(共93张PPT)
第五章
§5.1 平面向量的概念及
线性运算
数学
大
一
轮
复
习
1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.
2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.
3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有 又有 的量 平面向量是自由向量
长度(模) 向量的_____ 记作|a|或||
零向量 长度为0，其方向是任意的 记作___
单位向量 长度等于1个单位长度的向量 与非零向量a共线的单位向量为±
平行向量 (共线向量) 方向 或 的非零向量 0与任意向量 (或共线)
相等向量 长度 且方向 的向量 两向量不能比较大小
相反向量 长度 且方向 的向量 0的相反向量为0
大小
方向
大小
0
相同
相反
平行
相等
相同
相等
相反
2.向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 交换律：a＋b＝ ；
结合律：(a＋b)＋c
＝_________
减法 a－b＝a＋(－b)
b＋a
a＋(b＋c)
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
数乘 |λa|＝ ，当λ>0时，λa的方向与a的方向 ； 当λ<0时，λa的方向与a的方向 ； 当λ＝0时，λa＝___ 设λ，μ为实数，则
λ(μa)＝ ；
(λ＋μ)a＝ ；
λ(a＋b)＝_______
|λ||a|
相同
相反
0
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 .
b＝λa
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( )
(2)单位向量都相等.( )
(3)若a＝b，b＝c，则a＝c.( )
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.( )
×
×
√
√
2.下列命题正确的是
A.零向量是唯一没有方向的向量
B.若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b
C.向量与是平行向量
D.平行向量不一定是共线向量
√
A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
B项，|a|＝|b|说明a，b的长度相等，不能判断它们的方向，故B错误；
C项，向量与方向相反，是平行向量，故C正确；
D项，平行向量就是共线向量，故D错误.
3.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则等于
A. B.2 C.3 D.4
√
如图，连接OM，
在△OAC中，M为AC的中点，所以＝2，
在△OBD中，M为BD的中点，所以＝2，
所以＝4.
4.已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta与a－b共线，则实数t＝ .
由题意知，存在实数λ，使得b－ta＝λ，则解得t＝.
熟记平面向量线性运算的常用结论
(1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则).
(2)在△ABC中，点P满足＝0 P为△ABC的重心 ).
(3)＝λ＋μ(λ，μ为实数，点O，B，C不共线)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
(4)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1 (1)下列四个命题中正确的有
A.若a∥b，b∥c，则a∥c
B.“a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|且a∥b”
C.在平行四边形ABCD中，一定有
D.若a为平面内的某个向量，a0为单位向量，则a＝|a|a0
√
平面向量的基本概念
题型一
A不正确，若b＝0，则由a∥b，b∥c，无法得到a∥c；
B不正确，当|a|＝|b|且a∥b时，a，b的方向可能相反，此时a与b是相反向量，即a＝－b；当a＝b时，a与b的模相等且方向相同，即|a|＝|b|且a∥b，故“|a|＝|b|且a∥b”是“a＝b”的必要不充分条件；
C正确，平行四边形ABCD对边平行且相等，且和方向相同，故；
D不正确，向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相等，但方向不一定相同.
(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是
A.
B.
C.
D.
√
方法一(排除法)
，不共线，，不共线，故A，B错误；
，方向相反，C错误；故选D.
方法二 在等腰梯形ABCD中，，不平行，
，不平行，故A，B错误；
∵AB∥CD，∴，则，
即，即，
∵EF∥AB，∴，
∴PE＝PF，即P为EF的中点，
∴，故C错误，D正确.
平面向量有关概念的四个关注点
(1)非零向量的平行具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.
(4)是与非零向量a同方向的单位向量.
思维升华
跟踪训练1 (1)(多选)下列关于向量的说法正确的是
A.若|a|＝0，则a＝0
B.若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上
C.对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|
D.若a∥b，则存在唯一实数λ，使a＝λb
√
√
对于A，若|a|＝0，则a＝0，故A正确；
对于B，若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在同一条直线上，故B错误；
对于C，若a，b方向相同，则|a＋b|＝|a|＋|b|，若a，b方向相反，则|a＋b|<|a|＋|b|，
若a，b不共线，根据向量加法的三角形法则及三角形两边之和大于第三边可知|a＋b|<|a|＋|b|.
综上可知，对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故C正确；
对于D，若a≠0，b＝0，则a∥b，此时不存在实数λ，使a＝λb，故D错误.
(2)在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1).
①是共线向量的有 ；
a和d，b和e
a∥d，b∥e，故a和d，b和e是共线向量；
②方向相反的向量有 ；
a和d，b和e
a和d，b和e是方向相反的向量；
③模相等的向量有 .
a，c，d
由勾股定理可得，模相等的向量有a，c，d.
命题点1 向量加、减法的几何意义
例2 若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足||＝|－2|，则△ABC的形状为
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
平面向量的线性运算
题型二
√
－2＝()＋()＝，，
∴||＝||.
故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形.
命题点2 向量的线性运算
例3 (2025·成都模拟)在△ABC中，＋2＝0，则等于
A. B.
C. D.
√
因为＋2＝0，
所以D为线段BC上靠近C的三等分点，如图所示，
故
)＝.
平面向量线性运算的解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.
(2)[爪子定理]在△ABC中，D为BC上一点，若，则.
思维升华
跟踪训练2 (1)设D，E为△ABC所在平面内两点，，＝2，则等于
A.－ B.
C. D.－
√
如图，因为，＝2，
所以，，
所以
＝)＝.
(2)若||＝7，||＝4，则||的取值范围是
A.[3，7] B.(3，7)
C.[3，11] D.(3，11)
√
由题意知||＝7，||＝4，且||＝||，
当，同向时，||取得最小值，
||＝||＝|||－|||＝|4－7|＝3；
当，反向时，||取得最大值，
||＝||＝||＋||＝4＋7＝11；
当，不共线时，3＝|||－|||<||<||＋||＝11，
故|| 的取值范围是[3，11].
例4 (1)(2024·福州模拟)已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1＋λe2与μe1＋e2(λ，μ为实数)是共线向量，则
A.＝－2 B.λμ＝－2
C.＝2 D.λμ＝2
√
共线定理及其应用
题型三
由题意，可设2e1＋λe2＝t(μe1＋e2)，t∈R，
又e1，e2是两个不共线的向量，
故解得λμ＝2.
(2)如图，在△ABC中，，P是BN上的点，若＝m，则实数m的值是 .
因为，所以＝3，
因为＝m＝m，
且B，P，N三点共线，
所以m＋＝1，所以m＝.
利用向量共线定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.
(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(3)已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)，则A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1.
思维升华
跟踪训练3 (1)(2025·深圳模拟)设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则实数k的值为
A.－8 B.8 C.6 D.－6
√
根据题意，得＝e1－4e2，
若A，B，D三点共线，设＝t，
则有2e1－ke2＝t(e1－4e2)＝te1－4te2，
所以所以k＝8.
(2)如图所示，在△ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，若＝m，＝n，m，n∈R，则m＋n的值为 .
2
连接AO(图略)，
则)＝，
因为M，O，N三点共线，
所以＝1，所以m＋n＝2.
如图，由三点共线结论可知，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k，k∈R，使得＝k，则＝k＝kλ＋kμ，设＝x＋y(x，y∈R)，∴x＋y＝kλ＋kμ＝k；反之也成立.
等和(高)线定理
微拓展
平面内一个基底{，}及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P'在直线AB上或在与AB平行的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.
①当等和线恰为直线AB时，k＝1；
②当等和线在点O和直线AB之间时，k∈(0，1)；
③当直线AB在点O和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
④当等和线过点O时，k＝0；
⑤若两等和线关于点O对称，则定值k1，k2互为相反数；
⑥定值k的绝对值与点O到等和线的距离成正比.
典例 (1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于
A.1 B. C. D.
√
方法一 (常规方法)∵E为线段AO的中点，
∴)＝
＝＝λ＋μ，
∴λ＝，μ＝，则λ＋μ＝.
方法二 (等和线法)
如图，AD为值是1的等和线，过点E作AD的平行线，设λ＋μ＝k，
则k＝.
由图易知，，即λ＋μ＝k＝.
(2)如图，圆O是边长为2的等边△ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，＝x＋y(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为 .
2
设2x＋y＝k，作出定值为1的等和线DE，AC是过圆上的点最远的等和线，
当点M在点N所在的位置时，2x＋y最大，
则kmax＝＝2，所以2x＋y的最大值为2.
如图，点D，E，N分别为BC，AB，AC的中点，点P为DE与BN的交点，
＝x＋y＝2x·＋y＝2x＋y，
返回
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D D D A B ABC ABC
题号 9 10 13 14 15 16 答案 等腰梯形 AC D 3 (1，+∞) 15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
存在.由题设知，
=d-c=2b-3a，
=e-c=(t-3)a+tb，
又a，b不共线，则≠0，
C，D，E三点在同一条直线上的充要条件是存在实数k，使得=k
即(t-3)a+tb=-3ka+2kb，
整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.
11.
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
因为a，b不共线，
所以解得t=.
故存在实数t=使得C，D，E三点在同一条直线上.
11.
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(1)因为=-
=
所以=-=a-b.
因为=+=
所以=+=a+b.
12.
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(2)因为D，O，N三点共线，所以存在实数k，
使得=k=ka-kb，
所以=+=b+ka-kb=ka+(1-k)b， ①
因为A，O，M三点共线，
所以存在实数m，
使得=m=ma+mb， ②
12.
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
由①②得解得m=
所以==
即λ=.
12.
15
16
一、单项选择题
1.化简等于
A. B.0 C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
知识过关
答案
－()＝＝0.
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
2.(2025·沈阳模拟)已知a，b为两个不共线的向量，＝a＋b，＝2a－b，＝λa＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则2λ＋μ等于
A.0 B.1 C.2 D.3
√
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
由＝a＋b，＝2a－b，＝λa＋μb，则＝a－2b，
＝(λ－1)a＋(μ－1)b，
因为A，B，C三点共线，
设＝t(t∈R)，
则(λ－1)a＋(μ－1)b＝ta－2tb，
所以即
则2λ＋μ＝3.
15
16
3.(2024·西安模拟)已知点P是△ABC的重心，则等于
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
设BC的中点为D，连接AD，如图，由点P是△ABC的重心，
则＝×)
＝(2)＝
＝)＋
＝，
故A，B，C错误，D正确.
15
16
4.已知点P为△OAB所在平面内一点，且，则
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的延长线上
C.点P在线段AB的反向延长线上
D.点P在射线AB上
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
由，得，所以·，
所以点P在射线AB上.
答案
15
16
5.(2024·焦作模拟)已知△ABC所在平面内一点D满足＝0，则△ABC的面积是△ABD面积的
A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
设AB的中点为M，
因为＝0，
所以＝2()，
所以＝4，
所以点D是线段CM上靠近点M的五等分点，
所以＝5，
所以△ABC的面积是△ABD面积的5倍.
15
16
6.已知a是单位向量，向量b满足|a－b|＝3，则|b|的最大值为
A.2 B.4 C.3 D.1
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
方法一 设＝a，＝b，因为|a－b|＝3，
即||＝||＝3，即||＝3，
所以点B在以A为圆心，3为半径的圆上，
又a是单位向量，则||＝1，
故||的最大值为||＋||＝1＋3＝4，即|b|的最大值为4.
方法二 因为b＝a－(a－b)，
所以|b|≤|a|＋|a－b|＝1＋3＝4，
所以|b|的最大值为4.
15
16
二、多项选择题
7.下列说法正确的是
A.若a与b是非零向量，则“a与b同向”是“a＝b”的必要不充分条件
B.若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上
C.a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向
D.设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
答案
√
√
15
16
根据向量的有关概念可知A，B，C正确，对于D，当λ＝μ＝0时，a与b不一定共线，故D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
15
16
8.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则
A.＝－
B.
C.＝－
D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
√
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
∵AB∥CD，AB＝2DC，
∴＝－
＝－，故A正确；
∵＝3，∴＝－，
∴，
又F为AE的中点，∴，故B正确；
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
∴＝－
＝－，故C正确；
∴＝－
＝－，故D错误.
