2026届高考数学【提高版】第一章　一元函数的导数及其应用 课件（9份打包）

(共84张PPT)
第一章
§1.6　一元二次方程、
不等式
数学
大
一
轮
复
习
1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.
2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.
3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系
方程的判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数的图象
方程的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1不等式的解集 _____________ ____________ ___
{x|xx2}
R
2.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) ；
(2)≥0(≤0) .
3.简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为 ，|x|0)的解集为 .
f(x)g(x)>0(<0)
f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
(－a，a)
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.
(　　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　　)
(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　　)
(4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　)
√
×
×
×
2.(2024·保山模拟)已知不等式x2－3x＋2≤0的解集为A，不等式<0的解集为B，则“x∈A”是“x∈B”的
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
√
由x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)≤0，解得1≤x≤2，所以A＝{x|1≤x≤2}，
由(x－2)(x－1)<0，解得1所以集合B是集合A的真子集，
所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.
3.若关于x的不等式x2＋(2m－1)x＋m2－m>0的解集为{x|x<3或x>4}，则m的值为　　　.
根据题意，方程x2＋(2m－1)x＋m2－m＝0的两根为3和4，
故有解得m＝－3.
－3
4.若关于x的不等式x2－2ax＋18>0恒成立，则实数a的取值范围为
　　　 　　　.
由题意有4a2－4×18<0，可得－3(－3，3)
谨防三个易误点
(1)含参不等式的求解，注意分类讨论思想的运用，对参数分类时要做到不重不漏.
(2)当未说明不等式为一元二次不等式时应分二次项系数等于零和不等于零两种情况讨论.
(3)当Δ<0时，注意区分不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是R还是 .
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(多选)下列选项中，正确的是
A.不等式－x2－x＋2>0的解集为{x|x<－2或x>1}
B.不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2}
C.不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D.设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件
√
求解一元二次不等式
题型一
命题点1　不含参的不等式
√
由题知方程－x2－x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式－x2－x＋2>0的解集为{x|－2因为 －1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3
≤x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确；
由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，
解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误；
由|x－1|<1，可得－1命题点2　含参的不等式
例2　已知函数f(x)＝ax2＋3x＋2.若a>0，解关于x的不等式f(x)>－ax－1.
不等式f(x)>－ax－1可化为ax2＋(a＋3)x＋3>0，即(ax＋3)(x＋1)>0.
因为a>0，
所以当－<－1，即0当－＝－1，即a＝3时，原不等式的解集为{x|x≠－1}；
当－>－1，即a>3时，原不等式的解集为.
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.
思维升华
跟踪训练1　解关于x的不等式：
(1)≤3；
由题意－3＝≤0，
可得解得x≤或x>1，
所以不等式的解集为∪(1，＋∞).
(2)ax2－(2a－1)x－2≥0.
不等式ax2－(2a－1)x－2≥0可化为(ax＋1)(x－2)≥0，
当a＝0时，x－2≥0，不等式的解集为[2，＋∞)；
当a>0时，不等式化为(x－2)≥0，其解集为∪[2，＋∞)；
当a<0时，不等式化为(x－2)≤0，
①当－<2，即a<－时，不等式的解集为；
②当－＝2，即a＝－时，不等式的解集为{2}；
③当－>2，即－例3　(1)(多选)(2025·蚌埠模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(－∞，1)∪(5，＋∞)，则下列结论正确的是
A.a>0
B.a＋b＋c>0
C.bx＋c>0的解集是
D.cx2－bx＋a<0的解集是
三个二次之间的关系
题型二
√
√
由题意可得1和5是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a<0，
由根与系数的关系可得1＋5＝－，1×5＝，得b＝－6a，c＝5a，
对于A，因为a<0，故A错误；
对于B，a＋b＋c＝a－6a＋5a＝0，故B错误；
对于C，不等式bx＋c>0，即－6ax＋5a>0，即6x－5>0，得x>，
所以不等式bx＋c>0的解集是，故C正确；
对于D，由不等式cx2－bx＋a<0，得a(5x2＋6x＋1)<0，即5x2＋6x＋1>0，
则(5x＋1)(x＋1)>0，得x>－或x<－1，
即解集为，故D正确.
(2)若关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1A.－
C.a<－ D.－√
方法一　显然a≠0；
令f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋9a，
当a>0时，f(1)<0，当a<0时，f(1)>0，
故af(1)<0，即a(11a＋2)<0，
解得－方法二　因为方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
所以
因为x1<1所以(x1－1)(x2－1)<0，
即x1x2－(x1＋x2)＋1<0，
则9＋＋1<0，解得－已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
思维升华
跟踪训练2　(1)若不等式ax2＋2x＋c<0的解集是∪，则不等式cx2－2x＋a≤0的解集是
A. B.
C.[－2，3] D.[－3，2]
√
因为不等式ax2＋2x＋c<0的解集是∪，
所以－和是方程ax2＋2x＋c＝0的两个实数根，
由解得
故不等式cx2－2x＋a≤0，即2x2－2x－12≤0，
解不等式x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，
所求不等式的解集是[－2，3].
(2)(多选)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)，则下列结论正确的是
A.x1＋x2＝2 B.x1x2<－3
C.－14
√
√
√
由题意得，a<0，且x1，x2是一元二次方程a(x＋1)(x－3)＋1＝0，即ax2－2ax＋1－3a＝0的两根，
所以x1＋x2＝－＝2，故A正确；
x1x2＝－3<－3，故B正确；
x2－x1＝＝2>4，故D正确；
由x2－x1>4，可得－1例4　已知函数f(x)＝mx2－(m－1)x＋m－1.
(1)若不等式f(x)<1的解集为R，求m的取值范围；
一元二次不等式恒成立问题
题型三
不等式f(x)<1，
即mx2－(m－1)x＋m－2<0，
当m＝0时，x－2<0，解得x<2，不符合题意；
当m≠0时，有
解得m<，
综上所述，m的取值范围为.
(2)若不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立，求m的取值范围；
不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立，
即m(x2－x＋1)≥1－x对一切x∈恒成立，
因为x2－x＋1＝>0，
则不等式等价于m≥对一切x∈恒成立，
由x∈，
得≤＝1，
当且仅当1－x＝，即x＝0时等号成立，
所以＝1，
所以m≥1，即m的取值范围是[1，＋∞).
(3)若不等式f(x)>2对一切m∈(0，2)恒成立，求x的取值范围.
不等式f(x)>2对一切m∈(0，2)恒成立，
即(x2－x＋1)m＋x－3>0对一切m∈(0，2)恒成立，
令h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3，
因为x2－x＋1＝>0，
所以函数h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3在(0，2)上单调递增，
则h(0)＝x－3≥0，解得x≥3，
所以x的取值范围为[3，＋∞).
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论.
思维升华
跟踪训练3　已知函数f(x)＝x2－3x＋a.
(1)若f(x)>0在R上恒成立，求实数a的取值范围；
f(x)＝x2－3x＋a＝＋a－，
则f(x)min＝f＝a－，
f(x)>0在R上恒成立，
即f(x)min＝a－>0，故a>.
故实数a的取值范围是.
(2)若f(x)<0在(－1，2)上恒成立，求实数a的取值范围.
f(x)＝x2－3x＋a＝＋a－，
f(x)在[－1，2]上的最大值为f(x)max＝f(－1)＝＋a－＝4＋a，
故f(x)在(－1，2)上满足f(x)<4＋a，
故4＋a≤0，解得a≤－4.
故实数a的取值范围是(－∞，－4].
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课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D A C D C BC ACD
题号 9 10 13 14 15 16
答案 (-2，3) 31 B AD 　
(答案不唯一)　
(3，+∞)
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(1)因为不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}，
所以x1=1，x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个根，
所以
解得
11.
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(2)由(1)知原不等式为
x2-(m+2)x+2m<0，
即(x-m)(x-2)<0，
当m>2时，不等式解集为{x|2当m=2时，不等式解集为 ；
当m<2时，
不等式解集为{x|m11.
答案
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(1)因为一元二次不等式f(x)>0的解集为(-3，1)，
所以-3和1是方程ax2+bx+3=0的两个实根，则
解得
因此所求不等式即为x2-x-2>0，解集为{x|x<-1或x>2}.
12.
答案
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(2)f(x)≥mx2可化为(m+1)x2≤-2x+3，当x=0时显然成立；
当x≠0时，不等式可化为m+1≤-+3对 x∈[-1，0)∪(0，3]恒成立，令t=∈(-∞，-1]∪，则m+1≤-2t+3t2，
当t=，即x=3时，=-，
所以m+1≤-，即m≤-.
12.
答案
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一、单项选择题
1.(2024·威海模拟)设集合A＝{x||x－1|≥1}，B＝{x|x2－x－2<0}，则A∩B等于
A.(－2，0) B.(－1，0)
C.(－2，0] D.(－1，0]
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知识过关
答案
由题意得A＝{x|x≥2或x≤0}，B＝{x|－1所以A∩B＝{x|－115
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答案
2.若命题“ x∈R，－x2－2mx＋2m－3≥0”为真命题，则m的取值范围是
A.－1≤m≤3 B.－3≤m≤1
C.m≤－1或m≥3 D.m≤－3或m≥1
√
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答案
由题意知不等式－x2－2mx＋2m－3≥0有解.
即不等式x2＋2mx－2m＋3≤0有解.
设f(x)＝x2＋2mx－2m＋3，则函数f(x)的图象开口向上，
要使不等式f(x)≤0有解，则函数f(x)的图象与x轴有交点，
则Δ＝4m2－4(－2m＋3)≥0，化简得m2＋2m－3≥0，
解得m≤－3或m≥1.
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3.设p：实数m满足－1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
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答案
命题q：一元二次方程x2＋3x＋m＋1＝0有两个负数根，
所以解得－1所以p是q的充分不必要条件.
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4.(2025·桂林模拟)已知实数a为常数，且a≠0，函数f(x)＝(ax－1)(x－a)，甲同学：f(x)>0的解集为(－∞，a)∪；乙同学：f(x)<0的解集为(－∞，a)∪；丙同学：f(x)存在最小值.在这三个同学的论述中，只有一个是错误的，则a的取值范围为
A.a<－1 B.－1C.01
√
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若甲正确，则a>0且>a，则0若乙正确，则a<0且a<，则a<－1；
若丙正确，则二次函数的图象开口向上，即a>0；
因为只有一个同学的论述是错误的，所以只能乙的论述错误，故0答案
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5.当x∈(－1，1)时，不等式2kx2－kx－<0恒成立，则k的取值范围是
A.(－3，0) B.[－3，0)
C. D.
√
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当k＝0时，满足不等式恒成立；
当k≠0时，令f(x)＝2kx2－kx－，则f(x)<0在(－1，1)上恒成立，
函数f(x)图象的对称轴为x＝，
当k>0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，
则有解得0答案
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当k<0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，
则有f<0，解得－3综上可知，k的取值范围是.
答案
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6.已知关于x的不等式x2－ax＋1<0的解集为{x|x1A.－1 B.1
C.3 D.－1或3
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关于x的不等式x2－ax＋1<0的解集为{x|x1则Δ＝a2－4>0，解得a>2或a<－2，
有＋1＝ax1，＋1＝ax2，x1＋x2＝a，x1x2＝1，
－2x1＋1＋－2x2＋1＝ax1－2x1＋ax2－2x2＝(a－2)(x1＋x2)
＝a(a－2)＝3，
即a2－2a－3＝0，解得a＝3(a＝－1舍去).
答案
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二、多项选择题
7.关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(－1，2)，则下列结论正确的是
A.a<0
B.关于x的不等式bx＋c>0的解集为(－∞，－2)
C.4a－2b＋c>0
D.关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集为
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由已知可得a>0且－1，2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以A选项不正确；
由根与系数的关系可得
解得b＝－a，c＝－2a，
则不等式bx＋c>0可化为－ax－2a>0，即x＋2<0，
所以x<－2，所以B选项正确；
因为4a－2b＋c＝4a＋2a－2a＝4a>0，所以C选项正确；
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不等式cx2－bx＋a>0可化为－2ax2＋ax＋a>0，即2x2－x－1<0，
解得－故不等式cx2－bx＋a>0的解集为，所以D选项不正确.
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8.(2024·南平模拟)下列命题正确的是
A.若关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一个根比1大且另一个根比1小，
则a的取值范围是(－2，1)
B.若关于x的不等式x2－kx＋k－1<0在(1，2)上恒成立，则实数k的取值范
围是(－∞，3)
C.若关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式
>0的解集是{x|x>2或x<－1}
D.若＝1(a>0，b>0)，则的最小值为
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对于A，二次函数f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2的图象开口向上，
若关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一个根比1大且另一个根比1小，
则f(1)＝1＋(a2－1)＋a－2＝a2＋a－2<0，解得－2对于B，若关于x的不等式x2－kx＋k－1<0在(1，2)上恒成立，
则只需k(x－1)>x2－1，即k>x＋1在(1，2)上恒成立即可，
则实数k的取值范围是k≥3，故B错误；
答案
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对于C，若关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则a>0，a＝b，
所以关于x的不等式>0 >0 x<－1或x>2，故C正确；
对于D，若＝1(a>0，b>0)，则＝1≥2，解得≤，当且仅当a＝2，b＝4时等号成立，
所以＝1－≥1－，当且仅当a＝2，b＝4时等号成立，故D正确.
答案
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三、填空题
9.甲、乙两人解关于x的不等式x2＋bx＋c<0，甲写错了常数b，得到的解集为(－3，2)，乙写错了常数c，得到的解集为(－3，4).那么原不等式的解集为　　　　 .
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答案
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答案
依题意知，c＝－3×2＝－6，－b＝－3＋4＝1，即b＝－1，因此不等式x2＋bx＋c<0，
即x2－x－6<0，解得－2所以原不等式的解集为(－2，3).
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16
10.定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合B＝，则A∩B的非空子集个数为　　　.
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答案
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x∈N*，
当x＝1时，＝－7<1，则1∈B，
当x>2时，不等式<1化为x2－4x－5>0，解得x>5，
所以B＝{x|x>5，x∈N*或x＝1}，
又A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
所以A∩B＝{1，6，7，8，9}，它的子集有32个，非空子集有31个.
答案
15
16
四、解答题
11.已知不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a，b的值；
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答案
因为不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}，
所以x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个根，
所以解得
15
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(2)解不等式ax2－(am＋b)x＋bm<0.
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答案
由(1)知原不等式为x2－(m＋2)x＋2m<0，
即(x－m)(x－2)<0，
当m>2时，不等式解集为{x|2当m＝2时，不等式解集为 ；
当m<2时，不等式解集为{x|m15
16
12.设函数f(x)＝ax2＋bx＋3，关于x的一元二次不等式f(x)>0的解集为(－3，1).
(1)求不等式x2＋ax＋b>0的解集；
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答案
因为一元二次不等式f(x)>0的解集为(－3，1)，
所以－3和1是方程ax2＋bx＋3＝0的两个实根，则
解得
因此所求不等式即为x2－x－2>0，解集为{x|x<－1或x>2}.
15
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(2)若 x∈[－1，3]，f(x)≥mx2，求实数m的取值范围.
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答案
f(x)≥mx2可化为(m＋1)x2≤－2x＋3，当x＝0时显然成立；
当x≠0时，不等式可化为m＋1≤－＋3对 x∈[－1，0)∪(0，3]恒成立，
令t＝∈(－∞，－1]∪，则m＋1≤－2t＋3t2，
当t＝，即x＝3时，＝－，
所以m＋1≤－，即m≤－.
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能力拓展
13.(2025·八省联考)已知函数f(x)=x|x-a|-2a2.若当x>2时,f(x)>0,则实数a的取值范围是
A.(-∞,1] B.[-2,1]
C.[-1,2] D.[-1,+∞)
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答案
f(x)=x|x-a|-2a2=
若a>2,当2所以f(x)<0,不符合题意;
若02时,f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x>2a,
则2a≤2,即0若a=0,当x>2时,f(x)=x2>0恒成立,符合题意;
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答案
若a<0,当x>2时,f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x>-a,
则-a≤2,即-2≤a<0.
综上,-2≤a≤1,故a的取值范围是[-2,1].
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答案
14.(多选)已知k∈Z，若关于x的不等式x2－xA.－1 B.1 C.2 D.3
√
√
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答案
关于x的不等式x2－x即x2－(k＋1)x＋k<0，
即(x－1)(x－k)<0，
当k＝1时，(x－1)(x－k)<0即(x－1)2<0，
解集为空集，不符合题意；
当k>1时，(x－1)(x－k)<0的解满足1要使得关于x的不等式x2－x由于k∈Z，故k＝3；
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答案
当k<1时，(x－1)(x－k)<0的解满足k要使得关于x的不等式x2－x由于k∈Z，故k＝－1，
综上，k的可能取值为－1，3.
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15.德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中首次定义了取整函数y=[x]，其中[x]表示“不超过x的最大整数”，如[3.14]=3，[0.618]=0，
[-2.718 28]=-3.写出满足[x]=1的一个x的值：　　　　　　　；关于x的方程=1的解集为　　　　　.
(答案不唯一)
(3，+∞)
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答案
15
根据取整函数y=[x]的定义，当[x]=1时，1≤x<2，故取x=；
∵=1，∴1≤<2，解得x>3.
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16.(2025·日照模拟)若存在实数m，使得对于任意的x∈[a，b]，不等式m2+
sin xcos x≤2sin·m恒成立，则当b-a取得最大值时，=____.
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16
因为m2+sin xcos x≤2sin·m恒成立，
即m2-2sin·m+sin xcos x≤0恒成立，
若存在实数m，使得上式成立，
则Δ=4sin2-4sin xcos x
=2-2cos-2sin 2x
=2-2sin 2x-2sin 2x=2-4sin 2x≥0，
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答案
返回
15
16
可得sin 2x≤，可得2kπ-≤2x≤2kπ+，k∈Z，
解得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
由题意知，[a，b] ，k∈Z，
则当b-a取得最大值时，a=kπ-，b=kπ+，k∈Z，
则a+b=-+2kπ，k∈Z，
此时==，k∈Z.(共28张PPT)
第一章
必刷小题1　集合、常用逻辑
用语、不等式
数学
大
一
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复
习
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A A D A B D A
题号 9 10 11 12 13 14
答案 ABC ABD AD (0，2) (-∞，-1)∪(2，+∞) 1 024
一、单项选择题
1.(2024·厦门模拟)已知集合A＝{x||x－1|≤4}，B＝，则A∩( RB)等于
A.(0，4) B.[0，4)
C.[－3，0]∪(4，5] D.[－3，0)∪(4，5]
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答案
由|x－1|≤4，得－4≤x－1≤4，
∴－3≤x≤5，则A＝[－3，5]，
由≥0，得
∴0故A∩( RB)＝[－3，0]∪(4，5].
