(共83张PPT)
第三章
§3.1 导数的概念及其意
义、导数的运算
数学
大
一
轮
复
习
1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.
2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作 或 .
f'(x0)＝ .
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)
f'(x)＝y'＝.
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ，相应的切线方程为 .
f '(x0)
y'
斜率
y－f(x0)＝f '(x0)(x－x0)
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f '(x)＝___
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f '(x)＝______
f(x)＝sin x f '(x)＝_____
f(x)＝cos x f '(x)＝_______
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f '(x)＝______
f(x)＝ex f '(x)＝____
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f '(x)＝______
f(x)＝ln x f '(x)＝___
0
αxα－1
cos x
－sin x
axln a
ex
4.导数的运算法则
若f'(x)，g'(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]'＝ ；
[f(x)g(x)]'＝ ；
'＝ (g(x)≠0)；
[cf(x)]'＝ .
5.复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝______，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
f'(x)±g'(x)
f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)
cf'(x)
y'u·u'x
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f'(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.( )
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )
(3)f'(x0)＝[f(x0)]'.( )
(4)(e－x)'＝－e－x.( )
×
×
×
√
2.若函数f(x)＝ln x－2x＋1，则f'等于
A.0 B. C. D.
√
f'(x)＝－2，
所以f'＝2－2＝0.
3.(2024·开封模拟)已知函数f(x)＝2x，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为
A.x－y－1＝0 B.x－y＋1＝0
C.x·ln 2－y－1＝0 D.x·ln 2－y＋1＝0
√
函数f(x)＝2x，求导得f'(x)＝2xln 2，则f'(0)＝ln 2，而f(0)＝1，所以所求切线方程为y－1＝ln 2·(x－0)，即x·ln 2－y＋1＝0.
4.设曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，则a的值
为 .
∵y＝e2ax，∴y'＝e2ax·(2ax)'＝2a·e2ax，
∴在点(0，1)处的切线斜率k＝y'|x＝0＝2ae0＝2a，
又∵切线与直线2x－y＋1＝0垂直，
∴2a×2＝－1，∴a＝－.
－
1.巧记两个常用结论
(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数.
(2)函数y＝f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f'(x)|反映了变化的快慢，|f'(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”.
微点提醒
2.明确两点不同
区分在点处的切线与过点处的切线：在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.
3.谨防两个易误点
(1)在复合函数求导中，每一步求导分不清哪个变量对哪个变量的求导而致误.
(2)牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1 (1)(多选)下列求导运算正确的是
A.(ln 7)'＝
B.[(x2＋2)sin x]'＝2xsin x＋(x2＋2)cos x
C.'＝
D.[ln(3x＋2)]'＝
√
导数的运算
题型一
√
(ln 7)'＝0，故A错误；
[(x2＋2)sin x]'＝2xsin x＋(x2＋2)cos x，故B正确；
'＝故C正确；
[ln(3x＋2)]'＝故D错误.
(2)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(x)＝2xf'＋sin x，则f 等于
A. B.
C. D.－
√
因为f(x)＝2xf'＋sin x，
所以f'(x)＝2f'＋cos x，
令x＝
则f'＝2f'＋cos f'＝－
则f(x)＝－x＋sin x，
所以f ＝－＋sin .
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
思维升华
跟踪训练1 (多选)下列命题正确的有
A.已知函数f(x)在R上可导，若f'(1)＝2，则＝2
B.'＝
C.已知函数f(x)＝ln(2x＋1)，若f'(x0)＝1，则x0＝
D.设函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(x)＝x2＋3xf'(2)＋ln x，则f'(2)＝－
√
√
对于A＝2＝2f'(1)＝4，故A错误；
对于B'＝故B错误；
对于C，f'(x)＝(2x＋1)'＝若f'(x0)＝1，则＝1，即x0＝故C正确；
对于D，f'(x)＝2x＋3f'(2)＋故f'(2)＝4＋3f'(2)＋故f'(2)＝－故D正确.
例2 (2023·全国甲卷)曲线y＝处的切线方程为
A.y＝x B.y＝x
C.y＝x＋ D.y＝x＋
导数的几何意义
题型二
命题点1 求切线方程
√
因为y＝
所以y'＝
所以k＝y'|x＝1＝
所以曲线y＝在点处的切线方程为y－(x－1)，即y＝x＋.
例3 若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是 .
命题点2 求参数的值(范围)
[2，＋∞)
函数f(x)＝ln x＋2x2－ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，
即f'(x)＝2在(0，＋∞)上有解，
而f'(x)＝＋4x－a，
即＋4x－a＝2在(0，＋∞)上有解，
得a＝＋4x－2在(0，＋∞)上有解，
∵＋4x≥2＝4，当且仅当x＝时等号成立，
∴a≥4－2＝2，
∴a的取值范围是[2，＋∞).
例4 (2025·广州模拟)设点P在曲线y＝ex上，点Q在直线y＝x上，则|PQ|的最小值为
A. B.
C. D.
命题点3 切线的应用
√
令y'＝ex＝得x＝－1，代入曲线y＝ex中，得P所以|PQ|的最小值即为点到直线y＝x的距离d＝.
(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.
思维升华
跟踪训练2 (1)牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法.如图，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的零点r，取初始值x0，f(x)的图象在横坐标为x0的点处的切线与x轴的交点的横坐标为x1，f(x)的图象在横坐标为x1的点处的切线与x轴的交点的横坐标为x2，一直继续下去，得到x1，x2，…，xn，它们越来越接近r.若f(x)＝x2－2(x>0)，x0＝2，则用牛顿迭代法得到的r的近似值x2约为
A.1.438 B.1.417
C.1.416 D.1.375
√
由f(x)＝x2－2(x>0)，
求导得f'(x)＝2x，而x0＝2，
则f'(x0)＝4，又f(x0)＝2，
于是函数f(x)的图象在横坐标为x0＝2的点处的切线方程为y－2＝4(x－2)，
令y＝0，得x1＝
则f'(x1)＝3，f(x1)＝－2＝
因此函数f(x)的图象在横坐标为x1＝的点处的切线方程为y－＝3
令y＝0，得x2＝≈1.417，
所以x2约为1.417.
(2)若点A(a，a)，B(b，eb)(a，b∈R)，则A，B两点间距离|AB|的最小值
为 .
点A(a，a)在直线y＝x上，点B(b，eb)在曲线y＝ex上，
即求|AB|的最小值等价于求直线y＝x上的点到曲线y＝ex上的点的距离的最小值，
过y＝ex上的点(m，em)作y＝ex的切线，可得y－em＝em(x－m)，
令em＝1，可得m＝0，故该切线为y＝x＋1，
则直线y＝x＋1与y＝x的距离即为|AB|的最小值，此时|AB|＝即|AB|min＝.
例5 (2025·广州模拟)若直线l既和曲线C1相切，又和曲线C2相切，则称l为曲线C1和C2的公切线.已知曲线C1：f(x)＝ex－1和曲线C2：g(x)＝1＋ln x，请写出曲线C1和C2的一条公切线方程： .
两曲线的公切线
题型三
y＝x(答案不唯一，或填y＝ex－1)
设公切线与C1：f(x)＝ex－1相切的切点为(x1－1)，与C2：g(x)＝1＋ln x相切的切点为(x2，1＋ln x2).
由f'(x)＝ex，则f'(x1)＝则公切线方程为y＝(x－x1)＋－1，
即y＝x＋(1－x1)－1；
由g'(x)＝则g'(x2)＝则公切线方程为y＝(x－x2)＋ln x2＋1，
即y＝·x＋ln x2，
所以解得或
故曲线C1和C2的公切线方程为y＝x或y＝ex－1.
公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解.
思维升华
跟踪训练3 (2024·福州模拟)已知直线y＝kx＋b既是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝－ln(－x)的切线，则
A.k＝b＝0 B.k＝1，b＝0
C.k＝b＝－1 D.k＝1，b＝－1
√
设直线与曲线y＝ln x的切点为(x1，ln x1)且x1>0，
与曲线y＝－ln(－x)的切点为(x2，－ln(－x2))且x2<0，
又y'＝(ln x)'＝y'＝[－ln(－x)]'＝－
则直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x的切线方程为y－ln x1＝(x－x1)，即y＝x＋ln x1－1，
直线y＝kx＋b与曲线y＝－ln(－x)的切线方程为y＋ln(－x2)＝－(x－x2)，即y＝－x＋1－ln(－x2)，
则解得
故k＝b＝ln x1－1＝0.l
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课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B B A B AC BCD
题号 9 10 13 14 15 16 答案 2 ln 2 B C ACD 2 15
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(1)因为函数f(x)=x3-ax2+b的图象过点(2，4)，
所以b=4a-4. ①
又f'(x)=3x2-2ax，f'(1)=1，
所以f'(1)=3×12-2a=3-2a=1， ②
由①②解得a=1，b=0.
11.
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(2)由(1)知f(x)=x3-x2，
设所求切线在曲线y=f(x)上的切点坐标为(m，m3-m2)，
则f'(m)=3m2-2m，
所以切线方程为
y-m3+m2=(3m2-2m)(x-m)，
又切线过点(0，-1)，
所以2m3-m2-1=0，
11.
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可得2m3-2-m2+1=0，
即2(m3-1)-(m2-1)=0，
即(m-1)(2m2+m+1)=0，
解得m=1，
所以切点坐标为(1，0)，切线方程为x-y-1=0.
故曲线y=f(x)过点(0，-1)的切线方程为x-y-1=0.
11.
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(1)由导数公式得f'(x)=-3x2+1，
设切点坐标为(x0，y0)，切线方程为y-1=k(x-1)，
由题意可得解得或
从而切线方程为2x+y-3=0或x-4y+3=0.
12.
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答案
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(2)由(1)可得曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线方程为y=-2x+3，
由g'(x)=-2e-2x+1，可得曲线y=g(x)在x=t(t∈R)处的切线斜率为g'(t)=-2e-2t+1，
由题意可得-2e-2t+1=-2，从而t=
此时切点坐标为曲线y=g(x)在x=处的切线方程为
y-1=-2
即y=-2x+2，符合题意，所以t=.
12.
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一、单项选择题
1.若f(x)＝ln(－x)，则f'(－2 026)等于
A.－ B.－2 026 C. D.2 026
√
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知识过关
答案
f'(x)＝则f'(－2 026)＝－.
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答案
2.一个做直线运动的质点的位移s(m)与时间t(s)的关系式为s＝100t－5t2，则该质点的瞬时速度为0 m/s时，t等于
A.50 s B.20 s C.10 s D.5 s
√
由题意知s＝100t－5t2，则s'＝100－10t，令s'＝0，则t＝10，即当该质点的瞬时速度为0 m/s时，时间t＝10 s.
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3.设函数f(x)＝xex的图象与x轴相交于点P，则该曲线在点P处的切线方程为
A.y＝ex B.y＝x
C.y＝ex＋1 D.y＝x＋1
√
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函数f(x)＝xex，
由f(x)＝0，得x＝0，则点P(0，0)，
由f(x)＝xex，求导得f'(x)＝(x＋1)ex，
则f'(0)＝1，
所以该曲线在点P处的切线方程为y＝x.
答案
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4.已知函数f(x)的图象如图所示，f'(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是
A.0
B.0C.0D.0√
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答案
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由函数f(x)的图象可知f'(3)>0，f'(2)>0，
设A(2，f(2))，B(3，f(3))，则直线AB的斜率为＝f(3)－f(2)，
由于曲线是上升的，故f(3)>f(2)，∴f(3)－f(2)>0，
作出曲线在x＝2，x＝3处的切线，设为l1，l3，
直线AB为l2，l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，
结合图象可得l1，l2，l3的斜率满足k3即01
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答案
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5.(2025·汉口模拟)已知函数f(x)为偶函数，其图象在点(1，f(1))处的切线方程为x－2y＋1＝0，记f(x)的导函数为f'(x)，则f'(－1)等于
A.－ B. C.－2 D.2
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答案
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因为f(x)为偶函数，
所以f(x)＝f(－x)，
两边求导，可得[f(x)]'＝[f(－x)]' f'(x)＝f'(－x)·(－x)' f'(x)＝－f'(－x).
又f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x－2y＋1＝0，所以f'(1)＝.
所以f'(－1)＝－f'(1)＝－.
答案
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6.直线l与曲线y＝ex＋1和y＝ex＋1均相切，则l的斜率为
A. B.1 C.2 D.e
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答案
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由y＝ex＋1，可得y'＝ex；
由y＝ex＋1，可得y'＝ex＋1，
设两个切点的坐标分别为(x1＋1)和(x2)，直线l的斜率k＝
故x1＝x2＋1，即x1≠x2，
所以k＝＝1，
即直线l的斜率为1.
答案
14
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二、多项选择题
7.下列求导运算正确的是
A.若y＝(x＋1)ln x，则y'＝ln x＋＋1
B.'＝－sin
C.'＝－2xln 2
D.(ln 2x)'＝
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√
答案
√
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对于A，若y＝(x＋1)ln x，则y'＝ln x＋＝ln x＋＋1，故A正确；
对于B'＝0，故B错误；
对于C'＝'－2xln 2＝－2xln 2，故C正确；
对于D，(ln 2x)'＝故D错误.
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答案
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8.已知定义在R上的函数f(x)，g(x)，其导函数分别为f'(x)，g'(x)，f(1－x)＝6－g'(1－x)，f(1－x)－g'(1＋x)＝6，且g(x)＋g(－x)＝4，则
A.g'(x)的图象关于点(0，1)中心对称
B.g'(x＋4)＝g'(x)
C.f'(6)＝f'(2)
D.f(1)＋f(3)＝12
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答案
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由题意可得
两式相减可得g'(1＋x)＝－g'(1－x)， ①
所以g'(x)的图象关于点(1，0)中心对称，A错误；
由g(x)＋g(－x)＝4， ②
②式两边对x求导可得g'(x)＝g'(－x)，可知g'(x)是偶函数，
以1＋x替换①中的x可得g'(2＋x)＝－g'(－x)＝－g'(x)，
可得g'(4＋x)＝－g'(2＋x)＝g'(x)，所以g'(x)是周期为4的周期函数，B正确；
答案
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因为f(x)＝6－g'(x)，可知f(x)也是周期为4的周期函数，即f(x＋4)＝f(x)，
两边求导可得f'(x＋4)＝f'(x)，所以f'(6)＝f'(2)，C正确；
因为g'(1＋x)＝－g'(1－x)，令x＝0，则g'(1)＝－g'(1)，即g'(1)＝0，
又因为g'(x)是偶函数，所以g'(－1)＝g'(1)＝0，
又因为g'(x)是周期为4的周期函数，则g'(3)＝g'(－1)＝0，
由f(x)＝6－g'(x)可得
所以f(1)＋f(3)＝12，D正确.
