6.1平均数与方差 课件（第1---2课时，45张PPT） 2025-2026学年数学北师大版（2024）八年级上册

(共45张PPT)
第六章 数据的分析
6.1 平均数与方差（第1课时）
1.掌握众数、算术平均数和加权平均数的概念，会求一组数据的众数、算术平均数和加权平均数．
2.会用众数、算术平均数、加权平均数解决实际生活中的问题．
在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁四人的成绩如图所示.
（1）观察统计图，甲的哪个射击成绩出现的次数最多？其他选手呢？
（2）不计算，请你尝试判断谁的射击成绩最好。你是怎么判断的？
（3）算一算，验证你的判断是否正确.
一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数.
一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数，就得到这组数据的算术平均数，简称平均数.平均数是刻画一组数据集中趋势的一项指标，反映了一组数据的“中心”.
众数、算术平均数
知识点1
例1 植树节到了, 某单位组织职工开展植树竞赛, 下图反映的是植树量与人数之间的关系.
3
4
5
6
7
8
棵数
12
10
8
6
4
2
0
人数
0
请根据图中信息计算：
（1）总共有多少人参加了本次活动？
（2）总共植树多少棵？
（3）平均每人植树多少棵？
典例精析
解：（1）参加本次活动的总人数是1+8+1+10+8+3+1=32（人）
（2）总共植树3×8+4×1+5×10+6×8+7×3+8×1=155（棵）.
（3）平均每人植树 （棵）
3
4
5
6
7
8
棵数
12
10
8
6
4
2
0
人数
0
某班级为了解同学年龄情况，做了一次年龄调查，结果如下：13岁8人，14岁16人，15岁24人，16岁2人．求这个班级学生的平均年龄（结果取整数）．
解：这个班级学生的平均年龄为：　
所以，他们的平均年龄约为14岁．　　　
练一练
在实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度” 未必相同.因而，在计算这组数据的平均数时，往往根据各个数据的“重要程度”赋一个“权”．
一起来看看下面的例子
加权平均数
知识点2
例2 某校进行广播操比赛，评分包括以下几项（每项满分10分）；服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐.其中三个班的成绩分别如下：
班级 评分项
服装统一 进退场有序 动作规范 动作整齐
一班 9 8 9 8
二班 10 9 7 8
三班 8 9 8 9
典例精析
（1）如果将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按10%，20%，30%，40%的比例计算各班的广播操比赛成绩，那么哪个班的成绩最高？
解：一班的成绩为9×10%+8×20%+9×30%+8×40%=8.4(分).
二班的成绩为10×10%+9×20%+7×30%+8×40%=8.1(分).
三班的成绩为8×10%+9×20%+8×30%+9×40%=8.6(分).
所以，三班的成绩最高.
例3 老师对同学们每学期总评成绩时，并不是简单地将一个学生的平时成绩与考试成绩相加除以2而是按照“平时练习占 40%, 考试成绩占60% ”的比例计算，其中考试成绩更为重要.这样，如果一个学生的平时成绩为70分，考试成绩为90分，那么他的学期总评成绩就应该为多少呢？
解:
该同学的学期总评成绩是:
70×30%
=82(分)
+
90×60%
加权平均数
权 重
权重的意义:
各个数据在该组数据中所占有的不同重要性的反映.
加权平均数的意义:
按各个数据的权重来反映该组数据的总体平均大小情况.
　　一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别
是w1，w2，…，wn，则
叫作这n个数的加权平均数．
知识要点
众数与平均数
算术平均数
加权平均数
众数
2. 若m个数的平均数为x，n个数的平均数为y，则这(m+n)个数的平均数是（ ）
A.(x+y)/2 B.(x+y)/(m+n)
C.(mx+ny)/(x+y) D.(mx+ny)/(m+n)
1.某次考试，5名学生的平均分是82，除甲外，其余4名学生的平均分是80，那么甲的得分是（ ）
A.84 B. 86 C. 88 D. 90
D
D
3.抽样调查了某校30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）：
35
尺码 33 34 35 36 37
人数 7 6 15 1 1
这组数据的众数是　 　．
4.为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，得分情况如表所示：
得分 6 7 8 9 10
人数 4 10 15 11 10则抽取的居民得分的众数和平均数分别为 .
5.某中学举行歌咏比赛，六位评委对某位选手打分如下：77，82，78，95，83，75，去掉一个最高分和一个最低分后的平均分是 分
8分和8.26分
80
6.一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们各项的成绩（百分制）如下：
应试者 听 说 读 写
甲 85 83 78 75
乙 73 80 85 82
如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照3∶3∶2∶2的比确定，计算两名应试者的平均成绩(百分制).从他们的成绩看，应该录取谁？
解：听、说、读、写的成绩按照3∶3∶2∶2的
比确定，则甲的平均成绩为
85×3＋83×3＋78×2＋75×2
3＋3＋2＋2
＝
81，
乙的平均成绩为
73×3＋80×3＋85×2＋82×2
3＋3＋2＋2
＝
79.3．
显然甲的成绩比乙的高，所以从成绩看，应该录取甲．
第六章 数据的分析
6.1 平均数与方差（第2课时）
学校篮球联赛开始了
刘教练
选 我
选 我
教练的烦恼
刘教练到我班选拔一名篮球队员，刘教练对陈方楷和李霖东两名学生进行5次投篮测试，每人每次投10个球，下图记录的是这两名同学5次投篮中所投中的个数.
