1，取B1C1的中点M，连接KM，MC，
易证四边形KMCA为等腰梯形，上底KM=，下底AC=，腰长AK=MC=，过点K作KH⊥AC，
如图2，则其高为KH=，所以其面积为××=.(共59张PPT)
第三章
§3.5　指对同构问题
数学
大
一
轮
复
习
把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构、形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法.同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题.
重点解读
例1　若对0A.1 B.2 C.e D.2e
√
双变量地位同等同构
题型一
由ln<2x2－2x1，0得x1x2(ln x2－ln x1)<2x2－2x1，
则ln x2－ln x1<
即ln x2－ln x1<
有ln x2＋令f(x)＝ln x＋(x>0)，则f(x2)所以f'(x)＝
令f'(x)>0 x>2，令f'(x)<0 0所以函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)，
所以当0所以0含有地位同等的两个变量x1，x2或x，y或a，b的等式或不等式，如果进行整理(即同构)后，等式或不等式两边具有结构的一致性，往往暗示应构造函数，应用函数单调性解决.
思维升华
跟踪训练1　若0A.x1ln x1x2ln x2
C.x2ln x1x1ln x2
√
令f(x)＝xln x，则f'(x)＝1＋ln x，
当0令g(x)＝则g'(x)＝
当00，则g(x)在(0，1)上单调递增，
因为0所以g(x1)指对同构的常用形式
(1)积型：aea≤bln b，一般有三种同构方式：
①同左构造形式：aea≤ln beln b，构造函数f(x)＝xex；
②同右构造形式：ealn ea≤bln b，构造函数f(x)＝xln x；
③取对构造形式：a＋ln a≤ln b＋ln(ln b)(a>0，b>1)，构造函数f(x)＝x＋ln x.
指对同构法的理解
题型二
(2)商型：≤一般有三种同构方式：
①同左构造形式：≤构造函数f(x)＝；
②同右构造形式：≤构造函数f(x)＝；
③取对构造形式：a－ln a≤ln b－ln(ln b)(a>0，b>1)，构造函数f(x)＝x－ln x.
(3)和、差型：ea±a>b±ln b，一般有两种同构方式：
①同左构造形式：ea±a>eln b±ln b，构造函数f(x)＝ex±x；
②同右构造形式：ea±ln ea>b±ln b，构造函数f(x)＝x±ln x.
例2　(1)(多选)若ea＋a>b＋ln b(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是
A.a>ln b B.aC.ea>b D.ea√
√
方法一　由ea＋a>b＋ln b，可得ea＋a>eln b＋ln b，
令f(x)＝ex＋x，则f(a)>f(ln b)，
因为f(x)在R上是增函数，
所以a>ln b，即ea>b.
方法二　由ea＋a>b＋ln b，可得ea＋ln ea>b＋ln b，
令g(x)＝x＋ln x，则g(ea)>g(b)，
因为g(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以ea>b，即a>ln b.
(2)(2025·宜春模拟)在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于a的方程aea－2＝e4和关于b的方程b(ln b－2)＝e3λ－1(a>0，b>e2)可化为同构方程，则ab的值为　　　.
e8
对aea－2＝e4两边取自然对数，
得ln a＋a＝6， ①
对b(ln b－2)＝e3λ－1两边取自然对数，
得ln b＋ln(ln b－2)＝3λ－1，
即ln b－2＋ln(ln b－2)＝3λ－3， ②
因为方程①②为两个同构方程，
所以3λ－3＝6，解得λ＝3，
设F(x)＝ln x＋x且x>0，则F'(x)＝＋1>0，
所以F(x)在(0，＋∞)上单调递增，故F(x)＝6的解只有一个，
所以a＝ln b－2，
则ab＝b(ln b－2)＝e3×3－1＝e8.
利用恒等式x＝ln ex和x＝eln x，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由构造的函数的单调性进行研究.
思维升华
跟踪训练2　(多选)对不等式ax＋eax>ln(bx)＋bx进行指对同构时，可以构造的函数是
A.f(x)＝ln x＋x B.f(x)＝xln x
C.f(x)＝x＋ex D.f(x)＝
√
√
由恒等式x＝ln ex可得ax＝ln eax，
所以ax＋eax>ln(bx)＋bx可变形为
ln eax＋eax>ln(bx)＋bx，
构造函数f(x)＝ln x＋x，
可得f(eax)>f(bx).
同理，由恒等式x＝eln x可得bx＝eln(bx)，
所以ax＋eax>ln(bx)＋bx可变形为ax＋eax>ln(bx)＋eln(bx)，
构造函数f(x)＝x＋ex，可得f(ax)>f(ln(bx)).
例3　(1)设实数k>0，对于任意的x>1，不等式kekx≥ln x恒成立，则k的最
小值为　　　.
同构法的应用
题型三
由kekx≥ln x得kxekx≥xln x，
即kxekx≥eln x·ln x，
令f(x)＝xex，则f(kx)≥f(ln x).
因为f'(x)＝(x＋1)ex，
所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，
因为kx>0，ln x>0，
所以kx≥ln x，即k≥
令h(x)＝(x>1)，则h'(x)＝
当x∈(1，e)时，h'(x)>0，h(x)单调递增；
当x∈(e，＋∞)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，
所以h(x)max＝h(e)＝即k≥
所以k的最小值为.
(2)(2025·衡阳模拟)已知m是方程xeex－2＋(e－1)ln x＝2的一个根，则＋(e－1)ln m等于
A.1 B.2 C.3 D.5
√
xeex－2＋(e－1)ln x＝2 eeln x＋x－2＋eln x＋x－2＝x＋ln x＝eln x＋ln x，
设f(t)＝et＋t，则f'(t)＝et＋1>0恒成立，故f(t)单调递增，
由f(eln x＋x－2)＝f(ln x)得eln x＋x－2＝ln x，即(e－1)ln x＝2－x.
因为m是方程xeex－2＋(e－1)ln x＝2的一个根，
所以(e－1)ln m＝2－m，
所以m＝
所以＋(e－1)ln m＝m＋(e－1)ln m＝m＋2－m＝2.
常见的同构函数有：①f(x)＝；②f(x)＝xln x；③f(x)＝xex；④f(x)＝.
其中①④可以借助②③可以借助xex＝(ln ex)ex＝(ln t)t＝tln t进行指对互化.
思维升华
跟踪训练3　(1)(2024·吕梁模拟)若关于x的不等式ea＋x·ln xA.(－∞，0] B.[－1，0]
C.[－1，＋∞) D.[0，＋∞)
√
由ea＋x·ln x可得<在(0，1)上恒成立，
即<在(0，1)上恒成立，
当a≥0时<0>0，
不等式<在(0，1)上显然成立；
当a<0时，令f(x)＝
则f(ln x)f'(x)＝当x∈(－∞，1)时，f'(x)>0，
所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，
又当x∈(0，1)时，ln x∈(－∞，0)，a＋x∈(－∞，1)，
所以只需ln x即a>ln x－x在(0，1)上恒成立.
令g(x)＝ln x－x，0则g'(x)＝>0，
即g(x)在(0，1)上单调递增，
其中g(1)＝ln 1－1＝－1，故a≥g(1)＝－1，
所以－1≤a<0.
综上，a≥－1.
(2)已知e为自然对数的底数，a，b均为大于1的实数，若aea＋1＋b<
bln b，则
A.bea＋1
C.abe
√
由aea＋1＋b设f(x)＝xln x，可得f(ea)因为a>1，可得ea>e，
又因为b(ln b－1)>0，b>1，所以ln b>1，即b>e，所以>1，
易知当x>1时，f'(x)＝ln x＋1>0，可得函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以ea<即b>ea＋1.
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B B BCD BCD [-e，0) 4
答案
1
2
3
4
5
6
7
(1)因为f(x)=aex-x，定义域为R，
所以f'(x)=aex-1，
当a≤0时，由于ex>0，则aex≤0，
故f'(x)=aex-1<0恒成立，
所以f(x)在R上单调递减；
当a>0时，令f'(x)=aex-1=0，
解得x=-ln a，
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
当x<-ln a时，f'(x)<0，则f(x)在(-∞，-ln a)上单调递减；
当x>-ln a时，f'(x)>0，则f(x)在(-ln a，+∞)上单调递增，
综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；
当a>0时，f(x)在(-∞，-ln a)上单调递减，在(-ln a，+∞)上单调递增.
(2)因为f(x)=aex-x，
所以f(x)+x+ln a≥ln x等价于eln a+x+ln a+x≥ln x+x=eln x+ln x，
令g(x)=ex+x，上述不等式等价于g(ln a+x)≥g(ln x)，显然g(x)为增函数，
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
所以原不等式等价于ln a+x≥ln x，
即ln a≥ln x-x，
令h(x)=ln x-x，
则h'(x)=-1=
当x∈(0，1)时，h'(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(1，+∞)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
所以h(x)max=h(1)=-1，
ln a≥-1=ln 即a≥
所以a的取值范围是.
7.
一、单项选择题
1.设x>0，y>0，若ex＋ln y>x＋y，则下列选项正确的是
A.x>y B.x>ln y
C.x√
1
2
3
4
5
6
7
答案
1
2
3
4
5
6
7
答案
不等式ex＋ln y>x＋y等价于
ex－x>y－ln y，
令f(x)＝ex－x，
则f(ln y)＝eln y－ln y＝y－ln y，
∴不等式ex－x>y－ln y等价于f(x)>f(ln y)，
∵f'(x)＝ex－1，
∴当x∈(0，＋∞)时，f'(x)>0，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
∴若y∈(1，＋∞)，则ln y∈(0，＋∞)，
1
2
3
4
5
6
7
答案
由f(x)>f(ln y)有x>ln y；
若y∈(0，1]，则ln y≤0，
由x>0，有x>ln y.
综上所述，x>ln y.
1
2
3
4
5
6
7
答案
2.若关于x的不等式ex＋x＋ln ≥mx＋ln m恒成立，则实数m的最大值为
A.2 B.e C.3 D.e2
√
由题意得，m>0，x>0，
不等式等价于ex＋x≥mx＋ln(mx)恒成立，
即ex＋ln ex≥mx＋ln(mx)恒成立，
令f(x)＝x＋ln x，
则不等式转化为f(ex)≥f(mx)，
因为f'(x)＝1＋>0，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以ex≥mx，则≥m.
1
2
3
4
5
6
7
答案
1
2
3
4
5
6
7
答案
令g(x)＝x>0，
则g'(x)＝
则当01时，g'(x)>0，g(x)单调递增，
所以当x＝1时，g(x)有最小值，
即g(x)min＝g(1)＝e，则m≤e，
则m的最大值为e.
二、多项选择题
3.(2025·邯郸模拟)已知a>0，b∈R，e是自然对数的底数，若b＋eb＝a＋
ln a，则a－b的值可以是
A.－1 B.1 C.2 D.3
√
1
2
3
4
5
6
7
答案
√
√
1
2
3
4
5
6
7
设函数f(x)＝x＋ex，
则f(x)在R上是增函数，
所以b＋eb－(a＋ln a)＝b＋eb－(ln a＋eln a)＝f(b)－f(ln a)＝0，
所以b＝ln a，即a＝eb，所以a－b＝eb－b，
令g(x)＝ex－x，则g'(x)＝ex－1，
当x<0时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当x>0时，g'(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x)≥g(0)＝1，从而a－b≥1，结合选项，选项BCD符合题意.
答案
4.(2024·盐城模拟)若不等式ax－exln a<0在x∈[2，＋∞)上恒成立，则实数a的值可以为
A.3e B.2e C.e D.2
√
1
2
3
4
5
6
7
答案
√
√
1
2
3
4
5
6
7
答案
由题意得a>0，
由ax－exln a<0得<
设f(x)＝则f'(x)＝
当x<1时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
又f(0)＝0，f(1)＝当x>0时，f(x)＝>0恒成立，
所以f(x)＝的图象如图所示，
1
2
3
4
5
6
7
答案
<即f(x)对于A，当a＝3e时，ln a＝ln 3＋1>2，根据图象可得
f(x)对于B，当a＝2e时，ln a＝ln 2＋1∈(1，2)，根据图象可得f(x)对于C，当a＝e时，ln a＝1，根据图象可得f(x)1
2
3
4
5
6
7
答案
对于D，当a＝2时，ln a＝ln 2，
又f(ln 2)＝ln 2，f(2)＝
因为3×ln 2－3×＝ln 2
且2>e，e2>6，即ln 2>1<1，
所以3×ln 2－3×＝ln 2>0，
即f(ln 2)>f(2)，
根据图象可得f(x)三、填空题
5.(2025·长春模拟)不等式xex＋≥0(a<0)对 x∈(1，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
答案
[－e，0)
1
2
3
4
5
6
7
由xex＋≥0可得
xex≥－＝－aln x·e－aln x，
令f(x)＝xex(x>0)，则f'(x)＝(x＋1)ex>0，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为a<0，x∈(1，＋∞)，则－aln x>0，
则f(x)≥f(－aln x)，可得x≥－aln x，
即a≥－对 x∈(1，＋∞)恒成立，
答案
1
2
3
4
5
6
7
令g(x)＝x>1，
则g'(x)＝
由g'(x)＝0可得x＝e，故当1e时，g'(x)>0，
所以g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
所以g(x)min＝g(e)＝e，
得a≥＝－e，
又a<0，所以－e≤a<0.
答案
6.(2025·渭南模拟)已知实数x1，x2满足ln x2＝则x1＝　　.
1
2
3
4
5
6
7
答案
4
1
2
3
4
5
6
7
由
可得x1＝4，故x1>0，
由ln x2＝可得ln ＝4，
可得·ln ＝4，故ln >0，
令f(x)＝xex，则f(x1)＝f(ln )，
f'(x)＝(x＋1)ex，
当x>0时，f'(x)>0，
答案
1
2
3
4
5
6
7
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增.
由f(x1)＝f(ln )得x1＝ln
所以
因为x1＝4，所以x1＝4.
答案
四、解答题
7.(2024·咸阳模拟)已知函数f(x)＝aex－x.
(1)讨论f(x)的单调性；
1
2
3
4
5
6
7
答案
1
2
3
4
5
6
7
答案
因为f(x)＝aex－x，定义域为R，所以f'(x)＝aex－1，
当a≤0时，由于ex>0，则aex≤0，故f'(x)＝aex－1<0恒成立，
所以f(x)在R上单调递减；
当a>0时，令f'(x)＝aex－1＝0，解得x＝－ln a，
当x<－ln a时，f'(x)<0，则f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减；
当x>－ln a时，f'(x)>0，则f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增，
综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；
当a>0时，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增.
(2)若f(x)＋x＋ln a≥ln x，求实数a的取值范围.
1
2
3
4
5
6
7
答案
1
2
3
4
5
6
7
答案
因为f(x)＝aex－x，
所以f(x)＋x＋ln a≥ln x等价于eln a＋x＋ln a＋x≥ln x＋x＝eln x＋ln x，
令g(x)＝ex＋x，上述不等式等价于g(ln a＋x)≥g(ln x)，显然g(x)为增函数，
所以原不等式等价于ln a＋x≥ln x，
即ln a≥ln x－x，
令h(x)＝ln x－x，则h'(x)＝－1＝
当x∈(0，1)时，h'(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，
1
2
3
4
5
6
7
答案
所以h(x)max＝h(1)＝－1，
ln a≥－1＝ln 即a≥
所以a的取值范围是.(共34张PPT)
第三章
必刷小题5　导数及其应用
数学
大
一
轮
复
习
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B D A A C A A
题号 9 10 11 12　 13 14
答案 BC BD ABD
一、单项选择题
1.下列求导运算结果正确的是
A.'＝1＋ B.(xln x)'＝ln x＋1
C.(sin π)'＝cos π D.'＝
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
对于A'＝1－故A错误；
对于B，(xln x)'＝x'ln x＋(ln x)'x＝ln x＋·x＝ln x＋1，故B正确；
对于C，(sin π)'＝0，故C错误；
对于D'＝故D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
2.函数y＝x2－ln x的单调递减区间为
A.(0，e) B.(0，1)
C.[1，＋∞) D.(0，＋∞)
√
由题意知，x>0，y'＝x－
令y'<0，得0所以其单调递减区间为(0，1).
3.已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则该函数的大致图象可能是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
由题意知f'(x)与x轴有三个交点，不妨设为x1，x2，x3，且x1当x∈(－∞，x1)时，f'(x)<0，
当x∈(x1，0)时，f'(x)>0，
当x∈(0，x3)时，f'(x)<0，
当x∈(x3，＋∞)时，f'(x)>0，
所以f(x)在区间(－∞，x1)，(0，x3)上单调递减，故A，C错误；
在区间(x1，0)，(x3，＋∞)上单调递增，故B错误，D正确.
答案
4.若函数f(x)＝x－－aln x存在单调递减区间，则实数a的取值范围为
A.(2＋∞) B.(－∞，－2]
C.[－22] D.(－∞，2)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
因为f(x)＝x－－aln x存在单调递减区间，
所以f'(x)＝1＋<0在(0，＋∞)上有解，
即a>＋x在(0，＋∞)上有解，
＋x≥2＝2
当且仅当x＝时等号成立，
所以＝2
故a>2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
5.某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是0.1πr4分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径.已知每售出1 mL的液体材料，制造商可获利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为8 cm，则当每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
依题意知，每瓶液体材料的利润f(r)＝0.3×πr3－0.1πr4＝0.1π(4r3－r4)，0则f'(r)＝0.4πr2(3－r)，
令f'(r)＝0，得r＝3，
当r∈(0，3)时，f'(r)>0，当r∈(3，8]时，f'(r)<0，
因此函数f(r)在(0，3)上单调递增，在(3，8]上单调递减，即当r＝3时，f(r)取最大值，
所以当每瓶液体材料的利润最大时，r＝3.
答案
6.若函数f(x)＝(x－3)ex＋x2－2x＋1在区间(2m－2，3＋m)上存在最值，则m的取值范围是
A.(－∞，－1) B.(2，＋∞)
C.(－1，2) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
f'(x)＝(x－2)ex＋x－2＝(x－2)(ex＋1)，
则当x>2时，f'(x)>0，当x<2时，f'(x)<0，
即f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
即f(x)在x＝2处取得最值，
则有2m－2<2<3＋m，
解得－1答案
7.已知f(x)是定义域为R的偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，若a＝
f(ln 1.04)，b＝f(1.04)，c＝f(e0.04)，则
A.aC.c1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
答案
因为f(x)是定义域为R的偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
ln 1.04令h(x)＝ex－(x＋1)，
当x>0时，h'(x)＝ex－1>0，
则h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以h(0.04)＝e0.04－(0.04＋1)＝e0.04－1.04>h(0)＝0，
即e0.04>1.04，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
所以e0.04>1.04>ln 1.04.
而f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故有f(ln 1.04)1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
8.已知a>0，b>1，且e2a＋2ln b＋1＝b2＋2a，则一定有
A.b>ea B.ln bC.a＋ln b>1 D.a＋ln b＝1
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
因为e2a＋2ln b＋1＝b2＋2a，
所以e2a－2a＝b2－2ln b－1＝－ln b2－1，
所以－ln b2－1>e2a－2a－1，
令f(x)＝ex－x－1，
则f'(x)＝ex－1，f(ln b2)>f(2a)，
当x∈(0，＋∞)时，f'(x)>0，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
因为a>0，b>1，所以2a>0，ln b2>0，
则ln b2>2a，所以ln b>a，即b>ea，故A正确，B错误；
因为ln b>a，所以a＋ln b>2a，
因为a>0，所以a＋ln b与1的大小关系不确定，故C，D错误.
答案
二、多项选择题
9.下列说法中正确的有
A.(sin 2x)'＝cos 2x
B.已知函数f(x)在R上可导，且f'(1)＝1，则＝1
C.一质点A沿直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为
s(t)＝t2＋1，则该质点在t＝2 s时的瞬时速度是4 m/s
D.若h(x)＝f(x)·g(x)，则h'(x)＝f'(x)·g'(x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
对于A选项，(sin 2x)'＝2cos 2x，故A错误；
对于B选项，由导函数定义可知＝f'(1)＝1，故B正确；
对于C选项，s'(t)＝2t，故s'(2)＝4，故该质点在t＝2 s时的瞬时速度是 4 m/s，故C正确；
对于D选项，若h(x)＝f(x)·g(x)，则h'(x)＝f'(x)·g(x)＋f(x)·g'(x)，故D错误.
10.已知f'(x)为函数f(x)的导函数，当x>0时，有f(x)－xf'(x)>0恒成立，则下列不等式一定成立的是
A.f >2f B.f <2f
C.f >2f(1) D.2f>f(1)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
构造函数g(x)＝其中x>0，则g'(x)＝<0，
所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
对于A，B选项，g即2f <4f 可得f <2f A错，B对；
对于C，D选项，g>g(1)，
即2f >f(1)，D对，C无法判断.
答案
11.已知函数f(x)＝－x3＋3x－1，则
A.f(x)在x＝－1处取得极小值
B.f(x)有3个零点
C.f(x)在区间(－2，2)上的值域为(－3，1)
D.函数f(x)图象的对称中心为点(0，－1)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
由f'(x)＝－3x2＋3，
令f'(x)>0，解得－11，
所以函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1，1)上单调递增，
所以f(x)在x＝－1处取得极小值，故A正确；
又f(－2)＝1，f(－1)＝－3，f(1)＝1，f(2)＝－3，
所以f(－2)·f(－1)<0，所以函数f(x)在(－∞，－1)上有且仅有一个零点，
同理函数f(x)在(－1，1)上有且仅有一个零点，在(1，＋∞)上有且仅有一个零点，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
即函数f(x)共有3个零点，故B正确；
由前面得f(x)在(－2，2)上的值域为[－3，1]，故C错误；
设g(x)＝－x3＋3x，x∈R，g(－x)＝－(－x)3＋3(－x)＝x3－3x＝－g(x)，所以函数g(x)是奇函数，图象关于点(0，0)对称，
又f(x)＝－x3＋3x－1的图象是由g(x)的图象向下平移1个单位长度得到的，所以函数f(x)图象的对称中心为点(0，－1)，故D正确.
三、填空题
12.函数f(x)＝x－cos x，x∈的值域是　　　　　 　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
因为f(x)＝x－cos x，x∈所以f'(x)＝＋sin x，
当－当－0，f(x)单调递增，
所以f(x)min＝f ＝－又f ＝－从而f(x)max＝f
所以函数f(x)＝x－cos x，x∈的值域是.
13.在平面直角坐标系中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标为　　　　，切线
方程为　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
(e，1)
y＝
设点A的坐标为(x0，y0)，则y0＝ln x0.
又y'＝当x＝x0时，y'＝
曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－ln x0＝－1，
代入点(－e，－1)，得－1－ln x0＝－1，
即x0ln x0＝e，
记H(x)＝xln x，当x∈(0，1)时，H(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，H(x)>0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
且H'(x)＝ln x＋1，当x>1时，H'(x)>0，H(x)单调递增，
又H(e)＝e，故x0ln x0＝e存在唯一的实数根x0＝e，此时y0＝1，
故点A的坐标为(e，1)，切线方程为y＝.
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14.定义：如果函数f(x)在区间[a，b]上存在x1，x2(a＝x3－x2＋a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是　　 　.
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答案
由于f(x)＝x3－x2＋a，
则f'(x)＝x2－2x，
因为f(x)在[0，a]上存在x1，x2(0满足f'(x1)＝f'(x2)＝
即x2－2x＝a2－a，
则关于x的一元二次方程x2－2x－a2＋a＝0在(0，a)上有两个不同的实根，
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答案
令g(x)＝x2－2x－a2＋a，
则解得所以实数a的取值范围是.(共91张PPT)
第三章
§3.2　导数与函数的单调性
数学
大
一
轮
复
习
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f'(x)>0 f(x)在区间(a，b)上_________
f'(x)<0 f(x)在区间(a，b)上_________
f'(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是_________
单调递增
单调递减
常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数f(x)的 ；
第2步，求出导数f'(x)的 ；
第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
定义域
零点
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.
(　　)
(2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f'(x)>0. (　　)
(3)在(a，b)内f'(x)≤0且f'(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.
(　　)
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.(　　)
×
√
√
√
2.函数y＝f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则下列判断中正确的是
A.f(x)在(－3，1)上单调递增
B.f(x)在(1，3)上单调递减
C.f(x)在(2，4)上单调递减
D.f(x)在(3，＋∞)上单调递增
√
当x∈(－3，0)时，f'(x)<0，故f(x)在(－3，0)上单调递减；当x∈(0，2)时，f'(x)>0，故f(x)在(0，2)上单调递增；当x∈(2，4)时，f'(x)<0，故f(x)在(2，4)上单调递减；当x∈(4，＋∞)时，f'(x)>0，故f(x)在(4，＋∞)上单调递增，显然C正确，其他选项错误.
3.函数f(x)＝xln x的单调递减区间为
A. B.
C.(1，＋∞) D.(0，1)
√
函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，由已知f'(x)＝ln x＋1，由f'(x)＝ln x＋1<0得04.(2025·南通模拟)已知函数f(x)＝x2－ax＋ln x(a∈R)的单调递减区间为则a＝　　　.
由题意可得，f'(x)＝2x－a＋<0的解集为则a＝3.
3
谨防四个易误点
(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间时，要坚持“定义域优先”原则.
(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式.
(3)函数f(x)在区间(a，b)内单调递增(或递减)，可得f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f'(x)>0(或f'(x)<0)恒成立，“＝”不能少.必要时还需对“＝”进行检验.
(4)若函数f(x)在(a，b)内存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)内存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)<0有解.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)若函数f(x)＝x2－3x－4ln x，则函数f(x)的单调递减区间为
A.(－∞，－1)，(4，＋∞)
B.(－1，4)
C.(0，4)
D.(4，＋∞)
√
不含参函数的单调性
题型一
因为f(x)＝x2－3x－4ln x，定义域为(0，＋∞)，
所以f'(x)＝x－3－
令f'(x)<0，解得0则函数f(x)的单调递减区间为(0，4).
(2)若函数f(x)＝则函数f(x)的单调递增区间为　　　　.
(0，1)
f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝
令φ(x)＝－ln x－1(x>0)，φ'(x)＝－<0，
φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，
∴当x∈(0，1)时，φ(x)>0，即f'(x)>0，
当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，即f'(x)<0，
∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.
∴函数f(x)的单调递增区间为(0，1).
确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.
思维升华
跟踪训练1　(多选)函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间可以为
A.(－∞，－1) B.(－1，0)
C.(0，1) D.(1，＋∞)
√
由题意得y'＝4x3－4x＝4x(x2－1)＝4x(x＋1)(x－1)，
令y'<0，解得x<－1或0结合选项可知函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间可以为(－∞,－1),(0,1).
√
例2　已知函数f(x)＝e2x＋(a－2)ex－ax.
讨论f(x)的单调区间.
含参数的函数的单调性
题型二
由题意可知f(x)的定义域为R，且f'(x)＝2e2x＋(a－2)ex－a＝(2ex＋a)(ex－1)，
①若a≥0，则2ex＋a>0，
令f'(x)>0，解得x>0；
令f'(x)<0，解得x<0，
可知f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；
②若a<0，令f'(x)＝0，
解得x＝ln或x＝0，
(ⅰ)当ln<0，即－2令f'(x)>0，解得x>0或x令f'(x)<0，解得ln可知f(x)在上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；
(ⅱ)当ln＝0，即a＝－2时，
则f'(x)＝2(ex－1)2≥0，可知f(x)在R上单调递增；
(ⅲ)当ln>0，即a<－2时，
令f'(x)>0，解得x<0或x>ln；
令f'(x)<0，解得0可知f(x)在上单调递减，在(－∞，0)上单调递增.
综上所述，若a≥0，f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)；
若－2若a＝－2，f(x)的单调递增区间为R，无单调递减区间；
若a<－2，f(x)的单调递减区间为
单调递增区间为(－∞，0).
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.
思维升华
跟踪训练2　(2024·扬州质检)已知函数f(x)＝ax2－(a＋4)x＋2ln x，其中a>0.讨论f(x)的单调性.
函数f(x)＝ax2－(a＋4)x＋2ln x的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝2ax－(a＋4)＋＝
因为a>0，由f'(x)＝0，可得x1＝x2＝
①若>则0当即函数f(x)在上单调递减，
当0时，f'(x)>0，
即函数f(x)在和上单调递增；
②若a＝4，对任意的x>0，f'(x)＝≥0，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
③若<则a>4，
当即函数f(x)在上单调递减，
当0时，f'(x)>0，
即函数f(x)在和上单调递增.
综上所述，当0当a＝4时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>4时，函数f(x)在和上单调递增，在上单调递减.
例3　(1)已知函数f(x)＝ln x－设a＝f(log32)，b＝f(log0.20.5)，c＝f(ln 4)，则a，b，c的大小关系为
A.c>a>b B.a>c>b
C.b>c>a D.c>b>a
√
命题点1　比较大小或解不等式
函数单调性的应用
题型三
因为f(x)＝ln x－则x∈(0，＋∞)，
所以f'(x)＝＝
又当x∈(0，＋∞)时，ex>1≥－所以f'(x)>0恒成立，
所以f(x)＝ln x－在(0，＋∞)上单调递增.
又0ln 4>1，
所以ln 4>log32>log0.20.5，则c>a>b.
(2)(2025·成都模拟)已知函数f(x)＝3x－sin x，若f(a)＋f(a2－2)>0，则实数a的取值范围为　　　　　 .
(－∞，－2)∪(1，＋∞)
函数f(x)＝3x－sin x的定义域为R，且f(－x)＝－3x＋sin x＝－f(x)，
所以f(x)＝3x－sin x为奇函数，
又f'(x)＝3－cos x>0，
所以f(x)＝3x－sin x在R上单调递增，
不等式f(a)＋f(a2－2)>0，
即f(a2－2)>－f(a)＝f(－a)，
等价于a2－2>－a，解得a>1或a<－2，
所以实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞).
在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果.
常见组合函数的图象
微拓展
典例　(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是
A.f(x)＝ex B.f(x)＝x2
C.f(x)＝ln x D.f(x)＝sin x
√
√
√
依题意，函数g(x)＝xf(x)为定义域上的增函数.
对于A，g(x)＝xex，g'(x)＝(x＋1)ex，
当x∈(－∞，－1)时，g'(x)<0，
∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”；
对于B，g(x)＝x3在R上为增函数，故B中函数为“F函数”；
对于C，g(x)＝xln x，x>0，g'(x)＝1＋ln x，
当x∈时，g'(x)<0，
∴g(x)在上单调递减，
故C中函数不是“F函数”；
对于D，g(x)＝xsin x，g'(x)＝sin x＋xcos x，
当x∈时，g'(x)<0，
∴g(x)在上单调递减，
故D中函数不是“F函数”.
命题点2　根据函数单调性求参数
例4　已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0).
(1)若f(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围；
因为f(x)在[1，4]上单调递减，
所以当x∈[1，4]时，f'(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥恒成立.
设G(x)＝x∈[1，4]，
所以a≥G(x)max，
而G(x)＝－1，
因为x∈[1，4]，所以∈
所以G(x)max＝－(此时x＝4)，
所以a≥－
又因为a≠0，
所以实数a的取值范围是∪(0，＋∞).
(2)若f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围.
因为f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，
则f'(x)<0在[1，4]上有解，
所以当x∈[1，4]时，a>有解，
又当x∈[1，4]时＝－1(此时x＝1)，
所以a>－1，又因为a≠0，
所以实数a的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞).
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f'(x)≥0(或f'(x) ≤0)恒成立.
(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f'(x)>0 (或f'(x)<0)在该区间上存在解集.
思维升华
跟踪训练3　(1)(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为
A.e2 B.e C.e－1 D.e－2
√
依题可知，f'(x)＝aex－≥0在(1，2)上恒成立，显然a>0，
所以xex≥在(1，2)上恒成立，
设g(x)＝xex，x∈(1，2)，
所以g'(x)＝(x＋1)ex>0，
所以g(x)在(1，2)上单调递增，
g(x)>g(1)＝e，故e≥
即a≥＝e－1，即a的最小值为e－1.
(2)(2024·石家庄模拟)已知a＝b＝c＝则a，b，c的大小关
系为
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.b>c>a
√
构造函数f(x)＝x∈(0，＋∞)，
则f'(x)＝
令f'(x)>0，得0令f'(x)<0，得x>e，
因此f(x)＝在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
而a＝＝f(4)，b＝＝f(e)，c＝＝f(3)，
因为4>3>e，所以f(e)>f(3)>f(4)，即b>c>a.
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课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C A D B B CD AC
题号 9 10 13 　14 15 16
答案 (1，+∞) m<-2或m>2 　A 　C C B
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(1)因为f(x)=+ax-(ax+1)ln x，
所以f'(x)=x+a-aln x-=x--aln x，
依题意可得即
解得
11.
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(2)由(1)可得f(x)=+2x-(2x+1)ln x，则f'(x)=x--2ln x，
令g(x)=f'(x)=x--2ln x，x∈(1，+∞)，则g'(x)=1+-=>0，
所以g(x)在(1，+∞)上单调递增，
又g(1)=0，
所以当x∈(1，+∞)时，g(x)>0，
即f'(x)>0，
所以f(x)在(1，+∞)上单调递增.
11.
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(1)函数f(x)=ln(x+1)+的定义域为(-1，+∞)，求导得f'(x)=+
当k=-3时，f'(x)=-==
当-11+时，
f'(x)>0，当1-所以函数f(x)的单调递增区间是(-1，1-)，(1++∞)，单调递减区间是(1-1+).
12.
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(2)由(1)知，f'(x)=+
由f(x)在其定义域上单调递增，得f'(x)≥0在(-1，+∞)上恒成立，
则+≥0，即2k≥-
当x>-1时，-=-≤-4，当且仅当x=0时取等号，
因此2k≥-4，解得k≥-2，
12.
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当k=-2时，f'(x)=≥0，
f(x)在(-1，+∞)上单调递增，
所以k的取值范围是[-2，+∞).
12.
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一、单项选择题
1.设f'(x)＝x2－2x是函数f(x)的导函数，则y＝f(x)的图象可能是
√
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知识过关
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答案
令f'(x)>0，得x<0或x>2，
令f'(x)<0，得0所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，在(0，2)上单调递减，
由图知，只有C选项的图象符合.
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答案
2.函数f(x)＝x－2ln(2x)的单调递减区间为
A.(1，＋∞) B.(0，1)
C.(0，2) D.(2，＋∞)
√
f(x)＝x－2ln(2x)的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝1－2··2＝1－
由f'(x)<0，可得x∈(0，2)，
故f(x)＝x－2ln(2x)的单调递减区间为(0，2).