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答案
2.已知直线a，b和平面α，a α，b∥α，则“a∥b”是“a∥α”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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答案
因为b∥α，则存在c α使得b∥c且b α，
若a∥b且a α，则a∥c，
又a α且c α，所以a∥α，充分性成立；
设β∥α，b β，a β，a∩b＝P，则有a∥α，但a，b不平行，即必要性不成立，则“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件.
3.已知集合A＝{x|xA.{a|a≥1} B.{a|a>1}
C.{a|a≤1} D.{a|a<1}
√
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14
因为B＝{x|x≥1}， RB＝{x|x<1}，
因为( RB)∪A＝A，所以( RB) A，
所以a≥1.
答案
4.已知a>b>0>c，n∈Z，则下列不等式一定成立的是
A.abb－c
C.an>bn D.b(b－c)√
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答案
对于A，由a>b>0>c，可得ab>0>bc，所以A错误；
对于B，例如，当a＝2，b＝1，c＝－3时，可得a－b对于C，例如，当a＝2，b＝1，n＝－1时，a－1对于D，由a>b>0>c，可得05.关于x的不等式ax2－2x＋1>0对 x∈R恒成立的一个必要不充分条件是
A.a>0 B.a>1
C.02
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当a＝0时，则有－2x＋1>0，解得x<，不符合题意；
当a≠0时，有解得a>1.
综上所述，关于x的不等式ax2－2x＋1>0对 x∈R恒成立的充要条件为a>1，
所以一个必要不充分条件是a>0.
答案
6.已知a2＋b2＝ab＋4，则a＋b的最大值为
A.2 B.4 C.8 D.2
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a2＋b2＝ab＋4，则有(a＋b)2＝3ab＋4≤＋4，
可得(a＋b)2≤16，即a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立.
所以a＋b的最大值为4.
答案
7.已知关于x的一元二次不等式x2－(m＋1)x＋2m－1<0的解集为{x|x1A.(2，＋∞) B.(－∞，2)
C.∪(2，＋∞) D.∪(5，＋∞)
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由不等式的解集可得，方程x2－(m＋1)x＋2m－1＝0的根为x1，x2，
可得x1＋x2＝m＋1，x1x2＝2m－1，
由Δ＝(m＋1)2－4(2m－1)>0，得m>5或m<1，
由<1，得<0，
即(m－2)(2m－1)>0，解得m>2或m<，
综上，实数m的取值范围是∪(5，＋∞).
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答案
8.(2025·焦作模拟)已知正实数m，n满足(m－1)(m＋n)＝(1＋n)(1－n)，则m＋n的最大值为
A.2 B.8 C.12 D.16
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依题意得m2＋n2－(m＋n)＋mn＝1，
则1＝(m＋n)2－(m＋n)－mn≥(m＋n)2－(m＋n)－(m＋n)2，
即1≥(m＋n)2－(m＋n)，则3(m＋n)2－4(m＋n)－4≤0，且m＋n>0，
解得0答案
二、多项选择题
9.对于实数a，b，c，d，下列命题是真命题的是
A.若a>b，cb－d
B.若ac2>bc2，则a>b
C.若a>b>0，c<0，则>
D.若a>b，则ac1
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答案
对于A选项，因为a>b，c－d，由不等式的基本性质可得a－c>b－d，A对；
对于B选项，若ac2>bc2，则c2>0，由不等式的基本性质可得a>b，B对；
对于C选项，因为a>b>0，c<0，则>0，所以>，C对；
对于D选项，当c＝0时，ac＝bc，D错.
10.当一个非空数集G满足“如果a，b∈G，则a＋b，a－b，ab∈G，且b≠0时，∈G”时，我们称G就是一个数域，则下列命题正确的是
A.0是任何数域的元素
B.若数域G有非零元素，则2 025∈G
C.集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一个数域
D.有理数集是一个数域
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对于A，根据当a∈G时，则a－a∈G，即0∈G，所以0是任何数域的元素，故A正确；
对于B，根据当b≠0时，b∈G，则∈G，即1∈G，进而1＋1＝2∈G，2
＋1＝3∈G，…，2 024＋1＝2 025∈G，故B正确；
对于C，对2∈P，4∈P，但 P，不满足题意，所以集合P＝{x|x＝2k，
k∈Z}不是一个数域，故C不正确；
对于D，若a，b是有理数，则a＋b，a－b，ab，(b≠0)都是有理数，故
有理数集是一个数域，故D正确.
答案
11.已知a>0，b>0且a＋b＝1，下列结论正确的是
A.有最小值为4 B.有最小值为
C.有最大值为2 D.a2＋b2有最小值为
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答案
对于A，因为正实数a，b满足a＋b＝1，所以＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当，即a＝b＝时取等号，因此本选项正确；
对于B，因为正实数a，b满足a＋b＝1，所以1＝a＋b≥2 ≤，当且仅当a＝b＝时取等号，即有最大值，因此本选项不正确；
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答案
对于C，因为正实数a，b满足a＋b＝1，所以≤ ≤，当且仅当a＝b＝时取等号，因此本选项不正确；
对于D，因为正实数a，b满足a＋b＝1，所以≥ a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时取等号，因此本选项正确.
三、填空题
12.已知p：|x－1|<1，q：x2－(a＋1)x＋a≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　　　　.
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答案
由|x－1|<1，解得0对于q：x2－(a＋1)x＋a≤0，即(x－1)(x－a)≤0，
若a>1，解得1≤x≤a，要使p是q的必要不充分条件，则a<2，所以1若a<1，解得a≤x≤1，要使p是q的必要不充分条件，则a>0，所以0若a＝1，则q为{x|x＝1}，符合题意，所以实数a的取值范围是(0，2).
13.若两个正实数x，y满足4x＋y＝2xy，且不等式x＋1
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答案
(－∞，－1)∪(2，＋∞)
由两个正实数x，y满足4x＋y＝2xy，得＝2，
则x＋＝≥＝2，
当且仅当，即y＝4x＝4时取等号，
由不等式x＋得m2－m>2，解得m<－1或m>2，
所以实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).
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答案
14.在集合的运算中，一个集合与它在全集中的补集是一一对应的，形成了“集合对”，这种配对方式在解决集合问题时经常用到.现全集U中含有11个元素.对于集合U的k个互不相同的子集A1，A2，…，Ak，它们两两的交集都不是空集，且U的其他子集至少与A1，A2，…，Ak中的一个的交集为空集，那么k＝　　　　.
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答案
由全集U中含有11个元素，则有211个子集，其中按互补关系可配成210对，
(1)根据题意，每对不能同时取，否则它们的交集为空集，不符合题意；
(2)每对不能都不取，否则设集合A，B互补且都没有取，
若A不被取，因为已取的集合中有与集合A交集为空集的C，其中C一定是B的子集；
若B不被取，因为已取的集合中有与集合B交集为空集的D，其中D一定是A的子集，
而集合C与D的交集为空集，却都被取得了，此时与题意矛盾，
综上可得，实数k＝210＝1 024.(共81张PPT)
第一章
§1.1　集　合
数学
大
一
轮
复
习
1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.
2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.
3.会求两个集合的并集、交集与补集.
4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特性： 、 、 .
(2)元素与集合的关系是 或 ，用符号 或 表示.
(3)集合的表示法： 、 、 .
(4)常见数集的记法
确定性
互异性
无序性
属于
不属于
∈

列举法
描述法
图示法
集合 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 ___ N*(或N＋) ___ ___ ___
N
Z
Q
R
A B
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作 (或B A).
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作 (或B A).
(3)相等：若A B，且 ，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .空集是 的子集，是 的真子集.
A B
B A
任何集合
任何非空集合
3.集合的基本运算
表示 运算 集合语言 图形语言 记法
并集 _______________ ______
交集 _______________ ______
补集 _______________ _____
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
{x|x∈U，且x A}
UA
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}.(　　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(　　)
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　　)
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B) (A∪B).(　　)
√
×
×
×
2.(2025·潍坊模拟)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|－3<2x－1<3}，则A∩B等于
A.{－2，1} B.(－2，1)
C.{1} D.(－1，2)
√
A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}＝{1，－2}，
B＝{x|－3<2x－1<3}＝{x|－1∴A∩B＝{1}.
3.(2024·长沙模拟)已知集合M＝{x|x<1}，N＝{x|x2<1}，则
A.M＝N B.M N
C.N M D.M∩N＝
√
由题意集合M＝{x|x<1}，N＝{x|x2<1}＝{x|－14.已知集合M＝{x|－1(－∞，－1]
因为M∩N＝M，所以M N，所以a≤－1.
1.掌握有限集子集个数的结论
若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个.
2.灵活应用两个常用性质
(1) U(A∩B)＝( UA)∪( UB).
(2) U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
3.牢记两个注意点
(1)在应用条件A∪B＝B A∩B＝A A B时要树立分类讨论的思想，将集合A是空集的情况优先进行讨论.
(2)在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(多选)下列各组中M，P表示不同集合的是
A.M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}
B.M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}
C.M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
D.M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}
√
集合的含义与表示
√
√
题型一
选项A中，M＝{3，－1}是数集，P＝{(3，－1)}是点集，二者不是同一集合，故M≠P；
选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；
选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝[1，＋∞)，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}＝[1，＋∞)，故M＝P；
选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有y组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合，故M≠P.
(2)已知m∈R，n∈R，若集合＝{m2，m＋n，0}，则m2 025＋
n2 025的值为
A.－2 B.－1 C.1 D.2
√
因为＝{m2，m＋n，0}，m≠0，所以
解得
当m＝1时，不满足集合元素的互异性，
故m＝－1，n＝0，m2 025＋n2 025＝(－1)2 025＋02 025＝－1.
解决集合含义问题的关键点
(1)确定集合中的代表元素.
(2)确定元素的限制条件.
(3)理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾.
思维升华
跟踪训练1　(1)已知集合A＝{－1，a2－2a＋1，a－4}，若4∈A，则a的值可能为
A.－1，3 B.－1 C.－1，3，8 D.－1，8
√
由题意，若a2－2a＋1＝4，解得a＝3或a＝－1，若a－4＝4，解得a＝8，
当a＝－1时，A＝{－1，4，－5}满足题意，
当a＝3时，A＝{－1，4，－1}违背了集合中元素间的互异性，
当a＝8时，A＝{－1，4，49}满足题意，
综上所述，a的值可能为－1，8.
(2)(多选)非空集合A具有如下性质：①若x，y∈A，则∈A；②若x，y∈A，则x＋y∈A，下列判断中，正确的有
A.－1 A
B.∈A
C.若x，y∈A，则xy∈A
D.若x，y∈A，则x－y∈A
√
√
√
对于A，假设－1∈A，则令x＝y＝－1，则＝1∈A，
令x＝－1，y＝1，则x＋y＝0∈A，
令x＝1，y＝0，不存在，即y≠0，矛盾，
∴－1 A，故A对；
对于B，由题知，1∈A，则1＋1＝2∈A，2＋1＝3∈A，…，2 024∈A，
2 025∈A，
∴∈A，故B对；
对于C，∵1∈A，x∈A，∴∈A，
∵y∈A，∈A，∴＝xy∈A，故C对；
对于D，∵1∈A，2∈A，若x＝1，y＝2，则x－y＝－1 A，故D错.
例2　(1)(2025·青岛模拟)已知全集U＝R，集合A，B满足A (A∩B)，则下列关系一定正确的是
A.A＝B B.B A
C.A∩( UB)＝ D.( UA)∩B＝
√
集合间的基本关系
题型二
因为集合A，B满足A (A∩B)，故可得A B，
对A，当A为B的真子集时，不成立；
对B，当A为B的真子集时，也不成立；
对C，A∩( UB)＝ ，恒成立；
对D，当A为B的真子集时，不成立.
(2)已知M＝{x|－2≤x≤2}，A＝{x|1－a≤x≤1＋a}，且A∩M＝A，则实数a的取值范围为　　　　　.
{a|a≤1}
因为A∩M＝A，所以A M，
又因为A＝{x|1－a≤x≤1＋a}，
当A＝ 时，1－a>1＋a，解得a<0；
当A≠ 时，解得0≤a≤1，
综上，实数a的取值范围是{a|a≤1}.
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
思维升华
跟踪训练2　(1)(多选)已知I为全集，若A∪B＝A，则
A.A B B.B A
C. IA IB D. IB IA
√
√
因为A∪B＝A，所以B A，所以 IA IB.
(2)(多选)已知集合M＝{－1，1}，N＝{x|mx＝1}，且N M，则实数m的值可以为
A.－2 B.－1 C.0 D.1
√
√
√
当N＝ 时，满足N M，此时m＝0；
当N≠ 时，m≠0，
解mx＝1可得，x＝.
因为N M，所以＝－1或＝1.
当＝－1时，m＝－1；
当＝1时，m＝1.
综上所述，m＝0或m＝－1或m＝1.
例3　(1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知集合A＝{x|－5A.{－1，0} B.{2，3}
C.{－3，－1，0} D.{－1，0，2}
√
命题点1　集合的运算
集合的基本运算
题型三
因为A＝{x|－且1<<2，－2<－<－1，所以A∩B＝{－1，0}.
(2)(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则 U(M∪N)等于
A.{x|x＝3k，k∈Z}
B.{x|x＝3k－1，k∈Z}
C.{x|x＝3k－2，k∈Z}
D.
√
方法一　M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，
所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，
所以 U(M∪N)＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，
即 U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}.
方法二　集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集.
命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围)
例4　(1)设集合A＝{x|xa}，若A∩( RB)＝A，则实数a的取值范围为
A.[0，1] B.[0，1)
C.(0，1) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
√
因为B＝{x|x>a}，所以 RB＝{x|x≤a}，
又A∩( RB)＝A，所以A RB，
又A＝{x|x解得0≤a≤1，即实数a的取值范围为[0，1].
(2)(2025·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若( RA) ∪B＝R，则实数a的取值范围为
A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(－∞，1) D.(－∞，1]
√
由题可知A＝{x|y＝ln(1－x2)}＝{x|－1 RA＝{x|x≤－1或x≥1}，
所以由( RA)∪B＝R，得a≥1.
对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.
思维升华
命题点3　集合的应用
容斥原理是一种数学计数方法，用于处理在计数过程中出现的重叠问题.其基本思想是先不考虑重叠的情况，将所有对象数目计算出来，然后再将重复计算的数目排除出去.
我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)来表示有限集合A中元素的个数.例如，A＝{a，b，c}，则card(A)＝3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C).
例5　某校初一(4)班有学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，则三项都参加的人数为
A.2 B.3 C.4 D.5
√
设集合A＝{x|x是参加足球队的学生}，集合B＝{x|x是参加排球队的学生}，
集合C＝{x|x是参加游泳队的学生}，
则card(A)＝25，card(B)＝22，card(C)＝24，
card(A∩B)＝12，card(B∩C)＝8，card(A∩C)＝9.
设三项都参加的有m人，即card(A∩B∩C)＝m，card(A∪B∪C)＝46，
所以由card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)，
即46＝25＋22＋24－12－8－9＋m，
解得m＝4，故三项都参加的有4人.
在解决数量关系问题、阴影面积问题时，通过应用容斥原理，可以有效地解决涉及重叠或包含关系的问题，确保计算结果的准确性.
思维升华
跟踪训练3　(1)(2025·广东八校联考)设集合A＝{x|1A.[1，＋∞) B.[2，＋∞)
C.(－∞，1] D.(－∞，2]
√
由A∩B＝A知A B，
又A＝{x|1(2)(多选)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|1A.A∪B＝B
B.( RB)∪A＝R
C.A∩B＝{x|1D.( RB)∪( RA)＝{x|x≤1或x>2}
√
√
由x2－3x＋2≤0，即(x－2)(x－1)≤0，解得1≤x≤2，
所以A＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，
由B＝{x|1所以A∪B＝{x|1≤x≤3}，故A错误；
A∩B＝{x|1又 RB＝(－∞，1]∪(3，＋∞)，所以( RB)∪A＝(－∞，2]∪(3，＋∞)，故B错误；
RA＝(－∞，1)∪(2，＋∞)，所以( RB)∪( RA)＝(－∞，1]∪(2，＋∞)，故D正确.
(3)某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，物理179人，化学165人；至少参加两科的：数学、物理143人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科都参加的有90人.则参加竞赛的学生总人数是　　　.
281
由题意，用A，B，C分别表示参加数学竞赛、物理竞赛和化学竞赛的学生构成的集合，
则card(A)＝203，card(B)＝179，card(C)＝165，
card(A∩B)＝143，card(B∩C)＝97，card(A∩C)＝116，card(A∩B∩C)＝90，
因此card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)
－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)＝203＋179＋165－143－97－116＋90＝281.
所以参加竞赛的学生总人数是281.
数学思维的创新是思维品质的最高层次，以集合为背景的创新问题是新高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，以集合为依托，考查学生理解问题、解决创新问题的能力.
集合中的创新问题
微拓展
典例　(1)(多选)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域.例如有理数集Q是一个数域；数集F＝{a＋b|a，b∈Q}也是一个数域.下列关于数域的命题中是真命题的为
A.0，1是任意数域中的元素
B.若数集M，N都是数域，则M∪N是一个数域
C.存在无穷多个数域
D.若数集M，N都是数域，则有理数集Q M∩N
√
√
√
对于A选项，由定义可知，对任意的数域P，至少含有两个数，则至少有一个元素a≠0∈P，所以有a－a＝0∈P，＝1∈P，故A正确；
对于B选项，假设数域M＝{a＋b|a，b∈Q}，N＝{a＋b|a，b∈Q}，则当x＝∈M，y＝∈N时，x∈M∪N，y∈M∪N，x＋y＝ M且x＋y＝ N，
故x＋y＝ M∪N，故B错误；
对于C选项，可以利用题中的数域的例子进行构造，对于任意非完全平方数的正整数Z，
集合P＝{a＋b|a，b∈Q}都是数域，这样就有无穷多个数域，故C正确；
对于D选项，在A选项的基础上进行证明：任意数域P，都有有理数集Q P.
因为0，1是任意数域中的元素，而且任意整数都可以看成有限个0或1的和或差，
故所有整数都属于数域P，
又任意有理数均能表示成两个整数的商，故所有有理数都属于数域P，即Q P，
所以Q M，Q N，即Q M∩N，故D正确.
