2026届高考数学【提高版】 第四章　一元函数的导数及其应用 课件（13份打包）

(共37张PPT)
第四章
必刷小题8　解三角形
数学
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一
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对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D A C A D D
题号 9 10 11 12 13 14 答案 BCD AC BC 一、单项选择题
1.(2025·江门模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝30°，b＝2，c＝2则角A的大小为
A.45° B.135°或45°
C.15° D.105°或15°
√
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答案
因为B＝30°，b＝2，c＝2
由正弦定理得sin C＝
因为c>b，所以C>B，故C＝45°或135°，
可得A＝180°－B－C＝105°或15°.
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答案
2.(2024·葫芦岛模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝△ABC的面积为则b等于
A.2 B.4 C.2 D.
√
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答案
由于故a＝c，
由于B＝△ABC的面积为
故S＝acsin B＝
整理得·c·c·
解得c＝2，a＝2
利用余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B＝12＋4－2×2×2×＝4，
解得b＝2.
3.(2024·南京模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知9sin2B＝4sin2A，cos C＝则等于
A. B. C. D.
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∵9sin2B＝4sin2A，∴9b2＝4a2，即b＝
∵cos C＝
∴则.
答案
4.宝塔山是延安的标志，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山的坡度比为∶3(坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比)，在山坡A处测得∠CAD＝15°，从A处沿山坡往上前进66 m到达B处，在山坡B处测得∠CBD＝30°，则宝塔CD的高为
A.44 m B.42 m
C.48 m D.46 m
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答案
由题可知∠CAD＝15°，∠CBD＝30°，
则∠ACB＝15°，所以BC＝AB＝66，
设坡角为θ，则由题可得tan θ＝
则可求得cos θ＝
在△BCD中，∠BDC＝θ＋90°，
由正弦定理可得
即
解得CD＝44，故宝塔CD的高为44 m.
5.在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，∠ABC＝45°，则sin∠ADC的值为
A. B.
C. D.
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答案
如图，在△ABD中，由正弦定理得
即
故sin∠BAD＝.
又BD所以sin∠ADC＝sin(∠BAD＋∠ABD)＝××.
6.(2025·绵阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知则等于
A.4 051 B.4 050
C.4 048 D.4 047
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答案
在△ABC中
可得2 025
即2 025·
故2 025·
即2 025·所以2 025·＝cos C，
所以2 025·即4 050c2＝a2＋b2－c2，所以4 051c2＝a2＋b2，故＝4 051.
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答案
7.在锐角△ABC中，B＝60°，AB＝1，则AB边上的高的取值范围是
A. B.
C. D.
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答案
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
则AB边上的高h＝asin B＝a，
由正弦定理得a＝.
由△ABC为锐角三角形，可知30°则tan C>所以a＝∈
从而h∈
因此AB边上的高的取值范围是.
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答案
8.(2025·长沙模拟)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AC上的点，AC＝2AB，CD＝1，AE＝3EC，∠ADB＝∠EDC＝α，则cos α等于
A. B.
C. D.
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答案
由D是BC的中点，AC＝2AB，CD＝1，AE＝3EC，
设CE＝x，则BD＝1，AE＝3x，AB＝2x，
在△ABC中，由正弦定理得
即sin B＝2sin C，
在△ABD中，由正弦定理得 ①
在△CED中，由正弦定理得 ②
由①②得2＝··
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答案
即AD＝4DE.
在△ABD中，
由余弦定理得4x2＝1＋AD2－2ADcos α＝1＋16DE2－8DEcos α， ③
在△CDE中，由余弦定理得
x2＝1＋DE2－2DEcos α， ④
由③④得4＋4DE2＝1＋16DE2，
解得DE＝AD＝2，
则x2＝1＋－2×cos α＝－cos α.
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答案
在△ADE中，由余弦定理得
9x2＝AD2＋DE2－2AD·DE·cos(π－2α)
＝4＋＋2×2×cos 2α
＝＋2cos 2α＝4cos2α＋
可得－9cos α＝4cos2α＋
解得cos α＝(－3舍去).
二、多项选择题
9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则下列各组条件中使得△ABC有唯一解的是
A.a＝3，b＝4，A＝
B.a＝3，b＝4，cos B＝
C.a＝3，b＝4，C＝
D.a＝3，b＝4，B＝
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答案
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答案
根据题意，A中，由正弦定理 sin B＝×sin A＝
因为<<所以角B在和上各有一个解，并且这两个
解与角A的和都小于π，所以A不满足题意；
B中，根据余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B，
即16＝9＋c2－c，
解得c＝5或c＝－(舍)，
所以只有1个解，满足题意；
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答案
C中，条件为边角边，根据余弦定理可以求得唯一的c边，所以有唯一解，满足题意；
D中，由正弦定理 sin A＝×sin B＝因为<
所以角A在和上各有一个解，当解在上时，角B与角A的和大于π，所以只有1个解，满足题意.
10.某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离12 n mile；在A处看灯塔C在货轮北偏西30°，距离8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向，则下列说法正确的是
A.A处与D处之间的距离是24 n mile
B.灯塔C与D处之间的距离是16 n mile
C.灯塔C在D处的南偏西30°
D.D在灯塔B的北偏西30°
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答案
由题意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，所以B＝180°－60°－75°＝45°，AB＝12AC＝8
在△ABD中，由正弦定理得
所以AD＝＝24(n mile)，故A正确；
在△ACD中，由余弦定理得CD＝
＝
＝8(n mile)，故B错误；
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答案
因为CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，
所以灯塔C在D处的南偏西30°，故C正确；
由∠ADB＝60°，可知D在灯塔B的北偏西60°，故D错误.
11.(2024·广州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则下列命题正确的是
A.若a＝3b＝3，B＝30°，则A＝60°
B.若A>B，则sin A>sin B
C.若D.若a＝b＝3，c2＋ab＝a2＋b2，则△ABC的面积为3
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答案
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答案
对于A，由于a＝3b＝3，B＝30°，
利用正弦定理解得sin A＝
由于0°对于B，当A>B时，a>b，
根据正弦定理
可得sin A>sin B，故B正确；
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答案
对于C，若结合余弦定理cos A＝得a2＋c2故△ABC为钝角三角形，故C正确；
对于D，若a＝b＝3，且c2＋ab＝a2＋b2，
利用余弦定理可得ab＝2abcos C，解得cos C＝
因为0°所以S△ABC＝absin C＝××3×故D错误.
三、填空题
12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2C＝sin2A＋
cos2B－sin Asin C，且b＝6，则B＝　 　，△ABC外接圆的面积为　　 .
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答案
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答案
由cos2C＝sin2A＋cos2B－sin Asin C，
可得1－sin2C＝sin2A＋1－sin2B－sin Asin C，
即sin2A＋sin2C－sin2B＝sin Asin C，
则由正弦定理得ac＝a2＋c2－b2，
由余弦定理得cos B＝
又因为B∈(0，π)，可得B＝
设△ABC外接圆的半径为R，则R＝＝2
所以△ABC外接圆的面积为πR2＝12π.
13.(2025·成都模拟)平面四边形ABCD中，AB＝6，AD＝CD＝4，BC＝2，若A，B，C，D四点共圆，则该四边形的面积为　　 　.
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答案
因为AB＝6，AD＝CD＝4，BC＝2，且A，B，C，D四点共圆，
所以B＋D＝π，
即cos B＋cos D＝0，
在△ABC中，由余弦定理可得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝36＋4－2×6×2cos B＝40－24cos B，
在△ACD中，由余弦定理可得
AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos D＝16＋16＋2×4×4cos B＝32＋32cos B，
可得40－24cos B＝32＋32cos B，
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答案
解得cos B＝cos D＝－
所以sin B＝sin D＝
所以S四边形ABCD ＝S△ABC＋S△ACD
＝AB·BCsin B＋AD·CDsin D
＝×6×2××4×4×＝8.
14.在△ABC中，a＝A＝则△ABC的周长的取值范围为　 　　　.
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(23]
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答案
由正弦定理，得即＝2，
∴b＝2sin B，c＝2sin C，
∴△ABC的周长为L＝a＋b＋c
＝＋2sin B＋2sin C
＝＋2sin B＋2sin
＝＋3sin B＋cos B
＝＋2sin
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答案
又B∈∴B＋∈
∴sin∈∴L∈(23].
即△ABC的周长的取值范围为(23].(共73张PPT)
第四章
§4.3　两角和与差的正弦、
余弦和正切公式
数学
大
一
轮
复
习
1.会推导两角差的余弦公式.
2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.
3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝ .
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝ .
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝ .
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝ .
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝ .
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝ .
cos αcos β＋sin αsin β
cos αcos β－sin αsin β
sin αcos β－cos αsin β
sin αcos β＋cos αsin β
2.辅助角公式
asin α＋bcos α＝ ，其中sin φ＝cos φ＝.
sin(α＋φ)
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的. (　　)
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立. (　　)
(3)公式tan(α＋β)＝对任意角α，β都成立.(　　)
(4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关.(　　)
√
√
×
×
2.sincos的值为
A.0 B.－ C.2 D.
√
sincos＝2
＝2sin＝2sin＝－.
3.若2cos α－sin α＝0，则tan等于
A.－ B. C.－3 D.3
√
因为2cos α－sin α＝0，
则sin α＝2cos α，故tan α＝2，
因此，tan.
4.若tan α＝tan(α＋β)＝则tan β＝　　　.
tan β＝tan[(α＋β)－α]＝.
1.熟记两角和与差的公式的常用变形
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β).
(4)tan αtan β＝1－－1.
2.谨防两个易误点
(1)运用公式时要注意公式成立的条件；
(2)在求角的三角函数值时，往往要估计角的范围后再求值.特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)若＝3，则tan等于
A.－3 B.－ C. D.3
√
两角和与差的三角函数公式
题型一
由题意，得＝3，所以tan α＝－
则tan.
(2)(2024·厦门模拟)若cos(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)，则tan α等于
A. B.－ C. D.－
√
因为cos(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)，
所以－sin(50°－α)＋cos(20°＋α)＝sin(50°＋α)，
即－sin 50°cos α＋cos 50°sin α＋cos(20°＋α)
＝sin 50°cos α＋cos 50°sin α，
所以cos 20°cos α－sin 20°sin α＝2sin 50°cos α，
即(cos 20°－2sin 50°)cos α＝sin 20°sin α，
所以tan α＝
＝＝－.
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
思维升华
跟踪训练1　(1)已知sin(α－β)＝cos αsin β＝则sin(α＋β)等于
A. B. C.－ D.－
√
因为sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝
而cos αsin β＝
因此sin αcos β＝
则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝.
(2)(2024·新课标全国Ⅰ)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)
等于
A.－3m B.－ C. D.3m
√
由cos(α＋β)＝m得cos αcos β－sin αsin β＝m. ①
由tan αtan β＝2得＝2， ②
由①②得
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m.
例2　(1)(2024·南充模拟)已知函数f(x)＝3sin x＋4cos x.若x＝θ时，f(x)取得最大值，则cos等于
A. B.－ C. D.－
两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式
题型二
√
f(x)＝3sin x＋4cos x＝5sin(x＋φ)，其中tan φ＝sin φ＝cos φ＝
∵当x＝θ时，f(x)取得最大值，∴θ＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝＋2kπ－φ，k∈Z，
∴cos＝cos
＝cos＝cos cos φ＋sin sin φ
＝－××.
(2)tan 10°＋tan 20°＋tan 30°＋tan 10°·tan 20°tan 30°＝　　　.
因为tan 30°＝tan(10°＋20°)＝
故tan 10°＋tan 20°＝tan 30°－tan 30°tan 10°tan 20°，
所以tan 10°＋tan 20°＋tan 30°＋tan 10°tan 20°tan 30°
＝tan 30°－tan 30°tan 10°tan 20°＋tan 30°＋tan 10°tan 20°tan 30°
＝2tan 30°＝.
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式.
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用.
(3)对asin x＋bcos x化简时，要清楚如何求辅助角φ的值.
思维升华
跟踪训练2　(1)若sin α＋cos α＝1，且α∈(0，π)，则α＝　　　.
因为sin α＋cos α＝2sin＝1，
所以sin
又α∈(0，π)，所以α＋∈
所以α＋所以α＝.
(2)若α＋β＝－则(1＋tan α)(1＋tan β)＝　　　.
tan＝tan(α＋β)＝＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，
则1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，
即(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.
2
例3　(1)已知sinα∈则cos α等于
A. B. C. D.
√
角的变换问题
题型三
由α∈得α＋∈
则cos＝－＝－
cos α＝cos＝coscos ＋sinsin
＝－××.
(2)(2024·杭州模拟)已知α∈β∈若sin(α＋β)＝cos β＝则sin α等于
A. B. C. D.
√
因为α∈β∈sin(α＋β)＝>0，cos β＝所以α＋β∈
则sin β＝
cos(α＋β)＝－＝－
所以sin α＝sin[(α＋β)－β]
＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β
＝××.
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
(2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(3)常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝＋α＝α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β等.
思维升华
跟踪训练3　(1)已知α，β∈若sincos则sin(α－β)的值为
A. B. C. D.
√
由题意可得α＋∈β－∈
所以cos＝－sin＝－
所以sin(α－β)＝－sin
＝－××.
(2)已知θ∈且sin则tan θ等于
A.7 B. C. D.
√
因为θ∈所以θ＋∈
又sin
所以cos＝－则tan＝－
所以tan θ＝tan
＝＝7.
返回
课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 D B C C B D BC AD
题号 10 13 14　 15 16
答案 120° D BD
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答案
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(1)方法一　由条件sin(α-β)=sin(α+β)=
得2sin(α-β)=3sin(α+β)，
即2sin αcos β-2cos αsin β
=3sin αcos β+3cos αsin β，
整理得sin αcos β=-5cos αsin β，
也即tan α=-5tan β，tan α+5tan β=0得证.
11.
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答案
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方法二　由条件sin(α-β)=sin(α+β)=
即sin αcos β-cos αsin β=
sin αcos β+cos αsin β=
得sin αcos β=cos αsin β=-
从而可得tan α=-5tan β，tan α+5tan β=0得证.
11.
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答案
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(2)由于tan(α-β)= tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β)，
所以==
=-=.
11.
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答案
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(1)由题意知，|OA|=|OM|=1，
点A(cos α，sin α)，
则有S△OAM=|OA|·|OM|·sin α=解得sin α=
又α为锐角，则cos α==
因为钝角β的终边与单位圆O的交点B的横坐标是-则cos β=-
12.
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答案
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sin β==
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=-.
(2)由(1)知sin α=cos α=sin β=cos β=-
则sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×-×=-
12.
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答案
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从而sin(2α-β)=sin[α+(α-β)]=sin αcos(α-β)+cos αsin(α-β)
=×+×=-
因为α为锐角，sin α=>
则有α∈即2α∈
又β∈
12.
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答案
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因此2α-β∈
所以2α-β=-.
12.
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一、单项选择题
1.cos 50°cos 160°－cos 40°sin 160°等于
A. B. C.－ D.－
√
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知识过关
答案
原式＝cos 50°cos 160°－sin 50°sin 160°＝cos(50°＋160°)
＝cos 210°＝－cos 30°＝－.
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答案
2.已知α为锐角，且sin＝sin则tan α等于
A. B.2＋
C. D.
√
因为sin＝sin所以sin α＋cos α＝sin α－cos α，
所以(＋1)cos α＝(－1)sin α，所以tan α＝＝2＋.
15
16
3.(2024·晋城模拟)若sin 18°＝m，则sin 63°等于
A.－m) B.m＋
C.(m＋) D.m＋
√
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因为sin 18°＝m，所以cos 18°＝
所以sin 63°＝sin(18°＋45°)＝(sin 18°＋cos 18°)
＝(m＋).
答案
15
16
4.已知sin α＋sin β＝cos α＋cos β＝则cos(α－β)的值等于
A.－ B.－ C.－ D.
√
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sin α＋sin β＝ sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝ ①
cos α＋cos β＝ cos2α＋cos2β＋2cos αcos β＝ ②
①＋②得，2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝ cos(α－β)＝×＝－.
答案
15
16
5.已知tan(α＋β)，tan(α－β)是方程x2＋5x＋6＝0的两个根，则tan 2α等于
A.－1 B.1 C.－2 D.2
√
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答案
由题意可得tan(α＋β)＋tan(α－β)＝－5，
且tan(α＋β)tan(α－β)＝6，
则tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝1.
15
16
6.定义运算＝ad－bc，若cos α＝0<β<α
<则β等于
A. B. C. D.
√
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答案
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由题意得，sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝.
∵0<β<α<∴0<α－β<
∴cos(α－β)＝.
又∵cos α＝∴sin α＝
sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝××
∴β＝.
答案
15
16
二、多项选择题
7.下列等式成立的有
A.tan 15°＝
B.sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1
C.cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1
D.sin 15°＋cos 15°＝1
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答案
√
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对于A，tan 15°＝tan(45°－30°)＝＝2－故A错误；
对于B，sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝sin(75°＋15°)＝sin 90°＝1，故B正确；
对于C，cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝cos(105°＋75°)＝cos 180°＝－1，故C正确；
对于Dsin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝故D错误.