15
16
3.已知函数f(x)＝ln x－ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围为
A.a≥1 B.a>1
C.a≥ D.a>
√
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因为f(x)＝ln x－ax，
所以f'(x)＝－a，
因为f(x)在区间[1，3]上单调递减，
所以f'(x)≤0，即－a≤0，则a≥在[1，3]上恒成立，
因为y＝在[1，3]上单调递减，所以ymax＝1，故a≥1.
答案
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4.若f(x)＝－x3＋x2＋2ax在(1，＋∞)上存在单调递增区间，则a的取值范围是
A.(－∞，0] B.(－∞，0)
C.[0，＋∞) D.(0，＋∞)
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f(x)＝－x3＋x2＋2ax在(1，＋∞)上存在单调递增区间，
只需f'(x)>0在(1，＋∞)上有解即可.
由已知得f'(x)＝－x2＋x＋2a，该函数图象开口向下，对称轴为x＝
故f'(x)在(1，＋∞)上单调递减，
所以f'(1)＝2a>0，解得a>0.
答案
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5.已知函数f(x)＝x3＋x2＋x＋1在(－∞，0)，(3，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围为
A. B.
C.(－∞，－2] D.
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由f(x)＝x3＋x2＋x＋1，得f'(x)＝x2＋ax＋1，
∵f(x)在(－∞，0)，(3，＋∞)上单调递增；在(1，2)上单调递减，
∴f'(x)＝0的两根分别位于[0，1]和[2，3]内，
则
解得－≤a≤－.
答案
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6.已知a＝b＝c＝ln 则a，b，c的大小关系为
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
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设函数f(x)＝ex－x－1，x∈R，
则f'(x)＝ex－1，
当x<0时，f'(x)<0，
f(x)在(－∞，0)上单调递减；
当x>0时，f'(x)>0，
f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故f(x)≥f(0)＝0，
即ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号，
答案
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∵ex≥1＋x，∴>1－
∴b>a，
由以上分析可知当x>0时，有ex－1≥x成立，当x＝1时取等号，
即ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号，
∴ln <－1＝
∴a>c，故b>a>c.
答案
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16
二、多项选择题
7.如图为y＝f(x)的导函数f'(x)的图象，给出下列四个说法，其中正确的是
A.f(x)有三个单调区间
B.f(－2)C.f(－1)D.f(x)在[－1，2]上单调递增，在(2，4]上单调递减
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5
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13
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√
答案
√
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12
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答案
对于A，由图象可以看出，f'(x)的符号是先负后正，再负再正，所以函数f(x)有四个单调区间，故A错误；
对于B，当x∈[－2，－1]时，f'(x)≤0，函数f(x)单调
递减，所以f(－2)>f(－1)，故B错误；
对于C，当x∈[－1，2]时，f'(x)≥0，函数f(x)单调递增，所以f(－1)对于D，当x∈(2，4]时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减，显然D正确.
15
16
8.若函数f(x)＝x2－9ln x在区间[m－1，m＋1]上单调，则实数m的值可
能是
A.4 B.3 C.2 D.1
√
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答案
√
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由题意得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝x－
由f'(x)≥0，可得x≥3，则函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)，
由f'(x)≤0，可得0因为f(x)在区间[m－1，m＋1]上单调，
所以或m－1≥3，解得1结合选项可得A，C符合题意.
答案
15
16
三、填空题
9.函数y＝的单调递减区间为　　　 　.
1
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答案
(1，＋∞)
函数y＝的定义域为(0，＋∞)，
y'＝
令y'<0得x>1，
所以y＝的单调递减区间为(1，＋∞).
15
16
10.(2025·济南模拟)已知函数f(x)＝2x－msin x在R上不是单调函数，则实数m的取值范围是　　 　.
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答案
m<－2或m>2
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因为f(x)＝2x－msin x，
所以f'(x)＝2－mcos x，
又f(x)不是单调函数，所以函数f(x)有极值点，
即f'(x)在R上有变号零点，
则2－mcos x＝0成立，
当cos x＝0时，2－mcos x＝0可化为2＝0，显然不成立；
答案
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当cos x≠0时，m＝
因为x∈R，－1≤cos x≤1，
所以≤－2或≥2，
所以实数m的取值范围为m<－2或m>2(因为要有变号零点，故不能取等号)，
经检验，m<－2或m>2满足要求.
答案
15
16
四、解答题
11.已知函数f(x)＝＋ax－(ax＋1)ln x在x＝1处的切线方程为y＝bx＋
(a，b∈R).
(1)求a，b的值；
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答案
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答案
因为f(x)＝＋ax－(ax＋1)ln x，
所以f'(x)＝x＋a－aln x－＝x－－aln x，
依题意可得即
解得
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答案
(2)证明：f(x)在(1，＋∞)上单调递增.
由(1)可得f(x)＝＋2x－(2x＋1)ln x，
则f'(x)＝x－－2ln x，
令g(x)＝f'(x)＝x－－2ln x，x∈(1，＋∞)，
则g'(x)＝1＋>0，
所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，
所以当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，即f'(x)>0，
所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增.
15
16
12.(2024·西安模拟)已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋(k∈R).
(1)若k＝－3，求f(x)的单调区间；
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答案
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答案
函数f(x)＝ln(x＋1)＋的定义域为(－1，＋∞)，
求导得f'(x)＝
当k＝－3时，f'(x)＝
当－11＋时，f'(x)>0，
当1－所以函数f(x)的单调递增区间是(－1，1－)，(1＋＋∞)，单调递减区间是(1－1＋).
15
16
(2)若f(x)在其定义域上单调递增，求k的取值范围.
1
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答案
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答案
由(1)知，f'(x)＝
由f(x)在其定义域上单调递增，得f'(x)≥0在(－1，＋∞)上恒成立，
则≥0，即2k≥－
当x>－1时，－＝－≤－4，当且仅当x＝0时取等号，
因此2k≥－4，解得k≥－2，
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14
答案
当k＝－2时，f'(x)＝≥0，
f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，
所以k的取值范围是[－2，＋∞).
15
16
13.(2024·昆明模拟)已知函数f(x)＝(x－1)(ex＋a)在区间(－1，1)上单调递增，则a的最小值为
A.e－1 B.e－2 C.e D.e2
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答案
√
能力拓展
15
16
由题意得f'(x)≥0在(－1，1)上恒成立，
f'(x)＝ex＋a＋(x－1)ex＝xex＋a，
故xex＋a≥0，即a≥－xex，
令g(x)＝－xex，x∈(－1，1)，
则g'(x)＝－ex－xex＝－(x＋1)ex<0在(－1，1)上恒成立，
故g(x)＝－xex在(－1，1)上单调递减，
故g(x)故a≥e－1，故a的最小值为e－1.
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答案
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答案
15
16
14.(2025·呼和浩特模拟)在区间(0，π)上，函数y=存在单调递增区间，则实数a的取值范围是
A.(-∞，1) B.
C. D.(-∞，1］
√
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答案
15
16
函数y=，
求导得y'=，
依题意，不等式xsin x-a+cos x>0在(0，π)上有解，
即a令f(x)=xsin x+cos x，x∈(0，π)，
求导得f'(x)=xcos x，
1
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14
答案
15
16
当x∈时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增，
当x∈时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，
当x=时，f(x)max=，因此a<，
所以实数a的取值范围是.
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答案
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16
15.若对任意的x1，x2∈(m，＋∞)，且x1A. B.
C. D.
√
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答案
15
16
对任意的x1，x2∈(m，＋∞)，且x1<2，
易知m≥0，x1>0，x2>0，
则x1ln x2－x2ln x1<2x2－2x1，
所以x1(ln x2＋2)即>.
令f(x)＝
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答案
15
16
则函数f(x)在(m，＋∞)上单调递减.
因为f'(x)＝－
由f'(x)<0，可得x>
所以函数f(x)的单调递减区间为
所以(m，＋∞) 故m≥
即实数m的取值范围为.
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答案
15
16
16.已知f(x)=ex+e2-x，则不等式f(2x+1)A. B.
C.∪(1，+∞) D.(-∞，-1)∪
√
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答案
15
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因为f(x)=ex+e2-x，
f(1-x)=e1-x+e2-(1-x)=e1-x+e1+x，
f(1+x)=e1+x+e2-(1+x)=e1+x+e1-x，
所以f(1-x)=f(1+x)，函数的图象关于直线x=1对称，
因为f(x)=ex+e2-x，
所以f'(x)=(ex)'+(e2-x)'=ex-，
根据函数的单调性，f'(x)=ex-单调递增，
1
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14
答案
返回
15
16
令f'(x)=0，得x=1，
所以当x∈(-∞，1)时，函数f(x)单调递减，当x∈(1，+∞)时，函数f(x)单调递增，
因为f(2x+1)所以|2x+1-1|<|x-1|，即|2x|<|x-1|，
解得-1第七章
必刷大题14　空间向量与立体几何
数学
大
一
轮
复
习
答案
1
2
3
4
(1)因为AB∥EF，EF 平面PCD，AB 平面PCD，所以AB∥平面PCD，
因为AB 平面ABCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，所以AB∥CD，
连接AC，因为PA⊥平面ABCD，
所以∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角，
则tan∠PCA===，解得AC=4.
因为AB=2，BC=2，所以AB2+BC2=AC2，所以AB⊥BC.
又AB≠CD，所以四边形ABCD是直角梯形.
1.
答案
1
2
3
4
(2) 取CD的中点M，连接AM，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，0，2)，D(2，-2，0)，C(2，2，0)，B(0，2，0)，
=(0，2，0)，=(2，2，-2)，=(2，-2，-2)，
由=2，得E，
则=，
设平面PCD的法向量为n=(x1，y1，z1)，
1.
答案
1
2
3
4
则
取x1=1，得y1=0，z1=1，即n=(1，0，1)，
设平面ABE的法向量为m=(x2，y2，z2)，
则
取x2=1，得y2=0，z2=-2，即m=(1，0，-2).
1.
答案
1
2
3
4
平面PEF与平面BEF的夹角即平面PCD与平面ABE的夹角，设其为θ，
则cos θ=|cos〈n，m〉|==，
所以sin θ==，
故平面PEF与平面BEF夹角的正弦值为.
1.
答案
1
2
3
4
(1)BF和CE不垂直，理由如下：
以点C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，0)，A1(2，0，2)，
D(0，2，1)，C1(0，0，2)，E，F，
==，
因为·=1×0+(-1)×1+×=≠0，所以BF和CE不垂直.
2.
答案
1
2
3
4
(2)假设存在λ，使得平面ABC与平面PBF夹角的余弦值为，
由=λ，得P(2(1-λ)，0，0)，
显然平面ABC的一个法向量为n1=(0，0，1)，
=(2(λ-1)，2，0)，
设平面PBF的法向量为n2=(x，y，z)，
则
2.
答案
1
2
3
4
取x=3，得n2=(3，3-3λ，-2λ)，
设平面ABC与平面PBF的夹角为θ，
则cos θ=|cos〈n1，n2〉|===，
而0≤λ≤1，解得λ=，
所以存在实数λ=，使得平面ABC与平面PBF夹角的余弦值为.
2.
答案
1
2
3
4
(1)设CP∩DE=G，连接FG，
因为四边形PDCE为矩形，所以G为PC的中点，
又F为PA的中点，则AC∥FG，
又FG 平面DEF，AC 平面DEF，
所以AC∥平面DEF.
(2)以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
3.
答案
1
2
3
4
则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，)，E(0，2，)，
所以=(-1，1，0)，=(0，-2，)，
=(-1，2，)，
设平面BCP的法向量为n=(x，y，z)，
则
令y=1，解得x=1，z=，所以n=(1，1，)，
3.
答案
1
2
3
4
设直线AE与平面BCP所成的角为θ，
所以sin θ==.
则直线AE与平面BCP所成角的正弦值为.
(3)=(1，0，-)，
设=λ=(λ，0，-λ)，λ∈[0，1]，
由平面BCP的一个法向量n=(1，1，)，
3.
答案
1
2
3
4
则点F到平面BCP的距离为d===.
解得λ=，且=，
所以||==.
3.
答案
1
2
3
4
(1)①在△ACD中,由AC=CD=1,∠ADC=30°得∠CAD=∠ADC=30°,
所以AD=2ACcos∠CAD
=2×1×cos 30°=
且∠BAC=∠DAB-∠CAD=120°-30°=90°,
即AB⊥AC.
因为AB⊥AC,PC⊥AB,PC∩AC=C,PC,AC 平面PAC,
所以AB⊥平面PAC,又AB 平面ABC,
所以平面PAC⊥平面ABC.
4.
答案
1
2
3
4
②方法一　设△PAC外接圆的半径为r,
由正弦定理得2r===2,
所以r=1,由①知AB⊥平面PAC,
所以三棱锥P-ABC外接球的半径R==.
方法二　以A为原点,AB,AC所在直线分别为x轴和y轴
建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P
4.
答案
1
2
3
4
设球心O(a,b,c),半径为R,
则AO=BO=CO=PO=R,
所以a2+b2+c2=(a-1)2+b2+c2=a2+(b-1)2+c2
=a2++=R2,
解得a=b=c=R=
所以球O的半径为.
(2)在平面PAC中,过P作PG⊥AC于点G,在平面ABC中,过G作GM⊥AC,
4.
答案
1
2
3
4
则由(1)知AG=cos 30°=PG=sin 30°=
设∠PGM=θ,0°<θ<180°,以G为原点,GM,CG所在直线分别为x轴和y轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则G(0,0,0),A
BCP
所以=(0,-1,0)=(1,-1,0),
=
4.
答案
1
2
3
4
设平面PAC和平面PBC的法向量分别为m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2),
则所以
4.
答案
1
2
3
4
取x1=sin θ,x2=1,则m=(sin θ,0,-cos θ),n=
设二面角A-CP-B的平面角为α,显然α为锐角,
则cos α==
=
令t=cos θ+则cos θ=t-
4.
答案
1
2
3
4
由0°<θ<180°得t∈(-1+1),则∈
则cos α=≥=
当且仅当=
即t=cos θ=-时等号成立,
所以二面角A-CP-B的余弦值的最小值为.
4.
1.(2025·保定模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD内存在一条直线EF与AB平行，PA⊥平面ABCD，直线PC与平面ABCD所成的角的正切值为，PA=BC=2，CD=2AB=4.
(1)证明：四边形ABCD是直角梯形；
1
2
3
4
答案
1
2
3
4
答案
因为AB∥EF，EF 平面PCD，AB 平面PCD，所以AB∥平面PCD，
因为AB 平面ABCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，所以AB∥CD，
连接AC，因为PA⊥平面ABCD，
所以∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角，
则tan∠PCA===，解得AC=4.
因为AB=2，BC=2，所以AB2+BC2=AC2，所以AB⊥BC.
又AB≠CD，所以四边形ABCD是直角梯形.
(2)若点E满足=2，求平面PEF与平面BEF夹角的正弦值.
1
2
3
4
答案
1
2
3
4
答案
取CD的中点M，连接AM，
以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，0，2)，D(2，-2，0)，C(2，2，0)，B(0，2，0)，=(0，2，0)，=(2，2，-2)，=(2，-2，-2)，
由=2，得E，
则=，
设平面PCD的法向量为n=(x1，y1，z1)，
1
2
3
4
答案
则
取x1=1，得y1=0，z1=1，即n=(1，0，1)，
设平面ABE的法向量为m=(x2，y2，z2)，
则
取x2=1，得y2=0，z2=-2，
即m=(1，0，-2).
1
2
3
4
答案
平面PEF与平面BEF的夹角即平面PCD与平面ABE的夹角，设其为θ，
则cos θ=|cos〈n，m〉|==，
所以sin θ==，
故平面PEF与平面BEF夹角的正弦值为.
1
2
3
4
答案
2.如图所示的五面体ABC-A1DC1为直三棱柱ABC-A1B1C1截去一个三棱锥D-A1B1C1后的几何体，AC⊥BC，AC=BC=AA1=2，D为BB1的中点，E，F分别为C1D，A1D的中点.
(1)判断BF和CE是否垂直，并说明理由；
1
2
3
4
答案
BF和CE不垂直，理由如下：
以点C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，0)，A1(2，0，2)，
D(0，2，1)，C1(0，0，2)，E，F，
==，
因为·=1×0+(-1)×1+×=≠0，所以BF和CE不垂直.
1
2
3
4
答案
(2)设=λ(0≤λ≤1)，是否存在λ，使得平面ABC与平面PBF夹角的余弦值为？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由.
1
2
3
4
答案
假设存在λ，使得平面ABC与平面PBF夹角的余弦值为，
由=λ，得P(2(1-λ)，0，0)，
显然平面ABC的一个法向量为n1=(0，0，1)，
=(2(λ-1)，2，0)，
设平面PBF的法向量为n2=(x，y，z)，
则
取x=3，得n2=(3，3-3λ，-2λ)，
1
2
3
4
答案
设平面ABC与平面PBF的夹角为θ，
则cos θ=|cos〈n1，n2〉|
===，
而0≤λ≤1，解得λ=，
所以存在实数λ=，使得平面ABC与平面PBF夹角的余弦值为.
3.(2024·天津模拟)如图，直线PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC=
∠BAD=90°，F为线段PA上一点，PD=，AB=AD=CD=1，四边形PDCE为矩形.
(1)若F是PA的中点，求证：AC∥平面DEF；
1
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答案
1
2
3
4
答案
设CP∩DE=G，连接FG，
因为四边形PDCE为矩形，所以G为PC的中点，
又F为PA的中点，则AC∥FG，
又FG 平面DEF，AC 平面DEF，
所以AC∥平面DEF.
(2)求直线AE与平面BCP所成角的正弦值；
1
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答案
1
2
3
4
答案
以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，)，E(0，2，)，
所以=(-1，1，0)，=(0，-2，)，
=(-1，2，)，
设平面BCP的法向量为n=(x，y，z)，
则
1
2
3
4
答案
令y=1，解得x=1，z=，所以n=(1，1，)，
设直线AE与平面BCP所成的角为θ，
所以sin θ==.
则直线AE与平面BCP所成角的正弦值为.
(3)若点F到平面BCP的距离为，求PF的长.
1
2
3
4
答案
1
2
3
4
答案
=(1，0，-)，
设=λ=(λ，0，-λ)，λ∈[0，1]，
由平面BCP的一个法向量n=(1，1，)，
则点F到平面BCP的距离为d===.
解得λ=，且=，
所以||==.
4.(2025·八省联考)在平面四边形ABCD中,AB=AC=CD=1,∠ADC=30°,
∠DAB=120°,将△ACD沿AC翻折至△ACP,其中P为动点.
(1)设PC⊥AB,三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的球面上.
①证明:平面PAC⊥平面ABC;
1
2
3
4
答案
1
2
3
4
答案
在△ACD中,由AC=CD=1,∠ADC=30°得∠CAD=∠ADC=30°,
所以AD=2ACcos∠CAD
=2×1×cos 30°=
且∠BAC=∠DAB-∠CAD=120°-30°=90°,即AB⊥AC.
因为AB⊥AC,PC⊥AB,PC∩AC=C,
PC,AC 平面PAC,
所以AB⊥平面PAC,又AB 平面ABC,
所以平面PAC⊥平面ABC.
②求球O的半径;
1
2
3
4
答案
方法一　设△PAC外接圆的半径为r,
由正弦定理得2r===2,
所以r=1,由①知AB⊥平面PAC,
所以三棱锥P-ABC外接球的半径R==.
方法二　以A为原点,AB,AC所在直线分别为x轴和y轴
建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P
1
2
3
4
答案
1
2
3
4
答案
设球心O(a,b,c),半径为R,
则AO=BO=CO=PO=R,
所以a2+b2+c2=(a-1)2+b2+c2=a2+(b-1)2+c2
=a2++=R2,
解得a=b=c=R=
所以球O的半径为.
(2)求二面角A-CP-B的余弦值的最小值.
1
2
3
4
答案
1
2
3
4
答案
在平面PAC中,过P作PG⊥AC于点G,在平面ABC中,过G作GM⊥AC,
则由(1)知AG=cos 30°=PG=sin 30°=
设∠PGM=θ,0°<θ<180°,以G为原点,GM,CG所在直线分别为x轴和y轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则G(0,0,0),A
BCP
所以=(0,-1,0)=(1,-1,0),
=
1
2
3
4
答案
设平面PAC和平面PBC的法向量分别为m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2),
则所以
取x1=sin θ,x2=1,则m=(sin θ,0,-cos θ),n=
1
2
3
4
答案
设二面角A-CP-B的平面角为α,显然α为锐角,
则cos α===
令t=cos θ+则cos θ=t-
由0°<θ<180°得t∈(-1+1),则∈
则cos α=≥=
1
2
3
4
答案
当且仅当=
即t=cos θ=-时等号成立,
所以二面角A-CP-B的余弦值的最小值为.(共83张PPT)
第三章
§3.1　导数的概念及其意
义、导数的运算
数学
大
一
轮
复
习
1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.
2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作 或 .
f'(x0)＝ .
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)
f'(x)＝y'＝.
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ，相应的切线方程为 .
f '(x0)
y'
斜率
y－f(x0)＝f '(x0)(x－x0)
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f '(x)＝___
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f '(x)＝______
f(x)＝sin x f '(x)＝_____
f(x)＝cos x f '(x)＝_______
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f '(x)＝______
f(x)＝ex f '(x)＝____
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f '(x)＝______
f(x)＝ln x f '(x)＝___
0
αxα－1
cos x
－sin x
axln a
ex
4.导数的运算法则
若f'(x)，g'(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]'＝ ；
[f(x)g(x)]'＝ ；
'＝ (g(x)≠0)；
[cf(x)]'＝ .
5.复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝______，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
f'(x)±g'(x)
f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)
cf'(x)
y'u·u'x
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f'(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.(　　)
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(　　)
(3)f'(x0)＝[f(x0)]'.(　　)
(4)(e－x)'＝－e－x.(　　)
×
×
×
√
2.若函数f(x)＝ln x－2x＋1，则f'等于
A.0 B. C. D.
√
f'(x)＝－2，
所以f'＝2－2＝0.
3.(2024·开封模拟)已知函数f(x)＝2x，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为
A.x－y－1＝0 B.x－y＋1＝0
C.x·ln 2－y－1＝0 D.x·ln 2－y＋1＝0
√
函数f(x)＝2x，求导得f'(x)＝2xln 2，则f'(0)＝ln 2，而f(0)＝1，所以所求切线方程为y－1＝ln 2·(x－0)，即x·ln 2－y＋1＝0.
4.设曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，则a的值
为　　　.
∵y＝e2ax，∴y'＝e2ax·(2ax)'＝2a·e2ax，
∴在点(0，1)处的切线斜率k＝y'|x＝0＝2ae0＝2a，
又∵切线与直线2x－y＋1＝0垂直，
∴2a×2＝－1，∴a＝－.
－
1.巧记两个常用结论
(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数.
(2)函数y＝f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f'(x)|反映了变化的快慢，|f'(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”.
微点提醒
2.明确两点不同
区分在点处的切线与过点处的切线：在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.
3.谨防两个易误点
(1)在复合函数求导中，每一步求导分不清哪个变量对哪个变量的求导而致误.
(2)牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(多选)下列求导运算正确的是
A.(ln 7)'＝
B.[(x2＋2)sin x]'＝2xsin x＋(x2＋2)cos x
C.'＝
D.[ln(3x＋2)]'＝
√
导数的运算
题型一
√
(ln 7)'＝0，故A错误；
[(x2＋2)sin x]'＝2xsin x＋(x2＋2)cos x，故B正确；
'＝故C正确；
[ln(3x＋2)]'＝故D错误.
(2)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(x)＝2xf'＋sin x，则f 等于
A. B.
C. D.－
√
因为f(x)＝2xf'＋sin x，
所以f'(x)＝2f'＋cos x，
令x＝
则f'＝2f'＋cos f'＝－
则f(x)＝－x＋sin x，
所以f ＝－＋sin .
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
思维升华
跟踪训练1　(多选)下列命题正确的有
A.已知函数f(x)在R上可导，若f'(1)＝2，则＝2
B.'＝
C.已知函数f(x)＝ln(2x＋1)，若f'(x0)＝1，则x0＝
D.设函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(x)＝x2＋3xf'(2)＋ln x，则f'(2)＝－
√
√
对于A＝2＝2f'(1)＝4，故A错误；
对于B'＝故B错误；
对于C，f'(x)＝(2x＋1)'＝若f'(x0)＝1，则＝1，即x0＝故C正确；
对于D，f'(x)＝2x＋3f'(2)＋故f'(2)＝4＋3f'(2)＋故f'(2)＝－故D正确.
例2　(2023·全国甲卷)曲线y＝处的切线方程为
A.y＝x B.y＝x
C.y＝x＋ D.y＝x＋
导数的几何意义
题型二
命题点1　求切线方程
√
因为y＝
所以y'＝
所以k＝y'|x＝1＝
所以曲线y＝在点处的切线方程为y－(x－1)，即y＝x＋.
例3　若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是　　　　　 .
命题点2　求参数的值(范围)
[2，＋∞)
函数f(x)＝ln x＋2x2－ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，
即f'(x)＝2在(0，＋∞)上有解，
而f'(x)＝＋4x－a，
即＋4x－a＝2在(0，＋∞)上有解，
得a＝＋4x－2在(0，＋∞)上有解，
∵＋4x≥2＝4，当且仅当x＝时等号成立，
∴a≥4－2＝2，
∴a的取值范围是[2，＋∞).
例4　(2025·广州模拟)设点P在曲线y＝ex上，点Q在直线y＝x上，则|PQ|的最小值为
A. B.
C. D.
命题点3　切线的应用
√
令y'＝ex＝得x＝－1，代入曲线y＝ex中，得P所以|PQ|的最小值即为点到直线y＝x的距离d＝.
(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.
思维升华
跟踪训练2　(1)牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法.如图，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的零点r，取初始值x0，f(x)的图象在横坐标为x0的点处的切线与x轴的交点的横坐标为x1，f(x)的图象在横坐标为x1的点处的切线与x轴的交点的横坐标为x2，一直继续下去，得到x1，x2，…，xn，它们越来越接近r.若f(x)＝x2－2(x>0)，x0＝2，则用牛顿迭代法得到的r的近似值x2约为
A.1.438 B.1.417
C.1.416 D.1.375
√
由f(x)＝x2－2(x>0)，
求导得f'(x)＝2x，而x0＝2，
则f'(x0)＝4，又f(x0)＝2，
于是函数f(x)的图象在横坐标为x0＝2的点处的切线方程为y－2＝4(x－2)，
令y＝0，得x1＝
则f'(x1)＝3，f(x1)＝－2＝
因此函数f(x)的图象在横坐标为x1＝的点处的切线方程为y－＝3
令y＝0，得x2＝≈1.417，
所以x2约为1.417.
(2)若点A(a，a)，B(b，eb)(a，b∈R)，则A，B两点间距离|AB|的最小值
为　　　.
点A(a，a)在直线y＝x上，点B(b，eb)在曲线y＝ex上，
即求|AB|的最小值等价于求直线y＝x上的点到曲线y＝ex上的点的距离的最小值，
过y＝ex上的点(m，em)作y＝ex的切线，可得y－em＝em(x－m)，
令em＝1，可得m＝0，故该切线为y＝x＋1，
则直线y＝x＋1与y＝x的距离即为|AB|的最小值，此时|AB|＝即|AB|min＝.
例5　(2025·广州模拟)若直线l既和曲线C1相切，又和曲线C2相切，则称l为曲线C1和C2的公切线.已知曲线C1：f(x)＝ex－1和曲线C2：g(x)＝1＋ln x，请写出曲线C1和C2的一条公切线方程：　　　　　　　　　　 .
两曲线的公切线
题型三
y＝x(答案不唯一，或填y＝ex－1)
设公切线与C1：f(x)＝ex－1相切的切点为(x1－1)，与C2：g(x)＝1＋ln x相切的切点为(x2，1＋ln x2).
由f'(x)＝ex，则f'(x1)＝则公切线方程为y＝(x－x1)＋－1，
即y＝x＋(1－x1)－1；
由g'(x)＝则g'(x2)＝则公切线方程为y＝(x－x2)＋ln x2＋1，
即y＝·x＋ln x2，
所以解得或
故曲线C1和C2的公切线方程为y＝x或y＝ex－1.
公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解.
思维升华
跟踪训练3　(2024·福州模拟)已知直线y＝kx＋b既是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝－ln(－x)的切线，则
A.k＝b＝0 B.k＝1，b＝0
C.k＝b＝－1 D.k＝1，b＝－1
√
设直线与曲线y＝ln x的切点为(x1，ln x1)且x1>0，
与曲线y＝－ln(－x)的切点为(x2，－ln(－x2))且x2<0，
又y'＝(ln x)'＝y'＝[－ln(－x)]'＝－
则直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x的切线方程为y－ln x1＝(x－x1)，即y＝x＋ln x1－1，
直线y＝kx＋b与曲线y＝－ln(－x)的切线方程为y＋ln(－x2)＝－(x－x2)，即y＝－x＋1－ln(－x2)，
则解得
故k＝b＝ln x1－1＝0.l
返回
课时精练
对一对
答案
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4
5
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B B A B AC BCD
题号 9 10 13 　14 15 16 答案 2 ln 2 B 　C ACD 2 15
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答案
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13
(1)因为函数f(x)=x3-ax2+b的图象过点(2，4)，
所以b=4a-4. ①
又f'(x)=3x2-2ax，f'(1)=1，
所以f'(1)=3×12-2a=3-2a=1， ②
由①②解得a=1，b=0.
11.
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答案
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13
(2)由(1)知f(x)=x3-x2，
设所求切线在曲线y=f(x)上的切点坐标为(m，m3-m2)，
则f'(m)=3m2-2m，
所以切线方程为
y-m3+m2=(3m2-2m)(x-m)，
又切线过点(0，-1)，
所以2m3-m2-1=0，
11.
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答案
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13
可得2m3-2-m2+1=0，
即2(m3-1)-(m2-1)=0，
即(m-1)(2m2+m+1)=0，
解得m=1，
所以切点坐标为(1，0)，切线方程为x-y-1=0.
故曲线y=f(x)过点(0，-1)的切线方程为x-y-1=0.
11.
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答案
1
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(1)由导数公式得f'(x)=-3x2+1，
设切点坐标为(x0，y0)，切线方程为y-1=k(x-1)，
由题意可得解得或
从而切线方程为2x+y-3=0或x-4y+3=0.
12.
14
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答案
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12
13
(2)由(1)可得曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线方程为y=-2x+3，
由g'(x)=-2e-2x+1，可得曲线y=g(x)在x=t(t∈R)处的切线斜率为g'(t)=-2e-2t+1，
由题意可得-2e-2t+1=-2，从而t=
此时切点坐标为曲线y=g(x)在x=处的切线方程为
y-1=-2
即y=-2x+2，符合题意，所以t=.
12.
14
15
16
一、单项选择题
1.若f(x)＝ln(－x)，则f'(－2 026)等于
A.－ B.－2 026 C. D.2 026
√
1
2
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知识过关
答案
f'(x)＝则f'(－2 026)＝－.
14
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16
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11
12
13
答案
2.一个做直线运动的质点的位移s(m)与时间t(s)的关系式为s＝100t－5t2，则该质点的瞬时速度为0 m/s时，t等于
A.50 s B.20 s C.10 s D.5 s
√
由题意知s＝100t－5t2，则s'＝100－10t，令s'＝0，则t＝10，即当该质点的瞬时速度为0 m/s时，时间t＝10 s.
14
15
16
3.设函数f(x)＝xex的图象与x轴相交于点P，则该曲线在点P处的切线方程为
A.y＝ex B.y＝x
C.y＝ex＋1 D.y＝x＋1
√
1
2
3
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13
函数f(x)＝xex，
由f(x)＝0，得x＝0，则点P(0，0)，
由f(x)＝xex，求导得f'(x)＝(x＋1)ex，
则f'(0)＝1，
所以该曲线在点P处的切线方程为y＝x.
答案
14
15
16
4.已知函数f(x)的图象如图所示，f'(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是
A.0B.0C.0D.0√
1
2
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13
答案
14
15
16
由函数f(x)的图象可知f'(3)>0，f'(2)>0，
设A(2，f(2))，B(3，f(3))，则直线AB的斜率为＝f(3)－f(2)，
由于曲线是上升的，故f(3)>f(2)，∴f(3)－f(2)>0，
作出曲线在x＝2，x＝3处的切线，设为l1，l3，
直线AB为l2，l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，
结合图象可得l1，l2，l3的斜率满足k3即01
2
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答案
14
15
16
5.(2025·汉口模拟)已知函数f(x)为偶函数，其图象在点(1，f(1))处的切线方程为x－2y＋1＝0，记f(x)的导函数为f'(x)，则f'(－1)等于
A.－ B. C.－2 D.2
√
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13
因为f(x)为偶函数，
所以f(x)＝f(－x)，
两边求导，可得[f(x)]'＝[f(－x)]' f'(x)＝f'(－x)·(－x)' f'(x)＝－f'(－x).
又f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x－2y＋1＝0，所以f'(1)＝.
所以f'(－1)＝－f'(1)＝－.
答案
14
15
16
6.直线l与曲线y＝ex＋1和y＝ex＋1均相切，则l的斜率为
A. B.1 C.2 D.e
√
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答案
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16
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11
12
13
由y＝ex＋1，可得y'＝ex；
由y＝ex＋1，可得y'＝ex＋1，
设两个切点的坐标分别为(x1＋1)和(x2)，直线l的斜率k＝
故x1＝x2＋1，即x1≠x2，
所以k＝＝1，
即直线l的斜率为1.
答案
14
15
16
二、多项选择题
7.下列求导运算正确的是
A.若y＝(x＋1)ln x，则y'＝ln x＋＋1
B.'＝－sin
C.'＝－2xln 2
D.(ln 2x)'＝
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√
答案
√
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对于A，若y＝(x＋1)ln x，则y'＝ln x＋＝ln x＋＋1，故A正确；
对于B'＝0，故B错误；
对于C'＝'－2xln 2＝－2xln 2，故C正确；
对于D，(ln 2x)'＝故D错误.