(2)(多选)(2024·泰州模拟)对任意A，B R，记A B＝{x|x∈A∪B，x A∩B}，并称A B为集合A，B的对称差.例如：若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A B＝{1，4}.下列命题中，为真命题的是
A.若A，B R且A B＝B，则A＝
B.若A，B R且A B＝ ，则A＝B
C.若A，B R且A B A，则A B
D.存在A，B R，使得A B≠ RA RB
√
√
对于A，因为A B＝B，所以B＝{x|x∈A∪B，x A∩B}，
所以A B，且B中的元素不能出现在A∩B中，因此A＝ ，即A正确；
对于B，因为A B＝ ，所以 ＝{x|x∈A∪B，x A∩B}，
即A∪B与A∩B是相同的，所以A＝B，即B正确；
对于C，因为A B A，所以{x|x∈A∪B，x A∩B} A，
所以B A，当A≠B时，A B不成立，即C错误；
对于D，由于( RA) ( RB)＝{x|x∈( RA)∪( RB)，x ( RA)∩( RB)}
＝{x|x∈ R(A∩B)，x R(A∪B)}＝{x|x∈A∪B，x A∩B}，
而A B＝{x|x∈A∪B，x A∩B}，故A B＝( RA) ( RB)，即D错误.
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课时精练
对一对
答案
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16
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C D D D B B
题号 9 10 11 12 13 答案 BCD BCD AB {m|117
一、单项选择题
1.(2025·大同模拟)设集合A＝{x|－14}，则A∩( RB)等于
A.{x|－1≤x<2} B.{x|－1C.{x|－2≤x≤2} D.{x|－2√
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知识过关
答案
由题意可得 RB＝{x|0≤x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}，
∴A∩( RB)＝{x|－118
17
2.设集合A＝{－1，0，1}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则下列选项中正确的是
A.A B B.A B
C.A＝B D.B＝
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√
答案
由题意，在B＝{y|y＝x2，x∈A}中，A＝{－1，0，1}，(－1)2＝1，02＝0，12＝1，∴B＝{0，1}，∴A B.
18
17
3.(2024·怀化模拟)已知集合M＝{－1，1，2，3，4，5}，N＝{1，2，4}，P＝M∩N，则P的真子集共有
A.3个 B.6个 C.7个 D.8个
√
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因为M＝{－1，1，2，3，4，5}，N＝{1，2，4}，所以P＝M∩N＝{1，2，4}，所以P的真子集共有23－1＝7(个).
答案
18
17
4.(2024·宝鸡模拟)若集合A＝{x∈R|ax2－2x＋1＝0}中只有一个元素，则实数a等于
A.1 B.0 C.2 D.0或1
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16
当a＝0时，由ax2－2x＋1＝0可得x＝，满足题意；
当a≠0时，由ax2－2x＋1＝0只有一个根需满足Δ＝(－2)2－4a＝0，解得a＝1.
综上，实数a的值为0或1.
答案
18
17
5.(2025·安徽皖南八校模拟)已知集合A＝{x∈N*|x2－5x－14<0}，B＝{x|log2(x－2)<2}.则图中阴影部分表示的集合为
A.{3，4，5} B.{1，2}
C.{3，4，5，6} D.{1，2，6}
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16
由题意知A＝{x∈N*|x2－5x－14<0}＝{x∈N*|－2因为函数y＝log2x是增函数，
所以B＝{x|log2(x－2)<2}＝{x|0所以A∩B＝{3，4，5}，所以图中阴影部分表示的集合为{1，2，6}.
答案
18
17
6.(2025·攀枝花模拟)已知集合A＝{1，a2}，B＝{1，4，a}，若A B，则实数a组成的集合为
A.{－2，－1，0，2} B.{－2，2}
C.{－1，0，2} D.{－2，0，2}
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16
由A B，则有解得a＝2或a＝－2或a＝0，
实数a组成的集合为{－2，0，2}.
答案
18
17
7.某学校教师中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为
A.15 B.20 C.25 D.35
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设A＝{x|x是会打乒乓球的教师}，B＝{x|x是会打羽毛球的教师}，C＝{x|x是会打篮球的教师}，
由题意得card(A)＝30，card(B)＝60，card(C)＝20，card(A∪B∪C)＝80，card(A∩B∩C)＝5，
所以card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)，
所以card(A∩B)＋card(B∩C)＋card(A∩C)＝30＋60＋20＋5－80＝35，
而card(A∩B)＋card(B∩C)＋card(A∩C)中，含有3次card(A∩B∩C)，
所以会且仅会其中两个体育项目的教师人数为35－3×5＝20.
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8.设集合I＝{1，3，5，7}，若非空集合A同时满足：①A I；②card(A)≤ min(A)(其中card(A)表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为
A.7 B.8 C.9 D.10
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当card(A)＝1，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}；
当card(A)＝2，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3，5}，
{3，7}，{5，7}；
当card(A)＝3，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3，5，7}，
综上所述，I的所有“好子集”的个数为8.
答案
18
17
二、多项选择题
9.已知A，B是全集U的两个非空真子集，下列说法中一定正确的是
A.A∩B＝ B.A (A∪B)
C.( UA)∪A＝U D.( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)
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√
√
√
答案
如图所示，A∩B≠ ，A选项错误；
A (A∪B)，( UA)∪A＝U，( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)，BCD选项正确.
18
17
10.若集合M＝{x|x≥0}，N＝{x|(x－1)(x－2)<0}，则
A.M N B.M∪N＝M
C.( RM)∩N＝ D.M∪( RN)＝R
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答案
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解一元二次不等式(x－1)(x－2)<0，得1 RN＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，
由于M＝{x|x≥0}，结合补集的定义 RM＝(－∞，0)，
显然N M，选项A不正确；
同时可得M∪N＝M，选项B正确；
由于 RM＝(－∞，0)，且N＝(1，2)，可得( RM)∩N＝ ，选项C正确；
由于M＝{x|x≥0}，且 RN＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，
可得M∪( RN)＝R，选项D正确.
答案
18
17
11.有限集合S中元素的个数记作card(S)，设A，B都为有限集合，下列选项正确的是
A.A∩B＝ card(A∪B)＝card(A)＋card(B)
B.A B card(A)≤card(B)
C.A B card(A)≤card(B)
D.A＝B card(A)＝card(B)
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答案
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对于A，A∩B＝ ，说明集合A，B没有相同元素，
因此card(A∪B)＝card(A)＋card(B)，反之也成立，故A正确；
对于B，A B，说明集合A的元素都属于集合B，故card(A)≤card(B)，故B正确；
对于C，card(A)≤card(B)，只能说明集合A的元素个数不多于集合B中元素个数，
不能说明集合A的元素都属于集合B，故C错误；
对于D，A＝B，说明两集合元素相同，可得到card(A)＝card(B)，
反之，两集合元素个数相同，但不能说明两集合元素相同，
故由card(A)＝card(B)不能得到A＝B，故D错误.
答案
18
17
三、填空题
12.已知集合A＝{m|1{m|11
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因为B＝{y|y＝x3，x∈R}＝R，
因此，A∩B＝{m|1答案
18
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13.(2025·南京模拟)已知非空集合A＝{x|a－14}.A∩( RB)＝A，则实数a的取值范围为　　　　　 .
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答案
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因为A为非空集合，则a－1<2a＋3，
解得a>－4， RB＝{x|x<－2或x>4}，
若A∩( RB)＝A，则A ( RB)，
则2a＋3≤－2或a－1≥4，
解得a≤－或a≥5，又a>－4，
综上所述，实数a的取值范围为.
答案
18
17
14.已知集合M＝{1，2，3，4，…，10}，A是集合M的非空真子集，把集合A中的各元素之和记为S(A)，则满足S(A)＝8的集合A的个数为　　　；S(A)的所有不同取值的个数为　　　.
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54
答案
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由题意，满足S(A)＝8的集合A有{1，2，5}，{1，3，4}，{1，7}，{2，6}，{3，5}，{8}，共6个.
对于S(A)来说，由于它是集合A中的各元素之和，同时A又是集合M的非空真子集，
因为1＋2＋3＋…＋10＝55，
由题意，易知S(A)将取尽1到54的所有整数，
所以S(A)的所有不同取值的个数为54.
答案
18
17
15.设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为XA＝M－m，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知A1，A2，A3，…，An是集合N*的元素个数均不相同的非空真子集，且＋…＋＝120，则n的最大值为
A.14 B.15 C.16 D.18
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能力拓展
答案
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由题意，要想n的值最大，则特征值要尽可能的小，可令＝0，＝1，＝2，…，＝n－1，则0＋1＋2＋…＋(n－1)＝＝120，解得n＝16或n＝－15(舍去).
答案
18
17
16.(多选)设集合Ak={x|x=2nk+1，n∈Z}(k=1，2，3)，则下列结论正确的是
A.2 025∈A1∩A2
B.若a∈A2，且ab∈A3，则b A1
C.若a∈A2，b∈A3，则ab∈A1
D.若a∈A2，b∈A3，则3a+2b∈A2
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答案
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√
√
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A选项，A1={x|x=2n+1，n∈Z}，
A2={x|x=4n+1，n∈Z}，
由题意可得A1∩A2={x|x=4n+1，n∈Z}.
因为2 025=4×506+1，所以2 025∈A1∩A2，则A正确；
B选项，A3={x|x=6n+1，n∈Z}，
当a=5∈A2，b=11∈A1时，ab=55=6×9+1∈A3，则B错误；
答案
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C，D选项，由a∈A2，b∈A3，
可设a=4n1+1，b=6n2+1(n1，n2∈Z)，
则ab=24n1n2+4n1+6n2+1
=2(12n1n2+2n1+3n2)+1，
3a+2b=12n1+3+12n2+2=4(3n1+3n2+1)+1.
因为n1，n2∈Z，
所以12n1n2+2n1+3n2∈Z，3n1+3n2+1∈Z，
所以ab∈A1，3a+2b∈A2，则C，D正确.
答案
18
17
17.戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空子集A与B，且满足A∪B＝Q，A∩B＝ ，A中的每一个元素都小于B中的每一个元素.请给出一组满足A中无最大元素且B中无最小元素的戴德金分割_______________
____________________________.
A＝{x∈Q|x<π}，
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B＝{x∈Q|x≥π}(答案不唯一)
以无理数分界写出一组即可，如A＝{x∈Q|x<π}，B＝{x∈Q|x≥π}(答案不唯一).
答案
17
18
18.设Sn={a|a=(a1，a2，…，an)，ai∈{0，1}，i=1，2，…，n(n∈N*，n≥2)}，定义a的差分运算为D(a)=(|a2-a1|，|a3-a2|，…，|an-an-1|)∈Sn-1.用Dm(a)表示对a进行m(m∈N*，m≤n)次差分运算，显然，Dm(a)是一个(n-m)维数组.称满足Dm(a)=(0，0，…，0)的最小正整数m的值为a的深度.若这样的正整数m不存在，则称a的深度为n.
(1)已知a=(0，1，1，1，0，1，1，1)∈S8，则a的深度为　　.
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答案
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因为a=(0，1，1，1，0，1，1，1)∈S8，
则D(a)=(1，0，0，1，1，0，0)，
D2(a)=(1，0，1，0，1，0)，
D3(a)=(1，1，1，1，1)，
D4(a)=(0，0，0，0)，所以a的深度为4.
答案
17
18
(2)Sn中深度为d(d∈N*，d≤n)的数组个数为　　　　.
2d-1
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易知Sm中仅有一组(0，0，0，…，0)，
Sm+1中深度d=1的数组仅1组(1，1，1，…，1)，
Sm+2中深度d=2的数组仅2组，
Sm+3中深度d=3的数组仅4组，
…，
Sm+k中深度d=k的数组仅2k-1组，
…，
所以Sn中深度为d的数组仅有2d-1组.
返回
答案
17
18(共54张PPT)
第一章
培优点2　著名的不等式
数学
大
一
轮
复
习
1.二维形式的柯西不等式
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立).
2.二维形式的柯西不等式的变式
(1)·≥|ac+bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立).
(2)·≥|ac|+|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立).
(3)(a+b)(c+d)≥(a，b，c，d≥0，当且仅当ad=bc时，等号成立).
柯西不等式
题型一
3.一般形式的柯西不等式
设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(++…+)(++…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2，当且仅当bi=0(i=1，2，…，n)或存在一个实数k，使得ai=kbi(i=1，2，…，n)时，等号成立.
4.二维形式的柯西不等式的向量形式
|α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时，等号成立).
例1　已知x，y∈R，3x2+2y2≤6，求2x+y的最值.
方法一　由柯西不等式得
(2x+y)2≤[+
=(3x2+2y2)≤11.
当且仅当x·=y·，
即时等号成立，
于是2x+y的最大值为，最小值为-.
方法二　由柯西不等式得
|2x+y|≤
=≤，
当且仅当x·=y·，
即时等号成立，
于是2x+y的最大值为，最小值为-.
掌握柯西不等式及其变式的结构，常用巧拆常数、重新安排某些项的次序、改变结构、添项等方法.
思维升华
跟踪训练1　设a=(1，-2)，b=(x，y)，若x2+y2=16，则a·b的最大值为　　　　　.
4
∵a=(1，-2)，b=(x，y)，
∴a·b=x-2y.
由柯西不等式的向量形式可得
[12+(-2)2](x2+y2)≥(x-2y)2，
即5×16≥(x-2y)2，
∴-4≤x-2y≤4， (*)
当且仅当b=ka，
即时，(*)式中右边等号成立，
或时，(*)式中左边等号成立，
∴当x=，y=-时，a·b的最大值为4.
1.排序不等式
给定两组实数a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn.如果a1≤a2≤…≤an；b1≤b2≤…≤bn.那么
a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1+a2+…+an≤a1b1+a2b2+…+anbn.
　　　　(反序和)　　　　　(乱序和) (同序和)
其中i1，i2，…，in是1，2，…，n的一个排列.
该不等式所表达的意义是和式aj在同序和反序时分别取得最大值和最小值.
排序不等式和切比雪夫不等式
题型二
2.切比雪夫不等式
对于两个实数数列{an}，{bn}，
若有a1≥a2≥…≥an，b1≥b2≥…≥bn，
则有aibi≥，
类似地，若有a1≥a2≥…≥an，b1≤b2≤…≤bn，
则有aibi≤.
切比雪夫不等式证明：
因为有a1≥a2≥…≥an，b1≥b2≥…≥bn，
所以由排序不等式易知，最大的和为同序和，即a1b1+a2b2+…+anbn，
于是有以下一系列共n个式子：
a1b1+a2b2+…+anbn=a1b1+a2b2+…+anbn，
a1b1+a2b2+…+anbn≥a1b2+a2b3+…+anb1，
a1b1+a2b2+…+anbn≥a1b3+a2b4+…+anb2，
…，
a1b1+a2b2+…+anbn≥a1bn+a2b1+…+anbn-1，
将这n个式子分别相加，同时对右式进行因式分解，整理可得aibi≥.
反向情况可由最小的和为逆序和推得，得证.
例2　已知锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A≥B≥C.设P=，Q=acos C+bcos B+ccos A，则P，Q的大小关系为
A.P≥Q B.P=Q
C.P≤Q D.不能确定
√
由题意知>A≥B≥C>0，
则a≥b≥c，cos A≤cos B≤cos C，
则由排序不等式有Q=acos C+bcos B+ccos A≥acos B+bcos C+ccos A
=R(2sin Acos B+2sin Bcos C+2sin Ccos A)，
Q=acos C+bcos B+ccos A≥bcos A+ccos B+acos C
=R(2sin Bcos A+2sin Ccos B+2sin Acos C)，
两式相加得Q=acos C+bcos B+ccos A
≥R(2sin Acos B+2sin Bcos A+2sin Bcos C+2sin Ccos B+2sin Ccos A+2sin Acos C) =R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(A+C)]=R(sin C+sin A+sin B)==P.
在比较两组数积的和及两组数的线性和的积的大小时，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系.
思维升华
跟踪训练2　若A=++…+，B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为
A.A>B B.A√
依序列{xn}的各项都是正数，不妨设0+…+xnx1，即++…+≥x1x2+x2x3+…+xnx1.
1.二维形式：已知x，y，a，b均为正数，则有+≥(当且仅当x∶y=∶时，等号成立).
2.一般形式：设ai，bi均为正数(i=1，2，…，n)，实数m>0，则
≥，当且仅当==…=时等号成立，称之为权方和
不等式.m为该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次.
权方和不等式
题型三
例3　(1)若x>0，y>0，+=2，则6x+5y的最小值为　　　　　　.
+2
+=+=+≥=，
即2≥，
因为x>0，y>0，则6x+5y≥+2，
当且仅当=，
即x=，y=时取等号.
(2)已知正数x，y，z满足x+y+z=1，则++的最小值为　　　　.
++≥=，
当且仅当==，
即x=y=z=时取等号.
(1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键.
(2)关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式.
(3)关于带根号的式子，将分子变为次，分母为次.
思维升华
跟踪训练3　(1)已知正数x，y满足x+y=1，则+的最小值为　　　.
27
+=+≥=27，当且仅当=，即x=，y=时取等号.
(2)已知a+b+c=1，且a，b，c>0，则++的最小值为
A.1 B.3 C.6 D.9
∵a+b+c=1，
∴++=2≥=9，
当且仅当a=b=c=时等号成立.
√
1.凹(凸)函数的定义
设连续函数f(x)的定义域为[a，b]，对于区间[a，b]内任意两点x1，x2，都有f ≤，则称f(x)为[a，b]上的凹函数；
反之，若有f ≥，则称f(x)为[a，b]上的凸函数.
琴生不等式
题型四
2.琴生不等式
(1)琴生不等式：若f(x)是区间[a，b]上的凹函数，则对任意的点x1，x2，…，xn∈[a，b]，有f ≤[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)](当且仅当x1=x2=…
=xn时取“=”).
(2)加权琴生不等式：若f(x)在[a，b]上为凹函数，则对任意xi∈[a，b]，
λi>0(i=1，2，…，n)，λi=1，有f(λixi)≤λif(xi).
说明：以上各不等式反向，即得凸函数的琴生不等式.
例4　半径为R的圆的内接三角形的面积的最大值是　　　　.
R2
设☉O的内接三角形为△ABC.
显然当△ABC是锐角或直角三角形时，面积可以取得最大值(因为若△ABC是钝角三角形，可将钝角(不妨设为A)所对边以圆心为对称中心作中心对称成为B'C'.因此，S△AB'C'>S△ABC).
设∠AOB=2α，∠BOC=2β，∠COA=2γ，
α+β+γ=π.
则S△ABC=R2(sin 2α+sin 2β+sin 2γ).
由讨论知可设0<α，β，γ≤，而y=sin x在(0，π]上是凸函数.
则由琴生不等式知
≤sin =.
所以S△ABC≤R2×3×=R2，
当且仅当△ABC是正三角形时，等号成立.
琴生不等式在解决有关函数不等式时要注意构造函数，然后根据函数或函数曲线的凹凸性，利用琴生不等式证明或求最值.
