1.1探索勾股定理 课件(共23张PPT) 2025-2026学年数学北师大版八年级上册

(共23张PPT)
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
相传2 500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，
发现朋友家用砖铺成的地
面反映直角三角形三边的
某种数量关系.同学们，
我们来观察右面的图案，
看看你能发现什么？
1.经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解勾股定理的探究方法及其内在联系.
2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题.
（1）正方形P的面积是 平方厘米；
（2）正方形Q的面积是 平方厘米；
（3）正方形R的面积是 平方厘米.
1
2
1
SP+SQ=SR
R
Q
P
A
C
B
AC2+BC2=AB2
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系？
Sp=AC2 SQ=BC2 SR=AB2
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
做一做：观察正方形瓷砖铺成的地面.
认识勾股定理
知识点1
（图中每一格代表一平方厘米）
中国古代把直角三角形中较短的直角边叫作勾,较长的直角边叫作股，斜边叫作弦.
据《周髀算经》记载，西周战国时期（约公元前1千多年）有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5.
3
4
5
∟
勾
股
弦
【古人智慧】
人们还发现，
在直角三角形中，
勾是6，
股是8，
勾是5，
股是12，
弦一定是13，
所有的直角三角形都有这个性质.世界上许多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称为勾股定理.
62=36,
82=64,
62+82=102
102=100
等等.
52=25,
122=144,
52+122=132
132=169
弦一定是10；
几何语言：
∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
∴a2+b2=c2（勾股定理）.
a
A
B
C
b
c
∟
归纳总结
定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
　直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．
勾股定理
填一填：观察右边两幅图：完成下表（每个小正方形的面积为1）.
A的面积 B的面积 C的面积
左图
右图
4
？
怎样计算正方形C的面积呢？
9
16
9
勾股定理的验证
知识点2
？
方法一：割
方法二：补
方法三：拼
分割为四个直角三角形和一个小正方形.
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.
将小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4 9 13
右图 16 9 25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
分别以5 cm，12 cm为直角三角形的直角边作出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立.
13
5
12
A
B
C
做一做：
【例1】如图,一根旗杆在离地面9m处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12m处.旗杆原来有多高
12 m
9m
【典例精析】
【解析】设旗杆顶部到折断处的距离为xm，
根据勾股定理，得：
92+122=x2
x=±15（负值舍去）,
15+9=24(m).
答：旗杆原来高24m.
A
B
C
如图,太阳能热水器的支架AB长
90 cm,与AB垂直的BC长120cm.太阳能真空管AC有多长
【跟踪训练】
【解析】在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AC2=AB2+BC2=902+1202=22500,所以AC=150(cm).
答:太阳能真空管AC长150cm.
【例2】我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m,10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗
公路
B
C
A
400m
500m
解:由勾股定理，得：AB2=BC2+AC2，
即 5002=BC2+4002，
所以，BC=300.
敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶的距离为300×6×60=108000（m）
勾股定理的简单应用
知识点3
即它行驶的速度为108km/h.
如图，在一条公路上有A，B两站相距25km，C，D为两个小镇，已知DA⊥AB,CB ⊥AB, DA=15km,CB= 10km，现在要在公路边上建设一个加油站E，使得它到两镇的距离相等，请问加油站E应建在距A站多远处
D
A
E
B
C
15
10
25-x
【跟踪训练】
认识勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么a2+b2=c2
利用勾股定理进行计算
勾股定理的验证
勾股定理的简单应用
探索勾股定理
1.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中SA＝10，SB＝8，SC＝9，SD＝4，则下列判断错误的是（　　）
A．SE＝18 B．SF＝13
C．SM＝62 D．SM＝31
C
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，其斜边上的高为（　　）
A．17cm B．8.5cm
D
3.如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C 都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）
D
4.由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积（a﹣b）2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2+b2＝c2，还可以用来证明结论：若a＞0、b＞0且a2+b2为定值，则当a　　b时，ab取得最大值．
＝
5.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝　　．
解：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2，
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2+CD2＝22+42＝20．
20
6.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.
D
A
B
C
E
F
解：在Rt△ABF中,由勾股定理,
得：BF2=AF2－AB2=102－82
BF=6(cm).
∴CF=BC－BF=4（cm）.
设EC=x ，则EF=DE=8－x ，
在Rt△ECF中,根据勾股定理,
得：x2+ 42=(8－x)2
解得 x=3.
所以EC的长为3 cm.