2.2平方根与立方根 课件(共74张PPT) 2025-2026学年数学北师大版（2024）八年级上册

(共74张PPT)
第1课时
2 平方根与立方根
第二章 实数
某模具厂要制面积如下表所示的正方形模具，你能帮他们计算出这些正方形模具的边长是多少吗？
面积x2=a 1 1.96 2.25 9 16 25 36
边长x
1
3
4
6
1.4
1.5
5
这些正方形模具的边长和面积是什么关系呢？
1.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个正数
的算术平方根.
2.会求一个正数的算术平方根，并解决实际问题.
特殊地：0的算术平方根是0.
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根.记作 ，读作“根号a”.
例如：144的算术平方根是12.
算术平方根的定义：
负数没有算术平方根.
算术平方根的性质
【例1】求下列各数的算术平方根：
（1）625. （2）0.0081. （3）6.
（4）(-2) . （5） . （6） .
【例题】
【解析】（1）因为 ，所以625的算术平方根是25，即
（2）因为 ，所以0.0081的算术平方根是
0.09，即
（3）6的算术平方根是
（4）因为 ，所以 的算术平方根是2，
即
（5） ，16的算术平方根是4，即 的算术平方
根是4.
（6） 所以 的算术平方根是0.5.
1.判断
（1）13是169的算术平方根.
（2）-6是 36 的算术平方根.
（3）0.01是0.1的算术平方根.
（4）-5是-25的算术平方根.
【跟踪训练】
（1）正数的算术平方根是____数，0的算术平方根是____，算术平方根等于它本身的数是________.
0，1
0
正
（2） 的算术平方根是____.
（3） 的算术平方根的相反数的绝对值是_____.
4
2.填空
3.求下列各数的算术平方根
（1）25； （2） （3）0.36； （4）
【解析】（1）因为 ，所以25的算术平方根是5，即
（2）因为 ，所以 的算术平方根是 ，即
（3）因为 ，所以0.36的算术平方根是0.6，即
（4） ，所以 的算术平方根是2.
4.下列各式中哪些有意义？哪些无意义？
答：有意义的是 ， ，
无意义的是
【解析】设每块地板砖的边长为x m.由题意，得
所以，每块地板砖的边长是0.5 m.
【例2】用大小完全相同的240块正方形地板砖，铺一间面积为60 m2的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？
【例题】
“欲穷千里目，更上一层楼” 说的是登得高看得远.若观测
点的高度为h，观测者视线能达到的最远距离为d≈ ，
其中R是地球半径（通常取6 400 km），小丽站在海边一块岩
石上，眼睛离地面的高度为20 m，她观测到远处一艘船刚露
出海平面，此时该船离小丽有多远？
【解析】由R=6 400 km、h=0.02 km,得
答：此时该船离小丽有16km.
【跟踪训练】
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.算术平方根的定义：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a,
那么这个正数x就叫作a的算术平方根.
2.正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，
负数没有算术平方根.
1.9的算术平方根是（ ）
A．3 B．－3 C．81 D．－81
【解析】选A. 9的算术平方根是3.
A
2.4的算术平方根是（ ）
A．2 B.－2 C.±2 D.16
【解析】4算术平方根为正数，且平方后等于4.
A
3.给出四个数0， ，0.3，其中最小的是（ ）
A．0 B． C． D．0.3
【解析】因为正数都大于0，负数都小于0，所以
最小.
C
4.若 ，则x-y的值为（ ）
A．1 B．－1 C．7 D．－7
【解析】由算术平方根的意义与平方的意义可得，ｘ+ｙ-1=０，ｙ+３=0，解得ｘ=4，ｙ=-3，所以x-y=７.
Ｃ
第2课时
2.2 平方根与立方根
第二章 实数
如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？
3和-3的平方都等于9
填一填：写出左圈和右圈中的“？”表示的数：
64
-11
11
0.6
0
没有
x
2
x
8
-8
？
？
？
？
？
？
？
？
？
？
121
0.36
0
-4
-0.6
1.了解平方根的概念，会用根号表示一个正数的平方根，并进行相关的计算.
2.了解开平方和平方是互逆运算，会利用这个互逆运算求某些非负数的平方根.