答案
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三、填空题
9.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f'(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)－f(a)＝f'(c)(b－a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数f(x)＝x3－2x在[－2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为 .
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答案
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答案
∵＝2，f'(x)＝3x2－2，
令3x2－2＝2，解得x＝－∈[－2，2]或x＝∈[－2，2]，
∴f(x)在[－2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2.
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10.(2024·新课标全国Ⅰ)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝ .
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ln 2
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由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，
当x＝0时，y'＝e0＋1＝2，
故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为
y＝2x＋1.
由y＝ln(x＋1)＋a得y'＝
设切线与曲线y＝ln(x＋1)＋a相切的切点为(x0，y0)，
由两曲线有公切线得y'＝＝2，
答案
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解得x0＝－代入切线方程y＝2x＋1得y0＝2×＋1＝0，
则y＝ln(x0＋1)＋a＝0，
即ln＋a＝0，解得a＝ln 2.
答案
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四、解答题
11.已知函数f(x)＝x3－ax2＋b(a，b∈R)的图象过点(2，4)，且f'(1)＝1.
(1)求a，b的值；
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答案
因为函数f(x)＝x3－ax2＋b的图象过点(2，4)，所以b＝4a－4. ①
又f'(x)＝3x2－2ax，f'(1)＝1，
所以f'(1)＝3×12－2a＝3－2a＝1， ②
由①②解得a＝1，b＝0.
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(2)求曲线y＝f(x)过点(0，－1)的切线方程.
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答案
由(1)知f(x)＝x3－x2，
设所求切线在曲线y＝f(x)上的切点坐标为(m，m3－m2)，则f'(m)＝3m2－2m，
所以切线方程为y－m3＋m2＝(3m2－2m)(x－m)，
又切线过点(0，－1)，所以2m3－m2－1＝0，
可得2m3－2－m2＋1＝0，
即2(m3－1)－(m2－1)＝0，
即(m－1)(2m2＋m＋1)＝0，解得m＝1，
所以切点坐标为(1，0)，切线方程为x－y－1＝0.
故曲线y＝f(x)过点(0，－1)的切线方程为x－y－1＝0.
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12.已知函数f(x)＝－x3＋x＋1，g(x)＝e－2x＋1.
(1)求曲线y＝f(x)过点(1，1)的切线方程；
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答案
由导数公式得f'(x)＝－3x2＋1，
设切点坐标为(x0，y0)，切线方程为y－1＝k(x－1)，
由题意可得解得或
从而切线方程为2x＋y－3＝0或x－4y＋3＝0.
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(2)若曲线y＝f(x)在点(1，1)处的切线与曲线y＝g(x)在x＝t(t∈R)处的切线平行，求t的值.
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答案
由(1)可得曲线y＝f(x)在点(1，1)处的切线方程为y＝－2x＋3，
由g'(x)＝－2e－2x＋1，可得曲线y＝g(x)在x＝t(t∈R)处的切线斜率为g'(t)＝－2e－2t＋1，
由题意可得－2e－2t＋1＝－2，从而t＝
此时切点坐标为
曲线y＝g(x)在x＝处的切线方程为y－1＝－2
即y＝－2x＋2，符合题意，所以t＝.
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13.已知函数f(x)＝其导函数记为f'(x)，则f'(2 026)－
f'(－2 026)等于
A.－1 B.0 C.1 D.2
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答案
√
能力拓展
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函数f(x)＝＝1＋的定义域为R，
令g(x)＝
则g(x)的定义域为R，f'(x)＝g'(x)，
又g(－x)＝＝－＝－g(x)，故g(x)是奇函数，
所以g(x)＋g(－x)＝0，
故g'(x)－g'(－x)＝0，
所以f'(2 026)－f'(－2 026)＝g'(2 026)－g'(－2 026)＝0.
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14.(2025·西安模拟)已知二次函数y=-x2+(b-a)x+ab的图象与x轴交于A，B两点，图象在A，B两点处的切线相交于点P.若a>0，b>0且ab=1，则△ABP的面积的最小值为
A.1 B. C.2 D.4
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设A(x1，0)，B(x2，0)，
则x1与x2是方程-x2+(b-a)x+ab=0的两根，则x1+x2=b-a，x1x2=-ab，
|AB|=|x1-x2|==a+b，
又y'=-2x+b-a，
则函数y=-x2+(b-a)x+ab在点A(x1，0)处的切线方程为y=(-2x1+b-a)(x-x1)，
同理函数y=-x2+(b-a)x+ab在点B(x2，0)处的切线方程为y=(-2x2+b-a)(x-x2)，
则解得
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即点P，
则S△ABP=|AB|·|yP|=(a+b)3≥(2)3=2，当且仅当a=b=1时等号成立.
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15.(多选)(2024·南昌模拟)已知直线l1是曲线f(x)=ln x上任一点A(x1，y1)处的切线，直线l2是曲线g(x)=ex上点B(y1，x1)处的切线，则下列结论中正确的是
A.当x1+y1=1时，l1∥l2
B.存在x1，使得l1⊥l2
C.若l1与l2交于点C，且△ABC为等边三角形，则x1=2+
D.若l1与曲线g(x)相切，切点为C(x2，y2)，则x1y2=1
√
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由题意得y1=ln x1，由x1+y1=1，
得x1+ln x1=1，
如图，可知y=x+ln x的图象与直线y=1的交点是(1，1)，可得x1=1，
y1=ln x1=ln 1=0，
由f(x)=ln x，得f'(x)=，
所以直线l1的斜率为f'(x1)=f'(1)=1，
由g(x)=ex，得g'(x)=ex，
所以直线l2的斜率为g'(y1)=g'(0)=e0=1=f'(x1)，
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即直线l1的斜率等于直线l2的斜率，所以l1∥l2，故A对；
因为·=f'(x1)·g'(y1)=·=·=·x1=1≠-1，
所以不存在x1，使得l1⊥l2，故B错；
如图，设l1，l2的倾斜角分别为α，β，
因为△ABC为等边三角形，所以β=α+，
又tan α=f'(x1)=，tan β=g'(y1)===x1，
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所以tan β=tan===x1，
整理得-2x1-1=0，所以x1=±2，
因为点A(x1，y1)在曲线f(x)=ln x上，
所以x1>0，所以x1=2+，故C对；
若l1与曲线g(x)相切，切点为C(x2，y2)，
则=f'(x1)==g'(x2)=，即=，
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又C(x2，y2)在g(x)=ex上，
所以y2=，所以=y2，即x1y2=1，故D对.
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16.我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当x→0时
型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在.早在1696年，洛必达在他的著作《无穷小分析》一书中创造了一种算法(洛必达法则)，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.
如：＝1，则＝ .
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由题可得＝2.(共91张PPT)
第三章
§3.2 导数与函数的单调性
数学
大
一
轮
复
习
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f'(x)>0 f(x)在区间(a，b)上_________
f'(x)<0 f(x)在区间(a，b)上_________
f'(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是_________
单调递增
单调递减
常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数f(x)的 ；
第2步，求出导数f'(x)的 ；
第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
定义域
零点
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.
( )
(2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f'(x)>0. ( )
(3)在(a，b)内f'(x)≤0且f'(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.
( )
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.( )
×
√
√
√
2.函数y＝f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则下列判断中正确的是
A.f(x)在(－3，1)上单调递增
B.f(x)在(1，3)上单调递减
C.f(x)在(2，4)上单调递减
D.f(x)在(3，＋∞)上单调递增
√
当x∈(－3，0)时，f'(x)<0，故f(x)在(－3，0)上单调递减；当x∈(0，2)时，f'(x)>0，故f(x)在(0，2)上单调递增；当x∈(2，4)时，f'(x)<0，故f(x)在(2，4)上单调递减；当x∈(4，＋∞)时，f'(x)>0，故f(x)在(4，＋∞)上单调递增，显然C正确，其他选项错误.
3.函数f(x)＝xln x的单调递减区间为
A. B.
C.(1，＋∞) D.(0，1)
√
函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，由已知f'(x)＝ln x＋1，由f'(x)＝ln x＋1<0得04.(2025·南通模拟)已知函数f(x)＝x2－ax＋ln x(a∈R)的单调递减区间为则a＝ .
由题意可得，f'(x)＝2x－a＋<0的解集为则a＝3.
3
谨防四个易误点
(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间时，要坚持“定义域优先”原则.
(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式.
(3)函数f(x)在区间(a，b)内单调递增(或递减)，可得f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f'(x)>0(或f'(x)<0)恒成立，“＝”不能少.必要时还需对“＝”进行检验.
(4)若函数f(x)在(a，b)内存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)内存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)<0有解.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1 (1)若函数f(x)＝x2－3x－4ln x，则函数f(x)的单调递减区间为
A.(－∞，－1)，(4，＋∞)
B.(－1，4)
C.(0，4)
D.(4，＋∞)
√
不含参函数的单调性
题型一
因为f(x)＝x2－3x－4ln x，定义域为(0，＋∞)，
所以f'(x)＝x－3－
令f'(x)<0，解得0则函数f(x)的单调递减区间为(0，4).
(2)若函数f(x)＝则函数f(x)的单调递增区间为 .
(0，1)
f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝
令φ(x)＝－ln x－1(x>0)，φ'(x)＝－<0，
φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，
∴当x∈(0，1)时，φ(x)>0，即f'(x)>0，
当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，即f'(x)<0，
∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.
∴函数f(x)的单调递增区间为(0，1).
确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.
思维升华
跟踪训练1 (多选)函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间可以为
A.(－∞，－1) B.(－1，0)
C.(0，1) D.(1，＋∞)
√
由题意得y'＝4x3－4x＝4x(x2－1)＝4x(x＋1)(x－1)，
令y'<0，解得x<－1或0结合选项可知函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间可以为(－∞,－1),(0,1).
√
例2 已知函数f(x)＝e2x＋(a－2)ex－ax.
讨论f(x)的单调区间.
含参数的函数的单调性
题型二
由题意可知f(x)的定义域为R，且f'(x)＝2e2x＋(a－2)ex－a＝(2ex＋a)(ex－1)，
①若a≥0，则2ex＋a>0，
令f'(x)>0，解得x>0；
令f'(x)<0，解得x<0，
可知f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；
②若a<0，令f'(x)＝0，
解得x＝ln或x＝0，
(ⅰ)当ln<0，即－2令f'(x)>0，解得x>0或x令f'(x)<0，解得ln可知f(x)在上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；
(ⅱ)当ln＝0，即a＝－2时，
则f'(x)＝2(ex－1)2≥0，可知f(x)在R上单调递增；
(ⅲ)当ln>0，即a<－2时，
令f'(x)>0，解得x<0或x>ln；
令f'(x)<0，解得0可知f(x)在上单调递减，在(－∞，0)上单调递增.
综上所述，若a≥0，f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)；
若－2若a＝－2，f(x)的单调递增区间为R，无单调递减区间；
若a<－2，f(x)的单调递减区间为
单调递增区间为(－∞，0).
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.
思维升华
跟踪训练2 (2024·扬州质检)已知函数f(x)＝ax2－(a＋4)x＋2ln x，其中a>0.讨论f(x)的单调性.
函数f(x)＝ax2－(a＋4)x＋2ln x的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝2ax－(a＋4)＋＝
因为a>0，由f'(x)＝0，可得x1＝x2＝
①若>则0当即函数f(x)在上单调递减，
当0时，f'(x)>0，
即函数f(x)在和上单调递增；
②若a＝4，对任意的x>0，f'(x)＝≥0，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
③若<则a>4，
当即函数f(x)在上单调递减，
当0时，f'(x)>0，
即函数f(x)在和上单调递增.
综上所述，当0当a＝4时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>4时，函数f(x)在和上单调递增，在上单调递减.
例3 (1)已知函数f(x)＝ln x－设a＝f(log32)，b＝f(log0.20.5)，c＝f(ln 4)，则a，b，c的大小关系为
A.c>a>b B.a>c>b
C.b>c>a D.c>b>a
√
命题点1 比较大小或解不等式
函数单调性的应用
题型三
因为f(x)＝ln x－则x∈(0，＋∞)，
所以f'(x)＝＝
又当x∈(0，＋∞)时，ex>1≥－所以f'(x)>0恒成立，
所以f(x)＝ln x－在(0，＋∞)上单调递增.
又0ln 4>1，
所以ln 4>log32>log0.20.5，则c>a>b.
(2)(2025·成都模拟)已知函数f(x)＝3x－sin x，若f(a)＋f(a2－2)>0，则实数a的取值范围为 .
(－∞，－2)∪(1，＋∞)
函数f(x)＝3x－sin x的定义域为R，且f(－x)＝－3x＋sin x＝－f(x)，
所以f(x)＝3x－sin x为奇函数，
又f'(x)＝3－cos x>0，
所以f(x)＝3x－sin x在R上单调递增，
不等式f(a)＋f(a2－2)>0，
即f(a2－2)>－f(a)＝f(－a)，
等价于a2－2>－a，解得a>1或a<－2，
所以实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞).
在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果.
常见组合函数的图象
微拓展
典例 (多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是
A.f(x)＝ex B.f(x)＝x2
C.f(x)＝ln x D.f(x)＝sin x
√
√
√
依题意，函数g(x)＝xf(x)为定义域上的增函数.
对于A，g(x)＝xex，g'(x)＝(x＋1)ex，
当x∈(－∞，－1)时，g'(x)<0，
∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”；
对于B，g(x)＝x3在R上为增函数，故B中函数为“F函数”；
对于C，g(x)＝xln x，x>0，g'(x)＝1＋ln x，
当x∈时，g'(x)<0，
∴g(x)在上单调递减，
故C中函数不是“F函数”；
对于D，g(x)＝xsin x，g'(x)＝sin x＋xcos x，
当x∈时，g'(x)<0，
∴g(x)在上单调递减，
故D中函数不是“F函数”.
命题点2 根据函数单调性求参数
例4 已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0).
(1)若f(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围；
因为f(x)在[1，4]上单调递减，
所以当x∈[1，4]时，f'(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥恒成立.
设G(x)＝x∈[1，4]，
所以a≥G(x)max，
而G(x)＝－1，
因为x∈[1，4]，所以∈
所以G(x)max＝－(此时x＝4)，
所以a≥－
又因为a≠0，
所以实数a的取值范围是∪(0，＋∞).
