2.3 二次根式 课件(3课时、共65张PPT)2025-2026学年数学北师大版八年级上册

(共65张PPT)
2.3 二次根式
第1课时
第二章 实数
2.什么是一个数的平方根？如何表示？
1.什么叫作一个数的算术平方根？如何表示？
一般地，如果一个数x的平方等于 ，即x2= ，
那么这个数x就叫作 的平方根(或二次方根).
用 ( ≥0)表示.
一般地，如果一个正数x的平方等于 ，即 ，
那么这个正数x就叫作 的算术平方根.
的算术平方根是
( ≥0),其中0的算术平方根是0.
a
a
a
a
a
正数有两个平方根且互为相反数；
0有一个平方根是0；
负数没有平方根.
3.平方根的性质：
（1）16的平方根是什么 算术平方根是什么？　
（2）0的平方根是什么？算术平方根是什么？
（3）－7有没有平方根？有没有算术平方根？
正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根.
思考
1．了解二次根式的概念.
2．理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在简
单情景下求根号内所含字母的取值范围.
3．掌握二次根式的乘法和除法法则求二次根式的值.
50 m
m
塔座
a m
1.塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为__________ m.
S
2.下球体在平面图上的圆的面积为S，则该圆的半径
为____________.
下球体
3.如图所示，已知正方形的面积为b-3，则
正方形的边长是 .
b-3
【结论】表示一些正数的算术平方根.
叫作被开方数.
【想一想】你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
【新知】
一般地，形如 （ ≥0)的式子叫作二次根式;
请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式的认识！

开动你的脑筋，你一定行！
2. a可以是数,也可以是式；
3. 形式上含有二次根号 ；
5. 既可表示开平方运算,也可表示运算的结果.
1. 表示a的算术平方根；
4. a≥0, ≥0
( 双重非负性)；
【二次根式的认识】
(x,y 异号)，
注意：在实数范围内,负数没有平方根.
【例1】说一说下列各式哪些是二次根式.
【例题】
⑴
⑵
(3)
(4)
(5)