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫作a的平方根（或二次方根）.
例如，因为3和-3的平方都等于9，我们就说3和
-3是9的平方根.也可以说9的平方根是±3.
1.平方根的定义：
【新知】
2.平方根的表示方法、读法
根号
被开方数
（ 是非负数）
读作：正、负根号
（1）一个正数有几个平方根？
（2）0 有几个平方根？
（3）负数呢？
3.性质：
（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
（2）0只有一个平方根，它是0本身；
（3）负数没有平方根.
【议一议】
两种运算有什么不同？
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
x x2
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
这是什么运算？
平方运算
x2 x
【想一想】
求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数.
可以看出,平方与开平方互为逆运算,根据这种关系可以求出一个数的平方根.
平方与开平方有什么关系？
开平方的定义：
【新知】
【例】求下列各数的平方根：
（1）25 （2）0.81 （3）15
（4）（-2） （5）0 （6）-3
【例题】
【解析】（1）因为 ，所以25的平方根是±5，即
（2）因为 ，所以0.81的平方根是±0.9，即
（3）15的平方根是±
（4）因为 ，所以 的平方根是±2，即
（5）0的平方根是0.
（6）-3没有平方根.
1.一个数的平方等于它本身，这个数是________,
一个数的平方根等于它本身，这个数是________.
2.若3a+1的平方根是0，那么a一定是______.
3.若4a+1的平方根是±5，则a=______.
1, 0
0
6
【跟踪训练】
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.平方根的定义：
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，
那么这个数x就叫作a的平方根（或二次方根）.
2.开平方的定义：
求一个数a的平方根的运算，叫作开平方.
1.4的平方根是 （ ）
A. 2 B. 2 C. 16 D. 16
【解析】4的平方根是 = 2.
B
2.2的平方根是_________.
【解析】根据平方根的定义得出2的平方根是± .
答案:±
3.一个数x的平方根等于m+1和m-3，则m= ，x= .
【解析】根据一个正数的平方根互为相反数得，m+1和
m-3互为相反数，即m+1+m-3=0，解得m=1，则m+1=2，
m-3=-2，所以x=4.
答案:1 4
4.若|a-9|+（b-4） =0，则 的平方根是____.
【解析】因为|a-9|和（b-4） 都是非负数，且|a-9|+
（b-4） =0，所以|a-9|=0，（b-4） =0，所以a=9,b=4， ,其平方根为
答案:
5.求下列各式中的x:
(1) x =16 (2) x =
(3) x =15 (4) 4x =81
【解析】
6.已知 ，求x的值．
解：∵
∴
∴ x=12 或 x=－10.
第二章 实数
2.2 平方根与立方根
第3课时
情境引入
1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.
（重点）
2.能用开立方运算求某些数的立方根，了解开立方和
立方互为逆运算.（重点，难点）
某化工厂使用半径为1米的一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来体积的8倍，那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？
问题：要做一个体积为27cm3的正方体模型（如图），它的棱长要取多少？你是怎么知道的？
解：设正方体的棱长为x㎝,则
这就是要求一个数,使它的立方等于27.
因为
所以 x=3.
答：正方体的棱长为3㎝.
立方根的概念及性质
知识点1
想一想
(1)什么数的立方等于-8？
(2)如果问题中正方体的体积为5cm3，正方体的边长又该是多少？
-2
立方根的概念
一般地，如果一个数x的立方等于 ，这个数x就叫作 的立方根，也叫作 的三次方根．记作 　　.
立方根的表示
一个数 的立方根可以表示为:
根指数
被开方数
读作:三次根号 ，
总结归纳
填一填： 根据立方根的意义填空：
因为 23 =8，所以8的立方根是（　）；
因为( )3 =0.125,所以0.125的立方根是（　 ）；
因为( )3 =0，所以0的立方根是（　）；
因为( )3 = －8，所以－8的立方根是（ ）；
0
2
-2
0
-2
立方根的性质
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根，
零的立方根是零.
立方根是它本身的数有 1, -1, 0；
平方根是它本身的数 只有0.
【归纳总结】
叫作被开方数
3叫作根指数
每个数 都有一个立方根，记作 ，读作“三次
根号 ”. 例如：当x3=7时，x是7的立方根．
求一个数 的立方根的运算叫作开立方， 叫作被开方数
注意:这个根指数3绝对不可省略.