(2)若f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围.
因为f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，
则f'(x)<0在[1，4]上有解，
所以当x∈[1，4]时，a>有解，
又当x∈[1，4]时＝－1(此时x＝1)，
所以a>－1，又因为a≠0，
所以实数a的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞).
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f'(x)≥0(或f'(x) ≤0)恒成立.
(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f'(x)>0 (或f'(x)<0)在该区间上存在解集.
思维升华
跟踪训练3 (1)(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为
A.e2 B.e C.e－1 D.e－2
√
依题可知，f'(x)＝aex－≥0在(1，2)上恒成立，显然a>0，
所以xex≥在(1，2)上恒成立，
设g(x)＝xex，x∈(1，2)，
所以g'(x)＝(x＋1)ex>0，
所以g(x)在(1，2)上单调递增，
g(x)>g(1)＝e，故e≥
即a≥＝e－1，即a的最小值为e－1.
(2)(2024·石家庄模拟)已知a＝b＝c＝则a，b，c的大小关
系为
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.b>c>a
√
构造函数f(x)＝x∈(0，＋∞)，
则f'(x)＝
令f'(x)>0，得0令f'(x)<0，得x>e，
因此f(x)＝在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
而a＝＝f(4)，b＝＝f(e)，c＝＝f(3)，
因为4>3>e，所以f(e)>f(3)>f(4)，即b>c>a.
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课时精练
对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C A D B B CD AC
题号 9 10 13 14 15 16
答案 (1，+∞) m<-2或m>2 A C C B
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(1)因为f(x)=+ax-(ax+1)ln x，
所以f'(x)=x+a-aln x-=x--aln x，
依题意可得即
解得
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(2)由(1)可得f(x)=+2x-(2x+1)ln x，则f'(x)=x--2ln x，
令g(x)=f'(x)=x--2ln x，x∈(1，+∞)，则g'(x)=1+-=>0，
所以g(x)在(1，+∞)上单调递增，
又g(1)=0，
所以当x∈(1，+∞)时，g(x)>0，
即f'(x)>0，
所以f(x)在(1，+∞)上单调递增.
11.
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(1)函数f(x)=ln(x+1)+的定义域为(-1，+∞)，求导得f'(x)=+
当k=-3时，f'(x)=-==
当-11+时，
f'(x)>0，当1-所以函数f(x)的单调递增区间是(-1，1-)，(1++∞)，单调递减区间是(1-1+).
12.
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(2)由(1)知，f'(x)=+
由f(x)在其定义域上单调递增，得f'(x)≥0在(-1，+∞)上恒成立，
则+≥0，即2k≥-
当x>-1时，-=-≤-4，当且仅当x=0时取等号，
因此2k≥-4，解得k≥-2，
12.
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当k=-2时，f'(x)=≥0，
f(x)在(-1，+∞)上单调递增，
所以k的取值范围是[-2，+∞).
12.
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一、单项选择题
1.设f'(x)＝x2－2x是函数f(x)的导函数，则y＝f(x)的图象可能是
√
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答案
令f'(x)>0，得x<0或x>2，
令f'(x)<0，得0所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，在(0，2)上单调递减，
由图知，只有C选项的图象符合.
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答案
2.函数f(x)＝x－2ln(2x)的单调递减区间为
A.(1，＋∞) B.(0，1)
C.(0，2) D.(2，＋∞)
√
f(x)＝x－2ln(2x)的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝1－2··2＝1－
由f'(x)<0，可得x∈(0，2)，
故f(x)＝x－2ln(2x)的单调递减区间为(0，2).
15
16
3.已知函数f(x)＝ln x－ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围为
A.a≥1 B.a>1
C.a≥ D.a>
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因为f(x)＝ln x－ax，
所以f'(x)＝－a，
因为f(x)在区间[1，3]上单调递减，
所以f'(x)≤0，即－a≤0，则a≥在[1，3]上恒成立，
因为y＝在[1，3]上单调递减，所以ymax＝1，故a≥1.
答案
15
16
4.若f(x)＝－x3＋x2＋2ax在(1，＋∞)上存在单调递增区间，则a的取值范围是
A.(－∞，0] B.(－∞，0)
C.[0，＋∞) D.(0，＋∞)
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f(x)＝－x3＋x2＋2ax在(1，＋∞)上存在单调递增区间，
只需f'(x)>0在(1，＋∞)上有解即可.
由已知得f'(x)＝－x2＋x＋2a，该函数图象开口向下，对称轴为x＝
故f'(x)在(1，＋∞)上单调递减，
所以f'(1)＝2a>0，解得a>0.
答案
15
16
5.已知函数f(x)＝x3＋x2＋x＋1在(－∞，0)，(3，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围为
A. B.
C.(－∞，－2] D.
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由f(x)＝x3＋x2＋x＋1，得f'(x)＝x2＋ax＋1，
∵f(x)在(－∞，0)，(3，＋∞)上单调递增；在(1，2)上单调递减，
∴f'(x)＝0的两根分别位于[0，1]和[2，3]内，
则
解得－≤a≤－.
答案
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6.已知a＝b＝c＝ln 则a，b，c的大小关系为
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
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设函数f(x)＝ex－x－1，x∈R，
则f'(x)＝ex－1，
当x<0时，f'(x)<0，
f(x)在(－∞，0)上单调递减；
当x>0时，f'(x)>0，
f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故f(x)≥f(0)＝0，
即ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号，
答案
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∵ex≥1＋x，∴>1－
∴b>a，
由以上分析可知当x>0时，有ex－1≥x成立，当x＝1时取等号，
即ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号，
∴ln <－1＝
∴a>c，故b>a>c.
答案
15
16
二、多项选择题
7.如图为y＝f(x)的导函数f'(x)的图象，给出下列四个说法，其中正确的是
A.f(x)有三个单调区间
B.f(－2)C.f(－1)D.f(x)在[－1，2]上单调递增，在(2，4]上单调递减
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答案
对于A，由图象可以看出，f'(x)的符号是先负后正，再负再正，所以函数f(x)有四个单调区间，故A错误；
对于B，当x∈[－2，－1]时，f'(x)≤0，函数f(x)单调
递减，所以f(－2)>f(－1)，故B错误；
对于C，当x∈[－1，2]时，f'(x)≥0，函数f(x)单调递增，所以f(－1)对于D，当x∈(2，4]时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减，显然D正确.
15
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8.若函数f(x)＝x2－9ln x在区间[m－1，m＋1]上单调，则实数m的值可
能是
A.4 B.3 C.2 D.1
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由题意得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝x－
由f'(x)≥0，可得x≥3，则函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)，
由f'(x)≤0，可得0因为f(x)在区间[m－1，m＋1]上单调，
所以或m－1≥3，解得1结合选项可得A，C符合题意.
答案
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三、填空题
9.函数y＝的单调递减区间为 .
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答案
(1，＋∞)
函数y＝的定义域为(0，＋∞)，
y'＝
令y'<0得x>1，
所以y＝的单调递减区间为(1，＋∞).
15
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10.(2025·济南模拟)已知函数f(x)＝2x－msin x在R上不是单调函数，则实数m的取值范围是 .
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答案
m<－2或m>2
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因为f(x)＝2x－msin x，
所以f'(x)＝2－mcos x，
又f(x)不是单调函数，所以函数f(x)有极值点，
即f'(x)在R上有变号零点，
则2－mcos x＝0成立，
当cos x＝0时，2－mcos x＝0可化为2＝0，显然不成立；
答案
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当cos x≠0时，m＝
因为x∈R，－1≤cos x≤1，
所以≤－2或≥2，
所以实数m的取值范围为m<－2或m>2(因为要有变号零点，故不能取等号)，
经检验，m<－2或m>2满足要求.
答案
15
16
四、解答题
11.已知函数f(x)＝＋ax－(ax＋1)ln x在x＝1处的切线方程为y＝bx＋
(a，b∈R).
(1)求a，b的值；
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答案
因为f(x)＝＋ax－(ax＋1)ln x，
所以f'(x)＝x＋a－aln x－＝x－－aln x，
依题意可得即
解得
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答案
(2)证明：f(x)在(1，＋∞)上单调递增.
由(1)可得f(x)＝＋2x－(2x＋1)ln x，
则f'(x)＝x－－2ln x，
令g(x)＝f'(x)＝x－－2ln x，x∈(1，＋∞)，
则g'(x)＝1＋>0，
所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，
所以当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，即f'(x)>0，
所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增.
15
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12.(2024·西安模拟)已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋(k∈R).
(1)若k＝－3，求f(x)的单调区间；
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答案
函数f(x)＝ln(x＋1)＋的定义域为(－1，＋∞)，
求导得f'(x)＝
当k＝－3时，f'(x)＝
当－11＋时，f'(x)>0，
当1－所以函数f(x)的单调递增区间是(－1，1－)，(1＋＋∞)，单调递减区间是(1－1＋).
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(2)若f(x)在其定义域上单调递增，求k的取值范围.
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答案
由(1)知，f'(x)＝
由f(x)在其定义域上单调递增，得f'(x)≥0在(－1，＋∞)上恒成立，
则≥0，即2k≥－
当x>－1时，－＝－≤－4，当且仅当x＝0时取等号，
因此2k≥－4，解得k≥－2，
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答案
当k＝－2时，f'(x)＝≥0，
f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，
所以k的取值范围是[－2，＋∞).
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16
13.(2024·昆明模拟)已知函数f(x)＝(x－1)(ex＋a)在区间(－1，1)上单调递增，则a的最小值为
A.e－1 B.e－2 C.e D.e2
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答案
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能力拓展
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由题意得f'(x)≥0在(－1，1)上恒成立，
f'(x)＝ex＋a＋(x－1)ex＝xex＋a，
故xex＋a≥0，即a≥－xex，
令g(x)＝－xex，x∈(－1，1)，
则g'(x)＝－ex－xex＝－(x＋1)ex<0在(－1，1)上恒成立，
故g(x)＝－xex在(－1，1)上单调递减，
故g(x)故a≥e－1，故a的最小值为e－1.
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答案
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14.(2025·呼和浩特模拟)在区间(0，π)上，函数y=存在单调递增区间，则实数a的取值范围是
A.(-∞，1) B.
C. D.(-∞，1］
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答案
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函数y=，
求导得y'=，
依题意，不等式xsin x-a+cos x>0在(0，π)上有解，
即a令f(x)=xsin x+cos x，x∈(0，π)，
求导得f'(x)=xcos x，
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答案
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当x∈时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增，
当x∈时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，
当x=时，f(x)max=，因此a<，
所以实数a的取值范围是.
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15.若对任意的x1，x2∈(m，＋∞)，且x1A. B.
C. D.
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对任意的x1，x2∈(m，＋∞)，且x1<2，
易知m≥0，x1>0，x2>0，
则x1ln x2－x2ln x1<2x2－2x1，
所以x1(ln x2＋2)即>.
令f(x)＝
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答案
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则函数f(x)在(m，＋∞)上单调递减.
因为f'(x)＝－
由f'(x)<0，可得x>
所以函数f(x)的单调递减区间为
所以(m，＋∞) 故m≥
即实数m的取值范围为.
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16.已知f(x)=ex+e2-x，则不等式f(2x+1)A. B.
C.∪(1，+∞) D.(-∞，-1)∪
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因为f(x)=ex+e2-x，
f(1-x)=e1-x+e2-(1-x)=e1-x+e1+x，
f(1+x)=e1+x+e2-(1+x)=e1+x+e1-x，
所以f(1-x)=f(1+x)，函数的图象关于直线x=1对称，
因为f(x)=ex+e2-x，
所以f'(x)=(ex)'+(e2-x)'=ex-，
根据函数的单调性，f'(x)=ex-单调递增，
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答案
返回
15
16
令f'(x)=0，得x=1，
所以当x∈(-∞，1)时，函数f(x)单调递减，当x∈(1，+∞)时，函数f(x)单调递增，
因为f(2x+1)所以|2x+1-1|<|x-1|，即|2x|<|x-1|，
解得-1第三章
§3.3 导数与函数的
极值、最值
数学
大
一
轮
复
习
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.
3.掌握利用导数研究函数最值的方法.
4.会用导数研究生活中的最优化问题.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f'(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f'(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为 ，极小值和极大值统称为 .
f'(x)<0
f'(x)>0
f'(x)>0
f'(x)<0
极值点
极值
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的 ；
②将函数y＝f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
连续不断
极值
端点处的函数值f(a)，f(b)
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有.( )
(2)函数的极小值一定小于函数的极大值.( )
(3)函数的极小值一定是函数的最小值.( )
(4)函数的极大值一定不是函数的最小值.( )
×
√
×
√
2.(多选)如图是函数f(x)的导函数y＝f'(x)的图象，则下列说法正确的是
A.函数f(x)在区间(3，5)上单调递减
B.函数f(x)在区间(4，5)上单调递增
C.函数f(x)在x＝3处取得极大值
D.函数f(x)在x＝4处取得极小值
√
√
由图象可知，当x∈(3，5)时，f'(x)<0，所以函数f(x)在
区间(3，5)上单调递减，故A正确，B错误；
由图象可知，f'(3)＝0，且当x∈(0，3)时，f'(x)>0，
当x∈(3，5)时，f'(x)<0，所以f(x)在(0，3)上单调递增，在(3，5)上单调递减，故函数y＝f(x)在x＝3处取得极大值，故C正确；
由图象可知，f'(4)≠0，故4不是函数f(x)的极值点，故D错误.
3.函数f(x)＝x3－x2－14x的极小值点为 ，极大值为 .
18
由f(x)＝x3－x2－14x得，
f'(x)＝3x2－x－14＝(x＋2)(3x－7)，
令f'(x)>0，解得x>或x<－2，
令f'(x)<0，解得－2故f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在上单调递减，
故f(x)在x＝处取得极小值，在x＝－2处取得极大值，
故f(x)极大值＝f(－2)＝－8－2＋28＝18.
4.若函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有两个极值点，则实数a的取值范围是
.
f'(x)＝3x2－2ax＋2，
由题意知f'(x)有两个变号零点，
∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，
解得a>或a<－.
(－∞，－)∪(＋∞)
解题时灵活应用转化以下几个关键点
(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1).
(2)极值是个“局部”概念，最值是个“整体”概念.
(3)有极值的函数一定不是单调函数.
(4)“f'(x0)＝0”是“x0为可导函数f(x)的极值点”的必要不充分条件.例如f(x)＝x3，f'(0)＝0，但0不是极值点.