15
16
三、填空题
9.已知O为△ABC内一点，且2，＝t，若B，O，D三
点共线，则实数t的值为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
设线段BC的中点为M，
则＝2.
因为2，所以，
则)
＝.
由B，O，D三点共线，得＝1，解得t＝.
15
16
10.已知在四边形ABCD中，，且||＝||，则四边形ABCD的形状是 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
等腰梯形
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
由，
可得AB∥CD且AB＝DC，
所以四边形ABCD是梯形，
又因为||＝||，
所以梯形ABCD的两个腰相等，
所以四边形ABCD是等腰梯形.
答案
15
16
四、解答题
11.已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t，使得C，D，E三点在同一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
存在.由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，
又a，b不共线，则≠0，
C，D，E三点在同一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，
即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为a，b不共线，所以解得t＝.
故存在实数t＝，使得C，D，E三点在同一条直线上.
15
16
12.如图所示，在 ABCD中，，，＝a，＝b.
(1)试用向量a，b来表示，；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
因为，，
所以a－b.
因为，，
所以＝a＋b.
15
16
(2)AM交DN于点O，若＝λ，求实数λ的值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
因为D，O，N三点共线，
所以存在实数k，使得＝kka－kb，
所以
＝b＋ka－kb＝ka＋(1－k)b， ①
因为A，O，M三点共线，所以存在实数m，
使得＝m＝ma＋mb， ②
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
由①②得解得m＝，
所以，，即λ＝.
15
16
13.(多选)已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点(含边界)，且＋λ，λ∈R，则下列说法正确的是
A.△PCD的面积为定值
B. λ∈R，使得||>||
C.∠CPD的取值范围是
D.||的取值范围是[1，]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
能力拓展
√
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
对于A，由＋λ，λ∈R可得＝λ，即＝λ，可得∥，因此，点P在正六边形ABCDEF的对角线BE上，所以点P到CD的距离为定值，所以△PCD的面积为定值，故A正确；
对于B，因为正六边形ABCDEF关于对角线BE对称，故||＝||，故B错误；
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
对于D，因为正六边形边长为1，所以平行线BE，CD的距离d＝，又当PC⊥BE时，||有最小值，故D错误.
对于C，根据图形的对称性，当点P为BE中点时，∠CPD取得最大值，当点P与B或E重合时∠CPD取得最小值，即∠CPD的取值范围是，故C正确；
15
16
14.在△ABC中，点O满足=2，过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N.设=，=，则m2+n的最小值是
A.3 B.1 C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
由题可知，m>0，n>0，
因为=，=，
所以=m，=n，
因为=2，
所以-=2(-)，
所以=+=m+n，
因为M，O，N三点共线，所以m+n=1，
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
则n=>0，则0
所以m2+n=m2+=+
≥，当且仅当m=时等号成立，
所以m2+n的最小值为.
15
16
15.(2024·盐城模拟)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，CD上，且满足，＝2，则||＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
答案
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
因为，所以，
又因为＝2，所以，
所以||＝||＝||，
又因为∠BAD＝120°，所以∠ADC＝60°，
所以△ADC为等边三角形，所以AC＝AD＝2，
所以||＝||＝×2＝3.
15
16
16.如图，已知A，B，C是圆O上不同的三点，CO与AB交于点D(点O与点D不重合)，若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ的取值范围是 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(1，+∞)
答案
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
15
16
因为CO与AB交于点D，
所以O，C，D三点共线，
所以与共线，
设=m，则m>1，
因为=λ+μ，
所以m=λ+μ，
可得=+，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
返回
15
16
因为A，B，D三点共线，
所以+=1，可得λ+μ=m>1，
所以λ+μ的取值范围是(1，+∞).(共88张PPT)
第五章
§5.3 平面向量的数量积
数学
大
一
轮
复
习
1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.
2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a＝b，则_______＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
2.平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积，记作 .
∠AOB
|a||b|cos θ
a·b
3.平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量＝a＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，
得到我们称上述变换为向量a向向量b投影叫做向量a在向量b上的投影向量.记为 .
|a|cos θ e
4.向量数量积的运算律
(1)a·b＝ .
(2)(λa)·b＝ ＝ (λ∈R).
(3)(a＋b)·c＝ .
b·a
λ(a·b)
a·(λb)
a·c＋b·c
5.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝__________
模 |a|＝_______ |a|＝_________
夹角 cos θ＝_____
cos θ＝_______________
a⊥b的充要条件 a·b＝0 _____________
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤
x1x2＋y1y2
x1x2＋y1y2＝0
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.( )
(2)若a，b共线，则a·b＝|a||b|.( )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量.( )
(4)若a·b＝a·c，则b＝c.( )
×
×
√
×
2.已知△ABC的三个顶点为A(－1，－4)，B(5，2)，C(3，4)，则△ABC是
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
√
由已知＝(6，6)＝(－2，2)，∴·＝6×(－2)＋6×2＝0，即AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形.
3.已知a＝(1)，|b|＝2a·b＝－3，则a与b的夹角为 .
设a与b的夹角为θ，
因为a＝(1)，|b|＝2a·b＝－3，
所以cos θ＝＝－
因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，
即a与b的夹角为120°.
120°
4.已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为且a＋b＋c＝0，则|c|＝ .
因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，所以c2＝(－a－b)2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×2×3×cos ＋32＝4－6＋9＝7，所以|c|＝.
熟记以下常用结论
(1)平面向量数量积运算的常用公式
①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
③a2＋b2＝0 a＝b＝0.
(2)有关向量夹角的两个结论
①若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
②若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
(3)a在b上的投影向量为·a在b上的投影向量的模为.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1 (1)(多选)如图，点A，B在圆C上，则·的值
A.与圆C的半径有关
B.与圆C的半径无关
C.与弦AB的长度有关
D.与点A，B的位置有关
√
平面向量数量积的基本运算
题型一
√
如图，过点C作CD⊥AB交AB于点D，则D是AB的中点，
故·＝||||cos∠CAD
＝||||||2，
故·的值与圆C的半径无关，只与弦AB的长度有关.
(2)如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB，AD向外分别作正方形ABEF，ADMN，其中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝则·＝ .
0
方法一 ·＝()·()＝····
＝0＋||||cos ＋||||cos ＋0＝－＝0.
方法二 建立平面直角坐标系，如图，则A(0，2)，
CNF(0，0)，
则
则·＝－＝0.
1.极化恒等式
在平面向量中：
(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b，(a－b)2＝a2＋b2－2a·b，
两式相减可得极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2].
2.几何解释
(1)平行四边形模型：向量的数量积等于“和对角线
长”与“差对角线长”平方差的即a·b＝[(a＋b)2
－(a－b)2](如图).
极化恒等式
微拓展
(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即·(M为BC的中点)(如图).
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
典例 (1)设向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝则a·b等于
A.1 B.2 C.3 D.5
√
因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，两式相减得a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]＝1.
(2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点·＝4·＝－1，则
·的值是 .
方法一 (极化恒等式法)
设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，
则AD＝3n.
由向量的极化恒等式，知
·＝||2－||2＝9n2－m2＝4， ①
·＝||2－||2＝n2－m2＝－1， ②
联立①②解得n2＝m2＝
因此·＝||2－||2＝4n2－m2＝
即·.
方法二 (坐标法)
以直线BC为x轴，过点D且垂直于BC的直线为y轴，
建立如图所示的平面直角坐标系.设A(3a，3b)，
B(－c，0)，C(c，0)，
则E(2a，2b)，F(a，b)，
所以·＝(3a＋c，3b)·(3a－c，3b)＝9a2－c2＋9b2＝4
·＝(a＋c，b)·(a－c，b)＝a2－c2＋b2＝－1，
则a2＋b2＝c2＝
所以·＝(2a＋c，2b)·(2a－c，2b)＝4a2－c2＋4b2＝.
方法三 (基向量法)
·＝()·()
＝＝4，
·＝()·()＝＝－1，
因此||2＝||2＝
所以·＝()·()＝.
计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积.
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
思维升华
跟踪训练1 (1)(2025·扬州模拟)已知单位向量e1，e2的夹角为120°，则(2e1－e2)·e2等于
A.－2 B.0 C.1 D.2
√
因为单位向量e1，e2的夹角为120°，
所以(2e1－e2)·e2＝2e1·e2－＝2|e1||e2|cos 120°－＝2×1×1×
－12＝－2.
(2)(2025·咸阳模拟)如图所示，已知在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，若点E为线段CD的中点，则·等于
A. B. C.－ D.－
√
·
＝－1＝－.
例2 (1)(2024·新课标全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且
(b－2a)⊥b，则|b|等于
A. B. C. D.1
√
命题点1 向量的模
平面向量数量积的应用
题型二
因为(b－2a)⊥b，
所以(b－2a)·b＝0，
即b2＝2a·b，
又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，
所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，
从而|b|＝.
(2)(2024·温州模拟)平面向量a，b满足a＝(2，1)，a∥b，a·b＝－则|b|＝ .
由题意，设b＝(2t，t)，
又a＝(2，1)，
所以a·b＝4t＋t＝5t＝－
得t＝－
所以|b|＝|t|＝·.
例3 (1)(2025·池州模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝则a与b的夹角为
A. B. C. D.
命题点2 向量的夹角
√
因为|a＋b|＝
所以(a＋b)2＝3，
所以a2＋2a·b＋b2＝3，
所以1＋2×1×2×cos〈a，b〉＋4＝3，
所以cos〈a，b〉＝－
所以〈a，b〉＝.
由题意得(a＋b)·(a－b)>0，
即a2－b2>0，52＋52>λ2＋12，所以－7<λ<7，
若a＋b＝k(a－b)(k>0)，
则解得
所以λ的取值范围是(－7，1)∪(1，7).
(2)已知向量a＝(5，5)，b＝(λ，1)，若a＋b与a－b的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为 .
(－7，1)∪(1，7)
命题点3 向量的垂直
例4 (1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x等于
A.－2 B.－1 C.1 D.2
因为b⊥(b－4a)，
所以b·(b－4a)＝0，
所以b2－4a·b＝0，
即4＋x2－4x＝0，解得x＝2.
√
(2)(多选)(2024·淮安模拟)已知向量a＝(1，－2)，b＝(1，3)，则下列结论正确的是
A.b在a上的投影向量是(1，－2)
B.|2a＋b|＝|b|
C.a与b的夹角为
D.(a＋b)⊥a
√
√
因为|a|＝|b|＝a·b＝1－6＝－5，所以cos〈a，b〉＝＝－所以〈a，b〉＝故C错误；
所以b在a上的投影向量是|b|·cos〈a，b〉·××＝－a＝
(－1，2)，故A错误；
因为a＝(1，－2)，b＝(1，3)，所以2a＋b＝(3，－1)，所以|2a＋b|＝＝|b|，故B正确；
a＋b＝(2，1)，所以(a＋b)·a＝2－2＝0，故D正确.
命题点4 向量的投影
例5 (2024·郑州模拟)平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，则b在a上的投影向量为
A.a B.a C.a D.a
由|a＋b|＝＝＝＝4
可得a·b＝
而b在a上的投影向量为a＝a＝a＝a.
√
(1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；
②几何法：利用向量的几何意义.
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝；
②坐标法.
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0).
思维升华
跟踪训练2 (1)(2025·杭州模拟)已知向量a＝(－1，1)，b＝(2，0)，向量a在向量b上的投影向量c等于
A.(－2，0) B.(2，0) C.(－1，0) D.(1，0)
√
因为向量a＝(－1，1)，b＝(2，0)，
所以向量a在向量b上的投影向量
c＝·b＝(－1，0).
(2)(2024·榆林模拟)若向量a＝(m，m－1)，b＝(m，3)，|a|＝|b|，则实数m等于
A.－4 B.－3 C.－2 D.－2
√
若|a|＝|b|，则|a|2＝|b|2，
即m2＋(m－1)2＝2m2＋9，解得m＝－4.