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答案
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8.已知定义在R上的函数f(x)，g(x)，其导函数分别为f'(x)，g'(x)，f(1－x)＝6－g'(1－x)，f(1－x)－g'(1＋x)＝6，且g(x)＋g(－x)＝4，则
A.g'(x)的图象关于点(0，1)中心对称
B.g'(x＋4)＝g'(x)
C.f'(6)＝f'(2)
D.f(1)＋f(3)＝12
√
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答案
√
√
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由题意可得
两式相减可得g'(1＋x)＝－g'(1－x)， ①
所以g'(x)的图象关于点(1，0)中心对称，A错误；
由g(x)＋g(－x)＝4， ②
②式两边对x求导可得g'(x)＝g'(－x)，可知g'(x)是偶函数，
以1＋x替换①中的x可得g'(2＋x)＝－g'(－x)＝－g'(x)，
可得g'(4＋x)＝－g'(2＋x)＝g'(x)，所以g'(x)是周期为4的周期函数，B正确；
答案
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因为f(x)＝6－g'(x)，可知f(x)也是周期为4的周期函数，即f(x＋4)＝f(x)，
两边求导可得f'(x＋4)＝f'(x)，所以f'(6)＝f'(2)，C正确；
因为g'(1＋x)＝－g'(1－x)，令x＝0，则g'(1)＝－g'(1)，即g'(1)＝0，
又因为g'(x)是偶函数，所以g'(－1)＝g'(1)＝0，
又因为g'(x)是周期为4的周期函数，则g'(3)＝g'(－1)＝0，
由f(x)＝6－g'(x)可得
所以f(1)＋f(3)＝12，D正确.
答案
14
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16
三、填空题
9.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f'(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)－f(a)＝f'(c)(b－a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数f(x)＝x3－2x在[－2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为　　　.
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答案
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答案
∵＝2，f'(x)＝3x2－2，
令3x2－2＝2，解得x＝－∈[－2，2]或x＝∈[－2，2]，
∴f(x)在[－2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2.
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10.(2024·新课标全国Ⅰ)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝　　　　.
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答案
ln 2
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由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，
当x＝0时，y'＝e0＋1＝2，
故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为
y＝2x＋1.
由y＝ln(x＋1)＋a得y'＝
设切线与曲线y＝ln(x＋1)＋a相切的切点为(x0，y0)，
由两曲线有公切线得y'＝＝2，
答案
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解得x0＝－代入切线方程y＝2x＋1得y0＝2×＋1＝0，
则y＝ln(x0＋1)＋a＝0，
即ln＋a＝0，解得a＝ln 2.
答案
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16
四、解答题
11.已知函数f(x)＝x3－ax2＋b(a，b∈R)的图象过点(2，4)，且f'(1)＝1.
(1)求a，b的值；
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答案
因为函数f(x)＝x3－ax2＋b的图象过点(2，4)，所以b＝4a－4. ①
又f'(x)＝3x2－2ax，f'(1)＝1，
所以f'(1)＝3×12－2a＝3－2a＝1， ②
由①②解得a＝1，b＝0.
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(2)求曲线y＝f(x)过点(0，－1)的切线方程.
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答案
由(1)知f(x)＝x3－x2，
设所求切线在曲线y＝f(x)上的切点坐标为(m，m3－m2)，则f'(m)＝3m2－2m，
所以切线方程为y－m3＋m2＝(3m2－2m)(x－m)，
又切线过点(0，－1)，所以2m3－m2－1＝0，
可得2m3－2－m2＋1＝0，
即2(m3－1)－(m2－1)＝0，
即(m－1)(2m2＋m＋1)＝0，解得m＝1，
所以切点坐标为(1，0)，切线方程为x－y－1＝0.
故曲线y＝f(x)过点(0，－1)的切线方程为x－y－1＝0.
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12.已知函数f(x)＝－x3＋x＋1，g(x)＝e－2x＋1.
(1)求曲线y＝f(x)过点(1，1)的切线方程；
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答案
由导数公式得f'(x)＝－3x2＋1，
设切点坐标为(x0，y0)，切线方程为y－1＝k(x－1)，
由题意可得解得或
从而切线方程为2x＋y－3＝0或x－4y＋3＝0.
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16
(2)若曲线y＝f(x)在点(1，1)处的切线与曲线y＝g(x)在x＝t(t∈R)处的切线平行，求t的值.
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答案
由(1)可得曲线y＝f(x)在点(1，1)处的切线方程为y＝－2x＋3，
由g'(x)＝－2e－2x＋1，可得曲线y＝g(x)在x＝t(t∈R)处的切线斜率为g'(t)＝－2e－2t＋1，
由题意可得－2e－2t＋1＝－2，从而t＝
此时切点坐标为
曲线y＝g(x)在x＝处的切线方程为y－1＝－2
即y＝－2x＋2，符合题意，所以t＝.
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16
13.已知函数f(x)＝其导函数记为f'(x)，则f'(2 026)－
f'(－2 026)等于
A.－1 B.0 C.1 D.2
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答案
√
能力拓展
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函数f(x)＝＝1＋的定义域为R，
令g(x)＝
则g(x)的定义域为R，f'(x)＝g'(x)，
又g(－x)＝＝－＝－g(x)，故g(x)是奇函数，
所以g(x)＋g(－x)＝0，
故g'(x)－g'(－x)＝0，
所以f'(2 026)－f'(－2 026)＝g'(2 026)－g'(－2 026)＝0.
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14.(2025·西安模拟)已知二次函数y=-x2+(b-a)x+ab的图象与x轴交于A，B两点，图象在A，B两点处的切线相交于点P.若a>0，b>0且ab=1，则△ABP的面积的最小值为
A.1 B. C.2 D.4
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设A(x1，0)，B(x2，0)，
则x1与x2是方程-x2+(b-a)x+ab=0的两根，则x1+x2=b-a，x1x2=-ab，
|AB|=|x1-x2|==a+b，
又y'=-2x+b-a，
则函数y=-x2+(b-a)x+ab在点A(x1，0)处的切线方程为y=(-2x1+b-a)(x-x1)，
同理函数y=-x2+(b-a)x+ab在点B(x2，0)处的切线方程为y=(-2x2+b-a)(x-x2)，
则解得
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即点P，
则S△ABP=|AB|·|yP|=(a+b)3≥(2)3=2，当且仅当a=b=1时等号成立.
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15.(多选)(2024·南昌模拟)已知直线l1是曲线f(x)=ln x上任一点A(x1，y1)处的切线，直线l2是曲线g(x)=ex上点B(y1，x1)处的切线，则下列结论中正确的是
A.当x1+y1=1时，l1∥l2
B.存在x1，使得l1⊥l2
C.若l1与l2交于点C，且△ABC为等边三角形，则x1=2+
D.若l1与曲线g(x)相切，切点为C(x2，y2)，则x1y2=1
√
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由题意得y1=ln x1，由x1+y1=1，
得x1+ln x1=1，
如图，可知y=x+ln x的图象与直线y=1的交点是(1，1)，可得x1=1，
y1=ln x1=ln 1=0，
由f(x)=ln x，得f'(x)=，
所以直线l1的斜率为f'(x1)=f'(1)=1，
由g(x)=ex，得g'(x)=ex，
所以直线l2的斜率为g'(y1)=g'(0)=e0=1=f'(x1)，
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即直线l1的斜率等于直线l2的斜率，所以l1∥l2，故A对；
因为·=f'(x1)·g'(y1)=·=·=·x1=1≠-1，
所以不存在x1，使得l1⊥l2，故B错；
如图，设l1，l2的倾斜角分别为α，β，
因为△ABC为等边三角形，所以β=α+，
又tan α=f'(x1)=，tan β=g'(y1)===x1，
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所以tan β=tan===x1，
整理得-2x1-1=0，所以x1=±2，
因为点A(x1，y1)在曲线f(x)=ln x上，
所以x1>0，所以x1=2+，故C对；
若l1与曲线g(x)相切，切点为C(x2，y2)，
则=f'(x1)==g'(x2)=，即=，
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又C(x2，y2)在g(x)=ex上，
所以y2=，所以=y2，即x1y2=1，故D对.
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16.我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当x→0时
型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在.早在1696年，洛必达在他的著作《无穷小分析》一书中创造了一种算法(洛必达法则)，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.
如：＝1，则＝　　　.
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由题可得＝2.(共119张PPT)
第七章
§7.7　向量法求空间角
数学
大
一
轮
复
习
1.能用向量法解决异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用.
2.弄清折叠问题中的变量与不变量，掌握折叠问题中线面位置关系的判断和空间角的计算问题.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ=
|cos〈u，v〉|= .
2.直线与平面所成的角
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所
成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，
则sin θ=|cos〈u，n〉|= = .
3.平面与平面的夹角
如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ=|cos〈n1，n2〉|
= .
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(　　)
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.
(　　)
(3)二面角的平面角为θ，则两个平面的法向量的夹角也是θ.(　　)
(4)二面角α-l-β的平面角与平面α，β的夹角相等.(　　)
×
×
×
×
2.若直线l的一个方向向量u=(1，0，1)，平面α的一个法向量n=(0，-1，1)，则l与α所成角的大小为
A. B.
C.或 D.或
√
设l与α所成角为θ，
因为直线l的一个方向向量u=(1，0，1)，
平面α的一个法向量n=(0，-1，1)，
所以sin θ=|cos〈u，n〉|==，
因为0≤θ≤，所以θ=.
3.若平面α的一个法向量为n=(1，1，0)，平面β的一个法向量为m=(-1，0，1)，则平面α与β夹角的大小为
A. B.
C. D.
√
∵cos〈n，m〉===-，
∴平面α与β夹角的余弦值为，
又平面α与β夹角的取值范围为，
∴平面α与β夹角的大小为.
4.已知点O(0，0，0)，A(1，0，1)，B(-1，1，2)，C(-1，0，-1)，则异面直
线OC与AB所成角的余弦值为　　.
由已知得=(-1，0，-1)，=(-2，1，1)，
设异面直线OC与AB所成的角为θ，
则cos θ=|cos〈〉|===.
(1)斜线与平面所成的角是斜线与平面内直线所成角中的最小角.
(2)线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ=|cos〈a，n〉|.
(3)平面与平面的夹角和二面角的概念不同.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)如图，圆锥的轴截面ABC为等边三角形，D为弧AB的中点，E，F分别为母线BC，AC的中点，则异面直线BF和DE所成角的大小为
A. B.
C. D.
异面直线所成的角
题型一
√
取AB的中点O，连接OC，OD，如图，以OD，OB，OC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=2，则B(0，1，0)，D(1，0，0)，C(0，0，)，A(0，-1，0)，
又E，F分别为母线BC，AC的中点，
所以E，F，
则==，
设异面直线BF和DE所成的角为θ，
则cos θ=|cos〈〉|===0，
又θ∈，所以θ=.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2，D为B1B上的点，若直线A1C与直线DC1所成角
的余弦值为，则BD的长为
A.1 B. C. D.
√
以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(0，0，2)，C1(0，2，2)，C(0，2，0).
设D(2，0，t)，0≤t≤2，
则=(0，2，-2)，=(-2，2，2-t)，
所以|cos〈〉|===，
解得t=1(负值舍去).即BD=1.
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)用坐标表示异面直线的方向向量.
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.
(4)注意异面直线所成角的范围是，即异面直线所成角的余弦
值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
思维升华
跟踪训练1　若在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AC=∠BAC=60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1=AC=AB，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值
为　　　.
设M为AC的中点，连接MB，MA1，
由题意知△ABC是等边三角形，
所以BM⊥AC，同理，A1M⊥AC，
因为平面A1ACC1⊥平面ABC，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，
BM 平面ABC，
所以BM⊥平面A1ACC1，
因为A1M 平面A1ACC1，
所以BM⊥A1M，
所以AC，BM，A1M两两垂直，以M为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
设AA1=AC=AB=2，
则A(1，0，0)，B(0，，0)，A1(0，0，)，
C1(-2，0，)，
所以=(-3，0，)，=(0，，-)，
所以|cos〈〉|==，
故异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为.
例2　如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AC1与A1C相交于点D，BB1⊥平面ABC，AB=6，BC=4，BB1=2，A1C1==2，且DE∥平面BCC1B1.
(1)求的值；
直线与平面所成的角
题型二
连接C1B，如图，
因为DE∥平面BCC1B1，DE 平面ABC1，平面ABC1∩平面BCC1B1=C1B，
所以DE∥C1B.
因为=2，所以=2，
所以A1C1=AC，
因此A1B1=AB，B1C1=BC，
所以==.
(2)求直线CC1与平面A1B1C所成角的正弦值.
由(1)可知，A1C1=AC，
所以AC=2.
依题意，AC2=AB2+BC2，
所以AB⊥BC，
又BB1⊥平面ABC.
因此，以B为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(6，0，0)，C(0，4，0)，B1(0，0，2)，A1(3，0，2)，C1(0，2，2).
所以=(3，0，0)，=(0，4，-2)，=(0，-2，2).
设平面A1B1C的一个法向量为n=(x，y，z)，
由
取y=1，则x=0，z=2，所以n=(0，1，2).
设CC1与平面A1B1C所成角为θ，
则sin θ===.
即直线CC1与平面A1B1C所成角的正弦值为.
利用空间向量求线面角的解题步骤
思维升华
跟踪训练2　(2025·济南模拟)如图，在三棱台ABC-DEF中，平面ABC⊥平面BCFE，AF⊥DE，∠ABC=∠CBF=45°，AC>AB=1.
(1)求三棱台ABC-DEF的高；
作FO⊥BC于点O，
因为平面ABC⊥平面BCFE，平面ABC∩平面BCFE=BC，FO 平面BCFE，FO⊥BC，
所以FO⊥平面ABC，FO即为三棱台ABC-DEF的高，
又因为AB 平面ABC，
所以FO⊥AB，连接AO，
因为AB∥DE，AF⊥DE，所以AB⊥AF，
FO∩AF=F，FO，AF 平面AFO，
所以AB⊥平面AFO，
又AO 平面AFO，所以AB⊥AO，
又∠ABC=∠CBF=45°，AB=1，
所以AO=1，BO=FO=，
所以三棱台ABC-DEF的高为.
(2)若直线AC与平面ABF所成角的正弦值为，求BC.
以O为原点，在平面ABC内，作Ox⊥BC，以Ox，OB，OF所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0，0，0)，A，B(0，，0)，F(0，0，)，
==(0，，-)，
=(0，-，0)，
设平面ABF的法向量为n=(x，y，z)，
则
可取n=(1，1，1)，
设=λ，则C(0，-λ，0)，
则=，
设直线AC与平面ABF所成的角为α，
sin α=|cos〈，n〉|==，
化简得8λ2-18λ+9=0，
解得λ=或λ=(舍去，因为AC>AB，则BC>BO，所以λ>1)，
所以BC=λBO=.
例3　(2024·新课标全国Ⅰ)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB=.
(1)若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；
平面与平面的夹角
题型三
因为PA⊥平面ABCD，
而AD 平面ABCD，所以PA⊥AD，
又AD⊥PB，PB∩PA=P，PB，PA 平面PAB，所以AD⊥平面PAB，
而AB 平面PAB，所以AD⊥AB.
因为BC2+AB2=AC2，所以BC⊥AB，
根据平面知识可知AD∥BC，
又AD 平面PBC，BC 平面PBC，
所以AD∥平面PBC.
(2)若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值为，求AD.
方法一　以D为原点，的方向分别为x轴、y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
设AD=p，DC=q，
满足p2+q2=AC2=4.
则A(p，0，0)，P(p，0，2)，C(0，q，0)，D(0，0，0).
设平面APC的法向量为m=(x1，y1，z1)，
因为=(0，0，2)，=(-p，q，0)，
所以
取m=(q，p，0).
设平面DPC的法向量为n=(x2，y2，z2)，
因为=(p，0，2)，=(0，q，0)，
所以
取n=(2，0，-p).
所以|cos 〈m，n〉|===，
又因为p2+q2=4，所以=，
解得p=(负值舍去)，即AD=.
方法二　如图所示，过点D作DE⊥AC于点E，
再过点E作EF⊥CP于点F，连接DF，
因为PA⊥平面ABCD，
PA 平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABCD，
又平面PAC∩平面ABCD=AC，
DE 平面ABCD，
所以DE⊥平面PAC，
因为CP 平面PAC，所以DE⊥CP，
又EF⊥CP，EF∩DE=E，EF，DE 平面DEF，所以CP⊥平面DEF，
所以DF⊥CP，
根据二面角的定义可知，
∠DFE即为二面角A-CP-D的平面角，
即sin∠DFE=，即tan∠DFE=.
因为AD⊥DC，设AD=x，0则DC=，
由等面积法可得，DE=，
又CE==
而△EFC为等腰直角三角形，所以EF=，
又DE⊥平面PAC，EF 平面PAC，
所以DE⊥EF，
故tan∠DFE===，
解得x=，即AD=.
二面角的大小可以通过这两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角，法向量的方向指向内部的称为“进”入半平面；法向量的方向指向外部的称为穿“出”半平面；当法向量m，n“一进一出”时，m，n的夹角就是二面角的大小；当法向量m，n“同进同出”时，m，n的夹角就是二面角的补角.
利用法向量的方向判断二面角
微拓展
典例　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为棱
AB的中点，则二面角D1－EC－D的余弦值为　　.
建立如图所示的空间直角坐标系，
由AD＝AA1＝1，AB＝2，得E(1，1，1)，C(0，2，1)，D1(0，0，0)，
则＝(1，1，1)，＝(0，2，1)，
设平面D1EC的法向量为n=(x，y，z)，
则即
令z=-2，得n=(1，1，-2)，
易知平面DEC的一个法向量为m=(0，0，1)，
则cos〈m，n〉===-，
由法向量的方向为同出，
得二面角D1-EC-D的余弦值为.
利用空间向量计算平面与平面夹角大小的常用方法
(1)找法向量：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大小.
(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，然后通过这两个向量的夹角可得到平面与平面夹角的大小.
思维升华
跟踪训练3　(2024·新课标全国Ⅱ)如图，平面四边形ABCD中，AB=8，CD=3，AD=5，∠ADC=90°，∠BAD=30°，点E，F分别满足=
=，将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC=4.
(1)证明：EF⊥PD；
由AB=8，AD=5，
==，
得AE=2，AF=4，
又∠BAD=30°，在△AEF中，
由余弦定理得
EF=
==2，
所以AE2+EF2=AF2，
则AE⊥EF，即EF⊥AD，
所以EF⊥PE，EF⊥DE，
又PE∩DE=E，PE，DE 平面PDE，
所以EF⊥平面PDE，
又PD 平面PDE，
故EF⊥PD.
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值.
连接CE，
由∠ADC=90°，
ED=3，CD=3，
则EC2=ED2+CD2=36，
在△PEC中，PC=4，
PE=2，EC=6，
得EC2+PE2=PC2，
所以PE⊥EC，由(1)知PE⊥EF，
又EC∩EF=E，EC，EF 平面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD，
又ED 平面ABCD，
所以PE⊥ED，
则PE，EF，ED两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则E(0，0，0)，P(0，0，2)，
D(0，3，0)，C(3，3，0)，
F(2，0，0)，A(0，-2，0)，
由F是AB的中点，得B(4，2，0)，
所以=(3，3，-2)，
=(0，3，-2)，
=(4，2，-2)，
=(2，0，-2)，
设平面PCD和平面PBF的法向量分别为
n=(x1，y1，z1)，m=(x2，y2，z2)，
则
令y1=2，x2=，
得x1=0，z1=3，y2=-1，z2=1，
所以n=(0，2，3)，m=(，-1，1)，
设平面PCD和平面PBF所成的二面角为θ，
所以|cos θ|=|cos〈m，n〉|===，
则sin θ==，
即平面PCD和平面PBF所成的二面角的正弦值为.
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课时精练
对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C D C B AD ABD
题号 9 10 13 　14 答案 2 C 答案
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(1)如图，连接AB'，取BB'的中点Q，连接AQ，CQ，
由侧面ABB'A'为菱形，所以A'B⊥AB'.
又由A'B⊥B'C，且AB'∩B'C=B'，AB'，B'C 平面B'AC，所以A'B⊥平面B'AC，
又AC 平面B'AC，故而A'B⊥AC.
又由∠ABB'=，
所以△ABB'为等边三角形，所以AQ⊥BB'.
11.
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由B'C=BC，所以CQ⊥BB'，且AQ∩CQ=Q，AQ，CQ 平面ACQ，
所以BB'⊥平面ACQ，
又AC 平面ACQ，所以AC⊥BB'，
又BB'∩A'B=B，BB'，A'B 平面ABB'A'，
所以AC⊥平面ABB'A'，AC 平面ABC，
故而平面ABB'A'⊥平面ABC.
(2)如图，取A'B'的中点F，连接AF，
由(1)知AB⊥AC，AC⊥AF，
11.
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由F为A'B'的中点，则AF⊥A'B'，即AF⊥AB，
所以AB，AC，AF两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由AB=AC=2，
所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，A'(-1，0，)，E(0，1，0)，
所以=(2，-1，0)，=(3，0，-).
设P(x0，y0，z0)，由2=5，
11.
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得2(-1，-1，)=5(x0，y0-1，z0)，
所以x0=-，y0=，z0=，
所以=.
设平面A'BE的法向量为n=(x1，y1，z1)，
则即
令x1=1，则y1=2，z1=，所以n=(1，2，)，
11.
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令θ为AP与平面A'BE所成的角，
所以sin θ=|cos〈n，〉|===，
所以AP与平面A'BE所成角的正弦值为.
11.
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(1)方法一　由棱台定义可知AA1与CC1共面，且平面ABCD∥平面A1B1C1D1.
又平面ABCD∩平面ACC1A1=AC，平面A1B1C1D1∩平面ACC1A1=A1C1，
所以AC∥A1C1.
连接AC交BD于点O，如图，则O为AC的中点.
因为BC=2B1C1=2，所以A1C1=AO.
所以四边形A1AOC1是平行四边形，所以AA1∥OC1.
又AA1 平面BDC1，OC1 平面BDC1，所以AA1∥平面BDC1.
12.
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方法二　将棱台补形成棱锥P-ABCD，如图，
由棱台定义知平面ABCD∥平面A1B1C1D1.
又平面ABCD∩平面BCC1B1=BC，
平面A1B1C1D1∩平面BCC1B1=B1C1，所以BC∥B1C1.
连接AC交BD于点O，则O为AC的中点.
又△BCP∽△B1C1P，所以==2，所以C1为PC的中点，
所以OC1为△ACP的中位线，所以AA1∥OC1.
又AA1 平面BDC1，OC1 平面BDC1，所以AA1∥平面BDC1.
12.
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(2)方法一　在正方形ABCD中，BD⊥AC，又BD⊥AA1，AC∩AA1=A，AC，AA1 平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1.
因为OC1 平面ACC1A1，所以BD⊥OC1.
在Rt△BOC1中，∠BOC1=90°，BO=，BC1=2，所以OC1=.
在△OCC1中，OC=OC1=，CC1=2，
所以OC2+O=C，所以OC⊥OC1.
以O为原点，分别以的方向为x轴、
y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.
12.
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则B(，0，0)，D(-，0，0)，C(0，，0)，B1，D1.
所以=(-，0，0)，=.
设平面B1CD1的法向量为n=(x，y，z)，
则化简整理得
令y=2，则z=3，所以n=(0，2，3)，
12.
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又因为平面BC1D的一个法向量m=(0，1，0)，
所以|cos〈m，n〉|==，
所以平面BC1D与平面B1CD1夹角的余弦值为.
方法二　在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又BD⊥AA1，AC∩AA1=A，AC，AA1 平面ACC1A1，
所以BD⊥平面ACC1A1.
因为OC1 平面ACC1A1，所以BD⊥OC1.
12.
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在Rt△BOC1中，∠BOC1=90°，BO=，BC1=2，
所以OC1=.
在△OCC1中，OC=OC1=，CC1=2，
所以OC2+O=C，所以OC⊥OC1.
连接B1C交BC1于点M，连接CD1交C1D于点N，
则MN为平面BC1D与平面B1CD1的交线，设MN交OC1于点Q，连接CQ.
由△BCM∽△C1B1M，有==，
12.
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同理=，
所以MN∥BD，所以MN⊥平面ACC1A1.
又QO 平面ACC1A1，QC 平面ACC1A1，
所以MN⊥QO，MN⊥QC，
又∠OQC为锐角，所以∠OQC为平面BC1D与平面B1CD1的夹角.
由MN∥BD得==，
所以QO=.
12.
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在Rt△QOC中，QO=，OC=，QC=，
所以cos∠OQC=.
所以平面BC1D与平面B1CD1夹角的余弦值为.
12.
一、单项选择题
1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l与平面α的所成的角等于
A.40° B.50° C.130° D.以上均错
√
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知识过关
答案
因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，所以直线l与平面α的所成的角等于130°-90°=40°.
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2.在空间直角坐标系中，已知向量m=(1，1，-1)是平面ABC的一个法向量，且=(0，3，4)，则直线CD与平面ABC所成角的正弦值是
A. B. C. D.
√
直线CD与平面ABC所成角的正弦值等于|cos〈m，〉|===.
3.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=CC1=4，M是A1B1的中点，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.若⊥，则异面直线CM与A1B所成角的余弦值为
A. B.
C. D.
√
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答案
设CB=t>0，由题意得，C(0，0，0)，A1(4，0，4)，
B(0，t，0)，M，C1(0，0，4)，
=(-4，t，-4)，=，
由⊥得·=-8+=0 t=4，
=(2，2，4)，=(-4，4，-4)，
∴|cos〈〉|===，
∴异面直线CM与A1B所成角的余弦值为.
4.(2024·包头模拟)如图，底面ABCD是边长为2的正方形，半圆面APD⊥底面ABCD，点P为圆弧AD上的动点.当三棱锥P-BCD的体积最大时，二面角P-BC-D的余弦值为
A. B.
C. D.
√
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答案
三棱锥P-BCD的体积与P到平面BCD的距离成正比，
故当三棱锥P-BCD的体积最大时，此时点P处于半圆弧的正中间位置.
点P处于半圆弧的正中间位置时，记AD的中点为O，以其为原点，的方向分别作为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
显然平面BCD的一个法向量为m=(0，0，1)，
则P(0，0，1)，B(2，-1，0)，C(2，1，0)，
则该向量与=(2，-1，-1)和=(2，1，-1)均垂直，
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答案
设n=(x，y，z)为平面PBC的一个法向量，
所以n·=0，n·=0，
从而
令x=1，解得
故n=(x，y，z)=(1，0，2)符合条件，显然二面角P-BC-D为锐角，
因此所求余弦值为|cos〈n，m〉|===.
5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是线段A1C1上任意一点，则AE与平面ABCD所成角的正弦值不可能是
A. B.
C. D.1
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答案
如图，以B为原点建立空间直角坐标系， 设棱长为1，
则B(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，0，1)，设E(t，1-t，1)，0≤t≤1，
所以=(t-1，1-t，1)，
平面ABCD的一个法向量为=(0，0，1)，
|cos〈〉|==∈，
所以AE与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围为.
对比各选项，C项不可能.
6.(2024·毕节模拟)钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑.如图，在某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面(四棱柱看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上)，在整点时刻(在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点)，已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟面上的
时针所在的两条直线所成的角的余弦值为
A. B. C. D.
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答案
如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为侧面ABB1A1和侧面BCC1B1的中心，
设G为BB1的中点，EN为2点钟时针，FM为8点钟时针，
则∠NEG=30°，∠MFG=30°，
设正四棱柱的底面边长为a，侧棱长为b，
以D为原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则E，N，F，
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答案
M，
==，
所以|cos〈〉|===.
所以在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为.
二、多项选择题
7.三棱锥A-BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若n1=(1，0，0)，n2=(-，0，1)，则二面角A-BD-C的大小可能为
A. B. C. D.
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答案
√
√
由已知可得|cos〈n1，n2〉|==，
因此二面角A-BD-C的大小为或.
8.在△ABC中，B=，AB=2，BC=3，E为AC的中点，点F在线段BC上，且CF=2BF，将△ABC以直线BC为轴顺时针转一周围成一个圆锥，D为底面圆上一点，满足=π，则
A.BA⊥BD
B.在上的投影向量是
C.直线EF与直线CD所成角的余弦值为
D.直线EF与平面ACD所成角的正弦值为
√
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答案
△ABC旋转一周后所得圆锥的顶点为C，底面圆心为B，半径AB=2，
所以圆的周长为4π，所以 所对的圆心角为∠ABD=，A正确；
易知B正确；
以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，2，0)，D(2，0，0)，C(0，0，3)，
E，F(0，0，1)，
所以==(2，0，-3)，=(0，2，-3)，
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答案
所以|cos〈〉|==，C错误；
设平面ACD的法向量为n=(x，y，z)，
则令z=2，
则n=(3，3，2).设直线EF与平面ACD所成的角为θ，
则sin θ=|cos〈，n〉|==，D正确.
三、填空题
9.(2025·沧州模拟)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长与侧棱长之
比为1∶3，则平面DA1B与平面A1BC1夹角的余弦值为　　.
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答案
如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为a(a>0)，
则DD1=3a，
所以B(a，a，0)，A1(a，0，3a)，C1(0，a，3a)，
则=(0，a，-3a)，=(a，a，0)，=(-a，a，0)，
设平面DA1B与平面A1BC1的法向量分别为
n=(x1，y1，z1)，m=(x2，y2，z2)，
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答案
则
令x1=3，则n=(3，-3，-1)，
令z2=1，则m=(3，3，1)，
设平面DA1B与平面A1BC1的夹角为θ，
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答案
则cos θ===，
所以平面DA1B与平面A1BC1夹角的余弦值为.
10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AP=AB=2，AD=4，E是BC上的点，直线PB与平面PDE所成角的正弦值为，则BE的长为　　.
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答案
由题意知，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，
以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，P(0，0，2)，D(0，4，0)，
设E(2，t，0)(0≤t≤4)，
则=(2，0，-2)，=(0，4，-2)，=(2，t，-2)，
=(0，t，0)，
设平面PDE的法向量为n=(x，y，z)，
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答案
则
令y=2，得n=(4-t，2，4)，
设直线PB与平面PDE所成的角为θ，θ∈，
所以sin θ=|cos〈，n〉|===，
即5t2+8t-36=0，解得t=2或t=-(舍去)，
故BE的长为2.
四、解答题
11.如图，已知在斜三棱柱ABC-A'B'C'中，A'B⊥B'C，侧面ABB'A'是边长为2的菱形，且∠ABB'=，B'C=BC.
(1)求证：平面ABB'A'⊥平面ABC；
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答案
如图，连接AB'，取BB'的中点Q，连接AQ，CQ，
由侧面ABB'A'为菱形，所以A'B⊥AB'.
又由A'B⊥B'C，且AB'∩B'C=B'，AB'，B'C 平面B'AC，
所以A'B⊥平面B'AC，
又AC 平面B'AC，故而A'B⊥AC.
又由∠ABB'=，
所以△ABB'为等边三角形，所以AQ⊥BB'.
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答案
由B'C=BC，所以CQ⊥BB'，且AQ∩CQ=Q，AQ，CQ 平面ACQ，
所以BB'⊥平面ACQ，
又AC 平面ACQ，所以AC⊥BB'，
又BB'∩A'B=B，BB'，A'B 平面ABB'A'，
所以AC⊥平面ABB'A'，AC 平面ABC，
故而平面ABB'A'⊥平面ABC.
(2)若AC=AB，E是AC的中点，2=5，求AP与平面A'BE所成角的正弦值.
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答案
如图，取A'B'的中点F，连接AF，
由(1)知AB⊥AC，AC⊥AF，
由F为A'B'的中点，
则AF⊥A'B'，即AF⊥AB，
所以AB，AC，AF两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由AB=AC=2，
所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，A'(-1，0，)，E(0，1，0)，
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答案
所以=(2，-1，0)，=(3，0，-).
设P(x0，y0，z0)，由2=5，
得2(-1，-1，)=5(x0，y0-1，z0)，
所以x0=-，y0=，z0=，
所以=.
设平面A'BE的法向量为n=(x1，y1，z1)，
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答案
则即
令x1=1，则y1=2，z1=，所以n=(1，2，)，
令θ为AP与平面A'BE所成的角，
所以sin θ=|cos〈n，〉|===，
所以AP与平面A'BE所成角的正弦值为.
12.(2024·厦门模拟)如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，B1C1=1.
(1)证明：AA1∥平面BDC1；
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答案
方法一　由棱台定义可知AA1与CC1共面，且平面ABCD∥平面A1B1C1D1.
又平面ABCD∩平面ACC1A1=AC，平面A1B1C1D1∩平面ACC1A1=A1C1，
所以AC∥A1C1.
连接AC交BD于点O，如图，则O为AC的中点.
因为BC=2B1C1=2，所以A1C1=AO.
所以四边形A1AOC1是平行四边形，所以AA1∥OC1.
又AA1 平面BDC1，OC1 平面BDC1，
所以AA1∥平面BDC1.
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答案
方法二　将棱台补形成棱锥P-ABCD，如图，
由棱台定义知平面ABCD∥平面A1B1C1D1.
又平面ABCD∩平面BCC1B1=BC，平面A1B1C1D1∩平面BCC1B1=B1C1，
所以BC∥B1C1.
连接AC交BD于点O，则O为AC的中点.
又△BCP∽△B1C1P，所以==2，所以C1为PC的中点，
所以OC1为△ACP的中位线，所以AA1∥OC1.
又AA1 平面BDC1，OC1 平面BDC1，所以AA1∥平面BDC1.
(2)若AA1⊥BD，BC1=CC1=2，求平面BC1D与平面B1CD1夹角的余弦值.
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答案
方法一　在正方形ABCD中，BD⊥AC，又BD⊥AA1，AC∩AA1=A，AC，AA1 平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1.
因为OC1 平面ACC1A1，所以BD⊥OC1.
在Rt△BOC1中，∠BOC1=90°，BO=，BC1=2，
所以OC1=.
在△OCC1中，OC=OC1=，CC1=2，
所以OC2+O=C，所以OC⊥OC1.
以O为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.
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答案
则B(，0，0)，D(-，0，0)，C(0，，0)，B1，D1.
所以=(-，0，0)，=.
设平面B1CD1的法向量为n=(x，y，z)，
则化简整理得
令y=2，则z=3，所以n=(0，2，3)，
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答案
又因为平面BC1D的一个法向量m=(0，1，0)，
所以|cos〈m，n〉|==，
所以平面BC1D与平面B1CD1夹角的余弦值为.
方法二　在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又BD⊥AA1，AC∩AA1=A，AC，AA1 平面ACC1A1，
所以BD⊥平面ACC1A1.
因为OC1 平面ACC1A1，所以BD⊥OC1.
在Rt△BOC1中，∠BOC1=90°，BO=，BC1=2，
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答案
所以OC1=.
在△OCC1中，OC=OC1=，CC1=2，
所以OC2+O=C，所以OC⊥OC1.
连接B1C交BC1于点M，连接CD1交C1D于点N，
则MN为平面BC1D与平面B1CD1的交线，设MN交OC1于点Q，连接CQ.
由△BCM∽△C1B1M，有==，同理=，
所以MN∥BD，所以MN⊥平面ACC1A1.