(5)对于一般函数而言，函数的最值必在下列各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、端点.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
命题点1 根据函数图象判断极值
利用导数求解函数极值问题
题型一
例1 (多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数g(x)＝xf'(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是
A.f(x)有两个极值点
B.f(0)为f(x)的极大值
C.f(x)有两个极小值点
D.f(－1)为f(x)的极小值
√
√
根据g(x)＝xf'(x)的图象，可得当x<－2时，g(x)＝xf'(x)>0，
可得f'(x)<0，即f(x)单调递减，
当－20，即f(x)单调递增，
当0当x>1时，g(x)＝xf'(x)>0，可得f'(x)>0，即f(x)单调递增，
因此f(x)在x＝－2和x＝1处取得极小值，在x＝0处取得极大值，共3个极值点，A错误，C正确；
f(0)为f(x)的极大值，B正确；
f(－1)不是f(x)的极小值，D错误.
命题点2 求已知函数的极值
例2 (2025·沈阳模拟)已知函数f(x)＝2ln x－2(a－1)x－ax2(a>0)，讨论f(x)的极值.
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
求导得f'(x)＝－2(a－1)－2ax＝－
因为a>0，则当x∈时，f'(x)>0，
当x∈时，f'(x)<0，
因此f(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以当x＝时，f(x)取得极大值f ＝2ln －2，无极小值.
命题点3 已知极值(点)求参数
例3 (1)(2024·肇庆模拟)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝－2处取极小值，则c
等于
A.－6 B.－2
C.－6或－2 D.－4
√
由函数f(x)＝x(x－c)2，
可得f'(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)(3x－c)，
因为函数f(x)在x＝－2处取得极小值，
可得f'(－2)＝0，解得c＝－2或c＝－6，
当c＝－2时，令f'(x)>0，解得x<－2或x>－；
令f'(x)<0，解得－2所以函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以f(x)在x＝－2处取极大值，不符合题意，舍去；
当c＝－6时，令f'(x)>0，可得x<－6或x>－2；令f'(x)<0，可得－6所以函数f(x)在(－∞，－6)上单调递增，在(－6，－2)上单调递减，在
(－2，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在x＝－2处取极小值，符合题意，
综上可得，c＝－6.
(2)已知函数f(x)＝ln x－x(其中a∈R，e为自然对数的底数)存在极大值，
且极大值不小于1，则a的取值范围为 .
由已知可得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝.
①当a≤0时，f'(x)＝>0在(0，＋∞)上恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)无极值；
②当a>0时，f'(x)＝
由f'(x)＝＝0可得x＝.
当00，
所以f(x)在上单调递增；
当x>时，f'(x)<0，
所以f(x)在上单调递减，
于是函数f(x)在x＝处取得极大值.
由已知，f ≥1，
即ln －1≥1，ln ≥2＝ln e2，
因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，
所以≥e2，即a≤又a>0，
所以0于是a的取值范围为.
综上所述，a的取值范围为.
根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
(2)验证：求解后验证根的合理性.
思维升华
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝aex＋bx在x＝0处取得极小值1，则f'(2)等于
A.e2－2 B.2－e2
C.e2－1 D.e2
√
由f(x)＝aex＋bx，得f'(x)＝aex＋b，
因为f(x)在x＝0处取得极小值1，
所以 f'(x)＝ex－1，
当x>0时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
当x<0时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)在x＝0处取得极小值，故a＝1，b＝－1满足题意，
于是有f'(2)＝e2－1.
(2)若函数f(x)＝eax＋2x有大于零的极值点，则实数a的取值范围为
A.a>－2 B.a>－
C.a<－2 D.a<－
√
由函数f(x)＝eax＋2x，可得f'(x)＝aeax＋2，
若a≥0，f'(x)>0，此时f(x)为增函数，无极值点；
若a<0，令f'(x)＝aeax＋2＝0，
解得x＝ln
当x>ln时，f'(x)>0，
当x故x＝ln是f(x)＝eax＋2x的极值点，
由于函数f(x)＝eax＋2x有大于零的极值点，
∴ln>0，即ln<0，
即0<－<1，解得a<－2.
命题点1 不含参函数的最值
利用导数求函数的最值
题型二
例4 函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为
A.－ B.－
C.－＋2 D.－＋2
√
f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1，x∈[0，2π]，则f'(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1) cos x＝(x＋1)cos x，x∈[0，2π].
令f'(x)＝0，解得x＝或x＝.
因为f ＝cos sin ＋1＝＋2，
f ＝cos sin ＋1＝－
又f(0)＝cos 0＋(0＋1)sin 0＋1＝2，
f(2π)＝cos 2π＋(2π＋1)sin 2π＋1＝2，
所以f(x)max＝f ＋2，
f(x)min＝f ＝－.
命题点2 含参函数的最值
例5 已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2(a>0)，求函数f(x)在[1，2]上的最小值.
函数f(x)＝(x－1)ex－ax2，
求导得f'(x)＝xex－ax＝x(ex－a)，
若x∈[1，2]，则
①当ln a≥2，即a≥e2时，ex－a≤0，f'(x)≤0，函数f(x)在[1，2]上单调递减，
因此函数f(x)在[1，2]上的最小值为f(2)＝e2－2a；
②当1因此函数f(x)的最小值为f(ln a)＝a(ln a－1)－a(ln a)2；
③当ln a≤1，即0因此函数f(x)在[1，2]上的最小值为f(1)＝－a.
综上，当a≥e2时，f(x)在[1，2]上的最小值为e2－2a；
当e当0求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.
思维升华
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝x－sin x，x∈[0，π]，则f(x)的最大值为 .
π
由f(x)＝x－sin x，x∈[0，π]，
可得f'(x)＝1－cos x，x∈[0，π]，
令f'(x)＝0可得cos x＝
又x∈[0，π]，所以x＝
当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
易知f(0)＝0，f(π)＝π，
因此f(x)的最大值为π.
(2)(2025·泰安模拟)已知函数f(x)＝＋ln x在区间[1，e]上的最小值为则a的值为
A.1 B. C. D.
√
因为f(x)＝＋ln x(x>0)，
所以f'(x)＝
当a≤0时，f'(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
此时f(x)在区间[1，e]上的最小值为f(1)＝a＋ln 1＝
解得a＝不符合题意，舍去；
当a>0时，令f'(x)<0，得00，得x>a，
所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，
①当0所以最小值为f(1)＝a≤1，不符合题意，舍去；
②当1所以最小值为f(a)＝1＋ln a＝解得a＝；
③当a≥e时，f(x)在[1，e]上单调递减，
所以最小值为f(e)＝＋ln e＝
解得a＝不符合题意，舍去.
综上所述，a＝.
三次函数是一类重要的函数，其规律性强，内容相对独立，且有一些独有的结论和技巧.如果能得当运用三次函数的有关结论，可以大大简化解题过程.
三次函数的性质
微拓展
典例 (多选)已知三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则下列选项正确的是
A.三次函数的对称中心是
B.若函数f(x)关于点(m，n)对称，则y＝f'(x)的图象关于直线x＝m对称
C.若函数y＝f(x)有极值，则对称中心是两个取极值的点的中点
D.若f(x)＝0的三个根分别为x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝－
√
√
√
对于A，设f(m－x)＋f(m＋x)＝2n，得[a(m－x)3＋b(m－x)2＋c(m－x)＋d]＋[a(m＋x)3＋b(m＋x)2＋c(m＋x)＋d]＝2n，整理得(6ma＋2b)x2＋(2am3＋2bm2＋2cm＋2d)＝2n.根据多项式恒等对应系数相等，可得m＝－且n＝am3＋bm2＋cm＋d，从而三次函数是中心对称曲线，且由n＝f(m)知其对称中心(m，f(m))仍然在曲线上.故对称中心为，A正确；
对于B，由y＝f(x)的图象关于点(m，n)对称，得f(x)＋f(2m－x)＝2n.求导可得f'(2m－x)＝f'(x)，即y＝f'(x)的图象关于直线x＝m对称，B正确；
对于C，设f'(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.设f(x)的两个取极值的点为A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，
则f(x1)＋f(x2)＝(a＋b＋cx1＋d)＋(a＋b＋cx2＋d)＝a()＋b()＋c(x1＋x2)＋2d＝a(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＋b[(x1＋x2)2－2x1x2]＋c(x1＋x2)＋2d＝a＋b＋2d＝＋2d.
2f ＝2＝＋2d，
所以f(x1)＋f(x2)＝2f ，AB的中点P即为对称中心，C正确；
对于D，ax3＋bx2＋cx＋d＝a(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝ax3－a(x1＋x2＋x3)x2＋a(x1x2＋x2x3＋x3x1)x－ax1x2x3.比较系数可得x1＋x2＋x3＝－，D错误.
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课时精练
对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D B B A AD BCD
题号 9 10 13 14 15 16
答案 (2，+∞) C [－ln 2， ＋∞) (0，1)
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(1)由函数f(x)=+x，
可得f'(x)=1-=
所以f'(0)==1-a=0，
解得a=1.
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(2)函数f(x)=+x的定义域为R，且f'(x)=1-=
当a≤0时，f'(x)>0恒成立，所以f(x)在R上单调递增，f(x)无极值；
当a>0时，令f'(x)>0，解得x>ln a；
令f'(x)<0，解得x所以f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，在(ln a，+∞)上单调递增，
所以f(x)的极小值为1+ln a，无极大值.
综上所述，当a≤0时，f(x)无极值；当a>0时，f(x)的极小值为1+ln a，无极大值.
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(1)当a=1时，
则f(x)=ex-x-1，
f'(x)=ex-1，
可得f(1)=e-2，f'(1)=e-1，
即切点坐标为(1，e-2)，
切线斜率k=e-1，
所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1)，
即(e-1)x-y-1=0.
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(2)方法一 因为f(x)的定义域为R，且f'(x)=ex-a，
若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立，
可知f(x)在R上单调递增，
无极值，不符合题意；
若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a，
令f'(x)<0，解得x可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，+∞)上单调递增，
12.
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则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，无极大值，
由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0，
即a2+ln a-1>0，
令g(a)=a2+ln a-1，a>0，
则g'(a)=2a+>0，
可知g(a)在(0，+∞)上单调递增，且g(1)=0，
不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)，
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解得a>1，
所以a的取值范围为(1，+∞).
方法二 因为f(x)的定义域为R，
且f'(x)=ex-a，
若f(x)有极小值，
则f'(x)=ex-a有零点，
令f'(x)=ex-a=0，可得ex=a，
可知y=ex与y=a有交点，则a>0，
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令f'(x)>0，解得x>ln a；
令f'(x)<0，解得x可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，+∞)上单调递增，则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，
无极大值，符合题意，
由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0，即a2+ln a-1>0，
令g(a)=a2+ln a-1，a>0，
因为y=a2，y=ln a-1在(0，+∞)上均单调递增，
12.
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所以g(a)在(0，+∞)上单调递增，
且g(1)=0，
不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)，
解得a>1，
所以a的取值范围为(1，+∞).
12.
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一、单项选择题
1.函数f(x)＝x3＋x2－3x－1的极小值点是
A.1 B.
C.－3 D.(－3，8)
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答案
f'(x)＝x2＋2x－3，
由x2＋2x－3＝0，得x＝－3或x＝1，
所以函数f(x)＝x3＋x2－3x－1在(－∞，－3)上单调递增，在(－3，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
故f(x)在x＝1处有极小值，极小值点为1.
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2.(2024·楚雄模拟)已知定义域为[－3，5]的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)的图象如图所示，则
A.f(x)在(－2，2)上先增后减
B.f(x)有极小值f(2)
C.f(x)有2个极值点
D.f(x)在x＝－3处取得最大值
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由f'(x)的图象可知，当x∈(－2，2)或x∈(4，5)时，
f'(x)<0，则f(x)单调递减，故A错误；
当x∈(－3，－2)或x∈(2，4)时，f'(x)>0，则f(x)单调
递增，所以当x＝2时，f(x)有极小值f(2)，故B正确；
由f'(x)的图象结合单调性可知，当x＝－2，2，4时，f(x)有极值，所以f(x)有3个极值点，故C错误；
当x∈(－3，－2)时，f'(x)>0，则f(x)单调递增，所以f(－3)15
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3.(2025·苏州模拟)设0A.1 B. C.2 D.
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因为0答案
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4.(2024·赤峰模拟)已知函数f(x)＝xln x－ax有极值－e，则a等于
A.1 B.2 C.e D.3
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由题目条件可得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝ln x＋1－a.
令f'(x)>0，得x>ea－1；
令f'(x)<0，得0所以函数f(x)在区间(0，ea－1)上单调递减，在区间(ea－1，＋∞)上单调递增.
则函数f(x)的极小值点是ea－1，无极大值点，
故f(ea－1)＝ea－1ln ea－1－aea－1＝－e，
解得a＝2.
答案
15
16
5.若函数f(x)＝ex－ln(x＋m)的最小值为2＋ln 2，则m等于
A.－2 B.－ln 2
C.－ D.＋ln 2
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易知f(x)的定义域为(－m，＋∞)，f'(x)＝ex－
易知f'(x)在区间(－m，＋∞)上单调递增，
又当x→－m时，f'(x)→－∞；当x→＋∞时，f'(x)→＋∞，
所以存在唯一x0∈(－m，＋∞)，使得f'(x0)＝0，即x0＝－ln(x0＋m)，
所以当x∈(－m，x0)时，f'(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f'(x)>0，
所以f(x)在区间(－m，x0)上单调递减，在区间(x0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(x0)＝－ln(x0＋m)＝＋x0＝2＋ln 2＝eln 2＋ln 2，
所以x0＝ln 2，所以eln 2＝解得m＝－ln 2.
答案
15
16
6.已知函数f(x)＝ln x－ax有两个不同的极值点x1，x2(x1A.a的取值范围是(－∞，1)
B.x1是极小值点
C.当x∈(x2，＋∞)时，f'(x)<0
D.
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令f'(x)＝－a＝－a＝0，
由题意，方程＝a在(0，＋∞)上有两根x1，x2(x1设g(x)＝
g'(x)＝
当00，g(x)单调递增，当x>1时，g'(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x)max＝g(1)＝1>0，
答案
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当x→0时，g(x)＝→－∞，当x→＋∞时，g(x)＝→0，
所以a的取值范围是(0，1)，故A不正确；
由A选项分析可知0当0当x1f'(x1)＝0＝f'(x2)，f(x)单调递增，
当x>x2时，f'(x)所以x1是极小值点，故B，C正确；
对于D，因为＝a，所以故D正确.