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答案
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8.下列结论正确的是
A.sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝－cos(α－γ)
B.sin x＋cos x＝sin
C.f(x)＝sin ＋cos 的最大值为2
D.tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1
√
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对于A，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A正确；
对于Bsin x＋cos x＝2
＝2sin故B错误；
对于C，f(x)＝sin ＋cos sin所以f(x)的最大值为故C
错误；
对于D，tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝tan(12°＋33°)
(1－tan 12°tan 33°)＋tan 12°tan 33°＝1，故D正确.
答案
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三、填空题
9.已知sinα∈则cos的值为　　　.
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答案
－
由已知得cos α＝sin α＝－
所以coscos α＋sin α＝－.
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10.在△ABC中，已知tan A＋tan B＋tan Atan B＝则C＝　　 　.
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答案
120°
由题意可知tan A＋tan B＝(1－tan Atan B)，
所以tan(A＋B)＝＝
因为0°故C＝180°－(A＋B)＝120°.
15
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四、解答题
11.已知sin(α－β)＝sin(α＋β)＝.
(1)证明：tan α＋5tan β＝0；
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答案
方法一　由条件sin(α－β)＝
sin(α＋β)＝
得2sin(α－β)＝3sin(α＋β)，
即2sin αcos β－2cos αsin β＝3sin αcos β＋3cos αsin β，
整理得sin αcos β＝－5cos αsin β，
也即tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0得证.
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答案
方法二　由条件sin(α－β)＝sin(α＋β)＝
即sin αcos β－cos αsin β＝
sin αcos β＋cos αsin β＝
得sin αcos β＝cos αsin β＝－
从而可得tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0得证.
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(2)计算的值.
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答案
由于tan(α－β)＝ tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，
所以＝
＝
＝－.
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12.如图，在平面直角坐标系中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，
已知S△OAM＝点B的横坐标是－.
(1)求cos(α－β)的值；
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答案
由题意知，|OA|＝|OM|＝1，点A(cos α，sin α)，则有
S△OAM＝|OA|·|OM|·sin α＝解得sin α＝
又α为锐角，则cos α＝
因为钝角β的终边与单位圆O的交点B的横坐标是－
则cos β＝－sin β＝
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝××＝－.
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(2)求2α－β的值.
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答案
由(1)知sin α＝cos α＝sin β＝cos β＝－
则sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝××＝－
从而sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]
＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)
＝××＝－
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答案
因为α为锐角，sin α＝>
则有α∈即2α∈
又β∈因此2α－β∈
所以2α－β＝－.
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13.(2024·吕梁模拟)的值为
A. B. C.2 D.4
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答案
√
能力拓展
＝4.
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14.(多选)(2025·深圳模拟)若0<α<β<，且cos αcos β=，tan αtan β=，则A.cos(α+β)= B.sin(α-β)=-
C.cos 2α= D.β<
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答案
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√
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答案
∵cos αcos β=，tan αtan β=，
∴sin αsin β=cos αcos βtan αtan β=，
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=，故A错误；
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=，
∵-<α-β<0，
∴sin(α-β)=-=-，故B正确；
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答案
∵0<α<β<，∴sin(α+β)==，
∴cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=，故C错误；
同理可得cos 2β=>>-=cos ，故2β<，∴β<，故D正确.
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答案
15.(2024·厦门模拟)在平面直角坐标系中，O(0，0)，A(sin α，cos α)，B，当∠AOB=时，写出α的一个值为
　　　　　　　　　　　__　　　　　　　　　　　　_______________　.
-
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答案
由题意可得=(sin α，cos α)，=，
所以||==1，同理可得||=1，
则cos∠AOB=cos〈，〉==sin αcos+cos αsin
=sin=cos =-，
所以2α+=-+2kπ(k∈Z)或2α+=+2kπ(k∈Z)，
解得α=-+kπ(k∈Z)或α=+kπ(k∈Z).
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16.已知sin＝sin β，sin α＋cos α＝sin β＋cos β＝则
cos(α－β)＝　　　.
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答案
因为sin＝sin β，
所以cos α＝sin β，
所以sin α＋sin β＝cos α＋cos β＝
所以
两式求和得2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝2＋2cos(α－β)＝2＋
所以cos(α－β)＝.
返回
15
16(共98张PPT)
第四章
§4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)
数学
大
一
轮
复
习
1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.简谐运动的有关概念
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝____ _______ ___
ωx＋φ
φ
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特殊点
ωx＋φ 0 π 2π
x
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
|φ|
A
A
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　　)
(2)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　)
(3)把y＝sin的图象上各点的横坐标缩短为原来的所得图象的函数解析式为y＝sin.(　　)
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称
中心之间的距离为.(　　)
×
×
×
√
2.y＝2sin的振幅、频率和初相分别为
A.2，4π B.2
C.2－ D.2，4π，－
√
由题意知A＝2，f＝
初相为－.
3.将函数f(x)＝3sin个单位长度后得到函数g(x)
的图象，则g(x)＝　　　　 　　.
g(x)＝f ＝3sin＝3sin.
3sin
4.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则点(ω，A)的坐标是　　　　.
由题图可知，A＝2，
T＝2所以ω＝4，点(ω，A)的坐标是(4，2).
(4，2)
1.熟记下列常用结论
(1)“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均为.
(2)若直线x＝a为正(余)弦型曲线的对称轴，则该函数一定在x＝a处取得最值.
(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2.谨防两个易误点
(1)分清“先平移后伸缩”还是“先伸缩后平移”，注意先伸缩后平移时平
移距离为个单位长度.
(2)不要混淆横向、纵向的缩小、扩大与系数的关系.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(多选)为了得到函数f(x)＝sin的图象，只需把正弦曲线上所有的点
A.先向右平移纵坐标不变
B.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C.先将横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再向右平移个单位长度
D.先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
√
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
题型一
√
正弦曲线y＝sin x先向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin的图象，故A正确，B错误；
先将正弦曲线y＝sin x上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到函数y＝sin 2x的图象，再向右平移个单位长度，得到函数f(x)＝sin的图象，故C正确，D错误.
(2)(2025·西安模拟)将函数f(x)＝2sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则m的值可以是
A. B.π C. D.
√
将函数f(x)＝2sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度，得到函数y＝2sin的图象，因为所得图象关于原点对称，所以2m－＝kπ，k∈Z，解得m＝k∈Z，当k＝3时，m＝.
函数图象的平移变换解题策略
(1)解题时首先分清原函数与变换后的函数.
(2)异名三角函数图象变换要利用诱导公式sin α＝coscos α＝sin将不同名函数转换成同名函数.
(3)无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位长度，都是自变量x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.
思维升华
跟踪训练1　(1)(多选)要得到y＝sin x的图象，可以将函数y＝sin的图象上所有的点
A.向右平移
B.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标扩大到原来的2倍
C.横坐标缩短到原来的再把所得各点向右平移个单位长度
D.横坐标扩大到原来的2倍，再把所得各点向左平移个单位长度
√
√
要想得到y＝sin x的图象，y＝sin的图象上所有点的横坐标需扩大到原来的2倍，故排除A，C；
将y＝sin的图象上所有点先向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin 2x的图象，再把所得各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到y＝sin x的图象，B正确；
将y＝sin的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到y＝sin的图象，再把所得各点向左平移个单位长度，得到y＝sin x的图象，D正确.
(2)(2024·延边州模拟)将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是
A. B. C. D.
√
记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)＝sin＝
sin.
因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，得ω＝2k＋(k∈Z).因为ω>0，所以ωmin＝.
例2　(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的一部分图象如图所示，则
A.f(x)＝3sin＋1
B.f(x)＝2sin＋2
C.f(x)＝2sin＋2
D.f(x)＝2sin＋2
由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
题型二
√
根据题中图象知
所以A＝2，b＝2，T＝4×＝π，
所以ω＝＝2，
又函数图象经过最高点
代入函数f(x)＝2sin(2x＋φ)＋2得sin＝1，
因为|φ|<所以φ＝
所以f(x)＝2sin＋2.
(2)(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝
与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝则f(π)＝　　　.
－
设AB
由|AB|＝可得x2－x1＝
由sin x＝可知，
x＝＋2kπ，k∈Z或x＝＋2kπ，k∈Z，
由图可知，ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝
即ω(x2－x1)＝所以ω＝4.
因为f(x)＝sin(4x＋φ)，
又f(x)过点所以＋φ＝2kπ，k∈Z，
即φ＝－＋2kπ，k∈Z.
取φ＝－所以f(x)＝sin
所以f(π)＝sin＝－.
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝b＝.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝.
(3)求φ.常用方法如下：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
思维升华
跟踪训练2　(1)(2025·长沙模拟)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，则该函数的解析式可以是
A.y＝2sin
B.y＝2sin
C.y＝2sin
D.y＝2sin
√
根据函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，
可得A＝2T＝×
解得ω＝2，
再将点代入可得2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<所以φ＝
故y＝2sin.
(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，图象与x轴的交点M与y轴的交点为N，最高点P(1，A)，
且满足NM⊥NP.则f(x)＝　　　　　　　　.
sin
由题知，函数f(x)的最小正周期T满足＝xM－xP＝－1＝解得T＝6，
所以ω＝
由图象与x轴的交点M
得×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，
因为|φ|<所以φ＝
即f(x)＝Asin
所以f(x)的图象与y轴的交点为N
因为NM⊥NP，
所以··＝0，
解得A＝－(舍去)或A＝
所以f(x)＝sin.
例3　(1)如图所示，摩天轮的半径为20米，圆心O距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟.摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度视觉效果最佳，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度(单位：分钟)为
A. B.3
C. D.
√
三角函数图象、性质的综合应用
题型三
设f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋h，
依题意，A＝20，h＝25，T＝10，所以ω＝
又f(0)＝5，所以φ＝－.
所以f(t)＝20sin＋25＝25－20cos t.
依题意25－20cos t≥35，
所以cos t≤－
又0≤t≤10，解得≤t≤
则摩天轮转动一周内，有(分钟)会有最佳视觉效果.
(2)(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos
个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
√
因为y＝cos向左平移个单位长度所得函数为
y＝cos＝cos＝－sin 2x，
所以f(x)＝－sin 2x，
而直线y＝x－显然过与(1，0)两点，
作出y＝f(x)与y＝x－的大致图象如图所示，
考虑2x＝－2x＝2x＝
即x＝－x＝x＝处f(x)与y＝x－的大小关系，
当x＝－时，f ＝－sin＝－1，
y＝×＝－<－1；
当x＝时，f ＝－sin＝1，
y＝×<1；
当x＝时，f ＝－sin＝1，
y＝×>1.
所以由图可知，f(x)与y＝x－的交点个数为3.
(1)求解与三角函数有关的零点(或三角函数有关的方程的根)的个数或零点的和的问题，常结合三角函数图象利用数形结合思想直观求解.
(2)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
思维升华
跟踪训练3　(1)已知函数f(x)＝cosx∈若方程f(x)＝m有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
A. B.
C. D.
√
因为x∈
所以令t＝2x－则t∈
方程f(x)＝m有两个不相等的实数根等价于函数y＝
cos t的图象与直线y＝m有两个交点，函数y＝cos t
的图象与直线y＝m的位置如图所示，
由图可得实数m的取值范围是≤m<1.
(2)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.如表所示是今年前四个月的统计情况.
月份x 1 2 3 4
收购价格y/(元/斤) 6 7 6 5
选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(单位：元/斤)与相应月份之间
的函数关系为　　　　　　　　　 　　.
y＝sin＋6(答案不唯一)
设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，
由题意得A＝1，B＝6，T＝4，
因为T＝所以ω＝所以y＝sin＋6.
因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sin＋6，
结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，
可取φ＝－
所以y＝sin＋6.
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课时精练
对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C D A B ACD AC
题号 9 10 13 　14 15 16 答案 20 BCD 　C 15
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(1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω=2.
又因为当x=时，f(x)取得最大值2，所以A=2，
同时2×+φ=2kπ+k∈Z，
即φ=2kπ+k∈Z，
因为-<φ<所以φ=
所以f(x)=2sin.
11.
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(2)因为x∈[0，π]，
所以2x+∈.
列表如下：
11.
π 2π
x 0 π
f(x) 1 2 0 -2 0 1
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描点、连线得图象如图所示，
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(3)将y=sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y= sin的图象，再将y=sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y=sin的图象，再将y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到f(x)=2sin
的图象.
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(1)由已知可得A=2，
由f(1)=2sin=-2，可得sin=-1，
所以+φ=+2kπ(k∈Z)，得φ=+2kπ(k∈Z)，
因为0≤φ<π，则φ=
故f(x)=2sing(x)=-f(x)=-2sin.
12.
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(2)将函数f(x)图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得到函数y=2sin的图象，再将所得函数图象向右平移个单位长度，可得函数h(x)的图象，则h(x)=2sin=2cos 2x，
因为h(θ)=2cos 2θ=-则cos 2θ=-
因为0<θ<则0<2θ<π，故sin 2θ==.
12.
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一、单项选择题
1.用“五点法”作y＝2cos x－1在[0，2π]上的图象时，应取的五点为
A.(0，1)(π，－1)(2π，1)
B.(0，1)(π，－3)(2π，1)
C.(0，1)，(π，－3)，(2π，1)，(3π，－3)，(4π，1)
D.(0，1)
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知识过关
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答案
∵y＝2cos x－1，∴最小正周期T＝2π.由“五点法”作图可知，应描出的五个点的横坐标分别是0π2π.代入解析式可得点的坐标分别为(0，1)(π，－3)(2π，1)，故B正确.
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答案
2.将函数f(x)＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g(x)的最小正周期是
A. B.π C.2π D.4π
√
方法一　由题意得g(x)＝cos＝cos所以T＝＝π.
方法二　原函数f(x)＝cos的最小正周期为将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后最小正周期变为×2＝π.
15
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3.(2024·新课标全国Ⅰ)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为
A.3 B.4 C.6 D.8
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答案
因为函数y＝sin x的最小正周期
T＝2π，
函数y＝2sin的最小正周期T1＝
所以在[0，2π]上，函数y＝2sin有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，
如图所示，
由图可知，两函数图象有6个交点.
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16
4.(2024·佛山模拟)若函数f(x)＝sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，其图象与函数g(x)＝cos 2x的图象重合，则m的值可以为
A. B. C. D.
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由题可得f(x＋m)＝sin的图象与函数g(x)＝cos 2x的图象重合，
则f(m)＝sin＝g(0)＝1，
即2m＋＋2kπ，k∈Z，
解得m＝＋kπ，k∈Z，故m的值可以为.
答案
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5.(2025·广州模拟)如图，直线y＝1与函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的三个相邻的交点分别为B，C，D，且BC＝π，CD＝2π，则f(x)等于
A.2sin B.2sin
C.sin D.sin
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答案
方法一　因为BC＝π，CD＝2π，
所以相邻两对称轴间的距离为＋π＝
即最小正周期T＝3π，
所以ω＝
又因为点在f(x)的图象上，
所以Asin＝0，
即sin＝0，
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答案
结合图象可知φ－＝2kπ，k∈Z，
所以φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<所以φ＝.
易知点C的横坐标为－则C
所以Asin＝1，则A＝2，
所以f(x)＝2sin.
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答案
当x＝0时，代入f(x)＝2sin可得f(0)＝>1，满足题意，代入f(x)＝sin可得f(0)＝×＝1，不符合题意，故A正确，C错误.
方法二　因为BC＝π，CD＝2π，所以相邻两对称轴间的距离为＋π＝即最小正周期T＝3π，所以ω＝排除B，D；
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6.(2025·包头模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最大值为2，其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为且f(x)的图象关于点对称，则f(x)在区间上的最小值为
A.－ B.－1 C.－2 D.0
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∵f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最大值为2，∴A＝2，
又f(x)的图象上相邻的两条对称轴之间的距离为
∴∴ω＝2，
∴f(x)＝2sin(2x＋φ).
又f(x)的图象关于点对称，
∴2×＋φ＝kπ(k∈Z)，
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∴φ＝kπ＋(k∈Z)，
又|φ|<∴φ＝
∴f(x)＝2sin
又x∈∴2x＋∈
∴f(x)＝2sin的值域为[－1，2].
∴f(x)在区间上的最小值为－1.
答案
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二、多项选择题
7.(2024·昆明模拟)为得到函数y＝6sin的图象，只需要将函数y＝6sin 2x的图象
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
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A中，向左平移个单位长度，可得y＝6sin＝6sin的图象，A正确；
B中，向左平移个单位长度，可得y＝6sin＝6sin的图象，B不正确；
C中，向右平移个单位长度，可得y＝6sin＝6sin＝6sin＝6sin的图象，C正确；
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D中，向右平移个单位长度，可得y＝6sin＝6sin
＝6sin＝6sin的图象，D正确.
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8.(2024·曲靖模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则
A.f(0)＝－1
B.函数f(x)的最小正周期是2π
C.函数f(x)的图象关于直线x＝对称
D.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度以后，所得的函数图象关于原点
对称
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答案
根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象可得A＝2×解得ω＝2，
又f ＝－2，可得2×＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又|φ|≤解得φ＝－
所以f(x)＝2sin可得f(0)＝2sin＝－1，故A正确；
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答案
可得f(x)的最小正周期为＝π，故B不正确；
令x＝则f ＝2sin＝2，为最大值，
可得函数f(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确；
将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，可得y＝2sin的图象，可得所得的函数图象不关于原点对称，故D错误.
