5.4 二元一次方程与一次函数 课件 （第1---2课时，41张PPT） 2025-2026学年数学北师大版（2024）八年级上册

(共41张PPT)
第五章 二元一次方程组
5.4 二元一次方程与一次函数（第1课时）
如图，l1表示某机床公司一天的销售收入y1与机床销售量x之间的函数关系，l2表示该公司一天的销售成本y2与机床销售量x之间的函数关系。
1.理解二元一次方程和一次函数的关系；掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系；掌握二元一次方程组的图象解法．
2.理解作函数图象的方法与代数方法各自的特点. 进一步理解方程与函数的联系.
1.方程x＋y＝5的解有多少个 写出其中的几个.
2.在平面直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次
函数y＝5－x的图象上吗？
3.在一次函数y＝5－x的图象上任取一点，它的坐标适合方程x＋y＝5吗？ 4.以方程 x＋y＝5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y＝5
－x的图象相同吗？
问题：
（1）由以上四个问题你能得到什么结论？
（2）你能把上面的结论推广到一般情况吗？
以二元一次方程kx－y＝－b（k≠0）的解为坐标的点组成的图象与一次函数y＝kx＋b的图象相同.
思考：
结论：
2.交点的坐标与方程组
1.在同一平面直角坐标系内分别画出一次函数y＝5－x和y＝2x－1的图象,这两个图象有交点吗
的解有什么关系？
问题：
　　每个二元一次方程组都对应两个一次函数(两条直线)，从“数”的角度看,解方程组就相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等,以及这个函数值是何值.从“形”的角度看,解方程组就相当于确定两条直线的交点坐标,即两条直线交点横、纵坐标就是二元一次方程组的解.
结论：
【例1】用作图象的方法解方程组：
（1）书写步骤：
A 二元一次方程化一次函数
B 作函数图象
C 找交点
D 方程组的解
（2）书写格式.
注 意
【例题】
取点(-2,0)，(0,1)作出直线 .
由②得:
【解析】由①得：
取点(1,0)，(0,-2),作出直线
观察图象得出交点为Ｐ（2,2).
x
3
2
1
-1
-2
y
-2
2
-1
1
3
O
P
如图，直线 　　
的交点坐标是____.
【跟踪训练】
x
y
-2
2
-1
1
3
O
1
2
3
-1
-2
答案：
x
y
-2
2
-1
0
1
3
3
2
1
-1
-2
二元一次方程组有哪些解法？
消元法
二元一次方程组与一次函数有何联系？
二元一次方程组的解是它们对应的两个一次函数图象的交点坐标；反之，两个一次函数图象的交点也是它们所对应的二元一次方程组的解．
正因如此，方程问题可以通过函数知识来解决，反之，函数问题也可以通过方程知识来解决.
图象法
是一种代数方法
【规律方法】
【跟踪训练】
1.用图象法解方程组
【解析】 由x＋y＝2，得y＝－x＋2；
由2x＋y＝1，得y＝－2x＋1.
在同一直角坐标系中作出一
次函数y＝－x＋2的图象l1和
y＝－2x＋1的图象l2，如图，
观察图象，得l1，l2的交点为P(－1，3)．
所以方程组
的解是
2 .如图，观察图象，确定方
程组 的解．
【解析】由x－y＝－1可得 y＝x＋1；
由x－y＝2可得 y＝x－2.
观察图象，可知两直线平行，无交点，
这说明方程组
无解．
1.二元一次方程组除了可以利用代入法和加减法进行消元求解外，还可以利用图象法得到它的近似解.
2.体现了数学的数形结合思想.
A.4 B.5 C.6 D.7
C
1
-9
解析：
３.求两条直线y=3x-2与 y=-2x+4和ｘ轴所围成的三角形的面积.
O
x
y
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-1
-2
1
2
3
4
5
6
y=3x-2
y=-2x+4
４．如图，两条直线 的交点坐标可以看作哪个方程组的解？
解析：
３
-１
2
-3
x
y
0
5．两直线
的交点坐标为（ ）
A．（—2，3） B．（2，—3）
C．（—2，—3） D．（2，3）
D
6．直线y=2x+b与x轴的交点坐标是
（2，0），则关于x的方程2x+b=0的解是x=______.
2
第五章 二元一次方程组
5.4 二元一次方程与一次函数（第2课时）
1.用二元一次方程组求实际问题的一次函数表达式.
2.掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.进一步理解方程与函数的联系.
函数表达式
y=kx+b
满足条件的两点
(x1, y1), (x2, y2)
一次函数的图象直线l
选取
解出
画出
选取
用二元一次方程组求一次函数表达式
因为一次函数的一般形式是y=kx+b(k，b为常数，k≠0)，要求出一次函数的表达式，关键是要确定k和b的值(即待定系数).