答案
15
16
二、多项选择题
7.已知函数f(x)＝x3－3x2，则
A.f(x)在(0，1)上单调递减
B.f(x)的极大值点为2
C.f(x)的极大值为－2
D.f(x)有2个零点
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由函数f(x)＝x3－3x2，可得f'(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
令f'(x)>0，解得x<0或x>2；令f'(x)<0，解得0所以函数f(x)在(0，2)上单调递减，在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，
当x＝0时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(0)＝0；
当x＝2时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(2)＝－4，
又由x→＋∞时，f(x)→＋∞且f(2)＝－4<0，f(0)＝0，所以函数f(x)只有两个零点，
所以A，D正确，B，C不正确.
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答案
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8.(2023·新高考全国Ⅱ)若函数f(x)＝aln x＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则
A.bc>0 B.ab>0
C.b2＋8ac>0 D.ac<0
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函数f(x)＝aln x＋的定义域为(0，＋∞)，
则f'(x)＝
因为函数f(x)既有极大值也有极小值，
则函数f'(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，
而a≠0，
因此方程ax2－bx－2c＝0有两个不相等的正实数根x1，x2，
答案
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于是
即有b2＋8ac>0，ab>0，ac<0，
显然a2bc<0，即bc<0，故A错误，B，C，D正确.
答案
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三、填空题
9.若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0，3]上的最小值为4，则m＝ .
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答案
f'(x)＝x2－4，
当x∈[0，2)时，f'(x)<0，当x∈(2，3]时，f'(x)>0，
所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，
所以f(2)为f(x)在[0，3]上的极小值，也是最小值，
故×8－4×2＋m＝4，解得m＝.
15
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10.若函数f(x)＝x2－ax＋ln x在(0，2)上有极值，则实数a的取值范围是 .
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答案
(2，＋∞)
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f(x)＝x2－ax＋ln x的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝x－a＋
要使函数f(x)＝x2－ax＋ln x在(0，2)上有极值，则f'(x)＝x－a＋在(0，2)上有变号零点，
令g(x)＝x＋x∈(0，2)，
则g(x)＝x＋≥2＝2，
当且仅当x＝1时等号成立，所以a≥2.
答案
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当a＝2时，f'(x)＝x－a＋＝x＋－2≥0，函数f(x)单调递增，
则函数f(x)＝x2－ax＋ln x在(0，2)上没有极值，故a>2，
即实数a的取值范围是(2，＋∞).
答案
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四、解答题
11.已知函数f(x)＝＋x(a∈R).
(1)若f'(0)＝0，求实数a的值；
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答案
由函数f(x)＝＋x，
可得f'(x)＝1－
所以f'(0)＝＝1－a＝0，解得a＝1.
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(2)讨论函数f(x)的极值.
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答案
函数f(x)＝＋x的定义域为R，且f'(x)＝1－
当a≤0时，f'(x)>0恒成立，
所以f(x)在R上单调递增，f(x)无极值；
当a>0时，令f'(x)>0，解得x>ln a；令f'(x)<0，解得x所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的极小值为1＋ln a，无极大值.
综上所述，当a≤0时，f(x)无极值；当a>0时，f(x)的极小值为1＋ln a，无极大值.
15
16
12.(2024·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ax－a3.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
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答案
当a＝1时，则f(x)＝ex－x－1，f'(x)＝ex－1，
可得f(1)＝e－2，f'(1)＝e－1，
即切点坐标为(1，e－2)，
切线斜率k＝e－1，
所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，
即(e－1)x－y－1＝0.
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(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.
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答案
方法一 因为f(x)的定义域为R，
且f'(x)＝ex－a，
若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立，
可知f(x)在R上单调递增，
无极值，不符合题意；
若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a，
令f'(x)<0，解得x可知f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
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答案
在(ln a，＋∞)上单调递增，
则f(x)有极小值f(ln a)＝a－aln a－a3，无极大值，
由题意可得，f(ln a)＝a－aln a－a3<0，
即a2＋ln a－1>0，
令g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，
则g'(a)＝2a＋>0，
可知g(a)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0，
不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，
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答案
解得a>1，
所以a的取值范围为(1，＋∞).
方法二 因为f(x)的定义域为R，
且f'(x)＝ex－a，
若f(x)有极小值，
则f'(x)＝ex－a有零点，
令f'(x)＝ex－a＝0，可得ex＝a，
可知y＝ex与y＝a有交点，则a>0，
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答案
令f'(x)>0，解得x>ln a；
令f'(x)<0，解得x可知f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，＋∞)上单调递增，
则f(x)有极小值f(ln a)＝a－aln a－a3，
无极大值，符合题意，
由题意可得，f(ln a)＝a－aln a－a3<0，
即a2＋ln a－1>0，
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答案
令g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，
因为y＝a2，y＝ln a－1在(0，＋∞)上均单调递增，
所以g(a)在(0，＋∞)上单调递增，
且g(1)＝0，
不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，
解得a>1，
所以a的取值范围为(1，＋∞).
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16
13.设ab≠0，若a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则
A.ab
C.abb2
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答案
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能力拓展
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答案
由三次函数的性质可知，要使a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则
当a>0时，函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则0当a<0时，函数f(x)的大致图象如图(2)所示，则b综上，ab15
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14.若不等式a＋2x＋|ln x|－1≥0恒成立，则a的取值范围是 .
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[－ln 2，＋∞)
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答案
不等式a＋2x＋|ln x|－1≥0恒成立，
即a≥1－2x－|ln x|恒成立，
设f(x)＝1－2x－|ln x|，x∈(0，＋∞)，
当x≥1时，f(x)＝1－2x－ln x，f'(x)＝－2－<0，
∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减，此时f(x)max＝f(1)＝－1；
当0∴f'(x)＝－2＋
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答案
∴当x∈时，f'(x)>0，当x∈时，f'(x)<0，
∴f(x)在上单调递增，在上单调递减，
此时f(x)max＝f ＝ln ＝－ln 2.
综上可知，a的取值范围是[－ln 2，＋∞).
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15.(2024·曲靖模拟)已知函数f(x)=2ax-ex2+18，其中a>0且a≠1.若f(x)存在两
个极值点x1，x2，则实数a的取值范围为 .
∪(1，e)
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对函数f(x)=2ax-ex2+18求导得
f'(x)=2axln a-2ex=2(axln a-ex)，
因为f(x)存在两个极值点，所以f'(x)有两个变号零点.
令f'(x)=0，有axln a=ex，
令h(x)=axln a，g(x)=ex，
所以h(x)与g(x)的图象有两个交点.
当a>1时，h(x)=axln a，
h'(x)=ax(ln a)2，
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设过原点的直线与h(x)=axln a的切点坐标为(x0，ln a)，
切线斜率为k=(ln a)2，
所以切线方程为y-ln a=(ln a)2(x-x0)，
将原点坐标带入切线方程得x0=.
此时切线的斜率为k=(ln a)2=e(ln a)2，
h(x)=axln a的函数图象与g(x)=ex的函数图象有两个交点，
即k=e(ln a)21
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因为a>1，有ln a>0，所以0同理知当0即-1综上，a的取值范围为∪(1，e).
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16.(2025·湘潭模拟)已知函数f(x)=x-aln x(a>0)，记函数y=f(x)，y=f(f(x))的值域分别为M，N，若N M，则a的取值范围是 .
(0，1)
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答案
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因为f(x)=x-aln x(a>0)，x>0，
则f'(x)=1-=，
当x∈(0，a)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(a，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=a时，f(x)取得极小值，也是最小值f(a)=a-aln a，
所以M={y|y≥a-aln a}，
当a-aln a≤0时，M=N，不符合题意，
当a-aln a>0，即01
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答案
返回
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16
令f(x)=t，则y=f(f(x))=f(t)，t≥a-aln a，
因为N M，所以必有f(a-aln a)>f(a)，
显然不可能有a-aln a≤a，否则M=N，不符合题意，所以a-aln a>a，解得0所以a的取值范围是(0，1).(共59张PPT)
第三章
§3.4 函数中的构造问题
数学
大
一
轮
复
习
函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
重点解读
命题点1 利用f(x)与x构造函数
利用f(x)进行抽象函数构造
题型一
例1 (2024·绵阳模拟)已知函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf'(x)>0，若a＝30.2·f(30.2)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝log3·f则a，b，c的大小关系是
A.a>b>c B.c>b>a
C.c>a>b D.a>c>bj
√
令g(x)＝xf(x)，x∈R，
因为f(x)＝f(－x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数，
又因为当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf'(x)>0，
所以当x∈(－∞，0]时，g'(x)＝f(x)＋xf'(x)>0，所以g(x)在(－∞，0]上单调递增，
又g(x)为奇函数，所以g(x)在R上单调递增，
又因为a＝30.2·f(30.2)＝g(30.2)，
b＝ln 2·f(ln 2)＝g(ln 2)，
c＝log3·f ＝g＝g(－2)，
－2<0所以g(－2)b>c.
(1)出现nf(x)＋xf'(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x).
(2)出现xf'(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
思维升华
命题点2 利用f(x)与ex构造函数
例2 函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x恒有f'(x)－f(x)>0，则
A.f(－1)>0 B.f(3)>ef(2)
C.f f(4)
√
设g(x)＝
则g'(x)＝
由条件可知，f'(x)－f(x)>0，所以g'(x)>0，
则函数g(x)在R上单调递增，
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0，
由<得f(－1)<0，故A错误；
由>
得f(3)>ef(2)，故B正确；
由<得f f 故C错误；
由<得ef(3)(1)出现f'(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x).
(2)出现f'(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
思维升华
命题点3 利用f(x)与sin x，cos x构造函数
例3 (2025·杭州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)sin x＋f'(x)cos x>
0，则
A.f C.f>f D.f>f
√
令F(x)＝x≠＋kπ，k∈Z，
故F'(x)＝>0恒成立，
故F(x)＝在k∈Z上单调递增，
故F函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式
F(x)＝f(x)sin x，F'(x)＝f'(x)sin x＋f(x)cos x；
F(x)＝F'(x)＝；
F(x)＝f(x)cos x，F'(x)＝f'(x)cos x－f(x)sinx；
F(x)＝F'(x)＝.
思维升华
跟踪训练1 (1)(2024·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，π)，其导函数是f'(x).若对任意的x∈(0，π)，有f'(x)sin x－f(x)cos x<0，则关于x的不等式f(x)>2f sin x的解集为
A. B.
C. D.
√
令函数g(x)＝x∈(0，π)，
则g'(x)＝<0，
因此函数g(x)在(0，π)上单调递减，不等式f(x)>2fsin x >
即g(x)>g解得0所以原不等式的解集为.
(2)(2024·南通模拟)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为(0，＋∞)，若xf'(x)<2f(x)，则
A.4e2f(2)<16f(e)B.e2f(4)<4e2f(2)<16f(e)
C.e2f(4)<16f(e)<4e2f(2)
D.16f(e)√
方法一 设g(x)＝x∈(0，＋∞)，
∵xf'(x)<2f(x)，
∴g'(x)＝<0，
则g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴g(2)>g(e)>g(4)，
∴>>
即4e2f(2)>16f(e)>e2f(4)，故C正确.
方法二 设f(x)＝1，又e2<16<4e2，C正确.
(3)(2024·扬州模拟)已知函数f(x)的导数为f'(x)，对任意实数x，都有f(x)－f'(x)>0，且f(1)＝1，则f(x)>ex－1的解集为
A.(－∞，1)
B.(1，＋∞)
C.(－1，1)
D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
√
由f(x)>ex－1，可得>
令g(x)＝结合f(x)－f'(x)>0，则g'(x)＝<0，
所以g(x)在R上单调递减，
故g(x)>g(1) x<1，
则原不等式的解集为(－∞，1).
例4 (1)(2025·昆明模拟)设a＝b＝c＝则
A.cC.b构造具体函数关系
题型二
√
设f(x)＝x>0，
则f'(x)＝
令f'(x)＝0，得x＝
则f(x)在(0)上单调递增，在(＋∞)上单调递减，
b＝f()，c＝f()，则b>c，
又a－b＝>0，得a>b，
所以c(2)(2024·南昌模拟)142 857被称为世界上最神秘的数字，142 857×1＝142 857，142 857×2＝285 714，142 857×3＝428 571，142 857×4＝571 428，142 857×5＝714 285，142 857×6＝857 142，所得结果是这些数字反复出现，若a＝e0.142 857，b＝＋1，c＝则
A.a>b>c B.c>b>a
C.b>a>c D.a>c>b
√
由题意知，a＝e0.142 857，c＝
设f(x)＝ex－x－1(x>0)，f'(x)＝ex－1，
当x∈(0，＋∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)＝ex－x－1>f(0)＝0，
所以ex>x＋1(x>0).
因为x2＋2x＋1>1＋2x(x>0)，
所以x＋1>(x>0)，
得ex>(x>0)，
所以e0.142 857>即a>c；
由ex>x＋1(x>0)，得x>ln(x＋1)(x>0)，
所以x－1>ln x(x>1)，即x>ln x＋1(x>1)，
所以>ln ＋1＝＋1，即c>b.
综上，a>c>b.
通过研究或变形，使所研究的式子具有鲜明的结构特点，然后依据此特点构造新函数.常用的不等式：sin x0)，ln x≤x－1≤x2－x(x>0)，ex≥x＋1(x>0)，ex≥ex>x(x>0).
思维升华
跟踪训练2 (1)(2025·九江模拟)已知a＝sin b＝ln c＝则
A.a>b>c B.c>a>b
C.c>b>a D.a>c>b
√
方法一 a＝sin >sin ＝c，
设f(x)＝ln x＋1－x，x>1，
则f'(x)＝<0，
故f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
故f(x)1)，
所以b＝ln <－1＝c，故a>c>b.
方法二 a＝sin >sin ＝c，b＝ln所以a>c>b.
(2)已知e是自然对数的底数，a＝b＝e2sin c＝则
A.a>b>c B.c>a>b
C.a>c>b D.b>c>a
√
构建f(x)＝x>e，
则f'(x)＝>0在(e，＋∞)上恒成立，
可知f(x)在(e，＋∞)上单调递增，
因为a＝c＝
可知f(4)>f(π)>f(e)＝e，
即c>a>e；
构建g(x)＝x－sin x，x>0，
则g'(x)＝1－cos x≥0在(0，＋∞)上恒成立，
可知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
则g(x)>g(0)＝0，即x>sin x，x>0，
可得>sin 且e>0，
则e>e2sin 即e>b，
综上所述，c>a>b.