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三、填空题
9.将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ个单位长度，得
到函数g(x)的图象，若g(x)是奇函数，则φ＝　　.
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将函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度，
得到函数g(x)＝sin的图象，
因为函数g(x)是奇函数，
所以g(0)＝sin＝0，
则2φ－＝kπ，k∈Z，则φ＝k∈Z，
因为0<φ<所以φ＝.
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10.摩天轮的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面42 m(即OM长)，摩天轮的半径长为40 m，摩天轮逆时针旋转且每12分钟转一圈.摩天轮上悬挂吊舱，点M为吊舱的初始位置，经过10分钟，吊舱运动到点P处，此时有AM＝BP＝2 m，则点P距离地面的高度h为　　　m.
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答案
以M为坐标原点，MO所在直线为y轴，与MO垂直的直线为x轴，建立平面直角坐标系如图所示，
设点B的方程为y＝Asin(ωt＋φ)＋k，
依题意得解得
又因为T＝12＝
所以ω＝此时y＝40sin＋42，
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答案
又当t＝0时，y＝2，
所以40sin φ＋42＝2，sin φ＝－1，φ＝－
所以y＝40sin＋42＝－40cos t＋42，
所以当t＝10时，y＝－40cos＋42＝22，
所以点P距离地面的高度h＝22－2＝20(m).
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四、解答题
11.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式；
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答案
因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.
又因为当x＝时，f(x)取得最大值2，所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋k∈Z，
即φ＝2kπ＋k∈Z，
因为－<φ<所以φ＝
所以f(x)＝2sin.
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(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；
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答案
因为x∈[0，π]，所以2x＋∈.
列表如下：
π 2π
x 0 π
f(x) 1 2 0 －2 0 1
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描点、连线得图象如图所示，
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答案
(3)函数f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin的图象.
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12.降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声(如图所示).已知某噪声的声波曲线是f(x)＝Asin(A>0，0≤φ<π)，其中振幅为2，且经过点(1，－2).
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(1)求该噪声声波曲线的解析式f(x)以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式g(x)；
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由已知可得A＝2，
由f(1)＝2sin＝－2，
可得sin＝－1，
所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)，
因为0≤φ<π，则φ＝故f(x)＝2sin
g(x)＝－f(x)＝－2sin.
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(2)先将函数f(x)图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数h(x)的图象.若锐角θ满足h(θ)＝－求sin 2θ的值.
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将函数f(x)图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得到函数y＝2sin的图象，再将所得函数图象向右平移个单位长度，
可得函数h(x)的图象，则
h(x)＝2sin＝2cos 2x，
因为h(θ)＝2cos 2θ＝－则cos 2θ＝－
因为0<θ<则0<2θ<π，
故sin 2θ＝.
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13.(多选)(2024·泉州模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)是偶函数，将
f(x)的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2
倍(纵坐标不变)，得到g(x)的图象.若曲线y＝g(x)的两个相邻对称中心之间的距离为2π，则
A.ω＝2
B.g(x)的图象关于直线x＝－对称
C.g(x)的图象关于点对称
D.若f(π)＝－2，则g(x)在区间[0，π]上的最大值为
√
能力拓展
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函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)是偶函数，故φ＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，φ＝当k＝1时，φ＝
将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到g(x)＝Asin的图象，
由于函数g(x)的两个相邻的对称中心的距离为2π，故T＝4π＝解得ω＝1，故A错误；
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所以函数f(x)＝Asin(x＋φ)＝Acos x或f(x)＝－Acos x，
g(x)＝Asin＝Acos或g(x)＝－Acos
当x＝－时，g＝±A，故B正确；
当x＝时，g＝0，故函数g(x)的图象关于点对称，故C正确；
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当f(π)＝－2时，A＝－2或A＝2，
故f(x)＝2cos x，
故g(x)＝2cos当x∈[0，π]时x＋∈函数在该区间上单调递减，故函数的最大值为g(0)＝2×
故g(x)在[0，π]上的最大值为故D正确.
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14.函数f(x)=xsin 2πx-1在区间(0，3]上的零点个数为
A.6 B.5 C.4 D.3
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函数f(x)=xsin 2πx-1在(0，3]上零点的个数即方程xsin 2πx-1=0在(0，3]上根的个数，方程xsin 2πx-1=0化简可得sin 2πx=.
在同一平面直角坐标系中作出函数y=sin 2πx与函数y=的图象如图所示，
由图可知，在区间(0，3]上，两函数图象有4个交
点，故函数f(x)=xsin 2πx-1在区间(0，3]上的零点
个数为4.
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15.(2025·南通模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0，0<φ<π)的部分图象如图中实线所示，圆C与f(x)图象交于M，N两点，且M在y轴上，则圆C的半
径为　　　.
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答案
因为点M，N关于点C对称，所以xC＝×
函数f(x)的最小正周期T满足解得T＝π，
即＝π，所以ω＝2.由图象可得f(x)的最大值点为
所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
结合0<φ<π，取k＝0得φ＝
则f(x)＝sin.
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因此可得OM＝f(0)＝sin 所以圆C的半径r＝.
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16.已知函数f(x)=|asin ωx+bcos ωx+c|(a，b，ω>0)的部分图象如图所示，则a=　　　.
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答案
由题意得f(x)=|asin ωx+bcos ωx+c|=|sin(ωx+φ)+c|，其中tan φ=，
由题图可知，+c=3，-+c=-1，
所以c=1，=2， ①
又-=T，
所以T=π，则ω==2，
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答案
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因为其中一条对称轴为直线x=，
所以2×+φ=+2kπ，k∈Z，
则φ=+2kπ，k∈Z，
所以tan φ=1，即a=b， ②
联立①②，解得a=.
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数学
大
一
轮
复
习
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第四章
§4.10　解三角形应用举例
数学
大
一
轮
复
习
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
测量中的几个有关术语
术语名称 术语意义 图形表示
仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360°
术语名称 术语意义 图形表示
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：

坡角与坡比
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)西南方向与南偏西45°方向相同.(　　)
(2)仰角和俯角都是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为.(　　)
(3)方位角是从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角.(　　)
(4)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)
×
√
√
×
2.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向，灯塔B在观察站南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B
A.北偏东10°方向 B.北偏西10°方向
C.南偏东80°方向 D.南偏西80°方向
√
由题可知，∠CAB＝∠CBA＝40°，
又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，
所以∠DBA＝10°，
因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向.
3.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为　 　km.
在△ABC中，易得A＝30°，
由正弦定理
得AB＝＝2×1×(km).
4.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10 m，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB＝　　 　.
20 m
在△BCD中，∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10 m，
由正弦定理
可得
可得CB＝20×＝20(m)，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
所以塔高AB＝CB＝20 m.
1.对于立体测量问题，通常要转化为两类平面问题，一是竖直放置的平面，通常要解直角三角形；另一类是水平放置的平面，通常要解斜三角形.
2.谨防两个易误点
(1)注意仰角与俯角是相对水平视线而言的，是在铅垂面上所成的角；
(2)明确方位角及方向角的含义，避免因混淆概念而出错.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(2024·厦门模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是
A.10 海里 B.10 海里
C.20 海里 D.20 海里
√
测量距离问题
题型一
依题意，如图，在△ABC中，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，则∠ACB＝45°，
AB＝40×＝20(海里)，
由正弦定理得
即
因此BC＝＝10(海里)，
所以B，C两点间的距离是10 海里.
(2)如图，某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在江的南岸，距离为10 km；基站A，B建在江的北岸，测得∠ACB＝45°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，∠ADB＝75°，
则基站A，B之间的距离为
A.10 km B.30(－1)km
C.30(－1)km D.10 km
√
在△ACD中，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，又∠ADB＝75°，
所以∠BDC＝45°，∠CAD＝30°，∠ACD＝∠CAD＝30°，
所以AD＝CD＝10
在△BCD中，
∠CBD＝180°－(30°＋45°＋45°)＝60°，
由正弦定理得BD＝＝5＋5
在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝－2×10×(5＋5)cos 75°＝500，
所以AB＝10即基站A，B之间的距离为10 km.
距离问题的解题策略
选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.
思维升华
跟踪训练1　如图，为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离，在岸上选取A和D两点，现测得AB＝5 km，AD＝7 km，∠ABD＝60°，∠CBD＝23°，∠BCD＝117°，据以上条件可求得两景点B与C之间的距离约为______km (精确到0.1 km，参考数据：sin 40°≈0.643，sin 117°≈0.891).
5.8
在△ABD中，有AB＝5，AD＝7，
∠ABD＝60°，
由余弦定理可得，
AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD，
即49＝25＋BD2－2×5×BD×
整理可得BD2－5BD－24＝0，
解得BD＝8或BD＝－3(舍去).
在△BCD中，有BD＝8，∠CBD＝23°，∠BCD＝117°，
所以∠BDC＝180°－∠BCD－∠CBD＝40°.
由正弦定理可得，
BC＝≈
≈5.8(km).
例2　(1)《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量学著作.现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个3丈高的标杆，之间距离为1 000步，两标杆与海岛的底端在同一直线上.从第一个标杆M处后退123步，人眼贴地面，从地上A处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点共线；从后面的一个标杆N处后退127步，从地上B处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点也共线，则海岛的高为(3丈＝5步)
A.1 200步 B.1 300步
C.1 155步 D.1 255步
测量高度问题
题型二
√
设海岛的高为h步，由题意知，FM＝GN＝5，AM＝123，BN＝127，MN＝1 000，
则
即AC＝
BC＝
所以MN＝BC－AC－BN＋AM，
则1 000＝－127＋123，解得h＝1 255，
即海岛的高为1 255步.
(2)(2025·南京模拟)如图，某中学校园内的景观树已有百年历史，小明为了测量景观树高度，他选取与景观树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得景观树根部C在北偏西60°的方向上，沿正西方向步行40米到B处，测得树根部C在北偏西15°的方向上，树梢D的仰角为30°，则景观树的高度为
A.10 米 B.20 米
C. 米 D. 米
√
依题意可得如图图形，
在△ABC中，∠BAC＝90°－60°＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝40，
由正弦定理得
解得BC＝＝20
在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，
所以CD＝BCtan 30°＝20×
所以景观树的高度为米.
高度问题的易错点
(1)图形中为空间关系，极易当作平面问题处理，从而致错；
(2)对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错.
思维升华
跟踪训练2　矗立在上饶市市民公园(如图1)的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意，也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方.如图2，某中学研究性学习小组为测量其高度，在和它底部O位于同一水平高度的共线三点A，B，C处测得铜雕顶端P处的仰角分别为且AB＝BC＝20 m，则四门
通天铜雕的高度为
A.15 m B.10 m
C.6 m D.5 m
√
设OP＝h，则OA＝h，OB＝h，OC＝h，
在△ABO中，由余弦定理得cos∠ABO＝
在△BCO中，由余弦定理得
cos∠OBC＝
因为∠ABO＋∠OBC＝π，
所以＝0，即800－h2＝0，
解得h＝10
所以四门通天铜雕的高度为10 m.
例3　如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛B位于小岛A北偏东75°距离60海里处，小岛B北偏东15°距离(30－30)海里处有一个小岛C.
(1)求小岛A到小岛C的距离；
测量角度问题
题型三
在△ABC中，AB＝60，BC＝30－30，
∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，
根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC
＝602＋(30－30)2－2×60×(30－30)·cos 120°＝5 400，
所以AC＝30.
所以小岛A到小岛C的距离是30 海里.
(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C，求游船航行的方向.
根据正弦定理得
所以
解得sin∠ACB＝
在△ABC中，因为AB所以∠CAB＝180°－120°－45°＝15°.
由75°－15°＝60°，
得游船应该沿北偏东60°的方向航行.
角度问题的解题方法
首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.
思维升华
跟踪训练3　甲船在A处观察乙船，乙船在它北偏东60°方向，相距a海里的B处，乙船向正北方向行驶，若甲船速度是乙船速度的 倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝　　 　.
30°
如图，设两船在C处相遇，
则由题意得∠ABC＝180°－60°＝120°，且
由正弦定理得所以sin∠BAC＝.
又因为0°<∠BAC<60°，
所以∠BAC＝30°，
所以θ＝60°－30°＝30°.
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课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A C BCD ACD
题号 11 　12 答案 A 　1 答案
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(1)在Rt△AOC中，
由∠OAC=45°得AC=OC，
在Rt△BOC中，
由∠OBC=30°得BC=2OC，
在△ABC中，利用正弦定理得=
所以==.
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(2)在△ABC中，利用余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠CBA，
即2OC2=8 100+4OC2-2×90×2OC×
化简为OC2-135OC+4 050=0，
解得OC=90或OC=45，
当OC=45时，BC=90=AB，与∠CAB为钝角矛盾，
经验证OC=90符合条件，
所以山高OC为90米.
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如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，
则AC=14x，
BC=10x，
∠ABC=120°.
根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120°，
解得x=2(负值舍去).故AC=28，BC=20.
10.
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根据正弦定理得=
所以sin α==.
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，
角α的正弦值为.
10.
一、单项选择题
1.如图，设A，B两点在河的两岸，在点A所在河岸边选一定点C，测量AC的距离为50 m，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离是
A.25 m B.50 m
C.25 m D.50 m
√
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知识过关
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答案
在△ABC中，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°，
所以∠ABC＝180°－30°－105°＝45°，
由正弦定理
得AB＝＝25(m).
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答案
2.(2024·吉林模拟)如图，位于某海域A处的甲船获悉，在其北偏东60°方向C处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15°，且与甲船相距 n mile的B处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为
A. n mile
B.2 n mile
C.2 n mile
D.3 n mile
√
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答案
由题意知，AB＝∠BAC＝45°，∠BCA＝30°，
在△ABC中，由正弦定理得
所以BC＝＝2，
故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为2 n mile.
3.如图，在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为
A. m B. m
C. m D. m
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答案
设山顶为A，塔底为C，塔顶为D，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点B(图略)，则易得AB＝BD＝AB·tan 30°＝·tan 30°＝×(m)，
所以CD＝BC－BD＝200－(m).
4.(2025·贵阳模拟)如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区，是该市的标志性建筑之一.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝23°，∠CDB＝30°，CD＝11.2 m，在C点测得甲秀楼顶端A的仰角
√
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答案
为72.4°，则甲秀楼的高度约为(参考数据：tan 72.4°≈3.15，sin 53° ≈0.80)
A.18 m B.20 m
C.22 m D.24 m
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答案
由题意可知，∠BCD＝23°，∠CDB＝30°，
所以∠CBD＝127°，
又因为CD＝11.2 m，
由正弦定理
可得
解得CB≈7 m，
又因为∠ACB＝72.4°，
所以AB＝CBtan∠ACB≈7×3.15＝22.05≈22(m).
二、多项选择题
5.(2024·兰州模拟)某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有
A.在水平地面上任意寻找两点A，B，分别测量旗杆顶端的仰角α，β，再测量A，
B两点间距离
B.在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆)，测得建筑物的高度为h，在该建筑物
底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和β
C.在地面上任意寻找一点A，测量旗杆顶端的仰角α，再测量A到旗杆底部的距离
D.在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α，正对旗杆前行5 m到达B处，再
次测量旗杆顶端的仰角β
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答案
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答案
对于A，当A，B两点与旗杆底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不正确；
对于B，如图1，在△ABD中，由正弦定理求AD，则旗杆的高CD＝h＋ADsin β，故B正确；
对于C，如图2，在Rt△ADC中，直接利用锐角三角函数求出旗杆的高DC＝ACtan α，故C正确；
对于D，如图3，在△ABD中，由正弦定理求AD，则旗杆的高CD＝ADsin α，故D正确.
6.(2024·重庆模拟)如图，在海面上有两个观测点B，D，B在D的正北方向，距离为2 km，在某天10：00观察到某航船在C处，此时测得∠CBD＝45°，5分钟后该船行驶至A处，此时测得∠ABC＝30°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则
A.观测点B位于A处的北偏东75°方向
B.当天10：00时，该船到观测点B的距离为 km
C.当船行驶至A处时，该船到观测点B的距离为 km
D.该船在由C行驶至A的这5 min内行驶了 km
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答案
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答案
对于B，在△BCD中，∠CBD＝45°，∠CDB＝∠ADC
＋∠ADB＝30°＋60°＝90°，即∠BCD＝45°，则BD＝CD＝2，则BC＝2故B错误；
对于C，在△ABD中，∠ABD＝75°，∠ADB＝60°，则∠BAD＝45°，由
正弦定理得即AB＝故C正确；
对于A，∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝30°＋45°＝75°，因为B在D的正北方向，所以观测点B位于A的北偏东75°方向，故A正确；
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答案
对于D，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝6＋8－2××2×＝2，即AC＝ km，故D正确.
三、填空题
7.如图，海岸线上有相距5 n mile的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向.海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距3 n mile的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5 n mile的C处.则两艘轮船之间的距离为　　　　n mile.
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答案
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答案
如图所示，连接AC，
由题可知，∠ABC＝60°，AB＝BC＝5 n mile，
所以△ABC为正三角形，
在△ACD中，AD＝3 n mile，
∠DAC＝180°－60°－75°＝45°，
所以CD2＝(3)2＋52－2×3×5×cos 45°＝13，即CD＝ n mile.