又QO 平面ACC1A1，QC 平面ACC1A1，
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答案
所以MN⊥QO，MN⊥QC，
又∠OQC为锐角，所以∠OQC为平面BC1D与平面B1CD1的夹角.
由MN∥BD得==，
所以QO=.
在Rt△QOC中，QO=，OC=，QC=，
所以cos∠OQC=.
所以平面BC1D与平面B1CD1夹角的余弦值为.
13.(2024·临沂模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为CC1，C1D的中点，则
A.直线MN与A1C所成角的余弦值为
B.平面BMN与平面BC1D1夹角的余弦值为
C.在BC1上存在点Q，使得B1Q⊥BD1
D.在B1D上存在点P，使得PA∥平面BMN
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能力拓展
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答案
以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，
所以D(0，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，
M，N，
对于A，==(-1，1，-1)，
直线MN与A1C所成角的余弦值为|cos〈〉|===，故A错误；
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答案
对于B，==，
设平面BMN的法向量为n=(x，y，z)，
则
取x=1，可得y=0，z=2，所以n=(1，0，2)，
=(0，-1，0)，=(-1，0，1)，
设平面BC1D1的法向量为m=(x1，y1，z1)，
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则
取x1=1，可得y1=0，z1=1，所以m=(1，0，1)，
平面BMN与平面BC1D1夹角的余弦值为
|cos〈m，n〉|===，故B错误；
对于C，因为Q在BC1上，设Q(x0，1，z0)，
所以=λ，0≤λ≤1，
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答案
则=(x0，0，z0-1)，=(1，0，-1)，
所以x0=λ，z0=-λ+1，
所以Q(λ，1，-λ+1)，=(λ-1，0，-λ)，
=(-1，-1，1)，
所以·=1-λ-λ=0，解得λ=.
故BC1上存在点Q，使得B1Q⊥BD1，故C正确；
对于D，因为MN∥DC∥AB，所以N，M，B，A四点共面，
所以A∈平面BMN，所以B1D上不存在点P，使得PA∥平面BMN，故D错误.
14.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点M，N分别在棱BC，AB上，且满足AN=BM，当三棱锥D-MNB1的体积最小时，B1M与平面A1MN所成
角的正弦值是　　　.
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答案
设AN=x(0≤x≤2)，
则S△DMN=2×2-×2x-(2-x)x-×2(2-x)=2-(2-x)x.
由等体积法，得=
=×2×S△DMN=-(2-x)x≥-=1，
当且仅当2-x=x，即x=1时，等号成立.
所以当最小时，M，N分别是所在棱的中点.
方法一　易知A1N=B1M=，A1M=3，MN=.
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答案
由余弦定理，得
cos∠A1MN==，
所以sin∠A1MN=，
所以=××3×=.
设点B1到平面A1MN的距离为h.根据=，
得××2×2×1=××h，解得h=.
所以B1M与平面A1MN所成角的正弦值为==.
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答案
方法二　以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则N(2，1，0)，M(1，2，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2).
所以=(1，-1，0)，=(-1，2，-2)，=(1，0，2).
设平面A1MN的法向量为n=(x，y，z)，
则即
令x=1，得y=1，z=，则n=.
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设B1M与平面A1MN所成的角为θ，
则sin θ=|cos〈n，〉|=
==.
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第七章
必刷小题13　立体几何
数学
大
一
轮
复
习
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B C C D B A
题号 9 10 11 12 13 　14 答案 ABC ACD AD M∈线段FH 一、单项选择题
1.如图，△O'A'B'是由斜二测画法得到的水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是
A.6 B.3
C.6 D.12
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答案
由直观图画法规则，可得△OAB是一个直角三角形，
如图，直角边OA=6，OB=4，
∴S△OAB=OA·OB=×6×4=12.
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答案
2.已知三个不同的平面α，β，γ，α∩β=a，γ∩β=b，则“α∥γ”是“a∥b”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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因为α∥γ，α∩β=a，γ∩β=b，所以由面面平行的性质定理可得a∥b，则充分性成立；
因为a∥b，α∩β=a，γ∩β=b，所以则a∥γ，又则b∥α，
当α∩γ=l时，由线面平行的性质定理可知a∥l∥b，则必要性不成立，
综上所述，“α∥γ”是“a∥b”的充分不必要条件.
3.若圆锥的侧面展开图是圆心角为180°、半径为4的扇形，则这个圆锥的体积是
A.π B.π
C.8π D.4π
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设圆锥底面圆半径为r，
依题意，2πr=4π，解得r=2，
而圆锥的母线长l=4，
因此圆锥的高h==2，
所以这个圆锥的体积V=πr2h=π×22×2=π.
答案
4.(2024·咸阳模拟)已知各棱长都为1的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1，AB，AD两两的夹角均为，则异面直线BA1与CB1所成的角为
A. B.
C. D.
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答案
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1D，BD，A1B1∥AB∥CD，A1B1=AB=CD，则四边形A1B1CD是平行四边形，B1C∥A1D，于是∠BA1D或其补角是异面直线BA1与CB1所成的角，由AA1=AB=AD=1，棱AA1，AB，
AD两两的夹角均为，得△ABD，△ABA1，△ADA1都是正三角形，即A1B=BD=A1D=1，则∠BA1D=，所以异面直线BA1与CB1所成的角为.
5.(2025·白银模拟)如图所示，多面体ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体，M，N分别是棱A1B1，B1C1上的中点，P是棱AD上的一点，2AP=DP，过点P，M，N的平面交上底面ABCD于PQ，点Q在棱CD上，
则PQ等于
A. B.
C.2 D.2
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连接A1C1，AC(图略)，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且MN 平面A1B1C1D1，
所以MN∥平面ABCD，
因为平面PMNQ∩平面ABCD=PQ，
MN 平面PMNQ，
所以MN∥PQ，
又M，N分别是A1B1，B1C1的中点，
所以MN∥A1C1，
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又A1C1∥AC，所以PQ∥AC，
因为2AP=DP，所以2CQ=DQ，
所以DQ=DP=2，
故在Rt△PDQ中，PQ===2.
6.(2025·安顺模拟)已知在正四面体OABC中，OA=1，则直线OA与平面OBC所成角的正弦值为
A. B.
C. D.
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如图，在正四面体OABC中，设H为△OBC的中心，取BC的中点P，连接OP，
由正四面体的性质可知AH⊥平面OBC，且OH=OP，
则∠AOH即为直线OA与平面OBC所成的角，
因为OA=1，则BP=CP=，
故OP==，
故OH=OP=，
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由勾股定理得AH==，
故sin∠AOH==，
即直线OA与平面OBC所成角的正弦值为.
7.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AD的中点，P为线段CE上的动点，则当C1P⊥A1C时，C1P的长为
A. B.
C. D.
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答案
如图，连接DC1，BC1，BD，AC，
因为AA1⊥平面ABCD，由BD 平面ABCD，得BD⊥AA1，
又BD⊥AC，AA1∩AC=A，AA1，AC 平面A1AC，所以BD⊥平面A1AC，
由A1C 平面A1AC，得A1C⊥BD，
同理A1C⊥BC1，
又BC1∩BD=B，BC1，BD 平面BDC1，
所以A1C⊥平面BDC1，记BD∩CE=P，所以C1P⊥A1C，
由△DPE∽△BPC，得==，
所以CP=CE==，故C1P==.
8.(2024·济南模拟)已知正三棱锥P-ABC的底面△ABC的边长为2，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥P-ABC的体积为
A.2 B.2
C.3 D.2
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因为球与该正三棱锥的各棱均相切，
所以平面ABC截球得到的截面圆与△ABC的三边均相切，所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面ABC垂直的直线上，
又△ABC的边长为2，所以△ABC的内切圆的半径为
r'=tan ·AB=×=1，
又因为球的半径r=1，即r'=r，
所以棱切球的球心即为△ABC的中心点O，
如图，过球心O作PA的垂线交PA于H，则H为棱切球在PA上的垂足，
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答案
所以OH=r=1，
又因为OA===2，
所以cos∠AOH==，
因为∠AOH∈，所以∠AOH=，
又由题意可知，PO⊥平面ABC，
所以PO⊥OA，所以∠POH=，
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答案
所以PO===，
所以V三棱锥P-ABC=××2×2××=2.
二、多项选择题
9.(2025·娄底模拟)已知a，b，c是空间中三条不同的直线，α，β是空间中两个不同的平面，下列命题不正确的是
A.若a⊥b，a⊥c，b α，c α，则a⊥α
B.若α⊥β，a⊥α，则a∥β
C.若a∥b，a∥c，a∥α，则b∥α或c∥α
D.若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β
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答案
对于A，若b∥c，则a与α相交或平行，或a α，故A错误；
对于B，若α⊥β，a⊥α，则a∥β或a β，故B错误；
对于C，有可能b α且c α且b∥c，故C错误；
对于D，若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β，故D正确.
10.已知圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线与底面所成的角为，则
A.该圆台的母线长为2
B.该圆台的表面积为12π
C.该圆台的体积为
D.该圆台的外接球的表面积为80π
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答案
设圆台上底面的半径为r1=2，下底面的半径为r2=4.
对于A中，由于母线与底面所成的角为，
则母线长l==2，所以A正确；
对于B中，圆台的表面积S=π+π+πr1l+πr2l=4π+16π+π×2×2+π×4×2=(20+12)π，所以B不正确；
对于C中，由圆台的母线长l=2，且母线与底面所成的角为，
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答案
可得圆台的高h=2sin =2，
则体积V=π(+r1r2)·h=π(4+16+2×4)×2=，所以C正确；
对于D中，设圆台外接球的半径为R，球心到下底面的距离为h1，
若外接球的球心在圆台下底面的下方，
可得解得
此时圆台外接球的表面积S=4πR2=80π；
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答案
若外接球的球心在圆台上、下底面之间，
可得此时方程组无解，
综上可得，圆台外接球的表面积为80π，所以D正确.
11.在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°.将菱形ABCD沿对角线AC折成大小为θ(0°<θ<180°)的二面角B-AC-D，若折成的四面体ABCD内接于球O，则下列说法正确的是
A.四面体ABCD的体积的最大值是3
B.BD的取值范围是(3，6)
C.四面体ABCD的表面积的最大值是6+6
D.当θ=60°时，球O的体积为π
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答案
对于A，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，则△ABC为等边三角形，
取AC的中点E，连接BE，DE，如图，则BE⊥AC，
同理得，△ACD为等边三角形，
则DE⊥AC，
且BE=DE=2sin 60°=3，S△ABC=AC·BE=3，
于是二面角B-AC-D的平面角为θ=∠BED，
设点D到平面ABC的距离为d，
则d=DEsin θ=3sin θ，
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答案
V三棱锥D-ABC=S△ABC·d=×3×3sin θ=3sin θ≤3，当且仅当θ=90°时取等号，即四面体ABCD的体积的最大值是3，A正确；
对于B，由余弦定理得BD2=BE2+DE2-2BE·DEcos θ
=18-18cos θ∈(0，36)，
因此BD的取值范围是(0，6)，B错误；
对于C，S△ACD=S△ABC=3，由AB=AD=BC=CD，BD=BD，得△ABD≌△CBD，
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答案
则S△CBD=S△ABD=AB·ADsin∠BAD=6sin∠BAD≤6，
因此四面体ABCD的表面积的最大值是2×3+2×6=12+6，C错误；
对于D，设M，N分别为△ABC，△ACD的外心，则EN=EM=BE=1，
在平面BDE内过点M作BE的垂线与过点N作DE的垂线交于点O，
由BE⊥AC，DE⊥AC，BE∩DE=E，BE，DE 平面BDE，
得AC⊥平面BDE，
而OM 平面BDE，则OM⊥AC，
又OM⊥BE，BE∩AC=E，BE，AC 平面ABC，
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答案
于是OM⊥平面ABC，同理得ON⊥平面ACD，
则O为四面体ABCD的外接球球心，
连接OE，OA，由EM=EN，OE=OE，∠OME=∠ONE=90°，
得△OME≌△ONE，
因此∠OEM==30°，OE==，
而AC⊥平面BDE，OE 平面BDE，则OE⊥AC，
则OA==，即球O的半径为R=，球O的体积为V=πR3=π，D正确.
三、填空题
12.圆锥轴截面顶角为120°，母线长为3，过圆锥顶点的平面截此圆锥，
则截面三角形面积的最大值为　　　.
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答案
因为圆锥轴截面顶角为，
所以任意两条母线夹角的范围是，
设母线长为l，两条母线的夹角是θ，
所以过圆锥顶点的截面三角形面积S=l2sin θ=sin θ，
因为θ∈，所以sin θ∈(0，1]，
所以截面三角形面积的最大值是.
13.在正四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，E，F，G，H分别是棱C1C，C1D1，DD1，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件　　　　　　时，有MN∥平面B1BDD1.
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M∈线段FH
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答案
如图所示，取B1C1的中点Q，连接QN，QF，FH，HN，
由已知得QN，FH与CC1，BB1都平行且相等，因此FH与QN平行且相等，
从而四边形FQNH是平行四边形，
又H，N分别是CD，CB的中点，
则HN∥BD，HN 平面B1BDD1，BD 平面B1BDD1，
∴HN∥平面B1BDD1，
同理NQ∥平面B1BDD1，
而HN∩NQ=N，HN，NQ 平面FQNH，
∴平面FQNH∥平面BB1D1D，
因此只要M∈线段FH，就有MN∥平面B1BDD1.
14.(2025·长沙模拟)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为△A1BD内一点，且AP=，则BP+C1P的最大值为　　　　.
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答案
如图，连接AC1与平面A1BD交于点O，
易知BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1=C且AC，CC1 平面ACC1，
所以BD⊥平面ACC1，又AC1 平面ACC1，所以BD⊥AC1，
因为A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，AB1∩B1C1=B1且AB1，B1C1 平面AB1C1，
所以A1B⊥平面AB1C1，又AC1 平面AB1C1，所以A1B⊥AC1，
又因为BD∩A1B=B，BD，A1B 平面A1BD，
则AC1⊥平面A1BD，
又因为OP 平面A1BD，所以AC1⊥OP，
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答案
而AO=AC1=，因为AP=，
所以OP==，
△A1BD是边长为2的正三角形，
其内切圆半径r=，
所以点P在△A1BD的内切圆上，
因为AC1⊥平面A1BD，且点C1到平面A1BD的距离为AC1=，
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答案
所以C1P==，
当点P为A1D的中点时，BP最大，最大值为A1B=，
所以BP+C1P的最大值为2.(共86张PPT)
第七章
§7.1　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
数学
大
一
轮
复
习
1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题.
3.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相 且____ 多边形 互相 且_____
侧棱 ____________ 相交于 但不一定相等 延长线交于_____
侧面形状 ____________ ________ ______
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
平行
全等
平行
相似
平行且相等
一点
一点
平行四边形
三角形
梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等， 于底面 相交于_____ 延长线交于____
轴截面 ______ ___________ __________ ____
侧面展开图 ______ ______ ______
垂直
一点
一点
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆
矩形
扇形
扇环
2.直观图
(1)画法：常用 .
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x'轴、y'轴的夹角为45°或135°.
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍 ，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的 .
斜二测画法
分别平行于坐标轴
不变
一半
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧=_____ S圆锥侧=____ S圆台侧=________
2πrl
πrl
π(r1+r2)l
4.柱、锥、台、球的表面积和体积
名称 几何体 表面积 体积
柱体 S表=S侧+2S底 V=_____
锥体 S表=S侧+S底 V=_____
台体 S表=S侧+S上+S下 V=____________________
球 S表=_____ V=_____
Sh
Sh
(S上+S下 +)h
4πR2
πR3
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)菱形的直观图仍是菱形.(　　)
(2)圆台的母线长都相等. (　　)
(3)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.(　　)
(4)锥体的体积等于底面积与高之积.(　　)
×
√
×
×
2.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，则该三棱柱的体积为
A.4 B.3 C.2 D.
√
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，
所以S△ABC=×2×2×sin 60°=，
所以=S△ABC·AA1=2.
3.用斜二测画法作一个水平放置的边长为6的正方形的直观图，则直观图的面积为
A.36 B.18 C.9 D.
√
在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的，而边长为6的正方形面积为36，所以所求的直观图的面积为×36=9.
4.已知圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于2π，则该圆锥的体积为　　.
设圆锥PO的底面圆半径为r，由母线长为2，侧面积等于2π，
得×2πr×2=2π，解得r=，
因此圆锥的高h===1，
所以该圆锥的体积V=πr2h=π××1=π.
π
1.掌握三个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.
(2)(祖暅原理)等高处的截面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.
(3)直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图=S原图形，S原图形=2S直观图.
2.关于几何体的表面积和侧面积的两个注意点
(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和.
(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
命题点1　结构特征
例1　(多选)下列说法中正确的是
A.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B.长方体是直四棱柱
C.用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台
D.球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面
√
基本立体图形
题型一
√
对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，故A错误；
对于B，易知长方体的侧棱和底面垂直，所以是直四棱柱，故B正确；
对于C，根据圆台的定义，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分为圆台，故C错误；
对于D，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，故D正确.
命题点2　直观图
例2　用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC的直观图为如图所示的直角梯形O'A'B'C'，其中B'C'=O'A'，A'B'⊥O'A'，若原平面图形OABC的面积为3，则O'A'的长为
A.2 B.
C. D.
√
方法一　如图所示，根据斜二测画法的规则，得到原几何图形OABC，
设O'A'=x，可得O'B'=x，
则OB=2O'B'=2x，BC=B'C'=，OA=O'A'=x，
且OB为原平面图形中梯形的高，
所以原平面图形OABC的面积为S=×2x=3，
解得x=.
方法二　由S直观图=S原图形可得S直观图=，
设O'A'=x，则O'B'=x，B'C'=，A'B'=x，
根据直角梯形的面积公式得x=，
解得x=.
命题点3　展开图
例3　(2025·大同模拟)已知圆台的上、下底面的圆心分别为O1，O2，母线AB=1(点A位于上底面)，且BO2=2AO1，圆O2的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台侧面爬行一周到点B，则其爬行的最短路程为
A.1 B.
C.2 D.
√
将圆台的侧面沿着母线AB剪开，展成平面图形，延长BA，B1A1交于点O，连接AA1，AB1，BB1，如图，
显然弧BB1的长为，弧AA1的长为，设∠BOB1=α，
则α×OA=，α×OB=，
则OB=2OA，即OA+1=2OA，得OA=1，于是A是OB的中点，α=，
因此△OBB1是等边三角形，有AB1⊥OB，且AB1与弧AA1相切，则AB1在此侧面展开图内，
所以蚂蚁爬行的最短路线为线段AB1，AB1=ABtan =.
(1)辨别空间几何体的两种方法
①定义法：紧扣定义进行判定；
②反例法：要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可.
(2)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.
(3)在解决空间曲线(段)最短问题时一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化.
思维升华
跟踪训练1　(1)下列说法正确的是
A.棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱
B.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
C.有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
D.直角三角形以其一边所在直线为轴旋转一周形成的几何体不一定是圆锥
√
对于A，底面和侧面的公共边不是侧棱，A错误；
对于B，底面是正多边形的棱锥，顶点与底面中心的连线不一定垂直于底面，因此它不一定是正棱锥，B错误；
对于C，两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还要满足各侧棱的延长线交于一点，C错误；
对于D，直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥，以其斜边所在直线为轴旋转一周形成的几何体由两个共底的圆锥组合而成，D正确.
(2)如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形A'B'C'D'，且O'D'=2，则原平面图形的周长为
A.4+4 B.4+4
C.8 D.8
√
根据题意，把直观图还原成原平面图形，如图所示，
其中OA=2，OD=4，AB=CD=2，
则AD==2，
故原平面图形的周长为2+2+2+2=4+4.
(3)如图在一根高为11 cm，外圆周长为6 cm的圆柱体外表面缠绕一根细铁丝，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线的两端，则铁丝长度的最小值为
A.61 cm B. cm
C. cm D. cm
√
∵圆柱体的高为11 cm，外圆周长为6 cm，
又铁丝在柱体上缠绕10圈，且铁丝的两个端点
落在圆柱的同一条母线的两端，
则我们可以得到将圆柱侧面展开后的平面图形，如图所示，
其中每一个小矩形的宽为圆柱的外圆周长6 cm，高为圆柱的高11 cm，则大矩形的对角线即为铁丝长度的最小值，
此时铁丝长度的最小值为=61(cm).
命题点1　表面积
例4　(1)以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于
A.8π B.4π C.8 D.4
表面积与体积
题型二
√
以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周所得圆柱的底面半径r=2，高h=2，
∴所得圆柱的侧面积S=2πrh=2π×2×2=8π.
圆台的上底面圆半径r'=1，下底面圆半径r=3，
设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为x，
依题意有
解得
所以圆台的侧面积S=π(r'+r)l=π(1+3)×4=16π.
(2)(2025·枣庄模拟)已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为
A.6π B.16π C.26π D.32π
√
命题点2　体积
例5　(1)(2024·武汉模拟)“极目一号”Ⅲ型浮空艇(如图1)是中国科学院空天信息研究院自主研发的，它曾多次成功完成大气科学观测，彰显了中国的实力.“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55 m，高19 m，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为(参考数据：9.52≈90，9.53≈857，315×1 005
≈316 600，π≈3.14)
A.9 064 m3 B.9 004 m3
C.8 944 m3 D.8 884 m3
√
由题图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为R==9.5(m)，而圆台另一个底面的半径为r=1 m，
则V半球=××π×9.53≈π(m3)，
V圆柱=π×9.52×14≈1 260π(m3)，
V圆台=×(9.52π++π)×31.5≈π(m3)，
所以V=V半球+V圆柱+V圆台≈π+1 260π+π≈9 064(m3).
(2)木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足.如图为一个木楔子，其中四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥CD，EF=2，则该木楔子的体积为
A. B.
C. D.
√
如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，
由题意知等腰梯形ABFE全等于等腰梯形DCFE，
则EG=HF==，AG=GD=BH=HC==.
取AD的中点O，连接GO，
因为AG=GD，所以GO⊥AD，
则GO==，
所以S△ADG=S△BCH=××1=.
因为AB∥EF，AG⊥EF，所以AB⊥AG，
因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD，
又因为AD∩AG=A，AD，AG 平面ADG，
所以AB⊥平面ADG，所以EF⊥平面AGD，
同理可证EF⊥平面BCH，
所以多面体的体积V=V三棱锥E-ADG+V三棱锥F-BCH+V三棱柱AGD-BHC=2V三棱锥E-ADG+
V三棱柱AGD-BHC
=×××2+×1=.
求空间几何体的体积的常用方法
思维升华
公式法 规则几何体的体积，直接利用公式
割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体
等体积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积
跟踪训练2　(1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为
A.2π B.3π
C.6π D.9π
√
设圆柱的底面半径为r，
则圆锥的母线长为，
而它们的侧面积相等，
所以2πr×=πr×，
即2=，故r=3，
故圆锥的体积为π×9×=3π.
(2)(多选)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，BC=3，CC1=4，且AB⊥BC，P为BC1的中点，则
A.三棱锥A-BCC1的体积为4
B.三棱锥C-APC1的体积为
C.四棱锥C1-ABB1A1的体积为8
D.三棱锥C1-ABC的表面积为14+2
√
√
√
对于A，==×CC1×S△ABC
=×4××2×3=4，故A正确；
对于B，=，
而三棱锥A-BCC1与三棱锥A-PCC1有共同的高，
∵P为BC1的中点，∴，
∴==×4=2，故B错误；
对于C，=-=×2×3×4-4=8，故C正确；
对于D，由题可知，AC=，AC1=，BC1=5，
∴AB2+B=A，
∴△ABC1是直角三角形，AB⊥BC1，
∴三棱锥C1-ABC的表面积为S△ABC+
=×2×3+×3×4+××4+×2×5=14+2，故D正确.
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课时精练
对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C D C B AC ABD
题号 9 10 13 14 15 16
答案 200π ACD B B
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(1)由题知，底面半径为2，母线长为4，
所以圆柱的侧面积S=2π×2×4=16π，
圆柱的体积V=π×22×4=16π.
(2)记底面圆心为O，连接OC，因为底面半径为2，AC=2，
以AP所在直线为轴，将△APC旋转到△APC'，
使得△APC'和轴截面PAB共面，如图，
则OC'=2+2=4，OD=2，
当C'，E，D三点共线时，CE+DE取得最小值=2.
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(1)因为S原图形=2S直观图，
所以S平面四边形OABC=2S直观图=6.
(2)平面四边形OABC如图所示，在Rt△ODC中，有OC2=OD2+CD2=(2)2+12=9，
所以OC=3，所以AB=3.
如图，分别过点B，C作AO及其延长线的垂线，
垂足为E，F.
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矩形FEBC绕AO及其延长线旋转一周得到一个底面半径r=OD=2，母线l1=BC=3的圆柱；
Rt△BEA绕AO旋转一周得到一个底面半径r=OD=2，
母线l2=AB=3，高h1=AE=1的圆锥；
Rt△CFO绕AO及其延长线旋转一周得到一个底面半径r=OD=2，母线l3=OC=3，高h2=OF=CD=1的圆锥.
所以旋转形成的几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥，再加上一个同底的圆锥构成的组合体.
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则旋转形成的几何体的体积等于圆柱的体积，减去挖去的圆锥体积，再加上组合的圆锥的体积，
所以旋转形成的几何体的体积V=πr2l1-πr2h2+πr2h1
=π××3-π××1+π××1=24π.
旋转形成的几何体的表面积即圆柱的侧面积加上两个圆锥的侧面积，
所以S=2πrl1+πrl2+πrl3=2π×2×3+π×2×3+π×2×3=24π.
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一、单项选择题
1.下面关于空间几何体叙述不正确的是
A.正四棱柱都是长方体
B.在圆柱的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱
的母线
C.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
D.有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公
共边都互相平行的几何体是棱柱
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对于A，正四棱柱的侧面都是长方形，底面是正方形，因此它是长方体，A正确；
对于B，在圆柱的上、下底面圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，B正确；
对于C，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，C错误；
对于D，根据棱柱的定义，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，D正确.
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2.已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积为
A. B.3π
C. D.6π
√
由题图可知，此几何体为从底面半径为1，高为4的圆柱的母线的中点处
截去了圆柱的后剩余的部分，所以所求几何体的体积V=π×12×4-×π
×12×4=3π.
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16
3.已知一个直四棱柱的高为4，其底面ABCD水平放置的直观图(由斜二测画法得到)是边长为2的正方形，则这个直四棱柱的表面积为
A.40 B.32+16
C.64+16 D.64+16
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由于直观图是正方形，所以四边形ABCD是两邻边分别为2与6，高为4的平行四边形，其周长是2+6+2+6=16，面积是2×4=8，所以直四棱柱的表面积是16×4+8×2=64+16.
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4.(2025·新乡模拟)已知某圆锥的轴截面是顶角为α的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为β的扇形，若β=3α，则β等于
A. B. C. D.π
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设圆锥的母线长为l，则圆锥的底面半径r=lsin ，因为侧面展开图的扇形弧长即圆锥底面的周长，所以lβ=2πlsin ，即β=2πsin ，
因为0<β<2π，β=3α，则0<α<，
故0<<，
所以β关于α单调递增，
验证选项可知当α=时，β=π=3α符合题意.
答案
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5.魔方，又叫鲁比克方块，最早是由厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久不衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一.一个三阶魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45°，则该魔方的表面积是
A.54 B.108-36
C.162-72 D.81-18
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如图，
中间一层转动了45°后，此时的魔方相对原来正方体的魔方多出了16个小三角形的面积，
显然小三角形为等腰直角三角形，设直角边为x，则斜边为x，
故(2+)x=3，可得x=3-，
由几何关系得阴影部分的面积S=×=-，
所以所求面积S'=6×3×3+16×=162-72.
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6.多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数V、棱数E与面数F满足V+F-E=2的数学关系.请运用欧拉定理解决问题：碳60(C60)具有超导特性、抗化学腐蚀性、耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料.它的分子结构十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图所示.碳60(C60)的分子结构是一个由正五边形面和正六边形面共32个面构成的凸多面体，60个碳原子处于多面体的60个顶点位置，则32个面中正六边形面的
个数是
A.22 B.20
C.18 D.16
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由题意可知V=60，F=32，
由V+F-E=2可得E=90，
设正五边形面的个数为x，正六边形面的个数为y，则x+y=32，
因为一条棱连着两个面，
所以足球烯表面的棱数E=(5x+6y)=90，
联立解得
即32个面中正六边形面的个数是20.
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二、多项选择题
7.(2023·新高考全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则
A.该圆锥的体积为π B.该圆锥的侧面积为4π
C.AC=2 D.△PAC的面积为
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答案
依题意，∠APB=120°，PA=2，
所以OP=1，OA=OB=.
A项，圆锥的体积为×π×()2×1=π，故A正确；
B项，圆锥的侧面积为π××2=2π，故B错误；
C项，取AC的中点D，连接OD，PD，如图所示，
则AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P-AC-O的平面角，
则∠PDO=45°，所以OP=OD=1，
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答案
故AD=CD==，
则AC=2，故C正确；
D项，PD==，
所以S△PAC=×2×=2，故D错误.
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8.(2025·喀什模拟)如图是圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB=AD=BC=CD
=2，下列说法正确的是
A.线段AC=2
B.该圆台的表面积为11π
C.该圆台的体积为7π
D.沿着该圆台的表面从点C到AD中点的最短距离为5
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答案
显然四边形ABCD是等腰梯形，AB=AD=BC=2，CD=4，
其高即为圆台的高h==.
对于A，在等腰梯形ABCD中，AC==2，A正确；
对于B，圆台的表面积S=π×12+π×22+π(1+2)×2=11π，B正确；
对于C，圆台的体积V=π(12+1×2+22)×=π，C错误；
对于D，将圆台一半侧面展开，如图中扇环ABCD所示，且E为AD中点，
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答案
而圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形COD且易知OC=4，
又∠COD==，在Rt△COE中，CE==5，
斜边CE上的高为=>2，即CE与弧AB相离，
所以点C到AD中点的最短距离为5，D正确.
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三、填空题
9.(2023·新高考全国Ⅰ)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，A1B1=1，
AA1=，则该棱台的体积为　　　.
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答案
如图，过A1作A1M⊥AC，垂足为M，
易知A1M为四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，
因为AB=2，A1B1=1，AA1=，
则A1O1=A1C1=×A1B1=，AO=AC=×AB=，
故AM=AO-A1O1=，
则A1M===，
所以所求棱台体积为V=×(4+1+)×=.
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10.如图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3，若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为　　　.
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答案
由题意得底面是由三段以20为半径，为圆心角的圆弧构成，
所以底面周长为3××20=20π，
又曲侧面三棱柱的高为10，
所以曲侧面三棱柱的侧面积为20π×10=200π.
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四、解答题
11.如图，AB是圆柱的底面直径，AP是圆柱的母线且AB=AP=4，点C是圆柱底面圆周上的点.
(1)求圆柱的侧面积和体积；
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答案
由题知，底面半径为2，母线长为4，
所以圆柱的侧面积S=2π×2×4=16π，
圆柱的体积V=π×22×4=16π.
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(2)若AC=2，D是PB的中点，点E在线段AP上，求CE+DE的最小值.
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记底面圆心为O，连接OC，因为底面半径为2，AC=2，
以AP所在直线为轴，将△APC旋转到△APC'，
使得△APC'和轴截面PAB共面，如图，
则OC'=2+2=4，OD=2，
当C'，E，D三点共线时，CE+DE取得最小值=2.
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12.如图，矩形O'A'B'C'是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中O'A'=3，O'C'=1.
(1)求平面四边形OABC的面积；
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因为S原图形=2S直观图，
所以S平面四边形OABC=2S直观图=6.
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(2)若四边形OABC以AO为轴旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积.
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平面四边形OABC如图所示，在Rt△ODC中，有OC2=OD2+CD2=(2)2+12=9，
所以OC=3，所以AB=3.
如图，分别过点B，C作AO及其延长线的垂线，垂足为E，F.
矩形FEBC绕AO及其延长线旋转一周得到一个底面半径r=OD=2，母线l1=BC=3的圆柱；
Rt△BEA绕AO旋转一周得到一个底面半径r=OD=2，母线l2=AB=3，高h1=AE=1的圆锥；
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答案
Rt△CFO绕AO及其延长线旋转一周得到一个底面半径r=OD=2，母线l3=OC=3，高h2=OF=CD=1的圆锥.
所以旋转形成的几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥，
再加上一个同底的圆锥构成的组合体.
则旋转形成的几何体的体积等于圆柱的体积，减去挖去的圆锥体积，再加上组合的圆锥的体积，
所以旋转形成的几何体的体积V=πr2l1-πr2h2+πr2h1=π××3-π×
×1+π××1=24π.
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旋转形成的几何体的表面积即圆柱的侧面积加上两个圆锥的侧面积，
所以S=2πrl1+πrl2+πrl3=2π×2×3+π×2×3+π×2×3
=24π.
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13.(多选)中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池，AA1垂直于底面，AA1=5，底面扇环所对的圆心
角为，弧AD的长度是弧BC长度的3倍，CD=2，
则下列说法正确的是
A.弧AD的长度为 B.曲池的体积为
C.曲池的表面积为20+14π D.三棱锥A-CC1D的体积为5
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答案
设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆的半径为r，
因为弧AD的长度是弧BC长度的3倍，所以R=3×r，
即R=3r，
所以CD=R-r=2r=2，所以r=1，R=3，
所以弧AD的长度为，故A正确；
曲池的体积为V=×AA1=×5=10π，故
B错误；
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曲池的表面积为×2+×5+2×5×2=×2+×5+20=20+14π，
故C正确；
三棱锥A-CC1D的体积为××2×5×3=5，故D正确.
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14.如图所示，在边长为+1的正方形铁皮上剪下一个最大的扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为
A. B.
C. D.
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答案
如图1，过☉F的圆心F作FE⊥AD于E，FG⊥CD于G，
则四边形EFGD为正方形，设☉F的半径为r，扇形半径为R，则FD=r，
☉F的周长为2πr，扇形弧长为，
∵剪下一个最大的扇形和圆恰好围成一个圆锥，
∴=2πr，解得R=4r，
即BH=4r，∴BD=BH+HF+FD=4r+r+r=(5+)r，
∵正方形铁皮边长为+1，
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∴BD=×=5+，
∴(5+)r=5+，∴r=1，
在图2中，EF=1，BE=4，
由勾股定理得，圆锥的高BF===.
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A. B.1 C. D.2
15.(2024·重庆模拟)如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦型曲线.若该段正弦型曲线是函数y＝sin ωx(ω>0)图象的一部分，且其对应的椭圆曲线
的离心率为，则ω的值为
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由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数y＝sin ωx(ω>0)图象的一部分，可得AB＝2.