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B B C A C BC ABD
题号 9 10 答案 a1.(2025·福州模拟)已知a＝ln b＝ln(ln 3)，c＝－则
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>a>b
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
因为b＝ln(ln 3)>ln(ln e)＝0，
而a＝ln <0，c<0，所以b最大，
构造函数f(x)＝xln x(x>0)，因为f'(x)＝ln x＋1(x>0)，
当0时，f'(x)>0，
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，
又因为a＝f c＝f
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
所以f >f 即a>c，
故b>a>c.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
2.(2024·北海模拟)已知a＝ln(e)，b＝c＝＋1，则a，b，c的大小关系为
A.c>a>b B.b>a>c
C.a>b>c D.b>c>a
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
由题意，a＝＋1＝＋1，b＝＋1，c＝＋1，
设f(x)＝则f'(x)＝
当00，f(x)单调递增；当x>e时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
因为e<4<5，
所以b＝f(e)＋1>a＝f(4)＋1>c＝f(5)＋1，故b>a>c.
3.(2024·昆明模拟)设定义在R上的函数y＝f(x)满足对 x∈R，都有f(x＋2)＋f(x)＝0，且当x∈(0，4]时，xf'(x)－f(x)>0，若a＝f(2 024)，b＝4f(2 025)，c＝2f(2 026)，则a，b，c的大小关系是
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.b>c>a
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
由f(x＋2)＋f(x)＝0 f(x＋4)＋f(x＋2)＝0 f(x＋4)＝f(x)，
即4为y＝f(x)的一个周期，
所以a＝f(2 024)＝f(4)，
同理b＝4f(2 025)＝4f(1)，c＝2f(2 026)＝2f(2)，
令g(x)＝ g'(x)＝
由已知可得，当x∈(0，4]时，g'(x)>0，g(x)单调递增，
所以<< 4f(1)<2f(2)c>b.
答案
4.(2025·成都模拟)已知函数y＝f(x)对任意的x∈满足f'(x)cos x－f(x)sin x>0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是
A.f >f B.f C.2f(0)f
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
构造函数g(x)＝f(x)cos x，x∈
则g'(x)＝f'(x)cos x－f(x)sin x>0，
所以g(x)在上单调递增，
则g所以f cos即f 答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
则g>g
所以fcos>fcos
即f >f 故B不正确；
则g(0)所以f(0)cos 0即2f(0)答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
则g(0)所以f(0)cos 0即f(0)答案
5.(2024·成都模拟)若函数f(x)对任意的x∈R，都有f'(x)A.2f(ln 2)>f(2ln 2)－2
B.2f(ln 2)C.2f(ln 2)＝f(2ln 2)－2
D.无法比较大小
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
令g(x)＝
则g'(x)＝
∵对任意的x∈R，都有f'(x)∴g'(x)<0，即g(x)在R上为减函数，
又ln 2<2ln 2，∴g(ln 2)>g(2ln 2)，
即>
可得2f(ln 2)>f(2ln 2)－2.
答案
6.(2024·南充模拟)设函数f(x)＝sin x＋ex－e－x－x＋3，则满足f(x)＋f(3－2x)
<6的x的取值范围是
A.(－∞，1) B.(1，＋∞)
C.(3，＋∞) D.(－∞，3)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f(x)＝sin x＋ex－e－x－x＋3，
设g(x)＝f(x)－3＝sin x＋ex－e－x－x，
又易知g(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为R上的奇函数，
又g'(x)＝cos x＋ex＋e－x－1≥cos x＋2－1＝1＋cos x≥0，
∴g(x)在R上是增函数，
又f(x)＋f(3－2x)<6，
∴[f(x)－3]＋[f(3－2x)－3]<0，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∴g(x)＋g(3－2x)<0，∴g(x)<－g(3－2x)，
又g(x)为R上的奇函数，
∴g(x)又g(x)在R上是增函数，
∴x<2x－3，∴x>3，
故满足f(x)＋f(3－2x)<6的x的取值范围是(3，＋∞).
答案
二、多项选择题
7.(2024·滁州模拟)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数为f'(x)，且对任意的x∈R，都有f(x)＋f'(x)>0，则下列说法正确的是
A.ef(1)f(0)
C.2f(ln 2)ef(1)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
√
答案
√
令g(x)＝exf(x)，
所以g'(x)＝exf(x)＋exf'(x)＝ex[f(x)＋f'(x)]>0，
所以g(x)在R上是增函数，所以g(0)又g(ln 2)所以eln 2f(ln 2)即2f(ln 2)1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
8.(2025·池州模拟)下列不等关系中正确的是
A.ln 2< B.bea>aeb(a>b>1)
C.cos < D.sin >π
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
对于A项，由ln 2＝构造函数f(x)＝(x>0)，则f'(x)＝
当00，则f(x)在(0，e2)上单调递增，所以f(4)对于B项，设m(x)＝x>1，
则m'(x)＝>0在(1，＋∞)上恒成立，
故函数m(x)在(1，＋∞)上单调递增，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
因为a>b>1，故m(a)>m(b)，即>
故bea>aeb，故B项正确；
对于C项，因为cos < cos <1－＝1－×
故构造函数f(x)＝cos x－1＋x2(x>0)，
则f'(x)＝x－sin x，
令g(x)＝x－sin x，则g'(x)＝1－cos x≥0，
故g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
则g(x)>g(0)，即f'(x)>f'(0)＝0，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
f ＝cos >f(0)＝0，故C项错误；
对于D项，sin >π sin >π－ sin>π－ sin<－π，
由C项分析可知－π>sin故D项正确.
答案
三、填空题
9.已知a＝b＝c＝则a，b，c的大小关系为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
a1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
令f(x)＝x≠0，
则f'(x)＝当x≥2时，f'(x)≥0，
∴f(x)在[2，＋∞)上单调递增，
∴f(2)∴a10.已知x∈则不等式esin x－cos x－tan x≥0的解集为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
不等式esin x－cos x－tan x≥0可化为≥
当x∈时，cos x>0，
又esin x>0，∴≥
令f(x)＝则f(cos x)≥f(sin x)，
∵f'(x)＝
∴当x∈(－∞，1)时，f'(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f'(x)<0，
∴f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
当x∈时，cos x∈(0，1]，sin x∈(－1，1)，
∴cos x≥sin x，
即当x∈时，tan x≤1，∴x∈
即不等式esin x－cos x－tan x≥0的解集为.
答案(共59张PPT)
第三章
§3.5 指对同构问题
数学
大
一
轮
复
习
把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构、形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法.同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题.
重点解读
例1 若对0A.1 B.2 C.e D.2e
√
双变量地位同等同构
题型一
由ln<2x2－2x1，0得x1x2(ln x2－ln x1)<2x2－2x1，
则ln x2－ln x1<
即ln x2－ln x1<
有ln x2＋令f(x)＝ln x＋(x>0)，则f(x2)所以f'(x)＝
令f'(x)>0 x>2，令f'(x)<0 0所以函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)，
所以当0所以0含有地位同等的两个变量x1，x2或x，y或a，b的等式或不等式，如果进行整理(即同构)后，等式或不等式两边具有结构的一致性，往往暗示应构造函数，应用函数单调性解决.
思维升华
跟踪训练1 若0A.x1ln x1x2ln x2
C.x2ln x1x1ln x2
√
令f(x)＝xln x，则f'(x)＝1＋ln x，
当0令g(x)＝则g'(x)＝
当00，则g(x)在(0，1)上单调递增，
因为0所以g(x1)指对同构的常用形式
(1)积型：aea≤bln b，一般有三种同构方式：
①同左构造形式：aea≤ln beln b，构造函数f(x)＝xex；
②同右构造形式：ealn ea≤bln b，构造函数f(x)＝xln x；
③取对构造形式：a＋ln a≤ln b＋ln(ln b)(a>0，b>1)，构造函数f(x)＝x＋ln x.
指对同构法的理解
题型二
(2)商型：≤一般有三种同构方式：
①同左构造形式：≤构造函数f(x)＝；
②同右构造形式：≤构造函数f(x)＝；
③取对构造形式：a－ln a≤ln b－ln(ln b)(a>0，b>1)，构造函数f(x)＝x－ln x.
(3)和、差型：ea±a>b±ln b，一般有两种同构方式：
①同左构造形式：ea±a>eln b±ln b，构造函数f(x)＝ex±x；
②同右构造形式：ea±ln ea>b±ln b，构造函数f(x)＝x±ln x.
例2 (1)(多选)若ea＋a>b＋ln b(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是
A.a>ln b B.aC.ea>b D.ea√
√
方法一 由ea＋a>b＋ln b，可得ea＋a>eln b＋ln b，
令f(x)＝ex＋x，则f(a)>f(ln b)，
因为f(x)在R上是增函数，
所以a>ln b，即ea>b.
方法二 由ea＋a>b＋ln b，可得ea＋ln ea>b＋ln b，
令g(x)＝x＋ln x，则g(ea)>g(b)，
因为g(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以ea>b，即a>ln b.
(2)(2025·宜春模拟)在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于a的方程aea－2＝e4和关于b的方程b(ln b－2)＝e3λ－1(a>0，b>e2)可化为同构方程，则ab的值为 .
e8
对aea－2＝e4两边取自然对数，
得ln a＋a＝6， ①
对b(ln b－2)＝e3λ－1两边取自然对数，
得ln b＋ln(ln b－2)＝3λ－1，
即ln b－2＋ln(ln b－2)＝3λ－3， ②
因为方程①②为两个同构方程，
所以3λ－3＝6，解得λ＝3，
设F(x)＝ln x＋x且x>0，则F'(x)＝＋1>0，
所以F(x)在(0，＋∞)上单调递增，故F(x)＝6的解只有一个，
所以a＝ln b－2，
则ab＝b(ln b－2)＝e3×3－1＝e8.
利用恒等式x＝ln ex和x＝eln x，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由构造的函数的单调性进行研究.
思维升华
跟踪训练2 (多选)对不等式ax＋eax>ln(bx)＋bx进行指对同构时，可以构造的函数是
A.f(x)＝ln x＋x B.f(x)＝xln x
C.f(x)＝x＋ex D.f(x)＝
√
√
由恒等式x＝ln ex可得ax＝ln eax，
所以ax＋eax>ln(bx)＋bx可变形为
ln eax＋eax>ln(bx)＋bx，
构造函数f(x)＝ln x＋x，
可得f(eax)>f(bx).
同理，由恒等式x＝eln x可得bx＝eln(bx)，
所以ax＋eax>ln(bx)＋bx可变形为ax＋eax>ln(bx)＋eln(bx)，
构造函数f(x)＝x＋ex，可得f(ax)>f(ln(bx)).
例3 (1)设实数k>0，对于任意的x>1，不等式kekx≥ln x恒成立，则k的最
小值为 .
同构法的应用
题型三
由kekx≥ln x得kxekx≥xln x，
即kxekx≥eln x·ln x，
令f(x)＝xex，则f(kx)≥f(ln x).
因为f'(x)＝(x＋1)ex，
所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，
因为kx>0，ln x>0，
所以kx≥ln x，即k≥
令h(x)＝(x>1)，则h'(x)＝
当x∈(1，e)时，h'(x)>0，h(x)单调递增；
当x∈(e，＋∞)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，
所以h(x)max＝h(e)＝即k≥
所以k的最小值为.
(2)(2025·衡阳模拟)已知m是方程xeex－2＋(e－1)ln x＝2的一个根，则＋(e－1)ln m等于
A.1 B.2 C.3 D.5
√
xeex－2＋(e－1)ln x＝2 eeln x＋x－2＋eln x＋x－2＝x＋ln x＝eln x＋ln x，
设f(t)＝et＋t，则f'(t)＝et＋1>0恒成立，故f(t)单调递增，
由f(eln x＋x－2)＝f(ln x)得eln x＋x－2＝ln x，即(e－1)ln x＝2－x.
因为m是方程xeex－2＋(e－1)ln x＝2的一个根，
所以(e－1)ln m＝2－m，
所以m＝
所以＋(e－1)ln m＝m＋(e－1)ln m＝m＋2－m＝2.
常见的同构函数有：①f(x)＝；②f(x)＝xln x；③f(x)＝xex；④f(x)＝.
其中①④可以借助②③可以借助xex＝(ln ex)ex＝(ln t)t＝tln t进行指对互化.
思维升华
跟踪训练3 (1)(2024·吕梁模拟)若关于x的不等式ea＋x·ln xA.(－∞，0] B.[－1，0]
C.[－1，＋∞) D.[0，＋∞)
√
由ea＋x·ln x可得<在(0，1)上恒成立，
即<在(0，1)上恒成立，
当a≥0时<0>0，
不等式<在(0，1)上显然成立；
当a<0时，令f(x)＝
则f(ln x)f'(x)＝当x∈(－∞，1)时，f'(x)>0，
所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，
又当x∈(0，1)时，ln x∈(－∞，0)，a＋x∈(－∞，1)，
所以只需ln x即a>ln x－x在(0，1)上恒成立.
令g(x)＝ln x－x，0则g'(x)＝>0，
即g(x)在(0，1)上单调递增，
其中g(1)＝ln 1－1＝－1，故a≥g(1)＝－1，
所以－1≤a<0.
综上，a≥－1.
(2)已知e为自然对数的底数，a，b均为大于1的实数，若aea＋1＋b<
bln b，则
A.bea＋1
C.abe
√
由aea＋1＋b设f(x)＝xln x，可得f(ea)因为a>1，可得ea>e，
又因为b(ln b－1)>0，b>1，所以ln b>1，即b>e，所以>1，
易知当x>1时，f'(x)＝ln x＋1>0，可得函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以ea<即b>ea＋1.
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B B BCD BCD [-e，0) 4
答案
1
2
3
4
5
6
7
(1)因为f(x)=aex-x，定义域为R，
所以f'(x)=aex-1，
当a≤0时，由于ex>0，则aex≤0，
故f'(x)=aex-1<0恒成立，
所以f(x)在R上单调递减；
当a>0时，令f'(x)=aex-1=0，
解得x=-ln a，
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
当x<-ln a时，f'(x)<0，则f(x)在(-∞，-ln a)上单调递减；
当x>-ln a时，f'(x)>0，则f(x)在(-ln a，+∞)上单调递增，
综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；
当a>0时，f(x)在(-∞，-ln a)上单调递减，在(-ln a，+∞)上单调递增.