8.如图，小明同学为了估算某教堂的高度CD，在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为(15－15)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为30°，则小明估算教堂的高度为　　　　　.
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答案
30 m
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答案
由题意知，∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，
所以∠ACM＝30°.
在Rt△ABM中，AM＝
在△ACM中，由正弦定理得
所以CM＝
在Rt△DCM中，CD＝CM·sin 60°＝＝
30(m).
四、解答题
9.已知某测量小组为测量一座山的高度，建立了如图所示的数学模型三棱锥C－OAB，OC垂直水平面OAB，点C代表该山的上顶点，A，B两点代表山脚地面上的两个观测点，同学甲在A处测得仰角为45°，同学乙在B处测
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答案
得仰角为30°，同学丙测得两个观测点之间的距离AB为90米.
(1)求；
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答案
在Rt△AOC中，由∠OAC＝45°得AC＝OC，
在Rt△BOC中，由∠OBC＝30°得BC＝2OC，
在△ABC中，利用正弦定理得
所以.
(2)同学甲测出∠CAB为钝角，同学乙测算出cos∠CBA＝求山高OC.
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答案
在△ABC中，利用余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠CBA，
即2OC2＝8 100＋4OC2－2×90×2OC×
化简为OC2－135OC＋4 050＝0，
解得OC＝90或OC＝45，
当OC＝45时，BC＝90＝AB，与∠CAB为钝角矛盾，
经验证OC＝90符合条件，
所以山高OC为90米.
10.如图，在一次海上联合作战演习中，A处的一艘红方侦察艇发现在北偏东45°方向相距12 n mile的水面上B处，有蓝方一艘小艇正以每小时
10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.
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答案
如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，
则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.
根据余弦定理得
(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°，
解得x＝2(负值舍去).故AC＝28，BC＝20.
根据正弦定理得
所以sin α＝.
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.
11.已知甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北匀速航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向匀速航行，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是
A.小时 B.小时 C.小时 D.小时
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答案
能力拓展
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答案
假设经过x小时两船相距最近，甲、乙分别行至C处，D处，如图所示，
可知BC＝10－4x，BD＝6x，∠CBD＝120°，
由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝
(10－4x)2＋36x2＋2×(10－4x)×6x×＝28x2－20x＋100.
所以当x＝时，两船相距最近.
12.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心
30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东方向40千米处，则城市B处于危险区的时间为　　　小时.
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答案
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答案
设A地东北方向上存在点P到城市B的距离为30千米，AP＝x，在△ABP中，由余弦定理得PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cos A，
即302＝x2＋402－2x·40·cos 45°，
化简得x2－40x＋700＝0，
设方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝40x1x2＝700，
所以|x1－x2|＝＝20，
即图中CD＝20千米，
所以城市B处于危险区的时间为＝1(小时).
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第四章
§4.7　三角函数中有关ω
的范围问题
数学
大
一
轮
复
习
在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点.
重点解读
例1　已知函数f(x)＝2sin(ω>0)在上单调，则ω的取值范围是
A. B.
C. D.
√
三角函数的单调性与ω的关系
题型一
当00，则－<ωx－<
因为函数f(x)在上存在最值，则>解得ω>2，
当因为函数f(x)在上单调，
则 (k∈Z)，
所以其中k∈Z，解得k－≤ω≤k＋(k∈Z)，
所以k－≤k＋(k∈Z)，解得k≤且k∈Z，
又因为ω>0，则k∈{0，1，2}.
当k＝0时，0<ω≤；
当k＝1时，1≤ω≤；
当k＝2时≤ω≤.
又因为ω>2，因此ω的取值范围是.
确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系建立不等式，即可求ω的取值范围.
思维升华
跟踪训练1　已知函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递增，
则ω的取值范围是　　　 　.
函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递增，
当－因此
而ω>0，解得0<ω≤
所以ω的取值范围是.
例2　(2025·杭州模拟)已知ω≠0，函数f(x)＝sin上有三条对称轴和两个极小值，则
A.<ω≤ B.<ω≤
C.－≤ω<－ D.－≤ω<－
三角函数的对称性与ω的关系
题型二
√
∵x∈
①当ω>0时，ωx＋∈
若f(x)在上有两个极小值，则f(x)至少有4条对称轴，不满足题意；
②当ω<0时，ωx＋∈
又函数f(x)＝sin在上有三条对称轴和两个极小值，
∴－≤<－解得－≤ω<－
综上，－≤ω<－.
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围.
思维升华
跟踪训练2　(2024·铜川模拟)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)满足f ＝f 则ω的最小值为
A. B. C.1 D.2
√
由已知可得函数f(x)＝2sin(ω>0)满足f ＝f
即f ＝f
所以f(x)的图象关于直线x＝对称，
所以＋kπ(k∈Z)，
所以ω＝4k＋(k∈Z)，
又ω>0，所以当k＝0时，ω取得最小值为.
例3　已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则实数ω
的取值范围是　　　　　　 .
三角函数的最值与ω的关系
题型三
(－∞，－2]∪
显然ω≠0.
若ω>0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω，
因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，
所以－ω≤－解得ω≥；
若ω<0，当x∈时ω≤ωx≤－ω，
因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以ω≤－
解得ω≤－2.
综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是(－∞，－2]∪.
利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.
思维升华
跟踪训练3　已知函数f(x)＝sin(ω>0)，若f ＝f 且f(x)在区间内有最大值，无最小值，则ω＝　　　.
由题意知当x＝时，f(x)取得最大值，
即ω＋＝2kπ＋(k∈Z)，
解得ω＝6k＋(k∈Z)，
又所以ω<6，
又ω>0，所以ω＝.
例4　(2025·福州模拟)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在[0，2]内有且仅有5个零点，则f(x)在[0，2]内的极值点个数为
A.4 B.4或5
C.5 D.5或6
三角函数的零点与ω的关系
题型四
√
因为ω>0，当x∈[0，2]时，
≤ωx＋≤2ω＋
由函数f(x)在[0，2]内有且仅有5个零点，得5π≤2ω＋<6π，
当5π≤2ω＋<π时，函数f(x)在[0，2]内有5个极值点，当π≤2ω＋< 6π时，函数f(x)在[0，2]内有6个极值点，
所以f(x)在[0，2]内的极值点个数为5或6.
三角函数两个零点之间的“水平间隔”为根据三角函数的零点个数，可以研究ω的取值.
思维升华
跟踪训练4　(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　　　　.
[2，3)
因为0≤x≤2π，
所以0≤ωx≤2ωπ，
令f(x)＝cos ωx－1＝0，
则cos ωx＝1有3个根，
令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，
结合余弦函数y＝cos t的图象性质可得
4π≤2ωπ<6π，
故2≤ω<3.
课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B A C B ABC BCD
题号 9 　10 答案 一、单项选择题
1.已知函数f(x)＝Asin(A>0，ω>0)的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数ω的最小值是
A. B. C. D.8
√
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知识过关
答案
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答案
由题可知是该函数周期的整数倍，
即×k，k∈Z，解得ω＝k∈Z，
又ω>0，故其最小值为.
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答案
2.(2025·呼和浩特模拟)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间[0，π]上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是
A. B.
C. D.
√
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答案
x∈[0，π]，ω>0，
则ωx－∈
函数f(x)＝sin(ω>0)在区间[0，π]上有且仅有两条对称轴，
则≤ωπ－<故ω的取值范围是.
3.为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为
A.98π B. C. D.100π
√
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由题意，在[0，1]上至少出现50次最大值即在[0，1]上至少有49个周期，即个周期，所以T＝·≤1，
所以ω≥ω的最小值为.
答案
4.(2025·内江模拟)设函数f(x)＝2sin(ω>0)，若存在x1，x2∈
且x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)＝1，则ω的取值范围是
A.[4，＋∞) B.(4，6]
C.[6，＋∞) D.(6，10]
√
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答案
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∵f(x)＝2sin(ω>0)，
∴当x∈时，ωx＋∈
易知0∈f(0)＝1，
又2sin＝1，∴若存在x1，x2∈
且x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)＝1，
则－≤－解得ω≥4.
答案
5.(2024·广州模拟)设函数f(x)＝sin(ω>0)，已知方程|f(x)|＝1在
[0，2π]上有且仅有2个不相等的实数根，则ω的取值范围是
A. B.
C. D.
√
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答案
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∵f(x)＝sin(ω>0)，
∴当x∈[0，2π]时，ωx－∈
∵方程|f(x)|＝1在[0，2π]上有且仅有2个不相等的实数根，
∴≤2πω－<解得≤ω<.
答案
6.(2024·银川模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)若x＝为f(x)的零点，直线x＝－是f(x)图象的对称轴，且f(x)在区间上单调，则当实数ω取得最大值时，φ等于
A. B.－ C. D.－
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答案
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因为f(x)的最小正周期T＝且f(x)在区间上单调，所以≥
又ω>0，故0<ω≤11， ①
又因为x＝为f(x)的零点，直线x＝－是f(x)图象的对称轴，
所以＋k··(k∈Z)，整理得ω＝2k＋1(k∈Z).
②
答案
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由①②得0<ω≤11且ω为奇数，
当ω＝11时，将x＝－代入ωx＋φ，
令11×＋φ＝k'π(k'∈Z)，
得φ＝k'π＋(k'∈Z)，
又|φ|≤故取k'＝－2，得φ＝－
此时f(x)＝Acos(A>0).
答案
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验证当满足f(x)在区间上单调递减，
故实数ω的最大值为11，此时φ＝－.
答案
二、多项选择题
7.(2024·北京模拟)已知函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，那么常数ω的一个取值可以为
A. B. C. D.1
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√
答案
√
√
f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，则ω·≤ω·≥－
∴0<ω≤∴选项ABC符合题意.
8.(2025·江门模拟)已知函数f(x)＝sin＋sin＋2cos2ωx
－(ω>0)，则下列结论正确的是
A.若f(x)相邻两条对称轴的距离为则ω＝2
B.当ω＝1，x∈时，f(x)的值域为[－2]
C.当ω＝1时，f(x)的图象向左平移个单位长度得到图象的函数解析式为y
＝2cos
D.若f(x)在区间内有且仅有两个零点，则5≤ω<8
√
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答案
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f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋sin 2ωx－cos 2ωx＋cos 2ωx
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin
A项，若f(x)相邻两条对称轴的距离为则T＝π＝∴ω＝1，A项错误；
B项，f(x)＝2sin当x∈时，2x＋∈则值域为[－2]，B项正确；
答案
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C项，当ω＝1时，f(x)的图象向左平移个单位长度得到图象的函数解析式为y＝2sin＝2sin＝2cosC项正确；
D项，f(x)＝2sin当x∈时，ω>0，则2ωx＋∈
若f(x)在区间内有且仅有两个零点，则2π≤<3π，∴5≤ω<8，D项正确.
答案
三、填空题
9.(2024·上海模拟)已知函数f(x)＝2sin－1(ω>0)在(0，π)内恰有
两个零点，则实数ω的取值范围为　　　　.
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答案
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答案
令f(x)＝0，∴sin
∵x∈(0，π)，ω>0，∴ωx＋∈
∵f(x)在(0，π)内恰有两个零点，
故<ωπ＋≤∴2<ω≤
即实数ω的取值范围为.
10.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是偶函数，且在上单调递减，则φ＝　　　，ω的最大值是　　　.
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10
由题意知φ＝＋kπ，k∈Z，又0≤φ≤π，所以φ＝
故函数f(x)＝cos ωx(ω>0).
令2mπ≤ωx≤π＋2mπ，m∈Z，
得≤x≤m∈Z，
令m＝0，得0≤x≤所以≥解得0<ω≤2，
所以ω的最大值是2.
答案(共34张PPT)
第四章
必刷小题7　三角函数
数学
大
一
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复
习
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A A B C C A A
题号 9 10 11 12 13 　14 答案 ABC ABD ABC 一、单项选择题
1.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝sin 3x的图象，则f(x)等于
A.cos 3x B.－cos 3x C.sin 3x D.－sin 3x
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知识过关
答案
由题意可知，将函数g(x)＝sin 3x的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)的图象，故f(x)＝sin 3＝sin＝－cos 3x.
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答案
2.(2025·烟台模拟)已知cos则sin 2α等于
A.－ B. C.－ D.
√
因为cos(cos α＋sin α)＝
所以cos α＋sin α＝
两边平方，可得1＋sin 2α＝则sin 2α＝－.
3.(2024·吕梁模拟)tan 67.5°－1等于
A. B. C. D.
√
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由tan 135°＝＝－1，
得2tan 67.5°＝－1＋tan267.5°，
即(tan 67.5°－1)2＝2，
tan 67.5°>tan 45°＝1，
所以tan 67.5°－1＝.
答案
4.若5sin 2α＋5cos 2α＋1＝0，则tan α的值为
A.2或－ B.3或－
C.－2或 D.－3或
√
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答案
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5cos 2α＋5sin 2α＋1＝0
5(cos2α－sin2α)＋10sin αcos α＋cos2α＋sin2α＝0
3cos2α－2sin2α＋5sin αcos α＝0，
显然cos α≠0，则2tan2α－5tan α－3＝0，
解得tan α＝－或tan α＝3.
答案
5.(2024·昭通模拟)折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图甲).图乙是扇形的一部分，若两个圆弧所在圆的半径分别是12和27，且∠ABC＝.若图乙是某圆台的侧面展开图，则该圆台的侧面积是
A.292π B.π
C.195π D.243π
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答案
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，
利用弧长公式可得2πr＝×12，解得r＝4，
又2πR＝×27，解得R＝9，
又圆台的母线长l＝27－12＝15，
所以圆台的侧面积S＝π(4＋9)×15＝195π.
6.(2025·南充模拟)已知角α顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P则cos等于
A.－ B. C.－ D.
√
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∵角α的终边与单位圆相交于点P
∴sin α＝cos α＝－
∴cos＝cos αcos －sin αsin
＝＝－.
答案
7.(2024·运城模拟)4sin 140°－tan 220°等于
A. B.－ C.1 D.－1
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答案
原式＝4sin 40°－tan 40°＝4sin 40°－＝
＝＝＝
＝＝
＝＝.
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答案
8.已知函数f(x)＝xsin(ω>0)， x1，x2∈且x10，则ω的取值范围是
A. B.
C. D.
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由x2f(x1)－x1f(x2)>0，得>
设g(x)＝＝sinx∈
由于x1，x2∈且当x1g(x2)，
可知g(x)在上单调递减，
故当x∈ω>0时，ωx＋∈ k∈Z，
答案
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即k∈Z，
解得＋4k≤ω≤k∈Z，
因为ω>0，则k≥0，k∈Z，
由＋4k≤得k＝0，
则≤ω≤.
答案
二、多项选择题
9.若角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在第三象限，则下列三角函数值中大于零的是
A.sin(π＋α) B.cos(π－α)
C.cos D.sin
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答案
因为角α的终边在第三象限，
所以sin(π＋α)＝－sin α>0，故A满足条件；
cos(π－α)＝－cos α>0，故B满足条件；
cos＝－sin α>0，故C满足条件；
sin＝cos α<0，故D不满足条件.
10.(2024·辽阳模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则
A.f(x)的最小正周期为6
B.f(x＋5)＝f(5－x)
C.将f(x)的图象向右平移个单位长度后所得的图象
关于原点对称
D.f(x)在区间[3，5]上单调递增
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答案
由图可知A＝2，f(0)＝2sin φ＝1，
所以sin φ＝
因为|φ|<所以φ＝
则f(x)＝2sin
又f ＝2sin＝0，ω<0，
所以＝2kπ，k∈Z，
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答案
则ω＝－＋4kπ，k∈Z，
又＝－>所以－π<ω<0，故ω＝－
则f(x)＝2sin则T＝＝6，故A正确；
f(5)＝2sin＝2，所以直线x＝5是f(x)＝2sin的一条对称轴，故B正确；
f ＝2sin图象不关于原点对称，故C错误；
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答案
当x∈[3，5]时，－x＋∈
此时f(x)在区间[3，5]上单调递增，故D正确.
11.(2024·贵阳模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，满足f ＝2，f ＝0，则
A.函数f(x)的值域为[－2，2]
B.函数f(x)的图象关于直线x＝对称
C.函数f 是奇函数
D.函数f(x)在上单调递减
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答案
由题意知f(x)＝2sin所以函数f(x)的值域为[－2，2]，故A正确；
因为f ＝0，所以ω＋＝k1π，k1∈Z，所以ω＝k1∈Z.因为f ＝2，所以ω＋＋2k2π，k2∈Z，所以ω＝12k2＋1，k2∈Z，所以＝12k2＋1，即k1＝8k2＋1，所以ω∈{1，13，25，37，…}.因为f ＝2sin＝2sin＝－2，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，故B正确；
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答案
因为f ＝2sin
＝2sin[(12k2＋1)x－4k2π]＝2sin[(12k2＋1)x]，
即f ＝－f 且f 的定义域为R，
所以函数f 是奇函数，故C正确；
当k2＝1，即ω＝13时，f(x)的最小正周期T＝<＝π，故D
错误.
三、填空题
12.如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值
为　　　.
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答案
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答案
由题意得3cos＝3cos＝3cos＝0，
∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)，
取k＝0，得|φ|的最小值为.