设圆柱底面半径为r，则T＝＝2πr，所以ω＝，
设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
因为离心率为，得e＝，
则a2＝b2＋c2＝b2＋，
即a2＝4b2，所以，得AC＝4r，
又由勾股定理得AC2－BC2＝16r2－4r2＝，解得r＝1，故ω＝1.
16.如图(1)所示，已知点B在抛物线y＝x2上，过B作BA⊥x轴于点A，且OA＝a.将曲边三角形OAB如图(2)所示放置，并将曲边三角形OAB沿平面OAB的垂线方向平移一个单位长度(即AA1＝1)，得到相应的几何体OAB－O1A1B1.取一个底面面积为a2，高为a的正四棱锥S－MNPQ放在平面ABB1A1上，如图(3)所示，这时，平面OO1S∥平面ABB1A1，现用平行于平面ABB1A1的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别为矩形CDEF，四边形M1N1P1Q1，截面与平面OO1S的距离为
x0(01
2
3
4
5
6
7
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11
12
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答案
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1
2
3
4
5
6
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8
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12
13
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答案
15
16
依题意，在图(2)中，当OC＝x0时，CD＝，而CF＝AA1＝1，
则S矩形CDEF＝CD·CF＝，
在正四棱锥S－MNPQ中，截面四边形M1N1P1Q1为正方形，其中心为G1，
令正方形MNPQ的中心为G，
则点S，G1，G共线，连接G1Q1，GQ，SG1＝x0，SG＝a，如图，
平面M1N1P1Q1∥平面MNPQ，平面M1N1P1Q1∩平面SGQ＝G1Q1，
平面MNPQ∩平面SGQ＝GQ，
因此G1Q1∥GQ，有，
1
2
3
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答案
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15
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于是，而S正方形MNPQ＝a2，
则＝S矩形CDEF，由祖暅原理知
＝V四棱锥S－MNPQ＝a2·a＝a3，
而几何体OAB－O1A1B1可视为以曲边三角形OAB为底面，AA1为高的柱体，其体积＝S曲边三角形OAB·AA1＝S曲边三角形OAB，
所以S曲边三角形OAB＝.(共70张PPT)
第七章
§7.2　球的切、接问题
数学
大
一
轮
复
习
球的切、接问题是历年高考的热点内容，一般以客观题的形式出现，考查空间想象能力、计算能力.其关键点是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或特殊几何体来解决或转化为特殊几何体的切、接问题来解决.
重点解读
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
一、正方体与球
1.内切球：内切球直径2R=正方体棱长a.
2.棱切球：棱切球直径2R=正方体的面对角线长a.
3.外接球：外接球直径2R=正方体体对角线长a.
二、长方体与球
外接球：外接球直径2R=体对角线长(a，b，c分别为长方体的长、宽、高).
三、正棱锥与球
1.内切球：V正棱锥=S表·r=S底·h(等体积法)，r是内切球半径，h为正棱锥的高.
2.外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R2=(h-R)2+r2(正棱锥外接球半径为R，高为h).
四、直棱柱的外接球
球心到直棱柱两底面的距离相等，直棱柱两底面外心连线的中点为其外接球球心.R2=+r2(直棱柱的外接球半径是R，高是h，底面外接圆半径是r).
五、圆柱的外接球
R=(R是圆柱外接球的半径，h是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径).
六、圆锥的外接球
R2=(h-R)2+r2(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径).
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探究核心题型
第二部分
命题点1　补形法
例1　(1)古代数学名著《九章算术·商功》中，将底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.若四棱锥P-ABCD为“阳马”，PA⊥平面ABCD，AB=BC=4，PA=3，则此“阳马”
外接球的表面积为
A. B.
C.π D.41π
√
外接球
题型一
由于PA⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，
由于四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD，
所以AB，AD，PA两两互相垂直，
所以四棱锥P-ABCD可补形为长方体，
且长方体的体对角线为PC==，
所以外接球的直径2R=，
所以外接球的表面积为4πR2=41π.
(2)已知三棱锥S-ABC的四个顶点都在球O的球面上，且SA=BC=2，SB=
AC=，SC=AB=，则球O的表面积是　　　.
8π
将三棱锥S-ABC放入长方体中，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，如图所示，
则
则a2+b2+c2=8，
因为球O的直径即为长方体的体对角线，
则球O的半径为=，
所以球O的表面积是4π×=8π.
满足下列条件的可以补成长方体
(1)(墙角模型)三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，如图①.
(2)三棱锥的四个面均是直角三角形，如图②.
(3)(对棱模型)三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图③.
思维升华
跟踪训练1　在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=2，且三棱锥P-ABC的体积为，若三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A.4π B. C.8π D.16π
√
∵三棱锥P-ABC的体积为，
∴×××PA=，
∴PA=，将三棱锥补成三棱柱，可得球心为三棱柱外接球的球心，球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，
∵△ABC是边长为2的正三角形，
∴△ABC外接圆的半径r=，
∴球的半径为R===2，
∴该球的表面积为4π×22=16π.
命题点2　定义法
例2　(2024·六盘水模拟)如图，在四面体ABCD中，∠ACB=∠ADB=90°，AB=2，则四面体ABCD外接球的表面积为
A.2π B.4π
C.8π D.
√
设O是AB的中点，
连接OC，OD，如图所示，
由∠ACB=∠ADB=90°，
得OA=OB=OC=OD，
所以O是四面体外接球的球心，且半径为OA=OB=OC=OD=AB=1，
所以外接球的表面积为4π×12=4π.
到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可.
思维升华
跟踪训练2　已知菱形ABCD的边长为2，∠B=60°.将△ABC沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥P-ACD，如图所示，当三棱锥P-ACD的表面积最大时，三棱锥P-ACD的外接球体积为
A. B.
C.2π D.
√
由题意可得，△ACD，△ACP均为边长为2的等边三角形，△PAD，△PCD为全等的等腰三角形，则三棱锥P-ACD的表面积
S=2S△ACD+2S△PCD=2××2×2×+2××2×2sin∠PCD=2+4sin∠PCD
≤2+4，
当且仅当sin∠PCD=1，即PC⊥CD时，
三棱锥P-ACD的表面积取最大值，
此时△PAD，△PCD为直角三角形，
PD==2，
取PD的中点O，连接OA，OC(图略)，由直角三角形的性质可得OA=OC=OD=OP=，
即三棱锥P-ACD的外接球的球心为O，
半径R=，
故外接球体积V=π×()3=.
命题点3　垂面法
例3　(2024·双鸭山模拟)已知四面体ABCD的各顶点均在球O的球面上，平面ABC⊥平面BCD，AB=BC=AC=CD=2，BC⊥CD，则球O的表面积为
A. B.8π
C. D.12π
√
如图，取BC的中点E，BD的中点F，所以F为△BCD的外心，
连接AE，EF，设△ABC的外心为G，
因为AB=BC=AC=2，
即△ABC为等边三角形，
所以点G在AE上，连接OG，OF，
则OG⊥平面ABC，OF⊥平面BCD，
因为平面ABC⊥平面BCD，所以OG⊥OF，
因为△ABC为等边三角形，E为BC的中点，
所以AE⊥BC，
因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE 平面ABC，
所以AE⊥平面BCD，则AE∥OF，
又EF 平面BCD，所以AE⊥EF，
同理EF⊥平面ABC，所以EF∥OG，
故四边形OGEF是矩形.
由BC⊥CD，可得BD==2，
故DF=，
又OF=EG=AE=ABsin 60°=，
设球O的半径为R，则R2=OD2=OF2+FD2=，
所以球O的表面积S=4πR2=.
找两个三角形的外接圆的圆心，过圆心分别作这两个三角形所在平面的垂线，两垂线的交点就是球心.
思维升华
跟踪训练3　在三棱锥P-ABC中，∠BAC=90°，PA=PB=PC=BC=2，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为
A. B.
C. D.
√
如图，设O1是BC的中点，连接O1A，O1P，由于∠BAC=90°，
所以O1是△ABC的外心，O1A=O1B=O1C.
由于PA=PB=PC=BC=2，O1是BC的中点，
则PO1⊥BC，PO1=，O1A=1，
则P+O1A2=PA2，则PO1⊥O1A.
又O1A∩BC=O1，O1A，BC 平面ABC，
所以PO1⊥平面ABC，而PO1 平面PBC，
所以平面PBC⊥平面ABC.
由于△PBC是等边三角形，设O是△PBC的外心，连接OA，OB，OC，则OP=OB=OC，
又因为O在PO1上，所以OB=OC=OA，
则O也是三棱锥P-ABC外接球的球心.
设外接球的半径为r，根据等边三角形的性质可知
r=OP=O1P=，
所以外接球的表面积为4πr2=4π×=.
命题点1　内切球
例4　(2025·洛阳模拟)已知一圆台容器的上、下底面中心分别为O1，O2，且O1O2=10，上、下底面半径分别为2，12，在圆台容器内放置一个可以任意转动的球，则该球表面积的最大值为
A.96π B.192π
C.48π D.248π
内切球与棱切球
题型二
√
如图所示，
根据题意可知O1A=2，O2B=12，O1O2=10.
设圆台容器内能放置的最大球的球心为O，且与下底面和母线AB分别切于O2，C，
因为tan∠ABO2==，
所以∠ABO2=60°，所以∠OBO2=30°，
所以可知球的半径R=OO2=O2Btan 30°=12×=4，
此时球的直径为2R=8即此时球与圆台容器上底面不相切，因此圆台容器内能放置的最大球的表面积S=4πR2=192π.
命题点2　棱切球
例5　一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，高为，有一个球的表面与这个正四棱锥的每条棱都相切，则该球的表面积为
A.4π B.4π C.4π D.3π
√
如图所示，
因为正四棱锥底边边长为2，高为，
所以OB=，SB=2，
O到SB的距离为d==1，
同理O到SC，SD，SA的距离为1，易知O到AB，BC，CD，DA的距离也为1，
所以O为球的球心，所以球的半径为1，
所以球的表面积为4π.
多面体内切球的球心与半径的确定
(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.
(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合.
(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合.
(4)体积分割是求内切球半径的通用做法.
思维升华
跟踪训练4　(1)已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为
A. B.4π C.8π D.
√
设正方体的棱长为a，则6a2=24，解得a=2.
又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长即为球的直径长，所以球的半径长是，
所以此球的体积为π×=.
(2)将一个母线长为3 cm，底面半径为1 cm的圆锥形木头加工打磨成一个球状零件，则能制作的最大零件的表面积为
A.2π cm2 B.π cm2
C. cm2 D. cm2
√
原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，
该内切球的半径与该圆锥轴截面的内切圆半径相等，
画出该轴截面如图，
由母线长为3 cm，底面半径为1 cm可得
该圆锥的高h==2(cm)，
设内切球的半径为r，则有S轴截面=×2×2=×3r+×3r+×2r，
解得r= cm，则内切球表面积，即最大零件的表面积为4πr2=2π(cm2).
多球堆叠相切问题关键是连接各球的球心，通过研究球心连接成的几何体解题.
多球堆叠相切问题
微拓展
典例　(1)把4个半径为2的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个，下层放三个，四个球两两相切，在这四个球所形成的空隙中放入一个小球，则此小球的最大半径为　　　　　　.
－2
如图，点E为下层三个球中的一个球的球心，连接各球的球心，可得到棱长为4的正四面体，这个正四面体的外接球的球心O就是放入空隙的最大半径的小球的球心，
连接OE，OE与球E的交点为K，
正四面体的外接球半径R＝，即OE＝，
故OK＝－2，所以所求的最大半径为－2.
(2)两球O1和O2在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的三个面相切，球O2与过点C1的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为
A.3(2－)π B.4(2－)π
C.6(2－)π D.12(2－)π
√
如图，设球O1和O2的半径分别为r1和r2，
故O1A＝r1，O2C1＝r2，O1O2＝r1＋r2，
AC1＝2r1＋r2＋r1＋r2，
则r1＋r2＝，故两球表面积之和为
4π＋4π＝4π()≥4π·＝2π·
＝12(2－)π.
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课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C B A B CD ABD
题号 9 　10 答案 　72π 一、单项选择题
1.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则其棱切球的表面积是
A.π B.2π C.8π D.12π
√
1
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5
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7
8
9
10
知识过关
答案
正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，设棱切球的半径为R，则
(2R)2=12+12=2，解得R=，所以其棱切球的表面积S=4πR2=2π.
1
2
3
4
5
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7
8
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10
答案
2.各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为
A.1∶27 B.1∶9 C.1∶3 D.9∶1
√
易知正四面体的内切球球心与外接球球心重合，设正四面体的内切球半径为r，外接球半径为R，正四面体各面面积为S，则由正四面体的体积
得V=Sr×4=S(R+r) R=3r，所以正四面体的内切球和外接球的体积之比为πr3∶πR3=1∶27.
3.一个侧棱长为2的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形O'A'B'C'，其中O'A'=2，则该直棱柱外接球的表面积为
A.8π B.16π
C.32π D.64π
√
1
2
3
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5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
答案
由已知O'A'=O'C'=2，∠C'O'A'=45°，
根据斜二测画法的性质可得，
该直棱柱的底面OA=2，OC=4，
OC⊥OA，OC∥AB，OA∥BC，
所以该直棱柱的底面为长为4，宽为2的矩形，
其体对角线AC1==4，所以该直棱柱外接球的半径
R=2，则该直棱柱外接球的表面积S=4πR2=4π×8=32π.
4.(2024·重庆模拟)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长分别为，3，高AA1=2，则该三棱柱的外接球的表面积为
A.5π B.20π
C.π D.44π
√
1
2
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4
5
6
7
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9
10
答案
1
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5
6
7
8
9
10
不妨设AB=AC=，BC=3，
由余弦定理可得cos A==-，
且A∈(0，π)，则A=，
所以△ABC的外接圆半径r==，
可得该三棱柱的外接球的半径R==，
所以该三棱柱的外接球的表面积为4πR2=20π.
答案
5.已知三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，SA=4，BC=2，∠BAC=60°，则三棱锥S-ABC外接球的表面积为
A.32π B.64π
C.80π D.128π
√
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3
4
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9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
△ABC中，BC=2，∠BAC=60°，设△ABC的外接圆半径为r，
根据正弦定理有2r===4，∴r=2，
如图，设点O1为△ABC的外心，O为三棱锥外接球的球心，
∵SA⊥平面ABC，∴OO1∥SA，且OS=OA，
∴OO1=SA=2，
在Rt△AO1O中，AO1=r=2，OO1=2，∠AO1O=90°，∴AO=2，
即三棱锥外接球的半径为2，
∴外接球的表面积为4π·=32π.
6.(2025·常德模拟)如图，现有棱长为6 cm的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥A1-EFG，且E，F，G分别为棱A1A，A1B1，A1D1上靠近A1的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为
A. cm3 B.36π cm3
C. cm3 D.72π cm3
√
1
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3
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5
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9
10
答案
1
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3
4
5
6
7
8
9
10
答案
由题意知A1E=A1F=A1G= cm，
设点A1到平面EFG的距离为d，
而EF=EG=FG= cm，
S△EFG=×××sin 60°=(cm2)，
由=，得××××=×d，解得d= cm，
棱长为6 cm的正方体的内切球的半径为3 cm，
棱长为6 cm的正方体体对角线的长度为6 cm，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
因为3-=>3，
所以所求球形饰品的体积最大时即为棱长为6 cm的正方体的内切球，则该球形饰品的体积的最大值为
π×33=36π(cm3).
二、多项选择题
7.正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，外接球的表面积为20π，则正四棱锥P-ABCD的高可能是
A.+1 B.-1
C. D.-
1
2
3
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5
6
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√
答案
√
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3
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5
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8
9
10
答案
依题意，外接球的球心可能在正四棱锥内，也可能在正四棱锥外，如果球心在正四棱锥内，如图1，
其中O1是正方形ABCD的中心，O是外接球的球心，
∵P-ABCD是正四棱锥，
∴PO1⊥平面ABCD，BO1=，
设外接球的半径为R，
则BO=PO=R，4πR2=20π，R=，
在Rt△BOO1中，OO1==，PO1=PO+OO1=；
1
2
3
4
5
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7
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10
答案
如果球心在正四棱锥外，如图2，
PO1=PO-OO1
=-.
8.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=120°，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列结论正确的是
A.直三棱柱的侧面积是4+2
B.直三棱柱的外接球表面积是8π
C.直三棱柱的内置球的最大表面积为4π
D.AE+EC1的最小值为2
√
1
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5
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10
答案
√
√
1
2
3
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5
6
7
8
9
10
答案
对于A，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 120°=3，
所以AC=，所以直三棱柱的侧面积为2×(1+1+)=4+2，A正确；
对于B，由正弦定理可得底面△ABC的外接圆半径r1==1，易知直
三棱柱ABC-A1B1C1的外接球球心到底面ABC的距离为1，
所以外接球半径R==，所以外接球表面积为4πR2=8π，B正确；
对于C，若内置球与上、下底面相切，则半径为1；
若内置球与三个侧面相切，由截面图可知，该球半径
等于△ABC的内切圆半径r2，
1
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10
答案
由三角形面积公式可得×(1+1+)r2=×1×1×sin 120°，解得r2=，
因为r2=<1，所以直三棱柱的内置球的最大半径为，
所以直三棱柱的内置球的最大表面积为4×π=(21-12)π，C错误；
1
2
3
4
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7
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10
答案
对于D，将侧面BB1C1C绕着BB1所在直线旋转到与侧面AA1B1B共面的位置BB1C'1C'，如图，
则当A，E，C'1共线时，AE+EC1取得最小值，为
==2，D正确.
三、填空题
9.(2025·白银模拟)在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，PA，PB，PC两两垂
直，且该三棱锥外接球的表面积为9π，则该三棱锥的体积为　 　.
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答案
1
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10
答案
由于PA=PB=PC，PA，PB，PC两两垂直，将该三棱锥放入正方体中，如图.
则该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，
故该三棱锥的外接球的半径为=PA.
由4π×=9π，得PA=.
由于PA⊥平面PBC，所以该三棱锥的体积为×PA3=.
10.(2024·福州模拟)在三棱锥A-BCD中，∠ABD=∠ABC=60°，BC=BD=
3，AB=6，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为　　　.
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8
9
10
答案
72π
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
由题意知∠ABD=∠ABC=60°，BC=BD=3，AB=6，
在△ABC中，由余弦定理可得
AC=
=
=3，
所以AC2+BC2=AB2，则AC⊥BC，
在△ABD中，由余弦定理可得
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
返回
AD=
=
=3，
所以AD2+BD2=AB2，则AD⊥BD，
取AB的中点O，则在Rt△ABC和Rt△ABD中，OA=OB=OC=OD，
则三棱锥A-BCD外接球的球心为O，其半径为=3，
所以三棱锥A-BCD外接球的表面积为4π·=4π×=72π.(共101张PPT)
第三章
§3.3　导数与函数的
极值、最值
数学
大
一
轮
复
习
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.
3.掌握利用导数研究函数最值的方法.
4.会用导数研究生活中的最优化问题.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f'(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f'(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为 ，极小值和极大值统称为 .
f'(x)<0
f'(x)>0
f'(x)>0
f'(x)<0
极值点
极值
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的 ；
②将函数y＝f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
连续不断
极值
端点处的函数值f(a)，f(b)
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有.(　　)
(2)函数的极小值一定小于函数的极大值.(　　)
(3)函数的极小值一定是函数的最小值.(　　)
(4)函数的极大值一定不是函数的最小值.(　　)
×
√
×
√
2.(多选)如图是函数f(x)的导函数y＝f'(x)的图象，则下列说法正确的是
A.函数f(x)在区间(3，5)上单调递减
B.函数f(x)在区间(4，5)上单调递增
C.函数f(x)在x＝3处取得极大值
D.函数f(x)在x＝4处取得极小值
√
√
由图象可知，当x∈(3，5)时，f'(x)<0，所以函数f(x)在
区间(3，5)上单调递减，故A正确，B错误；
由图象可知，f'(3)＝0，且当x∈(0，3)时，f'(x)>0，
当x∈(3，5)时，f'(x)<0，所以f(x)在(0，3)上单调递增，在(3，5)上单调递减，故函数y＝f(x)在x＝3处取得极大值，故C正确；
由图象可知，f'(4)≠0，故4不是函数f(x)的极值点，故D错误.
3.函数f(x)＝x3－x2－14x的极小值点为　　　，极大值为　　　.
18
由f(x)＝x3－x2－14x得，
f'(x)＝3x2－x－14＝(x＋2)(3x－7)，
令f'(x)>0，解得x>或x<－2，
令f'(x)<0，解得－2故f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在上单调递减，
故f(x)在x＝处取得极小值，在x＝－2处取得极大值，
故f(x)极大值＝f(－2)＝－8－2＋28＝18.
4.若函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有两个极值点，则实数a的取值范围是
　　　　 .
f'(x)＝3x2－2ax＋2，
由题意知f'(x)有两个变号零点，
∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，
解得a>或a<－.
(－∞，－)∪(＋∞)
解题时灵活应用转化以下几个关键点
(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1).
(2)极值是个“局部”概念，最值是个“整体”概念.
(3)有极值的函数一定不是单调函数.
(4)“f'(x0)＝0”是“x0为可导函数f(x)的极值点”的必要不充分条件.例如f(x)＝x3，f'(0)＝0，但0不是极值点.
(5)对于一般函数而言，函数的最值必在下列各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、端点.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
命题点1　根据函数图象判断极值
利用导数求解函数极值问题
题型一
例1　(多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数g(x)＝xf'(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是
A.f(x)有两个极值点
B.f(0)为f(x)的极大值
C.f(x)有两个极小值点
D.f(－1)为f(x)的极小值
√
√
根据g(x)＝xf'(x)的图象，可得当x<－2时，g(x)＝xf'(x)>0，
可得f'(x)<0，即f(x)单调递减，
当－20，即f(x)单调递增，
当0当x>1时，g(x)＝xf'(x)>0，可得f'(x)>0，即f(x)单调递增，
因此f(x)在x＝－2和x＝1处取得极小值，在x＝0处取得极大值，共3个极值点，A错误，C正确；
f(0)为f(x)的极大值，B正确；
f(－1)不是f(x)的极小值，D错误.
命题点2　求已知函数的极值
例2　(2025·沈阳模拟)已知函数f(x)＝2ln x－2(a－1)x－ax2(a>0)，讨论f(x)的极值.
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
求导得f'(x)＝－2(a－1)－2ax＝－
因为a>0，则当x∈时，f'(x)>0，
当x∈时，f'(x)<0，
因此f(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以当x＝时，f(x)取得极大值f ＝2ln －2，无极小值.
命题点3　已知极值(点)求参数
例3　(1)(2024·肇庆模拟)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝－2处取极小值，则c
等于
A.－6 B.－2
C.－6或－2 D.－4
√
由函数f(x)＝x(x－c)2，
可得f'(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)(3x－c)，
因为函数f(x)在x＝－2处取得极小值，
可得f'(－2)＝0，解得c＝－2或c＝－6，
当c＝－2时，令f'(x)>0，解得x<－2或x>－；
令f'(x)<0，解得－2所以函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以f(x)在x＝－2处取极大值，不符合题意，舍去；
当c＝－6时，令f'(x)>0，可得x<－6或x>－2；令f'(x)<0，可得－6所以函数f(x)在(－∞，－6)上单调递增，在(－6，－2)上单调递减，在
(－2，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在x＝－2处取极小值，符合题意，
综上可得，c＝－6.
(2)已知函数f(x)＝ln x－x(其中a∈R，e为自然对数的底数)存在极大值，
且极大值不小于1，则a的取值范围为　　　　　.
由已知可得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝.
①当a≤0时，f'(x)＝>0在(0，＋∞)上恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)无极值；
②当a>0时，f'(x)＝
由f'(x)＝＝0可得x＝.
当00，
所以f(x)在上单调递增；
当x>时，f'(x)<0，
所以f(x)在上单调递减，
于是函数f(x)在x＝处取得极大值.
由已知，f ≥1，
即ln －1≥1，ln ≥2＝ln e2，
因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，
所以≥e2，即a≤又a>0，
所以0于是a的取值范围为.
综上所述，a的取值范围为.
根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
(2)验证：求解后验证根的合理性.
思维升华
跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝aex＋bx在x＝0处取得极小值1，则f'(2)等于
A.e2－2 B.2－e2
C.e2－1 D.e2
√
由f(x)＝aex＋bx，得f'(x)＝aex＋b，
因为f(x)在x＝0处取得极小值1，
所以 f'(x)＝ex－1，
当x>0时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
当x<0时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)在x＝0处取得极小值，故a＝1，b＝－1满足题意，
于是有f'(2)＝e2－1.
(2)若函数f(x)＝eax＋2x有大于零的极值点，则实数a的取值范围为
A.a>－2 B.a>－
C.a<－2 D.a<－
√
由函数f(x)＝eax＋2x，可得f'(x)＝aeax＋2，
若a≥0，f'(x)>0，此时f(x)为增函数，无极值点；
若a<0，令f'(x)＝aeax＋2＝0，
解得x＝ln
当x>ln时，f'(x)>0，
当x故x＝ln是f(x)＝eax＋2x的极值点，
由于函数f(x)＝eax＋2x有大于零的极值点，
∴ln>0，即ln<0，
即0<－<1，解得a<－2.
命题点1　不含参函数的最值
利用导数求函数的最值
题型二
例4　函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为
A.－ B.－
C.－＋2 D.－＋2
√
f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1，x∈[0，2π]，则f'(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1) cos x＝(x＋1)cos x，x∈[0，2π].
令f'(x)＝0，解得x＝或x＝.
因为f ＝cos sin ＋1＝＋2，
f ＝cos sin ＋1＝－
又f(0)＝cos 0＋(0＋1)sin 0＋1＝2，
f(2π)＝cos 2π＋(2π＋1)sin 2π＋1＝2，
所以f(x)max＝f ＋2，
f(x)min＝f ＝－.
命题点2　含参函数的最值
例5　已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2(a>0)，求函数f(x)在[1，2]上的最小值.
函数f(x)＝(x－1)ex－ax2，
求导得f'(x)＝xex－ax＝x(ex－a)，
若x∈[1，2]，则
①当ln a≥2，即a≥e2时，ex－a≤0，f'(x)≤0，函数f(x)在[1，2]上单调递减，
因此函数f(x)在[1，2]上的最小值为f(2)＝e2－2a；
②当1因此函数f(x)的最小值为f(ln a)＝a(ln a－1)－a(ln a)2；
③当ln a≤1，即0因此函数f(x)在[1，2]上的最小值为f(1)＝－a.
综上，当a≥e2时，f(x)在[1，2]上的最小值为e2－2a；
当e当0求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.
思维升华
跟踪训练2　(1)已知函数f(x)＝x－sin x，x∈[0，π]，则f(x)的最大值为　　　.
π
由f(x)＝x－sin x，x∈[0，π]，
可得f'(x)＝1－cos x，x∈[0，π]，
令f'(x)＝0可得cos x＝
又x∈[0，π]，所以x＝
当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
易知f(0)＝0，f(π)＝π，
因此f(x)的最大值为π.
(2)(2025·泰安模拟)已知函数f(x)＝＋ln x在区间[1，e]上的最小值为则a的值为
A.1 B. C. D.
√
因为f(x)＝＋ln x(x>0)，
所以f'(x)＝
当a≤0时，f'(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
此时f(x)在区间[1，e]上的最小值为f(1)＝a＋ln 1＝
解得a＝不符合题意，舍去；
当a>0时，令f'(x)<0，得00，得x>a，
所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，
①当0所以最小值为f(1)＝a≤1，不符合题意，舍去；
②当1所以最小值为f(a)＝1＋ln a＝解得a＝；
③当a≥e时，f(x)在[1，e]上单调递减，
所以最小值为f(e)＝＋ln e＝
解得a＝不符合题意，舍去.
综上所述，a＝.
三次函数是一类重要的函数，其规律性强，内容相对独立，且有一些独有的结论和技巧.如果能得当运用三次函数的有关结论，可以大大简化解题过程.
三次函数的性质
微拓展
典例　(多选)已知三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则下列选项正确的是
A.三次函数的对称中心是
B.若函数f(x)关于点(m，n)对称，则y＝f'(x)的图象关于直线x＝m对称
C.若函数y＝f(x)有极值，则对称中心是两个取极值的点的中点
D.若f(x)＝0的三个根分别为x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝－
√
√
√
对于A，设f(m－x)＋f(m＋x)＝2n，得[a(m－x)3＋b(m－x)2＋c(m－x)＋d]＋[a(m＋x)3＋b(m＋x)2＋c(m＋x)＋d]＝2n，整理得(6ma＋2b)x2＋(2am3＋2bm2＋2cm＋2d)＝2n.根据多项式恒等对应系数相等，可得m＝－且n＝am3＋bm2＋cm＋d，从而三次函数是中心对称曲线，且由n＝f(m)知其对称中心(m，f(m))仍然在曲线上.故对称中心为，A正确；
对于B，由y＝f(x)的图象关于点(m，n)对称，得f(x)＋f(2m－x)＝2n.求导可得f'(2m－x)＝f'(x)，即y＝f'(x)的图象关于直线x＝m对称，B正确；
对于C，设f'(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.设f(x)的两个取极值的点为A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，
则f(x1)＋f(x2)＝(a＋b＋cx1＋d)＋(a＋b＋cx2＋d)＝a()＋b()＋c(x1＋x2)＋2d＝a(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＋b[(x1＋x2)2－2x1x2]＋c(x1＋x2)＋2d＝a＋b＋2d＝＋2d.
2f ＝2＝＋2d，
所以f(x1)＋f(x2)＝2f ，AB的中点P即为对称中心，C正确；
对于D，ax3＋bx2＋cx＋d＝a(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝ax3－a(x1＋x2＋x3)x2＋a(x1x2＋x2x3＋x3x1)x－ax1x2x3.比较系数可得x1＋x2＋x3＝－，D错误.
返回
课时精练
对一对
答案
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5
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D B B A AD BCD
题号 9 10 13 　14 15 16
答案 (2，+∞) C [－ln 2， ＋∞) (0，1)
15
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答案
1
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14
(1)由函数f(x)=+x，
可得f'(x)=1-=
所以f'(0)==1-a=0，
解得a=1.
11.
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14
(2)函数f(x)=+x的定义域为R，且f'(x)=1-=
当a≤0时，f'(x)>0恒成立，所以f(x)在R上单调递增，f(x)无极值；
当a>0时，令f'(x)>0，解得x>ln a；
令f'(x)<0，解得x所以f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，在(ln a，+∞)上单调递增，
所以f(x)的极小值为1+ln a，无极大值.
综上所述，当a≤0时，f(x)无极值；当a>0时，f(x)的极小值为1+ln a，无极大值.
11.
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14
(1)当a=1时，
则f(x)=ex-x-1，
f'(x)=ex-1，
可得f(1)=e-2，f'(1)=e-1，
即切点坐标为(1，e-2)，
切线斜率k=e-1，
所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1)，
即(e-1)x-y-1=0.
12.
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14
(2)方法一　因为f(x)的定义域为R，且f'(x)=ex-a，
若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立，
可知f(x)在R上单调递增，
无极值，不符合题意；
若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a，
令f'(x)<0，解得x可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，+∞)上单调递增，
12.
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答案
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14
则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，无极大值，
由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0，
即a2+ln a-1>0，
令g(a)=a2+ln a-1，a>0，
则g'(a)=2a+>0，
可知g(a)在(0，+∞)上单调递增，且g(1)=0，
不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)，
12.
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14
解得a>1，
所以a的取值范围为(1，+∞).
方法二　因为f(x)的定义域为R，
且f'(x)=ex-a，
若f(x)有极小值，
则f'(x)=ex-a有零点，
令f'(x)=ex-a=0，可得ex=a，
可知y=ex与y=a有交点，则a>0，
12.
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令f'(x)>0，解得x>ln a；
令f'(x)<0，解得x可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，+∞)上单调递增，则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，
无极大值，符合题意，
由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0，即a2+ln a-1>0，
令g(a)=a2+ln a-1，a>0，
因为y=a2，y=ln a-1在(0，+∞)上均单调递增，
12.
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所以g(a)在(0，+∞)上单调递增，
且g(1)=0，
不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)，
解得a>1，
所以a的取值范围为(1，+∞).
12.
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一、单项选择题
1.函数f(x)＝x3＋x2－3x－1的极小值点是
A.1 B.
C.－3 D.(－3，8)
√
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知识过关
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答案
f'(x)＝x2＋2x－3，
由x2＋2x－3＝0，得x＝－3或x＝1，
所以函数f(x)＝x3＋x2－3x－1在(－∞，－3)上单调递增，在(－3，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
故f(x)在x＝1处有极小值，极小值点为1.
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答案
2.(2024·楚雄模拟)已知定义域为[－3，5]的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)的图象如图所示，则
A.f(x)在(－2，2)上先增后减
B.f(x)有极小值f(2)
C.f(x)有2个极值点
D.f(x)在x＝－3处取得最大值
√
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答案
由f'(x)的图象可知，当x∈(－2，2)或x∈(4，5)时，
f'(x)<0，则f(x)单调递减，故A错误；
当x∈(－3，－2)或x∈(2，4)时，f'(x)>0，则f(x)单调
递增，所以当x＝2时，f(x)有极小值f(2)，故B正确；
由f'(x)的图象结合单调性可知，当x＝－2，2，4时，f(x)有极值，所以f(x)有3个极值点，故C错误；
当x∈(－3，－2)时，f'(x)>0，则f(x)单调递增，所以f(－3)15
16
3.(2025·苏州模拟)设0A.1 B. C.2 D.
√
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因为0答案
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4.(2024·赤峰模拟)已知函数f(x)＝xln x－ax有极值－e，则a等于
A.1 B.2 C.e D.3
√
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由题目条件可得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝ln x＋1－a.
令f'(x)>0，得x>ea－1；
令f'(x)<0，得0所以函数f(x)在区间(0，ea－1)上单调递减，在区间(ea－1，＋∞)上单调递增.
则函数f(x)的极小值点是ea－1，无极大值点，
故f(ea－1)＝ea－1ln ea－1－aea－1＝－e，
解得a＝2.
答案
15
16
5.若函数f(x)＝ex－ln(x＋m)的最小值为2＋ln 2，则m等于
A.－2 B.－ln 2
C.－ D.＋ln 2
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易知f(x)的定义域为(－m，＋∞)，f'(x)＝ex－
易知f'(x)在区间(－m，＋∞)上单调递增，
又当x→－m时，f'(x)→－∞；当x→＋∞时，f'(x)→＋∞，
所以存在唯一x0∈(－m，＋∞)，使得f'(x0)＝0，即x0＝－ln(x0＋m)，
所以当x∈(－m，x0)时，f'(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f'(x)>0，
所以f(x)在区间(－m，x0)上单调递减，在区间(x0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(x0)＝－ln(x0＋m)＝＋x0＝2＋ln 2＝eln 2＋ln 2，
所以x0＝ln 2，所以eln 2＝解得m＝－ln 2.