(2)因为f(x)=aex-x，
所以f(x)+x+ln a≥ln x等价于eln a+x+ln a+x≥ln x+x=eln x+ln x，
令g(x)=ex+x，上述不等式等价于g(ln a+x)≥g(ln x)，显然g(x)为增函数，
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
所以原不等式等价于ln a+x≥ln x，
即ln a≥ln x-x，
令h(x)=ln x-x，
则h'(x)=-1=
当x∈(0，1)时，h'(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(1，+∞)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
所以h(x)max=h(1)=-1，
ln a≥-1=ln 即a≥
所以a的取值范围是.
7.
一、单项选择题
1.设x>0，y>0，若ex＋ln y>x＋y，则下列选项正确的是
A.x>y B.x>ln y
C.x√
1
2
3
4
5
6
7
答案
1
2
3
4
5
6
7
答案
不等式ex＋ln y>x＋y等价于
ex－x>y－ln y，
令f(x)＝ex－x，
则f(ln y)＝eln y－ln y＝y－ln y，
∴不等式ex－x>y－ln y等价于f(x)>f(ln y)，
∵f'(x)＝ex－1，
∴当x∈(0，＋∞)时，f'(x)>0，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
∴若y∈(1，＋∞)，则ln y∈(0，＋∞)，
1
2
3
4
5
6
7
答案
由f(x)>f(ln y)有x>ln y；
若y∈(0，1]，则ln y≤0，
由x>0，有x>ln y.
综上所述，x>ln y.
1
2
3
4
5
6
7
答案
2.若关于x的不等式ex＋x＋ln ≥mx＋ln m恒成立，则实数m的最大值为
A.2 B.e C.3 D.e2
√
由题意得，m>0，x>0，
不等式等价于ex＋x≥mx＋ln(mx)恒成立，
即ex＋ln ex≥mx＋ln(mx)恒成立，
令f(x)＝x＋ln x，
则不等式转化为f(ex)≥f(mx)，
因为f'(x)＝1＋>0，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以ex≥mx，则≥m.
1
2
3
4
5
6
7
答案
1
2
3
4
5
6
7
答案
令g(x)＝x>0，
则g'(x)＝
则当01时，g'(x)>0，g(x)单调递增，
所以当x＝1时，g(x)有最小值，
即g(x)min＝g(1)＝e，则m≤e，
则m的最大值为e.
二、多项选择题
3.(2025·邯郸模拟)已知a>0，b∈R，e是自然对数的底数，若b＋eb＝a＋
ln a，则a－b的值可以是
A.－1 B.1 C.2 D.3
√
1
2
3
4
5
6
7
答案
√
√
1
2
3
4
5
6
7
设函数f(x)＝x＋ex，
则f(x)在R上是增函数，
所以b＋eb－(a＋ln a)＝b＋eb－(ln a＋eln a)＝f(b)－f(ln a)＝0，
所以b＝ln a，即a＝eb，所以a－b＝eb－b，
令g(x)＝ex－x，则g'(x)＝ex－1，
当x<0时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当x>0时，g'(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x)≥g(0)＝1，从而a－b≥1，结合选项，选项BCD符合题意.
答案
4.(2024·盐城模拟)若不等式ax－exln a<0在x∈[2，＋∞)上恒成立，则实数a的值可以为
A.3e B.2e C.e D.2
√
1
2
3
4
5
6
7
答案
√
√
1
2
3
4
5
6
7
答案
由题意得a>0，
由ax－exln a<0得<
设f(x)＝则f'(x)＝
当x<1时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
又f(0)＝0，f(1)＝当x>0时，f(x)＝>0恒成立，
所以f(x)＝的图象如图所示，
1
2
3
4
5
6
7
答案
<即f(x)对于A，当a＝3e时，ln a＝ln 3＋1>2，根据图象可得
f(x)对于B，当a＝2e时，ln a＝ln 2＋1∈(1，2)，根据图象可得f(x)对于C，当a＝e时，ln a＝1，根据图象可得f(x)1
2
3
4
5
6
7
答案
对于D，当a＝2时，ln a＝ln 2，
又f(ln 2)＝ln 2，f(2)＝
因为3×ln 2－3×＝ln 2
且2>e，e2>6，即ln 2>1<1，
所以3×ln 2－3×＝ln 2>0，
即f(ln 2)>f(2)，
根据图象可得f(x)三、填空题
5.(2025·长春模拟)不等式xex＋≥0(a<0)对 x∈(1，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是 .
1
2
3
4
5
6
7
答案
[－e，0)
1
2
3
4
5
6
7
由xex＋≥0可得
xex≥－＝－aln x·e－aln x，
令f(x)＝xex(x>0)，则f'(x)＝(x＋1)ex>0，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为a<0，x∈(1，＋∞)，则－aln x>0，
则f(x)≥f(－aln x)，可得x≥－aln x，
即a≥－对 x∈(1，＋∞)恒成立，
答案
1
2
3
4
5
6
7
令g(x)＝x>1，
则g'(x)＝
由g'(x)＝0可得x＝e，故当1e时，g'(x)>0，
所以g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
所以g(x)min＝g(e)＝e，
得a≥＝－e，
又a<0，所以－e≤a<0.
答案
6.(2025·渭南模拟)已知实数x1，x2满足ln x2＝则x1＝ .
1
2
3
4
5
6
7
答案
4
1
2
3
4
5
6
7
由
可得x1＝4，故x1>0，
由ln x2＝可得ln ＝4，
可得·ln ＝4，故ln >0，
令f(x)＝xex，则f(x1)＝f(ln )，
f'(x)＝(x＋1)ex，
当x>0时，f'(x)>0，
答案
1
2
3
4
5
6
7
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增.
由f(x1)＝f(ln )得x1＝ln
所以
因为x1＝4，所以x1＝4.
答案
四、解答题
7.(2024·咸阳模拟)已知函数f(x)＝aex－x.
(1)讨论f(x)的单调性；
1
2
3
4
5
6
7
答案
1
2
3
4
5
6
7
答案
因为f(x)＝aex－x，定义域为R，所以f'(x)＝aex－1，
当a≤0时，由于ex>0，则aex≤0，故f'(x)＝aex－1<0恒成立，
所以f(x)在R上单调递减；
当a>0时，令f'(x)＝aex－1＝0，解得x＝－ln a，
当x<－ln a时，f'(x)<0，则f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减；
当x>－ln a时，f'(x)>0，则f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增，
综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；
当a>0时，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增.
(2)若f(x)＋x＋ln a≥ln x，求实数a的取值范围.
1
2
3
4
5
6
7
答案
1
2
3
4
5
6
7
答案
因为f(x)＝aex－x，
所以f(x)＋x＋ln a≥ln x等价于eln a＋x＋ln a＋x≥ln x＋x＝eln x＋ln x，
令g(x)＝ex＋x，上述不等式等价于g(ln a＋x)≥g(ln x)，显然g(x)为增函数，
所以原不等式等价于ln a＋x≥ln x，
即ln a≥ln x－x，
令h(x)＝ln x－x，则h'(x)＝－1＝
当x∈(0，1)时，h'(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，
1
2
3
4
5
6
7
答案
所以h(x)max＝h(1)＝－1，
ln a≥－1＝ln 即a≥
所以a的取值范围是.(共45张PPT)
第三章
必刷大题6 导数的综合问题
数学
大
一
轮
复
习
答案
1
2
3
4
(1)由已知可得f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=-a，
所以f'(2)=-a=-即a=1，
所以f(x)=ln x-(x+1)，f'(x)=-1=
令f'(x)>0，得0令f'(x)<0，得x>1，
所以f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+∞).
1.
答案
1
2
3
4
(2)由(1)得f(x)=ln x-(x+1)，
将不等式整理得f(x)-+2x+>k(x-1)，
因为x∈(1，2)，所以x-1>0，
原不等式可转化为k<-在(1，2)上恒成立，
令M(x)=-x∈(1，2)，
则M'(x)=-=
1.
答案
1
2
3
4
令P(x)=(x2-1)(2-x)-2xln x，x∈(1，2)，
则P'(x)=-(3x-1)(x-1)-2ln x<0，
所以P(x)在(1，2)上单调递减，
P(x)所以M(x)在(1，2)上单调递减，
M(x)>M(2)=ln 2-
所以k≤ln 2-所以实数k的取值范围是.
1.
答案
1
2
3
4
(1)∵f(x)=ex-1-ln x，
f(x)的定义域为(0，+∞)，
∴f'(x)=ex-1-
令l(x)=ex-1-(x>0)，∴l'(x)=ex-1+>0，
∴当x>0时，l(x)即f'(x)单调递增，
又∵f'(1)=0，
2.
答案
1
2
3
4
∴当x∈(0，1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增.
∴f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞).
2.
答案
1
2
3
4
(2)∵g(x)=f(x)-m(x-1)=ex-1-ln x-mx+m(m>0)，
∴g'(x)=ex-1--m(x>0，m>0)，
由(1)可知g'(x)在(0，+∞)上单调递增，且g'(1)=-m<0，
又g'(1+m)=em--m>em-(m+1)，
易证em>m+1，则g'(1+m)>0，
∴存在唯一的t∈(1，1+m) (1，+∞)，使得g'(t)=0，
2.
答案
1
2
3
4
∴当x∈(0，t)时，g'(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(t，+∞)时，g'(x)>0，g(x)单调递增；
∴g(x)min=g(t)=et-1-ln t-mt+m，
又当x→0时，g(x)→+∞；
当x→+∞时，g(x)→+∞，
所以若方程g(x)=ex-1-ln x-mx+m=0有唯一的实根x0，
则x0=t>1，
2.
答案
1
2
3
4
∴
消去m可得(2-t)et-1-ln t+1-=0(t>1)，令h(t)=(2-t)et-1-ln t+1-(t>1)，
则h'(t)=(1-t)et-1-+=(1-t)<0，
∴h(t)在(1，+∞)上为减函数，且h(1)=1>0，h(2)=-ln 2<0，
∴当h(t)=0时，t∈(1，2)，即12.
答案
1
2
3
4
(1)当a=1,b=-2时,f(x)=ln x--x,x>0,
令f'(x)=+-1=2,得(3x+2)(x-1)=0,
解得x=1(负值舍去),
故切点为(1,-3),
切线方程为y+3=2(x-1),即2x-y-5=0.
3.
答案
1
2
3
4
(2)f'(x)=--1,
∵x=1为f(x)的极小值点,
∴f'(1)=a-b-1=0,a=b+1,
∴f'(x)=-=-,
①当b≤0时,x-b>0,令f'(x)=0得x=1,
当00,f(x)单调递增;
当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,f(x)在x=1处取得极大值,舍去.
3.
答案
1
2
3
4
②当b=1时,f'(x)=-≤0,
f(x)在(0,+∞)上单调递减,
f(x)不存在极值,舍去.
③当0当b0,f(x)单调递增;
当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,此时f(x)在x=1处取得极大值,舍去.
3.
答案
1
2
3
4
④当b>1时,当0当10,f(x)单调递增;当x>b时,f'(x)<0,f(x)单调递减,此时f(x)在x=1处取得极小值,符合题意.
综上,b的取值范围为(1,+∞).
3.
答案
1
2
3
4
(1)易知f(x)的定义域为(-1，+∞)，
由f(x)=x-aln(1+x)，得f'(x)=1-=
当a≤0时，f'(x)>0在(-1，+∞)上恒成立，
所以f(x)在(-1，+∞)上为增函数，
当a>0时，令f'(x)=0，得x=a-1，
当x∈(-1，a-1)时，f'(x)<0，
当x∈(a-1，+∞)时，f'(x)>0，
4.
答案
1
2
3
4
即f(x)在(-1，a-1)上单调递减，在(a-1，+∞)上单调递增.
综上所述，当a≤0时，f(x)在(-1，+∞)上为增函数，
当a>0时，f(x)在(-1，a-1)上单调递减，在(a-1，+∞)上单调递增.
(2)当a=1时，f(x)=x-ln(1+x)，
由(1)知，f(x)在(-1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，
所以f(x)=x-ln(1+x)≥f(0)=0，
得到x≥ln(x+1)，
4.
答案
1
2
3
4
对于任意正整数n，令x=
则≥ln=ln(2n+1)-ln(2n-1)，
所以2>ln 3-ln 1+ln 5-ln 3+ln 7-ln 5+…+ln(2n+1)-ln(2n-1)=ln(2n+1)，
即1+++…+>ln(2n+1)，
命题得证.
4.
答案
1
2
3
4
(3)因为p(x)=x-1-[x-1-aln(1+x-1)]=aln x(a>0，x>0)，
所以直线AB的斜率
kAB=又p'(x)=所以p'(x3)=
由题意得kAB==
又易知p'(x)=(a>0)在(0，+∞)上单调递减，要证x3<
即证p'(x3)>p'
4.
答案
1
2
3
4
即证>
又0=
令=t>1，即证ln t>
即证(t+1)ln t-2(t-1)>0，
令q(t)=(t+1)ln t-2(t-1)(t>1)，
则q'(t)=ln t+-1，
4.
答案
1
2
3
4
令r(t)=ln t+-1，则r'(t)=-=
当t>1时，r'(t)>0，
即r(t)在(1，+∞)上单调递增，所以r(t)>r(1)=0，即q'(t)>0，
故q(t)在(1，+∞)上单调递增，
所以q(t)>q(1)=0，
即(t+1)ln t>2(t-1)，
所以x3<故命题得证.
4.
1.(2024·葫芦岛模拟)已知函数f(x)＝ln x－a(x＋1)(a∈R)在点(2，f(2))处的切线与直线x＋2y＝0平行.
(1)求f(x)的单调区间；
1
2
3
4
答案
1
2
3
4
答案
由已知可得f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝－a，
所以f'(2)＝－a＝－即a＝1，
所以f(x)＝ln x－(x＋1)，
f'(x)＝－1＝
令f'(x)>0，得0令f'(x)<0，得x>1，
所以f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞).
(2)当x∈(1，2)时，f(x)>＋(k－2)x－k－恒成立，求实数k的取值范围.
1
2
3
4
答案
1
2
3
4
答案
由(1)得f(x)＝ln x－(x＋1)，
将不等式整理得f(x)－＋2x＋>k(x－1)，
因为x∈(1，2)，所以x－1>0，
原不等式可转化为k<在(1，2)上恒成立，
令M(x)＝x∈(1，2)，
则M'(x)＝＝
令P(x)＝(x2－1)(2－x)－2xln x，x∈(1，2)，
1
2
3
4
答案
则P'(x)＝－(3x－1)(x－1)－2ln x<0，
所以P(x)在(1，2)上单调递减，
P(x)所以M(x)在(1，2)上单调递减，
M(x)>M(2)＝ln 2－
所以k≤ln 2－
所以实数k的取值范围是.