13.(2024·新课标全国Ⅱ)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋
tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin(α＋β)＝　　　　.
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答案
－
方法一　由题意得tan(α＋β)＝＝－2
因为α∈
β∈k，m∈Z，
则α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，
又因为tan(α＋β)＝－2<0，
则α＋β∈k，m∈Z，
则sin(α＋β)<0，
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答案
则＝－2
联立 sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，
解得sin(α＋β)＝－.
方法二　 因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos α>0，cos β<0，
cos α＝
cos β＝
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答案
则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝cos αcos β(tan α＋tan β)
＝4cos αcos β＝
＝
＝＝－.
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答案
14.设函数f(x)＝sin上的值域为[M，N]，则N－M的
取值范围是　　　 .
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答案
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答案
函数f(x)＝sin的最小正周期T＝π，而－α＝<
当函数f(x)在上单调时，
N－M＝＝
＝|cos 2α|≤；
当函数f(x)在上不单调时，由正弦函数的图象性质知，当f(x)在上的图象关于直线x＝α＋对称时，N－M最小，
1
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答案
此时2＝kπ＋k∈Z，
即α＝k∈Z，
因此(N－M)min＝＝
＝＝
所以N－M的取值范围是.(共70张PPT)
第四章
§4.9　解三角形中的最值
与范围问题
数学
大
一
轮
复
习
解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系.
重点解读
例1　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
(1)求角A；
利用基本不等式求最值(范围)
题型一
由
结合正弦定理得
所以tan A＝
又因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，
即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时等号成立，
所以S△ABC＝bcsin A≤×4×
即当b＝c＝2时，△ABC面积的最大值为.
求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法
在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，即可得到“b2＋c2”与“bc”的等量关系.
(1)求面积最值时，S＝bcsin A，即求bc最值，在等量关系中利用基本不等
式b2＋c2≥2bc，即可求得bc的最值.
(2)求周长a＋b＋c的最值时，即求b＋c的最值，在等量关系中，把b2＋c2
换成(b＋c)2－2bc，再利用基本不等式bc≤即可求得b＋c的最值.
思维升华
跟踪训练1　已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin2A.
(1)求角A的大小；
由正弦定理
得b2＋c2＋bc＝a2，
即b2＋c2－a2＝－bc，
由余弦定理得，cos A＝＝－
又0(2)若a＝求△ABC周长的最大值.
由a＝和(1)可知b2＋c2＋bc＝3，
则3＝(b＋c)2－bc≥(b＋c)2－
得4≥(b＋c)2，即b＋c≤2，
所以a＋b＋c≤2＋当且仅当b＝c＝1时取得等号，
所以△ABC周长的最大值为2＋.
例2　(2024·广州模拟)如图，在平面内，四边形ABCD的对角线交点位于四边形内部，AB＝3，BC＝7，△ACD为正三角形.
(1)求AC的取值范围；
转化为三角函数求最值(范围)
题型二
因为四边形ABCD的对角线交点位于四边形内部，所以∠BAC＋∠CAD<π，
又因为△ACD为正三角形，∠CAD＝
所以0<∠BAC<
在△ABC中，由余弦定理得＝cos∠BAC，
又因为－将AB＝3，BC＝7代入并整理得AC2＋3AC－40>0，且AC2－6AC－40<0，解得5所以AC的取值范围是(5，10).
(2)设∠ABC＝α，当α变化时，求四边形ABCD面积的最大值.
在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos α＝9＋49－2×3×7cos α＝58－42cos α，
由(1)知5则cos α＝∈
又因为△ACD为正三角形，
所以S△ACD＝AC2＝cos α，
又S△ABC＝AB·BC·sin α＝sin α，
所以S四边形ABCD ＝S△ACD＋S△ABC
＝cos α＋sin α
＝21×
＝21sin
所以当α－即α＝时，cos ＝－∈成立，
此时四边形ABCD的面积取得最大值，最大值为21＋.
利用正弦定理、余弦定理，把所求量转化为关于某个角的三角函数，利用三角函数的有界性、单调性再结合角的范围确定最值或范围.要特别注意题目隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形、三角形内角和为π等.
思维升华
跟踪训练2　在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且bsin B－asin A＝sin C.
(1)求角A的大小；
bsin B－asin A＝sin C
＝sin C，
由正弦定理得
b2－a2＝2bcsin Acos ＋2bccos Asin －c2，
所以bcsin A＋bccos A＝b2＋c2－a2＝2bccos A，
则sin A＝cos A，cos A≠0，
所以tan A＝
又A∈所以A＝.
(2)求sin Ccos B的取值范围.
因为△ABC为锐角三角形，
所以A＋B＝＋B>B>即sin Ccos B＝sincos B＝cos B
＝cos2B＋sin Bcos B＝sin 2B＝
＝sin又则<2B＋<即sin Ccos B的取值范围是.
例3　(2024·北京模拟)在△ABC中，AB＝5，D在边AB上，且2BD＝3AD，BC＝2CD.
(1)若CD＝2，求△ABC的周长；
转化为其他函数求最值(范围)
题型三
若CD＝2，则BC＝2CD＝4，
又AB＝5，2BD＝3AD，所以BD＝3，AD＝2，
在△BCD中，由余弦定理得
cos B＝
在△ABC中，
由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝25＋16－2×5×4×＝6，
故AC＝
故△ABC的周长为5＋4＋＝9＋.
(2)求△ACD周长的最大值.
由(1)知，BD＝3，AD＝2，
设CD＝x，则BC＝2x，
由三边关系可得解得1在△BCD中，由余弦定理得
cos B＝
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B
＝25＋4x2－2×5×2x×＝10－x2，
故AC＝
所以△ACD的周长为＋x＋2，
令f(x)＝＋x＋2，1则f'(x)＝＋1＝x∈(1，3)，
当10，f(x)单调递增；
当故f(x)在x＝处取得极大值，也是最大值，
故△ACD周长的最大值为f()＝＋2＝2＋2.
解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解.
思维升华
跟踪训练3　已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)若C＝求B；
由及正弦定理可得，
即c2＝b2＋ab，
∵C＝∴c2＝a2＋b2，
∴b2＋ab＝a2＋b2，则a＝b，即A＝B，
又C＝∴B＝.
(2)求的取值范围.
由(1)知，c2＝b2＋ab，
∴a＝c>b，
由三角形三边关系可得
代入化简可得b∴－1，
令x＝则x∈(1，2)，
令f(x)＝x2＋x－1，1∴f(x)＝∈(1，5)，
∴－1∈(1，5)，
∴的取值范围是(1，5).
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C C ACD ACD
答案
1
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3
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6
7
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10
(1)∵tan Atan B+tan Atan C=3tan Btan C，
∴=3×
∴sin A(sin Bcos C+cos Bsin C)=3sin Bsin Ccos A，
∴sin(B+C)sin A=3sin Bsin Ccos A，
又sin(B+C)=sin A，∴sin2A=3sin Bsin Ccos A，
由正弦定理可得a2=3bccos A，
由余弦定理可得a2=3bccos A=(b2+c2-a2)，整理得3b2+3c2=5a2.
9.
答案
1
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4
5
6
7
8
9
10
(2)由(1)得3b2+3c2=5a2，
即a2=(b2+c2)，
则cos A===≥
当且仅当=即b=c时，等号成立，A取最大值，
此时3b2+3c2=6b2=5a2=75，
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
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9
10
则b2=
∵cos A=>0，则A∈
可得sin A==
故S△ABC=bcsin A=b2×=××=.
9.
答案
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7
8
9
10
(1)∵sin(A+B)=1+2sin2且A+B+C=π，
∴sin C=1+1-cos C=2-cos C，
即sin C+cos C=2，
∴2sin=2.
∵C∈(0，π)，∴C+∈
∴C+=即C=.
10.
答案
1
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4
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10
(2)∵△ABC的外接圆半径为2，
∴由正弦定理知==2×2=4，∴AB=2
∵∠ACB=∴∠ABC+∠BAC=
∵∠BAC与∠ABC的平分线交于点I，
∴∠ABI+∠BAI=∴∠AIB=
设∠ABI=θ，
10.
答案
1
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10
则∠BAI=-θ，且0<θ<
在△ABI中，由正弦定理得，
====4，
∴BI=4sinAI=4sin θ，
∴△ABI的周长为2+4sin+4sin θ=2+4
+4sin θ=2+2cos θ+2sin θ=4sin+2
10.
答案
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∵0<θ<<θ+<
∴当θ+=即θ=时，△ABI的周长取得最大值，为4+2
故△ABI周长的最大值为4+2.
10.
一、单项选择题
1.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，A＝则b的取值范围是
A.(0，6) B.(0，2)
C.(2) D.(36)
√
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知识过关
答案
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答案
在锐角△ABC中，a＝3，A＝
由正弦定理可得＝6，
所以b＝6sin B，
又B＋C＝
所以解得所以1
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答案
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝c－1，b＝c＋1，若△ABC为钝角三角形，则c的取值范围为
A.(2，4) B.(1，3)
C.(0，3) D.(3，4)
√
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答案
由a＝c－1，b＝c＋1，则b>c>a，
所以c＋c－1>c＋1，故c>2，
由△ABC为钝角三角形，则cos B<0，
即<0，得c2－4c<0，故0故c的取值范围为(2，4).
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＝3(b＋c)，A＝则△ABC周长的最大值为
A.6 B.12 C.18 D.24
√
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答案
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因为A＝且a2＝3(b＋c)，
由余弦定理可得，a2＝3(b＋c)＝b2＋c2－bc，
所以(b＋c)2－3(b＋c)＝3bc≤(b＋c)2，
当且仅当b＝c时，等号成立，
所以b＋c≤12，所以a＝≤6，
即△ABC周长的最大值为12＋6＝18.
答案
4.(2025·泰州模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C＝60°，B>90°，则的取值范围为
A. B.(＋∞)
C.(2，＋∞) D.(3，＋∞)
√
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答案
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因为C＝60°，B>90°，
所以0°即得>
由正弦定理可得×>2.
答案
二、多项选择题
5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝b＝4则下列说法正确的是
A.若A＝则a＝4
B.若a＝1，则c＝
C.△ABC周长的最大值为12
D.△ABC面积的最大值12
√
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答案
√
√
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由正弦定理代入数据解得a＝4故A正确；
由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accos B＝c2－c＋1＝48，解得c＝或c＝(舍去)，故B错误；
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝48，
因为a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－3
当且仅当a＝c＝4时，等号成立，所以a＋c≤8故△ABC周长的最大值为12故C正确；
答案
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由C选项分析可知a2＋c2－ac＝48，因为a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，所以ac≤48，所以△ABC的面积S△ABC＝acsin B＝ac≤×48＝12
当且仅当a＝c＝4时等号成立，故D正确.
答案
6.(2024·广州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3bcos C＋3ccos B＝a2，则下列说法正确的是
A.若B＋C＝2A，则△ABC的外接圆的面积为3π
B.若A＝且△ABC有两解，则b的取值范围为[3，3]
C.若C＝2A，且△ABC为锐角三角形，则c的取值范围为(33)
D.若A＝2C，且sin B＝2sin C，O为△ABC的内心，则△AOB的面积为
√
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答案
√
√
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因为3bcos C＋3ccos B＝a2，
所以由正弦定理，得3sin Bcos C＋3sin Ccos B＝asin A，
即3sin(B＋C)＝asin A，
因为A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sin A，
且sin A≠0，所以a＝3.
选项A，若B＋C＝2A，则A＝
所以△ABC的外接圆的直径2R＝＝2
所以R＝
答案
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所以△ABC的外接圆的面积为π×()2＝3π，A正确；
选项B，因为△ABC有两解，
则bsin A解得3选项C，由正弦定理得
即c＝2acos A＝6cos A，
因为△ABC为锐角三角形，
答案
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所以所以所以c＝6cos A∈(33)，C正确；
选项D，因为a＝3，sin B＝2sin C，A＝2C，
可得B＝π－3C，由正弦定理可得b＝2c，
由sin(π－3C)＝2sin C，
可得sin Ccos 2C＋cos Csin 2C＝2sin C，
答案
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由sin C≠0，可得4cos2C－1＝2，
解得cos2C＝
又B＝π－3C∈(0，π)，则C∈
故cos C＝sin C＝
可得sin A＝2sin Ccos C＝2××
由正弦定理a＝3可得c＝b＝2则a＋b＋c＝3＋3
答案
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S△ABC＝bcsin A＝×2××
设△ABC的内切圆半径为r，
则r＝
S△AOB＝cr＝××D正确.
答案
三、填空题
7.(2024·辽阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋4b2＝6c2，则的最小值为　　　.
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答案
因为a2＋4b2＝6c2≥2＝4ab，
当且仅当a＝2b时，等号成立，
即≥.
由正弦定理可得≥当且仅当a＝2b时，等号成立，
所以的最小值为.
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答案
8.(2024·绵阳模拟)如图所示，在△ABC中，已知A＝C＝AC＝4，D，E，F分别在边AC，BC，AB上，且△DEF为等边三角形.则△DEF的面积
的最小值是　 　　.
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答案
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答案
不妨设△DEF的边长为a，∠CDE＝θ.
在Rt△CDE中，CD＝acos θ.
因为∠ADF＝π－θ－－θ，
所以在△AFD中，可得∠AFD＝π－－∠ADF＝θ，
根据正弦定理可得
所以AD＝sin θ，
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答案
所以AC＝CD＋AD＝aasin(θ＋φ)＝4，
其中tan φ＝
当sin(θ＋φ)＝1时，a取得最小值
故△DEF面积的最小值为S＝a2＝×.
四、解答题
9.(2024·铜川模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan Atan B＋tan Atan C＝3tan Btan C.
(1)证明：3b2＋3c2＝5a2；
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答案
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答案
∵tan Atan B＋tan Atan C＝3tan Btan C，
∴＝3×
∴sin A(sin Bcos C＋cos Bsin C)＝3sin Bsin Ccos A，
∴sin(B＋C)sin A＝3sin Bsin Ccos A，
又sin(B＋C)＝sin A，∴sin2A＝3sin Bsin Ccos A，
由正弦定理可得a2＝3bccos A，
由余弦定理可得a2＝3bccos A＝(b2＋c2－a2)，
整理得3b2＋3c2＝5a2.
(2)若a＝当A取最大值时，求△ABC的面积.
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答案
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答案
由(1)得3b2＋3c2＝5a2，
即a2＝(b2＋c2)，
则cos A＝≥
当且仅当即b＝c时，等号成立，A取最大值，
此时3b2＋3c2＝6b2＝5a2＝75，
则b2＝
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答案
∵cos A＝>0，则A∈
可得sin A＝
故S△ABC＝bcsin A＝b2×××.
10.(2025·郑州模拟)已知在△ABC中sin(A＋B)＝1＋2sin2.
(1)求角C的大小；
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答案
∵sin(A＋B)＝1＋2sin2且A＋B＋C＝π，
∴sin C＝1＋1－cos C＝2－cos C，
即sin C＋cos C＝2，
∴2sin＝2.
∵C∈(0，π)，∴C＋∈
∴C＋即C＝.
(2)如图，若∠BAC与∠ABC的平分线交于点I，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值.
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答案
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答案
∵△ABC的外接圆半径为2，
∴由正弦定理知＝2×2＝4，
∴AB＝2
∵∠ACB＝∴∠ABC＋∠BAC＝
∵∠BAC与∠ABC的平分线交于点I，
∴∠ABI＋∠BAI＝∴∠AIB＝
设∠ABI＝θ，则∠BAI＝－θ，且0<θ<
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答案
在△ABI中，由正弦定理得，
＝4，
∴BI＝4sinAI＝4sin θ，
∴△ABI的周长为2＋4sin＋4sin θ
＝2＋4＋4sin θ
＝2＋2cos θ＋2sin θ
＝4sin＋2
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答案
∵0<θ< ∴<θ＋<
∴当θ＋
即θ＝时，△ABI的周长取得最大值，为4＋2
故△ABI周长的最大值为4＋2.(共73张PPT)
第四章
§4.1　任意角和弧度制、
三角函数的概念
数学
大
一
轮
复
习
1.了解任意角的概念和弧度制.
2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.
3.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.角的概念
定义 角可以看成一条射线绕着它的 旋转所成的图形
分类 (1)按旋转方向分为 、 和 ；
(2)按终边位置分为 和轴线角
相反角 把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为－α
终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或___________________
端点
正角
负角
零角
象限角
{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}
2.弧度制的定义及公式
定义 长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的
角，记作1 rad
弧度数公式 |α|＝ (弧长用l表示，半径用r表示)
角度与弧度的换算
弧长公式 弧长l＝____
扇形面积公式 S＝ ＝______
半径长
°
|α|r
|α|r2
lr
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝sin α，x＝cos α＝tan α(x≠0).
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图.
(3)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那
么sin α＝ cos α＝ tan α＝ (x≠0).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角. (　　)
(2)第四象限的角一定是负角. (　　)
(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.(　　)
(4)角α的三角函数值与其终边上点P的位置有关.(　　)
×
×
√
×
2.角－863°的终边所在的象限是
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
－863°＝－2×360°－143°，则－863°和－143°的终边相同，故角－863°的终边在第三象限.
