5.3二元一次方程组的应用 课件 （第1---3课时，57张PPT） 2025-2026学年数学北师大版（2024）八年级上册

(共57张PPT)
第五章 二元一次方程组
5.3 二元一次方程组的应用（第1课时）
列一元一次方程解应用题的步骤：
（1）审题；
（2）找等量关系，设未知数；
（3）列方程；
（4）解方程；
（5）检验并作答.
1.让学生经历列方程组解决实际问题的过程.
2.通过现实问题情景列方程组，理解解决问题的关键是分析题意，找出题目中的两个等量关系，列出方程组.
3.在建模过程中，强化方程的模型思想，培养学生列方程组解决现实问题的意识和应用能力.
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
（1）上有三十五头的意思是 ，
下有九十四足的意思是 .
（2）如果设鸡有x只，兔有y只，那么鸡兔共有 只；
鸡足有 只；兔足有 只.
（3）根据题意得方程组为 .
（4）解方程组得，鸡有___只，兔有____只.
（x+y）
2x
4y
x+y=35
2x+4y=94
23
12
鸡、兔共有头35个
鸡、兔共有脚94只
例 今有甲、乙怀钱，各不知其数。甲得乙十钱，多乙余钱五倍。乙得甲十钱，适等。问甲、乙怀钱几何？（选自《张丘建算经》）
题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱。如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等。甲、乙两人各带了多少钱？
【例题】
【解析】设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，根据题意，得
x+10=6（y-10)
x-10=y+10
解这个方程组得
x=38
y=18
所以，甲带了38钱，乙带了18钱.
1.甲、乙两人参加植树活动，两人共植树20棵，已知甲植树数是乙的1.5倍.如果设甲植树x棵，乙植树y棵，那么可列方程组为（ ）
C
【跟踪训练】
2.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共
有68条腿，若设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，
x+y=10
6x+8y=68
则列出方程组为___________.
3.小刚有5角硬币和一元硬币共8枚，币值共有6元5角，设5角的有x
枚，一元的有y枚，列出的方程组为
x+y=8
0.5x+y=6.5
______________.
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题；
（2）设两个未知数，找两个等量关系；
（3）根据等量关系列方程，联立方程组；
（4）解方程组；
（5）检验并作答.
1.某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2 900朵红花，3 750朵紫花，则黄花一共用
了　　　 朵．
【解析】设甲种盆景有x盆，乙种盆景有y盆，丙种盆景有z盆.
由题意得
由25x+25z=3750可得x+z=150，则有
15x+10y+10z=5x+10（x+z）+10y=2 900，即x+2y=280，
则黄花的数量为：
24x+12y+18z=6x+18（x+z）+12y=6（x+2y）+2 700
=1 680+2 700=4 380（朵）
答案：4 380
2.今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？（选自《九章算术》）题目大意：5头牛、2只羊共值10两“金”；2头牛、5只羊共值8两“金”。每头牛、每只羊各值多少“金”？
【解析】设每头牛值“金”x 两,每头羊值“金”y 两,
由题意,得
答:每头牛值“金” 两,每只羊值“金” 两.
5x + 2y =10,
2x + 5y =8.
解得
x =
y =
3.已知某电脑公司有A型，B型，C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6 000元，B型每台4 000元，C型每台2 500元，我市东坡中学计划将100 500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由.
解得
【解析】设从该电脑公司购进A型电脑x台，B型电脑y台，C型电脑z台，则可分以下三种情况考虑：
不合题意，应该舍去.
（1）只购进A型电脑和B型电脑，根据题意：
（2）只购进A型电脑和C型电脑，根据题意：
（3）只购进B型电脑和C型电脑，根据题意：
答：有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台.
解得
解得
4.今年“五一”小长假期间，某市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去年同期增长30%和20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人．求该市今年外来和外出旅游的人数．
【解析】设该市去年外来人旅游的数为 x 万人，外出旅游的人数为 y 万人，由题意得:
解得：
则今年外来旅游的人数为：100×（1+30%）=130（万人），
今年外出旅游的人数为：80×（1+20%）=96（万人）．
答：该市今年外来旅游的人数为130万人，外出旅游的人数为96万人．
第五章 二元一次方程组
5.3 二元一次方程组的应用（第2课时）
1.一个人的工资今年比去年增长了20%后变为6 000元，则该
人去年的工资为 元.
2.某药品在2024年涨价25%后，2025年降价20%至a元，则
该药品在2024年涨价前的价格为 元.
a
5 000
3.小李到银行去储蓄5000元，这种储蓄的年利息为1.5%，
若他储蓄了5年，则小李5年后得到的本息和是 元.