(3)(2025·佛山模拟)已知a与b为两个不共线的单位向量，则
A.(a＋b)∥a
B.a⊥(a－b)
C.若〈a，b〉＝则〈a－b，b〉＝
D.若〈a＋b，a〉＝则〈a，b〉＝
√
选项A，若(a＋b)∥a，则可设a＝λ(a＋b)，即(1－λ)a＝λb，与a与b为两个不共线的单位向量矛盾，故A错误；
选项B，因为0<〈a，b〉<π，cos〈a，b〉<1，所以a·(a－b)＝|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝1－cos〈a，b〉≠0，故B错误；
选项C，若〈a，b〉＝则a·b＝|a||b|cos 所以(a－b)·b＝a·b－b2＝－|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝1，即|a－b|＝1，所以cos〈a－b，b〉＝＝－又0≤〈a－b，b〉≤π，所以〈a－b，b〉＝故C错误；
选项D，因为(a＋b)·a＝a2＋a·b＝1＋a·b，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2a·b，所以cos〈a＋b，a〉＝化简得1＋a·b＝又0<〈a，b〉<π，cos〈a，b〉≠－1，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≠－1，所以＝1，即a·b＝0，所以〈a，b〉＝故D正确.
例6 (多选)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况.假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|，且F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是
A.|F1|的最小值为|G|
B.θ的范围为[0，π]
C.当θ＝时，|F1|＝|G|
D.当θ＝时，|F1|＝|G|
√
平面向量的实际应用
题型三
√
√
由题意知，F1＋F2＋G＝0，
可得F1＋F2＝－G，两边同时平方得
|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos θ＝2|F1|2＋2|F1|2cos θ，
所以|F1|2＝.
当θ＝0时，|F1|min＝|G|；当θ＝时，|F1|＝|G|；
当θ＝时，|F1|＝|G|，故A，C，D正确；
当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B错误.
用向量方法解决实际问题的步骤
思维升华
跟踪训练3 冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜.小赵同学在练习冰球的过程中，以力F＝(6，24)作用于冰球，使冰球从点A(－1，－1)移动到点B(1，－1)，则F对冰球所做的功为
A.－18 B.18 C.－12 D.12
√
因为A(－1，－1)，B(1，－1)，所以＝(2，0)，又F＝(6，24)，
故力F对冰球所做的功为W＝F·＝12.
返回
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B C A D ACD BCD
题号 9 10 13 14 15 16 答案 1 - BC BCD 6 - 15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(1)=+=+
=+)==+
=-=+-=-.
11.
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(2)由题意可知，||===1，
=-
所以·=(-)·=--·
=--||||·cos=×4-×1-×2×1×=.
11.
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(1)分别以的方向为x轴、y轴的正方向，点B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
所以A(0，1)，C(2，0)，D(1，1)，E(λ，1)，
所以=(2，-1)=(λ，1)，
因为⊥所以·=2λ-1=0，
所以λ=.
12.
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(2)当λ=时，||==||==
因为·=2λ-1=
所以cos θ===.
12.
15
16
一、单项选择题
1.(2024·葫芦岛模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(a－b)的
值为
A.4 B.3 C.2 D.0
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
知识过关
答案
由题意知，a·(a－b)＝a2－a·b＝1－(－1)＝2.
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
2.(2025·西安模拟)平面向量a与b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝3，则|a－2b|等于
A.28 B.52 C.2 D.2
√
由题意可知
|a－2b|＝
＝＝2.
15
16
3.长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝6 km/h，如图，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于
A.－ B.－ C.－ D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
由题意知(v1＋v2)·v2＝0，
则v1·v2＋＝|v1||v2|·cos θ＋
＝60cos θ＋36＝0，
所以cos θ＝－.
15
16
4.(2025·鞍山模拟)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，向量a在向量b上的投影向量是b，则a与b夹角的余弦值为
A. B. C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
由向量a在向量b上的投影向量为b，
得··b，
又因为|a|＝2|b|，所以cos〈a，b〉＝.
答案
15
16
5.(2024·呼伦贝尔模拟)在△ABC中，AB⊥AC＝(－1)·＝6则AC等于
A. B.6 C.2 D.3
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
由AB⊥AC，得·＝0，
由＝(－1)
得.
由··()＝·
＝··()
＝＝6
所以||＝即AC＝.
答案
15
16
6.在△ABC中，设||2－||2＝2·()，那么动点M的轨迹必通过△ABC的
A.垂心 B.内心
C.重心 D.外心
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
15
16
设线段BC的中点为D，则＝2
因为||2－||2＝2·()，
所以()·()＝2·
即2·＝2·即·()＝0，
当时，点M和点D重合；
当≠时·＝0，即DM⊥BC，
所以DM垂直且平分线段BC，
因此动点M的轨迹是BC的垂直平分线，必通过△ABC的外心.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
15
16
二、多项选择题
7.下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是
A.(a＋b)·c＝a·c＋b·c
B.(a·b)·c＝a·(b·c)
C.a·b≤|a||b|
D.|a－b|≤|a|＋|b|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
答案
√
√
15
16
根据数量积的分配律可知A正确；
B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；
C中，根据数量积的定义可知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a||b|，故C正确；
D中，|a－b|2－(|a|＋|b|)2＝－2a·b－2|a||b|≤0，故|a－b|2≤(|a|＋|b|)2，即|a－b|≤|a|＋|b|，故D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
15
16
8.已知向量a＝(－2，1)，b＝(1，t)，则下列说法正确的是
A.若a∥b，则t的值为－2
B.|a＋b|的最小值为1
C.若|a＋b|＝|a－b|，则t的值为2
D.若a与b的夹角为钝角，则t的取值范围是∪
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
√
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
选项A，a∥b －2·t＝1·1 t＝－A选项错误；
选项B，|a＋b|＝|(－1，t＋1)|＝≥1，当且仅当t＝－1时取等号，B选项正确；
选项C，方法一 |a－b|＝|(－3，1－t)|＝根据解得t＝2，C选项正确；
方法二 因为|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0，所以a·b＝－2＋t＝0，解得t＝2，C选项正确；
答案
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
选项D，a与b的夹角为钝角，则a·b＝t－2<0，且两个向量不能反向共线，注意到A选项，当t＝－时，a＝－2b，于是t<2且t≠－D选项正确.
答案
15
16
三、填空题
9.(2024·西安模拟)已知单位向量e1⊥e2，向量a＝λe1－2e2，b＝2e1＋e2，若a⊥b，则实数λ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
因为a⊥b，所以a·b＝(λe1－2e2)·(2e1＋e2)＝2λ＋(λ－4)e1·e2－2＝2λ－2＝0，故λ＝1.
15
16
10.(2025·汕头模拟)已知△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且满足4
＝－2－3则cos∠AOB＝ ·＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
－
由4＝－2－3两边平方得
16＝4＋9＋12·
依题意，16＝4＋9＋12cos∠AOB，
所以cos∠AOB＝
·＝()··＝cos∠AOB－1＝－.
15
16
四、解答题
11.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，||＝2||＝2，∠BAD＝E是BC边的中点.
(1)试用表示；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
)＝
＝.
15
16
(2)求·的值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
由题意可知，||＝＝1
所以·＝()·
＝·
＝||||·cos
＝×4－×1－×2×1×.
15
16
12.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC＝λBC＝2AB＝2AD＝2.
(1)若⊥求实数λ的值；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
分别以的方向为x轴、y轴的正方向，点B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
所以A(0，1)，C(2，0)，D(1，1)，E(λ，1)，
所以＝(2，－1)＝(λ，1)，
因为⊥
所以·＝2λ－1＝0，
所以λ＝.
15
16
(2)若λ＝求与的夹角θ的余弦值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
当λ＝时，||＝||＝
因为·＝2λ－1＝
所以cos θ＝.
15
16
13.(多选)(2024·广州模拟)已知向量a，b不共线，向量a＋b平分a与b的夹角，则下列结论一定正确的是
A.a·b＝0
B.(a＋b)⊥(a－b)
C.向量a，b在a＋b上的投影向量相等
D.|a＋b|＝|a－b|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
能力拓展
√
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
如图，作向量＝a＝b，在 OACB中
＝a＋b＝a－b，
由向量a＋b平分a与b的夹角，得 OACB是菱形，
即|a|＝|b|.
对于A，a与b不一定垂直，A错误；
对于B，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，即(a＋b)⊥(a－b)，B正确；
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
对于C，a在a＋b上的投影向量为(a＋b)
＝(a＋b)，
b在a＋b上的投影向量为(a＋b)＝(a＋b)＝(a＋b)，C正确；
对于D，由选项A知，a·b不一定为0，则|a＋b|与|a－b|不一定相等，D错误.
15
16
14.(多选)已知向量a=(，1)，b=(cos θ，sin θ)，则下列说法正确的是
A.存在θ∈，使得a⊥b
B.存在θ∈，使得a∥b
C.对于任意θ∈，a·b∈(1，2］
D.对于任意θ∈，|a-b|∈[1，)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
√
√
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
对于A，a·b=cos θ+sin θ=2sin，若a⊥b，则2sin=0，因为θ∈，此时θ无解，故A错误；
对于B，若a∥b，则sin θ-cos θ=0，
即tan θ=，
因为θ∈，所以θ=，故B正确；
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
对于C，a·b=2sin，
因为θ∈，所以θ+∈，
则sin∈，
所以a·b=2sin∈(1，2］，故C正确；
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
对于D，|a-b|==，
因为θ∈，则θ-∈，
所以cos∈，
则|a-b|∈[1，)，故D正确.
15
16
15.(2024·抚州模拟)定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－8，则|a×b|＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6
答案
设向量a与b的夹角为θ∈[0，π]，
则cos θ＝＝－
因为θ∈[0，π]，可得sin θ＝
故|a×b|＝|a||b|sin θ＝2×5×＝6.
15
16
16.如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，点M满足=+)，则||= ；若点P是线段EC上的动点(包括端点)，则·的最小值是 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
-
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
建立如图所示的平面直角坐标系，
则A，B，C(1，0)，D，E，F(-1，0)，
则=(1，0)，=，
则=+)=，
则||==，
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
返回
设=λ(0≤λ≤1)，
则=+λ=，
则·=·
=3λ2-3λ=3-，
即当λ=时，·取到最小值为-.
15
16(共32张PPT)
第五章
必刷小题10 平面向量
与复数
数学
大
一
轮
复
习
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A A C A A D
题号 9 10 11 12 13 14 答案 AC AB AD 2 2 [2] 一、单项选择题
1.设向量a＝(3，4)，b＝(－1，1)，则cos〈a，b〉等于
A. B. C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
知识过关
答案
因为a＝(3，4)，b＝(－1，1)，
所以cos〈a，b〉＝.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
2.(2025·新乡模拟)设z＝，则等于
A.－1＋i B.－1－i C.1－i D.1＋i
√
z＝＝－1＋i，故＝－1－i.
3.在四边形ABCD中，若，且·＝0，则四边形ABCD是
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.梯形
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
∵，可知AB∥CD且AB＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由·＝0可知AB⊥AD，∴四边形ABCD为矩形.
答案
4.(2024·北京模拟)在复平面内，O是原点，向量对应的复数是－1＋i，将绕点O按逆时针方向旋转，则所得向量对应的复数为
A.－ B.－i C.－1 D.－i
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
如图，由题意可知＝(－1，1)，与x轴正方向的夹角为，绕点O逆时针方向旋转后，Z到达x轴上的点Z1处，又||＝||＝，所以Z1的坐标为(－，0)，所以对应的复数为－.
5.设M，N是圆O上两点，若MN＝2，则·等于
A.－4 B.－2 C.2 D.4
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
方法一 设MN的中点为P，则OP⊥MN，如图1，
所以·＝()···
＋0＝2.