3.一钟表的秒针长12 cm，经过25 s，秒针的端点所走的路线长为
A.20 cm B.14 cm
C.10π cm D.8π cm
√
秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为×2π＝因此，秒针的端点所走的路线长为×12＝10π(cm).
4.已知角α的终边上有一点P(1，－2)，则sin α－cos α的值为　　　 .
因为sin α＝＝－
cos α＝
所以sin α－cos α＝－＝－.
－
1.熟记以下常用结论
(1)轴线角
返回
微点提醒
(2)若角α∈则sin α<α(3)α所在象限与所在象限的关系
返回
微点提醒
2.谨防三个易误点
(1)角度与弧度换算的关键是π rad＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用；
(2)利用表中的扇形弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(3)已知三角函数值的符号确定角的终边位置，不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
α所在象限 一 二 三 四
一、三 一、三 二、四 二、四
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(2025·宁波模拟)若α是第二象限角，则
A.－α是第一象限角
B.是第三象限角
C.＋α是第二象限角
D.2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上
√
角及其表示
题型一
因为α是第二象限角，可得＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，对于A，可得－π－2kπ<－α<－－2kπ，k∈Z，此时－α的终边在第三象限，所以－α是第三象限角，A错误；
对于B，可得＋kπ<<＋kπ，k∈Z，当k为偶数时的终边在第一象限；当k为奇数时的终边在第三象限，所以是第一或第三象限角，B错误；
对于C，可得2π＋2kπ<＋α<＋2kπ，k∈Z，即2(k＋1)π<＋α<＋
2(k＋1)π，k∈Z，所以＋α的终边在第一象限，所以＋α是第一象限角，C错误；
对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上，D正确.
(2)如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值
集合为　　　　　 　　　.
方法二　在[0，2π)内，终边落在阴影部分内的角α的集合为所以所求角α的集合为.
因此由题图可知，终边落在阴影部分内的角α的集合为.
方法一　由于终边在y＝－x(x≤0)上的角的集合为由于终边在x轴非正半轴上的角的集合为{γ|γ＝π＋2kπ，k∈Z}，
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
(2)确定kα(k∈N*)的终边位置的方法是先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置.
思维升华
跟踪训练1　(1)(多选)下列四个命题中正确的是
A.－是第二象限角
B.是第三象限角
C.－400°是第四象限角
D.－315°是第一象限角
√
√
√
－是第三象限角，故A错误；
＝π＋所以是第三象限角，故B正确；
－400°＝－360°－40°，所以－400°是第四象限角，故C正确；
－315°＝－360°＋45°，所以－315°是第一象限角，故D正确.
(2)已知α为第三象限角，则是第　　 象限角，2α是______________
___________________________的角.
二或四
终边落在第一
或第二象限或y轴非负半轴上
∵α是第三象限角，即2kπ＋π<α<2kπ＋k∈Z，∴kπ＋<k∈Z，4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z.当k为偶数时为第二象限角；当k为奇数时为第四象限角，而2α的终边落在第一或第二象限或y轴非负半轴上.
例2　(1)《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为
米.“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：≈1.414≈1.732)
A.1.612米 B.1.768米
C.1.868米 D.2.045米
弧度制及其应用
题型二
√
由题意得，“弓”所在的弧长l＝(米)，所在圆的半径R＝1.25＝(米)，所以其所对的圆心角α＝所以双手之间的距离
d＝×1.25≈1.768(米).
(2)已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
①若α＝R＝10 cm，求扇形的弧长l；
因为α＝R＝10 cm，
所以l＝|α|R＝×10＝(cm).
②若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
由已知，得l＋2R＝20，
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.
所以当R＝5 cm时，S取得最大值，
此时l＝10 cm，α＝＝2 rad.
③若α＝R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.
设弓形面积为S弓形，
方法一　由题意知l＝ cm，
所以S弓形＝××2－×22×sin (cm2).
方法二　S弓形＝××22－×22×sin (cm2).
应用弧度制解决问题的思路
(1)求扇形面积最大值的问题时，常转化为利用二次函数或基本不等式求最值问题.
(2)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
思维升华
跟踪训练2　(1)(2024·杭州模拟)半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是
A.1 rad B.2 rad C.4 rad D.6 rad
√
半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是＝2 rad.
(2)玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.某扇形玉雕壁画尺寸(单位：cm)如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积为
A.1 600 cm2 B.3 200 cm2
C.3 350 cm2 D.4 800 cm2
√
由题意知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形所得，
设大、小扇形所在圆的半径分别为r1，r2，相同的圆心角为θ，
则θ＝得r1＝2r2，
又因为r1－r2＝40，所以r1＝80，r2＝40，
该扇形玉雕壁画的扇面面积
S＝×160×r1－×80×r2＝×160×80－×80×40＝4 800(cm2).
例3　(1)若角α满足sin α·cos α<0，cos α－sin α<0，则α是
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
√
三角函数的概念
题型三
因为sin α·cos α<0，所以α是第二或第四象限角；
当α是第二象限角时，cos α<0，sin α>0，满足cos α－sin α<0；
当α是第四象限角时，cos α>0，sin α<0，则cos α－sin α>0，不符合题意，
综上所述，α是第二象限角.
(2)(2025·深圳模拟)若角α的终边过点(4，3)，则sin等于
A. B.－ C. D.－
√
∵角α的终边过点(4，3)，
∴cos α＝
∴sin＝cos α＝.
(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出其终边与单位圆交点P的坐标.
(2)已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置.
思维升华
跟踪训练3　(1)已知点P在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则角θ的大小为
A. B. C. D.
√
由题意，得θ为第二象限角，又θ∈[0，2π)，则<θ<π，
易知tan θ＝－所以θ＝.
(2)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点P(sin α，tan α)在第四象限，则角α的终边在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
因为点P(sin α，tan α)在第四象限，所以sin α>0，tan α<0，所以角α的终边在第二象限.
返回
课时精练
对一对
答案
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2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D B C B AD BCD
题号 9 10 13 14
答案 {α|30°+k·180°≤α< 105°+k·180°，k∈Z} 2(答案不唯一) ACD B
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对一对
答案
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题号 15 16
答案 AD (2-sin 2，1-cos 2)
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答案
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(1)与角α终边相同的角的集合为
令-4π<2kπ+<-π，
得-又k∈Z，所以k=-2，-1，
所以在(-4π，-π)内与角α终边相同的角是--.
11.
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答案
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(2)由(1)知，β=2kπ+(k∈Z)，
则=kπ+(k∈Z)，
则当k为偶数时，角是第一象限角；当k为奇数时，角是第三象限角，
所以角是第一或第三象限角.
11.
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答案
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(1)根据题意的长度为xθ米的长度为2θ米，
所以2(2-x)+xθ+2θ=6，所以θ=(0(2)依据题意，可知y=S扇形OAD-S扇形OBC=θ×22-θx2
=-x2+x+2=-+0所以当x=时，y的值最大，最大值为.
12.
15
16
一、单项选择题
1.把－1 125°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是
A.－6π B.－6π
C.－8π D.－8π
√
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知识过关
答案
－1 125°＝－1 440°＋315°＝－8π＋.
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答案
2.若角α的终边在y轴的非正半轴上，则角α＋的终边在
A.第一象限 B.第二象限
C.y轴的非负半轴上 D.x轴的非正半轴上
√
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答案
由角α的终边在y轴的非正半轴上可知α＝＋2kπ，k∈Z，
故α＋＋2kπ＋＋2kπ，k∈Z，
而角＝2π＋的终边在第一象限，
故角α＋的终边在第一象限.
15
16
3.设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α
等于
A.－ B.－ C.－ D.－
√
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因为α是第二象限角，所以cos α＝x<0，即x<0.
又cos α＝x＝解得x＝－3(x＝3舍去)，
所以tan α＝＝－.
答案
15
16
4.已知角x的终边上一点的坐标为则角x的最小正值为
A. B. C. D.
√
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因为sin >0，cos <0，
所以角x的终边在第四象限，
根据三角函数的定义，可知sin x＝cos ＝－
故角x的最小正值为2π－.
答案
15
16
5.(2024·北京模拟)“sin 2θ>0”是“θ为第一或第三象限角”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
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答案
∵sin 2θ＝2sin θ·cos θ>0 >0 tan θ>0，∴θ为第一或第三象限角.
15
16
6.中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为
A. B.
C.3－ D.－2
√
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答案
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答案
设∠AOB＝θ，半圆O的半径为r，扇形OCD的半径为r1，
依题意，有
即
所以
从而得.
15
16
二、多项选择题
7.下面说法正确的有
A.角与角－的终边相同
B.终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·360°－45°，
k∈Z}
C.若角α的终边在直线y＝－3x上，则cos α的取值为
D.67°30'化成弧度是 rad
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√
答案
√
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角与角－相差2π，终边相同，故A正确；
终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}，故B错误；
若角α的终边在直线y＝－3x上，则cos α的取值为±故C错误；
67°30'化成弧度是 rad，故D正确.
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答案
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8.(2025·深圳模拟)如图，质点A和B在单位圆O上逆时针做匀速圆周运动.若A和B同时出发，A的角速度为1 rad/s，起点位置坐标为B的角速度为2 rad/s，起点位置坐标为(1，0)，则
A.在1 s末，点B的坐标为(sin 2，cos 2)
B.在1 s末，扇形AOB的弧长为－1
C.在 s末，点A，B在单位圆上第二次重合
D.△AOB面积的最大值为
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答案
√
√
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在1 s末，点B的坐标为(cos 2，sin 2)，故A错误；
在1 s末，∠AOB＝－1，扇形AOB的弧长为－1，故B正确；
设在t s末，点A，B在单位圆上第二次重合，则2t－t＝t＝2π＋故在 s末，点A，B在单位圆上第二次重合，故C正确；
S△AOB＝sin∠AOB，又∠AOB∈(0，π)，∠AOB＝则经过 s后，可得∠AOB＝此时△AOB的面积可取得最大值故D正确.
答案
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三、填空题
9.已知角α的终边在图中阴影部分内，则角α的取值集合为　　　　　　　　 　　　　.
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答案
{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}
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答案
终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝
{β|β＝30°＋k·180°，k∈Z}，
终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{γ|γ＝105°＋k·180°，k∈Z}，
因此，终边在题图中阴影部分内的角α的集合为{α|30°＋k·180°≤ α<105°＋k·180°，k∈Z}.
15
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10.(2024·昆明模拟)已知角θ的顶点为坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点A(1，a)(a∈Z)在角θ的终边上，且|OA|≤3，则tan θ的值可以是　　　 　　　 .(写出一个即可)
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答案
2(答案不唯一)
点A(1，a)(a∈Z)在角θ的终边上，且|OA|≤3，
则1＋a2≤9，解得－2≤a≤2a∈Z，
则a的值可为－2，－1，0，1，2，又tan θ＝＝a，
故tan θ的值可以是0或±1或±2.
15
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四、解答题
11.已知α＝.
(1)写出与角α终边相同的角的集合，并求出在(－4π，－π)内与角α终边相同的角；
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答案
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答案
与角α终边相同的角的集合为
令－4π<2kπ＋<－π，
得－又k∈Z，所以k＝－2，－1，
所以在(－4π，－π)内与角α终边相同的角是－－.
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(2)若角β与角α的终边相同，判断角是第几象限角.
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答案
由(1)知，β＝2kπ＋(k∈Z)，
则＝kπ＋(k∈Z)，
则当k为偶数时，角是第一象限角；当k为奇数时，角是第三象限角，
所以角是第一或第三象限角.
15
16
12.某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA＝2米，OB＝x米(01
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答案
(1)求θ关于x的函数解析式；
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答案
根据题意的长度为xθ米的长度为2θ米，
所以2(2－x)＋xθ＋2θ＝6，
所以θ＝(015
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(2)记该宣传牌的面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.
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答案
依据题意，可知
y＝S扇形OAD-S扇形OBCθ×22－θx2
＝－x2＋x＋2＝－0所以当x＝时，y的值最大，最大值为.
15
16
13.(多选)已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对
称，则
A.sin θ＝－
B.α为钝角
C.cos α＝－
D.点(tan θ，tan α)在第四象限
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答案
√
能力拓展
√
√
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因为角θ的终边经过点(－2，－)，
所以sin θ＝－A正确；
由θ与α的终边关于x轴对称，得α的终边经过点(－2)，α为第二象限角，不一定为钝角，cos α＝－B错误，C正确；
因为tan θ＝>0，tan α＝－<0，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D正确.
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答案
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14.(2024·呼和浩特模拟)用一个圆心角为120°，面积为3π的扇形OMN(O为圆心)围成一个圆锥(点M，N恰好重合)，该圆锥顶点为P，底面圆的直径为AB，则cos∠APB的值为
A. B. C. D.
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答案
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由圆心角为120°，面积为3π的扇形OMN，
得××OM2=3π，解得OM=3，
所以圆锥的母线PA=OM=3，
由底面圆的直径为AB，所以AB·π=×3，
所以AB=2，
设AB的中点为C，如图所示，
所以sin∠APC==，
所以cos∠APB=1-2sin2∠APC=1-2×=.
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答案
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15.(多选)在平面直角坐标系Oxy中，已知任意角θ以坐标原点为顶点，x轴的非负半轴为始边，若终边经过点P(x0，y0)，且|OP|=r(r>0)，定义：sos θ
=，称“sos θ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数f(x)=sos x”，有同学得到以下性质，其中正确的是
A.该函数的值域为[-，]
B.该函数的图象关于原点对称
C.该函数的图象关于直线x=对称
D.该函数为周期函数，且最小正周期为2π
√
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答案
15
16
A中，由三角函数的定义可知x0=rcos θ，y0=rsin θ，所以f(x)=sos x ==sin x+cos x=sin∈[-，]，所以A正确；
B中，f(x)=sos x=sin，所以f(0)=sin=1≠0，所以B错误；
C中，当x=时，f=sin=sin π=0≠±，所以C错误；
D中，f(x)=sos x=sin，所以函数为周期函数，且最小正周期为2π，所以D正确.
16.如图，在平面直角坐标系Oxy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)处，此时圆上一点P的位置在(0，0)处，圆在x轴上沿x轴正方向滚动.当圆滚动到圆心位于C(2，1)处时的坐标为　　　　　 .
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(2－sin 2，1－cos 2)
答案
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16
如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.
因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA＝2，即圆心角∠PCA＝2，
则∠PCB＝2－
所以PB＝sin＝－cos 2，
CB＝cos＝sin 2，
所以xP＝2－CB＝2－sin 2，yP＝1＋PB＝1－cos 2，
所以＝(2－sin 2，1－cos 2).
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答案
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15
16(共29张PPT)
第四章
必刷大题9　解三角形
数学
大
一
轮
复
习
答案
1
2
3
4
(1)由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC
=4+1-2×2×1×cos 120°=7，
则BC=
由正弦定理可得sin∠ABC===.
(2)由三角形面积公式可得==4，
则S△ACD=S△ABC=×=.
1.
答案
1
2
3
4
(1)由sin A=2sin B，得a=2b=4，
由余弦定理可知
cos C==-
又C∈(0，π)，则C=.
2.
答案
1
2
3
4
(2)在△ACD中，
由正弦定理可知=
则sin∠ACD=
在△BCD中，由正弦定理可知=
则sin∠BCD=
2.
答案
1
2
3
4
又sin∠BDC=sin∠ADC，
故sin∠BCD=sin∠ACD，即∠BCD=∠ACD或∠BCD=π-∠ACD，
又∠ACB=∠BCD+∠ACD为△ABC的内角，
所以∠BCD=∠ACD，
故CD平分∠ACB.
2.
答案
1
2
3
4
(1)sin B+sin C=2sin Acos B，
由正弦定理可得b+c=2acos B，
又∵cos B=
∴b+c=
∴bc+c2=a2+c2-b2，
∴a2-b2=bc.
3.
答案
1
2
3
4
(2)由(1)知b+c=2acos∠CBA，
∴cos∠CBA==
在△BCD中，BC=a，BD=1，
∴cos∠CBD=
又∵cos∠CBD=cos(π-∠CBA)=-cos∠CBA，
∴-=
3.
答案
1
2
3
4
∴-b-3=1+a2-CD2，
∴CD2=4+a2+b，
又∵a2-b2=bc，c=3，
∴CD2=4+b2+3b+b=b2+4b+4=(b+2)2，
∵CD>0，∴CD=b+2，
∴CD-CA=b+2-b=2.
综上所述，CD-CA为定值2.
3.
答案
1
2
3
4
(1)由acos C-asin C=b结合正弦定理，
得sin Acos C-sin Asin C=sin B.
因为A+B+C=π，
所以sin Acos C-sin Asin C=sin(A+C)=(sin Acos C+cos Asin C)，
所以-sin Asin C=cos Asin C.
因为sin C>0，所以tan A=-.
因为A∈(0，π)，所以A=.
4.
答案
1
2
3
4
4.
(2)在△ABC中，由余弦定理，
得a2=b2+c2-2bccos
所以4=b2+c2+bc. ①
因为AD为BC边上的中线，
所以=+)，
所以||2==+)2=(c2+b2-bc). ②
答案
1
2
3
4
由①得b2+c2=4-bc， ③
代入②得||2=1-bc. ④
由③得4-bc=b2+c2≥2bc，
所以bc≤
当且仅当
4.