思维升华
跟踪训练4　设x1，x2，…，x2 025>0，且x1+x2+…+x2 025=1，则W=+
+…+的最小值为　　　　.
构造函数f(x)=，
易证函数f(x)=在(0，1)上为凹函数.
由琴生不等式，得f≤，
即≥.
所以W=++…+≥=，当且仅当x1=x2=…=x2 025时，W的最小值为.
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B B D 8
6
7
8
一、单项选择题
1.实数x，y满足3x2+4y2=12，则z=2x+y的最小值是
A.-5 B.-6 C.3 D.4
√
1
2
3
4
5
答案
6
7
8
1
2
3
4
5
答案
∵实数x，y满足3x2+4y2=12，∴+=1，
∴(16+9)≥，
即-5≤2x+y≤5，当且仅当3x=8y，
即当时，左边取等号，当时，右边取等号，
∴z=2x+y的最小值是-5.
6
7
8
2.设a1，a2，a3，a4是1，2，3，4的一个排列，则a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是
A.(0，30] B.(20，30]
C.[20，30] D.[20，30)
1
2
3
4
5
√
答案
6
7
8
1
2
3
4
5
答案
由排序不等式得
a1+2a2+3a3+4a4≤12+22+32+42=30，
a1+2a2+3a3+4a4≥1×4+2×3+3×2+4×1=20，
∴a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是[20，30].
6
7
8
3.权方和不等式作为基本不等式的一个变形，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则+≥，当且仅当=时，等号成立.根据权方和不等式，函数f(x)=+的最小值为
A.16 B.25 C.36 D.49
√
1
2
3
4
5
答案
6
7
8
1
2
3
4
5
答案
因为a，b，x，y>0，则+≥，
当且仅当=时，等号成立，
又00，
于是得f(x)=+≥=25，当且仅当=，即x=时，等号成立，
所以函数f(x)=+的最小值为25.
6
7
8
4.若实数x+2y+3z=1，则x2+y2+z2的最小值为
A.14 B. C.29 D.
1
2
3
4
5
答案
根据柯西不等式得
(x2+y2+z2)(1+4+9)≥(x+2y+3z)2=1，
即x2+y2+z2≥，
当且仅当x=，y=，z=时等号成立.
√
6
7
8
5.在△ABC中，sin A+sin B+sin C的最大值是
A. B.3 C. D.
1
2
3
4
5
答案
√
6
7
8
1
2
3
4
5
答案
6
7
8
因为y=sin x在区间(0，π)上是凸函数，根据琴生不等式可得，
≤sin =sin =，
得sin A+sin B+sin C≤，
当且仅当A=B=C=时等号成立，
即sin A+sin B+sin C的最大值是.
1
2
3
4
5
答案
二、填空题
6.若a>1，b>1，则+的最小值为　　.
8
6
7
8
1
2
3
4
5
答案
+≥，
令a+b-2=t，
则==t++4≥8，
当且仅当即a=b=2时取等号，
所以+的最小值为8.
6
7
8
1
2
3
4
5
答案
7.半径为R的球的内接三棱锥的体积V的最大值为　　　　　　.
R3
6
7
8
1
2
3
4
5
答案
设三棱锥为P-ABC，△ABC的外接圆半径为r，
则S△ABC=2r2sin A·sin B·sin C
≤2r2≤2r2=2r2=r2，
当且仅当A=B=C=60°时，等号成立，
若球心O到平面ABC的距离为h，
6
7
8
1
2
3
4
5
答案
则V≤S△ABC(R+h)≤r2(R+h)
=(R2-h2)(R+h)=(R+h)(R+h)(2R-2h)
≤=R3，
当且仅当三棱锥P-ABC为正四面体时，等号成立.
6
7
8
1
2
3
4
5
答案
8.设α，β，γ分别为长方体的对角线与共顶点的三个侧面所成的角，则
sin 的取值范围为______________.
6
7
8
1
2
3
4
5
答案
在长方体中有sin2α+sin2β+sin2γ=1，
注意到sin2α=1-sin2β-sin2γ=cos2β-sin2γ
=(1+cos 2β)-(1-cos 2γ)
=cos(β+γ)·cos(β-γ)>0，
因为β，γ均为锐角，所以cos(β-γ)>0.
从而cos(β+γ)>0，即0<β+γ<.
同理0<α+β<，0<γ+α<.
6
7
8
1
2
3
4
5
答案
又y=cos x在上为凸函数，
由琴生不等式有
3cos
≥cos(α+β)+cos(β+γ)+cos(γ+α)
≥cos(α+β)·cos(α-β)+cos(β+γ)·cos(β-γ)+cos(γ+α)·cos(γ-α)
=sin2α+sin2β+sin2γ=1，
则cos ≥，即sin ≤.
6
7
8
1
2
3
4
5
答案
另一方面，sin2α=cos(β+γ)·cos(β-γ)
>cos2(β+γ)=sin2，
由α，β+γ均为锐角，则α>-β-γ.
从而α+β+γ>.
又α→0+，β→0+，γ→→.
综上，6
7
8(共75张PPT)
第一章
§1.2　常用逻辑用语
数学
大
一
轮
复
习
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.
2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的 条件，q是p的 条件 p是q的充分不必要条件 ___________
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的 条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
充分
必要
p q且q p
充要
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示.


3.全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 ___________________ ___________________
x∈M，綈p(x)
x∈M，綈p(x)
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.(　　)
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.(　　)
(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件.(　　)
(4)命题“ x∈R，sin2＋cos2”是真命题.(　　)
×
√
√
√
2.命题“ x∈R，x2－x＋2≥0”的否定为
A. x∈R，x2－x＋2<0
B. x∈R，x2－x＋2≤0
C. x∈R，x2－x＋2≤0
D. x∈R，x2－x＋2<0
√
命题“ x∈R，x2－x＋2≥0”的否定为命题“ x∈R，x2－x＋2<0”.
3.设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
4.已知“p：2≤x<3”是“q：x>m”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为　　　　　　.
(－∞，2)
由题意可知，{x|2≤x<3}是{x|x>m}的真子集，可得m<2，所以实数m的取值范围为(－∞，2).
1.谨记两个常用结论
(1)p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件.
(2)命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.
2.理清一个关系
“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，而B不能推出A，要注意区别上述两种说法的不同.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(2024·连云港模拟)“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：
(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
√
充分、必要条件的判定
题型一
当λ＝－1时，直线l2：－3x＋3y－3＝0，即x－y＋1＝0，与直线l1：x－y＋9＝0平行，充分性成立；
直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行，有λ(λ－2)＝3，解得λ＝－1或λ＝3，
其中当λ＝3时，两直线重合，舍去，故λ＝－1，必要性成立.
故“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的充要条件.
(2)祖暅原理是一个涉及几何求积的著名命题.内容为：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在同一高处的截面积相等.根据祖暅原理可知，p是q的
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
√
已知A，B为两个等高的几何体，由祖暅原理知q p，而p不能推出q，可举反例，两个相同的圆锥，一个正置，一个倒置，此时两个几何体等高且体积相等，但在同一高处的截面积不一定相等，则p是q的必要不充分条件.
充分、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据p q，q p是否成立进行判断.
(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止.
思维升华
跟踪训练1　(1)设x∈R，则“cos x＝1”是“sin x＝0”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
当cos x＝1时，x＝2kπ(k∈Z)，此时sin x＝0；
当sin x＝0时，x＝kπ(k∈Z)，此时cos x＝1或cos x＝－1，
所以“cos x＝1”是“sin x＝0”的充分不必要条件.
(2)(2025·北京房山区模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，且在[0，＋∞)上单调递减，对于实数a，b，则“a2f(b)”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
由定义在R上的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，得函数f(x)是R上的偶函数，而f(x)在[0，＋∞)上单调递减，因此f(a)>f(b) f(|a|)>f(|b|) |a|<|b| a2f(b)”的充要条件.
例2　(1)已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　　　 ；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是
　　　　　　.
充分、必要条件的应用
题型二
(－∞，1)
(－∞，1]
因为p：x≤1，q：x≤a，
若p是q的必要不充分条件，则(－∞，a] (－∞，1]，因此a<1，
即实数a的取值范围是(－∞，1).
若p是q的必要条件，则(－∞，a] (－∞，1]，
因此a≤1，即实数a的取值范围是(－∞，1].
(2)已知p：x>1或x<－3，q：x>a(a为实数).若綈q的一个充分不必要条件是綈p，则实数a的取值范围是　　　　　　.
[1，＋∞)
由已知得綈p：－3≤x≤1，綈q：x≤a.
设A＝{x|－3≤x≤1}，B＝{x|x≤a}，
若綈p是綈q的充分不必要条件，则綈p 綈q，綈q 綈p，
所以集合A＝{x|－3≤x≤1}是集合B＝{x|x≤a}的真子集.
所以a≥1.
求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
思维升华
跟踪训练2　(1)已知p：>1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是
A.[0，＋∞) B.[1，＋∞) C.(－∞，0] D.(－∞，1]
√
由>1可得x(x－1)<0，解得0记A＝{x|0m}，
若p是q的充分条件，
则A是B的子集，所以m≤0，
所以实数m的取值范围是(－∞，0].
(2)已知α：－1因为α是β的充分不必要条件，
所以{x|－1则(不同时取等号)，解得m<0，
所以实数m的取值范围是(－∞，0).
(－∞，0)
例3　(多选)下列说法正确的是
A.“菱形是正方形”是全称量词命题
B.“ x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“ x，y∈R，x2＋y2<0”
C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除”
D.“A＝B”是“sin A＝sin B”的必要不充分条件
√
命题点1　含量词的命题的否定
全称量词与存在量词
题型三
√
对于A，“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”是全称量词命题，故A正确；
对于B，由全称量词命题的否定知其否定是“ x，y∈R，x2＋y2<0”，故B正确；
对于C，命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数都能被3整除”，故C错误；
对于D，因为A＝B时，sin A＝sin B成立，而sin A＝sin B时，A＝B不一定成立，如A＝，B＝，故“A＝B”是“sin A＝sin B”的充分不必要条件，故D错误.
例4　(多选)下列命题中，为真命题的是
A. x∈R，2x－1>0
B. x∈R，x2＋1<2x
C. xy>0，x＋y≥2
D. x，y∈R，sin(x＋y)＝sin x＋sin y
命题点2　含量词的命题的真假判断
√
√
对于A项， x∈R，>0，A项正确；
对于B项，∵x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，∴x2＋1≥2x，B项错误；
对于C项，当x<0，y<0时，x＋y<0<2，C项错误；
对于D项，取x＝y＝0，则sin(x＋y)＝sin 0＝0＝sin 0＋sin 0＝sin x＋sin y，D项正确.
命题点3　含量词的命题的应用
例5　(1)(2024·台州模拟)若命题“ x∈R，使x2－x－m＝0”是真命题，则实数m的取值范围是
A. B.
C. D.
√
因为“ x∈R，x2－x－m＝0”是真命题，所以Δ＝1－4×(－m)≥0，解得m≥－.
(2)已知命题“ x∈R，ax2－ax＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是　　　　.
由题意得不等式ax2－ax＋1>0对 x∈R恒成立.
①当a＝0时，不等式1>0在R上恒成立，符合题意；
②当a≠0时，若不等式ax2－ax＋1>0对 x∈R恒成立，
则解得0综上，实数a的取值范围是[0，4).
[0，4)
含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围.
思维升华
跟踪训练3　(1)(2024·新课标全国Ⅱ)已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x，则
A.p和q都是真命题
B.綈p和q都是真命题
C.p和綈q都是真命题
D.綈p和綈q都是真命题
√
对于命题p，取x＝－1，
则有|x＋1|＝0<1，
故p是假命题，綈p是真命题，
对于命题q，取x＝1，
则有x3＝13＝1＝x，
故q是真命题，綈q是假命题，
综上，綈p和q都是真命题.
(2)(多选)(2025·海口模拟)以下说法正确的是
A.“ x∈R，3x2－2≥0”的否定是“ x∈R，3x2－2<0”
B.“x>3”是“log3(2x＋1)>2”的充分不必要条件
C.若命题“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”的否定是假命题，则实数a的取值
范围是(－1，3)
D.若命题“ x∈R，2ax2＋ax－≤0”是真命题，则－3≤a≤0
√
√
对于A，“ x∈R，3x2－2≥0”的否定是“ x∈R，3x2－2<0”，故A正确；
对于B，log3(2x＋1)>2即log3(2x＋1)>log39，解得x>4，因为x>4 x>3，且x>3 x>4，所以“x>3”是“log3(2x＋1)>2”的必要不充分条件，故B错误；
对于C，命题的否定是假命题，则命题“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，即Δ＝(a－1)2－4>0，解得a>3或a<－1，故C错误；
对于D，因为“ x∈R，2ax2＋ax－≤0”是真命题，即2ax2＋ax－≤0
对 x∈R恒成立.当a＝0时，命题成立；当a≠0时，解得
－3≤a<0，综上可得，－3≤a≤0，故D正确.
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课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A A C D A D C
题号 9 10 11 12 13 答案 BC BC BD 存在一个素数不是奇数 [0，2] 题号 14 15 　16 17 18 答案 (-∞，-4] C CD ACD 15 17
18
一、单项选择题
1.“x<0”是“＝－x”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
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知识过关
答案
＝－x x≤0，因为x<0 x≤0，但x≤0 x<0，所以“x<0”是“＝－x”的充分不必要条件.
17
18
2.命题“ x∈R，ex>ln x＋1”的否定是
A. x∈R，ex≤ln x＋1
B. x∈R，ex≤ln x＋1
C. x R，ex>ln x＋1
D. x R，ex>ln x＋1
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16
√
答案
根据存在量词命题的否定为全称量词命题，则命题“ x∈R，ex>ln x＋1”的否定为“ x∈R，ex≤ln x＋1”.
17
18
3.(2025·常州调研)已知a，b∈R，则“b＝ea”是“a＝ln b”的
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
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16
根据指数式和对数式的互化公式可知b＝ea a＝ln b，
所以“b＝ea”是“a＝ln b”的充要条件.
答案
17
18
4.(2025·朔州模拟)已知A，B为实数，则“AB<0”是“Ax2＋By2＝1为双曲线方程”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
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当Ax2＋By2＝1表示双曲线时，AB<0，而当AB<0时，Ax2＋By2＝1表示的是双曲线，所以“AB<0”是“Ax2＋By2＝1为双曲线方程”的充要条件.
答案
17
18
5.下列叙述错误的是
A.命题“ x∈R，x2－1≤－1”的否定是“ x∈R，x2－1>－1”
B.若幂函数y＝(m2－2m－2)x2－4m在(0，＋∞)上单调递增，则实数m的值
为－1
C. x∈(0，＋∞)，2x>log2x
D.设a∈R，则“a2>3”是“a>”的充分不必要条件
√
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答案
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16
对于A，命题“ x∈R，x2－1≤－1”的否定是“ x∈R，x2－1>－1”，A正确；
对于B，由解得m＝－1，B正确；
对于C，当x>0时，函数y＝2x的图象在直线y＝x上方，函数y＝log2x的图象在直线y＝x下方，则2x>log2x，C正确；
对于D，由a2>3，得a<－或a>，因此“a2>3”是“a>”的必要不充分条件，D错误.
答案
17
18
6.(2024·南通模拟)若“ x∈(0，π)，sin 2x－ksin x<0”为假命题，则k的取值范围为
A.(－∞，－2] B.(－∞，2]
C.(－∞，－2) D.(－∞，2)
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依题意知命题“ x∈(0，π)，sin 2x－ksin x<0”为假命题，则“ x∈(0，π)，sin 2x－ksin x≥0”为真命题，所以2sin xcos x≥ksin x，则k≤2cos x在x∈(0，π)时恒成立，解得k≤－2，所以k的取值范围为(－∞，－2].
答案
17
18
7.(2025·宁波模拟)命题“ x∈[－2，1]，x2－x－a>0”为假命题的一个充分不必要条件是
A.a≤－ B.a≤0
C.a≥6 D.a≥8
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若命题“ x∈[－2，1]，x2－x－a>0”为假命题，
则命题的否定“ x∈[－2，1]，x2－x－a≤0”为真命题，
即a≥x2－x，x∈[－2，1]恒成立，
对于函数y＝x2－x＝，x∈[－2，1]，
当x＝－2时，取得最大值y＝6，
所以a≥6，选项中只有{a|a≥8}是{a|a≥6}的真子集，
所以命题“ x∈[－2，1]，x2－x－a>0”为假命题的一个充分不必要条件为a≥8.
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8.(2023·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
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16
方法一　甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，
则Sn＝na1＋d，＝a1＋d＝n＋a1－，，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，
即为常数，设为t，
答案
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即＝t，
则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，
有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，
两式相减得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，
即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立，
因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
答案
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方法二　甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，
即Sn＝na1＋d，
则＝a1＋d＝n＋a1－，
因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，
设数列的公差为D，
答案
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则＝D，＝S1＋(n－1)D，
即Sn＝nS1＋n(n－1)D，
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，
上边两式相减得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，
所以an＝a1＋2(n－1)D，当n＝1时，上式成立，
又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
答案
17
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二、多项选择题
9.下列既是存在量词命题又是真命题的是
A. x∈R，|x|<0
B. x∈Z，cos x＝－1
C.至少有一个x∈Z，使x能同时被3和5整除
D.每个平行四边形都是中心对称图形
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答案
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答案
选项A为存在量词命题，因为所有实数的绝对值非负，
即|x|≥0，所以A是假命题；
选项B为存在量词命题，当x＝2时，满足cos＝cos π＝－1，所以B既是存在量词命题又是真命题；
选项C为存在量词命题，15能同时被3和5整除，所以C既是存在量词命题又是真命题；
选项D是全称量词命题，所以D不符合题意.
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10.下列说法正确的是
A.命题“ x≥1，x2>1”的否定是“ x<1，x2≤1”
B.“a>0且Δ＝b2－4ac≤0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R”
的充要条件
C.“a>0”是“a>1”的必要不充分条件
D.已知a，b∈R，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是“ab>0”
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对于A，命题的否定是“ x≥1，x2≤1”，故A错误；
对于B，若a>0且Δ＝b2－4ac≤0，则不等式的解集为R，充分性成立，若不等式的解集为R，则a>0且Δ＝b2－4ac≤0，即必要性成立，故B正确；
对于C，若a>0，不可以推出a>1，例如a＝，即充分性不成立，若a>1，可以推出a>0，即必要性成立，故C正确；
对于D，例如a＝b＝0，可以推出|a＋b|＝|a|＋|b|，即|a＋b|＝|a|＋|b|不可以推出ab>0，故D错误.