5375
1.让学生经历列方程组解决实际问题的过程.
2.通过现实问题情景列方程组，理解解决问题的关键是分析题意，找出题目中的两个等量关系，列出方程组.
3.在建模过程中，强化方程的模型思想，培养学生列方程组解决现实问题的意识和应用能力.
问题1：增长（亏损）率问题的公式？
问题2：银行利率问题中的公式？（利息、本金、利率）
原量×（1+增长率）=新量
原量×（1-亏损率）=新量
利息=本金×利率×期数（时间）
本息和=本金+利息
想一想
【分析】设去年的总收入为x万元,总支出为y万元,则有
年份 总收入/万元 总支出/万元 利润/万元
去年
今年
(1+20﹪)x
(1-10﹪)y
780
根据上表,你能通过列方程组解决这个问题吗
x
y
200
【例1】某工厂去年的利润(总收入-总支出)为200万元,今年的总收入比去年增加了20％,总支出比去年减少了10％,今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元
【例题】
【解析】设去年的总收入为x万元,总支出为y万元,则有
x-y=200
(1+20﹪)x-(1-10﹪)y=780
因此,去年的总收入是2 000万元,总支出是1 800万元.
解得
x=2 000
y=1 800
某校环保小组成员收集废电池,第一天收集了一号电池4节，五号电池5节，总重为460 g，第二天收集了一号电池2节，五号电池3节，总重为240 g，则一号电池和五号电池每节分别重多少克？
【跟踪训练】
【解析】设一号电池和五号电池每节分别重x g，y g,则可列方程组
4x+5y=460，
2x+3y=240.
解这个方程组得
x=90，
y=20.
答：一号电池和五号电池每节分别重90 g，20 g.
【例2】医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质, 如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质, 那么每餐用甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要
【例题】
【解析】设每餐用甲、乙原料各x g，y g. 则有下表:
成分 甲原料x g 乙原料y g 所配制的营养品
其中所含蛋白质
其中所含铁质
0.5x
x
0.7y
0.4y
35
40
根据题意,得方程组
5x+7y=350 ①
5x+2y=200 ②
0.5x+0.7y=35
x+0.4y=40
化简,得
①- ②,得5y=150
y=30
把y=30代入①,得x=28,即方程组的解为：
所以每餐用甲原料28 g,乙原料30 g，可以恰好满足患者的需要.
一、二两班共有100名学生,他们的体育达标率(达到标准的百分率)为81﹪,如果一班学生的体育达标率为87.5﹪,二班学生的体育达标率为75﹪,那么一、二两班各有多少名学生
【跟踪训练】
【分析】设一、二班的学生人数分别为x名，y名.填写下表并求出x,y的值.
一班 二班 两班总和
学生人数
达标学生人数
x
y
100
87.5﹪x
75﹪y
81﹪×100
【解析】设一、二班的学生人数分别为x名，y名.
根据题意,得方程组
x+y=100
87.5﹪x+75﹪y=81﹪×100
解得
x=48
y=52
所以一、二班的学生人数分别为48名和52名.
1.在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可 以借助列方程组的方法来处理这些问题.
　2.这种处理问题的过程可以进一步概括为：
　 3.要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价40％，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20％．若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则所列方程组正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
C
2.某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6:5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分．若设（1）班得x分，（5）班得y分，根据题意所列的方程组应为（ ）
D
B．
C．
D．
A．
3. 甲、乙两人从相距36 km的两地相向而行,如果甲先走2 h,那么他们在乙出发2.5 h时相遇;如果乙先走2 h,那么他们在甲出发3 h时相遇,甲、乙两人的速度各是多少千米
两种情况 甲的路程 乙的路程 甲乙两人的路程之和
第一种情况：甲先走2 h
第二种情况：乙先走2 h
(2+2.5)x
2.5y
36
36
3x
(2+3)y
【解析】设甲、乙两人的速度分别是xkm/h,ykm/h.填写下表并求出x,y的值.
根据题意,得方程组
(2+2.5)x+2.5y=36
3x+(2+3)y=36
解得
x=6
y=3.6
所以甲、乙两人的速度分别是6km/h,3.6km/h.
4.某地准备对一段长120m的河道进行清淤疏通．若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队先单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天．设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，则x+y的值为　 　．
【解析】由题意，得
解得：
∴x+y=20
答案：20
5.某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．求每台A型电脑和B型电脑的销售利润.
【解析】设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元，
则有 解得
即每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元.
第五章 二元一次方程组
5.3 二元一次方程组的应用（第3课时）
1. 如果一个两位数的十位数字为x，个位上的数字为y，那么这个两位数可表示为________;如果交换个位和十位数字, 得到的新两位数为________.