答案
1
2
3
4
即b=c=时取等号，
代入④得||2=1-bc≥
所以AD≥
故AD长度的最小值为.
4.
1.(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.
(1)求sin∠ABC；
1
2
3
4
答案
1
2
3
4
答案
由余弦定理可得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC
＝4＋1－2×2×1×cos 120°＝7，
则BC＝
由正弦定理可得
sin∠ABC＝.
(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积.
1
2
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4
答案
由三角形面积公式可得
＝4，
则S△ACD＝S△ABC＝×.
1
2
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4
答案
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin A＝2sin B.
(1)若b＝2，c＝2求C的大小；
由sin A＝2sin B，得a＝2b＝4，
由余弦定理可知cos C＝＝－
又C∈(0，π)，则C＝.
1
2
3
4
答案
(2)点D在边AB上，且AD＝AB，证明：CD平分∠ACB.
1
2
3
4
答案
在△ACD中，
由正弦定理可知
则sin∠ACD＝
在△BCD中，由正弦定理可知
则sin∠BCD＝
又sin∠BDC＝sin∠ADC，
故sin∠BCD＝sin∠ACD，
1
2
3
4
答案
即∠BCD＝∠ACD或∠BCD＝π－∠ACD，
又∠ACB＝∠BCD＋∠ACD为△ABC的内角，
所以∠BCD＝∠ACD，故CD平分∠ACB.
3.(2024·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin B＋sin C＝2sin Acos B.
(1)证明：a2－b2＝bc；
1
2
3
4
答案
1
2
3
4
答案
sin B＋sin C＝2sin Acos B，
由正弦定理可得b＋c＝2acos B，
又∵cos B＝
∴b＋c＝
∴bc＋c2＝a2＋c2－b2，
∴a2－b2＝bc.
(2)如图，点D在线段AB的延长线上，且AB＝3，BD＝1，当点C运动时，探究CD－CA是否为定值？
1
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4
答案
1
2
3
4
答案
由(1)知b＋c＝2acos∠CBA，
∴cos∠CBA＝
在△BCD中，BC＝a，BD＝1，
∴cos∠CBD＝
又∵cos∠CBD＝cos(π－∠CBA)＝－cos∠CBA，
∴－
∴－b－3＝1＋a2－CD2，∴CD2＝4＋a2＋b，
1
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4
答案
又∵a2－b2＝bc，c＝3，
∴CD2＝4＋b2＋3b＋b＝b2＋4b＋4＝(b＋2)2，
∵CD>0，∴CD＝b＋2，
∴CD－CA＝b＋2－b＝2.
综上所述，CD－CA为定值2.
4.(2025·石家庄模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos C－asin C＝b.
(1)求角A的大小；
1
2
3
4
答案
由acos C－asin C＝b结合正弦定理，
得sin Acos C－sin Asin C＝sin B.
因为A＋B＋C＝π，
所以sin Acos C－sin Asin C＝sin(A＋C)
＝(sin Acos C＋cos Asin C)，
所以－sin Asin C＝cos Asin C.
因为sin C>0，所以tan A＝－.
因为A∈(0，π)，所以A＝.
1
2
3
4
答案
(2)若a＝2，求BC边上的中线AD长度的最小值.
1
2
3
4
答案
在△ABC中，由余弦定理，
得a2＝b2＋c2－2bccos
所以4＝b2＋c2＋bc. ①
因为AD为BC边上的中线，
所以)，
所以||2＝)2＝(c2＋b2－bc). ②
由①得b2＋c2＝4－bc， ③
1
2
3
4
答案
代入②得||2＝1－bc. ④
由③得4－bc＝b2＋c2≥2bc，
所以bc≤
当且仅当即b＝c＝时取等号，
代入④得||2＝1－bc≥所以AD≥
故AD长度的最小值为.
1
2
3
4
答案(共78张PPT)
第四章
§4.4　简单的三角恒等变换
数学
大
一
轮
复
习
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝ .
(2)公式C2α：cos 2α＝ ＝ ＝ .
(3)公式T2α：tan 2α＝ .
2.半角公式(不要求记忆)
sin＝±；cos＝±；tan＝±.符号由所在象限决定.
2sin αcos α
cos2α－sin2α
2cos2α－1
1－2sin2α
3.积化和差公式
(1)cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；
(2)sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]；
(3)sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
(4)cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)].
4.和差化积公式
(1)sin θ＋sin φ＝2sincos；
(2)sin θ－sin φ＝2cossin；
(3)cos θ＋cos φ＝2coscos；
(4)cos θ－cos φ＝－2sinsin.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.(　　)
(2)半角的正切公式成立的条件是α≠(2k＋1)π(k∈Z).(　　)
(3)任意角α，sin 2α＝2sin α都不成立. (　　)
(4)cos2(1＋cos α)，cos 3α＝1－2sin2. (　　)
√
×
×
√
2.cos2－cos2等于
A. B. C. D.
√
因为cos ＝sin＝sin
所以cos2－cos2＝cos2－sin2
＝cos .
3.若α为第二象限角，sin α＝则sin 2α＝　　　 .
因为α为第二象限角，sin α＝
所以cos α＝－＝－＝－
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
－
4.已知tan 2α＝－α∈则tan α＝　　　.
由tan 2α＝＝－
得2tan2α－3tan α－2＝0，
解得tan α＝2或tan α＝－(舍去).
2
1.熟记常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2 1＋cos α＝2cos2 .(升幂公式)
(2)1±sin α＝.(升幂公式)
(3)sin2α＝cos2α＝
tan2α＝.(降幂公式)
(4)半角正切公式的有理化
tan.
微点提醒
(5)万能公式
sin α＝cos α＝tan α＝.
(6)三角平方差公式
sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)；cos2α－sin2β＝cos(α＋β)cos(α－β).
2.运用倍角公式时谨记四个注意点
(1)要注意公式成立的条件；(2)要注意和、差、倍角的相对性；
(3)要注意升幂、降幂的灵活运用；(4)要注意“1”的各种变形.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)sin2＋sin2－sin2α等于
A.－ B.－ C. D.
√
三角函数式的化简
题型一
原式＝－sin2α
＝1－－sin2α
＝1－cos 2αcos －sin2α
＝1－.
(2)化简：＝　　　　.
sin 4α
＝2cos2α(－cos 2α)
＝cos2αcos 2αtan α＝sin αcos αcos 2α
＝sin 2αcos 2α＝sin 4α.
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点.
思维升华
跟踪训练1　(1)化简的结果是
A. B.tan 2α C. D.tan α
√
原式＝＝tan 2α.
(2)若<α<2π，化简：＝　　　　.
－cos
因为<α<2π，所以<<π，所以cos α>0，cos <0.
＝
＝
＝＝－cos .
命题点1　给角求值
例2　(2024·宜昌模拟)古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，则＝　　　.
三角函数式的求值
题型二
＝
＝
＝.
命题点2　给值求值
例3　(2024·石家庄模拟)已知cos则sin等于
A.－ B. C.－ D.
√
方法一　因为cos
所以sin＝sin
＝cos＝2cos2－1
＝2×－1＝－.
方法二　(换元法)
令t＝＋α，则α＝t－cos t＝
所以sin＝sin
＝sin＝cos 2t＝2cos2t－1＝－.
命题点3　给值求角
例4　已知sin α＝cos β＝且α，β为锐角，则α＋2β＝　　　.
因为sin α＝且α为锐角，
所以cos α＝
因为cos β＝且β为锐角，
所以sin β＝
则sin 2β＝2sin βcos β＝2××
cos 2β＝1－2sin2β＝1－2×
所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝××
因为α∈β∈所以2β∈(0，π).
所以α＋2β∈故α＋2β＝.
(1)给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.
(2)给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.
思维升华
(3)给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；
②若角的范围是选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为选正弦较好.
思维升华
跟踪训练2　(1)(2025·成都模拟)已知α是第一象限角，满足cos＝
－则cos 2α等于
A. B.－ C. D.－
√
因为α是第一象限角，且cos＝－<0，则＋α为第二象限角，
所以sin
由题意可得，
cos 2α＝cos
＝sin 2＝2sincos
＝－.
(2)已知α为锐角，1＋则α＝　　　.
因为1＋
＝
＝
所以sin α＝sin 50°，
又因为α为锐角，所以α＝50°.
50°
例5　已知函数f(x)＝sin xcos x－cos2x＋.若f 则sin 2α的值
为　　　　.
三角恒等变换的综合应用
题型三
－
f(x)＝sin 2x－·sin 2x－cos 2x＝sin.
因为f
所以sin所以sin
sin 2α＝sin＝cos 2
＝1－2sin2＝1－2×＝－.
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.
(2)形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.
思维升华
跟踪训练3　已知f(x)＝sin xsin则f(x)的值域为　　　　　.
因为f(x)＝sin xsin
＝sin x
＝sin2x＋sin xcos x－
＝×sin 2x－
＝sin 2x－cos 2x
＝sin
所以－≤f(x)≤.
返回
课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A B B C ABD CD
题号 9 10 13 14 15 16
答案 C D (-2，-1)
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(1)原式=
=·
=·=.
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(2)原式===
==cos 2x.
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(1)扇形空地面积S=×6002×=120 000π(m2).
(2)如图，记的中点为G，连接OG，分别与EF，CD交于点M，N，连接OF，
设∠FOG=α，则EF=2OFsin α，
CF=MN=OM-ON=OM-
=OFcos α-.
12.
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所以矩形面积S1=EF·CF=2OFsin α·
=6002×=6002×
=360 000
=360 000.
所以当α=30°时，矩形场地CDEF的面积取得最大值，
且最大值为120 000 m2.
12.
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一、单项选择题
1.(2025·大连模拟)设θ∈若cos θ＝则sin 2θ等于
A. B. C. D.
√
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知识过关
答案
因为θ∈cos θ＝
所以sin θ＝
则sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××.
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答案
2.的值等于
A.－2 B.2 C.－1 D.1
√
原式＝＝2.
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3.化简等于
A.1 B.－1 C.cos α D.－sin α
√
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原式＝＝
＝＝1.
答案
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4.(2024·齐齐哈尔模拟)已知cos则sin等于
A.－ B. C. D.－
√
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∵cos
可得sin＝－cos
＝－cos＝1－2cos2
＝1－2×.
答案
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5.(2024·福州模拟)若θ∈tan 2θ＝则cos θ等于
A.－ B.－ C. D.
√
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答案
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因为tan 2θ＝θ∈
所以4sin θ－2sin2θ＝3－6sin2θ，
即4sin2θ＋4sin θ－3＝0，
解得sin θ＝或sin θ＝－(舍去)，
又因为θ∈
所以cos θ＝－＝－.
答案
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6.已知<θ<若a＝b＝cos 2θ，c＝－cos θ，则a，b，c的大小关系是
A.c>a>b B.b>c>a
C.c>b>a D.b>a>c
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a＝＝sin θcos θ，
b＝(1－cos 2θ)＝sin2θ，
c＝－cos θ＝＝sin θtan θ，
又<θ<则sin θ∈
且tan θ>1>sin θ>>cos θ>
所以c＝sin θtan θ>b＝sin2θ>a＝sin θcos θ.
答案
15
16
二、多项选择题
7.(2025·中山模拟)下列选项中，与sin的值相等的是
A.2sin 15°cos 15°
B.cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°
C.2cos215°－1
D.
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√
答案
√
√
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根据题意，可得
sin＝sin＝sin .
因为2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝故A项正确；
因为cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝故B项正确；
因为2cos215°－1＝cos 30°＝故C项不正确；
因为＝tan 45°＝1，所以故D项正确.
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答案
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8.已知函数f(x)＝sin2若a＝f(lg 5)，b＝f 则
A.a＋b＝0 B.a－b＝0
C.a＋b＝1 D.a－b＝sin(2lg 5)
√
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由题意可得f(x)＝sin2＝.
因为a＝f(lg 5)，b＝f＝f(－lg 5)，
所以a＋b＝＝1，
a－b＝＝sin(2lg 5).
答案
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三、填空题
9.已知sin则sin 2α＝　　　.
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答案
sin＝－sin
所以sin＝－
所以sin 2α＝cos
＝cos 2＝1－2sin2
＝1－2×.
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10.已知α，β均为锐角，cos α＝sin β＝则cos 2α＝　　 ，2α－
β＝　　　.
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因为cos α＝
所以cos 2α＝2cos2α－1＝.
又因为α，β均为锐角，sin β＝
所以sin α＝cos β＝
因此sin 2α＝2sin αcos α＝
所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝××.
答案
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因为α为锐角，所以0<2α<π.
又cos 2α>0，所以0<2α<
又β为锐角，所以－<2α－β<
又sin(2α－β)＝所以2α－β＝.
答案
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四、解答题
11.化简：
(1)；
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答案
原式＝＝·
＝·.
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(2).
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答案
原式＝＝
＝cos 2x.
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12.某城市一扇形空地的平面图如图所示，为了方便市民休闲健身，政府计划在该扇形空地建设公园.经过测量，扇形空地的半径为600 m，∠AOB＝120°.在其中
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答案
扇形空地面积S＝×6002×＝120 000π(m2).
圈出一块矩形场地CDEF设计成林荫跑步区，且OC＝OD.
(1)求扇形空地的面积；
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(2)求矩形场地CDEF的最大面积.
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答案
如图，记的中点为G，连接OG，分别与EF，CD交于点M，N，连接OF，
设∠FOG＝α，
则EF＝2OFsin α，
CF＝MN＝OM－ON＝OM－
＝OFcos α－.
所以矩形面积S1＝EF·CF＝2OFsin α·
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答案
＝6002×
＝6002×
＝360 000
＝360 000.
所以当α＝30°时，矩形场地CDEF的面积取得最大值，
且最大值为120 000 m2.
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13.(2025·湖北名校联盟联考)已知函数f(x)＝cos 2x＋cos 3x，x∈(0，π)，若f(x)有两个零点x1，x2(x1A.∈{x1，x2} B.x2＝2x1
C.cos x1＋cos x2＝ D.cos x1cos x2＝
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答案
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能力拓展
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A，B选项，令f(x)＝0得cos 2x＝－cos 3x，故cos 2x＝cos(π－3x)或cos 2x＝cos(π
＋3x)，所以2x＝π－3x＋2k1π，k1∈Z或2x＝π＋3x＋2k2π，k2∈Z，解得x＝k1∈Z或x＝－π－2k2π，k2∈Z，由x∈(0，π)，故当k1＝0，1时，解得x1＝x2＝A，B错误；
C选项，cos x1＋cos x2＝cos＋cos＝2coscos
＝C正确；
D选项，因为cos>0，cos<0，所以cos x1cos x2＝coscos<0，D错误.
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答案
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14.在△ABC中，若sin2Ccos 2B+sin 2Csin 2B=0，且cos 2C+cos C=0，则△ ABC是
A.直角非等腰三角形
B.等腰非等边三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
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答案
因为cos 2C+cos C=0，
所以2cos2C+cos C-1=0，C∈(0，π)，
cos C∈(-1，1)，解得cos C=，
所以C=.
又因为sin2Ccos 2B+sin 2Csin 2B=0，
所以cos 2B+sin 2B=0，
化为sin=0，
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答案
因为B∈，所以2B+=π，
解得B=，所以A=π-B-C=.
所以△ABC是等边三角形.
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15.(2025·莆田模拟)中华人民共和国国旗是五星红旗，为中华人民共和国的象征和标志.每个五角星的一个内角都是36°，利用三倍角公式等恒等变换可以求得cos 36°的值.先利用sin 3α＝sin(2α＋α)可求得sin 3α＝
______________(用单角α的正弦值表示)；再求得cos 36°＝　　　　.
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答案
3sin α－4sin3α
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答案
sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α
＝2sin αcos2α＋(1－2sin2α)sin α＝2sin α(1－sin2α)＋(1－2sin2α)sin α
＝3sin α－4sin3α，
因为sin 72°＝sin 108°，
从而2sin 36°cos 36°＝3sin 36°－4sin336°，
即2cos 36°＝3－4sin236°＝3－4(1－cos236°)，
令cos 36°＝x>0，则4x2－2x－1＝0，
解得x＝或x＝(舍去).
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16
16.已知关于x的方程2sin2x-sin 2x+m-1=0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是　　　　　　.
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答案
(-2，-1)
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答案
方程2sin2x-sin 2x+m-1=0可转化为m=1-2sin2x+sin 2x
=cos 2x+sin 2x
=2sin，x∈.
设2x+=t，则t∈，
∴题目条件可转化为=sin t，t∈有两个不同的实数根.
即直线y=和函数y=sin t，t∈的图象有两个不同的交点，作出y=，y=sin t的图象，如图中实线部分所示.
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答案
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由图象观察知，的取值范围是，
故m的取值范围是(-2，-1).
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16(共92张PPT)
第四章
§4.8　正弦定理、余弦定理
数学
大
一
轮
复
习
1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.
2.理解三角形的面积公式并能应用.