方法二 ·＝||||cos∠OMN
＝||(||cos∠OMN)＝||·＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
方法三 设MN的中点为P，以的方向为x轴正方向，线段MN的中垂线为y轴建立如图所示平面直角坐标系，如图2，
则M(－1，0)，N(1，0)，设O(0，－m)，
所以＝(2，0)，＝(1，－m)，
因此·＝2.
6.设单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a上的投影向量为
A.－a B.－a C.a D.a
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
依题意得e1·e2＝1×1×cos ＝－，
|a|＝，
a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)
＝2－6＋e1·e2＝－，
因此b在a上的投影向量为|b|cos〈a，b〉a＝a＝－a.
答案
7.如图，已知在△ABO中，OA＝1，OB＝2，·＝－1，过点O作OD⊥AB于点D，则
A.
B.
C.
D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
∵·＝||||cos∠AOB
＝2cos∠AOB＝－1，
∴cos∠AOB＝－，
又∵0°<∠AOB<180°，
∴∠AOB＝120°.
在△AOB中，根据余弦定理可得
AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos 120°＝7，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
解得AB＝，
根据三角形面积公式S△AOB＝AB·OD＝OA·OB·sin 120°，
解得OD＝，
∴AD＝，
∴，
∴)＝.
8.已知△ABC的外接圆圆心为O，A＝120°，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的最小值为
A. B. C. D.2
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
设OA与BC交于点E，OE＝m，圆的半径为R，D为BC的中点，如图所示，则，
设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，
因为B，C，E三点共线，则λ＋μ＝1，
所以＝x＋y(λ＋μ)，
故x＋y＝(λ＋μ)＝，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
因为∠BAC＝120°，则∠COD＝60°，
所以OD＝Rcos 60°＝，
则≤m所以x＋y的最小值为2.
二、多项选择题
9.(2025·开封模拟)已知复数z1＝a＋i，z2＝1＋bi(其中i是虚数单位，a，b∈R)，若z1·z2为纯虚数，则
A.a－b＝0 B.a＋b＝0
C.ab≠－1 D.ab≠1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
因为z1＝a＋i，z2＝1＋bi，
所以z1·z2＝(a＋i)(1＋bi)＝a＋i＋abi＋bi2＝(a－b)＋(1＋ab)i，
又z1·z2为纯虚数，所以
即a－b＝0且ab≠－1.
10.已知z为复数，设z，，iz在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则
A.||＝|| B.⊥
C.||＝|| D.∥
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
设z＝a＋bi(a，b∈R)，∴A(a，b)，＝a－bi，∴B(a，－b)，
iz＝i(a＋bi)＝－b＋ai，∴C(－b，a)，
＝(a，b)，＝(a，－b)，＝(－b，a)，＝(－b－a，a－b)，＝(－b－a，a＋b)，
对于A，∵，∴||＝||，故选项A正确；
对于B，∵a·(－b)＋ba＝0，∴⊥，故选项B正确；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
对于C，∵||＝，||＝，
当ab≠0时，||≠||，故选项C错误；
对于D，∵a(a－b)－(－b)(－b－a)＝a2－2ab－b2，
a2－2ab－b2可以为零，也可以不为零，∴不一定平行于，故选项D错误.
答案
11.(2025·郑州模拟)已知O是坐标原点，平面向量a＝，b＝，c＝，且a是单位向量，a·b＝2，a·c＝，则下列结论正确的是
A.|c|＝|a－c|
B.若A，B，C三点共线，则a＝b＋c
C.若向量b－a与c－a垂直，则|b＋c－2a|的最小值为1
D.向量b－a与b的夹角正切值的最大值为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
在平面直角坐标系中，令a＝(1，0)，b＝(x1，b)，c＝(x2，c)，
由a·b＝2，a·c＝，
得x1＝2，x2＝，则b＝(2，b)，c＝，
对于A，a－c＝，
因此|a－c|＝＝|c|，A正确；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
对于B，由A，B，C三点共线，得＝(1－λ)＋λ，λ∈R，
即(1，0)＝(1－λ)(2，b)＋λ，
于是2(1－λ)＋λ＝1，解得λ＝，
即a＝b＋c，B错误；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
对于C，b－a＝(1，b)，c－a＝，
由向量b－a与c－a垂直，得bc＝，
而b＋c－2a＝，
则|b＋c－2a|＝≥，
当且仅当b＝c时取等号，C错误；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
对于D，令向量b－a与b的夹角为θ，b－a＝(1，b)，
当b＝0时，θ＝0，tan θ＝0，
当b≠0时，根据对称性不妨令b>0，D(1，b)，
则b－a＝，θ＝∠BOD，
显然tan∠DOA＝b，tan∠BOA＝，
tan θ＝tan(∠DOA－∠BOA)＝＝
≤，当且仅当b＝时取等号，D正确.
三、填空题
12.已知向量a＝(1，2)，b＝(m，4)，且a∥(2a＋b)，那么实数m的值为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
2
因为向量a＝(1，2)，b＝(m，4)，
所以2a＋b＝(2＋m，8)，
又因为a∥(2a＋b)，
所以2(2＋m)＝1×8 m＝2.
13.(2024·遵义模拟)已知复数z＝a－1＋(a＋3)i，a∈R，则|z|的最小值为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
能力拓展
2
|z|＝＝
≥2，
当且仅当a＝－1时取等号，所以|z|的最小值为2.
14.若平面向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，则|a＋b|＋|b|的取值范围为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
[2，]
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
|a＋b|＋|b|≥|(a＋b)＋b|＝|a＋2b|＝2，
设a＋2b＝c，则|c|＝2，
所以|c＋a|2＋|c－a|2＝2(|c|2＋|a|2)＝10，
|a＋b|＋|b|＝≤，
所以|a＋b|＋|b|的取值范围为[2，].(共46张PPT)
第五章
数学
大
一
轮
复
习
培优点5 平面向量奔驰定理与三
角形四心问题
奔驰定理将三角形的四心与向量完美地融合到一起，揭示了平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律，同时也加强了对三角形的认识，加深了对数学的理解.
重点解读
例1 如图1，O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，求证：SA+SB+SC=0.(图1与奔驰汽车的标志(图2)类似，故上述结论称为“奔驰”定理)
奔驰定理
题型一
如图，延长AO与BC相交于点D，
======λ，
则=λ-=λ(-)，
所以-(1+λ)++λ=0，
又=-=-，
所以++=0，
从而SA+SB+SC=0.
利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格遵循定理成立的条件，注意定理中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比.
思维升华
跟踪训练1 已知O是△ABC内部一点，满足+2+m=0，且=，则实数m等于
A.2 B.3 C.4 D.5
√
由奔驰定理得
S△BOC·+S△AOC·+S△AOB·=0，
又+2+m=0，
∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=1∶2∶m.
∴==，解得m=4.
命题点1 奔驰定理与重心
例2 已知G是△ABC的重心，求证：++=0.
奔驰定理与三角形四心问题
题型二
∵G是△ABC的重心，
∴SA=SB=SC，
由奔驰定理得++=0.
命题点2 奔驰定理与外心
例3 已知O是锐角△ABC的外心，求证：sin 2A+sin 2B+sin 2C=0.
由O是锐角△ABC的外心，
得||=||=||，
则∠AOB=2∠ACB，∠BOC=2∠BAC，
∠COA=2∠ABC，
于是SA∶SB∶SC=sin 2A∶sin 2B∶sin 2C，
根据奔驰定理得到sin 2A+sin 2B+sin 2C=0.
命题点3 奔驰定理与内心
例4 已知O是△ABC的内心，求证：a+b+c=0.(其中a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边长)
设△ABC的内切圆半径为r，O是△ABC的内心，则SA∶SB∶SC=∶∶=a∶b∶c.
根据奔驰定理得，O是△ABC的内心，
∴a+b+c=0.
命题点4 奔驰定理与垂心
例5 已知O是△ABC(非直角三角形)的垂心，求证：tan A+tan B+
tan C=0.
O是△ABC(非直角三角形)的垂心，
∴·=·=·，
∴||·||cos(π-C)
=||·||cos(π-A)
=||·||cos(π-B)，
∴||∶||∶||=cos A∶cos B∶cos C，
∴SA∶SB∶SC=tan A∶tan B∶tan C，
由奔驰定理得，O是△ABC(非直角三角形)的垂心，
∴tan A+tan B+tan C=0.
推论1：P是△ABC所在平面内任意一点，=++) G是△ABC的重心.
推论2：P是锐角△ABC所在平面内任意一点，= O是锐角△ABC的外心.
推论3：P是△ABC所在平面内任意一点(其中a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C所对的边长)，O是△ABC的内心 =.
推论4：P是△ABC(非直角三角形)所在平面内任意一点，O是△ABC(非直角三角形)的垂心 =.
思维升华
跟踪训练2 奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·+SB·+SC·=0.以下命题错误的是
A.若SA∶SB∶SC=1∶1∶1，则M为△ABC的重心
B.若M为△ABC的内心，则BC·+AC·+AB·=0
C.若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，
则SA∶SB∶SC=∶2∶1
D.若M为△ABC的垂心，3+4+5=0，则cos∠AMB=-
√
对于A，取BC的中点D，连接MD，如图，
由SA∶SB∶SC=1∶1∶1，则++=0，
所以2=+=-，
所以A，M，D三点共线，且=，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得==，所以M为△ABC的重心，故A正确；
对于B，由M为△ABC的内心，则可设其内切圆半径为r，
则有SA=BC·r，SB=AC·r，SC=AB·r，
所以r·BC·+r·AC·+r·AB·=0，即BC·+AC·+AB·=0，故B正确；
对于C，由M为△ABC的外心，则可设△ABC的外接圆半径为R，
又∠BAC=45°，∠ABC=60°，
则有∠BMC=2∠BAC=90°，∠AMC=2∠ABC=120°，∠AMB=2∠ACB=150°，
所以SA=R2·sin∠BMC=R2·sin 90°=R2，
SB=R2·sin∠AMC=R2·sin 120°=R2，
SC=R2·sin∠AMB=R2·sin 150°=R2，
所以SA∶SB∶SC=2∶∶1，故C错误；
对于D，如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E，
由M为△ABC的垂心，3+4+5=0，则SA∶SB∶SC=3∶4∶5，
又S△ABC=SA+SB+SC，则=4，=3，
设MD=x，MF=y，x，y>0，
则AM=3x，BM=2y，
所以cos∠BMD==cos∠AMF=，
即3x2=2y2，=，
所以cos∠BMD=，所以cos∠AMB=cos(π-∠BMD)=-，故D正确.
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C C C B B BCD AD
题号 9 10 答案 - 32 一、单项选择题
1.点P在△ABC内部，满足+2+3=0，则S△ABC∶S△APC为
A.2∶1 B.3∶2 C.3∶1 D.5∶3
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=1∶2∶3，所以S△ABC∶S△APC
=3∶1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
2.已知点G，O，H在△ABC所在平面内，满足++=0，||=||
=||，·=·=·，则点G，O，H依次为△ABC的
A.重心、外心、内心 B.重心、内心、外心
C.重心、外心、垂心 D.外心、重心、垂心
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
因为++=0，所以+=-，
设AB的中点为D，则+=2，所以-=2，
所以C，G，D三点共线，即G为△ABC的中线CD上
的点，且GC=2GD，
所以G为△ABC的重心；
因为||=||=||，所以OA=OB=OC，所以O为△ABC的外心；
因为·=·=··(-)=0，即·=0，
所以⊥⊥⊥，所以H为△ABC的垂心.
3.已知G是△ABC的重心，若=x+y，x，y∈R，则x+y等于
A.-1 B.1 C. D.-
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
由=x+y，
可得=x(-)+y(-)，
即(x+y)-x+(1-y)=0.
因为G是△ABC的重心，
所以x+y=-x=1-y，
解得x=-，y=，
则x+y=.
答案
4.设O是平面α内一定点，A，B，C是平面α内不共线的三点，平面α内的动点P满足=+λ，λ∈[0，+∞)，则点P的轨迹经过△ABC的
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
·=·+λ·=·+λ(-||+||)=·，
则·-·=0，
即·=0，故AP⊥BC，
即点P的轨迹经过△ABC的垂心.