答案
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11.下列说法正确的为
A.异面直线所成的角的范围是[0，π]
B.已知A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|2x－a<0}，若“x∈A”是“x∈B”的充
分不必要条件，则实数a的取值范围是a>4
C.若命题“ x∈R，mx2＋mx＋1<0”是假命题，则0D.已知p：0值范围为m≥6
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对于A，异面直线所成的角的范围是，A错误；
对于B，由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得集合A真包含于集合B，所以>2，即a>4，B正确；
对于C，若命题是假命题，则“ x∈R，mx2＋mx＋1≥0”是真命题，故m＝0或解得0≤m≤4，C错误；
答案
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对于D，由p是q的充分条件，则p q，即对于0答案
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三、填空题
12.为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明：___________
____________.
存在一个素
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因为命题“所有的素数都是奇数”是假命题，则命题“存在一个素数不是奇数”为真命题，所以为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明存在一个素数不是奇数.
答案
数不是奇数
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13.(2025·晋城联考)已知集合P＝{y|y＝x＋a，－11
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答案
[0，2]
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由y＝x＋a，－1所以P＝{y|a－1由ln(2－x)<0，即ln(2－x)所以Q＝{x|1因为x∈P是x∈Q的必要不充分条件，则Q P，
所以
解得0≤a≤2.
所以实数a的取值范围为[0，2].
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答案
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14.已知命题“ x∈[－1，2]，x2－3x＋a>0”是假命题，则实数a的取值范围是　　　　　 　.
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(－∞，－4]
答案
由题意得，“ x∈[－1，2]，x2－3x＋a≤0”是真命题，则a≤－x2＋3x对 x∈[－1，2]恒成立，在区间[－1，2]上，－x2＋3x的最小值为－(－1)2
＋3×(－1)＝－4，所以a≤(－x2＋3x)min＝－4，即a的取值范围是(－∞，－4].
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15.(2025·秦皇岛模拟)下列说法正确的是
A.“a>b”是“a2>b2”的必要不充分条件
B.命题“ x∈(0，＋∞)，x＋>1”的否定是“ x∈(0，＋∞)，x＋≤1”
C.“ω＝π”是“函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为2”的充分不必要
条件
D.“cos2α＋sin2β＝1”的充要条件是“α＝β”
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能力拓展
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对于A，“若a>b，则a2>b2”是假命题，
例如1>－2，而12<(－2)2，
“若a2>b2，则a>b”是假命题，例如(－2)2>12，而－2<1，
即“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，A错误；
对于B，命题“ x∈(0，＋∞)，x＋>1”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
因此它的否定是“ x∈(0，＋∞)，x＋≤1”，B错误；
答案
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对于D，当α＝，β＝时，cos2α＋sin2β＝1成立，因此cos2α＋sin2β＝1成立，不一定有α＝β，D错误；
对于C，当ω＝π时，函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为2，
当函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为2时，ω＝π或ω＝－π.
所以“ω＝π”是“函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为2”的充分不必要条件，C正确.
答案
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16.(多选)十七世纪法国数学家费马提出猜想：“对任意正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn没有正整数解”.经历三百多年，由数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理.根据前面叙述，则下列命题正确的为
A.至少存在一组正整数组(x，y，z)是关于x，y，z的方程x3＋y3＝z3的解
B.关于x，y的方程x3＋y3＝1有正有理数解
C.关于x，y的方程x3＋y3＝1没有正有理数解
D.当整数n>3时，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn有正实数解
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当正整数n>2时，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn没有正整数解，故方程x3＋y3＝z3没有正整数解，A错误；
x3＋y3＝z3没有正整数解，即＝1(z≠0)没有正有理数解，B错误，C正确；
方程xn＋yn＝zn，当x＝y＝1，z＝时满足条件，故有正实数解，D正确.
答案
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17.(多选)已知p： x∈[0，1]，不等式2x-2≥m2-3m恒成立，q： x∈[1，3]，不等式x2-ax+4≤0，则下列说法正确的是
A.p的否定是： x∈[0，1]，不等式2x-2B.q的否定是： x∈[1，3]，不等式x2-ax+4≤0
C.若p为真命题，则1≤m≤2
D.若q为假命题，则a<4
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p的否定是： x∈[0，1]，不等式2x-2q的否定是： x∈[1，3]，不等式x2-ax+4>0，B错误；
若p为真命题，则(2x-2)min≥m2-3m，x∈[0，1]，即m2-3m+2≤0，
解得1≤m≤2，C正确；
若q为假命题，则x2-ax+4>0，x∈[1，3]恒成立，即a因为x+≥2=4，当且仅当x=，即x=2时取等号，所以a<4，D正确.
答案
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18.若“ x∈(0，m)，使得x>”为假命题，则m的最大值为　　　　.
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因为“ x∈(0，m)，使得x>”为假命题，
所以“ x∈(0，m)，x≤”为真命题，
因为===5×5lg 3×3lg 2，
设5lg 3=t>0，所以log5t==lg 3，
所以=lg 5，
答案
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所以log3t=lg 5，所以t=3lg 5，所以5lg 3=3lg 5，
所以=5×3lg 5×3lg 2=5×3lg 5+lg 2=15，
即 x∈(0，m)，x≤15，
所以0返回
答案
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18(共47张PPT)
第一章
培优点1　集合中的创新问题
数学
大
一
轮
复
习
数学思维的创新是思维品质的最高层次，以集合为背景的创新问题是新高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，以集合为依托，考查学生理解问题、解决创新问题的能力.　　　　　　　　　　　　　　　
重点解读
例1　(多选)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a+b，a-b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域.例如有理数集Q是一个数域；数集F={a+b|a，b∈Q}也是一个数域.下列关于数域的命题中是真命题的为
A.0，1是任意数域中的元素
B.若数集M，N都是数域，则M∪N是一个数域
C.存在无穷多个数域
D.若数集M，N都是数域，则有理数集Q M∩N
√
集合中的新概念
题型一
√
√
对于A选项，由定义可知，对任意的数域P，至少含有两个数，则至少有一个元素a≠0∈P，所以有a-a=0∈P，=1∈P，故A正确；
对于B选项，假设数域M={a+b|a，b∈Q}，N={a+b|a，b∈Q}，则当x=∈M，y=∈N时，x∈M∪N，y∈M∪N，x+y=+ M且x+y=+ N，
故x+y=+ M∪N，故B错误；
对于C选项，可以利用题中的数域的例子进行构造，对于任意非完全平方数的正整数Z，
集合P={a+b|a，b∈Q}都是数域，这样就有无穷多个数域，故C正确；
对于D选项，在A选项的基础上进行证明：任意数域P，都有有理数集Q P.
因为0，1是任意数域中的元素，而且任意整数都可以看成有限个0或1的和或差，
故所有整数都属于数域P，
又任意有理数均能表示成两个整数的商，故所有有理数都属于数域P，即Q P，
所以Q M，Q N，即Q M∩N，故D正确.
新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加以创新，可以利用原有集合的相关知识解题.
思维升华
跟踪训练1　设全集U={2，3，5，6，9}，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依此类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第23位的子集是　　　　　　　.
{3，5，9}
不含任何元素的子集有1个，含有1个元素的子集有5个，含有2个元素的子集有10个，含有3个元素的子集有10个，因为1+5+10=16<23，且1+5+10+10=26>23，故排在第23位的子集含有3个元素，第26位的子集为{5，6，9}，第25位的子集为{3，6，9}，第24位的子集为{2，6，9}，第23位的子集为{3，5，9}.
例2　(多选)(2024·泰州模拟)对任意A，B R，记A B={x|x∈A∪B，x A∩B}，并称A B为集合A，B的对称差.例如：若A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A B={1，4}.下列命题中，为真命题的是
A.若A，B R且A B=B，则A=
B.若A，B R且A B= ，则A=B
C.若A，B R且A B A，则A B
D.存在A，B R，使得A B≠ RA RB
集合中的新运算
题型二
√
√
对于A，因为A B=B，所以B={x|x∈A∪B，x A∩B}，
所以A B，且B中的元素不能出现在A∩B中，因此A= ，即A正确；
对于B，因为A B= ，所以 ={x|x∈A∪B，x A∩B}，
即A∪B与A∩B是相同的，所以A=B，即B正确；
对于C，因为A B A，所以{x|x∈A∪B，x A∩B} A，
所以B A，当A≠B时，A B不成立，即C错误；
对于D，由于( RA) ( RB)={x|x∈( RA)∪( RB)，x ( RA)∩( RB)}
={x|x∈ R(A∩B)，x R(A∪B)}={x|x∈A∪B，x A∩B}，
而A B={x|x∈A∪B，x A∩B}，故A B=( RA) ( RB)，即D错误.
新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则.按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等进行解答.
思维升华
跟踪训练2　对于数集A，B，定义A+B={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，A÷B
=，若集合A={1，2}，则集合(A+A)÷A中所有元素之和为
A.5 B. C. D.
√
根据新定义，集合A={1，2}，则A+A={2，3，4}，(A+A)÷A=
.
例3　(2024·江门模拟)将2 024表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和，得到方程x1+x2+x3+x4+x5=2 024①，称五元有序数组(x1，x2，x3，x4，x5)为方程①的解，对于上述的五元有序数组(x1，x2，x3，x4，x5)，当1≤i，j≤5时，若max(xi-xj)=t(t∈N)，则称(x1，x2，x3，x4，x5)是t-密集的一组解.
(1)方程①是否存在一组解(x1，x2，x3，x4，x5)，使得xi+1-xi(i=1，2，3，4)等于同一常数？若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；
集合中的新性质
题型三
若xi+1-xi(i=1，2，3，4)等于同一常数，
根据等差数列的定义可得{xi}构成等差数列，所以x1+x2+x3+x4+x5=5x3=2 024，
解得x3=，与x3∈N*矛盾，
所以不存在一组解(x1，x2，x3，x4，x5)，
使得xi+1-xi(i=1，2，3，4)等于同一常数.
(2)方程①的解中共有多少组是1-密集的？
因为=(x1+x2+x3+x4+x5)==404.8，
依题意t=1，即当1≤i，j≤5时，
max(xi-xj)=1，
所以max{xi}=405，min{xj}=404，
设有y个405，则有(5-y)个404，
由405y+404(5-y)=2 024，解得y=4，
所以(x1，x2，x3，x4，x5)中有4个405，1个404，
所以方程①的解中共有5组是1-密集的.
(3)记S=，问S是否存在最小值？若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说明理由.
因为平均数=(x1+x2+x3+x4+x5)==404.8，
又方差σ2=(xi-)2，
即5σ2=(xi-)2=-5，
所以S=5σ2+5为常数，所以当方差σ2取最小值时S取最小值，
又当t=0时，x1=x2=x3=x4=x5，即5x1=2 024，方程无正整数解，故舍去；
当t=1，即(x1，x2，x3，x4，x5)是1-密集的一组解时，S取得最小值，
且Smin=4×4052+4042=819 316.
新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合的有关知识点.
思维升华
跟踪训练3　(2025·山东名校联盟联考)已知集合S={0，1，2，…，5n}
(n∈N*)，集合T S，记T的元素个数为|T|.若集合T中存在三个元素a，b，c(a3b，则称T为“理想集”.
(1)若n=1，分别判断集合T1={0，2，3，5}，T2={0，1，2，5}是否为“理想集”，并说明理由；
T1不是“理想集”，T2是“理想集”，理由如下：
由题意，令a=0，b=2，c=3，则3+2×0<3×2；
令a=0，b=2，c=5，则5+2×0<3×2；
令a=0，b=3，c=5，则5+2×0<3×3；
令a=2，b=3，c=5，则5+2×2=3×3，
所以T1不是“理想集”.
令a=1，b=2，c=5，则5+2×1>3×2，
所以T2是“理想集”.
(2)若n=1，写出所有的“理想集”T的个数并列举；
共16个“理想集”.
若n=1，有S={0，1，2，3，4，5}.
当|T|=3时，若a=0，则b≥1，由c+2a>3b可知c>3b≥3，故(b，c)=(1，4)或(1，5)；
若a=1，则b≥2，由c+2a>3b可知c+2>3b≥6，则4故含有三个元素的“理想集”T={0，1，4}，{0，1，5}，{1，2，5}，共3个.
当|T|=4时，T={0，1，2，4}，{0，1，3，4}，{0，1，2，5}，{0，1，3，5}，{0，1，4，5}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，共7个.
当|T|=5时，T={0，1，2，3，4}，{0，1，2，3，5}，{0，1，2，4，5}，{0，1，3，4，5}，{1，2，3，4，5}，共5个.
当|T|=6时，T={0，1，2，3，4，5}，共1个.
综上所述，所有“理想集”T的个数为16，分别为{0，1，4}，{0，1，5}，{1，2，5}，{0，1，2，4}，{0，1，3，4}，{0，1，2，5}，{0，1，3，5}，{0，1，4，5}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{0，1，2，3，4}，{0，1，2，3，5}，{0，1，2，4，5}，{0，1，3，4，5}，{1，2，3，4，5}，
{0，1，2，3，4，5}.
(3)若|T|=4n+2，证明：集合T必为“理想集”.
若|T|=4n+2，记T={x1，x2，…，x4n+2}且0≤x1利用反证法，假设对于T中任意三个元素a，b，c(a则3xi+1≥x4n+2+2xi，i=1，2，…，4n.
设yi=x4n+2-xi>0，于是yi+1≤yi，
则y4n+1≤y4n≤y4n-1≤…≤y1，
因此1≤y4n+1≤(x4n+2-x1)≤(5n-0)=<1，矛盾.
假设不成立，故集合T必为“理想集”.
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
题号 1 2 3 4
答案 B C ABC (1)100110　(2)4
答案
1
2
3
4
5
(1)由题意知，S4={1，2，3，4，5，6，7，8}，
对于集合A1={3，4，5}，
令
显然1∈S4，2∈S4，3∈S4，
所以A1是集合S4的“期待子集”；
对于集合A2={3，5，7}，
令则a1+b1+c1=，
因为a1，b1，c1∈S4，即a1+b1+c1∈N*，故矛盾，所以A2不是集合S4的“期待子集”.
5.
答案
1
2
3
4
5
(2)先证明必要性：
当集合A是集合Sn的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的a，b，c∈Sn，使得a+b，b+c，c+a∈A，
不妨设a则x又x+y-z=(a+b)+(c+a)-(b+c)=2a>0，所以x+y>z，即性质P中的②成立；
因为x+y+z=(a+b)+(c+a)+(b+c)
=2(a+b+c)，
所以x+y+z为偶数，即性质P中的③成立，
所以集合A具有性质P.
5.
答案
1
2
3
4
5
再证明充分性：
当集合A具有性质P时，则存在x，y，z∈A，同时满足①xz，③x+y+z为偶数，
记a=-z，b=-y，c=-x，
由③得a，b，c∈Z，由①得a由②得a=-z>0，所以a，b，c∈Sn，
因为a+b=x，a+c=y，b+c=z，所以a+b，b+c，c+a均属于A，
即集合A是集合Sn的“期待子集”.
综上，集合A是集合Sn的“期待子集”的充要条件是集合A具有性质P.
5.
一、单项选择题
1.(2025·深圳模拟)定义两集合M，N的差集：M-N={x|x∈M且x N}，已知集合A={2，3，5}，B={3，5，8}，则A-(A-B)的子集个数是
A.2 B.4 C.8 D.16
√
1
2
3
4
5
答案
1
2
3
4
5
答案
因为A={2，3，5}，B={3，5，8}，
所以A-B={2}，
所以A-(A-B)={3，5}，有两个元素，
则A-(A-B)的子集个数是22=4.
2.(2024·怀化模拟)给定整数n≥3，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集T={|a-b||a，b∈S，a≠b}，如果min(T)=1，则称集合S为规范数集(注：min(X)表示数集X中的最小数).对于集合M={-0.1，-1.1，2，2.5}，N={-1.5，-0.5，0.5，1.5}，则
A.M是规范数集，N不是规范数集
B.M是规范数集，N是规范数集
C.M不是规范数集，N是规范数集
D.M不是规范数集，N不是规范数集
1
2
3
4
5
√
答案
1
2
3
4
5
答案
集合M={-0.1，-1.1，2，2.5}中，2∈M，2.5∈M，则|2-2.5|=0.5<1，
即M的相伴数集中的最小数不是1，因此M不是规范数集；
集合N={-1.5，-0.5，0.5，1.5}，|-1.5-(-0.5)|=1，|-0.5-0.5|=1，|0.5-1.5|=1，
|-1.5-0.5|=|-0.5-1.5|=2，|-1.5-1.5|=3，
即N的相伴数集中的最小数是1，因此N是规范数集.
一、多项选择题
3.设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：① ∈F，②若A，B∈F，则A∩( UB)∈F且A∪B∈F，那么称F是U的一个环.则下列说法正确的是
A.若U={1，2，3，4，5，6}，则F={ ，{1，3，5}，{2，4，6}，U}是U
的一个环
B.若U={a，b，c}，则存在U的一个环F，F含有8个元素
C.若U=Z，则存在U的一个环F，F含有4个元素且{2}，{3，5}∈F
D.若U=R，则存在U的一个环F，F含有7个元素且[0，3]，[3，5]∈F
√
1
2
3
4
5
答案
√
√
1
2
3
4
5
答案
由题意知，① ∈F，②若A，B∈F，
则A∩( UB)∈F且A∪B∈F.
对于A，全集U={1，2，3，4，5，6}且F={ ，{1，3，5}，{2，4，6}，U}，
满足 ∈F且当A，B∈F时，可得A∩( UB)∈F且A∪B∈F，所以A正确；
对于B，由{U的所有子集}={ ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}}共含8个元素，
若F是U的所有子集构成的集合，则集合F是U的一个环且有8个元素，所以B正确；
1
2
3
4
5
答案
对于C，若{2}∈F，{3，5}∈F，可得{2}∪{3，5}={2，3，5}∈F，
所以F={ ，{2}，{3，5}，{2，3，5}}是U的一个环，其中F中含有4个元素，所以C正确；
对于D，若[0，3]∈F，[3，5]∈F，
可得[0，3]∩( R[3，5])=[0，3)∈F，[3，5]∩( R[0，3])=(3，5]∈F，[3，5]
∪[0，3]=[0，5]∈F，
[0，3]∩( R[0，3))={3}∈F，[0，5]∩( R{3})=[0，3)∪(3，5]∈F，且 ∈F，
所以集合F中至少有8个元素，所以D错误.
三、填空题
4.设全集U={1，2，3，4，5，6}，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如{1，3}表示的是从左往右第1个字符为1，第3个字符为1，其余均为0的6位字符串101000，并规定空集表示的字符串为000000.