答案
15
16
6.已知函数f(x)＝ln x－ax有两个不同的极值点x1，x2(x1A.a的取值范围是(－∞，1)
B.x1是极小值点
C.当x∈(x2，＋∞)时，f'(x)<0
D.
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令f'(x)＝－a＝－a＝0，
由题意，方程＝a在(0，＋∞)上有两根x1，x2(x1设g(x)＝
g'(x)＝
当00，g(x)单调递增，当x>1时，g'(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x)max＝g(1)＝1>0，
答案
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当x→0时，g(x)＝→－∞，当x→＋∞时，g(x)＝→0，
所以a的取值范围是(0，1)，故A不正确；
由A选项分析可知0当0当x1f'(x1)＝0＝f'(x2)，f(x)单调递增，
当x>x2时，f'(x)所以x1是极小值点，故B，C正确；
对于D，因为＝a，所以故D正确.
答案
15
16
二、多项选择题
7.已知函数f(x)＝x3－3x2，则
A.f(x)在(0，1)上单调递减
B.f(x)的极大值点为2
C.f(x)的极大值为－2
D.f(x)有2个零点
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由函数f(x)＝x3－3x2，可得f'(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
令f'(x)>0，解得x<0或x>2；令f'(x)<0，解得0所以函数f(x)在(0，2)上单调递减，在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，
当x＝0时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(0)＝0；
当x＝2时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(2)＝－4，
又由x→＋∞时，f(x)→＋∞且f(2)＝－4<0，f(0)＝0，所以函数f(x)只有两个零点，
所以A，D正确，B，C不正确.
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答案
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8.(2023·新高考全国Ⅱ)若函数f(x)＝aln x＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则
A.bc>0 B.ab>0
C.b2＋8ac>0 D.ac<0
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函数f(x)＝aln x＋的定义域为(0，＋∞)，
则f'(x)＝
因为函数f(x)既有极大值也有极小值，
则函数f'(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，
而a≠0，
因此方程ax2－bx－2c＝0有两个不相等的正实数根x1，x2，
答案
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于是
即有b2＋8ac>0，ab>0，ac<0，
显然a2bc<0，即bc<0，故A错误，B，C，D正确.
答案
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三、填空题
9.若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0，3]上的最小值为4，则m＝　　　.
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答案
f'(x)＝x2－4，
当x∈[0，2)时，f'(x)<0，当x∈(2，3]时，f'(x)>0，
所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，
所以f(2)为f(x)在[0，3]上的极小值，也是最小值，
故×8－4×2＋m＝4，解得m＝.
15
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10.若函数f(x)＝x2－ax＋ln x在(0，2)上有极值，则实数a的取值范围是　　　　　　.
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答案
(2，＋∞)
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f(x)＝x2－ax＋ln x的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝x－a＋
要使函数f(x)＝x2－ax＋ln x在(0，2)上有极值，则f'(x)＝x－a＋在(0，2)上有变号零点，
令g(x)＝x＋x∈(0，2)，
则g(x)＝x＋≥2＝2，
当且仅当x＝1时等号成立，所以a≥2.
答案
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当a＝2时，f'(x)＝x－a＋＝x＋－2≥0，函数f(x)单调递增，
则函数f(x)＝x2－ax＋ln x在(0，2)上没有极值，故a>2，
即实数a的取值范围是(2，＋∞).
答案
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四、解答题
11.已知函数f(x)＝＋x(a∈R).
(1)若f'(0)＝0，求实数a的值；
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答案
由函数f(x)＝＋x，
可得f'(x)＝1－
所以f'(0)＝＝1－a＝0，解得a＝1.
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(2)讨论函数f(x)的极值.
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答案
函数f(x)＝＋x的定义域为R，且f'(x)＝1－
当a≤0时，f'(x)>0恒成立，
所以f(x)在R上单调递增，f(x)无极值；
当a>0时，令f'(x)>0，解得x>ln a；令f'(x)<0，解得x所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的极小值为1＋ln a，无极大值.
综上所述，当a≤0时，f(x)无极值；当a>0时，f(x)的极小值为1＋ln a，无极大值.
15
16
12.(2024·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ax－a3.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
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答案
当a＝1时，则f(x)＝ex－x－1，f'(x)＝ex－1，
可得f(1)＝e－2，f'(1)＝e－1，
即切点坐标为(1，e－2)，
切线斜率k＝e－1，
所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，
即(e－1)x－y－1＝0.
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(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.
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答案
方法一　因为f(x)的定义域为R，
且f'(x)＝ex－a，
若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立，
可知f(x)在R上单调递增，
无极值，不符合题意；
若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a，
令f'(x)<0，解得x可知f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
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答案
在(ln a，＋∞)上单调递增，
则f(x)有极小值f(ln a)＝a－aln a－a3，无极大值，
由题意可得，f(ln a)＝a－aln a－a3<0，
即a2＋ln a－1>0，
令g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，
则g'(a)＝2a＋>0，
可知g(a)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0，
不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，
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答案
解得a>1，
所以a的取值范围为(1，＋∞).
方法二　因为f(x)的定义域为R，
且f'(x)＝ex－a，
若f(x)有极小值，
则f'(x)＝ex－a有零点，
令f'(x)＝ex－a＝0，可得ex＝a，
可知y＝ex与y＝a有交点，则a>0，
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答案
令f'(x)>0，解得x>ln a；
令f'(x)<0，解得x可知f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，＋∞)上单调递增，
则f(x)有极小值f(ln a)＝a－aln a－a3，
无极大值，符合题意，
由题意可得，f(ln a)＝a－aln a－a3<0，
即a2＋ln a－1>0，
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答案
令g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，
因为y＝a2，y＝ln a－1在(0，＋∞)上均单调递增，
所以g(a)在(0，＋∞)上单调递增，
且g(1)＝0，
不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，
解得a>1，
所以a的取值范围为(1，＋∞).
15
16
13.设ab≠0，若a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则
A.ab
C.abb2
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答案
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能力拓展
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答案
由三次函数的性质可知，要使a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则
当a>0时，函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则0当a<0时，函数f(x)的大致图象如图(2)所示，则b综上，ab15
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14.若不等式a＋2x＋|ln x|－1≥0恒成立，则a的取值范围是　　　　　 　.
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[－ln 2，＋∞)
答案
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答案
不等式a＋2x＋|ln x|－1≥0恒成立，
即a≥1－2x－|ln x|恒成立，
设f(x)＝1－2x－|ln x|，x∈(0，＋∞)，
当x≥1时，f(x)＝1－2x－ln x，f'(x)＝－2－<0，
∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减，此时f(x)max＝f(1)＝－1；
当0∴f'(x)＝－2＋
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答案
∴当x∈时，f'(x)>0，当x∈时，f'(x)<0，
∴f(x)在上单调递增，在上单调递减，
此时f(x)max＝f ＝ln ＝－ln 2.
综上可知，a的取值范围是[－ln 2，＋∞).
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15.(2024·曲靖模拟)已知函数f(x)=2ax-ex2+18，其中a>0且a≠1.若f(x)存在两
个极值点x1，x2，则实数a的取值范围为　　　　　　　　　.
∪(1，e)
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对函数f(x)=2ax-ex2+18求导得
f'(x)=2axln a-2ex=2(axln a-ex)，
因为f(x)存在两个极值点，所以f'(x)有两个变号零点.
令f'(x)=0，有axln a=ex，
令h(x)=axln a，g(x)=ex，
所以h(x)与g(x)的图象有两个交点.
当a>1时，h(x)=axln a，
h'(x)=ax(ln a)2，
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设过原点的直线与h(x)=axln a的切点坐标为(x0，ln a)，
切线斜率为k=(ln a)2，
所以切线方程为y-ln a=(ln a)2(x-x0)，
将原点坐标带入切线方程得x0=.
此时切线的斜率为k=(ln a)2=e(ln a)2，
h(x)=axln a的函数图象与g(x)=ex的函数图象有两个交点，
即k=e(ln a)21
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因为a>1，有ln a>0，所以0同理知当0即-1综上，a的取值范围为∪(1，e).
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答案
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16.(2025·湘潭模拟)已知函数f(x)=x-aln x(a>0)，记函数y=f(x)，y=f(f(x))的值域分别为M，N，若N M，则a的取值范围是　　　　　　.
(0，1)
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答案
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16
因为f(x)=x-aln x(a>0)，x>0，
则f'(x)=1-=，
当x∈(0，a)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(a，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=a时，f(x)取得极小值，也是最小值f(a)=a-aln a，
所以M={y|y≥a-aln a}，
当a-aln a≤0时，M=N，不符合题意，
当a-aln a>0，即01
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答案
返回
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16
令f(x)=t，则y=f(f(x))=f(t)，t≥a-aln a，
因为N M，所以必有f(a-aln a)>f(a)，
显然不可能有a-aln a≤a，否则M=N，不符合题意，所以a-aln a>a，解得0所以a的取值范围是(0，1).(共103张PPT)
第七章
§7.5　空间直线、平面的垂直
数学
大
一
轮
复
习
1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.
2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.
文字语言 图形表示 符号表示
判断定理 如果一条直线与一个平面内的 垂直，那么该直线与此平面垂直
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行
(2)判定定理与性质定理
两条相交直线
2.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 ；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是 .
(2)范围： .
射影
90°
0°
3.二面角
(1)定义：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角.
(2)二面角的平面角：如图，在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作 的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围： .
4.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
两个半平面
垂直于棱l
[0，π]
文字语言 图形表示 符号表示
判断定理 如果一个平面过另一个平面的 ，那么这两个平面垂直
性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平面垂直
(2)判定定理与性质定理
垂线
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α.(　　)
(2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(　　)
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.
(　　)
(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(　　)
×
√
×
×
2.(2024·惠州模拟)已知l，n是两条不同的直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是
A.若α∥β，l α，n β，则l∥n
B.若α⊥β，l α，则l⊥β
C.若l∥α，α⊥β，则l⊥β
D.若l⊥α，l∥β，则α⊥β
√
由l，n是两条不同的直线，α，β是不重合的两个平面知，
在A中，若α∥β，l α，n β，则l与n平行或异面，故A错误；
在B中，若α⊥β，l α，则l与β相交、平行或l β，故B错误；
在C中，若l∥α，α⊥β，则l与β相交、平行或l β，故C错误；
在D中，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故D正确.
3.(多选)如图，PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则下列说法正确的是
A.PA⊥平面ABC
B.BC⊥平面PAC
C.AC⊥平面PBC
D.三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形
√
√
√
因为PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则PA⊥平面ABC，故A正确；
而BC 平面ABC，则PA⊥BC，
又AC⊥BC，PA∩AC=A，PA，AC 平面PAC，则有BC⊥平面PAC，故B正确；
由A知，△PAB，△PAC都是直角三角形，
由B知，△ABC，△PBC都是直角三角形，故D正确；
假定AC⊥平面PBC，PC 平面PBC，
则AC⊥PC，即∠PCA=90°，
而在△PAC中∠PAC=90°，矛盾，
所以AC⊥平面PBC不正确，故C错误.
4.过平面α外一点P的斜线段是过这点的垂线段的倍，则该斜线与平面α所成的角是　　.
如图，连接AB，
由PB⊥α，
知∠PAB是斜线PA与平面α所成的角，
在Rt△PAB中，
因为PA=PB，
所以sin∠PAB==，
又∠PAB∈，所以∠PAB=，
即斜线PA与平面α所成的角为.
1.灵活应用两个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
2.掌握三种垂直关系的转化
种平行关系的转化
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微点提醒
线线垂直　　　　　线面垂直　　　　　面面垂直
探究核心题型
第二部分
例1　如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足.
(1)求证：PA⊥平面ABC；
直线与平面垂直的判定与性质
题型一
如图，在平面ABC内取一点D，过点D作DF⊥AC于点F.
因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，DF 平面ABC，所以DF⊥平面PAC.
因为PA 平面PAC，所以DF⊥PA.
过点D作DG⊥AB于点G，
同理可证DG⊥PA.
因为DG，DF 平面ABC，且DG∩DF=D，
所以PA⊥平面ABC.
(2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.
如图，连接BE并延长交PC于点H.
因为点E是△PBC的垂心，所以PC⊥BH.
又AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，
所以PC⊥AE.
因为AE∩BH=E，AE，BH 平面ABE，
所以PC⊥平面ABE.
又AB 平面ABE，所以PC⊥AB.
由(1)知PA⊥平面ABC，
又AB 平面ABC，所以PA⊥AB.
因为PA∩PC=P，PA，PC 平面PAC，
所以AB⊥平面PAC.
又AC 平面PAC，所以AB⊥AC，
即△ABC是直角三角形.
证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β)；④面面垂直的性质.
(2)证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.
思维升华
跟踪训练1　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，
证明：
(1)CD⊥AE；
在四棱锥P-ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，PA，AC 平面PAC，
∴CD⊥平面PAC，而AE 平面PAC，
∴CD⊥AE.
(2)PD⊥平面ABE.
由PA=AB=BC，∠ABC=60°，
可得AC=PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD=C，PC，CD 平面PCD，
∴AE⊥平面PCD，而PD 平面PCD，
∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，AB 平面ABCD，
∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD且PA∩AD=A，PA，AD 平面PAD，∴AB⊥平面PAD，
而PD 平面PAD，∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE=A，AB，AE 平面ABE，
∴PD⊥平面ABE.
例2　如图1，山形图是两个全等的直角梯形ABCD和ABEF的组合图，将直角梯形ABEF沿底边AB翻折，得到如图2所示的几何体.已知AB∥CD∥EF，AB=2CD=2EF，AB⊥BE，点N在线段CE上，且EN=2NC.在几何体BCE-ADF中，解决下面问题.
(1)证明：AE∥平面BND；
平面与平面垂直的判定与性质
题型二
如图，连接AC与BD相交于O，连接ON，
由于AB=2CD，且AB∥CD，
所以OC∶OA=CD∶AB=1∶2，
又EN=2NC，所以ON∥AE，
又AE 平面BND，ON 平面BND，
所以AE∥平面BND.
(2)若平面BDE⊥平面ABCD，证明：BE⊥AD.
过C作CM⊥BD于M，
由于平面BDE⊥平面ABCD，且平面BDE∩平面ABCD=BD，CM 平面ABCD，
所以CM⊥平面BED，又BE 平面BED，故CM⊥BE，
又AB⊥BE，AB，CM是平面ABCD内的两相交直线，
所以BE⊥平面ABCD，
又AD 平面ABCD，故BE⊥AD.
(1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义.②面面垂直的判定定理.
(2)面面垂直性质的应用
①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.
思维升华
(3)[三垂线定理]如果平面内的一条直线和穿过这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直.
(4)[三垂线定理的逆定理]如果平面内的一条直线和穿过这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和斜线在平面内的射影垂直.
思维升华
跟踪训练2　(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB=90°.
(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
因为A1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以A1C⊥BC，
又因为∠ACB=90°，即AC⊥BC，
因为A1C，AC 平面ACC1A1，A1C∩AC=C，
所以BC⊥平面ACC1A1，
又因为BC 平面BB1C1C，
所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
(2)设AB=A1B，AA1=2，求四棱锥A1-BB1C1C的高.
如图，过点A1作A1O⊥CC1于点O.
因为平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩平面BB1C1C=CC1，A1O 平面ACC1A1，
所以A1O⊥平面BB1C1C，
所以四棱锥A1-BB1C1C的高为A1O.
因为A1C⊥平面ABC，AC，BC 平面ABC，
所以A1C⊥BC，A1C⊥AC，
在Rt△ABC与Rt△A1BC中，
因为A1B=AB，BC=BC，
所以Rt△ABC≌Rt△A1BC，
所以A1C=AC.
设A1C=AC=x，则A1C1=x，
所以O为CC1的中点，OC1=AA1=1，
又因为A1C⊥AC，所以A1C2+AC2=A，
即x2+x2=22，解得x=，
所以A1O===1，
所以四棱锥A1-BB1C1C的高为1.
命题点1　线面角与二面角
例3　(多选)把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时
A.AB⊥CD
B.直线BD与平面ABC所成角的大小为
C.二面角A-BD-C的余弦值为-
D.四面体ABCD的内切球的半径为2-
垂直关系的综合应用
题型三
√
√
√
如图所示，当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大，记E为AC的中点，连接BE，DE，此时DE⊥平面BAC，因为AB 平面BAC，所以AB⊥DE，因为CD∩DE=D，所以AB与CD不垂直，A错误；
对于B，直线BD和平面ABC所成的角即为∠EBD，
因为tan∠EBD==1，故∠EBD=，B正确；
对于C，由于BC=CD=BA=AD，取BD的中点G，
连接AG，CG，则有CG⊥BD，AG⊥BD，
故∠CGA为二面角A-BD-C的平面角.
则cos∠CGA===-，C正确；
对于D，设内切球球心为I，内切球半径为r，由等体积法知，
V四面体ABCD=V三棱锥I-ABC+V三棱锥I-BCD+V三棱锥I-ACD+V三棱锥I-ABD=rS四面体ABCD，
其中，V四面体ABCD=BE·S△ACD=，
S四面体ABCD=2×=+2，
故r===2-，D正确.
已知AO是平面α的斜线，如图，A是斜足，OB⊥α，B是垂足，则直线AB是斜线AO在平面α内的射影，设AC是α内的任一过点A的直线，且BC⊥AC，C为垂足，又设AO与直线AB所成的角为θ1，AB与AC所成的角是θ2，AO与AC所成的角为θ，则cos θ＝cos θ1·cos θ2.
三余弦定理cos θ＝cos θ1·cos θ2的应用
微拓展
典例　已知PA是平面α的斜线，∠BAC在平面α内，且∠BAC＝90°，又∠PAB＝∠PAC＝60°，则PA与平面α所成的角为　　　.
45°
如图，作P在α内的正射影O，则O在∠BAC的平分线上，∠PAO为PA与平面α所成的角，
所以cos∠PAC＝cos∠PAO·cos∠OAC，
所以cos 60°＝cos∠PAO·cos 45°，
所以cos∠PAO＝，故∠PAO＝45°，
所以PA与平面α所成的角为45°.
命题点2　垂直关系中的存在性问题
例4　如图①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD，DE⊥AB.沿DE将△AED折起到△A1ED的位置.连接A1B，A1C，M，N分别为A1C，BE的中点，连接MN，如图②.
(1)求证：DE⊥A1B；
∵在直角梯形ABCD中，DE⊥AB，沿DE将△AED折起到△A1ED的位置，
∴DE⊥A1E，DE⊥BE.
∵A1E∩BE=E，A1E，BE 平面A1BE，
∴DE⊥平面A1BE，
又A1B 平面A1BE，∴DE⊥A1B.
(2)求证：MN∥平面A1ED；
取CD的中点H，连接NH，MH，如图.
∵M，N分别为A1C，BE的中点，
∴MH∥A1D，NH∥DE.
∵MH 平面A1ED，A1D 平面A1ED，
∴MH∥平面A1ED，
∵NH 平面A1ED，DE 平面A1ED，
∴NH∥平面A1ED，
又NH∩MH=H，NH，MH 平面MNH，
∴平面A1ED∥平面MNH，
又MN 平面MNH，∴MN∥平面A1ED.
(3)在棱A1B上是否存在一点G，使得EG⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
取A1B的中点G，连接EG，如图.
在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，DE⊥AB，
∴BC∥DE，
∵AB=2CD，
∴AE=BE，即A1E=BE，
∴EG⊥A1B，
由(1)知DE⊥平面A1BE，
又∵DE∥BC，∴BC⊥平面A1BE，
又EG 平面A1BE，∴EG⊥BC，
又A1B∩BC=B，A1B，BC 平面A1BC，
∴EG⊥平面A1BC.
故棱A1B上存在中点G，使得EG⊥平面A1BC，且此时=1.
(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.
(2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证.
思维升华
跟踪训练3　如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AB=AD，∠BAD=90°，E，F分别是BC，AC的中点.
(1)求证：AC⊥BD；
取BD的中点O，连接AO，CO，如图，
在△BCD中，∵CB=CD，
∴CO⊥BD，
同理AO⊥BD，
而AO∩CO=O，AO，CO 平面AOC，
∴BD⊥平面AOC，
又AC 平面AOC，∴AC⊥BD.
(2)若平面CBD⊥平面ABD，且CB=BD，求直线BF与平面ABD所成角的正切值.
由(1)知CO⊥BD，
∵平面CBD⊥平面ABD，平面CBD∩平面ABD=BD，CO 平面CBD，
∴CO⊥平面ABD，
取AO的中点N，连接FN，BN，如图，
易知CO∥FN，故FN⊥平面ABD，
故∠FBN是直线BF与平面ABD所成的角，
∵CB=CD=BD，
∴△BCD是等边三角形，
设BC=2a，则BO=a，CO=a，
在Rt△ABD中，AB=AD，
∴AO=BD=a，NO=AO=a，
∴FN=CO=a，
BN==a，
故tan∠FBN===，
∴直线BF与平面ABD所成角的正切值为.
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课时精练
对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D A A C D ABD ACD
题号 9 10 13 　14 答案 平行 B 　ABD 答案
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(1)因为AD=AB，∠BAD=90°，
所以∠ABD=∠ADB=45°.
又因为AD∥BC，所以∠DBC=45°.
又∠BCD=45°，所以∠BDC=90°，即BD⊥CD.
因为平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD=BD，CD 平面BCD，
所以CD⊥平面PBD.
(2)由CD⊥平面PBD，BP 平面PBD，
得CD⊥BP.
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又BP⊥PD，PD∩CD=D，PD，CD 平面PCD，所以BP⊥平面PCD.
又BP 平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PCD.
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(1)取AB的中点D，BC的中点E，连接MD，DE，NE，
则有MD∥AA'，DE∥AC，NE∥CC'∥AA'，所以NE∥MD，
则NE与MD共面，
又DE 平面AA'C'C，AC 平面AA'C'C，
所以DE∥平面AA'C'C，
又MD 平面AA'C'C，AA' 平面AA'C'C，
所以MD∥平面AA'C'C，
又MD∩DE=D，MD，DE 平面DMNE，
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所以平面DMNE∥平面AA'C'C，
又MN 平面DMNE，
所以MN∥平面AA'C'C.
(2)连接BN，不妨设AA'=1，
则AB=AC=λAA'=λ，
所以BC==λ，
因为三棱柱ABC-A'B'C'的侧棱垂直于底面，
所以平面A'B'C'⊥平面BB'C'C，
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因为AB=AC，所以A'B'=A'C'，
又点N是B'C'的中点，所以A'N⊥B'C'，
又平面A'B'C'∩平面BB'C'C=B'C'，A'N 平面A'B'C'，
所以A'N⊥平面BB'C'C，
又CN 平面BB'C'C，所以CN⊥A'N，
要使CN⊥平面A'MN，只需CN⊥BN即可，
又因为CN=BN=，
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所以CN2+BN2=BC2，
即2=，
所以λ=(负值舍去)，
即当λ=时，CN⊥平面A'MN.
12.
一、单项选择题
1.(2025·邯郸模拟)已知α，β是不重合的两个平面，m，n是两条直线，且α⊥β，m α，n β，则“m⊥n”是“m⊥β”的
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件　
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知识过关
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用平面ADFE代表平面α，平面ABCD代表平面β，
当m⊥n如图所示时，显然m与平面β不垂直，
反之，当m⊥β时，又n β，根据线面垂直的性质有m⊥n，
所以“m⊥n”是“m⊥β”的必要不充分条件.
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2.已知m，l是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是
A.m⊥l，m β，l⊥α B.m⊥l，α∩β=l，m α
C.m∥l，m⊥α，l⊥β D.l⊥α，m∥l，m∥β
√
对于A，有可能出现α，β平行或相交但不垂直的情况，故A错误；
对于B，会出现平面α，β相交但不垂直的情况，故B错误；
对于C，m∥l，m⊥α，l⊥β，则α∥β，故C错误；
对于D，l⊥α，m∥l m⊥α，又由m∥β α⊥β，故D正确.
3.若某圆锥的侧面积为底面积的倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为
A.2 B.3 C. D.
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设该圆锥的底面圆半径和母线长分别为r，l，母线与底面所成的角为θ，由题意可得πrl=πr2 l=r，
由勾股定理可得圆锥的高h==2r，
所以圆锥的母线与底面所成角的正切值tan θ==2.
4.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在平面ABC上的射影H必在
A.直线AB上 B.直线BC上
C.直线AC上 D.△ABC内部
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由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1=B，AB，BC1 平面ABC1，
得AC⊥平面ABC1.
因为AC 平面ABC，
所以平面ABC1⊥平面ABC.
所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.
5.(2024·北京模拟)在正四棱锥P-ABCD中，AB=2，二面角P-CD-A的大小为，则该四棱锥的体积为
A.4 B.2
C. D.
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连接AC，BD相交于点H，则H为正方形ABCD的中心，
故PH⊥底面ABCD，
取CD的中点Q，连接HQ，PQ，
则HQ⊥CD，PQ⊥CD，HQ=AD=1，
故∠PQH为二面角P-CD-A的平面角，
所以∠PQH=，
故PH=HQ=1，
所以该四棱锥的体积为×AB2·PH=.
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6.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是
A.AC⊥SB
B.AD⊥SC
C.平面SAC⊥平面SBD
D.BD⊥SA
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由题意知SD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
故SD⊥AC，
又四棱锥S-ABCD的底面为正方形，
即AC⊥BD，
而SD∩BD=D，SD，BD 平面SBD，
故AC⊥平面SBD，SB 平面SBD，故AC⊥SB，A正确；
SD⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，故SD⊥AD，
又四棱锥S-ABCD的底面为正方形，即AD⊥CD，
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而SD∩CD=D，SD，CD 平面SCD，
故AD⊥平面SCD，SC 平面SCD，
故AD⊥SC，B正确；
由于AC⊥平面SBD，AC 平面SAC，
故平面SAC⊥平面SBD，C正确；
SD⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，故SD⊥BD，
若BD⊥SA，而SD∩SA=S，SD，SA 平面SAD，
故BD⊥平面SAD，又AD 平面SAD，
故BD⊥AD，即∠BDA=90°，
这与正方形ABCD中∠BDA=45°矛盾，D错误.
二、多项选择题
7.(2025·广州模拟)已知α，β，γ是三个不重合的平面，且α∩γ=l，β∩γ=m，则下列命题不正确的是
A.若α⊥γ，β⊥γ，则l∥m
B.若l∥m，则α∥β
C.若α⊥β，γ⊥β，则l⊥m
D.若l⊥m，则α⊥β
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若α⊥γ，β⊥γ，则l∥m或l与m相交，故A错误；
若l∥m，则α∥β或α与β相交，故B错误；
若α⊥β，γ⊥β，则l⊥m，故C正确；
若l⊥m，则α与β相交，不一定是垂直，故D错误.
8.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是
A.异面直线AB1与CD所成角的大小为45°
B.异面直线A1B1与AC1所成角的大小为45°
C.直线AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为
D.二面角C1-AD-B的大小为45°
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答案
如图所示，
对于A，因为CD∥AB，则AB1与CD所成的角为
∠BAB1=45°，A正确；
对于B，因为AB∥A1B1，
所以AC1与A1B1所成的角为∠BAC1或其补角，
因为AB=2，BC1=BC=2，AC1=AB=2，所以AB2+B=A，
则AB⊥BC1，所以tan∠BAC1==，故∠BAC1≠45°，B错误；
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答案
对于C，因为B1C1⊥平面ABB1A1，
故直线AC1与平面ABB1A1所成的角为∠B1AC1，
因为AB1 平面ABB1A1，则B1C1⊥AB1，
所以sin∠B1AC1==，
因此，直线AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为，C正确；
对于D，因为AD⊥平面CC1D1D，CD，C1D 平面CC1D1D，则AD⊥CD，AD⊥C1D，
所以二面角C1-AD-B的平面角为∠CDC1=45°，D正确.
三、填空题
9.已知△ABC，若直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，且l，m为两条不同的直线，则l，m的位置关系是　　　　.
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答案
平行
依题意知l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC=A，AB，AC 平面ABC，故l⊥平面ABC，
又m⊥BC，m⊥AC，BC∩AC=C，BC，AC 平面ABC，故m⊥平面ABC，∴l∥m.
10.如图所示，在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，M是BD的中点，MA=1且MC=2，若二面角A-BD-C的大小为120°，则点A到点C的距离为　　　.
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答案
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答案
如图所示，连接AC，
因为AB=AD，CB=CD且M为BD的中点，所以MA⊥BD，
MC⊥BD，
所以∠AMC为二面角A-BD-C的平面角，可得∠AMC=120°，
在△AMC中，因为MA=1，MC=2且∠AMC=120°，
可得AC2=MA2+MC2-2MA·MCcos 120°=1+4-2×1×2×=7，
所以AC=.
四、解答题
11.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°.将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD.
求证：(1)CD⊥平面PBD；
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答案
因为AD=AB，∠BAD=90°，
所以∠ABD=∠ADB=45°.
又因为AD∥BC，所以∠DBC=45°.
又∠BCD=45°，所以∠BDC=90°，即BD⊥CD.
因为平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD=BD，CD 平面BCD，
所以CD⊥平面PBD.
(2)平面PBC⊥平面PCD.
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答案
由CD⊥平面PBD，BP 平面PBD，得CD⊥BP.
又BP⊥PD，PD∩CD=D，PD，CD 平面PCD，所以BP⊥平面PCD.
又BP 平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PCD.
12.如图，已知三棱柱ABC-A'B'C'的侧棱垂直于底面，AB=AC，∠BAC=90°，点M，N分别为A'B和B'C'的中点.
(1)证明：MN∥平面AA'C'C；
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答案
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答案
取AB的中点D，BC的中点E，连接MD，DE，NE，
则有MD∥AA'，DE∥AC，NE∥CC'∥AA'，所以NE∥MD，
则NE与MD共面，
又DE 平面AA'C'C，AC 平面AA'C'C，
所以DE∥平面AA'C'C，
又MD 平面AA'C'C，AA' 平面AA'C'C，
所以MD∥平面AA'C'C，
又MD∩DE=D，MD，DE 平面DMNE，
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答案
所以平面DMNE∥平面AA'C'C，
又MN 平面DMNE，
所以MN∥平面AA'C'C.
(2)设AB=λAA'，当λ为何值时，CN⊥平面A'MN？试证明你的结论.
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答案
连接BN，不妨设AA'=1，
则AB=AC=λAA'=λ，
所以BC==λ，
因为三棱柱ABC-A'B'C'的侧棱垂直于底面，
所以平面A'B'C'⊥平面BB'C'C，
因为AB=AC，所以A'B'=A'C'，
又点N是B'C'的中点，所以A'N⊥B'C'，
又平面A'B'C'∩平面BB'C'C=B'C'，A'N 平面A'B'C'，
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答案
所以A'N⊥平面BB'C'C，
又CN 平面BB'C'C，所以CN⊥A'N，
要使CN⊥平面A'MN，只需CN⊥BN即可，
又因为CN=BN=，
所以CN2+BN2=BC2，
即2=，
所以λ=(负值舍去)，
即当λ=时，CN⊥平面A'MN.
13.(2024·新课标全国Ⅱ)已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为，AB=6，A1B1=2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为
A. B.1
C.2 D.3
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答案
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能力拓展
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答案
方法一　分别取BC，B1C1的中点D，D1，
则AD=3，A1D1=，
可知S△ABC=×6×3=9，
=×2×=，
设正三棱台ABC-A1B1C1的高为h，
则=×h=，解得h=，
如图，分别过A1，D1作底面的垂线，垂足为M，N，
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答案
设AM=x，
则AA1==，
DN=AD-AM-MN=2-x，
可得DD1==，
结合等腰梯形BCC1B1可得
B=+D，
即x2+=(2-x)2++4，
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答案
解得x=，
所以A1A与平面ABC所成角的正切值为
tan∠A1AD==1.
方法二　将正三棱台ABC-A1B1C1补成正三棱锥P-ABC，
则A1A与平面ABC所成的角即为PA与平面ABC所成的角，
因为==，
则=，
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答案
可知=V三棱锥P-ABC=，
则V三棱锥P-ABC=18，
设正三棱锥P-ABC的高为d，
则V三棱锥P-ABC=d××6×6×=18，解得d=2，
取△ABC的中心为O，
则PO⊥底面ABC，且AO=2，
所以PA与平面ABC所成角的正切值
tan∠PAO==1.
14.(多选)(2025·河池模拟)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，AC1⊥平面A1B1C1，AB⊥BC，AD⊥BC1，D，E分别是BC1，AC1的中点，则下列说法正确的是
A.DE∥平面ABB1A1
B.AD⊥平面BCC1
C.直线AD与直线DE的夹角为
D.若∠BAC=，则二面角B-A1B1-C1的平面角的大小为
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答案
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答案
因为D，E分别是BC1，AC1的中点，所以DE∥AB，
又DE 平面ABB1A1，AB 平面ABB1A1，所以DE∥平面ABB1A1，故A正确；
因为AC1⊥平面A1B1C1，所以AC1⊥平面ABC，
又BC 平面ABC，所以AC1⊥BC，
因为AB⊥BC，AB∩AC1=A，AB，AC1 平面ABC1，
所以BC⊥平面ABC1，
又AD 平面ABC1，所以BC⊥AD，
因为AD⊥BC1，BC∩BC1=B，BC，BC1 平面BCC1，则AD⊥平面BCC1，故B正确；
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答案
由于D为BC1的中点，且AD⊥BC1，AC1⊥AB，
因此△ABC1是等腰直角三角形.
E是AC1的中点，则∠ADE=，
故直线AD与直线DE的夹角为，故C错误；
连接AB1，如图所示，
由于AC1⊥A1B1，B1C1⊥A1B1，AC1∩B1C1=C1，AC1，B1C1 平面AB1C1，
所以A1B1⊥平面AB1C1，
又AB1 平面AB1C1，则A1B1⊥AB1，
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答案
因此二面角B-A1B1-C1的平面角为∠AB1C1，
由于∠BAC=，因此AB=BC，由C项分析知AB=
AC1，则AC1=B1C1，因此∠AB1C1=，故D正确.
返回(共84张PPT)
第七章
§7.8　空间距离及立体几何中的探索性问题
数学
大
一
轮
复
习
1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离.
2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.点到直线的距离
如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设=a，则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，PQ== .
2.点到平面的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此PQ==
= .