2. 两个两位数分别为x和y，如果将x放到y的左边就得到一个四位数,那么这个四位数可表示为_________;如果将x放到y的右边就得到一个新的四位数,那么这个新的四位数可表示为__________.
10x+y
10y+x
100x+y
100y+x
3.一个两位数的十位数字为x，个位上的数字为y，如果在它们的中间加一个零,变成一个三位数,那么这个三位数可表示为_________.
4.甲、乙两人正在做数字游戏，甲说：“有一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把两个数字的位置对调，那么所得的新数与原数的和为143，这个两位数是多少？猜猜看！”乙百思不得其解，你能想办法帮他吗？
100x+y
【解析】设原数十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据题意得：
解得
答：这个两位数是94
1.用二元一次方程组解决“线段图的行程问题”这一有趣场景中的数字问题和行程问题;
2.归纳出列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤;
3.初步体会列方程组解决实际问题的步骤，将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型.
【例1】火车以40m/s的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时30s，其中火车全身都在隧道里的时间是20s，求隧道和火车的长度.
解:“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”“火车全身都在隧道里”的过程可以分别用图5-2、图5-3.
设隧道的长度为x m,火车的长度为
y m,根据题意，得
x+y=40×30
x-y=40×20
解这个方程组，得
x=1000
y=200
所以，隧道和火车的长度分别是1000m和200m.
【规律方法】利用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的 与同伴交流一下.
★ 审 清题意,找出等量关系;
★ 设 未知数x,y;
★ 列 出二元一次方程组;
★ 解 方程组；
★ 检 验；
★ 答 题.
A，B两地相距36 km，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时相向出发，4 h后两人相遇；6 h后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求二人的速度？
【解析】设甲、乙速度分别为x km/h，y km/h，根据题意得：
解方程组，得：
答：甲、乙的速度分别为4km/h， 5km/h.
【跟踪训练】
通过这节课的学习，你有什么收获？
1.本节课主要研究有关数字问题，解题的关键是设各位数字为未知数，用这些未知数表示相关数量，再列出方程.
2.用二元一次方程组解应用题一般步骤有五步：
设、列、解、验、答
1.小颖家离学校4 800 m，其中有一段为上坡路 ，另一段为下坡路，她跑步去学校共用了30 min .已知小颖在上坡时的平均速度是 6 km/h，下坡时的平均速度是12 km/h.问小颖上、下坡的路程分别是（ ）
A．1.2 km，3.6 km； B．1.8 km，3 km；
C．1.6 km，3.2 km． D．3.2 km，1.6 km．
【解析】设上坡用x h，下坡用y h，根据题意得：
　　　　 6x+12y=4.8，
　　　　　x＋y＝0.5.
解得　　
x＝0.2，
y＝0.3.
答案：Ａ
2．广巴高速公路，从广元到巴中全长约为126 km.一辆小汽车、一辆货车同时从巴中、广元两地相向开出，经过45 min相遇，相遇时小汽车比货车多行6 km，设小汽车和货车的速度分别为x km／h ,y km／h，则下列方程组正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
D
3.有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46人，2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57人．某船家有3艘大船与6艘小船，一次可以载乘客的人数为（ ）
A．129 B．120
C．108 D．96
D
4.在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为弧岛．当时洪水流速为
10 km/h，张师傅奉命用冲锋舟去救援，他发现沿洪水顺流以最大速度航行2 km所用时间，与以最大速度逆流航行1.2 km所用时间相等．请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为 ．
40 km/h
5．元代朱世杰所著的《算学启蒙》里有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”请你回答：良马 天可以追上驽马.
20
6.李刚骑摩托车在公路上匀速行驶，早晨7:00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和十位数互换了；9:00时看到里程碑上的数是7:00时看到的数的8倍，李刚在7:00时看到的数是　　　　　。
【解析】设李刚在7:00时看到的数十位数字是x，个位数字是y，那么
时刻 十位数字 个位数字 表达式
７:00 x y 10x+y
８:00 y x 10y+x
９:00 ８(10x+y)
答案：18
分析: （1）
甲
乙
相遇
S甲+S乙=42
（2）
甲
乙
追上
S乙- S甲=42
7. 甲、乙两人相距42 km,如果两人同时从两地相向而行，2 h后相遇,如果两人同时从两地同向而行,14 h后乙追上甲,求二人的速度.
【解析】设甲、乙二人的速度分别为x km/h,y km/h,根据题意得:
化简,得:
解方程组,得:
答:甲、乙二人的速度分别为9 km/h, 12 km/h.