(1)若N={2，3，6}，则 UN表示的6位字符串为　　　　；
1
2
3
4
5
答案
100110
因为U={1，2，3，4，5，6}，N={2，3，6}，
所以 UN={1，4，5}，所以 UN表示的6位字符串为100110.
(2)若B={5，6}，集合A∪B表示的字符串为011011，则满足条件的集合A的个数为　　.
1
2
3
4
5
答案
4
因为集合A∪B表示的字符串为011011，
所以A∪B={2，3，5，6}，又B={5，6}，
所以集合A可能为{2，3}，{2，3，5}，{2，3，6}，{2，3，5，6}，
即满足条件的集合A的个数为4.
四、解答题
5.已知集合Sn={1，2，3，…，2n}(n∈N*，n≥4)，对于集合Sn的非空子集A，若Sn中存在三个互不相同的元素a，b，c，使得a+b，b+c，c+a均属于A，则称集合A是集合Sn的“期待子集”.
(1)判断集合A1={3，4，5}，A2={3，5，7}是否为集合S4的“期待子集”；
1
2
3
4
5
答案
1
2
3
4
5
答案
由题意知，S4={1，2，3，4，5，6，7，8}，
对于集合A1={3，4，5}，
令
显然1∈S4，2∈S4，3∈S4，
所以A1是集合S4的“期待子集”；
对于集合A2={3，5，7}，
1
2
3
4
5
答案
令
则a1+b1+c1=，
因为a1，b1，c1∈S4，即a1+b1+c1∈N*，故矛盾，
所以A2不是集合S4的“期待子集”.
(2)如果一个集合中含有三个元素x，y，z，同时满足①xz，③x+y+z为偶数，那么称该集合具有性质P.对于集合Sn的非空子集A，证明：集合A是集合Sn的“期待子集”的充要条件是集合A具有性质P.
1
2
3
4
5
答案
1
2
3
4
5
答案
先证明必要性：
当集合A是集合Sn的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的a，b，c∈Sn，使得a+b，b+c，c+a∈A，
不妨设a则x又x+y-z=(a+b)+(c+a)-(b+c)=2a>0，所以x+y>z，即性质P中的②成立；
因为x+y+z=(a+b)+(c+a)+(b+c)=2(a+b+c)，
所以x+y+z为偶数，即性质P中的③成立，
所以集合A具有性质P.
1
2
3
4
5
答案
再证明充分性：
当集合A具有性质P时，则存在x，y，z∈A，同时满足①xz，③x+y+z为偶数，
记a=-z，b=-y，
c=-x，
由③得a，b，c∈Z，由①得a由②得a=-z>0，
所以a，b，c∈Sn，
1
2
3
4
5
答案
因为a+b=x，a+c=y，b+c=z，
所以a+b，b+c，c+a均属于A，
即集合A是集合Sn的“期待子集”.
综上，集合A是集合Sn的“期待子集”的充要条件是集合A具有性质P.(共69张PPT)
第一章
§1.5　基本不等式
的综合应用
数学
大
一
轮
复
习
1.会求与基本不等式有关的恒(能)成立问题.
2.理解基本不等式在实际问题中的应用.
3.掌握基本不等式在其他知识中的应用.
课标要求
例1　(1)若不等式≥恒成立，则实数m的最大值为
A.2 B.3 C.4 D.9
√
与基本不等式有关的恒(能)成立问题
题型一
由题意≥m恒成立，即5＋≥m恒成立.
又5＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝b时取等号.
故实数m的最大值为9.
(2)若两个正实数x，y满足＝1，且不等式x＋A.{m|－1B.{m|m<－4或m>1}
C.{m|－4D.{m|m<－1或m>4}
√
∵不等式x＋∴0，y>0，＝1，
∴x＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当，即x＝2，y＝8时等号成立，
∴m2－3m>4，∴(m＋1)(m－4)>0，
∴m<－1或m>4，
∴实数m的取值范围是{m|m<－1或m>4}.
x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a；
x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a.
思维升华
跟踪训练1　(1)已知a>0，若关于x的不等式x＋≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为
A.1 B.2 C.4 D.8
√
因为x>－1，x＋1>0，
所以x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝2－1，
当且仅当x＋1＝，即x＝－1时取等号，
所以x＋有最小值2－1，
因为不等式x＋≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，所以2－1≥3，
解得a≥4，所以a的最小值为4.
(2)已知正数x，y满足(x－1)(y－2)＝2，不等式3x＋2y>m恒成立，则实数m的取值范围是
A.(－∞，4＋6) B.(6＋4，＋∞)
C.(－∞，7＋4) D.(8＋4，＋∞)
√
因为(x－1)(y－2)＝2，x>0，y>0，
所以xy＝2x＋y，即＝1，
所以由基本不等式可得
3x＋2y＝(3x＋2y)＝7＋≥7＋2＝7＋4，
当且仅当
即时等号成立，
综上所述，3x＋2y的最小值为7＋4.
因为不等式3x＋2y>m恒成立，
所以实数m的取值范围是(－∞，7＋4).
例2　随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段(汽车行驶速度不低于60 km/h)测试发现：①汽车每小时耗电量P(单位：kW·h)与速度v(单位：km/h)的关系满足P(v)＝0.002v2－0.04v＋5(60≤v≤120)；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路(最低限速60 km/h，最高限速120 km/h)匀速行驶到距离为500 km的B地，出发前汽车电池存量为
75 kW·h，汽车到达B地后至少要保留5 kW·h的保障电量(假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计).
基本不等式的实际应用
题型二
(1)判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由；
设匀速行驶速度为v km/h，耗电量为f(v)，则f(v)＝P(v)·＝v＋－20(60≤v≤120)，
易知函数f(v)在区间[60，120]上单调递增，
所以f(v)min＝f(60)＝>75－5，
即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，
所以该车不能在不充电的情况下到达B地.
(2)若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15 kW(充电量＝充电功率×时间)，求到达B地的最少用时(行驶时间与充电时间总和).
设匀速行驶速度为v km/h，总时间为t h，行驶时间与充电时间分别为t1 h，t2 h.
若能到达B地，则初始电量＋充电电量－消耗电量≥保障电量，
即75＋15t2－f(v)≥5，
解得t2≥－6.
所以t＝t1＋t2≥－6＝－6≥2－6＝.
当且仅当，即v＝100时取等号，
所以该汽车到达B地的最少用时为 h.
利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.
思维升华
跟踪训练2　某村现有180户村民，且都从事海产品养殖工作，平均每户的年收入为8万元.为探索科技助农新模式，村委会决定调整产业结构，安排x(00)万元，从事海产品养殖工作的村民平均每户的年收入相比原来提高5x%，若从事直播带货工作的村民不管有多少人，他们的总年收入都不大于从事海产品养殖工作的村民的总年收入，则a的最大值为
A.12 B.14 C.22 D.60
√
由题意可得8x≤(180－x)·8·(1＋5x%)，化简可得a≤＋8，
因为＋8≥2＋8＝14，
当且仅当，即x＝60时等号成立，
所以a≤14，即a的最大值为14.
例3　(1)设a>0，b>0，若ln 是ln 3a与ln 9b的等差中项，则的最小值为
A.6 B.8 C.9 D.12
√
基本不等式与其他知识交汇的最值问题
题型三
∵ln 是ln 3a与ln 9b的等差中项，
∴2ln ＝ln 3a＋ln 9b，
即ln 3＝ln(3a·9b)＝ln 3a＋2b＝(a＋2b)ln 3，
∴a＋2b＝1，又a>0，b>0，
∴(a＋2b)＝4＋≥4＋2＝8，
当且仅当，即a＝，b＝时等号成立.
(2)(2025·绍兴模拟)原点到直线l：λx＋y－λ＋1＝0(λ∈R)的距离的最大
值为
A. B. C. D.
√
方法一　设原点到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式得
d＝，
显然当λ<0时，有最大值，
此时－，
因为(－λ)＋≥2＝2，当且仅当λ＝－1时等号成立，
所以≤＝1，所以dmax＝.
方法二　直线l恒过定点(1，－1)，故原点到直线l距离的最大值为.
基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题.
思维升华
跟踪训练3　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，
c成等差数列，则sin B的取值范围是　　　　　.
因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，
所以cos B＝.
因为a2＋c2≥2ac，当且仅当a＝c时取等号，所以3(a2＋c2)－2ac≥4ac>0，
所以cos B＝≥.
又y＝cos x在区间(0，π)上单调递减，
所以0课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C A A C C ABC ABD
题号 9 10 13 　14 15 16 答案 1 C 1 16
15
(1)f(x)=x+=x-1++1，
因为x>1，所以x-1>0，
所以x-1++1≥2+1=7，
当且仅当x-1=，即x=4时，等号成立，
所以f(x)的最小值为7.
11.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
16
15
(2)由(1)知函数f(x)的最小值为7，
因为a2+6a≤f(x)恒成立，
所以a2+6a≤7，解得-7≤a≤1，
所以a的取值范围是[-7，1].
11.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
16
15
(1)由题意可得W(x)=
所以W(x)=
12.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
16
15
(2)当0当x=35时，W(x)取最大值，W(35)=2 050(万元)；
当40W(x)=-x-+1 700=-+1 700≤-2+1 700=1 580，
当且仅当x=60时，等号成立，因为2 050>1 580，
故当该产品的年产量为35 台时，所获年利润最大，最大年利润为2 050万元.
12.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
16
15
一、单项选择题
1.已知a>0，b>1，ab－a＝1，则a＋b的最小值为
A.1 B.2 C.3 D.5
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
知识过关
答案
16
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
方法一　因为ab－a＝1，所以b＝＋1，所以a＋b＝a＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝1时，等号成立，所以a＋b的最小值为3.
方法二　因为b>1，所以b－1>0.
因为ab－a＝a(b－1)＝1，所以a＋b－1≥2＝2，
当且仅当a＝b－1，即a＝1，b＝2时，等号成立，
故a＋b的最小值为3.
16
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
2.已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·
|MF2|的最大值为
A.13 B.12 C.9 D.4
√
因为|MF1|＋|MF2|＝6，
所以|MF1|·|MF2|≤＝9，
当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立，
所以|MF1|·|MF2|的最大值为9.
16
15
3.已知实数x，y>0，＝2，且x＋y≥m恒成立，则实数m的取值范围为
A. B.(－∞，9]
C. D.[9，＋∞)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
16
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
由＝2，可得＝1，
又因为x，y>0，
则x＋y＝(x＋y)·＋2＋≥＋2，
当且仅当，即y＝2x＝3时取等号，所以(x＋y)min＝，
由x＋y≥m恒成立，可得m≤(x＋y)min＝，
即实数m的取值范围为.
答案
16
15
4.若存在x∈(0，2]，使不等式ax2－2x＋3a<0成立，则实数a的取值范围是
A.a< B.0≤a≤
C.a> D.a>
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
16
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
当x∈(0，2]时，由ax2－2x＋3a<0，
可得a(x2＋3)<2x，由题意得a<，
因为≤，当且仅当x＝(x>0)，即x＝时，等号成立，
所以当x∈(0，2]时，的最大值为，
故a<.
答案
16
15
5.(2024·宿州模拟)定义：对于数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余，记作a≡b(mod m).已知正整数t满足t≡11(mod 6)，将符合条件的所有t的值按从小到大的顺序排列，构成数列{an}.设数列{an}的前n项和为Sn，则的最小值为
A.12 B.14 C.16 D.18
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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答案
16
15
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2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
由题意可知an＝6n－1，n∈N*，
则数列{an}是等差数列，
所以Sn＝＝3n2＋2n，
可得＝6＋4≥12＋4＝16，
当且仅当n＝1时，取得最小值16.
答案
16
15
6.(2025·长沙模拟)中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半.已知△ABC的周长为12，c＝4，则此三角形面积最大时，A等于
A.30° B.45° C.60° D.90°
√
1
2
3
4
5
6
7
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答案
16
15
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8
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13
14
由题可知a＋b＝8，c＝4，p＝6，
则S＝≤×＝4，
当且仅当a＝b＝4时取等号，
所以此时三角形为等边三角形，故A＝60°.
答案
16
15
二、多项选择题
7.(2024·宜宾模拟)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，若≤x＋2y恒成立，则实数m的可能取值为
A. B. C.3 D.
1
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14
√
答案
√
√
16
15
由x>0，y>0，得xy>0，
≤x＋2y恒成立，
即≤恒成立，
又(2x＋y)＝5＋≥5＋2＝9，
当且仅当x＝y＝时，等号成立，
1
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14
答案
16
15
故≤9，即－9＝≤0，
即
解得m<1或m≥.
1
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14
答案
16
15
8.若a>1，b>1，且ab＝e2，则
A.2e≤a＋bB.0C.2－1≤ln a＋logab<2
D.aln b的最大值为e
√
1
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答案
√
√
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14
由a>1，b＝>1，得1因为函数f(a)＝a＋b＝a＋在(1，e)上单调递减，在[e，e2)上单调递增，所以2e≤a＋b因为ab＝e2，所以有ln a＋ln b＝2，于是0答案
16
15
1
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14
ln a＋logab＝ln a＋＝ln a＋＝ln a＋－1，
设t＝ln a∈(0，2)，所以φ(t)＝t＋－1在(0，)上单调递减，在[，2)上单调递增，
所以φ(t)＝t＋－1∈[2－1，＋∞)，故C错误；
设λ＝aln b，所以ln λ＝ln aln b＝ln b·ln a≤1，所以λ≤e，故D正确.
答案
16
15
三、填空题
9.(2024·南京模拟)若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为　　　.
1
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5
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14
答案
1
∵正实数x，y满足x＋y＝2，
∴xy≤＝1，∴≥1，
又≥M恒成立，∴M≤1，即M的最大值为1.
16
15
10.已知函数f(x)＝ax2＋2x＋b的值域为[0，＋∞)，其中a>b，则的最小值为　　　.
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答案
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14
函数f(x)＝ax2＋2x＋b的值域为[0，＋∞)，
令ax2＋2x＋b＝0，
则有即ab＝1，且a>0，
所以＝(a－b)＋，
又a>b，所以a－b>0，
答案
16
15
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14
则(a－b)＋≥2＝2，
当且仅当a－b＝，且ab＝1，
即a＝，b＝时等号成立，
即的最小值为2.
答案
16
15
四、解答题
11.已知函数f(x)＝x＋(x>1).
(1)求f(x)的最小值；
1
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答案
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13
14
答案
f(x)＝x＋＝x－1＋＋1，
因为x>1，所以x－1>0，
所以x－1＋＋1≥2＋1＝7，
当且仅当x－1＝，即x＝4时，等号成立，
所以f(x)的最小值为7.
16
15
(2)若a2＋6a≤f(x)恒成立，求a的取值范围.
1
2
3
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5
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14
答案
由(1)知函数f(x)的最小值为7，
因为a2＋6a≤f(x)恒成立，
所以a2＋6a≤7，解得－7≤a≤1，
所以a的取值范围是[－7，1].
16
15
12.随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来持续增长.某市一家医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产x台，需
另投入成本G(x)万元，且G(x)＝由市
场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
1
2
3
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14
答案
16
15
(1)写出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数解析式(利润＝销售收入－成本)；
1
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14
答案
由题意可得W(x)＝
所以W(x)＝
16
15
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
1
2
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14
答案
当0当x＝35时，W(x)取最大值，W(35)＝2 050(万元)；
当40≤－2＋1 700＝1 580，
当且仅当x＝60时，等号成立，因为2 050>1 580，
故当该产品的年产量为35 台时，所获年利润最大，最大年利润为2 050万元.
16
15
13.(2025·德阳模拟)设双曲线＝1(a>0)的离心率为e，则当e2＋a2取最小值时，e等于
A. B.2 C. D.3
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14
答案
能力拓展
√
16
15
双曲线＝1(a>0)的离心率为e＝，
e2＋a2＝＋a2＝2＋＋a2≥2＋2＝4，
当且仅当＝a2，即a＝1时取等号，
此时e＝.
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答案
16
15
14.(2024·咸阳模拟)已知函数f(x)＝2 026x－2 026－x，若m>0，n>1，且f＋f＝f(sin 2 026π)，则的最小值为　　　　.
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2
答案
16
15
因为f(x)＝2 026x－2 026－x，
所以f(－x)＝2 026－x－2 026x＝－(2 026x－2 026－x)＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数，f(0)＝0，
若m>0，n>1，则f＋f＝f(sin 2 026π)＝f(0)＝0，
所以f＝－f＝f，
又f(x)在R上单调递增，
所以－2＝－，即＝2，n＋2m＝2mn，
1
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答案
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14
答案
则2m＝，
所以＝3n＋2m－4＝3n＋－4
＝3(n－1)＋≥2＝2，
当且仅当3(n－1)＝，即n＝1＋时，等号成立，
所以的最小值为2.
16
15
15.出入相补是指一个平面(或立体)图形被分割成若干部分后面积(或体积)的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理.在下面两个图中，若AC=b，BC=a(b≥a)，AB=c，图中两个阴影三角形的周长分别为l1，l2，则的最小值为　　　　.
1
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1+
答案
15
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答案
14
15
如图1，易知△BDE∽△ACB，
且BD=CD-BC=b-a，
所以==，
所以l1=(a+b+c)；
如图2，易知△GFH∽△ACB，且FG=a，
所以==，所以l2=(a+b+c)，
所以==1+=1+=1+，
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答案
14
15
又因为a2+b2≥2ab，所以≤1，
当且仅当a=b时取等号，
所以≥1+=1+，
所以的最小值为1+.
16
16.已知椭圆+=1(a>b>0)，经过仿射变换则椭圆变为了圆
x'2+y'2=a2，并且变换过程有如下对应关系：①点P(x0，y0)变为P'；
②直线斜率k变为k'=k，对应直线的斜率比不变；③图形面积S变为S'=S，对应图形面积比不变；④点、线、面位置关系不变(平行直线还是平行直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等).过椭圆+y2=1内一点P作一直线与椭圆相交于A，B两点，则△AOB的面积的最大值为　　.
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答案
15
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13
答案
14
15
+y2=1，a=2，b=1，
由仿射变换椭圆方程变换为x'2+y'2=4，
P变换为P'(1，1)，如图所示，设圆的半径为r，
点O'到直线A'B'的距离为d，则r=2，
所以S'△A'O'B'=×2·d=·d≤=2，
当且仅当d=时，等号成立，
而S'△A'O'B'=2S△AOB，所以S△AOB≤1，即△AOB的最大面积为1.
16(共78张PPT)
第一章
§1.3　等式性质与
不等式性质
数学
大
一
轮
复
习
1.掌握等式性质.
2.会比较两个数的大小.