A，B 两地相距100 km，甲、乙两人骑车分别从A，B两地相向而行．假设他们都匀速骑行，则他们各自与A地之间的距离s(单位：km)都是骑车时间t (单位：h)的一次函数.骑行1 h乙距离A地80 km; 2h后甲距离A地30 km. 经过多长时间两人相遇
直线型图表示
80 km
乙
1h
议一议
2h,30 km
甲
B
A
你明白他的想法吗？
用他的方法做一做!
O
1
2
3
t/h
s/km
100
80
60
40
20
如图，可以分别画出两人 s 与t 之间关系的图象，找出交点的横坐标就行了！
小亮
甲
乙
小明
对于乙，s 是t的一次函数，可以设 s=kt+b.
当t=0时，s=100；
当t=1时，s=80.将它们分别代入s=kt+b中，可以求出k，b的值，从而确定乙的s与t 之间的关系式.
同样可以求出甲的s与t之间的关系式.
再联立这两个关系式，求解方程组就行了！
你明白他的想法吗？用他的方法做一做!
消去 s
骑行1 h乙距离A地80 km,即乙的速度是
20 km/h； 骑行2 h甲距离A 地 30 km, 故甲的速度是 15 km/h,由此可以求出甲、乙两人的速度和 ……
小颖
你明白她的想法吗？
用她的方法做一做!
t =
小明
小亮
小颖
用画图象的方法可以直观地获得结果，但往往难以获得准确的结果，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法.
在以上的解题过程中你受到什么启发？
【例2】某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量需购买行李票，且行李费y（单位：元）是行李质量x（单位：kg）的一次函数．已知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元．
（1）写出y与x之间的关系式；
（2）每名乘客最多可免费携带多少千克的行李？
【例题】
【解析】（1）设y=kx+b（k≠0) . 根据题意，得
解得

所以每名乘客最多可免费携带30 kg的行李．
1.某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量分段收费办法，若某户居民应缴水费y（单位：元）与月用水量x（单位：t）的函数关系如图所示.
【跟踪训练】
O
y(元)
x(t)
15
20
27
39
(2)若某用户十月份用水量为10 t，则应缴水费多少元？若该用户十一月份缴水费51元，则该用户该月用水多少吨？
(1)分别写出当0≤x≤15和x＞15时，y与x的函数关系式；
【解析】（1）当0≤x≤15时，设y=kx，根据题意，可得方程27=15k，
解得
①
当x＞15时，设y=mx+n，根据题意，可得方程组
解得
②
（2）当x=10 时（10＜15），
代入①中可得y=18；
当y=51 时（51＞27），
代入②中可得x=25．
1.利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
a.用含字母的系数设出一次函数的表达式 ；
b.将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组；
c.解这个二元一次方程组得k，b，进而得到一次函数的表达式.
2.体现了数学的数形结合思想.
1. 如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，填空:
　(1)b=______,k=______;
(2)当x=30时，y=______;
(3)当y=30时，x=______.
2
-18
-42
l
2.判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．
∴
【解析】设过A，B两点的直线的表达式为
y=kx+b，由题意可知，
∴过A，B 两点的直线的表达式为y=x-2．
∵当x=4时，y=4-2=2，
∴点C（4，2）在直线y=x-2上．
∴三点A（3，1）， B（0，-2），C（4，2）在
同一条直线上．
3.甲、乙两工程队同时修筑水渠，且两队所修水渠总长度相等．如图是两队所修水渠长度y(单位：m)与修筑时间x(单位：h)的函数图象的一部分．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）直接写出甲队在0≤x≤5的时间段内，y与x之间的函数关系式
；
（2）直接写出乙队在2≤x≤5的时间段内，y与x之间的函数关系式
.
2
5
10
50
70
x
y
甲
乙
O
(m)
(h)
y=10x
y=20x-30
4.温度的度量有两种：摄氏温度和华氏温度.水的沸点温度是100℃，用华氏温度度量为212℉；水的冰点温度是0℃，用华氏温度度量为32 ℉.已知摄氏温度与华氏温度的关系近似地为一次函数关系，你能不能想出一个办法方便地把华氏温度换算成摄氏温度？
用C,F分别表示摄氏温度与华氏温度，由于摄氏温度与华氏温度的关系近似地为一次函数关系，因此可以设
C = kF + b，
由已知条件，得
212k + b =100，
32k + b = 0 .
｛
解这个方程组，得
因此摄氏温度与华氏温度的函数关系式为
【解析】
5.在某个范围内,某产品的购买量y(单位:kg)与单价x(单位:元)之间满足一次函数,若购买1000kg,单价为800元;若购买2000kg,单价为700元.若一客户购买400kg,单价是多少
解:设购买量y与单价x的函数解析式为y=kx+b，
∵当x=1000时 y = 800;当x=2000时y = 700，
∴
800k + b = 1000
700k + b = 2000
｛
解得:
b =9000
因此,购买量y与单价x的函数解析式为 y =-10x + 9000
当 y = 400时得， -10 x + 9000 =400,
∴ x =860.
答:当客户购买400kg,单价是860元.
｛