1
2
3
4
答案
2.(2024·赣州模拟)已知函数f(x)＝ex－1－ln x.
(1)求f(x)的单调区间；
1
2
3
4
答案
∵f(x)＝ex－1－ln x，
f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴f'(x)＝ex－1－
令l(x)＝ex－1－(x>0)，
∴l'(x)＝ex－1＋>0，
∴当x>0时，l(x)即f'(x)单调递增，
1
2
3
4
答案
又∵f'(1)＝0，
∴当x∈(0，1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增.
∴f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞).
1
2
3
4
答案
(2)已知m>0，若函数g(x)＝f(x)－m(x－1)有唯一的零点x0，证明：11
2
3
4
答案
∵g(x)＝f(x)－m(x－1)＝ex－1－ln x－mx＋m(m>0)，
∴g'(x)＝ex－1－－m(x>0，m>0)，
由(1)可知g'(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g'(1)＝－m<0，
又g'(1＋m)＝em－－m>em－(m＋1)，
易证em>m＋1，则g'(1＋m)>0，
∴存在唯一的t∈(1，1＋m) (1，＋∞)，使得g'(t)＝0，
∴当x∈(0，t)时，g'(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(t，＋∞)时，g'(x)>0，g(x)单调递增；
1
2
3
4
答案
∴g(x)min＝g(t)＝et－1－ln t－mt＋m，
又当x→0时，g(x)→＋∞；当x→＋∞时，g(x)→＋∞，
所以若方程g(x)＝ex－1－ln x－mx＋m＝0有唯一的实根x0，则x0＝t>1，
∴
消去m可得(2－t)et－1－ln t＋1－＝0(t>1)，
令h(t)＝(2－t)et－1－ln t＋1－(t>1)，
1
2
3
4
答案
则h'(t)＝(1－t)et－1－
＝(1－t)<0，
∴h(t)在(1，＋∞)上为减函数，
且h(1)＝1>0，h(2)＝－ln 2<0，
∴当h(t)＝0时，t∈(1，2)，即13.(2025·八省联考)已知函数f(x)=aln x+-x.
(1)设a=1,b=-2,求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程;
1
2
3
4
答案
当a=1,b=-2时,f(x)=ln x--x,x>0,
令f'(x)=+-1=2,得(3x+2)(x-1)=0,
解得x=1(负值舍去),
故切点为(1,-3),
切线方程为y+3=2(x-1),即2x-y-5=0.
(2)若x=1是f(x)的极小值点,求b的取值范围.
1
2
3
4
答案
1
2
3
4
答案
f'(x)=--1,
∵x=1为f(x)的极小值点,
∴f'(1)=a-b-1=0,a=b+1,
∴f'(x)=-=-,
①当b≤0时,x-b>0,令f'(x)=0得x=1,
当00,f(x)单调递增;
当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,f(x)在x=1处取得极大值,舍去.
1
2
3
4
答案
②当b=1时,f'(x)=-≤0,
f(x)在(0,+∞)上单调递减,
f(x)不存在极值,舍去.
③当0当b0,f(x)单调递增;
当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,此时f(x)在x=1处取得极大值,舍去.
④当b>1时,当01
2
3
4
答案
当10,f(x)单调递增;当x>b时,f'(x)<0,f(x)单调递减,此时f(x)在x=1处取得极小值,符合题意.
综上,b的取值范围为(1,+∞).
4.已知函数f(x)＝x－aln(1＋x)，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
1
2
3
4
答案
1
2
3
4
答案
易知f(x)的定义域为(－1，＋∞)，由f(x)＝x－aln(1＋x)，
得f'(x)＝1－
当a≤0时，f'(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，
所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，
当a>0时，令f'(x)＝0，得x＝a－1，
当x∈(－1，a－1)时，f'(x)<0，当x∈(a－1，＋∞)时，f'(x)>0，
即f(x)在(－1，a－1)上单调递减，在(a－1，＋∞)上单调递增.
综上所述，当a≤0时，f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，
当a>0时，f(x)在(－1，a－1)上单调递减，在(a－1，＋∞)上单调递增.
(2)证明：对于任意正整数n，都有1＋＋…＋>ln(2n＋1)；
1
2
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4
答案
1
2
3
4
答案
当a＝1时，f(x)＝x－ln(1＋x)，
由(1)知，f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)＝x－ln(1＋x)≥f(0)＝0，
得到x≥ln(x＋1)，
对于任意正整数n，令x＝
则≥ln＝ln(2n＋1)－ln(2n－1)，
1
2
3
4
答案
所以2>ln 3－ln 1＋ln 5－ln 3＋ln 7－ln 5＋…＋ln(2n＋1)－ln(2n－1)
＝ln(2n＋1)，
即1＋＋…＋>ln(2n＋1)，
命题得证.
(3)设p(x)＝x－1－f(x－1)，a>0，若曲线y＝p(x)上的两点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，满足01
2
3
4
答案
1
2
3
4
答案
因为p(x)＝x－1－[x－1－aln(1＋x－1)]＝aln x(a>0，x>0)，
所以直线AB的斜率kAB＝
又p'(x)＝所以p'(x3)＝
由题意得kAB＝
又易知p'(x)＝(a>0)在(0，＋∞)上单调递减，要证x3<
即证p'(x3)>p'
1
2
3
4
答案
即证>
又0即证ln >
令＝t>1，即证ln t>
即证(t＋1)ln t－2(t－1)>0，
令q(t)＝(t＋1)ln t－2(t－1)(t>1)，
则q'(t)＝ln t＋－1，
1
2
3
4
答案
令r(t)＝ln t＋－1，
则r'(t)＝当t>1时，r'(t)>0，
即r(t)在(1，＋∞)上单调递增，所以r(t)>r(1)＝0，即q'(t)>0，
故q(t)在(1，＋∞)上单调递增，
所以q(t)>q(1)＝0，即(t＋1)ln t>2(t－1)，
所以x3<故命题得证.(共34张PPT)
第三章
必刷小题5 导数及其应用
数学
大
一
轮
复
习
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B D A A C A A
题号 9 10 11 12 13 14
答案 BC BD ABD
一、单项选择题
1.下列求导运算结果正确的是
A.'＝1＋ B.(xln x)'＝ln x＋1
C.(sin π)'＝cos π D.'＝
√
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答案
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答案
对于A'＝1－故A错误；
对于B，(xln x)'＝x'ln x＋(ln x)'x＝ln x＋·x＝ln x＋1，故B正确；
对于C，(sin π)'＝0，故C错误；
对于D'＝故D错误.
1
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答案
2.函数y＝x2－ln x的单调递减区间为
A.(0，e) B.(0，1)
C.[1，＋∞) D.(0，＋∞)
√
由题意知，x>0，y'＝x－
令y'<0，得0所以其单调递减区间为(0，1).
3.已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则该函数的大致图象可能是
1
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答案
√
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14
由题意知f'(x)与x轴有三个交点，不妨设为x1，x2，x3，且x1当x∈(－∞，x1)时，f'(x)<0，
当x∈(x1，0)时，f'(x)>0，
当x∈(0，x3)时，f'(x)<0，
当x∈(x3，＋∞)时，f'(x)>0，
所以f(x)在区间(－∞，x1)，(0，x3)上单调递减，故A，C错误；
在区间(x1，0)，(x3，＋∞)上单调递增，故B错误，D正确.
答案
4.若函数f(x)＝x－－aln x存在单调递减区间，则实数a的取值范围为
A.(2＋∞) B.(－∞，－2]
C.[－22] D.(－∞，2)
√
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答案
因为f(x)＝x－－aln x存在单调递减区间，
所以f'(x)＝1＋<0在(0，＋∞)上有解，
即a>＋x在(0，＋∞)上有解，
＋x≥2＝2
当且仅当x＝时等号成立，
所以＝2
故a>2.
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答案
5.某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是0.1πr4分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径.已知每售出1 mL的液体材料，制造商可获利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为8 cm，则当每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
√
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答案
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14
依题意知，每瓶液体材料的利润f(r)＝0.3×πr3－0.1πr4＝0.1π(4r3－r4)，0则f'(r)＝0.4πr2(3－r)，
令f'(r)＝0，得r＝3，
当r∈(0，3)时，f'(r)>0，当r∈(3，8]时，f'(r)<0，
因此函数f(r)在(0，3)上单调递增，在(3，8]上单调递减，即当r＝3时，f(r)取最大值，
所以当每瓶液体材料的利润最大时，r＝3.
答案
6.若函数f(x)＝(x－3)ex＋x2－2x＋1在区间(2m－2，3＋m)上存在最值，则m的取值范围是
A.(－∞，－1) B.(2，＋∞)
C.(－1，2) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
√
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答案
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14
f'(x)＝(x－2)ex＋x－2＝(x－2)(ex＋1)，
则当x>2时，f'(x)>0，当x<2时，f'(x)<0，
即f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
即f(x)在x＝2处取得最值，
则有2m－2<2<3＋m，
解得－1答案
7.已知f(x)是定义域为R的偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，若a＝
f(ln 1.04)，b＝f(1.04)，c＝f(e0.04)，则
A.aC.c1
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√
答案
因为f(x)是定义域为R的偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
ln 1.04令h(x)＝ex－(x＋1)，
当x>0时，h'(x)＝ex－1>0，
则h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以h(0.04)＝e0.04－(0.04＋1)＝e0.04－1.04>h(0)＝0，
即e0.04>1.04，
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答案
所以e0.04>1.04>ln 1.04.
而f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故有f(ln 1.04)1
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答案
8.已知a>0，b>1，且e2a＋2ln b＋1＝b2＋2a，则一定有
A.b>ea B.ln bC.a＋ln b>1 D.a＋ln b＝1
√
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因为e2a＋2ln b＋1＝b2＋2a，
所以e2a－2a＝b2－2ln b－1＝－ln b2－1，
所以－ln b2－1>e2a－2a－1，
令f(x)＝ex－x－1，
则f'(x)＝ex－1，f(ln b2)>f(2a)，
当x∈(0，＋∞)时，f'(x)>0，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
答案
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因为a>0，b>1，所以2a>0，ln b2>0，
则ln b2>2a，所以ln b>a，即b>ea，故A正确，B错误；
因为ln b>a，所以a＋ln b>2a，
因为a>0，所以a＋ln b与1的大小关系不确定，故C，D错误.
答案
二、多项选择题
9.下列说法中正确的有
A.(sin 2x)'＝cos 2x
B.已知函数f(x)在R上可导，且f'(1)＝1，则＝1
C.一质点A沿直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为
s(t)＝t2＋1，则该质点在t＝2 s时的瞬时速度是4 m/s
D.若h(x)＝f(x)·g(x)，则h'(x)＝f'(x)·g'(x)
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答案
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答案
对于A选项，(sin 2x)'＝2cos 2x，故A错误；
对于B选项，由导函数定义可知＝f'(1)＝1，故B正确；
对于C选项，s'(t)＝2t，故s'(2)＝4，故该质点在t＝2 s时的瞬时速度是 4 m/s，故C正确；
对于D选项，若h(x)＝f(x)·g(x)，则h'(x)＝f'(x)·g(x)＋f(x)·g'(x)，故D错误.
10.已知f'(x)为函数f(x)的导函数，当x>0时，有f(x)－xf'(x)>0恒成立，则下列不等式一定成立的是
A.f >2f B.f <2f
C.f >2f(1) D.2f>f(1)
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√
答案
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构造函数g(x)＝其中x>0，则g'(x)＝<0，
所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
对于A，B选项，g即2f <4f 可得f <2f A错，B对；
对于C，D选项，g>g(1)，
即2f >f(1)，D对，C无法判断.
答案
11.已知函数f(x)＝－x3＋3x－1，则
A.f(x)在x＝－1处取得极小值
B.f(x)有3个零点
C.f(x)在区间(－2，2)上的值域为(－3，1)
D.函数f(x)图象的对称中心为点(0，－1)
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答案
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√
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答案
由f'(x)＝－3x2＋3，
令f'(x)>0，解得－11，
所以函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1，1)上单调递增，
所以f(x)在x＝－1处取得极小值，故A正确；
又f(－2)＝1，f(－1)＝－3，f(1)＝1，f(2)＝－3，
所以f(－2)·f(－1)<0，所以函数f(x)在(－∞，－1)上有且仅有一个零点，
同理函数f(x)在(－1，1)上有且仅有一个零点，在(1，＋∞)上有且仅有一个零点，
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答案
即函数f(x)共有3个零点，故B正确；
由前面得f(x)在(－2，2)上的值域为[－3，1]，故C错误；
设g(x)＝－x3＋3x，x∈R，g(－x)＝－(－x)3＋3(－x)＝x3－3x＝－g(x)，所以函数g(x)是奇函数，图象关于点(0，0)对称，
又f(x)＝－x3＋3x－1的图象是由g(x)的图象向下平移1个单位长度得到的，所以函数f(x)图象的对称中心为点(0，－1)，故D正确.
三、填空题
12.函数f(x)＝x－cos x，x∈的值域是 .
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答案
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答案
因为f(x)＝x－cos x，x∈所以f'(x)＝＋sin x，
当－当－0，f(x)单调递增，
所以f(x)min＝f ＝－又f ＝－从而f(x)max＝f
所以函数f(x)＝x－cos x，x∈的值域是.
13.在平面直角坐标系中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标为 ，切线
方程为 .
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答案
(e，1)
y＝
设点A的坐标为(x0，y0)，则y0＝ln x0.
又y'＝当x＝x0时，y'＝
曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－ln x0＝－1，
代入点(－e，－1)，得－1－ln x0＝－1，
即x0ln x0＝e，
记H(x)＝xln x，当x∈(0，1)时，H(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，H(x)>0，
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答案
且H'(x)＝ln x＋1，当x>1时，H'(x)>0，H(x)单调递增，
又H(e)＝e，故x0ln x0＝e存在唯一的实数根x0＝e，此时y0＝1，
故点A的坐标为(e，1)，切线方程为y＝.
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答案
14.定义：如果函数f(x)在区间[a，b]上存在x1，x2(a＝x3－x2＋a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是 .
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14
答案
由于f(x)＝x3－x2＋a，
则f'(x)＝x2－2x，
因为f(x)在[0，a]上存在x1，x2(0满足f'(x1)＝f'(x2)＝
即x2－2x＝a2－a，
则关于x的一元二次方程x2－2x－a2＋a＝0在(0，a)上有两个不同的实根，
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答案
令g(x)＝x2－2x－a2＋a，
则解得所以实数a的取值范围是.