3.理解不等式的性质，并能简单应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R).
a-b>0 a b,
a-b＝0 a b,
a-b<0 a b
>
＝
<
2.等式的性质
性质1　对称性：如果a＝b，那么 ；
性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么 ；
性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么 .
b＝a
a＝c
3.不等式的性质
性质1　对称性：a>b ；
性质2　传递性：a>b，b>c ；
性质3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性质4　可乘性：a>b，c>0 ；a>b，c<0 ；
性质5　同向可加性：a>b，c>d ；
性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ；
性质7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2).
ba>c
ac>bc
aca＋c>b＋d
ac>bd
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a(2)若>1，则b>a.(　　)
(3)同向不等式具有可加性和可乘性.(　　)
(4)若>，则b×
√
×
×
2.(多选)下列命题为真命题的是
A.若ac2>bc2，则a>b
B.若a>b>0，则a2>b2
C.若aD.若a
√
C中，若a＝－2，b＝－1，则a2>ab>b2，故C错误.
√
√
3.设M＝2a2＋5a＋4，N＝(a＋1)(a＋3)，则M与N的大小关系为
A.M>N B.M＝N
C.M√
因为M－N＝(2a2＋5a＋4)－(a＋1)(a＋3)＝a2＋a＋1＝>0，所以M>N.
4.若实数a，b满足0∵0(－1，2)
1.熟练应用两个倒数性质
(1)a<0(2)ab>0，a>b <.
2.糖水不等式
(1)糖水不等式定理：若a>b>0，m>0，则一定有>，
通俗的理解：a克的不饱和糖水里含有b克糖，往糖水里面加入m克糖，则糖水更甜；
(2)糖水不等式的倒数形式：设a>b>0，m>0，则有>.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(多选)下列不等式中正确的是
A.x2－2x>－3(x∈R)
B.a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R)
C.a2＋b2>2(a－b－1)
D.<(b>a>0)
√
数(式)的大小比较
题型一
√
∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，
∴x2－2x>－3，故A正确；
a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b).
∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不确定，
∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，故B错误；
∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误；
用作差法比较，
∵b>a>0，∴>0，
∴<，故D正确.
(2)若实数m，n，p满足m＝4，n＝5，p＝，则
A.pC.m√
因为实数m，n，p满足m＝4，n＝5，p＝，则m>0，n>0，p>0，
所以·<1，所以m又·>1，所以m>p.
所以p比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.
思维升华
跟踪训练1　(1)已知c>1，且x＝，y＝，则x，y之间的大小关系是
A.x>y B.x＝y
C.x√
方法一　由题设，易知x>0，y>0，又<1，∴x方法二　设f(x)＝，定义域为[1，＋∞)，
则f(x)＝，故f(x)为减函数，
又c＋1>c>1，则f(c＋1)(2)(多选)若a>b>0，那么下列不等式一定成立的是
A.> B.<
C.a>>b D.a＋>b＋
√
√
√
对于A，因为a>b>0，所以>0，故A正确；
对于B，>1>>0，故B错误；
对于C，a>b>0，>1，所以a>，因为>1，所以>b，所以a>>b，故C正确；
对于D，a＋－b－＝(a－b)>0，故D正确.
例2　(1)(多选)已知实数a，b，c，d，则下列命题中错误的是
A.若a>b，则ac>bc
B.若a>b，c>d，则a－c>b－d
C.若b
D.若a>b，c>d，则ac不等式的基本性质
题型二
√
√
√
对于A，当c＝0时，ac＝bc，故A错误；
对于B，不妨取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a>b，c>d，但a－c＝b－d，故B错误；
对于C，若b－a>0，所以<，则>，故C正确；
对于D，取a＝3，b＝－5，c＝1，d＝－，此时ac>bd，故D错误.
(2)(多选)(2025·常德模拟)已知a>b>0，则下列不等式正确的是
A.a2>ab B.>
C.a＋b＋ln(ab)>2 D.a－>b－
√
√
√
对于A，∵a>b>0，∴a2>ab，故A正确；
对于B，∵a>b>0，∴<，∴1＋<1＋，即0<<，∴>，故B正确；
对于C，令a＝1，b＝，则a＋b＋ln(ab)＝1＋＋ln <2，故C错误；
对于D，易得y＝x－(x>0)为增函数，且a>b>0，故a－>b－，故D正确.
判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证.
(2)利用特殊值法排除错误选项.
(3)作差法.
(4)构造函数，利用函数的单调性.
思维升华
跟踪训练2　(1)设a，b∈R，则“a”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
充分性：由a－b>0，则(－a)2>(－b)2>0，
即a2>b2>0，两边同乘，可得<，不满足充分性；
必要性：取特殊值a＝1，b＝2，满足>，但不满足a”的既不充分也不必要条件.
(2)(多选)若a>b>0，c>d>0，则下列结论正确的是
A.ad>bc B.a(a＋c)>b(b＋d)
C.< D.ac＋bd>ad＋bc
√
√
√
对于A，取a＝2，b＝1，c＝2，d＝1，则ad＝bc，故A错误；
对于B，由a>b>0，c>d>0，得a＋c>b＋d>0，则a(a＋c)>b(b＋d)，故B正确；
对于C，由a>b>0，c>d>0，得ac>bd，
且<等价于<，
等价于>，等价于ac>bd，故C正确；
对于D，(ac＋bd)－(ad＋bc)＝(ac－ad)＋(bd－bc)＝a(c－d)＋b(d－c)＝(c－d)(a－b)>0，
则ac＋bd>ad＋bc，故D正确.
例3　(1)(多选)已知－1A.－15C.－2√
不等式性质的综合应用
题型三
√
√
因为－1所以－1<－b<3，
对于A，当0≤a<5，0≤b<1时，0≤ab<5；
当0≤a<5，－3则0≤－ab<15，即－15当－1则0≤－ab<1，即－1当－1综上，－15对于B，－1－3＝－4对于C，－1－1＝－2对于D，当a＝4，b＝时，＝8，故D错误.
(2)(2024·辽宁县域重点高中协作体模拟)公园的绿化率是指公园内的绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为a m2，绿化面积为b m2(0A.变大 B.变小
C.不变 D.不确定
√
原来公园的绿化率为，扩建后公园的绿化率为，
则，
所以与的大小与a，2b的大小有关，故扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率的变化情况不确定.
利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点
(1)必须严格运用不等式的性质.
(2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
思维升华
跟踪训练3　(1)已知2A.[6，7] B.(2，5) C.[4，7] D.(5，8)
√
由题意可知4<2a<6，1<－b<2，所以5<2a－b<8.
(2)手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在(0，1)之间.设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外观，则该手机“屏占比”和升级前比
A.不变 B.变小
C.变大 D.变化不确定
√
设原来手机屏幕面积为b，整机面积为a，
则屏占比为(a>b>0)，设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为m(m>0)，升级后屏占比为，∵a>b>0，
∴>0，
即该手机“屏占比”和升级前比变大.
返回
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C D A B AB ABD
题号 9 10 13 　14
答案 a=-1，b=2(答案不唯一) C C
题号 15 16 答案 B 15
16
(1)∵a>b>c>d，
∴a>b，-d>-c，
∴a-d>b-c>0，则<.
(2)∵a>b>0，c∴-c>-d>0，
∴a-c>b-d>0，b-a<0，c-d<0，
则-===>0，∴>.
11.
答案
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14
(1)a=[(a+b)+(a-b)]，
由-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4，
得-4≤(a+b)+(a-b)≤6，
∴-2≤[(a+b)+(a-b)]≤3，
即-2≤a≤3，
故实数a的取值范围为[-2，3].
12.
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答案
1
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14
(2)设3a-2b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b，
则解得
∴3a-2b=(a+b)+(a-b)，
∵-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4.
∴-≤(a+b)≤1，-≤(a-b)≤10，
∴-4≤3a-2b≤11，即3a-2b的取值范围为[-4，11].
12.
15
16
一、单项选择题
1.若a＝(x＋1)(x＋3)，b＝2(x＋2)2，则下列结论正确的是
A.a>b B.aC.a≥b D.a，b的大小关系不确定
√
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知识过关
答案
因为b－a＝2(x＋2)2－(x＋1)(x＋3)＝2x2＋8x＋8－(x2＋4x＋3)＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0，所以a15
16
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答案
2.已知a>b，则下列不等式一定成立的是
A.< B.2a>2b
C.a2>b2 D.|a|>|b|
√
取a＝1，b＝－2，满足a>b，显然有>，a2指数函数y＝2x为增函数，若a>b，则必有2a>2b，B正确.
15
16
3.已知a，b，x均为实数，下列不等式恒成立的是
A.若aC.若ax2 026√
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当a＝－2，b＝1时，(－2)2 026>12 026，A错误；
当a＝0时，没意义，B错误；
由ax2 0260，所以a当x＝0时，ax2 026答案
15
16
4.A，B，C，D四名同学的年龄关系如下.A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是
A.B>C>A>D B.B>C>D>A
C.C>B>A>D D.C>B>D>A
√
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答案
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用A，B，C，D表示A，B，C，D四名同学的年龄，则A>0，B>0，C>0，D>0.
则A＋C＝B＋D， ①
C＋D>A＋B， ②
B>A＋D. ③
①＋②得C>B，①＋③得C>2D，②＋③得C>2A，由于A>0，D>0，故由③得B>A，B>D，
答案
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由①得C－B＝D－A，
∵C>B，∴C－B>0，∴D－A>0，∴D>A，
综上，C>B>D>A.
答案
15
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5.已知－3A.(1，3) B.
C. D.
√
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答案
因为－3而3故的取值范围为(1，3).
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16
6.已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0且a>b>c，则下列选项错误的是
A.bc>ac
B.a2>c2
C.2ac－2bcD.(a－c)2≤2(a－b)2＋2(b－c)2
√
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答案
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因为a＋b＋c＝0且a>b>c，所以a>0，c<0，
A选项，bc－ac＝(b－a)c>0，故bc>ac，A正确；
B选项，不妨设a＝1，b＝0，c＝－1，此时满足a＋b＋c＝0且a>b>c，但a2＝c2，B错误；
C选项，因为a＋b＋c＝0且a>b>c，所以a－b>0，a＋b－2c＝a－c＋b－c>0，
a2－b2＋2bc－2ac＝(a＋b)(a－b)＋2c(b－a)＝(a－b)(a＋b－2c)>0，
所以2ac－2bc答案
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D选项，2(a－b)2＋2(b－c)2－(a－c)2
＝2(a－b)2＋2(b－c)2－[(a－b)＋(b－c)]2
＝2(a－b)2＋2(b－c)2－(a－b)2－2(a－b)(b－c)－(b－c)2
＝(a－b)2＋(b－c)2－2(a－b)(b－c)
＝[(a－b)－(b－c)]2＝(a＋c－2b)2，
因为a＋b＋c＝0，所以2(a－b)2＋2(b－c)2－(a－c)2＝(－b－2b)2＝9b2≥0，
故(a－c)2≤2(a－b)2＋2(b－c)2，D正确.
答案
15
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二、多项选择题
7.已知c>b>a，则下列结论正确的是
A.c＋b>2a B.>
C.> D.<
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√
答案
√
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对于选项A，因为c>b>a，所以c＋b>2a，故选项A正确；
对于选项B，因为c>b>a，所以c－a>c－b>0，所以>>0，故选项B
正确；
对于选项C，取a＝－3，b＝－2，c＝－1，满足c>b>a，此时＝－2，＝－，<，故选项C错误；
对于选项D，当c＝1，b＝－1，a＝－2时，＝2，＝－，此时>，
故选项D错误.
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答案
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8.已知实数x，y满足－3A.－1B.－2C.x＋y的取值范围是(－3，3)
D.x－y的取值范围是(－1，3)
√
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答案
√
√
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因为－3所以－2<4x－2y<8，
则－5<5x<10，即－1又－4<－2x－4y<6，－1<2x－y<4，
所以－5<－5y<10，即－2x＋y＝的取值范围是(－2，2)，故C错误；
x－y＝的取值范围是(－1，3)，故D正确.
答案
15
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三、填空题
9.已知0<β<α<，则α－β的取值范围是　　　　.
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答案
∵0<β<，∴－<－β<0，
又0<α<，∴－<α－β<，
又β<α，∴α－β>0，即0<α－β<.
15
16
10.若a，b同时满足下列两个条件：
①a＋b>ab；②>.
请写出一组a，b的值　　　 　　　 .
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答案
a＝－1，b＝2(答案不唯一)
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容易发现，若将①式转化为②式，
需使(a＋b)ab<0，即a＋b与ab异号，
显然应使a＋b>0，ab<0，
当a<0，b>0时，要使a＋b>0，则|a|<|b|，可取a＝－1，b＝2；
当a>0，b<0时，要使a＋b>0，则|a|>|b|，可取a＝2，b＝－1.
综上，取任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案.
答案
15
16
四、解答题
11.证明下列不等式：
(1)已知a>b>c>d，求证：<；
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答案
∵a>b>c>d，∴a>b，－d>－c，
∴a－d>b－c>0，则<.
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(2)已知a>b>0，c.
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答案
∵a>b>0，c∴－c>－d>0，
∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0，
则>0，
∴>.
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12.已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
(1)求实数a的取值范围；
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答案
a＝[(a＋b)＋(a－b)]，
由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，
得－4≤(a＋b)＋(a－b)≤6，
∴－2≤[(a＋b)＋(a－b)]≤3，即－2≤a≤3，
故实数a的取值范围为[－2，3].
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(2)求3a－2b的取值范围.
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答案
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设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b，
则解得
∴3a－2b＝(a＋b)＋(a－b)，
∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
∴－≤(a＋b)≤1，－≤(a－b)≤10，
∴－4≤3a－2b≤11，
即3a－2b的取值范围为[－4，11].
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答案
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13.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则的取值范围为
A.(1，＋∞) B.(1，3)
C.(0，2) D.(0，3)
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答案
√
能力拓展
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由已知及三角形三边关系得
所以则
两式相加得0<<4，
所以0<<2.
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答案
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14.某超市A，B两种蔬菜连续n天的价格分别为a1，a2，a3，…，an和b1，b2，b3，…，bn，令M＝{m|amA.若AB.若AC.AD.A1
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答案
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答案
对于A，采用特例法：若a1＝a2＝…＝a7＝1，a8＝4；b1＝b2＝…＝b7＝2，b8＝3；c1＝c2＝…＝c6＝3，c7＝1，c8＝4，满足A对于B，若a1＝a2＝…＝a6＝1，a7＝a8＝2；b1＝b2＝…＝b6＝2，b7＝b8＝1；c1＝c2＝…＝c6＝1.5，c7＝c8＝3，此时A15
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答案
对于C，例如蔬菜A连续10天价格为1，2，3，4，…，10，蔬菜B连续10天价格分别为10，9，…，1时，
M＝{1，2，3，4，5}，则M中元素个数为5，n＝×10＝，此时A同理，B对于D，A15
16
15.已知a>b>0，且ab=1，若把，2-(a+b)，按从小到大的顺序排列，则排在中间的数
A.一定是
B.一定是2-(a+b)
C.一定是
D.不能确定，与a，b的值有关
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答案
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答案
因为a>b>0，且ab=1，
所以a>1，00，2-(a+b)>0，>0，
2-(a+b)÷=2-(a+b)·a·4a=2a-b·a，
因为a-b>0，a>1，所以2a-b·a>1，
所以2-(a+b)÷>1，故2-(a+b)>=，
2-(a+b)÷=2-(a+b)·b·4b=2b-a·b，
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答案
因为b-a<0，0所以0<2-(a+b)÷<1，
故2-(a+b)<=，
综上，<2-(a+b)<.
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16.(2024·九省联考)以max M表示数集M中最大的数.设0b≥2a或a+b≤1，则max{b-a，c-b，1-c}的最小值为　　　.
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答案
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答案
令b-a=m，c-b=n，1-c=p，其中m，n，p>0，
所以
若b≥2a，则1-n-p≥2(1-m-n-p)，
故2m+n+p≥1，
令M=max{b-a，c-b，1-c}=max{m，n，p}，
因此故4M≥2m+n+p≥1，
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答案
则M≥，当且仅当2m+n+p=1且max{m，n，p}=时，等号成立，如取m=n=p=时可满足等号成立；
若a+b≤1，则1-m-n-p+1-n-p≤1，
即m+2n+2p≥1，
M=max{b-a，c-b，1-c}=max{m，n，p}，
则故5M≥m+2n+2p≥1，
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答案
则M≥，当且仅当m+2n+2p=1且max{m，n，p}=时等号成立，
如取m=n=p=时可满足等号成立，
综上可知max{b-a，c-b，1-c}的最小值为.
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15
16(共98张PPT)
第一章
§1.4　基本不等式
数学
大
一
轮
复
习
1.了解基本不等式的推导过程.
2.会用基本不等式解决简单的最值问题.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 时，等号成立.
(3)其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数.
a＝b
2.利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 .
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最
大值 .
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.
2
S2
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝x＋的最小值是2.(　　)
(2)y＝x(2－x)的最大值是1.(　　)
(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.(　　)
(4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.(　　)
√
×
√
×
2.若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于
A.1＋ B.1＋
C.3 D.4
√
当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时，取等号，即当f(x)取得最小值时x＝3，即a＝3.
3.(多选)下列命题正确的是
A.若x<0，则x＋≤－2
B.若x>0，则x－≤－2
C.若x∈R且x≠0，则≥2
D.x2＋≥1
√
√
√
当x<0时有－x>0，
则x＋＝－≤－2＝－2，
当且仅当－x＝，即x＝－1时等号成立，A选项正确；
当x>0时，y＝x－单调递增，其值域为R，B选项错误；
若x∈R且x≠0，则＝|x|＋≥2＝2，
当且仅当|x|＝，即x＝－1或x＝1时等号成立，C选项正确；
x2＋＝x2＋1＋－1≥2－1＝1，
当且仅当x2＋1＝，即x＝0时等号成立，D选项正确.
4.已知x，y∈(0，＋∞)，若2x＋3y＝1，则的最小值为　　　　　.
(2x＋3y)＝5＋≥5＋2，当且仅当，即x＝，y＝时等号成立.
5＋2
1.灵活应用两个基本不等式的变形公式
(1)≥2(a，b同号，当且仅当a＝b时，等号成立)；
(2)≤≤≤(a>0，b>0，当且仅当a＝b时，等号成立).
2.谨防两个易误点
(1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等号成立的条件必须相同，否则会造成错误.
(2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(多选)下列说法不正确的是
A.x＋的最小值是4
B.不等式ab≤与≤成立的条件是相同的
C.的最小值为2
D.存在a，使得a＋<2成立
√
基本不等式的理解及常见变形
题型一
√
√
对于A，当x>0时，x＋≥2＝4(当且仅当x＝2时取等号)，
当x<0时，x＋＝－≤－2＝－4(当且仅当x＝－2时取等号)，故A错误；
对于B，ab≤恒成立，而≤成立的条件为a>0，b>0，故B错误；
对于C，y＝≥2，等号成立的条件是，即x2＋2＝1，显然不能取到，故C错误；
对于D，存在a＝－1，使得a＋<2成立，故D正确.