答案
5.已知点A，B，C，P在同一平面内，=，=，=，则S△ABC∶S△PBC等于
A.14∶3 B.19∶4
C.24∶5 D.29∶6
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
由=-=-)，
整理可得=+=+，
由==-)，
整理可得=-，
所以-=+，
整理得4+6+9=0，
由奔驰定理可得S△ABC∶S△PBC=(4+6+9)∶4=19∶4.
6.如图，已知O是△ABC的垂心，且+2+3=0，
则cos∠ACB等于
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
由题意知，△ABC为锐角三角形，如图，延长CO交AB于点P，
∵O是△ABC的垂心，∴OP⊥AB，
设△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为S1，S2，S3，
∴S1∶S2=∶
=BP∶AP=(OPtan∠POB)∶(OPtan∠POA)=tan∠COB∶
tan∠COA=tan(π-∠BAC)∶tan(π-∠ABC)=tan∠BAC∶tan∠ABC，
同理可得S1∶S3=tan∠BAC∶tan∠ACB，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
∴S1∶S2∶S3=tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB.
由奔驰定理可知，S1·+S2·+S3·=0，
∴tan∠BAC·+tan∠ABC·+tan∠ACB·=0.
又+2+3=0，
∴tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB=1∶2∶3.
不妨设tan∠BAC=k，tan∠ABC=2k，tan∠ACB=3k，其中k≠0，
∵tan∠BAC=-tan(∠ABC+∠ACB)=-，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
∴k=-，解得k=±1.
当k=-1时，此时tan∠BAC<0，tan∠ABC<0，tan∠ACB<0，则∠BAC，∠ABC，∠ACB都是钝角，不合题意，舍去，
故k=1，则tan∠ACB=3>0，故∠ACB为锐角，
∴解得cos∠ACB=.
二、多项选择题
7.若O，P是锐角△ABC内的点，A，B，C是△ABC的三个内角，且满足++=，·=·=·，则
A.S△PAB∶S△PBC∶S△PCA=4∶3∶2
B.∠A+∠BOC=π
C.||∶||∶||=cos A∶cos B∶cos C
D.tan A·+tan B·+tan C·=0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
√
答案
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
因为++=++=-++=0，所以=--，
又由奔驰定理S△PBC+S△PCA+S△PAB=0，得=--，
因为不共线，所以-=-，-=-，
所以S△PAB∶S△PBC∶S△PCA=4∶2∶3，故A错误；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
延长AO，BO，CO分别与角A，B，C的对边交于点D，E，F，如图，
由·=··(-)=·=0，所以OB⊥AC，同理OC⊥AB，OA⊥BC，所以O是△ABC的垂心，
在四边形AEOF中，∠A+∠EOF=π，∠EOF=∠BOC，
所以∠A+∠BOC=π，故B正确；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
由·=·=·，得||||cos∠AOB=||||cos∠BOC=||||cos∠AOC，
所以||∶||∶||=cos∠BOC∶cos∠AOC∶cos∠AOB，
由选项B得cos∠BOC=-cos A，
同理，cos∠AOC=-cos B，cos∠AOB=-cos C，
所以||∶||∶||=cos A∶cos B∶cos C，故C正确；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
由上述解析知，
S△OBC=OB·OCsin∠BOC=OB·OCsin A，
S△OAC=OA·OCsin∠AOC=OA·OCsin B，
S△OAB=OA·OBsin∠AOB=OA·OBsin C，
所以S△OBC∶S△OAC∶S△OAB=∶∶，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
又||∶||∶||=cos A∶cos B∶cos C，
得S△OBC∶S△OAC∶S△OAB=∶∶=tan A∶tan B∶tan C，
由奔驰定理S△OBC·+S△OAC·+S△OAB·=0，
得tan A·+tan B·+tan C·=0，故D正确.
8.设锐角△ABC内部的一点O满足OA=OB=OC，角A，B，C是△ABC的三个内角，且++=0，则角A的大小可能为
A. B. C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
锐角△ABC内部的一点O满足OA=OB=OC，则O为△ABC的外接圆的圆心，设外接圆的半径为R，
因为++=0，
所以+-)+-)=0，
从而+·-)+·-)=0，
即R2+(R2cos∠AOB-R2)+(R2cos∠AOC-R2)=0，
进而得+(cos 2C-1)+(cos 2B-1)=0，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
即+(-2sin2C)+(-2sin2B)=0，
所以=2sin Ccos B+2sin Bcos C
=2sin(B+C)=2sin A，
即2sin Acos A=，所以sin 2A=，
因为0所以2A=，所以A=.
答案
三、填空题
9.已知P为△ABC的外心，角A，B，C是△ABC的三个内角，且+=
λ，tan C=，则实数λ的值为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
-
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
由题意知，△ABC为锐角三角形，由P为△ABC的外心，
可知sin 2A·+sin 2B·+sin 2C·=0，
又由题设得+=λ，
即+-λ=0，
比较两式，可知sin 2A∶sin 2B∶sin 2C=1∶1∶(-λ)，
得到sin 2A=sin 2B，所以2A=2B或2A=π-2B.
若2A=π-2B，则A+B=，
此时△ABC为直角三角形，不符合题意；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
若2A=2B，则A=B，
由A+B+C=π知2A=π-C，
sin 2A=sin(π-C)=sin C.
由sin 2A∶sin 2B∶sin 2C=1∶1∶(-λ)，
可得λ=-=-=-2cos C，
由tan C=，C为锐角，可得cos C=，所以λ=-.
10.已知I为△ABC的内心，且5=4(+).记R，r分别为△ABC的外接圆、内切圆的半径，若r=15，则R= .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
32
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
依题意，有5+4+4=0.
由三角形内心的向量表示，若a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边的边长，I为△ABC的内心，则a+b+c=0，
得a∶b∶c=5∶4∶4，可设a=10k(k>0)，则b=c=8k.
作AD⊥BC于点D(图略)，则AD=k，
S△ABC=a·AD=5k2，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
又r=15，S△ABC=(a+b+c)r=195k，
所以k=.
因为sin B==，
所以2R===8×=64，所以R=32.
答案(共54张PPT)
第五章
§5.4 平面向量中
的综合问题
数学
大
一
轮
复
面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合.其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等.
重点解读
例1 (1)设P是△ABC所在平面内一点，若·()＝2·，且－2·，则点P是△ABC的
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
√
平面向量在几何中的应用
题型一
由·()＝2·，
得·(－2)＝0，
即·[()＋()]＝0，
所以·()＝0.
设D为AB的中点，则·2＝0，
故·＝0.
由－2·，
得()·()＝－2·，
即(－2)·＝0.
设E为BC的中点，则(2－2)·＝0，
则2·＝0，故·＝0.
所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，
所以P是△ABC的外心.
(2)△ABC的外心O满足＝0，||＝，则△ABC的面
积为
A. B. C. D.2
√
设AB的中点为D，
则＝0可化为2＝0，
即＝－，
∴O，D，C三点共线且CD⊥AB，
∴△ABC为等腰三角形，
||2＝||2＋||2，
设△ABC外接圆的半径为R，
则R2＝，
解得R＝1，CD＝1＋，
∴S△ABC＝|AB||CD|＝××.
用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题 向量问题 解决向量问题 解决几何问题.
思维升华
跟踪训练1 (1)在△ABC中，若···，则点O是△ABC的
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
√
∵··，
∴·()＝0，∴·＝0，
∴OB⊥CA，
即OB为△ABC边CA上的高所在的直线.
同理·＝0，·＝0，
∴OA⊥BC，OC⊥AB，
故O是△ABC的垂心.
(2)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，
则ED的长为 .
以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，)，C(3，)，D(3，0)，＝(3，)，
设＝λ，则E的坐标为(3λ，λ)，
故＝(3λ，λ－).
因为BE⊥AC，所以·＝0，
即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝，所以E，
故，||＝，即ED＝.
命题点1 与平面向量基本定理有关的最值问题
例2 已知，是两个夹角为120°的单位向量，如图所示，点C在以O为圆心的上运动.若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大
值是
A. B.2
C. D.3
和向量有关的最值问题
题型二
√
由题意，以O为原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，设C(cos θ，sin θ)，0°≤θ≤120°，
可得A(1，0)，B，由＝x(1，0)＋y＝(cos θ，sin θ)，
得x－y＝cos θ，y＝sin θ，∴y＝sin θ，
∴x＋y＝y＝cos θ＋sin θ＝2sin(θ＋30°)，
∵0°≤θ≤120°，∴30°≤θ＋30°≤150°，
∴当θ＝60°时，x＋y的最大值为2，此时C为的中点，∴x＋y的最大值是2.
命题点2 与数量积有关的最值问题
例3 在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是
A.[－5，3] B.[－3，5]
C.[－6，4] D.[－4，6]
√
方法一 (坐标法)
以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(3，0)，B(0，4).
设P(x，y)，则x2＋y2＝1，＝(3－x，－y)，＝(－x，4－y)，
所以·＝x2－3x＋y2－4y＝＋(y－2)2－.
又＋(y－2)2表示圆x2＋y2＝1上一点到点距离的平方，圆心(0，0)到点的距离为，
所以·∈，
即·的取值范围是[－4，6].
方法二 (极化恒等式法)
设AB的中点为M，与的夹角为θ，
由题意知AB＝5，CM＝.
由极化恒等式得·＝()2－－2·＋1－5cos θ－＝1－5cos θ，
因为cos θ∈[－1，1]，
所以·的取值范围是[－4，6].
命题点3 与模有关的最值问题
例4 已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是
A.[－1，＋1] B.[－1，]
C.[，＋1] D.[2－，2＋]
√
a，b是单位向量，a·b＝0，设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，|c－a－b|
＝|(x－1，y－1)|＝＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴|c|表示以(1，1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，
故－1≤|c|≤＋1，∴－1≤|c|≤＋1.
向量求最值(范围)的常用方法
(1)利用三角函数求最值(范围).
(2)利用基本不等式求最值(范围).
(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围).
(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值.
思维升华
跟踪训练2 (1)(2024·铜川模拟)在△ABC中，D是AB边上的点，满足AD＝2DB，E在线段CD上(不含端点)，且＝x＋y(x，y∈R)，则的最小值为
A.3＋2 B.4＋2
C.8＋4 D.8
√
∵＝x＋y(x，y∈R)，
AD＝2DB，∴＋y，
又E在线段CD上(不含端点)，
∴＋y＝1，且x>0，y>0，
∴＝4＋≥4＋2，
当且仅当，即x＝，y＝时，等号成立，∴的最小值为4＋2.
(2)(2025·韶关模拟)已知平面向量a，b，c均为单位向量，且|a＋b|＝1，则
向量a与b的夹角为 ，(a＋b)·(b－c)的最小值为 .
－
由题意知，|a|＝|b|＝|c|＝1，
由|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1，
得a·b＝－，所以cos〈a，b〉＝＝－，
又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，
即a与b的夹角为，
(a＋b)·(b－c)＝a·b＋b2－(a＋b)·c
＝－|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉
＝－cos〈a＋b，c〉，
又cos〈a＋b，c〉∈[－1，1]，
所以≥－cos〈a＋b，c〉≥－，
当且仅当a＋b与c同向时，右侧等号成立.
所以(a＋b)·(b－c)的最小值为－.
(3)(2024·会宁模拟)已知单位向量a，b满足|3a－4b|＝m，则实数m的取值范围是 .
[1，7]
设a，b的夹角为θ(θ∈[0，π])，
因为|3a－4b|2＝9a2－24a·b＋16b2＝9|a|2－24|a||b|cos θ＋16|b|2，
又a，b为单位向量，
则m2＝9＋16－24cos θ＝25－24cos θ，
又cos θ∈[－1，1]，则1≤m2≤49，
所以1≤m≤7.