3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 a2＝ ；
b2＝ ；
c2＝________________
变形
cos A＝ ；
cos B＝ ；
cos C＝__________
b2＋c2－2bccos A
c2＋a2－2cacos B
a2＋b2－2abcos C
2Rsin B
2Rsin C
sin A∶sin B∶sin C
2.三角形解的判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin Ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
3.三角形中常用的面积公式
(1)S＝aha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝ ＝ ＝ ；
(3)S＝ (r为三角形的内切圆半径).
absin C
acsin B
bcsin A
r(a＋b＋c)
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比. (　　)
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则a>b.(　　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.(　　)
√
×
×
×
2.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝a＝1，B＝则c等于
A. B.2 C. D.3
√
由余弦定理得cos B＝即－整理得c2＋c－6＝0，
解得c＝2(负值舍去).
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝80，b＝100，A＝45°，则符合条件的三角形有
A.一个 B.两个
C.0个 D.不能确定
√
由题意知，a＝80，b＝100，A＝45°，由正弦定理，得所以sin B＝.
因为aA，故B有两解，
即符合条件的三角形有两个.
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，
则cos A＝　　，△ABC的面积为　　　.
依题意得cos A＝
所以sin A＝
所以△ABC的面积为bcsin A＝.
1.熟记△ABC中的以下常用结论：
(1)A＋B＋C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
(3)大边对大角，大角对大边，a>b A>B sin A>sin B，cos A(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；cos＝sin.
(5)三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
返回
微点提醒
(6)三角形的面积S＝.
(7)在斜△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.
2.谨防两个易误点
(1)已知两边及一边的对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解.
(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(2025·重庆模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2＋bc＝a2.若b＝a＝3sin B，则C等于
A. B. C. D.
√
利用正弦、余弦定理解三角形
题型一
在△ABC中，由b2＋c2＋bc＝a2及余弦定理，可得cos A＝＝－
由0又b＝a＝3sin B，
由正弦定理得sin B＝
又sin B>0，解得sin B＝
又0所以C＝π－A－B＝.
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆的半径R等于
A. B. C. D.
√
因为b＝8，c＝3，A＝60°，
所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝64＋9－2×8×3×＝49，所以a＝7，
所以此三角形外接圆的直径2R＝所以R＝.
应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边：利用正弦定理变形公式a＝等或余弦定理求解.
(2)求角：利用正弦定理变形公式sin A＝等或余弦定理的推论求解.
(3)利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.
思维升华
跟踪训练1　(1)(2025·八省联考)在△ABC中,BC=8,AC=10,cos∠BAC=,则△ABC的面积为
A.6 B.8 C.24 D.48
√
由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AB·ACcos∠BAC,即64=100+AB2-2AB×10×,
∴AB2-12AB+36=0,
∴AB=6,∴AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC,
S△ABC=AB·BC=×6×8=24.
(2)(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＋b＝10，c＝5，sin 2B＋sin B＝0，则下列结论正确的是
A.a＝3 B.b＝7
C.B＝60° D.sin C＝
√
√
√
由sin 2B＋sin B＝0，得2sin Bcos B＋sin B＝0，
因为在△ABC中，sin B≠0，得cos B＝－
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得b2＝a2＋52－2×a×5×
因为b＝10－a，所以(10－a)2＝a2＋52－2×a×5×解得a＝3，
所以b＝7.
由cos B＝－得B＝120°，则sin B＝.
由正弦定理得sin C＝sin B＝×.
命题点1　三角形的形状判断
例2　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
正弦定理、余弦定理的简单应用
题型二
√
方法一　因为c－acos B＝(2a－b)cos A，
C＝π－(A＋B)，
所以由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B
＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin B＝sin A，
所以A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，
所以△ABC为等腰或直角三角形.
方法二　因为c－acos B＝(2a－b)cos A，
由余弦定理得
c－a·＝(2a－b)·
化简得(a－b)(b2＋c2－a2)＝0，
所以a－b＝0或b2＋c2－a2＝0，
所以a＝b或b2＋c2＝a2，
故△ABC为等腰或直角三角形.
命题点2　三角形的面积
例3　(2024·武汉模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝b＝6，a2＋c2＝2ac，则△ABC的面积为　　　.
3
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
即36＝a2＋c2＋ac＝2ac＋ac＝3ac，
所以ac＝6
所以△ABC的面积S＝acsin B＝×6×＝3.
命题点3　与平面几何有关的问题
例4　已知D是Rt△ABC斜边BC上一点，AC＝DC.
(1)若∠DAC＝30°，则∠ADC＝　 　　；
120°
在△ADC中，由正弦定理得
所以sin∠ADC＝×
又∠ADC＝B＋∠BAD＝B＋(90°－∠DAC)＝B＋60°>60°，
所以∠ADC＝120°.
(2)若BD＝2DC，且DC＝1，则AD的长为　　　.
由BD＝2DC，且DC＝1知BC＝3，
又AC＝DC，则AC＝
所以Rt△ABC中，cos C＝
在△ADC中，由余弦定理得
AD2＝AC2＋DC2－2AC·DC·cos C＝()2＋1－2×1×＝2，
所以AD＝.
(1)判断三角形形状的两种思路
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.
(2)三角形面积公式的应用原则
①对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
②与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
思维升华
跟踪训练2　(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为　　 　.
因为所以所以b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝
所以△ABC是等边三角形.
等边三角形
(2)(2024·新课标全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
①求B；
由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C，
因为a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝
因为C∈(0，π)，所以sin C>0，
从而sin C＝
又因为sin C＝cos B，
即cos B＝
又B∈(0，π)，所以B＝.
②若△ABC的面积为3＋求c.
由①可得B＝cos C＝C∈(0，π)，
从而C＝sin A＝sin(B＋C)＝sin＝××.
方法一　由正弦定理有
从而b＝·c＝c，
由三角形面积公式可知，
△ABC的面积可表示为S△ABC＝bc·sin A＝·c·c·c2，
由已知△ABC的面积为3＋
可得c2＝3＋所以c＝2.
方法二　记R为△ABC外接圆的半径，
由正弦定理得
S△ABC＝ab·sin C＝2R2sin Asin Bsin C＝2R2···＝·R2
＝3＋.
所以R＝2.
所以c＝2R·sin C＝2×2×＝2.
1.角平分线定理
在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，则.
进而得到(1)AD2＝AB·AC－BD·CD(斯库顿定理).
(2).
相关定理在解三角形中的综合应用
微拓展
2.张角定理
在△ABC中，D为BC边上的一点，连接AD，若∠BAD＝α，∠CAD＝β，
则.
3.中线长定理
在△ABC中，AD为BC边上的中线，则AB2＋AC2＝2(AD2＋DC2).
典例　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝7，b＝8，c＝9，则AC边上的中线长为　　　.
7
方法一　在△ABC中，设BD是AC边上的中线，由中线长定理知，
AB2＋BC2＝2(BD2＋DC2)，
即c2＋a2＝2，
则BD2＝＝49，BD＝7，
故AC边上的中线长为7.
方法二　因为a＝7，b＝8，c＝9，
由余弦定理得cos B＝.
设D是AC的中点，则)，
两边平方得||2＝＋2·)
＝×＝49，
所以||＝7，即AC边上的中线长为7.
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD是∠BAC的角平分线，若∠BAC＝，AD＝2，则2b＋c的最小值为　　　　　.
6＋4
如图，∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝，
由张角定理得，
即，∴，
∴2b＋c＝(2b＋c)×2＝6＋≥6＋2＝6＋4
(当且仅当且，即c＝b＝2＋2时取等号).
返回
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
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14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C A A A CD BC
题号 9 10 13 14 15 16
答案 ABD C 等腰直角三角形
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答案
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14
(1)方法一　常规方法(辅助角公式)
由sin A+cos A=2，可得sin A+cos A=1，
即sin=1，
由于A∈(0，π) A+∈
故A+=解得A=.
11.
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答案
1
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5
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14
方法二　常规方法(同角三角函数的基本关系)
由sin A+cos A=2，
又sin 2A+cos 2A=1，
消去sin A得到4cos2A-4cos A+3=0 (2cos A-)2=0，
解得cos A=
又A∈(0，π)，故A=.
11.
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答案
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14
(2)由题设条件和正弦定理得，
bsin C=csin 2B sin Bsin C=2sin Csin Bcos B，
又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，
进而cos B=得到B=
于是C=π-A-B=
sin C=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=
11.
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答案
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6
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14
由正弦定理可得，
==
即==
解得b=2c=+
故△ABC的周长为2++3.
11.
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答案
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(1)因为两块直角三角形斜边靠在一起，其中公共斜边AC=10，∠BAC=∠DAC=BD交AC于点E，可得AB=AC·cos∠BAC=10×=5，AD=AC·cos∠DAC=10×=5因为∠BAD=∠BAC+∠DAC=+所以cos∠BAD=cos cos -sin sin =×-×=
所以在△ABD中，BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD
=25+50-2×5×5×=50+25.
12.
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答案
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14
(2)因为sin∠BAD=sin=
又因为S△ABD=S△ABE+S△ADE，
所以·AB·AD·sin∠BAD=·AB·AE·sin∠BAE+·AE·AD·sin∠EAD，
即×5×5×=×5×AE×+×AE×5×
解得AE=5-5.
12.
15
16
一、单项选择题
1.(2025·海口模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，sin A＝则sin B等于
A. B. C. D.
√
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知识过关
答案
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1
2
3
4
5
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答案
若a＝2，b＝3，sin A＝
则由正弦定理得即
所以sin B＝.
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5
6
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14
答案
2.在△ABC中，cos C＝AC＝4，BC＝3，则cos B等于
A. B. C. D.
√
依题意，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝42＋32－2×
4×3×＝9，即AB＝3，所以cos B＝.
15
16
3.(2024·长沙模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且三边之比a∶b∶c＝2∶3∶4，则等于
A. B.－ C.2 D.－2
√
1
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3
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答案
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因为在△ABC中，a∶b∶c＝2∶3∶4，
设a，b，c分别为2k，3k，4k，k>0，
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，
可得16k2＝4k2＋9k2－12k2cos C，
解得cos C＝－
可得＝2.
答案
15
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4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2则△ABC的形状为
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
√
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答案
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∵sin2
∴∴cos A＝
∵cos A＝
∴b2＋c2－a2＝2b2，∴b2＋a2＝c2，
∴△ABC为直角三角形，且C＝90°.
答案
15
16
5.(2024·榆林模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且三边满足b2＝(a＋c)2－4B＝则△ABC的面积为
A.2－ B.4－2
C.2＋ D.4＋2
√
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因为b2＝(a＋c)2－4＝a2＋c2＋2ac－4所以a2＋c2－b2＝4－2ac，
因为B＝由余弦定理得，
cos B＝
所以ac＝4－4，
故△ABC的面积S＝acsin B＝(4－4)×＝2－.
答案
15
16
6.(2025·上海模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝且c－2b＋2cos C＝0，则该三角形外接圆的半径为
A.1 B. C.2 D.2
√
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14
∵a＝∴c－2b＋2acos C＝0，
∴sin C－2sin B＋2sin Acos C＝0，
∴sin C－2sin(A＋C)＋2sin Acos C＝0，
∴sin C－2sin Acos C－2sin Ccos A＋2sin Acos C＝0，
∴sin C－2sin Ccos A＝0，
∵sin C>0，∴cos A＝∵A∈(0，π)，∴A＝
设该三角形外接圆的半径为r，由正弦定理得＝2＝2r，
∴r＝1.
答案
15
16
二、多项选择题
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定2个三角形的是
A.A＝b＝1，c＝2
B.B＝b＝1，c＝2
C.A＝b＝3，a＝
D.B＝b＝a＝2
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√
答案
√
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16
对于A，因为两边及其夹角唯一确定一个三角形，所以A选项的条件能确定1个三角形；
对于B，由正弦定理可知，sin C＝>1，无解，
故B选项的条件不能确定三角形；
对于C，由正弦定理可知，sin B＝<1，
又b>a，即B∈
所以B＝或B＝故C选项的条件能确定2个三角形；
1
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答案
15
16
对于D，由正弦定理可知，sin A＝<1，
又a>b，即A∈
又易知sin A＝>sin则sin A＝有两个解，
故D选项的条件能确定2个三角形.
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答案
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8.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是
A.若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
B.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
C.若则△ABC是等边三角形
D.若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形
√
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答案
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对于A，若acos A＝bcos B，则由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，若bcos C＋ccos B＝b，则由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A＝sin B，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故B正确；
对于C，若则由正弦定理得则tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故C正确；
答案
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对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，故△ABC是等边三角形，故D错误.
答案
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三、填空题
9.(2024·开封模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
cos C＝a＝3b，则cos A＝　　　 .
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答案
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答案
在△ABC中，cos C＝a＝3b，
由余弦定理可得
cos C＝
解得c＝b，
再由余弦定理可得
cos A＝＝－.
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10.(2024·成都模拟)在△ABC中，AC＝1，∠ACB＝延长BA到点D，使
得AD＝∠ADC＝则AB的长为　　　.
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答案
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∵在△ABC中，AC＝1，∠ACB＝延长BA到点D，使得AD＝∠ADC＝
∴由正弦定理得
可得sin∠ACD＝
可得∠ACD＝
答案
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∴∠BAC＝∠ACD＋∠ADC＝∠ABC＝π－
∴在△ABC中，由正弦定理得
即解得AB＝.
答案
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四、解答题
11.(2024·新课标全国Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2.
(1)求A；
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答案
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答案
方法一　常规方法(辅助角公式)
由sin A＋cos A＝2，
可得sin A＋cos A＝1，
即sin＝1，
由于A∈(0，π) A＋∈
故A＋
解得A＝.
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答案
方法二　常规方法(同角三角函数的基本关系)
由sin A＋cos A＝2，
又sin 2A＋cos 2A＝1，
消去sin A得到
4cos2A－4cos A＋3＝0 (2cos A－)2＝0，
解得cos A＝
又A∈(0，π)，故A＝.
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(2)若a＝2bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长.
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答案
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答案
由题设条件和正弦定理得，
bsin C＝csin 2B sin Bsin C＝2sin Csin Bcos B，
又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，
进而cos B＝得到B＝
于是C＝π－A－B＝
sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝
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答案
由正弦定理可得，
即
解得b＝2c＝
故△ABC的周长为2＋＋3.
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12.(2025·南昌模拟)如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边AC＝10，∠BAC＝∠DAC＝BD交AC于点E.
(1)求BD2；
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答案
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答案
因为两块直角三角形斜边靠在一起，其中公共斜边AC＝10，∠BAC＝∠DAC＝BD交AC于点E，
可得AB＝AC·cos∠BAC＝10×＝5，
AD＝AC·cos∠DAC＝10×＝5
因为∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝
所以cos∠BAD＝cos cos －sin sin ＝××
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答案
所以在△ABD中，
BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD
＝25＋50－2×5×5×
＝50＋25.
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(2)求AE.
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答案
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答案
因为sin∠BAD＝sin
又因为S△ABD＝S△ABE＋S△ADE，
所以·AB·AD·sin∠BAD
＝·AB·AE·sin∠BAE＋·AE·AD·sin∠EAD，
即×5×5××5×AE××AE×5×
解得AE＝5－5.
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13.(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝a2＋b2－c2＝absin C，acos B＋bsin A＝c，则下列结论正确的是
A.tan C＝2
B.A＝
C.b＝
D.△ABC的面积为6
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答案
√
能力拓展
√
√
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因为a2＋b2－c2＝absin C，
所以cos C＝
所以tan C＝＝2，故A正确；
因为acos B＋bsin A＝c，利用正弦定理可得
sin Acos B＋sin Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，
即sin Bsin A＝cos Asin B，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以tan A＝1，
又A∈(0，π)，所以A＝故B正确；
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答案
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因为tan C＝2，C∈(0，π)，
所以sin C＝cos C＝
又A＝所以sin A＝cos A＝
所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝××
因为所以b＝＝3故C错误；
S△ABC＝absin C＝××3×＝6，故D正确.
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答案
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14.在△ABC中，sin(B-A)=，2a2+c2=2b2，则sin C等于
A. B. C. D.1
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答案
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答案
∵a2+c2-b2=2accos B，
又b2+c2-a2=2bccos A，
两式相减，得2a2-2b2=2accos B-2bccos A=-c2，
∴2acos B-2bcos A=-c，
由正弦定理可得2sin Acos B-2sin Bcos A=-2sin(B-A)=-sin C，
又sin(B-A)=，∴sin C=.
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15.已知△ABC的面积S＝(b2＋c2)(其中b，c为△ABC的边长)，则△ABC的形状为　　　　 　　.
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等腰直角三角形
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答案
依题意，△ABC的面积S＝(b2＋c2)，
则bcsin A＝(b2＋c2)，即2bcsin A＝b2＋c2，
由于0所以0<2bcsin A≤2bc，
由基本不等式可知b2＋c2≥2bc，
当且仅当b＝c时等号成立，
所以sin A＝1，A＝△ABC是等腰直角三角形.
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16.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S=
.根据此公式，若acos B+(b-c)cos A=0，且b2+c2-a2=，则△ABC的面积为　　　　.
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答案
因为acos B+(b-c)cos A=0，
所以sin Acos B+(sin B-sin C)cos A=0，
所以sin Acos B+sin Bcos A-sin Ccos A=0，
所以sin(A+B)-sin Ccos A=0，
所以sin C(1-cos A)=0，
因为sin C≠0，所以1-cos A=0，
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答案
解得cos A==，
所以b2+c2-a2=bc=，可得bc=1，
所以S=
=×=.
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