判断下列代数式中哪些是二次根式.
【跟踪训练】
乘法法则和除法法则
（a≥0，b≥0）
注：在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示非负数．
积的算术平方根等于各个被开方数算术平方根的积.
积的算术平方根的性质
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．
商的算术平方根的性质
【解析】
【例1】化简：
【例题】
成立吗？为什么？
非
负
数
想一想：
【例题】求下列二次根式中字母的取值范围：
【例题】
【解析】（1）由于被开方数是非负数，可 知 +1≥0，即 ≥-1. （2）由于被开方数是非负数，且分母不 为零，可知1-2 >0，即 < . （3）由（ -3）2≥0，可知 可以取任意实数.
1.x取何值时,下列二次根式有意义
【跟踪训练】
通过本课时的学习，需要我们掌握：
（1）二次根式的概念.
（2）根号内字母的取值范围.
（3）二次根式的值.
（4）掌握二次根式的乘法法则和除法法则
1.要使式子 有意义，a的取值范围是（ ）
A. a≠ 0 B. a＞-2且a≠ 0
C. a＞-2或a≠ 0 D. a≥-2且a≠ 0
【解析】要使式子 有意义，需同时满足a+2≥0，
a≠0两个条件，可得a≥-2且a≠0 .
D
2．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】A项中只有当x≤-2时，才是二次根式，故A项不一定是二次根式；B项中当x≥0时是二次根式，故B项不一定是二次根式；C项中无论x为何值，x2+2＞0，所以C项一定是二次根式；D项中当x=0时，不是二次根式，所以D项也不正确.
C
3.使 有意义的x的取值范围是____.
【解析】要使式子 有意义，需满足x-2≥0，
即x≥2.
答案： x≥2
4．如图所示，在平面直角坐标系中，
A（-2，3），B（-4，0），C（-2，0）
是三角形的三个顶点，求三角形各边的长．
【解析】AC=3-0=3，BC=-2-（-4）=2．因为△ABC为直角三
角形，由勾股定理，得:AB2=AC2+BC2．所以
AB= ，故三角形三边长分别为3，
2， ．
2.3 二次根式
第2课时
第二章 实数
一只老虎饥饿难耐，发现有只乌龟，追到河边，乌龟跳进水里.老虎非常失望，刚想离开，发现一条水蛇浮了上来.老虎对蛇说：小样，你以为脱了马甲我就不认识你了.
脱了“马甲”会是什么样子呢？
1.理解最简二次根式的定义.
2.会利用积的算术平方根的性质化简二次根式.
3.理解商的算术平方根的性质，能够应用二次根式的性质化简二次根式.
观察下面的式子，它们都有什么共同特点？
被开方数不含分母，也没有能开得尽方的因数.
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式.
计算：
同学们自己来算吧！看谁算得既快又准确！
=
【跟踪训练】
=
【例2】化简：
你能用哪些方法去掉分母中的根号？
【解析】
【例题】
在二次根式的运算中， 最后结果一般要求：
(1)分母中不含有二次根式.
(2)写成最简二次根式的形式.
【规律方法】
化简：
【解析】
注意：要进行二次根式化简，关键是要搞清楚分式的
分子和分母都乘什么，有时还要先对分母进行化简.
【跟踪训练】
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.最简二次根式的定义.
2.化简二次根式
1.8的平方根是（ ）
A.4 B.±4 C. D.
【解析】∵ ，∴8的平方根是
D
2.已知n是一个正整数， 是整数，则n的最小值是（ ）
A．3 B．5 C．15 D．25
【解析】因为135＝15×32 , 所以要使 是整数，
正整数n的最小值为15.
C
3. 如果 b＞0， +b＜0，那么下面各式
其中正确的是（ ）
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
【解析】∵ b>0， +b<0，∴ <0，b<0，
①因为 ,b为负，故 , 无意义，错误，
② ，正确，
③ ，因为b<0，故 ，正确.
B
4.计算：
【解析】原式= +1-3=3+1-3=1.
5.计算:
【解析】
第二章 实数
2.3 二次根式
第3课时
问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么
问题2 多项式与单项式的除法法则是什么
m(a+b+c)=ma+mb+mc；
(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.
(ma+mb+mc)÷m=a+b+c.
分配律
单×多
转化
前面两个问题的思路是：
思考 若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？
单×单
1. 掌握二次根式的混合运算的运算法则.
2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘除法法则仍然适用.
例1 计算：
解：
二次根式的混合运算
知识点1
解：
此处类比“多项式×多项式”即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
归纳 二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.
解：(1)原式
(2)原式
计算：
归纳 有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.
【变式题】
例2 计算：
解：
（1）
（2）
解法一：
你还有其他解法吗？
解法二： 原式=
解： 原式=
思考：还可以继续化简吗？为什么？
提醒 如果算式当中有个别二次根式化简最简二次根式仍不能与其他最简二次根式合并同类项，结果中可保留，不必化为最简式.
问题：化简 ，其中a=3，b=2.你是怎么做的？
解法一：
把a=3，b=2代入代数式中，
原式=
解法二：
原式=
把a=3，b=2代入代数式中，
原式
二次根式的化简求值
知识点2
先代入后化简
先化简后代入
解二次根式化简求值问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．
【方法总结】
例3：已知 ，求
分析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a2+b2=(a+b)2-2ab,最后代入求解.
解：
已知 的整数部分是a,小数部分是b,求a2+b2的值.
解：
【变式训练】
思考：如图，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形ABCD的面积.你有哪些方法？
二次根式的应用
知识点3
可把梯形ABCD分割成两个三角形和一个梯形，如图所示.
S1
S2
S3
S梯形ABCD=S1+S2+S3
方法1：分割法
通过补图，可把梯形ABCD变成一个大梯形，如图所示.
S1
S2
S梯形ABCD=S梯形ABEF－S1－S2
E
F
方法2：补图法
过点D作AB边的高DE，如图所示.
S梯形ABCD
E
方法3：直接法
归纳：利用二次根式可以简单便捷的求出结果．
例4：教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一张面积为338平方厘米.如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用
分析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论.
解：贺卡的周长为
答：李欣的彩带够用.
方法总结
本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式．
二次根式混合运算
乘法公式
化简求值
分母有理化
化简已知条件和所求代数式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
1.下列计算中正确的是（ ）
B
2.已知 试求x2+2xy+y2的值.
解： x2+2xy+y2=（x+y)2
把 代入上式得
原式=
（1） ；
（2） ；
（3） .
解：
（1）
（2）
3.计算.
解：
（3）
＝10 .
4.在一个边长为 cm的正方形内部，挖去一个边长为 cm的正方形，求剩余部分的面积.
解：由题意得，
即剩余部分的面积是
5.(1) 已知 ，求 的值；
解：x2-2x-3=(x-3)(x+1)
(2)已知 ，求 的值.
解：
6.阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：
方法二：

(1)请用两种不同的方法化简：
(2)化简：
解：(1)
7.