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C C A C C ABD BCD
题号 9 10 答案 4- 一、单项选择题
1.(2025·昆明模拟)设x>0，向量＝(x2，－2x)在向量＝(1，2)上的投影向量为λ(λ∈R)，则实数λ的最小值为
A.－ B.－ C.－ D.－
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
向量在向量上的投影向量为·，
则λ＝≥－，
当且仅当x＝2时，等号成立，所以λ的最小值为－.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
2.已知点P是边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，若||＝1，则||的最大值是
A.2－1 B.2
C.2＋1 D.2＋2
√
由－()＝，||＝1，
得||＝1，即点P在以点C为圆心，1为半径的圆周上运动，
所以||的最大值为＋1＝2＋1.
3.已知非零向量与满足·＝0且·，则△ABC的形状是
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
由·＝0，得角A的平分线垂直于BC，
所以AB＝AC，设，的夹角为θ，
而·＝cos θ＝，
又θ∈[0，π]，所以θ＝，∠A＝π－，故△ABC为等腰三角形.
答案
4.在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，点D满足＝2，AD＝，则BC的长为
A.3 B.3 C.3 D.6
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
因为＝2，
所以＝)＝，
设AB＝x，x>0，
则||2＝，
得37＝x2＋×x×9cos 60°＋×92，
即2x2＋9x－126＝0，
解得x＝6(舍负)，即AB＝6，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
所以||＝||
＝
＝＝3.
答案
5.在平行四边形ABCD中，点P在对角线AC上(包含端点)，且AC＝2，则()·有
A.最大值为，没有最小值
B.最小值为－，没有最大值
C.最小值为－，最大值为4
D.最小值为－4，最大值为
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
设AC与BD的交点为O，则＝2，所以()·＝2·，
如图(1)，当点P在AO上，设||＝a∈[0，1]，()·＝2·＝
－2a(1－a)，当a＝时，有最小值为－.
如图(2)，当点P在CO上，设||＝a∈[0，1]，
()·＝2·＝2a(1＋a)，
当a＝1时，有最大值为4.
综上，()·有最小值为－，最大值为4.
6.(2024·呼和浩特模拟)在△ABC中，D为线段AC的一个三等分点，AD＝2DC.连接BD，在线段BD上任取一点E，连接AE，若＝a＋b(a，b∈R)，则a2＋b2的最小值为
A. B. C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
设＝λ，λ∈[0，1]，
因为AD＝2DC，
所以＋λ＋λ()＝＋(1－λ)，
所以a＝，b＝1－λ，
所以a2＋b2＝λ2＋(1－λ)2＝λ2－2λ＋1，
当λ＝－时，a2＋b2取得最小值为.
答案
二、多项选择题
7.设点D是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的有
A.若)，则点D是边BC的中点
B.若，则直线AD过△ABC的垂心
C.若＝2，则点D在边BC的延长线上
D.若＝x＋y，且x＋y＝，则△BCD是△ABC面积的一半
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
√
答案
√
√
对于A，∵)，
即，即，
即点D是边BC的中点，故A正确；
对于B，·＝(－||＋||)＝0，即AD⊥BC，
故直线AD过△ABC的垂心，故B正确；
对于C，∵＝2，即，即，
即点D在边CB的延长线上，故C错误；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
对于D，∵＝x＋y，且x＋y＝，
设＝2，
则＝2＝2x＋2y，且2x＋2y＝1，
故M，B，C三点共线，且||＝2||，
即△BCD是△ABC面积的一半，故D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
8.已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足＋2＝0，＝2，记△APQ的面积为S，则下列说法正确的是
A.∥
B.
C.·<0
D.S＝4
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
由＋2＝0，＝2，
可知点P为AC的靠近点C的三等分点，点Q为AB延长线上的点，且B为AQ的中点，如图所示，对于A，点P为AC的靠近点C的三等分点，点B为AQ的中点，所以PB与CQ不平行，故A错误；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
对于B，)＝，故B正确；
对于C，·＝||||cos π＝－||||<0，故C正确；
对于D，设△ABC的高为h，S△ABC＝|AB|h＝3，即|AB|h＝6，则△APQ的面积S＝|AQ|·h＝·2|AB|·h＝×6＝4，故D正确.
三、填空题
9.已知向量a＝(－3，2)，b＝(2，1)，则|a＋tb|(t∈R)的最小值为 ，
此时t的值为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
因为a＝(－3，2)，b＝(2，1)，
所以a＋tb＝(－3，2)＋t(2，1)＝(－3＋2t，2＋t)，
所以|a＋tb|＝＝
≥.
当且仅当t＝时取等号，
即|a＋tb|的最小值为，此时t＝.
10.(2025·长沙模拟)在Rt△ABC中，AB⊥AC，AC＝，AB＝1，平面ABC内动点P满足CP＝1，则·的最小值为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
4－
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
平面ABC内动点P满足CP＝1，
所以点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，
因为AB⊥AC，AC＝，AB＝1，
由勾股定理可得BC2＝AB2＋AC2＝4，
所以BC＝2，且cos C＝，
所以C＝30°，
所以·＝||·||cos 30°＝3，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
因为，，
所以·＝()·()＝··()＋，
因为||＝1，
所以·＝4＋·()，
||＝＝＝，
所以向量是长度为的一个向量，
由此可得，点P在圆C上运动，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
当与反向共线时，·()取得最小值为－，
故·的最小值为4－.
答案(共65张PPT)
第五章
§5.5 复 数
数学
大
一
轮
复
习
1.通过方程的解，认识复数.
2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.
3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 是复数的实部， 是复数的虚部，i为虚数单位.
(2)复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
a
复数
实数(b 0),
虚数(b 0)(当a 0时为纯虚数).
b
＝
≠
＝
(3)复数相等：
a＋bi＝c＋di (a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：
a＋bi与c＋di互为共轭复数 (a，b，c，d∈R).
(5)复数的模：
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作 或 ，即|z|＝|a＋bi|＝ (a，b∈R).
a＝c且b＝d
a＝c，b＝－d
|z|
|a＋bi|
2.复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Z(a，b).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
3.复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ；
④除法：＝ (c＋di≠0).
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即 ， .
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
i
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( )
(2)原点是实轴与虚轴的交点.( )
(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数.( )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )
√
×
×
√
2.(2024·新课标全国Ⅱ)已知z＝－1－i，则|z|等于
A.0 B.1 C. D.2
√
若z＝－1－i，
则|z|＝.
3.已知复数z＝i3(1＋i)，则z在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
z＝i3(1＋i)＝－i(1＋i)＝1－i，z在复平面内对应的点为(1，－1)，位于第四象限.
4.复数的共轭复数是 .
＝－2－i，故其共轭复数是－2＋i.
－2＋i
1.熟记与复数有关的常用结论
(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*).
(3)z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，，|zn|＝|z|n.
(4)r1≤|z|≤r2表示以原点O为圆心，以r1和r2为半径的两圆所夹的圆环；
|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆.
2.谨防两个易误点
(1)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.
(2)两个不全为实数的复数不能比较大小.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1 (1)(2024·白山模拟)复数z＝i＋2i2＋3i3，则z的虚部为
A.2i B.－2i C.2 D.－2
√
复数的概念
题型一
由z＝i＋2i2＋3i3可得z＝－2－2i，故z的虚部为－2.
(2)(2024·银川模拟)已知复数z＝m2－1＋(m＋i2)·i(m∈R)表示纯虚数，则m等于
A.1 B.－1 C.1或－1 D.2
√
因为z＝m2－1＋(m＋i2)·i＝m2－1＋(m－1)·i，
若复数z表示纯虚数，则解得m＝－1.
(3)(2025·晋中模拟)已知复数z＝1－2i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的根，则|a＋bi|等于
A. B.4 C. D.
√
由题意得，＝1＋2i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，
由根与系数的关系得1＋2i＋1－2i＝－a，(1＋2i)(1－2i)＝b，
故a＝－2，b＝1－4i2＝1＋4＝5，
故|a＋bi|＝|－2＋5i|＝.
解决复数概念问题的常用方法
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
(2)复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R b＝0(a，b∈R)；②z∈R z＝；③z∈R z2≥0.
(3)复数是纯虚数的条件
①z＝a＋bi是纯虚数 a＝0且b≠0(a，b∈R)；
②z是纯虚数 z＋＝0(z≠0)；③z是纯虚数 z2<0.
(4)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为＝a－bi，则z·＝|z|2＝||2，即|z|＝||＝.
思维升华
跟踪训练1 (1)(2024·海口模拟)下列关于复数的说法，正确的是
A.复数i是最小的纯虚数
B.在复数范围内，模为1的复数共有1，－1，i和－i四个
C.i与－i是一对共轭复数
D.虚轴上的点都表示纯虚数
√
虚数不能比大小，故A错误；
对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，但凡满足a2＋b2＝1，其模均为1，显然不
仅四个，比如a＝，b＝时，|z|＝1，故B错误；
由共轭复数的定义可知C正确；
原点(0，0)也在虚轴上，但不表示纯虚数，故D错误.
(2)(2025·南通模拟)已知复数z满足z2＝－3＋4i，则|z|等于
A. B.5 C. D.2
√
设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z2＝a2－b2＋2abi，又z2＝－3＋4i，
所以解得或
则z＝1＋2i或z＝－1－2i，
所以|z|＝.
(3)已知复数z满足4(1＋z)＝15＋8i，则z的实部为 .
设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
由4(1＋z)＝15＋8i，得4(a－bi)＋4(a2＋b2)＝15＋8i，
由复数相等的充要条件，得
解得
故z的实部为－.
－
例2 (1)(2024·新课标全国Ⅰ)若＝1＋i，则z等于
A.－1－i B.－1＋i
C.1－i D.1＋i
复数的四则运算
题型二
√
因为＝1＋＝1＋i，
所以z＝1＋＝1－i.
(2)设复数z＝，则z等于
A.1 B.－1 C.i D.－i
√
∵＝i，
∴z＝i2 025＝i4×506＋1＝i.
(3)(2024·南阳模拟)已知复数z满足＝2i，则z·＝ .
因为＝2i，
所以z－3＝2i(z－i)＝2＋2iz，
所以z＝＝1＋2i，
所以＝1－2i，则z·＝(1＋2i)(1－2i)＝5.
5
复数四则运算问题的解题策略
思维升华
复数的 加减法 在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算
复数的 乘法 复数的乘法类似于多项式的乘法，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并
复数的 除法 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式，这里的分母实数化可类比分母含根式的分母有理化
跟踪训练2 (1)(2023·新高考全国Ⅰ)已知z＝，则z－等于
A.－i B.i C.0 D.1
√
因为z＝＝＝－i，所以i，即z－＝－i.
(2)(2024·新乡模拟)在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2，－1)，则＝ .
由题意得复数z对应的点的坐标为(2，－1)，
故z＝2－i，＝2＋i，
故＝2i.
2i
(3)已知i为虚数单位，则i＋i2＋i3＋…＋i2 025＝ .
i＋i2＋i3＋i4＝0，
则i＋i2＋i3＋…＋i2 025＝506×0＋i＝i.
i
例3 (1)(2024·西宁模拟)已知复数z＝(a－1)－2ai(a∈R)，且|z|＝5，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则a等于
A.－2 B.－ C.2 D.
√
复数的几何意义
题型三
由题意|z|＝＝5，
得5a2－2a－24＝0，解得a＝－2或a＝，
因为z在复平面内对应的点位于第二象限，
所以故a<0，故a＝－2.
(2)已知i是虚数单位，复数z＝a＋bi(a，b∈R)，且|z－i|＝|z＋2－i|，则|z－3＋i|的最小值为
A.5 B.4 C.3 D.2
√
方法一 由|z－i|＝|z＋2－i|，得复数z在复平面内对应的点Z到点(0，1)与点(－2，1)的距离相等，则点Z在直线x＝－1上.
|z－3＋i|表示点Z与点(3，－)的距离，过点(3，－)作直线x＝－1的垂线，垂足为P(图略)，当点Z与点P重合时，|z－3＋i|取得最小值4.