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.(　　)
(2)点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线的长度.(　　)
(3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等.(　　)
(4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.(　　)
×
×
×
√
2.空间点A(-1，1，1)，B(-1，2，3)，C(1，2，4)，则点A到直线BC的距离d等于
A. B.
C. D.
√
由题意得=(0，1，2)，=(2，0，1)，
所以cos〈〉===，
所以sin∠ABC==，
所以点A到直线BC的距离d=||sin∠ABC=×=.
3.已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N分别是A1B1，AD，CC1的中点，则直线AC与平面EMN之间的距离为
A.1 B. C. D.
√
如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(2，1，2)，M(1，0，0)，N(0，2，1)，
所以=(1，1，2)，=(-1，2，1)，=(-2，2，0)，
设平面EMN的法向量为m=(x，y，z)，
则
令x=1，可得m=(1，1，-1)，所以·m=0，
即⊥m，
又AC 平面EMN，所以AC∥平面EMN，
故点A到平面EMN的距离即为直线AC到平面EMN的距离，
又=(1，0，0)，
所以点A到平面EMN的距离为==，
即直线AC与平面EMN之间的距离为.
4.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是　　 .
如图，建立空间直角坐标系，
则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，
所以=(2，0，0)，=(2，0，2)，=(2，2，0).
设平面A1BD的法向量为n=(x，y，z)，
则即
令x=1，则n=(1，-1，-1)，
所以点D1到平面A1BD的距离d===.
返回
探究核心题型
第二部分
命题点1　点线距离
例1　如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD.若已知AB=3，
AD=4，PA=1，则点P到直线BD的距离为　　　.
空间距离
题型一
如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，
则=(-3，0，1)，=(-3，4，0)，
故点P到直线BD的距离
d===.
命题点2　点面距离
例2　在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为
A.2 B.
C. D.
√
以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则G(2，λ，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，
所以=(-2，0，1)，=(0，2，0)，=(0，λ，1).
设平面D1EF的法向量为n=(x，y，z)，
则
取x=1，得n=(1，0，2)，
所以点G到平面D1EF的距离为d===.
命题点3　异面直线的距离
例3　已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=6，点G在侧棱PB上，且满足2PG=GB，则异面直线PC和DG的距离为
A. B. C. D.
√
如图，以点A为原点，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则B(3，0，0)，C(3，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，6)，G(1，0，4).
所以=(1，-3，4)，=(3，3，-6)，=(3，0，0)，
设n=(x，y，z)为直线PC和DG的公垂线的方向向量，
则有可取n=(1，3，2)，
所以异面直线PC和DG的距离为==.
(1)点到直线的距离
①设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，点A到直线l的
距离d=.
②若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离.
(2)求点面距一般有以下三种方法
①作点到面的垂线，求点到垂足的距离.
②等体积法.
③向量法.
思维升华
跟踪训练1　(多选)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在
BD上，且BE=BD；点F在CB1上，且CF=CB1.则下列结论正确的是
A.线段EF是异面直线BD与CB1的公垂线段
B.异面直线AA1与BD的距离为
C.点D1到直线EF的距离为
D.点D1到平面DEF的距离为
√
√
√
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，
==，
==，
所以E，F.
对于A，==(1，1，0)，=(1，0，1)，
所以·=-=0，·=-=0，
即EF⊥DB，EF⊥CB1，所以线段EF是异面直线BD与
CB1的公垂线段，故A正确；
对于B，由正方体的性质可得异面直线AA1与BD的公
垂线的一个方向向量为=(-1，1，0)，
又=(1，0，0)，所以异面直线AA1与BD的距离为==，故B错误；
对于C，==，
所以在方向上的投影向量的长度为h==，所以点D1到直线EF的距离为==，故C正确；
对于D，设平面DEF的法向量为n=(x，y，z)，=，
则即
令x=1，得y=-1，z=2，
所以n=(1，-1，2)，又=(0，0，1)，
所以点D1到平面DEF的距离d===，故D正确.
例4　如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，AB=CD=AD=1，M为棱PC的中点.
(1)证明：BM∥平面PAD；
立体几何中的探索性问题
题型二
取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示.
∵M为棱PC的中点，
∴MN∥CD，MN=CD，
∵AB∥CD，AB=CD，∴AB∥MN，AB=MN，
∴四边形ABMN是平行四边形，∴BM∥AN，
又BM 平面PAD，AN 平面PAD，∴BM∥平面PAD.
(2)若PC=，PD=1，
①求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值；
∵PC=，PD=1，CD=2，
∴PC2=PD2+CD2，∴PD⊥DC，
∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=
DC，PD 平面PDC，
∴PD⊥平面ABCD，
又AD，CD 平面ABCD，
∴PD⊥AD，PD⊥CD，而AD⊥DC，
∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图.
则P(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，2，0)，B(1，1，0)，
∵M为棱PC的中点，∴M.
==(1，1，0)，
设平面BDM的法向量为n=(x，y，z)，
则
令z=2，则∴n=(1，-1，2)，
平面PDM的一个法向量为=(1，0，0)，
∴|cos〈n，〉|===，
则平面PDM与平面BDM夹角的余弦值为.
②在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，请说明理由.
假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是，
设=λ，0≤λ≤1，又=(1，0，-1)，
则Q(λ，0，1-λ)，=(λ-1，-1，1-λ)，
由①知平面BDM的一个法向量为n=(1，-1，2)，
·n=λ-1+1+2(1-λ)=2-λ，
∴点Q到平面BDM的距离是
==，∴λ=，∴PQ=.
(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”.
(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.
思维升华
跟踪训练2　如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，∠ABC=120°，AB=2，且直线BD1与平面BCC1B1所成的角为30°.
(1)求直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高；
设AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，
因为棱柱是直棱柱，且底面是菱形，故OA，OB，OO1两两垂直，
如图，以OA，OB，OO1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
因为在菱形ABCD中，∠ABC=120°，
所以OA=，OB=1，设AA1=h>0，
则B(0，1，0)，C(-，0，0)，C1(-，0，h)，
D1(0，-1，h)，
所以=(，1，0)，=(0，0，h)，=(0，-2，h).
设平面BCC1B1的法向量为n1=(x1，y1，z1)，
则由得
令x1=1，得n1=(1，-，0)，
所以cos〈，n1〉==，
因为直线BD1与平面BCC1B1所成的角为30°，
所以|cos〈，n1〉|=sin 30°，
即=，解得h=2.
(2)在棱AA1上是否能找到一点M，使得平面CD1M与平面BCC1B1的夹角为30°？若能，求出的值；若不能，说明理由.
假设能找到这样的点M，
设M(，0，t)，且0≤t≤2，
则=(2，0，t)，=(，-1，2)，
设平面CD1M的法向量为n2=(x2，y2，z2)，
则由
得
令x2=t，得n2=(t，t-4，-2)，
则|cos〈n1，n2〉|==，
由平面CD1M与平面BCC1B1的夹角为30°，
可得|cos〈n1，n2〉|=cos 30°，
即=，
解得t=∈[0，2]，
所以能找到这样的点M，此时，AM=t=，
故==.
返回
课时精练
答案
1
2
3
4
(1)由题意知，AA1⊥平面ABC，∠BAC=60°，
而AB 平面ABC，所以AA1⊥AB，在平面ABC内过点A作y轴，使得AB⊥y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，，0)，
A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，
得M，N(1，0，1)，P，
1.
答案
1
2
3
4
所以=(1，，-2)，==，
设平面A1CP的法向量为n=(x，y，z)，
则
令x=1，得y=-，z=-1，
所以n=(1，-，-1)，
所以·n=-×1+×(-)+1×(-1)=0，
1.
答案
1
2
3
4
又MN 平面A1CP，
即MN∥平面A1CP.
(2)如图，连接PM，
由(1)得=(0，0，-2)，
则·=-2，||=，||=2，
所以点P到直线MN的距离d==.
1.
答案
1
2
3
4
(1)因为AB∥CD，CD=BC=2，∠ABC=90°，
所以∠BCD=90°，BD=2，
在△ABD中∠ABD=45°，AB=4，由余弦定理得AD==2，
所以AD2+BD2=AB2，
即∠ADB=90°，AD⊥BD，
取AD的中点O，连接PO，
因为△PAD是正三角形，所以PO⊥AD，
2.
答案
1
2
3
4
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO 平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，
又BD 平面ABCD，所以PO⊥BD，
又AD⊥BD，PO∩AD=O，PO，AD 平面PAD，
所以BD⊥平面PAD，
又BD 平面MBD，
所以平面MBD⊥平面PAD.
(2)假设存在点M，使得直线AP与平面MBD所成的角为30°，
2.
答案
1
2
3
4
取AB的中点N，连接ON，则ON∥BD，所以AD⊥ON，
以{}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，-，0)，D(0，，0)，B(2，0)，
C(，2，0)，P(0，0，)，
设=λ，0≤λ≤1，则==+λ
=(0，-)+λ(，2，-)
=(λ，2λ--λ)，
2.
答案
1
2
3
4
又=(2，0，0)，
设平面BDM的法向量为n=(x，y，z)，
则
即
取z=2λ-1，
则n=(0，(λ-1)，2λ-1)，=(0，)，
2.
答案
1
2
3
4
由直线AP与平面MBD所成的角为30°，得
sin 30°=|cos〈，n〉|=
=
==，
化简得10λ2-13λ+4=0，解得λ=或λ=，
故存在点M，当=或=时，直线AP与平面MBD所成的角为30°.
2.
答案
1
2
3
4
(1)翻折前，因为四边形ABCD为平行四边形，D=60°，DC=2AD=2，则AD∥BC，
由余弦定理可得AC2=DC2+AD2-2DC·AD·cos D=4+1-2×2×1×=3，
所以AC2+AD2=DC2，则AD⊥AC，
又AD∥BC，所以BC⊥AC；
翻折后，BC⊥AC，PA⊥AC，
因为PC⊥BC，AC∩PC=C，AC，PC 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC，
3.
答案
1
2
3
4
因为PA 平面PAC，则PA⊥BC，
因为AC∩BC=C，AC，BC 平面ABC，
所以PA⊥平面ABC，
因为PA 平面PAB，故平面PAB⊥平面ABC.
(2)因为PA⊥平面ABC，BC⊥AC，以点A为坐标原点，
的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立
如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(0，，0)，B(-1，，0)，
3.
答案
1
2
3
4
设=λ=λ(0，，-1)=(0，λ，-λ)，其中0<λ<1，
则==(0，0，1)+(0，λ，-λ)
=(0，λ，1-λ)，=(-1，，0)，
设平面ABM的法向量为m=(x，y，z)，
则
取y=λ-1，则z=λ，x=(λ-1)，
3.
答案
1
2
3
4
所以m=((λ-1)，λ-1，λ)，
易知平面ABC的一个法向量为n=(0，0，1)，
则|cos〈m，n〉|===，
整理可得8λ2+2λ-1=0，
因为0<λ<1，解得λ=，
故线段PC上存在点M，使二面角M-AB-C的余弦值为，且=.
3.
答案
1
2
3
4
(1)取AC的中点O，连接PO，BO，如图，
因为PA=PC=3，AC=2，所以PO⊥AC，
且PO==，
因为△ABC是以AC为底边的等腰直角三角形，
所以BO⊥AC，且BO=，
又PB=3，满足PB2=PO2+BO2，
所以PO⊥BO，因为AC∩BO=O，AC，BO 平面ABC，
4.
答案
1
2
3
4
所以PO⊥平面ABC，
因为点E为棱PA的中点，
所以点E到平面ABC的距离为PO=.
(2)如图，以O为原点建立空间直角坐标系，
则C(0，，0)，P(0，0，)，
A(0，-，0)，B(，0，0)，
E，
4.
答案
1
2
3
4
则=(，0，-)，=(0，，-)，
=(，0)，=，
设=λ(0≤λ≤1)，
则可得=，
则Q，
则=，
4.
答案
1
2
3
4
所以cos∠QAB==，
所以sin∠QAB=，
所以d2=AQ·sin∠QAB=，
设平面PBC的法向量为n=(x，y，z)，
则即
令x=，可得n=()，
4.
答案
1
2
3
4
则d1==λ，
所以d1+d2=f(λ)=λ，0≤λ≤1，
所以f'(λ)=，
令f'(λ)=0，解得λ=，
令g(λ)=f'(λ)=，0≤λ≤1，
则g'(λ)=>0，
4.
答案
1
2
3
4
所以g(λ)=f'(λ)在[0，1]上单调递增，
所以当λ∈时，f'(λ)<0，f(λ)单调递减；
当λ∈时，f'(λ)>0，f(λ)单调递增，
所以f(λ)min=f=，
即d1+d2的最小值为.
4.
1.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，M是BC的中点，N是AB1的中点，P是B1C1的中点.
(1)证明：MN∥平面A1CP；
1
2
3
4
答案
1
2
3
4
答案
由题意知，AA1⊥平面ABC，∠BAC=60°，
而AB 平面ABC，所以AA1⊥AB，在平面ABC内过点A作y轴，
使得AB⊥y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，，0)，
A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，
得M，N(1，0，1)，P，
1
2
3
4
答案
所以=(1，，-2)，==，
设平面A1CP的法向量为n=(x，y，z)，
则
令x=1，得y=-，z=-1，
所以n=(1，-，-1)，
所以·n=-×1+×(-)+1×(-1)=0，
又MN 平面A1CP，即MN∥平面A1CP.
(2)求点P到直线MN的距离.
1
2
3
4
答案
1
2
3
4
答案
如图，连接PM，
由(1)得=(0，0，-2)，
则·=-2，||=，||=2，
所以点P到直线MN的距离
d==.
1
2
3
4
答案
2.如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是正三角形，∠ABC=90°，AB∥CD，AB=2CD=2BC=4，平面PAD⊥平面ABCD，M是棱PC上的动点.
(1)求证：平面MBD⊥平面PAD；
1
2
3
4
答案
因为AB∥CD，CD=BC=2，∠ABC=90°，
所以∠BCD=90°，BD=2，
在△ABD中∠ABD=45°，AB=4，由余弦定理得AD==2，
所以AD2+BD2=AB2，
即∠ADB=90°，AD⊥BD，
取AD的中点O，连接PO，
因为△PAD是正三角形，所以PO⊥AD，
1
2
3
4
答案
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO 平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，
又BD 平面ABCD，所以PO⊥BD，
又AD⊥BD，PO∩AD=O，PO，AD 平面PAD，
所以BD⊥平面PAD，
又BD 平面MBD，
所以平面MBD⊥平面PAD.
1
2
3
4
答案
(2)在线段PC上是否存在点M，使得直线AP与平面MBD所成的角为30°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
1
2
3
4
答案
假设存在点M，使得直线AP与平面MBD所成的角为30°，取AB的中点N，连接ON，则ON∥BD，所以AD⊥ON，
以{}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，-，0)，D(0，，0)，B(2，0)，
C(，2，0)，P(0，0，)，
设=λ，0≤λ≤1，
则==+λ=(0，-)+λ(，2，-)
=(λ，2λ--λ)，
1
2
3
4
答案
又=(2，0，0)，
设平面BDM的法向量为n=(x，y，z)，
则
即
取z=2λ-1，
则n=(0，(λ-1)，2λ-1)，=(0，)，
由直线AP与平面MBD所成的角为30°，得
1
2
3
4
答案
sin 30°=|cos〈，n〉|=
=
==，
化简得10λ2-13λ+4=0，解得λ=或λ=，
故存在点M，当=或=时，直线AP与平面MBD所成的角为30°.
3.已知平行四边形ABCD，如图甲，D=60°，DC=2AD=2，沿AC将△ADC折起，使点D到达点P位置，且PC⊥BC，连接PB得三棱锥P-ABC，如图乙.
(1)证明：平面PAB⊥平面ABC；
1
2
3
4
答案
1
2
3
4
答案
翻折前，因为四边形ABCD为平行四边形，D=60°，DC=2AD=2，则AD∥BC，
由余弦定理可得AC2=DC2+AD2-2DC·AD·cos D
=4+1-2×2×1×=3，
所以AC2+AD2=DC2，则AD⊥AC，
又AD∥BC，所以BC⊥AC；
翻折后，BC⊥AC，PA⊥AC，
因为PC⊥BC，AC∩PC=C，AC，PC 平面PAC，
1
2
3
4
答案
所以BC⊥平面PAC，
因为PA 平面PAC，则PA⊥BC，
因为AC∩BC=C，AC，BC 平面ABC，
所以PA⊥平面ABC，
因为PA 平面PAB，故平面PAB⊥平面ABC.
(2)在线段PC上是否存在点M，使二面角M-AB-C的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
1
2
3
4
答案
1
2
3
4
答案
因为PA⊥平面ABC，BC⊥AC，以点A为坐标原点，
的方向分别为x，y，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(0，，0)，B(-1，，0)，
设=λ=λ(0，，-1)=(0，λ，-λ)，其中0<λ<1，
则==(0，0，1)+(0，λ，-λ)
=(0，λ，1-λ)，=(-1，，0)，
设平面ABM的法向量为m=(x，y，z)，
1
2
3
4
答案
则
取y=λ-1，则z=λ，x=(λ-1)，
所以m=((λ-1)，λ-1，λ)，
易知平面ABC的一个法向量为n=(0，0，1)，
则|cos〈m，n〉|===，整理可得8λ2+2λ-1=0，
因为0<λ<1，解得λ=，
故线段PC上存在点M，使二面角M-AB-C的余弦值为，且=.
4.三棱锥P-ABC的底面是以AC为底边的等腰直角三角形且AC=2，各侧棱的长均为3，点E为棱PA的中点，点Q是线段CE上的动点.
(1)求点E到平面ABC的距离；
1
2
3
4
答案
取AC的中点O，连接PO，BO，如图，
因为PA=PC=3，AC=2，所以PO⊥AC，
且PO==，
因为△ABC是以AC为底边的等腰直角三角形，
所以BO⊥AC，且BO=，
又PB=3，满足PB2=PO2+BO2，
所以PO⊥BO，因为AC∩BO=O，AC，BO 平面ABC，所以PO⊥平面ABC，
因为点E为棱PA的中点，
所以点E到平面ABC的距离为PO=.
1
2
3
4
答案
(2)设点Q到平面PBC的距离为d1，Q到直线AB的距离为d2，求d1+d2的最小值.
1
2
3
4
答案
1
2
3
4
答案
如图，以O为原点建立空间直角坐标系，
则C(0，，0)，P(0，0，)，
A(0，-，0)，B(，0，0)，E，
则=(，0，-)，=(0，，-)，
=(，0)，=，
设=λ(0≤λ≤1)，
则可得=，
1
2
3
4
答案
则Q，
则=，
所以cos∠QAB==，
所以sin∠QAB=，
所以d2=AQ·sin∠QAB=，
设平面PBC的法向量为n=(x，y，z)，
1
2
3
4
答案
则即
令x=，可得n=()，
则d1==λ，
所以d1+d2=f(λ)=λ，0≤λ≤1，
所以f'(λ)=，
令f'(λ)=0，解得λ=，
1
2
3
4
答案
令g(λ)=f'(λ)=，0≤λ≤1，
则g'(λ)=>0，
所以g(λ)=f'(λ)在[0，1]上单调递增，
所以当λ∈时，f'(λ)<0，f(λ)单调递减；
当λ∈时，f'(λ)>0，f(λ)单调递增，
所以f(λ)min=f=，
即d1+d2的最小值为.
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第七章
§7.3　空间点、直线、平面之间的位置关系
数学
大
一
轮
复
习
1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.
2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.基本事实1：过 的三个点，有且只有一个平面.
基本事实2：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有
过该点的公共直线.
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.
2.“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2：经过两条 直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条 直线，有且只有一个平面.
不在一条直线上
两个点
一条
相交
平行
3.空间中直线与直线的位置关系
图形语言 符号语言 公共点
直线与平面 相交 ________ 个
平行 ______ 个
在平面内 _____ 个
平面与平面 平行 ______ 个
相交 _______ 个
4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
a∩α=A
1
a∥α
a α
α∥β
α∩β=l
0
无数
0
无数
5.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 .
6.异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围： .
相等或互补
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)没有公共点的两条直线是异面直线.(　　)
(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种.(　　)
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.(　　)
(4)两两相交的三条直线共面.(　　)
×
×
×
×
2.用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α内”，正确的是
A.A m，m α B.A m，m∈α
C.A m，m α D.A m，m∈α
√
由题意用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α内”，即A m，m α.
3.(多选)下列命题正确的是
A.空间任意三个点确定一个平面
B.一个点和一条直线确定一个平面
C.两条相交直线确定一个平面
D.空间两两平行的三条直线确定一个或三个平面
√
√
A中，空间不共线的三点确定一个平面，A错；
B中，只有点在直线外时才能确定一个平面，B错；
C中，两条相交直线确定一个平面，C正确；
D中，空间两两平行的三条直线确定一个平面或三个平面，D正确.
4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为　　　.
60°
因为M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，
所以MN∥BC1，
又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
AC∥A1C1，
所以∠A1C1B或其补角为异面直线AC和MN所成的角，
又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△A1C1B为正三角形，
所以∠A1C1B=60°，
即异面直线AC和MN所成的角为60°.
(1)异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.
(2)异面直线所成角的范围：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
基本事实的应用
题型一
如图所示，
连接B1D1.
因为EF是△C1D1B1的中位线，
所以EF∥B1D1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，
所以EF，BD确定一个平面，
即D，B，F，E四点共面.
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C，
设A1，C，C1确定的平面为α，
又设平面BDEF为β.
因为Q∈A1C1，所以Q∈α.
又Q∈EF，所以Q∈β，
所以Q是α与β的公共点，
同理，P是α与β的公共点.
所以α∩β=PQ.
又A1C∩β=R，
所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.
因为EF∥BD且EF所以DE与BF相交，设交点为M，
则由M∈DE，DE 平面D1DCC1，
得M∈平面D1DCC1，
同理，M∈平面B1BCC1.
又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1，
所以M∈CC1.
所以DE，BF，CC1三线交于一点.
(3)DE，BF，CC1三线交于一点.
共面、共线、共点问题的证明
(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.
(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.
(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
思维升华
跟踪训练1　如图，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足==2.求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
因为E，F分别为AB，BC的中点，
所以EF∥AC.
又因为=，
所以GH∥AC.
所以EF∥GH，
所以E，F，G，H四点在同一平面内，
即E，F，G，H四点共面.
(2)EH，FG，BD三线共点.
因为E，F分别为AB，BC的中点，
所以EF∥AC，EF=AC.
由题意知==2，HG∥AC，HG=AC，
所以四边形EFGH为梯形，直线EH和FG必相交，设交点为M，即EH∩FG=M，
因为EH 平面ABD，
所以点M∈平面ABD，
同理可得点M∈平面BCD.
又因为平面ABD∩平面BCD=BD，
所以点M∈直线BD，
所以直线EH，FG，BD三线共点.
例2　(1)(多选)下列推断中，正确的是
A.若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l
B.若α∩β=l，a α，b β，a∩b=A，则A∈l
C.l α，A∈l A α
D.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线 α，β重合
空间位置关系的判断
题型二
√
√
√
对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β=l，由基本事实3可知M∈l，A对；
对于B，若a α，b β，a∩b=A，则A∈α，A∈β，因为α∩β=l，所以A∈l，B对；
对于C，若l∩α=A，则有l α，A∈l，但A∈α，C错；
对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D对.
(2)(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是
A.AB1 B.A1C
C.A1A D.AD1
√
√
√
对于A，如图①，连接AB1，C1D，BD，
当P为BC1的中点时，OP∥DC1∥AB1，故A不正确；
对于B，如图②，连接A1C，A1C1，AC，
因为A1C 平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O A1C，P 平面AA1C1C，
所以直线A1C与直线OP一定是异面直线，故B正确；
对于C，如图②，因为A1A 平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，
O A1A，P 平面AA1C1C，
所以直线A1A与直线OP一定是异面直线，故C正确；
对于D，如图③，连接AD1，D1C，AC，
因为AD1 平面AD1C，O∈平面AD1C，O AD1，P 平面AD1C，
所以直线AD1与直线OP一定是异面直线，故D正确.
判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来判断.二是排除法.特别地，对于异面直线的判定常用到结论：“平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.”
思维升华
跟踪训练2　(1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC=∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是
A.平行 B.异面
C.相交或平行 D.平行或异面或相交均有可能
√
根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况，

由图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况.
(2)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是
A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交
C.l至多与l1，l2中的一条相交 D.l至少与l1，l2中的一条相交
√
如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；
如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.
例3　(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BD的中点，则直线B1E与A1D所成的角为
A.30° B.60° C.120° D.150°
异面直线所成的角
题型三
√
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1=DC，A1B1∥DC，
所以四边形A1B1CD为平行四边形，
则有A1D∥B1C，
所以直线B1E与A1D所成的角等于直线B1E与B1C所成的角，
设正方体的棱长为2，则BB1=2，BE=CE=，B1C=2，
B1E==，
在△EB1C中，cos∠EB1C==，
所以∠EB1C=30°.
所以直线B1E与A1D所成的角为30°.
(2)如图，已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2，E为棱PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为
A. B.
C. D.
√
连接AC，取AC的中点O，连接OE，OB，
由题意知，EO∥PC，则异面直线BE与PC所成的角为∠BEO(或其补角)，
在△BEO中，EO=1，BO=，BE=，
则cos∠BEO==，
则异面直线BE与PC所成角的余弦值为.
异面直线所成角的求法
思维升华
方法 解读
平移法 将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解
补形法 在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解
跟踪训练3　(1)(2025·崇明模拟)已知底面半径为1的圆柱，O是其上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线.若直线OA与BC所
成角的大小为，则BC=　　　.
如图所示，过A作母线AD，连接OD，
则∠OAD为直线OA与BC所成的角，
则∠OAD=，
在Rt△OAD中，可得AD==，
即BC=.
(2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=8，AD=6，异面直线BD与AC1所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为
A.90π B.196π
C.784π D.
√
连接AC与BD交于O点，则O为AC中点，
取CC1的中点E，连接BE，OE，则AC1∥OE，
所以∠EOB为异面直线BD与AC1所成的角(或补角)，
设CE=x，AB=8，AD=6，则BE=，OB=OC=5，OE=，
在△OBE中，由余弦定理得BE2=OB2+OE2-2OB×OE×cos∠EOB，
若cos∠EOB=，
则36+x2=25+25+x2-2，
解得x=2(负值舍去)，
若cos∠EOB=-，则36+x2=25+25+x2+2，方程无解，
所以CC1=2x=4，
所以长方体的体对角线长为=14，
所以长方体的外接球的半径R=7，
所以长方体外接球的表面积S=4πR2=196π.
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课时精练
对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D D B B A BCD BCD
题号 9 10 13 　14 答案 P∈l 3 D 　BD 答案
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(1)如图，设BB1的中点为H，连接HF，EH，A1H，因为F是CC1的中点，
所以A1D1∥CB∥HF，A1D1=CB=HF，
因此四边形A1D1FH是平行四边形，
所以D1F∥A1H，D1F=A1H，
因此∠EA1H是异面直线A1E与D1F所成的角或其补角，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是AB的中点，
所以A1E=A1H==，
EH==，
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由余弦定理可知，cos∠EA1H===，
所以异面直线A1E与D1F所成角的余弦值为.
(2)因为A1D1∥HF，HF 平面A1D1E，A1D1 平面A1D1E，
所以HF∥平面A1D1E，
因此点H，F到平面A1D1E的距离相等，
即===，
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=D1A1·
=×2×=1，
所以三棱锥A1-D1EF的体积为1.
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(1)∵D1E与CM相交于点K，
∴K∈D1E，K∈CM，
而D1E 平面ADD1A1，CM 平面ABCD，
且平面ADD1A1∩平面ABCD=AD，
∴K∈AD，
∴D1E，CM，DA三条直线相交于同一点K.
(2)∵四边形ABCD为菱形，AB=2，
∴BC=CD=2，
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而四棱柱的侧棱AA1⊥底面ABCD，
∴CC1⊥底面ABCD，
又∵F是CC1的中点，CC1=4，∴CF=2，
∴BF=DF=2，
又∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=，
∴BD=AB=2，
∴S△FBD=×2×=.
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连接D1F，D1B(图略)，设点D1到平面FBD的距离为h，点B到平面DD1F的距离为d，
则d=2sin =，
又∵=，
∴×S△FBD×h=××d，
∴××h=××4×2×，解得h=.
即点D1到平面FBD的距离为.
12.
一、单项选择题
1.若直线上有两个点在平面外，则
A.直线上至少有一个点在平面内
B.直线上有无穷多个点在平面内
C.直线上所有点都在平面外
D.直线上至多有一个点在平面内
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根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内.
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答案
2.下列说法正确的是
A.空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面
B.若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面
C.和两条异面直线都相交的两直线是异面直线
D.若两直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直
线可能相交，也可能异面
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答案
对于A，空间中两直线的位置关系有三种：平行、相交和异面，故A错误；
对于B，若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面或平行，故B错误；
对于C，和两条异面直线都相交的两直线是异面直线或相交直线，故C错误；
对于D，如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，当A'B所在直线为a，BC'所在直线为b时，a与b相交，当A'B所在直线为a，B'C所在直线为b时，a与b异面，若两直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，
则这两直线可能相交，也可能异面，故D正确.
3.下列推理错误的是
A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α l α
B.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β α∩β=AB
C.A∈l，l α A∈α
D.若直线a α，直线b β，则a与b为异面直线
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答案
由A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，根据基本事实2可得l α，故A正确；
由A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，根据基本事实3可得α∩β=AB，故B正确；
由A∈l，l α可得A∈α，故C正确；
由于平面α和平面β位置不确定，则直线a与直线b位置亦不确定，可能异面、相交、平行、重合，故D错误.
4.在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG=P，则点P
A.一定在直线BD上
B.一定在直线AC上
C.可能在直线AC上，也可能在BD上
D.不在直线AC上，也不在直线BD上
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因为EF∩HG=P，E，F，G，H四点分别是AB，BC，CD，DA上的点，所以EF在平面ABC内，HG在平面ACD内，所以P既在平面ABC内，又在平面ACD内，所以P在平面ABC和平面ACD的交线上，又平面ABC∩平面ACD=AC，所以P∈AC.
答案
5.已知平面α∩平面β=l，点A，C∈α，点B∈β，且B l，又AC∩l=M，过A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是
A.直线CM B.直线BM
C.直线AB D.直线BC
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已知过A，B，C三点确定的平面为γ，则AC γ.又AC∩l=M，则M∈γ，又平面α∩平面β=l，则l α，l β，又因为AC∩l=M，所以M∈β，因为B∈β，B∈γ，所以β∩γ=BM.
6.安徽徽州古城与四川阆中古城、山西平遥古城、云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体ABCD-A1B1C1D1.已知该正方体中，点E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过D1，E，F三点的平面与平面ABCD的交线为l，
则直线l与直线AD1所成的角为
A. B.
C. D.
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答案
如图所示，在平面AA1D1D中，连接D1E与DA的延长线交于点H，
则HA=AD，
在平面CC1D1D中，连接D1F与DC的延长线交于点G，则GC=CD，则GH为平面D1EF与平面ABCD的交线l，且GH∥AC，
而在等边△ACD1中AC与AD1所成的角为，
故l与直线AD1所成的角为.
二、多项选择题
7.给出以下四个命题，其中错误的是
A.不共面的四点中，其中任意三点不共线
B.若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面
C.若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面
D.依次首尾相接的四条线段必共面
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答案
反证法：如果四个点中，有3个点共线，第4个点不在这条直线上，
根据基本事实2的推论可知，这四个点共面，这与已知矛盾，故A正确；
如图1，A，B，C，D共面，A，B，C，E共面，但A，B，C，D，E不共面，故B错误；
如图2，a，b共面，a，c共面，但b，c异面，故C错误；
如图3，a，b，c，d四条线段首尾相接，但a，b，c，d不共面，故D错误.
图1
图2
图3
8.如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，E，F分别是棱PD，PA的中点，下列说法正确的有
A.多面体ABF-DCE是三棱柱
B.直线BF与PC互为异面直线
C.平面ADP与平面BCP的交线平行于EF
D.四棱锥P-ABCD和四棱锥P-BCEF的体积之比为8∶3
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答案
对于A，多面体ABF-DCE中，由直线AF∩DE=P，得平面ABF与平面DCE不平行，显然多面体ABF-DCE中不存在平行的两个面，则该多面体不是三棱柱，A错误；
对于B，由E，F分别是棱PD，PA的中点，得EF∥AD∥
BC，BF 平面BCEF，C∈平面BCEF，P 平面BCEF，
C BF，因此直线BF与PC互为异面直线，B正确；
对于C，由AD∥BC，BC 平面PBC，AD 平面PBC，则AD∥平面PBC，令平面PBC∩平面PAD=l，而AD 平面PAD，则l∥AD∥EF，C正确；
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答案
对于D，连接AC，CF，令四棱锥P-ABCD的体积为V，
由E，F分别是棱PD，PA的中点，
得V三棱锥P-BCF=V三棱锥B-PCF=V三棱锥B-PCA=V三棱锥P-ABC=V，
V三棱锥P-CEF=V三棱锥C-PEF=V三棱锥C-PDA=V三棱锥P-ADC=V，
因此四棱锥P-BCEF的体积V四棱锥P-BCEF=V三棱锥P-BCF+V三棱锥P-CEF=V，D正确.
三、填空题
9.已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点.若α∩β=l，m α，n β，m∩n=P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为
　　　.
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答案
P∈l
∵m α，n β，m∩n=P，
∴P∈α且P∈β，又α∩β=l，
∴点P在直线l上，即P∈l.
10.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有　　对.
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答案
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画出该正方体的直观图如图所示，
易知异面直线有(AB，GH)，(AB，CD)，(GH，EF).故共有3对.
四、解答题
11.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，CC1的中点.
(1)求异面直线A1E与D1F所成角的余弦值；
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答案
如图，设BB1的中点为H，连接HF，EH，A1H，因为F是CC1的中点，
所以A1D1∥CB∥HF，A1D1=CB=HF，
因此四边形A1D1FH是平行四边形，
所以D1F∥A1H，D1F=A1H，
因此∠EA1H是异面直线A1E与D1F所成的角或其补角，
正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是AB的中点，
所以A1E=A1H==，EH==，
由余弦定理可知，cos∠EA1H===，
所以异面直线A1E与D1F所成角的余弦值为.
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(2)求三棱锥A1-D1EF的体积.
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答案
因为A1D1∥HF，HF 平面A1D1E，A1D1 平面A1D1E，
所以HF∥平面A1D1E，
因此点H，F到平面A1D1E的距离相等，
即===，
=D1A1·
=×2×=1，
所以三棱锥A1-D1EF的体积为1.