开立方及相关运算
知识点2
求下列各数的立方根:

【例题】
(5) -5的立方根是
求下列各式的值:

2
4
0
-2
-3
探究1
=
=
温馨提示：开立方与立方运算互为逆运算.
体会:
(1)求一个负数的立方根,可以先求出这个负数绝对值的立方根,然后再取它的相反数.
(2)负号可从“根号内” 直接移到“根号外” .
求下列各式的值:

探究2
-0.2
-0.2
【例2】求下列各式的值:
平方根 立方根
性
质 正数
0
负数
表示方法
被开方数的范围
两个，互为相反数
一个，为正数
0
0
没有平方根
一个，为负数
平方根与立方根的区别和联系
可以为任何数
非负数
立方根
立方根的概念及性质
开立方及相关运算
(4)一个数的立方根不是正数就是负数；( )
(1)25的立方根是5； ( )
1.判断下列说法是否正确.
×
(2)任何数的立方根都只有一个； ( )
(3)如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是零； ( )
×
×
(5) 0的平方根和立方根都是0 . ( )
√
√
解：33 = 27，43 = 64
因为27 < 50 < 64
所以
3.立方根概念的起源与几何中正方体有关，如果一个正方体的体积为V，这个正方体的棱长为多少？
解：
4.求下列各式的值.
（1）
（2）
（3）
（4）
= – 0.3
=
=
=
=
=
5.将体积分别为 600 cm3 和 129 cm3 的长方体铁块，熔成一个正方体铁块，那么这个正方体的棱长是多少？
解:因为600+129=729，
729的立方根是9，
所以正方体的棱长为9 cm.
第二章 实数
2.2 平方根与立方根
第4课时
情境引入
1.了解估算的基本方法.
2.能够运用估算解决生活中的实际问题.
3.了解计算器开方的方法．
4.能够运用计算器开方比较数的大小．
某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000m2.
(1)公园的宽大约是多少？它有1000m吗？
1000
2000
S=2000000
∵2000×1000=2000000 > 400000，
∴公园的宽没有1000 m.
(2)如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？
x
2x
S=400000
x 2x=400000,
2x2=400000,
x2=200000,
x=
大约是多少呢？
解：设公园的宽为x米.
问题：下列结果正确吗？你是怎样判断的？
通过“精确计算”可比较
两个数的大小关系
估算的基本方法
知识点1
估算无理数大小的方法：
(1)利用平方与开平方互为逆运算来确定无理数的整数部分；
(2)根据所要求的误差确定小数部分.
总结归纳
所以 的值约是3.5或3.6.
例1：怎样估算无理数 ？ (误差小于0.1)
的整数部分是3，
【例题】
按要求估算下列无理数：
解：
【跟踪训练】
例2：通过估算，比较 与 的大小.
解：
用估算法比较数的大小
知识点2
两个带根号的无理数比较大小的结论：
1.
2.
3.若a,b都为正数，则
总结归纳
方法归纳
对于含根号的数比较大小，一般可采取下列方法：
1.先估算含根号的数的近似值，再和另一个数进行比较；
2.当符号相同时，把不含根号的数平方，和被开方数比较，本方法的实质是比较被开方数，被开方数越大，其算术平方根越大；
3.若同分母或同分子的，可比较它们的分子或分母的大小.
1.通过估算,比较下面各组数的大小:
【例3】利用计算器比较下列两数的大小.
解:
按键：
3 ，
2，
显示
显示
按键：
1.442 249 57；
1.414 213 562；
所以
与
SHIFT
用计算器比较数的大小
知识点3
估算
估算的基本方法
估算在生活中的应用
用计算器开方
使用计算器进行开方运算
用计算器开方比较数的大小
用计算器探索数的规律
1.用计算器比较下面两数的大小：
(1)
(2)
解:（1）
3.236 067 977；
（2） 3.339 148 045；
2.利用计算器求下列各式的值（结果保留4个有效数字）
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（1）
解：（1）≈28.28；
（2）≈1.639；
（3）≈0.7616；
（4）≈-0.7560.