方法二 因为z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z－i＝a＋(b－1)i，
z＋2－i＝(a＋2)＋(b－1)i，
由|z－i|＝|z＋2－i|，可得，
解得a＝－1，则z＝－1＋bi，
所以z－3＋i＝－4＋(b＋)i，
因此|z－3＋i|＝≥4，
当且仅当b＝－时，等号成立，
故|z－3＋i|的最小值为4.
复数的几何意义及应用
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系、一一对应，即z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) .
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.
思维升华
跟踪训练3 (1)(2025·南充模拟)当1A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
由1所以复数m－1＋(m－2)i在复平面内对应的点Z(m－1，m－2)位于第四
象限.
(2)已知复数z满足|z－2|＝1，则|z－i|的最小值为
A.1 B.－1 C.＋1 D.3
√
设z＝x＋yi(x，y∈R)，
因为|z－2|＝|x－2＋yi|＝＝1，
所以(x－2)2＋y2＝1，
即z在复平面内对应点的轨迹为圆C：(x－2)2＋y2＝1，
如图，
又|z－i|＝|x＋(y－1)i|＝，
所以|z－i|表示圆C上的点到点A(0，1)的距离，
所以|z－i|min＝CA－1＝－1.
返回
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B D A C ACD AC
题号 9 10 13 14 答案 4 i(或-i) B 16 cos +isin (答案不唯一) 答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(1)因为z是纯虚数，
所以解得m=-2.
(2)若m=2，则z=4+i，
故====+i=a+bi，
所以a=b=所以a+b=.
11.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(1)把x=-1+i代入方程x2+ax+b=0，
得(-a+b)+(a-2)i=0，
所以解得
12.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(2)由(1)知方程为x2+2x+2=0.
设另一个根为x2，由根与系数的关系，
得-1+i+x2=-2，所以x2=-1-i.
把x2=-1-i代入方程x2+2x+2=0，
则左边=(-1-i)2+2(-1-i)+2=0=右边，
所以x2=-1-i是方程的另一个根.
12.
一、单项选择题
1.(2024·沈阳模拟)已知a，b∈R，a－3i＝(b－i)i(i为虚数单位)，则
A.a＝1，b＝－3 B.a＝－1，b＝3
C.a＝－1，b＝－3 D.a＝1，b＝3
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
知识过关
答案
因为a－3i＝(b－i)i＝1＋bi，所以a＝1，b＝－3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
2.(2025·曲靖模拟)在复平面内，复数3＋2i，－2＋3i对应的向量分别是，，其中O是坐标原点，则向量对应的复数为
A.1＋i B.5－i
C.5－3i D.－5＋i
√
由题设＝(3，2)，＝(－2，3)，
则＝(－5，1)，
所以向量对应的复数为－5＋i.
3.(2024·台州模拟)已知复数z＝(i为虚数单位)，则
A.z的实部为2 B.|z|＝
C.＝2－I D.z在复平面内对应的点位于第一象限
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
z＝＝－(2＋i)i＝1－2i，故实部为1，|z|＝，＝1＋2i，z在复平面内对应的点为(1，－2)，位于第四象限.
答案
4.(2024·咸阳模拟)已知复数z＝m2－7m＋6＋(m2－36)i是纯虚数，则实数m的值为
A.±6 B.1或6 C.－6 D.1
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
由题意得m2－7m＋6＝0且m2－36≠0，则m＝1.
答案
5.(2025·固原模拟)已知复数z满足2＝z＋i，则z等于
A.－2－i B.2－i
C.－2＋i D.2＋i
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
依题意，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
因为＝2－2i，
所以由2＝z＋i，
可得2(a－bi)＋2－2i＝a＋bi＋i，
则(2a＋2)－(2b＋2)i＝a＋(b＋1)i，所以
解得所以z＝－2－i.
答案
6.已知复数z满足1≤|z－(1－i)|≤2，则复数z在复平面内对应的点Z所在区域的面积为
A.π B.2π C.3π D.4π
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
令z＝a＋bi(a，b∈R)，则1≤|(a－1)＋(b＋1)i|≤2，所以1≤(a－1)2＋
(b＋1)2≤4，即对应的点Z所在区域的面积是圆心为(1，－1)，半径分别为1，2的两个同心圆的面积差，所以所求区域的面积为4π－π＝3π.
答案
二、多项选择题
7.(2025·徐州模拟)已知复数z在复平面内对应的点为，则
A.|z|＝1 B.z＋＝1
C.z2＋z＋1＝0 D.z2 026＝z
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
答案
√
√
由题可知，z＝－i，|z|＝＝1，故A正确；
＝－i，z＋＝－1，故B错误；
z2＝i＝－i，所以z2＋z＋1＝－1＋1＝0，
故C正确；
z3＝z2·z＝·＝1，
所以z2 026＝z2 025·z＝·z＝z，故D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
8.(2024·临汾模拟)下列说法正确的是
A.若z＝－2＋i，则z在复平面内对应的点位于第二象限
B.若z满足z·i＝－1＋2i，则的虚部为1
C.若z是方程x2＋3＝0的根，则z＝±i
D.若z满足|z－1＋2i|＝2，则|z|的最大值为
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
对于A，z＝－2＋i在复平面内对应的点为(－2，1)，位于第二象限，故A正确；
对于B，因为z·i＝－1＋2i，所以z＝＝2＋i，则＝2－i，所以的虚部为－1，故B错误；
对于C，方程x2＋3＝0的根为±i，故C正确；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
对于D，设z＝x＋yi(x，y∈R)，若z满足|z－1＋2i|＝2，即|(x－1)＋(y＋2)i|＝2，所以＝2，即(x－1)2＋(y＋2)2＝4，则点(x，y)在以(1，－2)为圆心，2为半径的圆上，又圆心到坐标原点的距离为，所以|z|的最大值为＋2，故D错误.
答案
三、填空题
9.(2025·辽阳模拟)若复数z＝＋|3－4i|，则|z|＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
4
z＝＋|3－4i|＝＋5＝＋5＝8－4i，
|z|＝＝4.
10.写出一个同时满足①②的复数z＝ .
①z3＝；②z R.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
i(或－i)
因为z R，不妨设z＝bi(b∈R，b≠0)，
则(bi)3＝－b3i＝－bi，
解得b＝±1，即z＝±i符合.
四、解答题
11.已知复数z＝m2＋m－2＋(m－1)i(m∈R)，其中i为虚数单位.
(1)若z是纯虚数，求实数m的值；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
因为z是纯虚数，
所以解得m＝－2.
(2)若m＝2，设＝a＋bi(a，b∈R)，试求a＋b的值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
若m＝2，则z＝4＋i，
故i＝a＋bi，
所以a＝，b＝，所以a＋b＝.
12.已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根.
(1)求实数a，b的值；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，
所以解得
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0.
设另一个根为x2，由根与系数的关系，
得－1＋i＋x2＝－2，所以x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，
则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，
所以x2＝－1－i是方程的另一个根.
13.已知复数z1，z2和z满足|z1|＝|z2|＝1，若|z1－z2|＝|z1－1|＝|z2－z|，则|z|的最大值为
A.2 B.3 C. D.1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
能力拓展
根据题意，得|z|＝|(z2－z)－z2|≤|z2－z|＋|z2|＝|z1－1|＋1≤|z1|＋1＋1＝3，
当z1＝－1，z2＝1，z＝3时，|z1－z2|＝|z1－1|＝|z2－z|＝2，此时|z|＝3，
所以|z|max＝3.
14.在复平面内，复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应向量(O为坐标原点)，设||＝r，以射线Ox为始边，向量所在射线为终边，旋转的角为θ，则z＝r(cos θ＋isin θ)，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ).已知z＝(＋i)4，则||＝ ；若复数ω满足ωn－1＝0(n∈N*)，则称复数ω为n次单位根，若复数ω是6次单位根，且ω R，请写出一个满足
条件的ω＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
16
cos ＋isin (答案不唯一)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
∵＋i＝2，
∴z＝(＋i)4＝24，
则||＝|z|＝24＝16.
由题意知ω6＝1，
设ω＝cos θ＋isin θ，
则ω6＝cos 6θ＋isin 6θ＝1，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
∴
又ω R，∴sin θ≠0，
故可取θ＝，则ω＝cos ＋isin .
返回(共86张PPT)
第五章
§5.2 平面向量基本定理
及坐标表示
数学
大
一
轮
复
习
1.了解平面向量基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝ .
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量作正交分解.
不共线
λ1e1＋λ2e2
互相垂直
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝ ，a－b＝ ，λa＝ ，
|a|＝ .
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(λx1，λy1)
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则 坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ，
||＝ .
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b .
终点
(x2－x1，y2－y1)
x1y2－x2y1＝0
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底.( )
(2)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
(3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当且仅当x2y2≠0时，a∥b与等价.
( )
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b x1＝x2且y1＝y2.( )
√
×
√
√
2.设平面向量a＝(－1，0)，b＝(0，2)，则2a－3b等于
A.(6，3) B.(－2，－6)
C.(2，1) D.(7，2)
√
2a－3b＝2(－1，0)－3(0，2)＝(－2，－6).
3.在正方形ABCD中，E为DC的中点，若λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为
A. B.－ C.1 D.－1
√
因为E为DC的中点，所以，即，所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ.
4.已知平行四边形ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为 .
设D(x，y)，则，
得(3－(－1)，－1－(－2))＝(4，1)＝(5－x，6－y)，
即解得即D(1，5).
(1，5)
1.熟记以下常用结论
(1)如果对于一个基底{e1，e2}，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，那么可以得到即基底给定，同一向量的分解形式唯一.特别地，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0.
(2)已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G点坐标为.
微点提醒
2.谨防三个易误点
(1)基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量.因为零向量平行于任意向量，所以不能作为基底中的向量.
(2)a∥b的充要条件不能表示为，因为x2，y2有可能为0.
(3)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1 (1)(2025·盐城模拟)若{a，b}是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是
A.a－b，b－a B.2a＋b，a＋b
C.2b－3a，6a－4b D.a＋b，a－b
√
平面向量基本定理的应用
题型一
A选项，b－a＝－(a－b)，所以a－b，b－a共线，不能作为基底.
B选项，2a＋b＝2，所以2a＋b，a＋b共线，不能作为基底.
C选项，6a－4b＝－2(2b－3a)，所以2b－3a，6a－4b共线，不能作为
基底.
D选项，易知a＋b，a－b不共线，可以作为基底.
(2)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若λ＋μ(λ，μ∈R)，则 .
由题图可设x(0则x()＝x＋x.
因为λ＋μ，与不共线，
所以λ，μ＝x，所以.
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
思维升华
跟踪训练1 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记m，n，则等于
A.3m－2n B.－2m＋3n
C.3m＋2n D.2m＋3n
√
因为BD＝2DA，所以3，所以＋3＋3()＝－2＋3－2m＋3n.
(2)在△ABC中，点D在边AB的延长线上，AB＝2BD，m＋n，m，n∈R，则
A.m，n B.m，n
C.m，n D.m＝－，n
√
因为点D在边AB的延长线上，AB＝2BD，所以2，即2()，所以.又m＋n，由平面向量基本定理可得m，n.
例2 (1)在平行四边形ABCD中，(3，7)，(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为
A. B.
C. D.
平面向量的坐标运算
题型二
√
因为在平行四边形ABCD中，(3，7)，(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，所以.
(2)如图，在7×5正方形网格中，向量a，b满足a⊥b，则
等于
A.2a＋b B.－2a－b
C.－3a＋b D.3a－b
√
(－3，1).
令xa＋yb，得到(－3，1)＝x(1，0)＋y(0，2)＝(x，2y)，解得x＝－3，y.
所以－3a＋b.
以图中向量a，b的始点为坐标原点，a所在直线为x轴，b所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则a＝(1，0)，b＝(0，2)，C(2，5)，D(5，4).
(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解.
(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.
思维升华
跟踪训练2 (1)已知点A(0，1)，B(2，3)，向量(－3，1)，则向量等于
A.(1，－2) B.(－1，2)
C.(1，－3) D.(－1，3)
√
因为A(0，1)，B(2，3)，所以(2，2)，
所以(2，2)＋(－3，1)＝(－1，3).