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12.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为AA1，CC1的中点，M为AB上一点.
(1)若D1E与CM相交于点K，求证：D1E，CM，DA三条直线相交于同一点；
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∵D1E与CM相交于点K，
∴K∈D1E，K∈CM，
而D1E 平面ADD1A1，CM 平面ABCD，
且平面ADD1A1∩平面ABCD=AD，
∴K∈AD，
∴D1E，CM，DA三条直线相交于同一点K.
(2)若AB=2，AA1=4，∠BAD=，求点D1到平面FBD的距离.
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答案
∵四边形ABCD为菱形，AB=2，
∴BC=CD=2，
而四棱柱的侧棱AA1⊥底面ABCD，
∴CC1⊥底面ABCD，
又∵F是CC1的中点，CC1=4，∴CF=2，
∴BF=DF=2，
又∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=，
∴BD=AB=2，
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∴S△FBD=×2×=.
连接D1F，D1B(图略)，设点D1到平面FBD的距离为h，点B到平面DD1F的距离为d，
则d=2sin =，
又∵=，
∴×S△FBD×h=××d，
∴××h=××4×2×，
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解得h=.
即点D1到平面FBD的距离为.
13.(2025·绵阳模拟)在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，BC=2，CD=2，沿对角线BD将△CBD折起，所得四面体ABCD外接球的表面积为24π，则异面直线AB与CD所成的角为
A.30° B.45° C.60° D.90°
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答案
取BC中点O1，AD中点O2，BD中点F，
则O1为△BCD外心，O2为△ABD外心，O1F∥CD，O2F∥AB，
因为AB=CD=2，则O1F=O2F=1，
翻折后，过O1作直线垂直于平面BCD，过O2作直线垂直于平面ABD，两直线的交点O即为四面体ABCD的外接球球心，设外接球的半径为r，
由题意可得4πr2=24π，可得r=，
即OA=OC=，且O1C=O2A=，
则由勾股定理可得OO1=OO2=1，
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答案
由O1F=O2F=1得四边形OO1FO2为菱形，
由OO2⊥平面ABD，O2F 平面ABD，可得OO2⊥O2F，
所以四边形OO1FO2为正方形，∠O1FO2=90°，
由O1F∥CD，O2F∥AB可得异面直线AB与CD所成的角为∠O1FO2=90°.
14.(多选)(2025·常州模拟)如图，在正四面体ABCD中，已知AB=2，O为棱AB的中点.现将等腰Rt△EAB绕其斜边AB旋转一周(假设△EAB可以穿过正四面体内部)，则在旋转过程中，下列结论正确的是
A.△EAB绕斜边AB旋转一周形成的旋转体体积为
B.O，C，D，E四点共面
C.点E到CD的最近距离为-1
D.异面直线CD与AE所成角的范围为
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答案
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对于A，因为AB=2，所以等腰Rt△EAB的直角边为，斜边的高为1，
旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，其圆锥的底面半径为1，高为1，
所以形成的旋转体的体积V=2××π×12×1=，
故A不正确；
对于B，在正四面体ABCD中，各个侧面都是等边
三角形，因为O为棱AB的中点，
所以DO⊥AB，CO⊥AB，又DO∩CO=O，且DO，CO 平面DOC，
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答案
所以AO⊥平面DOC，又AO⊥OE，OE与平面DOC有公共点O，
所以OE在平面DOC内，所以O，C，D，E四点共面，故B正确；
对于C，设F为CD的中点，O为AB的中点，则点E在
以O为圆心，1为半径的圆上，如图，
由图可知当F，O，E三点共线，且当点E运动到E1的
位置时，E到CD的距离最小，
在Rt△BOF中，BO=1，BF=，则OF=，所以FE1=-1，故C不正确；
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答案
对于D，由B，C分析可知，CD在圆锥的底面所在
平面内，由圆锥轴截面中，∠AEO=，
由线面角的概念可知，AE与圆锥底面中的直线所
成的最小角就是∠AEO，最大角一定为，
由此可知异面直线CD与AE所成角的范围为，故D正确.
返回(共82张PPT)
第七章
§7.4　空间直线、平面的平行
数学
大
一
轮
复
习
1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.
2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果平面外一条直线与_________ 的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面 ，那么该直线与交线平行
1.线面平行的判定定理和性质定理
此平面内
相交
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面内的两条 与另一个平面平行，那么这两个平面平行
性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面 ，那么两条 平行
2.面面平行的判定定理和性质定理
相交直线
相交
交线
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.
(　　)
(2)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　　)
(3)若直线a 平面α，直线b 平面β，a∥b，则α∥β.(　　)
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也互相平行.
(　　)
×
×
×
×
2.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的
A.一条直线不相交 B.两条直线不相交
C.无数条直线不相交 D.任意一条直线都不相交
√
因为直线a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此直线a与平面α内的任意一条直线都不相交.
3.设有两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题正确的是
A.若m∥α，n∥α，则m∥n
B.若m∥α，m∥β，则α∥β
C.若m∥n，m∥α，则n∥α
D.若α∥β，m α，则m∥β
√
若m∥α，n∥α，则m，n可以平行、相交或异面，故A错误；
若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，故B错误；
若m∥n，m∥α，则n∥α或n α，故C错误；
若α∥β，m α，则m∥β，故D正确.
4.如图是长方体被一平面截后得到的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为　　　 .
平行四边形
∵平面ABFE∥平面DCGH，
又平面EFGH∩平面ABFE=EF，
平面EFGH∩平面DCGH=HG，
∴EF∥HG.同理EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
1.掌握三种平行关系的转化
返回
微点提醒
2.灵活应用以下结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(4)若α∥β，a α，则a∥β.
探究核心题型
第二部分
命题点1　直线与平面平行的判定
例1　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB=2，CD=4，E为PC的中点.
求证：BE∥平面PAD.
直线与平面平行的判定与性质
题型一
方法一　如图，取PD的中点F，连接EF，FA.
由题意知EF为△PDC的中位线，
∴EF∥CD，且EF=CD=2.
又∵AB∥CD，AB=2，CD=4，∴AB　　EF，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴BE∥AF.
又AF 平面PAD，BE 平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
方法二　如图，延长DA，CB相交于H，连接PH，
∵AB∥CD，AB=2，CD=4，
∴==，
即B为HC的中点，
又E为PC的中点，∴BE∥PH，
又BE 平面PAD，PH 平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
方法三　如图，取CD的中点H，连接BH，HE，
∵E为PC的中点，
∴EH∥PD，
又EH 平面PAD，PD 平面PAD，
∴EH∥平面PAD，
又由题意知AB　　DH，
∴四边形ABHD为平行四边形，∴BH∥AD，
又AD 平面PAD，BH 平面PAD，
∴BH∥平面PAD，
又BH∩EH=H，BH，EH 平面BHE，
∴平面BHE∥平面PAD，
又BE 平面BHE，∴BE∥平面PAD.
命题点2　直线与平面平行的性质
例2　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.
求证：PA∥GH.
如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，
∴PA∥OM，
又OM 平面BMD，PA 平面BMD，
∴PA∥平面BMD，
又PA 平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD=GH，∴PA∥GH.
(1)判断或证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义(无公共点).
②利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α).
③利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β).
④利用面面平行的性质(α∥β，a β，a∥α a∥β).
(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.
思维升华
跟踪训练1　如图，四边形ABCD为长方形，点E，F分别为AD，PC的中点.设平面PDC∩平面PBE=l.
证明：
(1)DF∥平面PBE；
取PB的中点G，连接FG，EG，
因为点F为PC的中点，
所以FG∥BC，FG=BC，
因为四边形ABCD为长方形，
所以BC∥AD，且BC=AD，
所以DE∥FG，DE=FG，
所以四边形DEGF为平行四边形，
所以DF∥GE，
因为DF 平面PBE，GE 平面PBE，所以DF∥平面PBE.
(2)DF∥l.
由(1)知DF∥平面PBE，
又DF 平面PDC，平面PDC∩平面PBE=l，
所以DF∥l.
例3　(1)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E，F分别是棱B1C1，AC，BC的中点.证明：AD∥平面C1EF.
平面与平面平行的判定与性质
题型二
连接BD.
因为E，F分别是棱AC，BC的中点，所以EF∥AB.
因为EF 平面C1EF，AB 平面C1EF，
所以AB∥平面C1EF.
因为D，F分别是棱B1C1，BC的中点，所以BF∥C1D，BF=C1D，
所以四边形BDC1F是平行四边形，则BD∥C1F.
因为C1F 平面C1EF，BD 平面C1EF，所以BD∥平面C1EF.
因为AB∩BD=B，AB，BD 平面ABD，
所以平面ABD∥平面C1EF，
因为AD 平面ABD，所以AD∥平面C1EF.
(2)如图所示，AA1，BB1为圆台的两条不同的母线，O1，O分别为圆台的上、下底面圆的圆心.求证：A1B1∥AB.
∵圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，
∴圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.
∴母线AA1与母线BB1的延长线必交于一点，
∴A，A1，B，B1四点共面.
∵圆O1∥圆O，且平面ABB1A1∩圆O1=A1B1，
平面ABB1A1∩圆O=AB.
∴A1B1∥AB.
(1)证明面面平行的常用方法
①利用面面平行的判定定理.
②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β α∥β).
③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ α∥γ).
(2)当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的交线.
思维升华
跟踪训练2　如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合).
(1)求证：BC∥GH；
∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，
∴平面ABC∥平面A1B1C1，
又∵平面BCHG∩平面ABC=BC，
且平面BCHG∩平面A1B1C1=GH，
∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.
(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.
∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC，
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1　　AB，
∴A1G　　EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF=E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
例4　如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1上的点.
(1)当为何值时，BC1∥平面AB1D1；
平行关系的综合应用
题型三
当=1时，BC1∥平面AB1D1.
如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，
∴点O为A1B的中点.
在△A1BC1中，O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
∴OD1∥BC1.
又OD1 平面AB1D1，BC1 平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1.
∴当=1时，BC1∥平面AB1D1.
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值.
由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1=OD1.
因此BC1∥OD1，同理AD1∥DC1.
∴==.
又=1，∴=1，即=1.
解决面面平行问题的关键点
(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”.
(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法.
思维升华
跟踪训练3　如图，在四棱锥A-BCDE中，N是BC的中点，四边形BCDE为平行四边形.试探究在线段AE上是否存在点M，使得MN∥平面ACD？若存在，请确定M点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由.
在线段AE上存在点M，且M为AE的中点，使得MN∥平面ACD.
证明如下：
取AD的中点G，连接CG，GM，如图.
因为M为AE的中点，
所以GM∥DE，且GM=DE.
因为N为BC的中点，且四边形BCDE为平行四边形，所以CN∥DE，且CN=DE，
所以GM∥CN，且GM=CN，
所以四边形CNMG为平行四边形.
所以GC∥MN.
因为GC 平面ACD，MN 平面ACD，
所以MN∥平面ACD.
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课时精练
对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B D D D D ABD AC
题号 9 10 13 　14
答案 点M与点H重合(点M在线段FH上即可) A
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(1)取CD中点Q，连接MQ，NQ.
因为M，N，Q分别为AB，PC，CD的中点，
故MQ∥AD，NQ∥PD，
又MQ 平面PAD，AD 平面PAD，
故MQ∥平面PAD，同理NQ∥平面PAD.
又MQ，NQ 平面MNQ，MQ∩NQ=Q，
故平面MNQ∥平面PAD，
又MN 平面MNQ，故MN∥平面PAD.
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(2)BC∥l，证明如下.
因为四边形ABCD为平行四边形，
故AD∥BC，
又BC 平面PAD，AD 平面PAD，
故BC∥平面PAD.
又平面PAD∩平面PBC=l，BC 平面PBC，
故BC∥l.
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(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，
所以V三棱锥A-BDE=V三棱锥E-ABD=AE·S△ABD
=×××2×2=1.
(2)当P为棱DD1的中点时满足平面PA1C∥平面EBD，
连接AC，设AC∩BD=O，连接OE，CP，A1P，如图，
因为四边形ABCD为正方形，所以O为AC的中点，
又E为棱AA1的中点，
12.
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所以OE∥A1C，又OE 平面PA1C，A1C 平面PA1C，所以OE∥平面PA1C，
又P为棱DD1的中点，所以DP∥A1E且DP=A1E，所以四边形DPA1E为平行四边形，
所以DE∥A1P，
又DE 平面PA1C，A1P 平面PA1C，
所以DE∥平面PA1C，
又DE∩OE=E，DE，OE 平面EBD，
所以平面PA1C∥平面EBD.
12.
一、单项选择题
1.已知两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n，下面四个命题中，正确的是
A.若m∥n，n α，则m∥α
B.若m∥α，n∥α且m β，n β，则α∥β
C.若m∥α，n α，则m∥n
D.若m⊥α，m⊥β，则α∥β
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知识过关
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对于A，若m∥n，n α，则m∥α或m α，故A错误；
对于B，当m∥α，n∥α，m β，n β且m与n相交时，α∥β，故B错误；
对于C，若m∥α，n α，则m∥n或m与n异面，故C错误；
对于D，由线面垂直的性质可以证得，故D正确.
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2.如图，已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点，若EF∥平面PBC，则
A.EF∥PA B.EF∥PB
C.EF∥PC D.以上均有可能
√
由线面平行的性质定理可知EF∥PB.
3.(2025·贵阳模拟)设l为直线，α为平面，则l∥α的一个充要条件是
A.α内存在一条直线与l平行
B.l平行α内无数条直线
C.垂直于α的直线都垂直于l
D.存在一个与α平行的平面经过l
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对于A中，由α内存在一条直线与l平行，则l∥α或l α，所以A不正确；
对于B中，由l平行α内无数条直线，则l∥α或l α，所以B不正确；
对于C中，由垂直于α的直线都垂直于l，则l∥α或l α，所以C不正确；
对于D中，如图所示，由l∥α，在直线l上任取一点P作直线a，使得a∥α，因为l∩a=P且l，a 平面β，所以α∥β，即充分性成立；
反之，若存在一个与α平行的平面经过l，根据面面平
行的性质，可得l∥α，即必要性成立，所以D正确.
4.已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α分别交线段PA，PB，PC于点A'，B'，C'，若PA'∶AA'=2∶3，则S△A'B'C'∶S△ABC等于
A.2∶3 B.2∶5
C.4∶9 D.4∶25
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∵平面α∥平面ABC，
∴A'C'∥AC，A'B'∥AB，B'C'∥BC，
∴S△A'B'C'∶S△ABC=(PA'∶PA)2，
又PA'∶AA'=2∶3，∴PA'∶PA=2∶5，
∴S△A'B'C'∶S△ABC=4∶25.
5.(2024·衡水模拟)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD
的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，等于
A. B.
C. D.
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答案
连接AC交BE于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA 平面PAC，平面PAC∩平面EBF=FG，所以PA∥FG，所以=.
又AD∥BC，E为AD的中点，
所以==，所以=.
6.(2025·广州模拟)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AM=2MA1，BN=2NB1，过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则
A.MF∥EB
B.A1B1∥NE
C.四边形MNEF为平行四边形
D.四边形MNEF为梯形
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答案
由于B，E，F三点共面，F∈平面BEF，
M 平面BEF，EB不过点F，故MF，EB为异面直线，故A错误；
由于B1，N，E三点共面，B1∈平面B1NE，A1 平面B1NE，NE不过点B1，故A1B1，NE为异面直线，故B错误；
∵在平行四边形AA1B1B中，AM=2MA1，
BN=2NB1，∴AM∥BN，AM=BN，
故四边形AMNB为平行四边形，∴MN∥AB.
又MN 平面ABC，AB 平面ABC，
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答案
∴MN∥平面ABC.
又MN 平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC=EF，
∴MN∥EF，∴EF∥AB，
显然在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN，
∴四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确.
二、多项选择题
7.下列说法不正确的有
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
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答案
若两条直线和同一平面所成的角相等，这两条直线可能平行，也可能异面，也可能相交，故A错误；
若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，这两个平面可能平行，也可能相交，故B错误；
由线面平行的性质定理可知C正确；
若两个平面垂直同一个平面，则两平面可以平行，也可以垂直，故D错误.
8.已知三棱台ABC-A'B'C'，上、下底面边长之比为1∶2，棱AB，BC，AC的中点分别为点M，P，N，则下列结论错误的有
A.A'N∥PC'
B.A'P与AC为异面直线
C.AB∥平面A'C'P
D.平面A'MN∥平面BCC'B'
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对于A，因为A'N 平面A'C'CA，C'∈平面A'C'CA，P 平面A'C'CA，且C' A'N，所以A'N，PC'是异面直线，故A错误；
对于B，因为AC 平面A'C'CA，A'∈平面A'C'CA，P 平面A'C'CA，且A' AC，所以A'P与AC为异面直线，故B正确；
对于C，因为棱AB，BC的中点分别为点M，P，所以AC∥MP，因为AC∥A'C'，所以MP∥A'C'，可得AB∩平面A'C'PM=M，故C错误；
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答案
对于D，因为AB，AC的中点分别为点M，N，所以MN∥BC，因为MN 平面BCC'B'，BC 平面BCC'B'，所以MN∥平面BCC'B'，因为AC∥A'C'，A'C'=AC=
NC，所以四边形A'C'CN为平行四边形，可得A'N∥C'C，因为A'N 平面BCC'B'，C'C 平面BCC'B'，所以A'N∥平面BCC'B'，因为MN∩A'N=N，MN，A'N 平面A'MN，所以平面A'MN∥平面BCC'B'，故D正确.
三、填空题
9.如图，α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，
AB，若PC=2，CA=3，CD=1，则AB=　　.
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答案
∵α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，
∴CD∥AB，则=，
∴AB===.
10.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件　　　　　　 　　　　，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
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点M与点H重合(点M在线段FH上即可)
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答案
连接HN，FH，FN(图略)，
则FH∥DD1，HN∥BD，FH∩HN=H，FH，HN 平面FHN，DD1，BD 平面B1BDD1，
∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，
则MN 平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.
四、解答题
11.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点.
(1)证明：MN∥平面PAD；
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答案
取CD中点Q，连接MQ，NQ.
因为M，N，Q分别为AB，PC，CD的中点，
故MQ∥AD，NQ∥PD，
又MQ 平面PAD，AD 平面PAD，
故MQ∥平面PAD，同理NQ∥平面PAD.
又MQ，NQ 平面MNQ，MQ∩NQ=Q，
故平面MNQ∥平面PAD，
又MN 平面MNQ，故MN∥平面PAD.
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(2)若平面PAD∩平面PBC=l，判断BC与l的位置关系，并证明你的结论.
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答案
BC∥l，证明如下.
因为四边形ABCD为平行四边形，
故AD∥BC，
又BC 平面PAD，AD 平面PAD，
故BC∥平面PAD.
又平面PAD∩平面PBC=l，BC 平面PBC，
故BC∥l.
12.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，E为棱AA1的中点，AB=2，AA1=3.
(1)求三棱锥A-BDE的体积；
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答案
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，
所以V三棱锥A-BDE=V三棱锥E-ABD=AE·S△ABD
=×××2×2=1.
(2)在DD1上是否存在一点P，使得平面PA1C∥平面EBD.如果存在，请说明P点位置并证明；如果不存在，请说明理由.
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答案
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答案
当P为棱DD1的中点时满足平面PA1C∥平面EBD，
连接AC，设AC∩BD=O，连接OE，CP，A1P，如图，
因为四边形ABCD为正方形，所以O为AC的中点，
又E为棱AA1的中点，
所以OE∥A1C，又OE 平面PA1C，A1C 平面PA1C，所以OE∥平面PA1C，
又P为棱DD1的中点，所以DP∥A1E且DP=A1E，所以四边形DPA1E为平行四边形，
所以DE∥A1P，
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答案
又DE 平面PA1C，A1P 平面PA1C，
所以DE∥平面PA1C，
又DE∩OE=E，DE，OE 平面EBD，
所以平面PA1C∥平面EBD.
13.如图所示，过三棱台上底面的一边A1C1，作一个平行于棱BB1的截面，
与下底面的交线为DE，若D，E分别是AB，BC的中点，则等于
A. B.
C. D.
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答案
√
能力拓展
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答案
平面A1C1ED与棱BB1平行，平面BCC1B1∩平面A1C1ED=C1E，平面ABB1A1∩平面A1C1ED=A1D，
所以BB1∥A1D，BB1∥C1E，
因为平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1C1∩平面A1C1ED=A1C1，平面ABC∩平面A1C1ED=DE，所以A1C1∥DE，
故几何体A1B1C1-DBE为棱柱，设棱柱的高为h，
故=S△DBE·h，且S△DBE=，
又D，E分别是AB，BC的中点，
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答案
则S△ABC=4S△DBE，
由台体体积公式得
(S△DBE+S△ABC+)h=S△DBE·h，
故=.
14.四棱锥P-ABCD的底面是正方形，如图所示，点E是棱PD上一点，PE=
PD，若=λ且满足BF∥平面ACE，则λ=　　.
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答案
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答案
如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，由四边形ABCD是正方形，得BO=OD，在线段PE上取点G，使得GE=ED，
由PE=PD，得=，
连接BG，FG，则BG∥OE，
由OE 平面ACE，BG 平面ACE，
得BG∥平面ACE，
而BF∥平面ACE，BG∩BF=B，BG，BF 平面BGF，
因此平面BGF∥平面ACE，
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答案
又平面PCD∩平面ACE=EC，平面PCD∩平面BGF=GF，则GF∥EC，
所以λ===.
返回(共59张PPT)
第三章
§3.4　函数中的构造问题
数学
大
一
轮
复
习
函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
重点解读
命题点1　利用f(x)与x构造函数
利用f(x)进行抽象函数构造
题型一
例1　(2024·绵阳模拟)已知函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf'(x)>0，若a＝30.2·f(30.2)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝log3·f则a，b，c的大小关系是
A.a>b>c B.c>b>a
C.c>a>b D.a>c>bj
√
令g(x)＝xf(x)，x∈R，
因为f(x)＝f(－x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数，
又因为当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf'(x)>0，
所以当x∈(－∞，0]时，g'(x)＝f(x)＋xf'(x)>0，所以g(x)在(－∞，0]上单调递增，
又g(x)为奇函数，所以g(x)在R上单调递增，
又因为a＝30.2·f(30.2)＝g(30.2)，
b＝ln 2·f(ln 2)＝g(ln 2)，
c＝log3·f ＝g＝g(－2)，
－2<0所以g(－2)b>c.
(1)出现nf(x)＋xf'(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x).
(2)出现xf'(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
思维升华
命题点2　利用f(x)与ex构造函数
例2　函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x恒有f'(x)－f(x)>0，则
A.f(－1)>0 B.f(3)>ef(2)
C.f f(4)
√
设g(x)＝
则g'(x)＝
由条件可知，f'(x)－f(x)>0，所以g'(x)>0，
则函数g(x)在R上单调递增，
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0，
由<得f(－1)<0，故A错误；
由>
得f(3)>ef(2)，故B正确；
由<得f f 故C错误；
由<得ef(3)(1)出现f'(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x).
(2)出现f'(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
思维升华
命题点3　利用f(x)与sin x，cos x构造函数
例3　(2025·杭州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)sin x＋f'(x)cos x>
0，则
A.f C.f>f D.f>f
√
令F(x)＝x≠＋kπ，k∈Z，
故F'(x)＝>0恒成立，
故F(x)＝在k∈Z上单调递增，
故F函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式
F(x)＝f(x)sin x，F'(x)＝f'(x)sin x＋f(x)cos x；
F(x)＝F'(x)＝；
F(x)＝f(x)cos x，F'(x)＝f'(x)cos x－f(x)sinx；
F(x)＝F'(x)＝.
思维升华
跟踪训练1　(1)(2024·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，π)，其导函数是f'(x).若对任意的x∈(0，π)，有f'(x)sin x－f(x)cos x<0，则关于x的不等式f(x)>2f sin x的解集为
A. B.
C. D.
√
令函数g(x)＝x∈(0，π)，
则g'(x)＝<0，
因此函数g(x)在(0，π)上单调递减，不等式f(x)>2fsin x >
即g(x)>g解得0所以原不等式的解集为.
(2)(2024·南通模拟)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为(0，＋∞)，若xf'(x)<2f(x)，则
A.4e2f(2)<16f(e)B.e2f(4)<4e2f(2)<16f(e)
C.e2f(4)<16f(e)<4e2f(2)
D.16f(e)√
方法一　设g(x)＝x∈(0，＋∞)，
∵xf'(x)<2f(x)，
∴g'(x)＝<0，
则g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴g(2)>g(e)>g(4)，
∴>>
即4e2f(2)>16f(e)>e2f(4)，故C正确.
方法二　设f(x)＝1，又e2<16<4e2，C正确.
(3)(2024·扬州模拟)已知函数f(x)的导数为f'(x)，对任意实数x，都有f(x)－f'(x)>0，且f(1)＝1，则f(x)>ex－1的解集为
A.(－∞，1)
B.(1，＋∞)
C.(－1，1)
D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
√
由f(x)>ex－1，可得>
令g(x)＝结合f(x)－f'(x)>0，则g'(x)＝<0，
所以g(x)在R上单调递减，
故g(x)>g(1) x<1，
则原不等式的解集为(－∞，1).
例4　(1)(2025·昆明模拟)设a＝b＝c＝则
A.cC.b构造具体函数关系
题型二
√
设f(x)＝x>0，
则f'(x)＝
令f'(x)＝0，得x＝
则f(x)在(0)上单调递增，在(＋∞)上单调递减，
b＝f()，c＝f()，则b>c，
又a－b＝>0，得a>b，
所以c(2)(2024·南昌模拟)142 857被称为世界上最神秘的数字，142 857×1＝142 857，142 857×2＝285 714，142 857×3＝428 571，142 857×4＝571 428，142 857×5＝714 285，142 857×6＝857 142，所得结果是这些数字反复出现，若a＝e0.142 857，b＝＋1，c＝则
A.a>b>c B.c>b>a
C.b>a>c D.a>c>b
√
由题意知，a＝e0.142 857，c＝
设f(x)＝ex－x－1(x>0)，f'(x)＝ex－1，
当x∈(0，＋∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)＝ex－x－1>f(0)＝0，
所以ex>x＋1(x>0).
因为x2＋2x＋1>1＋2x(x>0)，
所以x＋1>(x>0)，
得ex>(x>0)，
所以e0.142 857>即a>c；
由ex>x＋1(x>0)，得x>ln(x＋1)(x>0)，
所以x－1>ln x(x>1)，即x>ln x＋1(x>1)，
所以>ln ＋1＝＋1，即c>b.
综上，a>c>b.
通过研究或变形，使所研究的式子具有鲜明的结构特点，然后依据此特点构造新函数.常用的不等式：sin x0)，ln x≤x－1≤x2－x(x>0)，ex≥x＋1(x>0)，ex≥ex>x(x>0).
思维升华
跟踪训练2　(1)(2025·九江模拟)已知a＝sin b＝ln c＝则
A.a>b>c B.c>a>b
C.c>b>a D.a>c>b
√
方法一　a＝sin >sin ＝c，
设f(x)＝ln x＋1－x，x>1，
则f'(x)＝<0，
故f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
故f(x)1)，
所以b＝ln <－1＝c，故a>c>b.
方法二　a＝sin >sin ＝c，b＝ln所以a>c>b.
(2)已知e是自然对数的底数，a＝b＝e2sin c＝则
A.a>b>c B.c>a>b
C.a>c>b D.b>c>a
√
构建f(x)＝x>e，
则f'(x)＝>0在(e，＋∞)上恒成立，
可知f(x)在(e，＋∞)上单调递增，
因为a＝c＝
可知f(4)>f(π)>f(e)＝e，
即c>a>e；
构建g(x)＝x－sin x，x>0，
则g'(x)＝1－cos x≥0在(0，＋∞)上恒成立，
可知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
则g(x)>g(0)＝0，即x>sin x，x>0，
可得>sin 且e>0，
则e>e2sin 即e>b，
综上所述，c>a>b.
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B B C A C BC ABD
题号 9 　　　10 答案 a1.(2025·福州模拟)已知a＝ln b＝ln(ln 3)，c＝－则
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>a>b
√
1
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10
答案
1
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3
4
5
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7
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答案
因为b＝ln(ln 3)>ln(ln e)＝0，
而a＝ln <0，c<0，所以b最大，
构造函数f(x)＝xln x(x>0)，因为f'(x)＝ln x＋1(x>0)，
当0时，f'(x)>0，
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，
又因为a＝f c＝f
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10
答案
所以f >f 即a>c，
故b>a>c.
1
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10
答案
2.(2024·北海模拟)已知a＝ln(e)，b＝c＝＋1，则a，b，c的大小关系为
A.c>a>b B.b>a>c
C.a>b>c D.b>c>a
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
由题意，a＝＋1＝＋1，b＝＋1，c＝＋1，
设f(x)＝则f'(x)＝
当00，f(x)单调递增；当x>e时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
因为e<4<5，
所以b＝f(e)＋1>a＝f(4)＋1>c＝f(5)＋1，故b>a>c.
3.(2024·昆明模拟)设定义在R上的函数y＝f(x)满足对 x∈R，都有f(x＋2)＋f(x)＝0，且当x∈(0，4]时，xf'(x)－f(x)>0，若a＝f(2 024)，b＝4f(2 025)，c＝2f(2 026)，则a，b，c的大小关系是
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.b>c>a
√
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10
答案
1
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7
8
9
10
由f(x＋2)＋f(x)＝0 f(x＋4)＋f(x＋2)＝0 f(x＋4)＝f(x)，
即4为y＝f(x)的一个周期，
所以a＝f(2 024)＝f(4)，
同理b＝4f(2 025)＝4f(1)，c＝2f(2 026)＝2f(2)，
令g(x)＝ g'(x)＝
由已知可得，当x∈(0，4]时，g'(x)>0，g(x)单调递增，
所以<< 4f(1)<2f(2)c>b.
答案
4.(2025·成都模拟)已知函数y＝f(x)对任意的x∈满足f'(x)cos x－f(x)sin x>0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是
A.f >f B.f C.2f(0)f
√
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10
答案
1
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5
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10
构造函数g(x)＝f(x)cos x，x∈
则g'(x)＝f'(x)cos x－f(x)sin x>0，
所以g(x)在上单调递增，
则g所以f cos即f 答案
1
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4
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6
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10
则g>g
所以fcos>fcos
即f >f 故B不正确；
则g(0)所以f(0)cos 0即2f(0)答案
1
2
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10
则g(0)所以f(0)cos 0即f(0)答案
5.(2024·成都模拟)若函数f(x)对任意的x∈R，都有f'(x)A.2f(ln 2)>f(2ln 2)－2
B.2f(ln 2)C.2f(ln 2)＝f(2ln 2)－2
D.无法比较大小
√
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答案
1
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10
令g(x)＝
则g'(x)＝
∵对任意的x∈R，都有f'(x)∴g'(x)<0，即g(x)在R上为减函数，
又ln 2<2ln 2，∴g(ln 2)>g(2ln 2)，
即>
可得2f(ln 2)>f(2ln 2)－2.
答案
6.(2024·南充模拟)设函数f(x)＝sin x＋ex－e－x－x＋3，则满足f(x)＋f(3－2x)
<6的x的取值范围是
A.(－∞，1) B.(1，＋∞)
C.(3，＋∞) D.(－∞，3)
√
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答案
1
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3
4
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7
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9
10
f(x)＝sin x＋ex－e－x－x＋3，
设g(x)＝f(x)－3＝sin x＋ex－e－x－x，
又易知g(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为R上的奇函数，
又g'(x)＝cos x＋ex＋e－x－1≥cos x＋2－1＝1＋cos x≥0，
∴g(x)在R上是增函数，
又f(x)＋f(3－2x)<6，
∴[f(x)－3]＋[f(3－2x)－3]<0，
答案
1
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10
∴g(x)＋g(3－2x)<0，∴g(x)<－g(3－2x)，
又g(x)为R上的奇函数，
∴g(x)又g(x)在R上是增函数，
∴x<2x－3，∴x>3，
故满足f(x)＋f(3－2x)<6的x的取值范围是(3，＋∞).
答案
二、多项选择题
7.(2024·滁州模拟)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数为f'(x)，且对任意的x∈R，都有f(x)＋f'(x)>0，则下列说法正确的是
A.ef(1)f(0)
C.2f(ln 2)ef(1)
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7
8
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10
√
答案
√
令g(x)＝exf(x)，
所以g'(x)＝exf(x)＋exf'(x)＝ex[f(x)＋f'(x)]>0，
所以g(x)在R上是增函数，所以g(0)又g(ln 2)所以eln 2f(ln 2)即2f(ln 2)1
2
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答案
8.(2025·池州模拟)下列不等关系中正确的是
A.ln 2< B.bea>aeb(a>b>1)
C.cos < D.sin >π
√
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答案
√
√
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5
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11
12
13
14
对于A项，由ln 2＝构造函数f(x)＝(x>0)，则f'(x)＝
当00，则f(x)在(0，e2)上单调递增，所以f(4)对于B项，设m(x)＝x>1，
则m'(x)＝>0在(1，＋∞)上恒成立，
故函数m(x)在(1，＋∞)上单调递增，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
因为a>b>1，故m(a)>m(b)，即>
故bea>aeb，故B项正确；
对于C项，因为cos < cos <1－＝1－×
故构造函数f(x)＝cos x－1＋x2(x>0)，
则f'(x)＝x－sin x，
令g(x)＝x－sin x，则g'(x)＝1－cos x≥0，
故g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
答案
1
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5
6
7
8
9
10
则g(x)>g(0)，即f'(x)>f'(0)＝0，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
f ＝cos >f(0)＝0，故C项错误；
对于D项，sin >π sin >π－ sin>π－ sin<－π，
由C项分析可知－π>sin故D项正确.
答案
三、填空题
9.已知a＝b＝c＝则a，b，c的大小关系为　　　　.
1
2
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4
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6
7
8
9
10
答案
a1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
令f(x)＝x≠0，
则f'(x)＝当x≥2时，f'(x)≥0，
∴f(x)在[2，＋∞)上单调递增，
∴f(2)∴a10.已知x∈则不等式esin x－cos x－tan x≥0的解集为　　　　　.
1
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7
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9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
不等式esin x－cos x－tan x≥0可化为≥
当x∈时，cos x>0，
又esin x>0，∴≥
令f(x)＝则f(cos x)≥f(sin x)，
∵f'(x)＝
∴当x∈(－∞，1)时，f'(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f'(x)<0，
∴f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
当x∈时，cos x∈(0，1]，sin x∈(－1，1)，
∴cos x≥sin x，
即当x∈时，tan x≤1，∴x∈
即不等式esin x－cos x－tan x≥0的解集为.
答案