(2)若0A.b>>a> B.b>>>a
C.b>>>a D.b>a>>
√
∵0a＋b，
∴b>>.
∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a.
故b>>>a.
基本不等式的常见变形
(1)ab≤≤.
(2)≤≤≤(a>0，b>0).
思维升华
跟踪训练1　(1)已知p：a>b>0，q：>，则p是q成立的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
∵a>b>0，则a2＋b2>2ab，
∴2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab，
∴2(a2＋b2)>(a＋b)2，
∴>，∴由p可推出q；
当a<0，b<0时，q也成立，
如a＝－1，b＝－3时，＝5>＝4，
∴由q推不出p，
∴p是q成立的充分不必要条件.
(2)(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是
A.4ab≤(a＋b)2 B.≤
C.≤ D.ab≤
√
√
√
A选项，4ab－(a＋b)2＝－(a－b)2≤0，即4ab≤(a＋b)2，故A选项正确；
B选项，当a＋b>0时，>0，则≤0恒成立，即≤恒成立，当a＋b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确；
C选项，当a＋b>0时，2ab－≤0，即2ab≤，≤恒成立，当a＋b<0时，2ab－≤0，即2ab≤，≥，故C选项错误；
D选项，由重要不等式可知，a，b∈R，ab≤恒成立，故D选项正确.
命题点1　直接法
例2　(1)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为
A.1 B. C.2 D.2
基本不等式的性质
题型二
√
方法一　由xy＝1得x2＋2y2≥2＝2，
当且仅当x2＝2y2，即x2＝，y2＝时，等号成立，x2＋2y2的最小值为2.
方法二　x2＋2y2＝≥2，当且仅当x2＝2y2，即x2＝，y2＝时，等号成立，x2＋2y2的最小值为2.
(2)当0由题意及基本不等式可知
3x(3－3x)≤，
当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号.
命题点2　配凑法
例3　(1)函数f(x)＝4x＋，x∈(－1，＋∞)的最小值为
A.6 B.8 C.10 D.12
√
因为x∈(－1，＋∞)，则x＋1>0，
则f(x)＝4x＋＝4(x＋1)＋－4≥2－4＝12－4＝8，
当且仅当即x＝时，等号成立，
故函数f(x)＝4x＋，x∈(－1，＋∞)的最小值为8.
(2)(2025·咸阳模拟)已知a>0，b>0，且＝1，则a＋b的最小值为　　　 　.
2＋1
由a>0，b>0，＝1，
得a＋b＝(a＋1)＋(b＋1)－2
＝[(a＋1)＋(b＋1)]－2
＝＋1≥2＋1
＝2＋1，
当且仅当，即a＝，b＝＋1时取等号，所以a＋b的最小值为2＋1.
如图，对于函数f(x)＝x＋，k>0，x∈[a，b]，[a，b] (0，＋∞).
(1)当∈[a，b]时，f(x)＝x＋≥2，f(x)min＝f()
＝＝2；
(2)当f(x)min＝f(a)＝a＋；
(3)当>b时，f(x)＝x＋在区间[a，b]上单调递减，f(x)min＝f(b)＝b＋.
因此，只有当∈[a，b]时，才能使用基本不等式求最值，而当 [a，b]时只能利用对勾函数的单调性求最值.
与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型
微拓展
典例　函数f(x)＝x2＋的最小值是　　　.
由f(x)＝x2＋＝x2＋2＋－2，
令x2＋2＝t(t≥2)，则有f(t)＝t＋－2，
由对勾函数的性质知，f(t)在[2，＋∞)上单调递增，所以当t＝2时，f(t)min＝，
即当x＝0时，f(x)min＝.
例4　(多选)已知a，b为正实数，且a>1，b>1，(a－1)(b－1)＝1，则下列结论正确的是
A.＝1
B.ab的最大值为4
C.2a＋b的最小值为3＋2
D.的最小值为2
命题点3　常数代换法
√
√
√
因为a>1，b>1，所以a－1>0，b－1>0.
对于A，因为(a－1)(b－1)＝1，所以ab＝a＋b，得＝1，A正确；
对于B，由ab＝a＋b，得ab＝a＋b≥2(当且仅当a＝b＝2时取等号)，所以≥2，ab≥4，
所以ab的最小值为4，B错误；
对于C，2a＋b＝(2a＋b)＝3＋≥3＋2，C正确；
对于D，因为(a－1)(b－1)＝1，所以≥2＝2(当且仅当a＝b＝2时取等号)，D正确.
命题点4　消元法
例5　已知实数x，y满足3xy＋y2＝1，y>0，则2x＋y的最小值是
A. B. C.2 D.3
√
因为实数x，y满足3xy＋y2＝1，y>0，
所以x＝，
则2x＋y＝＋y＝≥2，
当且仅当，即y＝时，等号成立，
所以2x＋y的最小值是.
命题点5　构造不等式法
例6　(多选)(2024·郑州模拟)已知正数a，b满足a2＋b2＝1＋ab，则下列结论正确的是
A.a2＋b2的最小值为2
B.a＋b的最大值为2
C.的最小值为2
D.lg a＋lg b<0
√
√
对于A，a2＋b2＝1＋ab≤1＋，当且仅当a＝b时等号成立，则a2＋b2≤2，故A不正确；
对于B，由ab≤≤≤1，当且仅当a＝b时等号成立，得≤1，即a＋b≤2，故B正确；
对于C，由，因为0当＝1时，取得最小值为2，故C正确；
对于D，因为0(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.
(3)条件最值的求解通常有五种方法：一是直接法；二是配凑法；三是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；四是消元法；五是构造不等式法.
思维升华
跟踪训练2　(1)(多选)(2024·威海模拟)已知a>0，b>0，a＋b＝1，则下列结论正确的是
A.ab的最大值为
B.的最小值为9
C.a2＋b2的最小值为
D.的最小值为6
√
√
√
对于A，1＝a＋b≥2 ab≤，当且仅当a＝b＝时取等号，故A错误；
对于B，(a＋b)＝5＋≥5＋2＝9，
当且仅当即a＝，b＝时取等号，故B正确；
对于C，a2＋b2≥，
当且仅当a＝b＝时取等号，故C正确；
对于D，＝2＋≥2＋2＝6，当且仅当即b＝，a＝时取等号，故D正确.
(2)(多选)(2025·青岛模拟)若实数a>0，b>0，且ab＝a＋b＋8，则下列结论正确的是
A.a＋b≤8 B.ab≥16
C.a＋3b≥4＋6 D.≥
√
√
√
对于选项A，由a＋b＋8＝ab≤，当且仅当a＝b时等号成立，不妨设a＋b＝t，
则t2－4t－32≥0，
解得t≥8或t≤－4，
因为a>0，b>0，则a＋b≥8，故A项错误；
对于选项B，由ab－8＝a＋b≥2，
当且仅当a＝b时等号成立，
不妨设＝s，则s2－2s－8≥0，
解得s≥4或s≤－2，
因为s>0，则s≥4，
即ab≥16，故B项正确；
对于选项C，由ab＝a＋b＋8可得a(b－1)＝b＋8，则b－1>0，且a＝，
则a＋3b＝＋3b＝1＋＋3b＝4＋＋3(b－1)≥4＋2＝4＋6，
当且仅当＝3(b－1)，即b＝＋1，a＝3＋1时取等号，a＋3b有最小值4＋6，故C项正确；
对于选项D，由ab＝a＋b＋8可得ab－a－b＋1＝9，即(a－1)(b－1)＝9，且a－1>0，b－1>0，
则≥2，当且仅当时等号成立，
由解得
即当且仅当a＝，b＝7时，有最小值，故D项正确.
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课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A B D D AC ACD
题号 9 10 13 14 　15 16 答案 C ABD 　4 15
16
(1)因为x>0，y>0，
根据基本不等式，30=x+2y+xy≥2+xy(当且仅当x=2y=6时取等号)，
令=t(t>0)，
则t2+2t-30≤0，
解得-5≤t≤3，又t>0，
所以0所以011.
答案
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(2)由x+2y+xy=30可知，y=>0，0≥2-5=11，
当且仅当2(x+2)=，
即x=2时取等号，
所以2x+y的最小值为11.
11.
答案
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16
(1)因为x∈[0，+∞)，
利用a+b+c+d≥4，
当且仅当a=b=c=d时等号成立，
得到x4+1+1+1≥4x，
所以x4-4x=x4+1+1+1-4x-3≥4x-4x-3=-3，
当且仅当x=1时等号成立，
即x4-4x的最小值为-3.
12.
答案
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16
(2)因为x∈[0，+∞)，利用a+b+c≥3，
当且仅当a=b=c时等号成立，
得到x3++≥x，
所以x3-x=x3++--x≥x--x=-，
当且仅当x=1时等号成立，
即x3-x的最小值为-.
12.
答案
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16
(3)因为x∈[0，+∞)，且a>0，利用a+b+c≥3，
当且仅当a=b=c时等号成立，得到x3++≥ax，
所以x3-ax=x3++--ax≥ax--ax=-，
当且仅当x==时等号成立，
即x3-ax的最小值为-.
12.
答案
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一、单项选择题
1.已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是
A.9 B.18 C.9 D.27
√
知识过关
因为m>0，n>0，
由基本不等式m＋n≥2得，
m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，
所以m＋n的最小值是18.
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答案
2.若x>0，则函数y＝的最小值为
A.6 B.7 C.10 D.11
√
∵x>0，∴y＝＝x＋＋1≥2＋1＝11，
当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立，
∴函数y＝的最小值为11.
15
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答案
3.(2024·亳州模拟)已知x>0，y>0，2x＋y＝xy，则2x＋y的最小值为
A.8 B.4 C.8 D.4
√
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14
方法一　由x>0，y>0，2x＋y＝xy，
可得y＝>0，则x>1，
则2x＋y＝2x＋＝＝2(x－1)＋＋4
≥2＋4＝8，
当且仅当2(x－1)＝，即x＝2时，等号成立，
所以2x＋y的最小值为8.
答案
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方法二　由x>0，y>0，2x＋y＝xy，得＝1，
所以2x＋y＝(2x＋y)＋4≥2＋4＝8，
当且仅当，2x＋y＝xy，
即x＝2，y＝4时，等号成立，
所以2x＋y的最小值为8.
答案
15
16
4.(2025·连云港模拟)设a>0，b>－1，且a＋b＝1，则的最小值为
A.1 B.2 C.4 D.8
√
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14
因为a>0，b>－1，则b＋1>0，因为a＋b＝1，则a＋(b＋1)＝2，
所以[a＋(b＋1)]
＝≥＝2，
当且仅当即时，等号成立，
因此的最小值为2.
答案
15
16
5.(2024·漯河模拟)设正实数x，y，z满足x2－xy＋y2－z＝0，则的最大
值为
A.4 B.2 C.3 D.1
√
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14
因为正实数x，y，z满足x2－xy＋y2－z＝0，则z＝x2＋y2－xy，
所以≤＝1，
当且仅当(x>0，y>0)，即x＝y时，等号成立，故的最大值为1.
答案
15
16
6.已知x>2，且x－y－2＝0，则的最小值是
A.2 B.3 C.4 D.9
√
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14
由题意得x＝y＋2>2，所以y>0，
所以＋1≥2＋1＝3(当且仅当y＝2时取等号)，
所以的最小值为3.
又因为，
所以的最小值是9.
答案
15
16
二、多项选择题
7.若m>0，n>0，且m＋2n＝1，则下列结论正确的是
A.mn≤ B.≥
C.≥9 D.m2＋4n2≤
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答案
√
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对于A，若m>0，n>0，且m＋2n＝1，则有mn＝·m·2n≤，
当且仅当m＝，n＝时等号成立，故A正确；
对于B，＝1＋2，
由A可得mn≤，故1＋2≤2，
所以≤，故B不正确；
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答案
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16
对于C，(m＋2n)＝5＋≥5＋2＝9，
当且仅当m＝n＝时等号成立，故C正确；
对于D，≥，即m2＋4n2≥，当且仅当m＝，n＝时等号成立，故D不正确.
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答案
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8.下列说法正确的是
A.函数y＝2x＋(x<0)的最大值是－4
B.函数y＝的最小值是2
C.函数y＝x＋(x>－2)的最小值是6
D.若x＋y＝4，则x2＋y2的最小值是8
√
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答案
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A选项，对于函数y＝2x＋(x<0)，
2x＋＝－≤－2＝－4，
当且仅当－2x＝，即x＝－1时等号成立，所以A选项正确；
B选项，y＝≥2＝2，
当时，无实数解，所以等号不成立，所以B选项错误；
答案
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C选项，对于函数y＝x＋(x>－2)，x＋2>0，
x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝6，
当且仅当x＋2＝，即x＝2时等号成立，所以C选项正确；
D选项，由基本不等式得≥，
所以x2＋y2≥2·＝2×22＝8，
当且仅当x＝y＝2时等号成立，所以D选项正确.
答案
15
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三、填空题
9.(2025·南京模拟)已知x>，则x＋的最小值为　　　　.
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答案
由于x>，所以2x－1>0，
所以x＋≥2，
当且仅当，即x＝时等号成立，所以x＋的最小值为.
15
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10.已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是　　　　.
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方法一　∵5x2y2＋y4＝1，
∴y≠0且x2＝，
∴x2＋y2＝＋y2＝≥2，
当且仅当，即x2＝，y2＝时取等号，
∴x2＋y2的最小值为.
答案
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方法二　由5x2y2＋y4＝1，
可得y2(5x2＋y2)＝1，即4y2(5x2＋y2)＝4，
又4＝4y2(5x2＋y2)≤＝(x2＋y2)2，
∴≥，即x2＋y2≥，
当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝，y2＝时取等号，∴x2＋y2的最小值是.
答案
15
16
四、解答题
11.已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求：
(1)xy的最大值；
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答案
因为x>0，y>0，
根据基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥2＋xy(当且仅当x＝2y＝6时取等号)，
令＝t(t>0)，则t2＋2t－30≤0，
解得－5≤t≤3，又t>0，
所以0所以015
16
(2)2x＋y的最小值.
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答案
由x＋2y＋xy＝30可知，y＝>0，0当且仅当2(x＋2)＝，即x＝2时取等号，
所以2x＋y的最小值为11.
15
16
12.已知下列求最小值的方法：
求x3－3x，x∈[0，＋∞)的最小值.
解：利用平均值不等式，对任意非负实数a，b，c，有a＋b＋c≥3
(当且仅当a＝b＝c时等号成立)，得到x3＋1＋1≥3x，于是x3－3x＝x3＋1＋1－3x－2≥3x－3x－2＝－2，当且仅当x＝1时等号成立，即当且仅当x＝1时，x3－3x取到最小值－2.
(1)请模仿上述例题，求x4－4x，x∈[0，＋∞)的最小值；(提示：对任意非负实数a，b，c，d，有a＋b＋c＋d≥4，当且仅当a＝b＝c＝d时等号成立)
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答案
因为x∈[0，＋∞)，
利用a＋b＋c＋d≥4，
当且仅当a＝b＝c＝d时等号成立，
得到x4＋1＋1＋1≥4x，
所以x4－4x＝x4＋1＋1＋1－4x－3≥4x－4x－3＝－3，
当且仅当x＝1时等号成立，
即x4－4x的最小值为－3.
15
16
(2)求x3－x，x∈[0，＋∞)的最小值；
因为x∈[0，＋∞)，利用a＋b＋c≥3，
当且仅当a＝b＝c时等号成立，
得到x3＋≥x，
所以x3－x＝x3＋－x≥x－－x＝－，
当且仅当x＝1时等号成立，
即x3－x的最小值为－.
1
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答案
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(3)求出当a>0时，x3－ax，x∈[0，＋∞)的最小值.
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答案
因为x∈[0，＋∞)，且a>0，
利用a＋b＋c≥3，
当且仅当a＝b＝c时等号成立，
得到x3＋≥ax，
所以x3－ax＝x3＋－ax≥ax－－ax＝－，
当且仅当x＝时等号成立，
即x3－ax的最小值为－.
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13.正数a，b满足a>b，ab＝4，则的最小值为
A.2 B.3 C.4 D.6
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答案
√
由题意得a>0，b>0，a－b>0，则＝a－b＋≥2＝4，
当且仅当a－b＝2且ab＝4，即a＝＋1，b＝－1时，等号成立.
能力拓展
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14.(多选)(2025·宿迁模拟)如图，四边形ABDC为梯形，其中AB=a，CD=b，且aA.若a=3，b=6，则KL=3
B.EF=
C.存在a，b使得EF>GH
D.MN=
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答案
√
√
√
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对于A，因为梯形ABLK与梯形KLDC相似，
所以=，可得KL==，
当a=3，b=6时，可得KL=3，所以A正确；
对于B，因为AB∥CD，所以∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，
所以△OAB∽△ODC，可得==，
又由△COE∽△CBA，可得==，
可得OE=，同理可得OF=，所以EF==，所以B正确；
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答案
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对于C，由梯形的中位线的性质，可得GH=，
由基本不等式知，当a>0，b>0，且a≠b时，可得GH=>，
又由<=，所以EF所以C不正确；
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对于D，设梯形ABNM，MNDC，ABDC的面积分别为S1，S2，S，高分别为h1，h2，h，
则2S1=2S2=S，
即(a+MN)h1=(b+MN)h2=(a+b)h，
解得h1=，h2=，
根据题意知h1+h2=+=h，解得MN=，所以D正确.
15.若x1，x2，…，x2 026均为正实数，则x1＋＋…＋的最小值为　　　.
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答案
原式＝＋…＋＋x1
≥2＋…＋＋x1
＝＋…＋＋x1
≥2＋…＋＋x1
＝＋…＋＋x1≥…≥＋x1≥2＝4，
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答案
当且仅当＝xi(i＝1，2，3，…，2 026，xi>0)，
即x1＝x2＝…＝x2 026＝2时，等号成立，
故x1＋＋…＋的最小值为4.
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16.已知x>1，y>1，a=log2x，b=log2，且+=2，则xy2的最小值为　　　　.
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答案
因为x>1，y>1，
所以a=log2x>0，b=log2>0，
所以x=2a，y=22b，所以xy2=2a·24b=2a+4b，
a+4b=(a+2b)+2(b+1)-2
=[(a+2b)+2(b+1)]-2=-2
≥-2=-2=，
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答案
当且仅当即a=b=时取等号，所以xy2≥=4.
即xy2的最小值为4.
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