(2)(2025·成都模拟)在正方形ABCD中，M是BC的中点.若λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为
A. B. C. D.2
√
在正方形ABCD中，以点A为原点，AB，AD所在直线
分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，
令AB＝2，则B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，M(2，1)，
(2，2)，(2，1)，(－2，2)，
λ＋μ(2λ－2μ，λ＋2μ)，
因为λ＋μ，所以
解得λ，μ，λ＋μ，
所以λ＋μ的值为.
例3 (1)(2024·临沂模拟)已知向量a＝(3，m)，b，若a∥b，则m等于
A.1 B.－1 C.9 D.－9
向量共线的坐标表示
题型三
√
因为向量a＝(3，m)，b，
若a∥b，则3×－m，即m＝－1.
(2)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为 .
(3，3)
方法一 (4，0)，(4，4)，(2，6)，
由O，P，B三点共线，可设λ(4λ，4λ)，λ∈R，则(4λ－4，4λ).
又(－2，6)，
由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ，所以(3，3)，
所以点P的坐标为(3，3).
方法二 设点P(x，y)，则(x，y)，因为(4，4)，且与共线，所以，即x＝y.
又(x－4，y)，(－2，6)，且与共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3).
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R).
思维升华
跟踪训练3 (1)(2025·景德镇模拟)已知向量a＝(2，3)，b＝(2，sin α－3)，c＝(2，cos α)，若(a＋b)∥c，则tan α的值为
A.2 B.－2 C. D.－
√
因为a＝(2，3)，b＝(2，sin α－3)，
所以a＋b＝(4，sin α)，
又c＝(2，cos α)且(a＋b)∥c，
所以4cos α＝2sin α，则tan α2.
(2)已知向量a＝(1，4)，b＝(2，3)，若c∥(a－b)，且|c|＝1，则c的坐标
为 .
或
因为a＝(1，4)，b＝(2，3)，
所以a－b＝(－1，1)，
因为c∥(a－b)，且|c|＝1，所以c＝±
又|a－b|所以c或c＝－.
定比分点是中点、三等分点的延伸拓展，在解决平面向量和解析几何题目中都有应用.
如图，线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是直线P1P2上异于P1，P2的点，当＝λ(λ≠0且λ≠－1)时点P的坐标是当λ>0时，
点P在线段P1P2上，称为内分点；当λ<0且λ≠－1时，点
P在线段P1P2的延长线上，称为外分点.
定比分点坐标公式
微拓展
典例 (1)若过两点P1(－1，2)，P2(5，6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比λ的值为
A.－ B.－ C. D.
√
设P(x，0)，则λ＝＝－.
(2)已知M(－2，7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且＝
－2则P点的坐标为
A.(－14，16) B.(22，－11)
C.(6，1) D.(2，4)
√
由＝2可知P分有向线段所成的比是λ＝2，设O为坐标原点，所以
则P即(2，4).
返回
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D D D A AD BCD
题号 9 10 13 14 15 16
答案 m≠- (2，4) ABC D 16 3
16
15
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(1)a+kc=(3+4k，2+k)，2b-a=(-5，2)，
由题意得2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0，
解得k=-.
(2)设d=(x，y)，
则d-c=(x-4，y-1)，
又a+b=(2，4)，(d-c)∥(a+b)，|d-c|=
11.
16
15
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
∴
解得或
∴d的坐标为(3，-1)或(5，3).
11.
16
15
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(1)如图，以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则D(0，1)，B(2，0)，MN
所以==(2，0)=(0，1)，
所以=
=λ+μ=(2λ，μ)，
12.
16
15
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
所以解得
(2)设=t=m+nt，m，n∈R，
因为==
又C(2，1)，则=(2，1)，
所以=(2，1)=.
12.
16
15
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
即解得
即=+
所以=t=t+t
又因为M，E，N三点共线，
所以t+t=1，则t=所以=+.
12.
16
15
一、单项选择题
1.已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
知识过关
答案
16
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
∵a－2b＋3c＝0，
∴c＝－(a－2b).
∵a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13，4)，
∴c＝－(a－2b).
16
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
2.(2024·北京模拟)已知向量a＝(λ＋1，3)，b＝(2，3)，若a与a＋b共线，则实数λ等于
A.－2 B.－1 C.1 D.2
√
∵a＝(λ＋1，3)，b＝(2，3)，
∴a＋b＝(λ＋3，6)，
又∵a与a＋b共线，
∴(λ＋1)×6－(λ＋3)×3＝0，解得λ＝1.
16
15
3.平面内任一向量m都可以表示成λa＋μb(λ，μ∈R)的形式，下列关于向量a，b的说法中正确的是
A.向量a，b的方向相同
B.向量a，b中至少有一个是零向量
C.向量a，b的方向相反
D.当且仅当λ＝μ＝0时，λa＋μb＝0
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
16
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
因为任一向量m＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
所以根据平面向量基本定理得，向量a，b不共线，故A，B，C不正确；
因为a，b不共线，所以当且仅当λ＝μ＝0时，λa＋μb＝0，故D正确.
答案
16
15
4.已知(1，－1)，C(0，1)，若2则点D的坐标为
A.(－2，3) B.(2，－3)
C.(－2，1) D.(2，－1)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
设D(x，y)，则(x，y－1)，2(2，－2)，
根据2得(x，y－1)＝(2，－2)，
即解得即D(2，－1).
答案
16
15
5.在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN交于点P，若AM＝5.5，则AP的长是
A.3.8 B.4 C.4.2 D.4.4
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
16
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
方法一 设e1e2，
则－3e2－e1，
2e1＋e2，
因为点A，P，M和点B，P，N分别共线，
所以存在实数λ，μ，使λ－λe1－3λe2μ2μe1＋μe2，
所以(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2，
又2e1＋3e2，
16
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
所以解得
所以所以APAM＝4.4.
方法二 设λλ∈R，
因为M是BC的中点，AN＝2NC，
则λλλ
又B，P，N三点共线，所以λ＋λ＝1，解得λ所以APAM＝4.4.
16
15
6.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，以AC为直径的半圆上有一点Mλλ则实数λ等于
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
16
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
则A(0，1)，C(1，0)，AC
则以AC为直径的圆的圆心为AC的中点D.
则以AC为直径的圆的方程为
设M(x，y)，
则(x，y)(1，0)(0，1)，
16
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
λλ(λλ)，
所以
由点M在圆上，
可得
即4λ2－(1＋)λ＝0，
解得λ或λ＝0(舍去).
16
15
二、多项选择题
7.已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，3)，则下列向量与2a＋b平行的是
A. B.(1，－3)
C.(1，－2) D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
答案
√
因为a＝(2，－1)，b＝(－1，3)，所以2a＋b＝(3，1)，故若向量(x，y)满足3y－x＝0，则该向量与2a＋b平行.检验易知A，D符合题意.
16
15
8.已知△ABC中，点P满足点Q在△PBC内(含边界)，其中x＋y则
A.若xy则2
B.若P，Q两点重合，则
C.存在x，y，使得x＋2y
D.存在x，y，使得x＋2y
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
√
16
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
对于A即3＋2故2－2则2故故A错误；
对于B，由得0，故P为△ABC的重心，则Q为△ABC的重心，故故B正确；
对于C，D，取AC的中点D，则x＋2y由点Q在△PBC内(含边界)，
答案
16
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
过点Q作MN∥BD(当点Q在线段BP上时，MN与BD重合)，
与线段CD交于点M，与射线AB交于点N，如图所示，
设kk∈[1，2]，则k
因为点M，Q，N三点共线，所以存在实数λ，使λ＋(1－λ)kλ＋k(1－λ)
因为x＋2y所以则x＋2y＝k∈[1，2]，故C和D
正确.
16
15
三、填空题
9.已知向量(3，4)(6，－3)(5－m，－3－m)，若点A，
B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件是 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
m≠－
16
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
因为(3，－7)(2－m，－7－m)，
又点A，B，C能构成三角形，
所以点A，B，C不共线，即与不共线，
所以3(－7－m)－(－7)(2－m)≠0，
解得m≠－.
16
15
10.在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若点A(1，2)，B(2，1)，
C(4，2)，则点D的坐标为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
(2，4)
16
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
∵在梯形ABCD中，CD＝2AB，AB∥CD，
∴2
设点D的坐标为(x，y)，则(4－x，2－y)，
又(1，－1)，∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，
即∴
∴点D的坐标为(2，4).
答案
16
15
四、解答题
11.平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，
由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
解得k＝－.
16
15
(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|求d的坐标.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
16
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，
又a＋b＝(2，4)，(d－c)∥(a＋b)，
|d－c|
∴
解得或
∴d的坐标为(3，－1)或(5，3).
16
15
12.如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1AC与MN相交于点E.
(1)若λ＋μ求实数λ和μ的值；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
16
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
如图，以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则D(0，1)，B(2，0)，MN
所以(2，0)(0，1)，
所以λ＋μ(2λ，μ)，
所以解得
16
15
(2)用向量表示.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
16
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
设tm＋nt，m，n∈R，
因为
又C(2，1)，则(2，1)，
所以(2，1).
即解得
16
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
即
所以ttt
又因为M，E，N三点共线，
所以t＋t＝1，则t
所以.
16
15
13.(多选)如图，在 OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且4若m＋n其中m，n∈R，则
A.m＋n B.m－n
C.2m＝3n D.3m＝2n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
能力拓展
√
√
16
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
在 OACB中
因为E是AC的中点，所以
所以
因为4所以
所以
因为m＋n
16
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
所以
所以解得
所以m＋nm－n2m＝3n.
16
15
14.(2025·昆明模拟)已知{e1，e2}是平面α内的一个基底，O为α内的定点.对于α内任意一点P，若xe1＋ye2(x，y∈R)，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标.若点A，B的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，关于下列命题正确的
A.点M(1，2)关于点O的对称点不一定为M'(－1，－2)
B.A，B两点间的距离为
C.若向量平行于向量则x1y2－x2y1的值不一定为0
D.若线段AB的中点为C，则点C的广义坐标为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
16
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
对于Ae1＋2e2，设M(1，2)关于点O的对称点为M'(x，y)，则－e1－2e2＝xe1＋ye2，因为e1，e2不共线，所以A错误；
对于B，因为x2e1＋y2e2－x1e1－y1e2＝(x2－x1)e1＋(y2－y1)e2，所以||
16
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
当向量e1，e2是相互垂直的单位向量时，A，B两点间的距离为否则距离不为B错误；
对于C，当与中至少一个是0时，x1y2－x2y1＝0；当与都不为0时，设λ(λ≠0)，有x1e1＋y1e2＝λx2e1＋λy2e2，即所以x1y2＝x2y1，
C错误；
对于D(x1e1＋y1e2＋x2e1＋y2e2)e1＋e2，所以线段AB中点C的广义坐标为D正确.
16
15
15.已知a=(x，y)，b=(x-1，9)(x>0，y>0)，若a∥b，则x+y的最小值为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
16
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
已知a=(x，y)，b=(x-1，9)(x>0，y>0)，
由a∥b，得9x-y(x-1)=0，即+=1，
则x+y=(x+y)=10++
≥10+2=16，
当且仅当=，即y=12，x=4时取等号.
15
16
16.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ，则λ+μ的最大值为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
3
16
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，则B(1，0)，D(0，2)，C(1，2)，则直线BD的方程为y=-2x+2，
设☉C方程为(x-1)2+(y-2)2=r2，
又=(1，0)，=(0，2)，
则=λ+μ=(λ，2μ)，
圆与直线BD相切，则半径r=.
P点坐标可表示为x=1+rcos θ=λ，y=2+rsin θ=2μ，
16
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
返回
则λ+μ=2+sin θ+rcos θ=2+sin(θ+φ)，
其中tan φ=2，
当sin(θ+φ)=1时，λ+μ有最大值，为2+×=3.
16
15