队 员 第 1次 第2次 第3次 第4次 第5次
李霖东 7 8 8 8 9
陈方楷 10 6 10 6 8
（1）请求出以上两组数据的平均数、众数；
（3）若要选一个投篮稳定的队员，选谁更好？
（2）用复式折线统计图表示上述数据；
1.理解离差平方和、方差、标准差、组内离差平方和的意义.
2.会计算一组简单数据的离差平方和、方差、标准差、组内离差平方和.
甲与丁的射击成绩如图所示，他们的平均成绩都是8环，两个人的射击表现一样吗？你对甲、丁的射击表现有什么评价？
离差平方和、方差与标准差
知识点
（1）你觉得谁发挥得更稳定？你的理由是什么？
（2）你能设法通过计算说明两人的成绩的稳定程度吗？与同伴进行交流.
在统计学里，数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画.
方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数,
即
其中， 是x1,x2,……，xn的平均数，s2是方差，而标准差就是方差的算术平方根.
离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和.
即
一般而言,一组数据的方差或标准差越小,这组数据就越稳定.
例1:计算图中甲射击成绩的标准差（结果精确到0.01环）
/次序
例2: 小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的五次测试成绩如下表所示.谁的成绩较为稳定？为什么？
测试次数 1 2 3 4 5
小明 10 14 13 12 13
小兵 11 11 15 14 11
测试成绩
测试次数
1 2 3 4 5 求离差平方和
小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13
（每次成绩－
平均成绩）2 5.76 2.56 0.36 0.16 0.36 9.2
小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11
（每次成绩－
平均成绩）2 1.96 1.96 6.76 2.56 1.96 15.2
计算可得：
小明5次测试成绩的标准差为1.84；
小兵5次测试成绩的标准差为3.04.
所以根据结果小明的成绩比较稳定.
方法拓展
任取一个基准数
将原数据减去 ，得到一组新数据
求新数据的方差
1
2
3
求一组较大数据的方差，有如下简便计算方法：
甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如下表：
某同学分析上表后得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩平均水平相同；②甲班成绩的波动比乙班大.上述结论正确的有 .
班级 参加人数 方差 平均数
甲 55 191 135
乙 55 110 135
①②
做一做
例 10个苹果的直径如图所示
(1)若想把这 10个苹果分成两组，使每组苹果的“个头”差不多，你想怎么分 说说你分组的理由。
(2)一般情况下，如果想把一组数据分成若干组，使每组组内的数据差距不大，且组与组之间的数据差别明显，那么你认为应遵循怎样的分组原则 与同伴进行交流。
在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”。多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和。
按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把图中的10个苹果按直径大小分成两组.
解:将10个数据由小到大排序：
65，69，70，75，76，76，78，80，80，81
把10个数据分成两组，共有9种情况：第一组9个数据{65}，第二组9个数据{69，…，81}；第一组2个数据{65，69}，第二组8个数据{70，…81}；……；第一组9个数据{65，69}，第二组一个数据{81}.
以第2种分组情况为例，计算组内离差平方和.其中，第一组有2个数据{65，69}，这2个数据的平均数是67，故第一组数据的组内离差平方和S =（65-67） +（69-67） =8；第二组有8个数据{70，75，76，76，78，80，80，81}，这8个数据的平均数是77，故第二组数据的组内离差平方和S =（70-77） +（75-77） +…+（81-77） =90.
因此第2种分组情况的组内离差平方和S=S +S =8+90=98.
同理计算其他8种分组情况的组内离差平方和，结果如下：
计算结果表明，第3种情况的组内离差平方和最小.因此把10个苹果按直径大小分成的两组是{65，69，70}，{75，76，76，78，80，80，81}.
数据的离散程度
方差
标准差
组内离差平方和
离差平方和
2.在样本方差的计算公式
中， 数字10 表示________ ，数字20表示 ______.
样本容量
平均数
1.把数据2，8，10，4，12按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的是（ ）
A．｛2｝，｛4，8，10，12｝
B．｛2，4｝，｛8，10，12｝
C．｛2，4，8｝，｛10，12｝
D．｛2，4，8，10｝，｛12｝
B
3．某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是 ＝3.6， ＝4.6， ＝6.3， ＝7.3，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
A
4.数据－2，－1，0，1，2的方差是___，标准差是___ .
5.五个数1，3， ，5，8的平均数是4，则 =_____，这五个数的方差_____.
2
3
5.6
6. 甲、乙两台编织机纺织一种毛衣，在5天中两台编织机每天出的合格品数如下（单位：件）：
甲：7 10 8 8 7 ；乙：8 9 7 9 7 .
计算在这5天中，哪台编织机出合格品的波动较小？
解：
所以是乙台编织机出的产品的波动性较小.
=（7+10+8+8+7）÷5=8
=（8+9+7+9+7）÷5=8